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Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana

Introducción a dualidad y regularidad en espacios y

álgebras de Banach

Ana L. Barrenechea Carlos C. Peña

www.sociedadmatematicamexicana.org.mx

Serie: Textos. Vol. 17 (2014)

Introducci�on a dualidad y regularidaden espacios y �algebras de Banach

Ana L. Barrenechea & Carlos C. Pe~na

UNCPBA. FCExactas.

Departamento de Matem�aticas.

NUCOMPA

Campus Universitario, Tandil, Argentina.

[email protected]

[email protected]

30 de septiembre de 2014

�Indice

1. Introducci�on 3

2. Productos de Arens 52.1. �Algebras intr��nsecas en el espacio bidual . . . . . . . . . . . . 52.2. Con relaci�on a formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Sobre la no abelianidad de

�(l1 (Z) ; �)�� ;�

�. . . . . . . . . . 13

2.4. Unidades laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Representaciones de U�� en U� . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. �Algebras de Banach Arens regulares 193.1. Teorema de caracterizaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Sub�algebras y cocientes de �algebras regulares . . . . . . . . . . 21

4. Productos de Arens y aproximaciones de la identidad 22

5. Productos de Arens en �algebras duales 24

6. Cuando �U(U) es ideal en el espacio bidual 276.1. Teorema de Watanabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1

6.2. Aplicaci�on a formas lineales casi peri�odicas . . . . . . . . . . . 286.3. Respecto al �algebra de operadores aproximables . . . . . . . . 296.4. Respecto al �algebra L1 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7. Respecto a �algebras de operadores 33

8. Relaciones con dobles centralizadores 39

9. Con relaci�on a C�-�algebras 449.1. Bidual de C�-�algebras y �algebras de Von Neumann . . . . . . 449.2. Arens regularidad de C�-�algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10.Respecto a las �algebras C0 () y M () 4910.1. Sobre M

��(C0()

��;�)�: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.2. Isomor�smos entre espacios de medidas . . . . . . . . . . . . . 5910.3. Preduales de M () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.4. Acciones de M (G) sobre L1 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.5. Subm�odulos de M () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.El problema de regularidad en L1 (G) 7311.1. Una observaci�on de M. M. Day . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.2. Teorema de C. Graham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7411.3. La caracterizaci�on de N. J. Young . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.4. Productos de Arens y compactaciones de Stone-�Cech . . . . . 7911.5. �Algebras sobre semigrupos semitopol�ogicos . . . . . . . . . . . 8211.6. Regularidad de �algebras de Beurling discretas . . . . . . . . . 9011.7. Sobre l1 (G)�� siendo G grupo discreto . . . . . . . . . . . . . . 9211.8. Sobre el radical de Jacobson de

�(l1 (Z) ; �)�� ;�

�. . . . . . . 94

11.9. Sobre L1 (G)�� siendo G grupo no discreto . . . . . . . . . . . 96

12.Dualidad general en �algebras y espacios de Banach 9812.1. Espacios introvertidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9812.2. Regularidad y formas bilineales re exivas . . . . . . . . . . . . 10312.3. Homomor�smos lineales reticulares . . . . . . . . . . . . . . . 10912.4. Sobre espacios (AL) y (AM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11212.5. Factores en el dual de �algebras de Banach . . . . . . . . . . . 11412.6. Centros topol�ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11712.7. Regularidad y completitud secuencial d�ebil . . . . . . . . . . . 124

2

13.ANEXO 13413.1. Teorema de Arens-Kelley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13413.2. Teorema de Banach-Hahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.3. Teorema de Banach-Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14313.4. Teorema de Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14413.5. Teorema de Davis, Figiel, Johnson & Pe lczy�nski . . . . . . . . 14613.6. Teorema de Eberlein-�Smulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15013.7. Teorema de Gantmacher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15213.8. Teoremas de Gel�fand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . 15313.9. Teorema de Goldstine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15813.10.Teorema de Hildebrandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15913.11.Teorema de Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16013.12.Teorema de densidad de Kaplansky . . . . . . . . . . . . . . . 16913.13.Teorema de Krein-�Smulian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17313.14.Teorema de Mazur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613.15.Espectros. Teorema de Rickart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.16.Teorema de Segal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18013.17.Teorema de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

1. Introducci�on

La dualidad de espacios normados es central para el abordaje de cues-tiones geom�etricas y topol�ogicas de los mismos. En el contexto de espaciosde Banach la completitud permite avanzar mucho m�as, siendo especialmenterico este escenario si se tratare con �algebras de Banach. El an�alisis funcionalmoderno es dif��cil de abordar por la diversidad de enfoques y la complejidadde las construcciones, no obstante ser las mismas en general concurrentesy guiadas por una suerte de derrotero intr��nseco. Pareciera haber cap��tulos,cada uno con val��a e inter�es propios, con l��mites a veces difusos. Hay tambi�enespecialistas que tienen el m�erito y la capacidad de integrarlos, complemen-tarlos y enriquecerlos a veces de manera magistral.

En este trabajo, que procuramos en lo posible sea autocontenido, noshemos de concentrar en cuestiones ligadas a la regularidad de �algebras deBanach. Se trata de un aspecto te�orico de car�acter algebraico, con fuertesimplicancias que permiten una mejor comprensi�on de la estructura de lascorrespondientes �algebras. En forma suscinta, es conocido que toda �algebrade Banach U est�a naturalmente inmersa en el correspondiente espacio bidualU��. Es posible extender el producto de U a U�� de dos maneras distintas,de modo que se dir�a que el �algebra subyacente ser�a regular cuando dichas

3

extensiones coincidan. La condici�on de regularidad tiene consecuencias diver-sas, siendo la misma objeto de intensa investigaci�on desde que R. F. Arensla introdujera en 1951 (cf. [3], [4]). No obstante, hasta donde disponemos deinformaci�on es escasa la literatura sobre un tratamiento sistem�atico del tema,particularmente en castellano. Para mayores referencias y especi�caciones re-comendamos consultar [24], [61] y [102]. En [28] se considera el estudio deespacios biduales de �algebras de medidas, en especial las asociadas a gruposlocalmente compactos.

Nuestro inter�es en la materia se ha dado en base a trabajos relacionadosdirecta o indirectamente con la problem�atica sobre derivaciones en �algebrasde Banach (cf. [1], [16], [15], [105]). Precisamente, aqu�� sobreviene la llamadateor��a de amenabilidad, iniciada en el contexto de �algebras de Banach prin-cipalmente en base al trabajo [77]. Si U es un �algebra de Banach y X esun U -bim�odulo de Banach, �jado x 2 X el operador adx (a) = ax � xade U en X es no solo lineal y acotado, sin�o que es una derivaci�on, i.e.adx (ab) = a adx (b) + adx (a) b si a; b 2 U . Se dice que adx es la derivaci�oninterna implementada por x 2 X. El �algebra de Banach U se dir�a a su vezamenable si cada derivaci�on � : U ! X�, cualquiera sea el U -bim�odulo deBanach X, es interna. Las conexiones entre la teor��a de amenabilidad y deregularidad de �algebras de Banach se dan en forma permanente (v. [53],[26], [109]). De todos modos, nos apartamos de este incentivo inicial para fo-calizarnos en la cuesti�on misma de la regularidad, la que tiene inter�es propio.Sin duda, quedan vastos aspectos no considerados en este trabajo, a vecesni siquiera mencionados. Nos limita no solo el espacio sin�o tambi�en nuestrogrado de conocimiento o acceso a la informaci�on. El objetivo es modesto, setrata de una introducci�on, un inicio, unos primeros pasos en una empresaque promete resultados profundos y relevantes. Ah�� est�e probablemente elacierto en la investigaci�on inicial de Arens, el descubrimiento de una suertede cantera matem�atica cuya explotaci�on todav��a ha de dar duro y valiosotrabajo por muchos a~nos.

Los autores agradecen al Dr. Emilio Lluis Puebla, y a las autoridades delComit�e Editorial de las Publicaciones Electr�onicas de la Sociedad Matem�aticaMexicana, por la consideraci�on de este trabajo y las atenciones dispensadasdurante el proceso de arbitraje.

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2. Productos de Arens

2.1. �Algebras intr��nsecas en el espacio bidual

Proposici�on 2.1 (cf. [3], [4])12Sea U un �algebra de Banach. Entonces U�admite una estructura natural de U-m�odulo de Banach.

Demostraci�on 2.2 Si x 2 U y � 2 U� indicaremos � (x) , hx; �i : En-tonces, si a 2 U , � 2 U�, de�nimos a� 2 U� (resp. �a 2 U�) haciendohx; a�i , hxa; �i (resp. hx; �ai = hax; �i) para cada x 2 U . Es f�acil ver en-tonces que dichas de�niciones son correctas, obteni�endose as�� sendas accionesde U sobre U� con las que U� deviene en un U-bim�odulo de Banach.

Observaci�on 2.3 Si n 2 N indicaremos U (n+1)� ,�U (n)�

��y, en particular,

U (1)� , U�: Inductivamente es f�acil ver que U (n)� admite una estructuranatural de U-bim�odulo de Banach para cada n 2 N.

Proposici�on 2.4 Si a 2 U , � 2 U� y � 2 U�� sean ha; ��i , ha�;�i yha;��i , h�a;�i. Entonces:

(i) �� y �� 2 U� y m�ax fk��k ; k��kg � k�k k�k :

(ii) Las aplicaciones (�;�) ! �� y (�;�) ! �� son C-bilineales.

Demostraci�on 2.5 Inmediata.

De�nici�on 2.6 Sean �; 2 U��: De�nimos el primer y segundo productosde Arens de � y , �� y �� respectivamente, haciendo

h�;��i , h�;�i y h�;��i , h��;i

si � 2 U�: Se dice que un �algebra de Banach U es Arens-regular si los pro-ductos de Arens son coincidentes.

Proposici�on 2.7 (i) El espacio de Banach U��, munido de los productos deArens, deviene �algebra de Banach.

1Palabras clave: �Algebras y m�odulos de Banach. Aplicaciones d�ebilmente compactas.Teorema de Banach-Alaoglu. Productos semidirectos. Elementos cuasi-inversibles y/ocuasi-singulares. Radical de Jacobson. �Algebras semisimples. Estados de una C�-�algebra.Representaciones c��clicas, involutivas, �eles. Vectores c��clicos.

2Por informaci�on relacionada v. [71], [69], [139], [55], . Por aspectos geom�etricos yregularidad de �algebras de Banach v. [56]. Respecto de invariancia de la regularidad porextensiones v. [100]. Por regularidad de �algebras de Banach l��mite inductivas v. [107].

5

(ii) En ambos casos, �U : U ! U�� es un homomor�smo algebraico.

(iii) Si �; 2 U�� hay sendas redes

fa�g�2A � [U ]k�k y fb�g�2B � [U ]kk (1)

tales que � = w�-l��m�2A �U (a�), = w�-l��m�2B �U (b�) y adem�as

�� = w�- l��m�2A

l��m�2B

�U (a�b�) y �� = w�- l��m�2B

l��m�2A

�U (a�b�) : (2)

(iv) ((Uop)�� ;�) = ((U��)op;�) :

(v) Si a 2 U , � 2 U�� entonces

�U(a)�� = �U (a)�� = a� y ��U (a) = ��U (a) = �a:

(vi) Si U es abeliana, U es Arens regular si y solo si U�� es abeliana.

(vii) Si U es unitaria tambi�en lo es U��:

Demostraci�on 2.8 (i) Haremos la prueba solo para el primer producto,siendo an�aloga en el otro caso. Sean �; 2 U��, �; � 2 U�, s 2 C.Entonces

hs�+ �;��i = h (s�+ �) ;�i= hs�+ �;�i= s h�;�i+ h�;�i= s h�;��i+ h�;��i ;

i.e. �� : U !C es C-lineal. Adem�as

jh�;��ij � k�k k�k � k�k k�k kk ;

o sea �� 2 U�� y k��k � k�k kk :

(ii) Sean a; b 2 U , � 2 U�: Entonces

h�; �U (a)��U (b)i = h�U (b)�; �U (a)i= ha; �U (b)�i= h�a; �U (b)i= hb; �ai= hab; �i= h�; �U(ab)i :

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An�alogamente,

h�; �U (a)��U (b)i = h��U(a); �U(b)i= hb; ��U(a)i= hb�; �U(a)i= ha; b�i= hab; �i= h�; �U(ab)i :

(iii) Por el Teo. 13.37 hay redes como en (1) tales que

� = w� � l��m�2A

�U (a�) ; = w� � l��m�2B

�U (b�) :

Si � 2 U� tenemos entoncesh�;��i = h�;�i

= l��m�2A

h�; �U (a�)i

= l��m�2A

ha�;�i

= l��m�2A

h�a�;i

= l��m�2A

l��m�2B

h�a�; �U(b�)i

= l��m�2A

l��m�2B

hb�; �a�i

= l��m�2A

l��m�2B

ha�b�; �i

= l��m�2A

l��m�2B

h�; �U(a�b�i :

Asimismo,

h�;��i = h��;i= l��m

�2Bh��; �U (b�)i

= l��m�2B

hb�; ��i

= l��m�2B

hb��;�i

= l��m�2B

l��ma2A

hb��; �U(a�)i

= l��m�2B

l��ma2A

ha�; b��i

= l��m�2B

l��ma2A

ha�b�; �i

= l��m�2B

l��ma2A

h�; �U(a�b�i :

7

(iv) Con la notaci�on anterior, por (2) tenemos

��(Uop)�� = w� � l��m�2A

l��m�2B

�U (a��opb�) (3)

= w� � l��m�2A

l��m�2B

�U (b�a�)

= ��

= ��op:

(v) Sean a 2 U , � 2 U , � 2 U��. Entoncesh�; �U (a)��i = h��; �U (a)i

= ha;��i= h�a;�i= h�; a�i :

Por otra parte, si x 2 U tenemoshx; ��U (a)i = hx�; �U (a)i

= ha; x�i= hax; �i= hx; �ai ;

i.e. ��U (a) = �a: En consecuencia,

h�; �U (a)��i = h��U (a) ;�i= h�a;�i= h�; a�i :

El resto sigue en forma an�aloga.

(vi) Si U es abeliana y Arens-regular por (3) tenemos�� = �� = ��(Uop)�� = �� = ��:

Rec��procamente, si U y U�� son abelianas usando (3) nuevamente es�� = �� = ��(Uop)�� = ��:

(vii) Es inmediato.34

3Dado n 2 N, C(n) ([0; 1]) es regular (cf. [24], Th. 4.4.8).4Hay variantes m�as d�ebiles que la Arens regularidad. La propiedad de semiregulari-

dad permite caracterizar las �algebras de Banach no regulares munidas de aproximacionesacotadas bilaterales de la unidad para las cuales, a�un siendo distintos los productos deArens, guardan entre s�� una serie de condicionmes razonables [62]. Toda �algebra regularser�a semiregular. Para un grupo localmente compacto G el �algebra L1(G) ser�a semiregularsi y solo si G es discreto o conmutativo [93].

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2.2. Con relaci�on a formas bilineales

Observaci�on 2.9 Sean X;Y; Z espacios de Banach, B : X � Y ! Z unaforma bilineal acotada. Para x 2 X; y 2 Y , z� 2 Z�; x�� 2 X�� e y�� 2 Y ��

de�nimos

B� : Z� �X ! Y �; hy;B�(z�; x)i = hB(x; y); z�i ;B�� : Y �� Z� ! X�; hx;B�� (y��; z�)i = hB� (z�; x) ; y��i ;B�� : X�� Y �� ! Z��; hz�; B�� (x��; y��)i = hB�� (y��; z�) ; x��i :

Entonces B�, B�� y B�� devienen formas bilineales bien de�nidas, acotadasy puede verse f�acilmente que

kB��k = kB��k = kB�k = kBk <1:

Dados x�� 2 X�� y y�� 2 Y �� sean fxaga2A e fybgb2B sendas redes acotadasen X y Y tales que

x�� = � (X��; X�) - l��ma2A

�X (xa) y y�� = � (Y ��; Y �) - l��m

b2B�Y (yb) :

Si z� 2 Z� tenemos entonces

hz�; B�� (x��; y��)i = l��ma2A

hxa; B�� (y��; z�)i

= l��ma2A

hB� (z�; xa) ; y��i

= l��ma2A

l��mb2B

hyb; B� (z�; xa)i

= l��ma2A

l��mb2B

hB (xa; yb; z�)i ;

i.e.B�� (x��; y��) = � (Z��; Z�) - l��m

a2Al��mb2B

�Z (B (xa; yb)) :

En acuerdo con la notaci�on de la Prop. 2.7(iii) indicaremos

x��By�� = � (Z��; Z�) - l��m

a2Al��mb2B

�Z (B (xa; yb)) :

Asimismo, sea B� : Y �X ! Z; B� (y; x) , B(x; y) si x 2 X e y 2 Y: Parax�� 2 X�� y y�� 2 Y �� escribiremos

y��Bx�� = B��(y��; x��)

= � (Z��; Z�) - l��mb2B

l��ma2A

�Z(B� (yb; xa)

= � (Z��; Z�) - l��mb2B

l��ma2A

�Z(B (xa; yb) :

Claramente, B puede decirse regular si B�� = B�� y podemos inferir elsiguiente

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Corolario 2.10 (i) Si X es un U-m�odulo de Banach X�� adm��te sendasestructuras de (U��;�) y (U��;�) m�odulos de Banach.

(ii) � de�ne la �unica forma bilineal sobre U��U�� que extiende al productode U de modo que la aplicaci�on x�� ! x��y�� es (w�; w�) continua paracada y�� 2 U�� jo mientras que cada aplicaci�on y�� ! �U (x)�y�� es(w�; w�) continua si x 2 U .

(iii) � de�ne la �unica forma bilineal sobre U��U�� que extiende al productode U de modo que la aplicaci�on y�� ! x��y�� es (w�; w�) continua paracada x�� 2 U�� jo mientras que cada aplicaci�on x�� ! x��U(y) es(w�; w�) continua si y 2 U .

Proposici�on 2.11 Una forma bilineal acotada B : X � Y ! Z entre es-pacios de Banach es regular si y solo si B� : X � Y ! C lo es para todo� 2 Z�; donde B� = � �B:

Demostraci�on 2.12 Indicaremos Bx(y) = B (x; y), x 2 X e y 2 Y; demodo que fBxgx2X � B (Y; Z) : Fijado � 2 Z� sea � 2 B (X; Y �) tal que� (x) = (B�)x : Entonces

B�� : C� �X ! Y �; B�

� (c�; x) = B�x (�� (c�)) ;

B�� : Y �� C� ! X�; B��

� (y��; c�) = c�� (y��) ;B�� : X�� Y �� ! C��; B��

� (x��; y��) = h�� (y��) ; x��i :(4)

Sea x�� = w�-l��mi2I �X (xi), y�� = w�-l��mj2J �Y (yj) para ciertas redes aco-

tadas fxigi2I , fyjgj2J de X e Y respectivamente. Por (4), si z� 2 C� obte-nemos

hz�; B�� (x��; y��)i = l��m

i2Ihxi; z�� (y��)i

= l��mi2Ihz�� (xi) ; y

��i

= l��mi2I

l��mj2Jhyj; z�� (xi)i

= l��mi2I

l��mj2JhB� (xi; yj) ; z

�i

= l��mi2I

l��mj2JhB (xi; yj) ; �

�(z�)i

= h�� (z�) ; B�� (x��; y��)i= hz�; �� (B�� (x��; y��))i ;

i.e. B�� = �� B��: An�alogamente, B��

� = �� B��: Adem�as

B�� = �� B�� ;

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de modo que si B es regular B� ser�a regular para cada � 2 Z�: Rec��proca-mente, si cada B� es regular dado (x��; y��) 2 X��Y �� ser�a �� (z��) = 0C��,donde z�� = (B�� B�� ) (x��; y��) en Z��: En consecuencia, dado z� 2 Z�tenemos

0 = hz�; �� (z��)i = h�� (z�) ; z��i = hz� � �; z��i = hz��; z��i = z� h�; z��i ;

i.e. h�; z��i = 0: Como � 2 Z� es arbitrario z�� = 0Z�� y B resulta regular.

Ejemplo 2.13 Sea U = c0 (N), considerada U con la estructura usual de�algebra de Banach. En consecuencia, U� � l1 (N) y U�� l1 (N). Indicare-mos a; b; ::: a los elementos de U , �; �; ::: a los de U� y �; ::: a los de U��:Sea m : U � U ! U tal que m (a; b) = ab. Fijado � haremos m� : U � U !C,m� (a; b) = hab; �i : Es f�acil evaluar que

m�� : C� � U ! U�; m�

� (z; a) = za�;m�� : U�� C� ! U�; m��

� (�; z) = z��;m�� : U�� U�� ! C��; m��

� (�; ) = h�; � i ;

siendom�� extensi�on dem: Haciendom� (a; b) = m(b; a) para a; b 2 U , como

U es abeliana es m� = m y m�� es extensi�on de m� . Pero m��

� = m�� ,

de donde sigue la regularidad de U aplicando la Prop. 2.11.

Teorema 2.14 (cf. [7], Th. 2) Sean X; Y; Z; W espacios normados y con-sideremos m1 2 B (X; Y ;Z), m2 2 B (X;W ;Z) tales que m1 factoriza porm2, i.e. existe h 2 B (Y ;W ) tal que m1 = m2 � (IdX � h). Si h ([Y ]1) es� (h (Y ) ;W �) compacto entonces m1 es regular.

Demostraci�on 2.15 Sean x�� 2 X��; y�� 2 Y ��, z� 2 Z�: Sean fxigi2I efyjgj2J redes acotadas en X e Y tales que

x�� = w� � l��mi2I

�X (xi) e y�� = w� � l��mj2J

�Y (yj) :

Por hip�otesis podemos suponer, considerando eventualmente alguna subred,que existe y 2 Y tal que h(y) = w-l��mj2J h (yj) : Para i 2 I �jo tenemos

hh(y); z� �m2 (xi; �)i = l��mj2Jhh(yj); z

� �m2 (xi; �)i

= l��mj2Jhm2 (xi; h (yj)) ; z

�i ;

11

i.e. w�-l��mj2J �Z(m2 (xi; h (yj))) = �Z (m2(xi; h(y)) : As��

x��m1

y�� = w�- l��mi2I

l��mj2J

�Z (m2 (xi; h(yj)))

= w�- l��mi2I

�Z (m2 (xi; h(y)))

= x��m1

�Y (y)

= w�- l��mj2J

x��m1

�Y (yj) (pues L�m1

x�� 2 (w�; w�) )

= w�- l��mj2J

l��mi2I

�X(xi)�m1

�Y (yj)

= w�- l��mj2J

l��mi2I

�Z (m2 (xi; h(yj)))

= x��m1

y��:

Proposici�on 2.16 (cf. [7]) Sean X; Y; Z espacios normados, h 2 B (Y �;Y )monomor�smo tal que � (h (�)) = �(h(�)) si �; � 2 Y �: Si m2 2 B (X; Y ;Z)la forma bilineal acotada m1(x; �) = m2 (x; h (�)) en B (X; Y �;Z) es regular.

Demostraci�on 2.17 Por el teorema de Alaoglu [Y �]1 es w�-compacta y por

la hip�otesis sigue que h 2 (w�; w) : Luego h ([Y �]1) resulta d�ebilmente com-pacta y basta aplicar el Teorema 2.14.

Ejemplos 2.18 (i) Si X; Z son espacios normados, todo forma bilineal aco-tada de X � l1 (N) en Z que factoriza a trav�es de otra de X � c0 (N)en Z es regular. En efecto, haciendo Y = c0 (N) y h : l1 (N) ,! Y , seest�a en las condiciones de la Prop. 2.16.

(ii) Si m (x; f) = x � f , x 2 L1 [0; 1], f 2 L1 [0; 1], m es forma bilineal aco-tada con valores en L1 [0; 1]. Si Y = L1 [0; 1], h : L1 [0; 1] ,! L1 [0; 1],m factoriza a trav�es del producto de convoluci�on de L1 [0; 1], se est�a enlas condiciones de la Prop. 2.16 y m resulta regular. M�as general-mente, si G grupo de Hausdor� compacto el producto de convoluci�onL1 (G)� L1 (G) ! L1 (G) es regular.

(iii) Si m (x; f) = x � f , x 2 C [0; 1], f 2 L1 [0; 1], m es forma bilinealacotada con valores en C [0; 1] : Como en (ii) sigue que m es regular.M�as generalmente, si G grupo de Hausdor� compacto el producto deconvoluci�on C (G)� L1 (G) ! C (G) es regular.

(iv) (C [0; 1] ; �) es regular. M�as generalmente, sean X; Y; Z;W espacios deBanach, W � Y . Si m 2 B (X;Y ;Z) regular entonces m1 = m�IdX�jes regular, donde j : W ,! Y: En efecto, basta notar que

m��1 = m�� (IdX�� j��) = m�� (IdX�� j��) = m��

1 :

12

(v) (L1 [0; 1] ; �) es regular, pues factoriza mediante el producto de convolu-ci�on a trav�es de L1 [0; 1]� L1 [0; 1] ! L1 [0; 1] .

(vi) Sea H espacio de Hilbert separable , C (H) la clase de operadores com-pactos y T (H) la de operadores traza. Si feng1n=1 es base ortonormalde H y T 2 B (H)+ el valor de la serie

P1n=1 hTen; eni, al que denota-

mos tr (T ) ; es independiente de la base que se considere. PrecisamenteT (H) consiste de los operadores T 2 B (H) tales que jT j tiene traza�nita, en cuyo caso se escribe kTk1 = tr (jT j) : As�� (T (H); k�k1) es unespacio de Banach, kTk � kTk1 si T 2 T (H), T (H) � C(H) y hay unisomor�smo isom�etrico suryectivo

� : T (H) ! C(H)�; � (T ) (C) = tr (CT ) :

(V. [111], Ch. VI, x6). Sea h : C(H)� ! C(H), h = j � ��1, conj : T (H) ,! C(H): Si S; T 2 T (H), � (S) = s y � (T ) = t tenemos

s (h (t)) = s (T )

= � (S) (T )

= tr (T � S)

= tr (S � T )

= � (T ) (S)

= t (S)

= t (h (s)) :

As�� m (T; s) = T ��1 (s), (T; s) 2 T (H)�C(H)�, de�ne una forma bi-lineal regular como consecuencia del Teorema 2.14; y podemos concluirque (T (H); �) es regular.

2.3. Sobre la no abelianidad de��l1 (Z) ; �

��;��

Ejemplo 2.19 (cf. [144])5 Sea U = (l1 (Z) ; �), donde � indica el productode convoluci�on usual. Entonces U no es Arens-regular. En efecto, sea

c1 (Z) =

�� 2 l1 (Z) : 9 l��m

m!�1�m y 9 l��m

m!+1�m

�:

Consideremos las formas lineales l+, l� sobre c1 (Z) de�nidas como

l� (�) , l��mm!�1

�m:

5V. [66].

13

Por el teorema de Banach-Hahn existen extensiones L+, L� 2 l1 (Z)� de l+

y l� respectivamente. En consecuencia, L� 2 l1 (Z)� y U�� l1 (Z)� : Sea�0 2 c1 (Z) tal que �0 (m) = �1 si m 2 Z�; �0(0) = 0 y �0(m) = 1 sim 2 Z+: Sean a 2 U y em , f�r;mgr2Z en U . Se sabe que femgm2Z es basede U y como U es abeliana si m 2 Z tenemos

hem; �0ai = hem; a�0i= ha � em; �0i

=

*+1Xr=�1

a (r �m) er; �0

+

=

*+1Xs=�1

a (s) em+s; �0

+

= ��1�mXs=�1

a(s) ++1X

s=1�ma(s);

o sea

�0a = a�0 =

(��1�mXs=�1

a(s) ++1X

s=1�ma(s)

)m2Z

:

Adem�as �0a 2 c1 (Z) porque

l��mm!�1

(�0a) (m) = �+1Xs=�1

a(s) y l��mm!+1

(�0a) (m) =+1Xs=�1

a(s):

Por lo tanto, para cada a 2 l1(Z) tenemos

a; L��0

�=�0a; L

�� =�0a; l

�� = �+1Xs=�1

a(s) ,

a; L+�0

�=�0a; L

+�

=�0a; l

+�

=

+1Xs=�1

a(s);

y deducimos que L��0 = (:::;�1;�1;�1; :::) y L+�0 = (:::; 1; 1; 1; :::) enl1 (C) : As�� h�0; L+�L�i 6= h�0; L��L+i pues

�0; L+�L�

�=L��0; L

+�

= �1;�0; L

��L+�

=L+�0; L

�� = 1:

14

2.4. Unidades laterales

Proposici�on 2.20 Sea U un �algebra de Banach, E 2 U��:

(i) (a) E 2 Ud (U��;�) si y solo si (b) hfa; Ei = ha; fi si a 2 U y f 2 U� siy solo si (c) Ef = f si f 2 U�:

(ii) (a) E 2 Ui (U��;�) si y solo si (b) haf; Ei = ha; fi si a 2 U y f 2 U� siy solo si (c) fE = f si f 2 U�:

(iii) E 2 Ui (U��;�) si y solo si hFf;Ei = hf; F i si f 2 U� y F 2 U��:

(iv) E 2 Ud (U��;�) si y solo si hfF;Ei = hf; F i si f 2 U� y F 2 U��:

(v) Ui (U��;�) � Ui (U��;�) :

(vi) Ud (U��;�) � Ud (U��;�) :

(vii) Si Ui (U��;�) [ Ui (U��;�) 6= ? el anulador a derecha de U es trivial.6

(viii) Si Ud (U��;�)[Ud (U��;�) 6= ? el anulador a izquierda de U es trivial.

Demostraci�on 2.21 (ia) ib) Si E 2 Ud (U��;�) ; a 2 U y f 2 U� es

hfa; Ei = hf; aEi = hf; �U (a)�Ei = hf; �U (a)i = ha; fi :

(ib) ic) a 2 U y f 2 U� tenemos

ha;Efi = hfa; Ei = ha; fi :

(ic) ia) Si f 2 U� y F 2 U�� resulta

hf; F�Ei = hEf; F i = hf; F i :

(ii) Es an�alogo a (i).

(iii) Trivial.

(iv) Trivial.

6Indicamos

anizq (U) = fx 2 U : xU = f0gg ; ander (U) = fx 2 U : Ux = f0gg

a los anuladores a izquierda y derecha de U respectivamente. Tambi�en escribiremos an (U)a la intersecci�on de ambos anuladores.

15

(v) Dados E 2 Ui (U��;�), F 2 U��, f 2 U� y a 2 U vemos que

ha; fEi = haf; Ei = h�U (a) f; Ei = hf; E��U (a)i = hf; �U (a)i = ha; fi ;

i.e. fE = f . Entonces

hf; E�F i = hfE; F i = hf; F i

y conclu��mos que E�F = F .

(vi) Es an�alogo a (v).

(vii) Sean E una unidad a izquierda para alguno de los productos de Arens,a 2 ander (U). Por (v) podemos suponer E 2 Ui (U��;�) y por (ii)(b)si f 2 U� es ha; fi = haf; Ei : Como af = 0 obtenemos ha; fi = 0 ysiendo f arbitraria a = 0:

(viii) Es an�alogo a (vii).

2.5. Representaciones de U�� en U�

Teorema 2.22 Sea U un �algebra normada compleja.

Proposici�on 2.23 (i) Hay representaciones naturales de (U��;�) y (U��;�)en U�, i.e. homomor�smos de �algebras

L : (U��;�) ! B (U�) y R : (U��;�) ! B (U�) ;

de modo que LU�

�� = LU�

� � LU� y RU�

�� = RU�

� RU�

� si �; 2 U��:

(ii) L (U��) ��LU (U)�

�c:

(iii) L (U��) =�LU (U)�

�csi y solo si Ud (U��;�) 6= ?:

(iv) R (U��) ��RU (U)�

�c:

(v) R (U��) =�RU (U)�

�csi y solo si Ui (U��;�) 6= ?:

(vi) L de�nir�a un homeomor�smo entre (U��;�) y�LU (U)�

�csi y solo si

(U��;�) es unitaria.

(vii) R de�nir�a un homeomor�smo entre (U��;�) y�RU (U)�

�csi y solo si

(U��;�) es unitaria.

(viii) L ser�a un isomor�smo isom�etrico de (U��;�) sobre�LU (U)�

�csi y

solo si la unidad de (U��;�) tiene norma uno.

16

(ix) R ser�a un isomor�smo isom�etrico de (U��;�) sobre�RU (U)�

�csi y solo

si la unidad de (U��;�) tiene norma uno.

(x) Dados �; 2 U��; L () ^ R (�) (i.e. ambos operadores conmutan enB (U�)) si y solo si (�a)� = �� (a) para todo a 2 U . En particular,esta condici�on se veri�ca si U fuere regular.

Demostraci�on 2.24 (i) Si � 2 U� hagamos L (�) = LU�

� y R (�) = RU�

� :Evidentemente L es lineal. Sean a 2 U , f 2 U�; �; 2 U��: Entonces

LU�

�� (f) (a) = ha; (��) fi= hfa;��i= h (fa) ;�i= h(f) a;�i= ha;� (f)i=�LU

�

� � LU��

(f) (a) ;

de modo que L es homomor�smo. La otra a�rmaci�on sigue an�aloga-mente.

(ii) Es inmediato.

(iii) Si�LU (U)�

�c � L (U��) existe E 2 U�� tal que IdU� = LU�

E : Dadosa 2 U , f 2 U� se tiene

hfa; Ei = ha;Efi = ha; fi

y E 2 Ud (U��;�) por la Prop. 2.20(i). Por otra parte sean dados

E 2 Ud (U��;�) y T 2�LU (U)�

�c:

Haciendo � = E � T tenemos � 2 U�� y T = L (�) : Precisamente, sig 2 U� y b 2 U tenemos

T (g) (b) = hT (g)b; Ei (por la Prop. 2.20(i))

= hT (gb) ; Ei (pues T 2�LU (U)�

�c)

= � (gb)

= hgb;�i= hb;�gi=�L (�) (g)

�(b) :

17

(iv) Es an�alogo a (ii).

(v) Es an�alogo a (iii).

(vi) La necesidad es evidente. Por otra parte, si E es unidad de (U��;�) ysi L (�) = 0U�� dado h 2 U� se tiene

hh;�i = hh;E��i = h�h;Ei = 0

pues �h = 0U� : Como L es lineal y continua y por (iii) es adem�as unasuryecci�on entre espacios de Banach la a�rmaci�on sigue del teorema dela funci�on abierta.

(vii) Es an�alogo a (vi).

(viii) Es claro que la condici�on es necesaria. Supongamos que (U��;�) tiene

unidad E de norma uno y dado T 2�LU (U)�

�csea � = L

�1(T ):

Entonces L�1(T ) = k�k

= sup�2[U�]1=1

jh�;�ij

= sup�2[U�]1=1

jh��;Eij (por la Prop. 2.20(iii))

= sup�2[U�]1=1

��L (�) (�) ; E��

= sup�2[U�]1=1

jhT (�) ; Eij

� sup�2[U�]1=1

kT (�)k

= kTk :

Luego L y L�1son ambas contractivas y por ello L es isom�etrica.

(ix) Sigue an�alogamente a (viii).

(x) Supongamos L () ^ R (�) para ciertos �; 2 U��: Dados a 2 U y

18

� 2 U� tenemos

h�; (�a)�i = h�;��U (a)i (5)

= h(�) �; �U (a)i=a;�R (�) � L ()

�(�)�

=a;�L () �R (�)

�(�)�

= h (��) ; �U (a)i= h��; �U (a)�i= h�;�� (a)i :

La a�rmaci�on rec��proca sigue an�alogamente como sigue observando (5).

3. �Algebras de Banach Arens regulares

3.1. Teorema de caracterizaci�on

Teorema 3.1 (Cf. [106]; [38]; [143]) Sea U un �algebra de Banach. Sonequivalentes:

(i) U es Arens-regular.

(ii) Si � 2 U�� la aplicaci�on L�� (�) = �� de�nida para � 2 U�� es(w�; w�)-continua.

(iii) Si 2 U�� la aplicaci�on R� (�) = �� de�nida para � 2 U�� es(w�; w�)-continua.

(iv) Si � 2 U� la aplicaci�on RU ,U�

� (a) = a� de�nida para a 2 U es d�ebilmentecompacta.

(v) Si � 2 U� la aplicaci�on LU ,U�

� (a) = �a de�nida para a 2 U es d�ebilmentecompacta.

(vi) (cf. [65]) Para cada par de sucesiones acotadas fang1n=1 y fbmg1m=1 deU se tiene

l��mn!+1

l��mm!+1

hanbm; �i = l��mm!+1

l��mn!+1

hanbm; �i

toda vez que los l��mites iterados est�an de�nidos para cada � 2 U�:

19

Demostraci�on 3.2 (i =) ii) Sean � 2 U��; f�igi2I una red en U�� que� (U��;U�)-converge a cero, � 2 U�: Entonces

0 = l��mi2Ih��;�ii

= l��mi2Ih�;��ii

= l��mi2Ih�;��ii

= l��mi2I

�; L�� (�i)

�:

(i) iii) �Idem a la anterior.(ii) iv) Fijemos � 2 U� y veamos que [U ]1 � es d�ebilmente compacta.

Sea f�ng1n=1 una sucesi�on de elementos de [U ]1 � y sea fang1n=1 � [U ]1 tal

que k�n � an�k < 1=n si n 2 N. Por el teorema de Banach-Alaoglu seanfnkg1k=1 � N in�nita y 2 U�� tales que

= � (U��;U�) - l��mk!1

�U (ank) :

Si � 2 U�� tenemos

hank�;�i = h�U (ank)�;�i= h�;��U (ank)i=�; L�� (�U (ank))

�!�; L�� ()

�si k !1:

Deducimos que � = � (U�;U��)� l��mk!1 ank�: Como para � 2 U�� y k 2 Nes

jh�nk ��;�ij � jh�nk � ank�;�ij+ jhank��;�ij� k�k =nk + jhank��;�ij ;

haciendo k !1 sigue que � = � (U�;U��)-l��mk!1 �nk :

(iii) v) �Idem a la anterior.(iv ) ii) Sean � 2 U��, fjgj2J una red en U�� que � (U��;U�)-converge

a cero. Veremos que � (U��;U�)-l��mj2J L�� (j) = 0U�� : Para ello, �jados

� 2 U� y j 2 J tenemos�; L�� (j)

�= h�;��ji (6)

= hj�;�i

=D�RU ,U

�

�

��(j) ;�

E=D

j;�RU ,U

�

�

��(�)E:

20

Como RU ,U�

� es d�ebilmente compacto,�RU ,U

�

�

��(U��) � �U� (U�) (cf. 13.33).

Sea � 2 U� tal que�RU ,U

�

�

��(�) = �U� (�) : En obtenemos

�; L�� (j)�

= hj; �U� (�)i = h�;ji

y entonces l��mj2J�; L�� (j)

�= 0:

(i) vi) Sean fang1n=1, fbmg1m=1 sucesiones acotadas de U de modo que

existen� = w�- l��m

n!+1�U (an) y = w�- l��m

m!+1�U (bm) :

La conclusi�on es inmediata ahora por la hip�otesis de Arens regularidad.(vi) i) Sigue de la Prop. 2.7(iii).(iv ) i) Dadas �; 2 U�� sean fa�g�2A y fb�g�2B redes acotadas en U

tales que � = w�-l��ma2A �U (a�) y = w�-l��mb2B �U (b�) : Si � 2 U� podemossuponer que hay una subred fb�g�2B1 y � 2 U

� tales que � = w-l��m�2B1 b��:En consecuencia

h�;��i = l��m�2A

l��m�2B

ha�b�; �i

= l��m�2A

l��m�2B1

ha�; b��i

= l��m�2A

ha�; �i

= h�;�i= l��m

�2B1hb��;�i

= l��m�2B

l��m�2A

ha�b�; �i

= h�;��i :

(v ) i) �Idem a la anterior.

Observaci�on 3.3 Por el Teorema 3.1 una forma lineal � 2 U� se dice d�ebil-mente casi peri�odica si el operador LU ,U

�

� es d�ebilmente compacto en cuyo caso

RU ,U�

� ; tambi�en lo ser�a. Indicaremos WAP (U) al conjunto de formas linealesd�ebilmente casi peri�odicas.7

3.2. Sub�algebras y cocientes de �algebras regulares

Corolario 3.4 Sea U un �algebra de Banach Arens regular.7V. [40].

21

(i) Toda sub�algebra de Banach V de U es Arens regular.

(ii) Todo cociente de U por un ideal bil�atero cerrado es Arens regular.

Demostraci�on 3.5 (i) Sea � 2 V� y veamos que RV;V�

� es d�ebilmente com-pacta. Para ello, sea j : V ,!U tal que j(x) = x para x 2 V. Porel teorema de Banach-Hahn existe � 2 U� tal que j� (�) = �. Si

a; x 2 V vemos que j� (a�) = a�. Luego [V]1 � � j��

[U ]1 ��: Por

el Teo. 13.61(i) y el Teorema 3.1, como [U ]1 � es convexo y U es Arensregular entonces [U ]1 � es d�ebilmente compacto. Como j� es (w�; w�)-

continua j��

[U ]1 ��deviene d�ebilmente compacto. Como la topolog��a

w� es se-parada obtenemos [V]1 �w� � j�

�[U ]1 �

�, i.e. [V]1 � es rela-

tivamente d�ebilmente compacto.

(ii) Sean I un ideal bil�atero cerrado de U , �I : U ! U=I la proyecci�on alcociente. Sean fsng1n=1 ; ftng

1n=1 sucesiones acotadas de U=I tal que

existen los l��mites iterados

l��mn!1

l��mm!1

hsntm; �i y l��mm!1

l��mn!1

hsntm; �i ;

con � 2 (U=I)�. Hay entonces sucesiones acotadas fang1n=1 y fbmg1m=1

tales que �I (an) = sn y �I (bm) = tm para cada n;m 2 N. En conse-cuencia, existen los l��mites iterados

l��mn!1

l��mm!1

hanbm; (�I)� (�)i y l��mm!1

l��mn!1

hanbm; (�I)� (�)i ;

los que deben ser iguales porque U es Arens regular. La conclusi�on sigueahora por el Teorema 3.1(vi).

4. Productos de Arens y aproximaciones de

la identidad

Proposici�on 4.1 Sea feigi2I una aproximaci�on acotada de la unidad a derecha(resp. a izquierda) de un �algebra de Banach U . Entonces (U��;�) adm��teunidad a derecha (resp. (U��;�) adm��te unidad a izquierda).

Demostraci�on 4.2 Por el teorema de Banach-Alaoglu, pasando eventual-mente a una subred existe �0 2 U�� tal que �0 = w�-l��mi2I �U (ei) : Sea 2 U��; digamos = w�-l��mj2J bj: Si � 2 U� tenemos

h�;��0i = l��mj2J

l��mi2Ihbjei; �i = l��m

j2Jhbj; �i = h�;i :

La otra a�rmaci�on se da an�alogamente.

22

Corolario 4.3 Sea U un �algebra de Banach munida de una aproximaci�onacotada de la unidad feigi2I : Entonces U�� tiene una unidad mixta, i.e. existeE 2 U�� tal que ��E = E�� = � para todo � 2 U��:

Lema 4.4 (cf. [2]) Sea U un �algebra de Banach munido de un abierto aco-tado U con la siguiente propiedad: Dados a 2 U y " > 0 existe u 2 U talque ka� uak < " (resp. ka� auk < "). Entonces U posee una aproximaci�onacotada de la unidad a izquierda (resp. a derecha).

Demostraci�on 4.5 Si a; b 2 U indicaremos a�b = a+b�ab. Dados " > 0 yF 2 Pf (U) con al menos dos elementos probaremos que existe w 2 U �U talque ka� wak < " para cada a 2 F: Para ello, supongamos U � B [0;M ] paracierto M > 0 y sean a1; a2 2 U elementos distintos: Sean u; v 2 U tales queka1 � ua1k < "=(1+M) y ka2 � ua2 � v (a2 � ua2)k < ": Haciendo w = v�utenemos

ka1 � wa1k = ka1 � (v + u� vu) a1k� ka1 � ua1k+ kv (a1 � ua1)k� ka1 � ua1k (1 + kvk)� ka1 � ua1k (1 +M)

< ";

ka2 � wa2k = ka2 � (v + u� vu) a2k< ":

Si n es un entero mayor que dos supongamos cierta la a�rmaci�on para sub-conjuntos �nitos de U con al menos dos pero no m�as de n elementos. Dadosa1; :::; an+1 2 U distintos y " > 0 sea z 2 U � U tal que

kaj � zajk < 2�1 (1 +M)�2 " si 1 � j � n:

Si m = m�ax f1=2;m�ax1�j�n kajkg sea t 2 U � U tal que kz � tzk < "= (2m)y kan+1 � tan+1k < "= (2m) : Si 1 � j � n tenemos

kaj � tajk � kaj � zajk+ kzaj � tzajk+ ktzaj � tajk

<"

2 (1 +M)2+"

2+ ktk "

2 (1 +M)2

� "

2 (1 +M)2�1 + 2M +M2

�+"

2

= ";

23

y kan+1 � tan+1k < " pues 2m � 1, i.e. vale el paso inductivo y sigue la a�r-maci�on. Sea Pf (U)� la clase de partes �nitas de U con al menos dos elemen-tos. Para (n; F ) 2 N�Pf (N)� sea u(n;F ) 2 U �U tal que

a� au(n;F ) < n�1

para cada a 2 F: Ciertamente�u(n;F )

(n;F )2N�Pf (N)�

de�ne una aproximaci�on

acotada a izquierda de la unidad si para (n1; F1) ; (n2; F2) 2 N�Pf (N)� hace-mos (n1; F1) � (n2; F2) si y solo si n1 � n2 y F1 � F2: La otra a�rmaci�onsigue en forma an�aloga.

Proposici�on 4.6 (cf. [37]) Un �algebra de Banach U munida de una unidadmixta tiene aproximaci�on acotada de la identidad.

Demostraci�on 4.7 Sea E unidad mixta de U , digamos E = w�-l��ms2� �U(as)para cierta red acotada fasgs2� de U . Si b 2 U tenemos

�U(b) = �U (b)�E = �U(b) = w�- l��ms2�

(bas) :

Luego el conjunto U = co�fasgs2�

�es acotado y b 2 Ub

w: Por el Teo.

13.61(i) sigue que b 2 Ub y por el Lema 4.4 U posee una aproximaci�onacotada feigi2I de la unidad a izquierda. Asimismo U posee tambi�en unaaproximaci�on acotada ffjgj2J de la unidad a derecha. Finalmente, es f�acilver que la red f� (fj � ei)g(i;j)2I�J es una aproximaci�on acotada de la unidadde U .

5. Productos de Arens en �algebras duales

Teorema 5.1 89(Cf. [49]) Sea U un �algebra de Banach dual con predual U�,i.e. U� es un U-subm�odulo cerrado U� de U� tal que (U�)� � U , donde � indicaisomor�smo de espacios de Banach. Entonces U�� Un (U�)o, donde U�� seconsidera con cualquiera de los productos de Arens, i.e. U�� se realiza como elproducto semidirecto de la sub�algebra de Banach U y del ideal cerrado (U�)o :Adem�as, si �U� : U� ,! (U�)�� es la inmersi�on isom�etrica natural entonces(�U�)

� : U�� ! U es un epimor�smo.

Demostraci�on 5.2 Si � 2 U�� podemos escribir

� = [�� U ((�U�)� (�))] + �U((�U�)

� (�)):

8Palabras clave: �Algebras de Banach duales. Preduales. Productos semidirectos. Radicalde Jacobson.

9V. [35].

24

Notemos que (�U�)� � �U = IdU . En efecto, si a 2 U y � 2 U� tenemos

h�; ((�U�)� � �U) (a)i = h(�U�) (�) ; �U (a)i

= ha; (�U�) (�)i= h�; ai :

Es inmediato entonces que (�U�)� es suryectivo y U�� = ker [(�U�)

�]M

�U (U) :

M�as a�un, notar que ker [(�U�)�] = (�U� (U�))o : En consecuencia, todo elemento

� 2 U�� determina �unicas componentes a� 2 U y �0 2 (�U� (U�))o de modoque � = �U (a�) + �0: Si adem�as 2 U�� habr�a de ser entonces

�� = �U (a�a) + [�0�0 + �0a + a�0] : (7)

Ahora,

(�U�)� (�U (a�)��U (a)) = (�U�)

� (�U (a�a)) (8)

= a�a

= (�U�)� (�U (a�)) (�U�)

� (�U (a)) :

Notando que �U� es un homomor�smo de U-m�odulos tambi�en lo es (�U�)�. En

consecuencia,

(�U�)� (�0��U (a)) = (�U�)

� (�0a) (9)

= (�U�)� (�0) a = 0

y an�alogamente

(�U�)� (�U (a�)�0) = a� (�U�)

� (0) = 0: (10)

Adem�as, si �0 = � (U��;U�)� l��ma2A �U (a�) y � 2 U� entonces

h�; (�U�)� (�0�0)i = h�U� (�) ;�0�0i (11)

= h0�U� (�) ;�0i= l��m

�2Ah0�U� (�) ; �U (a�)i

= l��m�2A

h�; (�U�)� (�U (a�)�0)i = 0:

De (7), (8), (9), (10) y (11) deducimos que (�U�)� es un homomor�smo al-

gebraico y sigue la tesis.

Corolario 5.3 (i) (�U�)� [rad (U��;�)] � rad (U) :

25

(ii) Si U es semisimple entonces rad (U��;�) � (�U� (U�))o.

Demostraci�on 5.4 (i) Si � 2 rad (U��;�) veremos que U�a � c� Inv (U)donde a , (�U�)

� (�) : Sean b 2 U y 2 U�� tal que b = (�U�)� () :

Como U�� c� Inv (U��) existe � 2 U�� tal que

�� (��) = (��)�� = � + ��: (12)

Si c , (�U�)� (�), como (�U�)

� es un homomor�smo de (12) obtenemos

c (ba) = (ba) c = c+ ba;

i.e. ba es cuasi-inversible y c es el correspondiente elemento cuasi-inverso. En consecuencia, a 2 rad (U) :

(ii) Es inmediato.

Ejemplo 5.5 Si X es un conjunto in�nito las �algebras de Banach U,lp (X),1 � p < 1, con el producto coordenada a coordenada son Arens-regulares.Esto es inmediato si 1 < p < 1 ya que entonces se trata de �algebras re e-xivas. Por otra parte, con la notaci�on del Teorema 5.1, U� , c0 (X) : Cier-tamente U� es un U-subm�odulo cerrado de U� � l1 (X) : Bastar�a ver que entoda expresi�on como en (7) se tiene �0�0+�0a+a�0 = 0; y puesto queU es abeliana ser�a en consecuencia Arens-regular. Precisamente, tenemos�0 2 l1 (X)� tal que �0 jc0(X)= 0 y a 2 l1 (X) : Si � 2 l1 (X) tenemos

h�;�0ai = ha�;�0i = 0

pues a� 2 l1 (X) y l1 (X) ,! c0 (X) : An�alogamente, a�0 = 0: Adem�as,para cierta red fb�g�2B de l1 (X) podemos representar �0 en la forma

�0 = � (l1 (X)� ; l1 (X))� l��m�2B

�l1(X) (b�) ;

de modo que

h�;�0�0i = h0�;�0i= l��m

�2Bhb�;0�i

= l��m�2B

h�; b�0i = 0:

26

6. Cuando �U(U) es ideal en el espacio bidual

6.1. Teorema de Watanabe

Teorema 6.1 (cf. [135])1011 Sea U un �algebra de Banach. Entonces �U (U)es ideal a izquierda de (U��;�) si y solo si Ra es d�ebilmente compacta paracada a 2 U .

Demostraci�on 6.2 ()) Fijado a 2 U sea fyng1n=1 � Ra [U ]1w: Por el Teo.

13.61(i) para cada n 2 N sea xn 2 [U ]1 tal que kyn � xnak < 1=n:Por el teorema de Banach-Alaoglu, existen � 2 U�� y una subsucesi�onfnkg1k=1 de manera que � = w�-l��mk!1 �U (xnk) : Por hip�otesis, existeb 2 U tal que ��U (a) = �U (b) : Por lo tanto si � 2 U� tenemos

hb; �i = h�;��U (a)i= ha�;�i= l��m

k!1hxnk ; a�i

= l��mk!1

hxnka; �i

= l��mk!1

hynk ; �i ;

o bien b = w-l��mk!1 ynk y la condici�on es necesaria.

(() Sean � 2 U��, c 2 U . Existe una red acotada fzsgs2� en U tal que� = w�-l��ms2� �U (zs) : Por hip�otesis hay una subred fzs1cgs12�1 y alg�unelemento d 2 U tales que d = w-l��ms12�1 (zs1c) : Si � 2 U� tenemosentonces

h�;��U (c)i = hc�;�i= l��m

s12�1hzs1 ; c�i

= l��ms12�1

hzs1c; �i

= hd; �i= h�; �U (d)i ;

i.e. ��U (c) = �U (d) y sigue la tesis.

Observaci�on 6.3 Con el mismo razonamiento, se deduce que U es idealbil�atero de U�� si y solo si U es d�ebilmente compacta, i.e. si y solo si La; Rbson d�ebilmente compactas cualesquiera sean a; b 2 U .10Palabras clave: Formas lineales casi peri�odicas. Operadores d�ebilmente compactos.11V. [47], [60].

27

Corolario 6.4 Sean U un �algebra de Banach, W una sub�algebra cerrada e Iun ideal cerrado. Si �U (U) es ideal a izquierda en (U��;�) entonces �W (W)e �U=I (U=I) son ideales a izquierda en (W��;�) y en ((U=I)�� ;�) respecti-vamente.

Demostraci�on 6.5 Fijemos a 2 W y � 2 U=I: Veremos que RWa y RU=I�

son d�ebilmente compactos. Por el Teorema de Eberlein-Smulian bastar�a verque si fxng1n=1 y f�mg

1m=1 son sucesiones acotadas en W y U=I las suce-

siones fxnag1n=1 y f�m�g1m=1 tienen alg�un punto de d�ebil acumulaci�on. En

efecto, fxng1n=1 es acotada en U y como RUa es d�ebilmente compacta hay unasubsucesi�on fnkg1k=1 tal que existe b = w-l��mk!1 (xnka) en U . Como W esd�ebilmente cerrado, b 2 W. Ahora, si p : U ! U=I es la proyecci�on al co-ciente podemos hallar una sucesi�on acotada fymg1m=1 tal que p (ym) = �mpara todo m 2 N. Sean tambi�en z 2 U tal que p (z) = � e fymh

g1h=1 unasubsucesi�on de fymg1m=1 de manera que existe t = w-l��mh!1 (ymh

z) : Final-mente, dada � 2 (U=I)� se tiene p� (�) 2 Io (V. Prop. 12.38(viii)), comoIo � U� y p es un homomr�smo escribimos

hp(t);�i = l��mh!1

hymhz; p� (�)i = l��m

h!1h�mh

�;�i ;

o sea p(t) = w-l��mh!1 (�mh�) :

6.2. Aplicaci�on a formas lineales casi peri�odicas

Teorema 6.6 (V. [131], Th. 3.1) Sea U un �algebra de Banach con aproxi-maci�on acotada feigi2I de la identidad e indiquemos

l (U�) =�f 2 U� : f 2 feifgw-aci2I

;

Entonces:

(i) l (U�) = UU�.

(ii) WAP (U) � l (U�) 12.

(iii) Si �U(U) es ideal a izquierda de (U��;�) entonces WAP (U) = l (U�) :

Demostraci�on 6.7 (i) Por el teorema de Cohen UU� es cerrado en U�:Luego por el teorema de Mazur sigue la inclusi�on � . Adem�as si a 2 U ,f 2 U� e i 2 I resulta

kei (af)� afk = k(eia) f � afk = k(eia� a) fk � keia� ak kfk ;

y sigue enseguida que af 2 l(U�):12V. la Observaci�on 3.3.

28

(ii) Si f 2 WAP (U) hay alguna subred fejgj2J de feigi2I tal que para ciertog 2 U� es g = w-l��mj2J (ejf) : Luego g = w�-l��mj2J (ejf) y por ellog = f , de donde f 2 l (U�) :

(iii) Sean dados a 2 U y f 2 U�. Si �U(U) es ideal a izquierda de (U��;�) porel Teorema 6.1 Ra es w-compacto. Adem�as la aplicaci�on R

U ;U�f (x) = xf

de U en U� es de tipo (w;w), de modo que

[U ]1 (af)w

= ([U ]1 a) fw

= Ra ([U ]1) fw

� Ra ([U ]1)wfw

= RU ;U�

f

�Ra ([U ]1)

w�w

= RU ;U�

f

�Ra ([U ]1)

w�

y deducimos que [U ]1 (af) es d�ebilmente relativamente compacto, i.e.af 2 WAP (U) :

Corolario 6.8 Si U es �algebra de Banach con aproximaci�on acotada de launidad tal que �U (U) es ideal bil�atero de (U��;�) resulta UU� = U�U . Siadem�as U fuere regular ser�a U� = UU� = U�U .

6.3. Respecto al �algebra de operadores aproximables

Teorema 6.9 (cf. [135], Th. 4)Sea A (X) el �algebra de operadores linealesacotados uniformemente aproximables por operadores de rango �nito sobreun espacio de Banach X. Son equivalentes:

(i) X es re exivo.

(ii) �A(X) (A (X)) es ideal bil�atero de (A (X)�� ;�) :

(iii) �A(X) (A (X)) es ideal a izquierda de (A (X)�� ;�) :

(iv) �A(X) (A (X)) es ideal a derecha de (A (X)�� ;�) :

Demostraci�on 6.10 (i) ii) Sean x 2 X; x� 2 X�; � 2 A (X)�� : Hay en-tonces una red acotada fTigi2I en A (X) tal que � = w�-l��mi2I �A(X) (Ti) :Entonces

��A(X) (x� x�) = w�- l��mi2I

�A(X) (Ti)��A(X) (x� x�) (13)

= w�- l��mi2I

�A(X) (Ti � (x� x�))

= w�- l��mi2I

�A(X)((Ti(x)� x�) :

29

Como fTi (x)gi2I es acotado en X y X es re exivo hay una subred�Tij (x)

j2J tal que

y = w � l��mj2J

Tij (x)

para cierto y 2 X (V. [21], Th. 4.2). Dado � 2 A (X)� consideremosla forma lineal continua z ! � ((z � x�)) en X�. Por (13) tenemos

�;��A(X) (x� x�)�

= l��mi2Ih(Ti(x)� x�) ; �i

= l��mj2J

��Tij(x)� x�

�= � (y � x�)

=�; �A(X) (y � x�)

�;

i.e. ��A(X) (x� x�) = �A(X) (y � x�) e �A(X) (A (X)) es ideal a izquier-da. Adem�as

�A(X) (x� x�)�� = w�- l��mi2I

�A(X) (x� x�)��A(X) (Ti) (14)

= w�- l��mi2I

�A(X) ((x� x�) � Ti)

= w�- l��mi2I

�A(X) (x� T �i (x�)) :

Puesto que X� resulta re exivo y fT �i (x�)gi2I es acotado en X� hayalguna sebred

�T �ik (x�)

k2K d�ebilmente convergente a alg�un y� 2 X�

(V. [21], Th. 4.2). Si � 2 A (X)� consideramos ahora la forma linealcontinua z� ! � (x� z�) en X�� y por (14) escribimos

�; �A(X) (x� x�)��

= l��mi2Ihx� T �i (x�); �i

= l��mk2K

��x� T �ik(x

�)�

= � (x� y�)

=�; �A(X) (x� y�)

�;

i.e. �A(X) (x� x�)�� = �A(X) (x� y�) e �A(X) (A (X)) es ideal a derecha.

(ii) iii) Evidente.

(ii) iv) Evidente.

(iii) i) Sea G 2 X�� y �jemos x0 2 X, x�0 2 X� tales que hx0; x�0i = 1:Si � 2 A (X)� y x 2 X escribiremos �# (x) = hx� x�0; �i ; con lo cual�# 2 X�: As�� si G# (�) =

�#; G

�vemos que G# 2 A (X)�� y por

30

hip�otesis existe T 2 A (X) tal que G#��A(X) (x0 � x�0) = �A(X) (T ) : Esf�acil ver que Z = fx� x�0 : x 2 Xg es subespacio cerrado de A (X). Sifuere T =2 Z por el teorema de Banach-Hahn habr��a alg�un � 2 A (X)�

tal que � (Z) = f0g y

0 6= hT; �i (15)

=�;G#��A(X) (x0 � x�0)

�=�A(X) (x0 � x�0)�;G

#�

=(x0 � x�0)�;G

#�:

Pero si S 2 A (X) vemos que

hS; (x0 � x�0)�i = hS (x0 � x�0) ; �i = hS (x0)� x�0; �i = 0;

i.e. (x0 � x�0)� = 0A(X)� ; por lo que (15) no es posible. Existe entoncesy0 2 X tal que T = y0 � x�0; de modo que

hy0 � x�0; �i =�;G#��A(X) (x0 � x�0)

�(16)

=�A(X) (x0 � x�0) �;G

#�

= G# ((x0 � x�0) �)

=D

[(x0 � x�0) �]# ; GE

para todo � 2 A (X)� : Dado x� 2 X� el funcional �x� : Z ! C talque �x� (x� x�0) = hx; x�i puede extenderse, por el teorema de Banach-Hahn, a un funcional �x� 2 A (X)� : Adem�as si x 2 X es

[(x0 � x�0) �x� ]# (x) = hx� x�0; (x0 � x�0) �x�i

= h(x� x�0) � (x0 � x�0) ;�x�i= hx� x�0;�x�i= hx� x�0; �x�i= hx; x�i ;

i.e. [(x0 � x�0) �x� ]# = x�: Por (16) resulta

hx�; Gi =D

[(x0 � x�0) �x� ]# ; G

E= hy0 � x�0;�x�i= hy0 � x�0; �x�i= hy0; x�i ;

o bien G = �X (y0) y X es re exivo.

31

(iv ) i) Fijemos x0 2 X, x�0 2 X� tales que hx0; x�0i = 1. Si M 2 X�� y� 2 A (X)� sea �[ 2 X��, �[ (x�) = hx0 � x�; �i : Hagamos tambi�enM [ 2 A (X)�� de modo que M [ (�) =

�[;M

�: Por hip�otesis existe

S 2 A (X) tal que �A(X) (x0 � x�0)�M [ = �A(X) (S) : En analog��a a lademostraci�on anterior, ser�a S = x0 � y�0 para cierto y

�0 2 X� y se

concluir�a luego que X� es re exivo.

6.4. Respecto al �algebra L1 (G)

Proposici�on 6.11 (Cf. [134], Prop. 4.1) Sea G un grupo localmente com-pacto. Si �L1(G) (L1 (G)) es ideal bil�atero en (L1 (G)�� ;�), G es compacto.

Demostraci�on 6.12 Si G fuere no compacto mG (G) = +1, donde mG esla medida de Haar de G (cf. [73], x15, Th. 15.9). Por la regularidad de lamedida de Haar existe C1 � G compacto tal que mG (C1) > 1: Si n 2 N>1y suponemos hallados conjuntos compactos disjuntos C1; ; ; ; ; Cn�1 de medidamayor que uno, como G�[n�1i=1 Ci es abierto de medida in�nita nuevamentepor la regularidad de la medida existir�a un compacto Cn contenido en esteconjunto con medida mayor que uno. Queda de�nida as�� una sucesi�on dis-junta in�nita fCig1i=1 de compactos de medida mayor que uno. Si n 2 Nindicaremos C(n) = [ni=1Ci; y sea C = [1i=1Ci. Entonces cada C(n) es com-pacto y C es �-compacto. Por hip�otesis, si � 2 L1 (G)�� existe y 2 L1(G) talque ��L1(G) (�C1) = �L1(G) (y) : Si n 2 N tenemosD

y; �C(n)�C1

E=D�C(n)�C1 ;��L1(G) (�C1)

E=D�C1�C(n)�C1 ;�

E: (17)

Adem�as y�C(n)�C1 ! y�C�C1 en todo punto y��y�C(n)�C1�� jyj en casi todo

punto. Por el teorema de convergencia mayorada de Lebesgue de (17) resulta

l��mn!1

D�C1 � �C(n)�C1 ;�

E= hy; �C�C1i

=�C�C1 ;��L1(G) (�C1)

�= h�C1 � �C�C1 ;�i ;

i.e. �C1 � �C�C1 = w-l��mn!1 �C1 � �C(n)�C1 : En general, dados x; z 2 L1(G) yf 2 L1 (G) podemos aplicar el teorema de Fubini y as��

hz; xfi = hz � x; fi

=

ZG

�ZG

z (s)x�s�1t

�dmG(s)

�f(t)dmG(t)

=

ZG

z (s)

�ZG

x�s�1t

�f(t)dmG(t)

�dmG (s) :

32

Luego en casi todo punto s 2 G resulta

(xf) (s) =

ZG

x�s�1t

�f(t)dmG(t) (18)

=

ZG

x (u) f (su) dmG (u) :

M�as a�un, vemos que

j(xf) (s)� (xf) (u)j =

��ZG

�x�s�1t

�� x

�u�1t

��f(t)dmG(t)

�� (19)

� kfk1ZG

��x (v)� x�u�1sv

�� dv= kx�u�1s xk1 kfk1 :

Por la continuidad de la aplicaci�on v !v x de G en L1(G) por (19) deducimos

que xf 2 Cb (G). Adem�as por (18) dado s 2 C resulta

(�C1�C�C1) (s) =

ZC1

�C�C1 (su) dmG(u) = mG (C1) > 1:

En consecuencia �C1�C�C1 =2 C0(G) pues C, teniendo medida in�nita, noest�a contenido en compacto alguno. Por otra parte, si n 2 N por (18) clara-mente �

�C1 � �C(n)�C1�

(s) =

ZC1

�C(n)�C1 (su) dmG (u) = 0

si s =2 C(n) �C1 �C�11 ; i.e. �C1 � �C(n)�C1 2 C0 (G) : Pero �C1 � �C�C1 2 C0(G)w

y por el teorema de Mazur, siendo C0(G) cerrado, �C1 � �C�C1 2 C0(G) encontradicci�on con lo anterior.

7. Respecto a �algebras de operadores

Teorema 7.1 1314(cf. [78], Lemma 2) Sean E;F espacios de Banach. Si Ftiene una aproximaci�on m-acotada de la identidad hay un isomor�smo deB (E;F ) en K (E;F )�� ; el que ser�a isom�etrico si m = 1; que extiende a�K(E;F ):

13Palabras clave: Aproximaciones m-acotadas de la identidad.14Respecto a semiregularidad de �algebras de operadores compactos v. [63]. Por condi-

ciones de regularidad de �algebras de operadores v. [32]; respecto a bidualidad y regularidadde cocientes del �algebra de Fourier v. [57], [59]. Respecto a regularidad de �algebras de o-peradores recomendamos consultar [34] y [33].

33

Demostraci�on 7.2 Sea faigi2I una aproximaci�on m-acotada de la identi-dad de F: Pasando eventualmente a una sebred, por el teorema de Alaogluexiste 2 K (F )�� tal que

= w� � l��mi2I

�K(F ) (ai) :

Dados t 2 B (E;F ) y � 2 K (E;F )� sea ft;� (c) = � (ct) ; c 2 K (F ) : Entoncesft;� 2 K (F )� y escribiremos

� (t) (�) , hft;�;i = l��mi2Ihai; ft;�i = l��m

i2I� (ait) : (20)

Claramente (20) de�ne una aplicaci�on lineal � (t) : K (E;F ) ! C. Comopara i 2 I se tiene

j� (ait)j � k�k kaitk � k�k kaik ktk � m k�k ktk

es j� (t) (�)j � m k�k ktk, i.e. � (t) 2 K (E;F )�� y

k� (t)k � m ktk : (21)

Asimismo, � es C-lineal y deviene acotada. Ahora, si x 2 [E]1, y� 2 [F �]1 y

k 2 K (E;F ) sea � (k) = y� (k (x)). As�� 2 [K (E;F )�]1 y

jy� (t(x))j =

��l��mi2I y� ((ait) (x))

�� (22)

=

��l��mi2I � (ait)

��= j� (t) (�)j� k� (t)k :

Por (22) obtenemos

ktk = supx2[E]1

kt(x)k = supx2[E]1

supy�2[F �]1

jy� (t(x))j � k� (t)k : (23)

De (21) y (23), t es isom�etrica si m = 1: Finalmente, si t 2 K (E;F ) esinmediato que kait� tk ! 0 en K (E;F ) y por (20) si � 2 K (E;F )� es

� (t) (�) = � (t) =�; �K(E;F ) (t)

�;

o sea � (t) = �K(E;F ) (t) :

34

Observaci�on 7.3 Si E = F la aplicaci�on � : B (E) ,! K (E)�� no es,en general, un homomor�smo de �algebras. P. ej., con la notaci�on usual, siE = l1 (N) sea b = e1 � u con u = (1; 1; :::) en l1 (N) y si n 2 N hagamos

an =nXj=1

ej � ej; cn = e1 � en:

Como dist�b; hcnin2N

�� 1 por el teorema de Banach-Hahn existe f 2 K (E)�

tal que f (b) = 1 y f(cn) = 0 si n 2 N. Como IdE = s-l��mn!1 an, por el teo-rema de acotaci�on uniforme fang1n=1 es acotada en K (E). Por el teorema deAlaoglu hay una subsucesi�on fnkg1k=1 de forma que I = w�-l��mk!1 �K(E)(ank)para cierto I 2 K (E)�� : Entonces I = � (IdE) y adem�as

hf;� (b)�� (IdE)i = hf;� (b)�� (IdE)i= hIf;� (b)i= l��m

k!1hankb; Ifi

= l��mk!1

hf (ankb) ; Ii

= hfb; Ii= l��m

k!1hank ; fbi

= l��mk!1

hbank ; fi

= l��mk!1

*nkXj=1

(e1 � u) (ej � ej) ; f

+

= l��mk!1

*nkXj=1

e1 � ej; f

+= 0:

Por otra parte,

hf;� (b)i = l��mk!1

hankb; fi = hb; fi = 1;

de donde sigue la a�rmaci�on.

Teorema 7.4 (cf. [72], Th. 4.1, 4.2, 4.3) Sea E espacio de Banach de modoque K (E) tiene aproximaci�on d�ebil m-acotada de la unidad faigi2I y w�-conver-gente en K (E)��, digamos A = w�-l��mi2I �K(E) (ai) :

(i) Hay una inmersi�on � : B (E) ! K (E)��, que extiende a �K(E), la que esisom�etrica si hay alguna subred

�aijj2J tal que

aij ! 1:

35

(ii) Si s 2 B(E), t 2 K (E) ; ftjgj2J es una red de K (E) tal que

t = wot- l��mj2J

tj y � (s) = w�- l��mj2J

�K(E) (tj) (24)

entonces s = t:

(iii) � : B (E) ! (K (E)�� ;�) es un homomor�smo.

(iv) Dado F 2 K (E)��, F 2 ran (�) si y solo si

� (IdE)�F = F y [i2I faiF; Faig � �K(E) (K (E)) : (25)

Demostraci�on 7.5 (i) Si t 2 B (E) y f 2 K (E)� sea

ft (c) = f (ct) si c 2 K (E) : (26)

Como ft 2 K (E)� existe

� (t) (f) , hft; Ai = l��mi2I

f (ait) ; (27)

� es C-lineal y j� (t) (f)j � m ktk kfk, i.e.

� (t) 2 K (E)�� y k� (t)k � m ktk :

Como faigi2I es aproximaci�on d�ebil y acotada de la unidad de K (E) ;de (27) sigue enseguida que � extiende a �K(E): Si x 2 [E]1 ; x

� 2 [E�]1sea c 2 [K (E)]1 tal que c (x) = x: Si i 2 I tenemos

x� (ai (x)) = x� ((aic) (x)) = gx;x� (aic) ;

donde gx;x� (k) , x� (k (x)) si k 2 K (E) : Como gx;x� 2 K (E)� deduci-mos que

x� (x) = x� (c (x)) = gx;x� (c) = l��mi2I

gx;x� (aic) = l��mi2I

x� (ai (x)) ; (28)

o seax = w- l��m

i2Iai (x) en E: (29)

Reemplazando x por t (x) en (28) resulta

x� (t (x)) = l��mi2I

x� (ai (t (x)))

= l��mi2I

x� ((ait) (x))

= l��mi2I

gx;x� (ait)

= � (t) (gx;x�) ;

y como gx;x� 2 [K (E)]1 entonces jx� (t (x))j � k� (t)k : Inferimos as�� quektk � k� (t)k y sigue enseguida la a�rmaci�on.

36

(ii) Con la notaci�on anterior, sean x 2 E; x� 2 E�: Entonces

x� (t (x)) = gx;x� (t)

= l��mj2J

gx;x� (tj) (por (24))

= l��mj2J

gx;x� ; �K(E) (tj)

�= � (s) (gx;x�) (por (24))

= l��mi2I

gx;x� (ais) (por (27) con t = s y f = gx;x�)

= l��mi2I

x� (ai (s (x)))

= x� (s (x)) (por (29),

de donde sigue la a�rmaci�on ya que x y x� son cualesquiera.

(iii) Sean s; t 2 B (E), f 2 K (E)�, b 2 K (E) : Entonces

hb; � (t) fi = hfb; � (t)i (30)

= l��mi2Ihait; fbi

= l��mi2Ihb (ait) ; fi

= l��mi2Ih(bai) t; fi

= l��mi2I

ft (bai) (por (26))

= ft (b)

= f (bt) :

Finalmente, usando (30) es

hf; � (s)�� (t)i = h� (t) f; � (s)i= l��m

i2Ihais; � (t) fi

= l��mi2I

f ((ais) t)

= l��mi2I

f (ai (st))

= hf; � (st)i :

(iv) Por (iii), puesto que � extiende a �K(E) y K (E) es ideal bil�atero deB (E) la condici�on es necesaria. Rec��procamente, sea F 2 K (E)�� yasumamos (25). Si f 2 K (E)�, como � (IdE) = w�-l��mi2I �K(E) (ai) ylos productos de Arens son w�-lateralmente continuos tendremos

hf; F i = hf; � (IdE)�F i = l��mi2Ihf; aiF i : (31)

37

Si fuere F = � (t) para cierto t 2 B (E) ser��a tambi�en

hf; F i = l��mi2Ihait; fi = l��m

i2I

f; �K(E) (ait)

�: (32)

De (31) y (32) bastar��a que aiF = �K(E) (ait) para todo i 2 I: Porhip�otesis, �jado i 2 I existen bi; ci 2 K (E) tales que �K(E) (bi) = aiF e�K(E) (ci) = Fai: Deber��a ser entonces bi = ait, y por (29) obtendr��amos

T (aj (x)) = w- l��mi2I

bi (aj (x)) , j 2 I; x 2 E: (33)

El l��mite en (33) efectivamente existe: Para i; j 2 I, x 2 E y x� 2 E�es

x� (bi (aj (x))) = gaj(x);x� (bi) =gaj(x);x� ; �K(E) (bi)

�=gaj(x);x� ; aiF

�:

(34)De (31) y (34) obtenemos

l��mi2I

x� (bi (aj (x))) = l��mi2I

gaj(x);x� ; aiF

�=gaj(x);x� ; F

�:

Por (29) el subespacio V = haj (x)ij2I;x2E es w-denso en E: Extende-mos T linealmente para v 2 V mediante T (v) = w-l��mi2I bi (v) : Comopara i 2 I y v 2 V es

kbi (v)k � kbik kvk � kaik kFk kvk � m kFk kvk ;

T es acotado sobre V . Como por el Teorema 13.61 V es denso en Eentonces T se extiende naturalmente a un elemento T 2 B (E) : Ahorasi i 2 I,

w�- l��mj2I

�K(E)(bjai) = w�- l��mj2I

[(ajF ) ai]

= w�- l��mj2I

[aj (Fai)]

= � (IdE)� (Fai)

= [� (IdE)�F ] ai

= Fai

= �K(E) (ci)

= � (ci) ;

y por (33) tai = wot-l��mj2I (bjai) : Por (ii) deducimos que ci = taipara cada i 2 I: M�as a�un, si i; j 2 I tenemos bjai = ajci pues � esasociativo e �K(E) es un homomor�smo. Luego si x 2 E resulta

(ajt) (ai (x)) = (ajci) (x) = (bjai) (x) = bj (ai (x)) :

38

As�� ajt y bj coinciden sobre V y podemos concluir que ajt = bj.1516

8. Relaciones con dobles centralizadores

Si1718 U es un �algebra asociativa compleja indicaremos D (U) al �algebra decentralizadores dobles, i.e. D (U) consiste de los pares de aplicaciones lineales(L;R) de U en U tales que xL(y) = R(x)y;

L(xy) = L(x)y y R(xy) = xR(y) (35)

para todo x; y 2 U . En particular, L y R se dicen centralizadores a izquierday derecha de U si satisfacen las condiciones de (35) respectivamente. P. ej.,(Lx; Rx) 2 D (U) donde Lx (y) = xy y Rx(y) = yx si x; y 2 U . Con laestructura natural, D (U) es un espacio vectorial complejo. M�as a�un, D (U) esun �algebra compleja si para (L1; R1), (L2; R2) 2 D (U) de�nimos su productoen D (U) como

(L1; R1) (L2; R2) = (L1 � L2; R2 �R1) :

Si U es un �algebra normada escribiremos DB (U) a la clase de centralizadoresdobles (L;R) 2 B(U)� B(U), munida de la norma

k(L;R)k = m�ax fkLk ; kRkg :

Si ambos anuladores19 de U fueren nulos todo par (L;R) de funciones deU en U tales que xL(y) = R(x)y si x; y 2 U ser�a un centralizador doble(V. [102], Th. 1.2.4(a)). Si adem�as U fuere un �algebra de Banach por el

15Si X es espacio de Banach tal que B (X) es regular, X ha de ser re exivo (v. [143], p.107). Si G fuere un grupo localmente compacto hay un espacio de Banach re exivo X talque L1 (G) es isom�etricamente isomorfo a una sub�algebra de B (X) (v. [143], Th. 4). LuegoB (X) podr��a no ser regular a�un cuando X no sea re exivo y el bidual de �algebras regularespodr��a no ser regular (v. [143], Corollaries 1-2). La determinaci�on de qu�e espacios re exivosX son los que B (X) es regular es un problema delicado (v. [34], [33]), la respuesta requierede la noci�on de super-re exividad (cf. [76]). En [143] se ve asimismo que si X es re exivotoda sub�algebra cerrada de K (X) es regular y, si U es un �algebra de Banach regular existeX espacio de Banach re exivo tal que U es isom�etricamente isomorfa a una sub�algebra deK (X) :16Si X es espacio de Banach re exivo l�as �algebras de Banach X bX�, N (X) ; K (X) y

A (X) son regulares (cf. [143], [132], [101]).17Palabras clave: Centralizadores dobles. Anuladores a izquierda y derecha de un �alge-

bra. Unidades mixtas. Idealizadores.18V. [88], [137], [138], [29], [95], [96], [128], [127], [35], [136].19Respecto a anuladores ver la nota en el Teorema 2.20(viii)..

39

teorema de gr�a�co cerrado tendremos DB (U) = D (U), y D (U) es �algebrade Banach unitaria (V. [102], Th. 1.2.4(b)): En particular, queda de�nidoun homomor�smo natural de �algebras h : U ! D (U), h (x) = (Lx; Rx) paracada x 2 U . Notar que ker (h) = an (U) : Si U fuere una �-�algebra tambi�enlo ser�a D (U) si hacemos

(L;R)� = (RC; L/) si (L;R) 2 D (U) ;

donde en general T / (x) = T (x�)� para T 2 L (U) y x 2 U .20

Teorema 8.1 Si U es �-�algebra de Banach DB (U) es isom�etricamente �-isomorfa a sendas sub�algebras cerradas de D ((U��;�)) y de D ((U��;�)) :

Demostraci�on 8.2 Sea D : D(U) !D ((U��;�)), D((L;R)) = (L��; R��) :Dadas �; 2 U��; � 2 U� y x 2 U es f�acil ver que �R(x) = L� (�x)en U�: Luego R� (�) = L�� ()� y por lo tanto R�� (�)� = ��L�� () :Asimismo es f�acil ver que L�� y R�� son centralizadores a izquierda y derechade (U��;�) respectivamente. Inferimos que (L��; R��) 2 D ((U��;�)) y Dest�a bien de�nido. Es inmediato que D es homomor�smo isom�etrico de �alge-bras y es �-homomor�smo, lo que seguir�a si probamos que (TC)�� = (T ��)C

cuando T 2 B (U) : En efecto, con la notaci�on anterior tenemos�; (T ��)C (�)

�=�; [T �� (�C)]

C�(36)

= h��; [T �� (�C)]i= h�C; T �� (�C)i= hT �(�C);�Ci=[T �(�C)]

C;��:

Adem�as x; [T �(�C)]

C�= hx�; T �(�C)i= hT (x�); �Ci= hTC (x) ; �i=x; (TC)

�(�)�;

20Tambi�en si � 2 U� y � 2 U�� y M 2 B (U��) quedan de�nidos �C 2 U�, �C 2 U�� yMC 2 B (U��) ; donde

x; �C�, hx�; �i;

�;�C

�, h�C;�i y MC (�) =M

��C�C:

40

i.e. [T �(�C)]C = (TC)� (�) y por (36) obtenemos�; (T ��)C (�)

�=(TC)

�(�) ;�

�=�; (TC)

��(�)�

y sigue la a�rmaci�on en el primer caso. El resto es an�alogo.

Corolario 8.3 (i) Si U�� tuviere alguna unidad mixta E y (L;R) 2 D(U)resulta

L�� = L�R��(E) = L�L��(E) y R�� = R�R��(E) = R�L��(E):

(ii) Si (U��;~) tuviere unidad E dado (L;R) 2 D(U); L�� (E) = R�� (E) yD ((L;R)) = h~ (L�� (E)), donde ~ denota cualquiera de los productosde Arens.

(iii) Si (U��;~) tuviere unidad E queda de�nido D~ : D(U) ! (U��;~)homeomor�smo, el que ser�a isom�etrico si y solo si kEk = 1:

Demostraci�on 8.4 (i) Si � 2 U�� tenemos

R�� (�) = R�� (��E) = ��R�� (E) =�R�R��(E)

�(�) :

De la demostraci�on de la Prop. 4.6 hay una red acotada feigi2I en U talque E = w�-l��mi2I �U (ei) y para todo y 2 U se tiene y = w-l��mi2I (yei) :En consecuencia, si � 2 U� y x 2 U escribimos

hx; L�� (E)�i = hL� (�x) ; Ei= l��m

i2Ihei; L� (�x)i

= l��mi2IhxL(ei); �i

= l��mi2IhR(x)ei; �i

= hR(x); �i= hx;R�(�)i ;

i.e. L�� (E)� = R�(�): Luego

h�;��L�� (E)i = hL�� (E)�;�i = hR�(�);�i = h�;R�� (�)i :

El resto sigue en forma an�aloga.

(ii) Es inmediato.

41

(iii) Basta hacer D~ = h�1~ �D: Como D~ (IdU ; IdU) = E, si D~ es isom�etri-co entonces kEk = 1: Rec��procamente, si (L;R) 2 D (U) tenemos

kD~ (L;R)k = kL�� (E)k � kL��k = kLk � k(L;R)k :

Adem�as si ~ = �, x 2 [U ]1 y � 2 [U�]1 escribimos

hL(x); �i = hx; L� (�)i (37)

= hL� (�) ; �U (x)i= hL� (�) ; E��U (x)i= hxL� (�) ; Ei= hL� (x�) ; Ei (pues L es centralizador a izquierda)

= hx�; L�� (E)i :

Por (37) obtenemos

kLk = supx2[U ]1

kL(x)k = supx2[U ]1

sup�2[U�]1

jhL(x); �ij � kL�� (E)k :

An�alogamente kRk � kL�� (E)k y k(L;R)k � kL�� (E)k y sigue laa�rmaci�on.

Observaci�on 8.5 Sea U un �algebra de Banach y sea I [�U (U) ;U��] el idea-lizador del �algebra �U (U) en U��, o sea

I [�U (U) : U��] = f� 2 U�� : �U [ U� � �U (U)g :

Dado � 2 I [�U (U) ;U��] sean eL�; eR� 2 B (U) las aplicaciones

eL� = ��1U � LU ;U��

� � �U y eR� = ��1U �RU ;U��

� � �U :

Con la notaci�on del Teo. 2.22, si x 2 U y � 2 U� se tienex; L� (�)

�= hx;��i= h�x;�i= h�; x�i

=D�; �U( eR� (x))

E=D eR� (x) ; �

E=Dx; ( eR�)� (�)

E;

42

i.e. ( eR�)� = L�: An�alogamente, (eL�)� = R�: Notando que el idealizador de�U (U) en U�� es sub�algebra cerrada de U�� queda de�nido un mor�smo

� : I [�U (U) ;U��] ! D(U), � (�) = (eL�; eR�):

En efecto, si x; y 2 U vemos queeL� (xy) = ��1U (� (xy)) = ��1U ((�x) y) = ��1U (�x) ��1U (�U(y)) = eL� (x) y;eR� (xy) = ��1U ((xy) �) = ��1U (x (y�)) = ��1U (�U(x)) ��1U (y�) = x eR� (y) ;

xeL� (y) = x��1U (�y) = ��1U (x (�y)) = ��1U ((x�) y) = ��1U ((x�)) y = eR� (x) y;

i.e. � est�a bien de�nida. Si adem�as 2 I [�U (U) ;U��] y ~ es uno de losproductos de Arens eL�~ (x) = ��1U ((�~)x)

= ��1U (�~ (x))

= ��1U��1U (x)

�= eL� ��1U (x)

�=�eL� � eL� (x) ;eR�~ (x) = ��1U (x (�~))

= ��1U ((x�)~)

= ��1U��1U (x�)

�= eR ��1U (x�)

�=� eR � eR�� (x) ;

i.e. � es un homomor�smo. Es ker (�) = (U�U + UU�)o ; siendo este idealnulo si U�� fuere unitaria respecto a alg�un producto de Arens. P. ej., si Efuera unidad de (U��;�) dados � 2 (U�U + UU�)o y � 2 U� entonces

h�;�i = h�;E��i = h��;Ei = h0U� ; Ei = 0;

o sea � = 0: En caso que (U��;�) fuera unitaria se razonar�a an�alogamente.Desde luego hay entonces una inmersi�on

I [�U (U) ;U��](U�U + UU�)o ,! D(U).

Finalmente, sea e� = D � �; donde D es el mor�smo introducido en el Teo.8.1. Luego e� : I [�U (U) ;U��] ! D(U��) cualquiera sea el producto de Arensque se considere y si � 2 I [�U (U) ;U��] tenemose� (�) = ((eL�)��; ( eR�)��) = ((R�)�; (L�)�) =

�L��; R

��

�: (38)

43

De (38), si � 2 I [�U (U) ;U��] y ;� 2 U�� se tiene

(a) � (��) = (��)��; (d) � (��) = (��)��;(b) �� (��) = (��)��; (e) �� (��) = (��)��;(c) (��)�� = � (��) ; (f) (��)�� = � (��) :

(39)

Por supuesto, las identidades (39)(c) y (39)(e) siguen de la transitividad delos productos de Arens. Si � 2 U� se tiene

h�;� (��)i = h(��)�;i : (40)

Adem�as si x 2 U es

hx; (��)�i = h�x;��i= h(�x) �;�i

=D�eL� (x) ;�

E=DeL�(x);��

E= h��; x�i= h(��)x;�i= hx;� (��)i ;

i.e. (��)� = � (��) : Ahora por (40) es

h�;� (��)i = h� (��) ;i = h��;��i = h�; (��)��i

y sigue 39(a). Las dem�as identidades siguen en forma an�aloga.

9. Con relaci�on a C�-�algebras

9.1. Bidual de C�-�algebras y �algebras de Von Neumann

Teorema 9.1 (cf. [123]) Sea21 U una C�-�algebra unitaria. Hay un isomor-�smo isom�etrico U�� V N (U), donde V N (U) = �u (U)

wotes el �algebra

envolvente de Von Neumann de U y (�u;Hu) es la representaci�on universalde U .2221Palabras clave: �Algebras de Von Neumann. �Algebra envolvente de Von Neumann.

Representaci�on universal de C�-�algebras. Estados. Espacio de estados. Operadores traza.22O sea Hu =

P�'2S(U)H' es espacio de Hilbert, S(U) es el espacio de estados de

U y �u : U ! B(Hu) es la representaci�on �el isom�etrica �u =P�'2S(U)�', donde cada

(�';H') es la representaci�on de Gel�fand-Naimark inducida por cada ' 2 S(U). V. elTeorema 13.35.

44

Demostraci�on 9.2 Hay un isomor�smo isom�etrico t : B(Hu) ! T (Hu)�,

t (X) (T ) = tr (XT ) para X 2 B(Hu) y T 2 T (Hu), donde T (Hu) es elespacio de Banach de operadores traza (cf. [111], Ch. VI.6). El conjunto

?t (V N (U)) = fX 2 T (Hu) : tr (X � A) = 0 si A 2 V N (U)g (41)

es subespacio de Banach de T (Hu) y resulta�T (Hu) =

?t (V N (U))�� ?t (V N (U))

�?= t (V N (U))

w�

(42)

(V. [116], Th. 4.7(b) y x4.8). Sea T = w�-l��mi2I t (Ai) en T (Hu)� para cierta

red fAigi2I una red en V N (U). Si x; y 2 Hu es

T (x� y) = l��mi2I

t (Ai) (x� y) (43)

= l��mi2I

tr (Ai (x)� y)

= l��mi2IhAi (x) ; yi :

Adem�as y ! T (x� y) es una forma lineal sobre Hu y

jT (x� y)j � kT k kx� ykT (Hu)= kT k kxk kyk

para cada x 2 Hu: Por el teorema de representaci�on de Riesz hay un �unicoA (x) 2 Hu tal que T (x� y) = hy; A(x)i y kA (x)k � kT k kxk : Es f�acilver que A : Hu ! Hu es lineal y conclu��mos que A 2 B (Hu) : Por (43)deducimos que A = wot-l��mi2I Ai, por lo que A 2 V N (U) y T = t(A) (cf.[92], Th. 1.3.10). Por (42) inferimos que�

T (Hu) =?t (V N (U))

�� t (V N (U)) : (44)

Sea q : T (Hu) ! T (Hu) =?t (V N (U)) la proyecci�on al cociente. De�nimos

F : T (Hu) =?t (V N (U)) ! U�, (45)

F (�) (a) = tr (�u (a) � T ) si q(T ) = � y a 2 U .

Si adem�as q(S) = � ser�a T �S = U para cierto elemento U en ?t (V N (U)) ;i.e.

tr (�u (a) � T ) = tr (�u (a) � S) + tr (�u(a) � U) = tr (�u (a) � S)

como sigue de (41). As�� F (�) est�a bien de�nida, es lineal y

jF (�) (a)j � k�u (a)k kTkT (Hu)� kak kTkT (Hu)

:

45

Luego jF (�) (a)j � kak k�k ; F (�) 2 U� y kF (�)k � k�k ; resultando F aco-tada. Adem�as F es isom�etrica; en efecto, dado v 2

�T (Hu) =

?t (V N (U))��

unitario por (42) y (44) existe V 2 [V N (U)]1 tal que v � q = t (V ) : Como

�u (U)wot

= V N (U) por el teorema de densidad de Kaplansky

[�u (U)]1wot

= [V N (U)]1 :

Escribamos V = wot-l��mj2J �u (aj) para cierta red fajgj2J de [U ]1. FijadoT 2 T (Hu) tal que q(T ) = � tenemos

v (�) = v (q (T )) = t(V ) (T ) = tr (V T ) : (46)

Si T = x� y para ciertos x; y 2 Hu por (46) es

jv (�)j = jtr (V (x)� y)j (47)

= jhV (x) ; yij= l��m

j2Jjh�u (aj) (x) ; yij

= l��mj2Jjtr (�u (aj) � T )j

= l��mj2JjF (�) (aj)j

� kF (�)k :

Si T 2 F (Hu), digamos T =Pn

k=1 xk � yk, tenemos

v (�) = tr

nXk=1

V (xk)� yk

!

=nXk=1

hV (xk) ; yki

= l��mj2J

nXk=1

h�u (aj) (xk) ; yki

= l��mj2J

tr (�u (aj) � T )

y como en (47) es jv (�)j � kF (�)k : Sino hay una sucesi�on fTng1n=1 enF (Hu) tal que Tn ! T en T (Hu) y si n 2 N por (46) escribimos

jv (�)j � jtr (V (T � Tn))j+ jtr (V Tn)j (48)

� kV k kT � TnkT (Hu)+ kF (q (Tn))k :

46

Haciendo n ! 1 en (48) es jv (�)j � kF (�)k y k�k � kF (�)k pues v esarbitrario. Por otra parte, F es suryectiva, para lo cual bastar�a probar queS(U) � Im (F ) : Para ello, con la notaci�on del Teorema 13.35, si � 2 S(U)si j� : H� ,! Hu; dado a 2 U tenemos

� (a) = h�� (a) (e�) ; e�i�= h�u (a) (j� (e�)) ; j� (e�)iHu

= tr [�u (a) � (j� (e�)� j� (e�))]

= F [q (j� (e�)� j� (e�))] (a) ;

i.e. � = F [q (j� (e�)� j� (e�))] : En de�nitiva, mediante (45) F de�ne unisomor�smo isom�etrico de espacios de Banach, de modo que

F � : U�� !�T (Hu) =

?t (V N (U))��

es asimismo isomor�smo isom�etrico y la tesis sigue de (44).23

9.2. Arens regularidad de C�-�algebras

Proposici�on 9.3 24(Cf. [120]) Toda C�-�algebra U es Arens regular.

Demostraci�on 9.4 Sea S (U) el espacio de estados de U . Si ' 2 S (U)hay entonces una representaci�on c��clica involutiva �' de U en un espaciode Hilbert H' con un vector c��clico f' (V. [21], x5, p. 248). Queda de�nidaentonces la denominada representaci�on universal �u ,

XM'2S(U)

�' de U en

el espacio de Hilbert Hu ,XM'2S(U)

H', la cual es involutiva y �el. Queda

inducida una acci�on a izquierda de U en Hu, a saber: si a 2 U y f 2 Hu

escribimos B (a; f) = �u (a) (f) : Con E = U , F = G = Hu y con la notaci�onde la Obs. 2.9 si a 2 U , � 2 H�

u y f 2 Hu tenemos

h�;B3 (�U (a) ; �Hu (f))i = ha;B2 (�Hu (f) ; �)i= hB1 (�; a) ; �Hu (f)i= hf;B1 (�; a)i= hB (a; f) ; �i= h�; �Hu (B(a; f))i ;

23Notar que si a 2 U y T 2 T (Hu) resulta

F � (�U (a)) (q (T )) = F (q(T )) (a) = tr (�u(a) � T ) = t (�u(a)) (T ) ;

i.e. F � (�U (a)) � q = t (�u (a)) en T (Hu)�:

24Por regularidad y dualidad de B�-�algebras v. [126].

47

i.e.B3 (�U (a) ; �Hu (f)) = �Hu (B(a; f)) : (49)

Queda bien de�nida la aplicaci�on para � 2 U�� y f 2 Hu :

� : U�� ! B (H��u ) ; (50)

� (�) (�Hu (f)) = ��B�Hu (f) = � (H��

u ;H�u) - l��m

l2L�Hu (�u(al) (f)) ;

donde falgl2L es alguna red en U tal que � = � (U��;U�)-l��ml2L �U (al) : Por(49) y (50) si a 2 U y f 2 Hu tenemos

� (�U (a)) (�Hu (f)) = �U (a)�B�Hu (f) = �Hu (�u(a) (f)) :

Ahora, si f; g 2 Hu indicamos hf; g�i , hf; gi si f 2 Hu; de modo queg� 2 H�

u. Como f�u (al)gl2L es acotado en B (Hu) ; por el teorema de Banach-Alaoglu existen una subred f�u (al)gl2L1 y T� 2 B (Hu) tales que

T� = � (B (Hu) ;N (Hu)) - l��ml2L1

�u (al) :

As��,

hf � g; T�i = l��ml2L1

hf � g; �u (al)i (51)

= l��ml2L1

tr [f � (�u (al)� (g))]

= l��ml2L1

h�u(al) (f) ; gi :

En particular, por (51) deducimos que T� no depende de la subred f�u (al)gl2L1 :Consideremos �; 2 U�� y sean fa�g�2A y fb�g�2B redes acotadas en Utales que � = w�-l��ma2A �U (a�) y = w�-l��mb2B �U (b�) : Fijada ' 2 S(U)

48

tenemos

h';��i = l��m�2A

l��m�2B

ha�b�; 'i

= l��m�2A

l��m�2B

h�' (a�b�) (f') ; f'i

= l��m�2A

l��m�2B

h�' (b�) (f') ; �' (a��) (f')i

= l��m�2A

hf' � �u (a��) (f'); Ti

= l��m�2A

tr [f' � T � (�u (a��) (f'))]

= l��m�2A

h�u (a�) (T(f')) ; f'i

= hT(f')� f'; T�i= tr [T(f')� T ��(f')]

= hT(f'); T ��(f')i= tr [f' � T �T

��(f')]

= hf' � T �� (f') ; Ti= l��m

�2Bh�u (b�) (f') ; T �� (f')i

= l��m�2B

tr [�u (b�) (f')� T �� (f')]

= l��m�2B

h�u (b�) (f')� f'; T�i

= l��m�2B

l��m�2A

h�' (a�b�) (f') ; f'i

= l��m�2B

l��m�2A

ha�b�; 'i

= h';��i :

La Arens-regularidad de U sigue ahora pues U� es la c�apsula lineal de S (U)(V. [92], Corollary 2.3.24, p. 89).

10. Respecto a las �algebras C0 () y M()

Sea2526 un espacio de Hausdor� localmente compacto y sea U = C0 ()el espacio de Banach usual de funciones continuas nulas en el in�nito. Si

25Palabras clave: Teorema de Gel�fand de estructura de �algebras de Banach abelianas.Espacio ideal maximal. Compactaci�on de Alexandro�.26Por �algebras de medidas y �algebras de operadores v. [108]. Respecto al bidual de

espacios de funciones continuas y estructuras reticulares v. [81], [82] y [83]. Respecto a laestructura de �algebras de medidas v. [124], [125], [114]. Por regularidad, regularidad localy puntual en �algebras de medidas generales v. [87].

49

es compacto U = C (), en cuyo caso se trata de una C�-�algebra abelianaunitaria. Por el teorema de Gel�fand hay un isomor�smo isom�etrico

U � C � C (�U�C) ;

donde �U�C es el espacio ideal maximal del �algebra unitizada de U : HaciendoH1 (f; a) = a para (f; a) 2 U�C hay una biyecci�on natural

�U�C � �U [ fH1g :

En particular, �U�C es la compactaci�on de Alexandro� de �U : Se de�neentonces la transformada de Gel�fand GU�C : U � C ! C (�U�C) de modoque para (f; a) 2 U�C es

GU�C (f; a) (H) = H (f) + a si H 2 �U y GU�C (f; a) (H1) = a:

Como U es una C�-�algebra, por la Prop. 9.3, resulta Arens regular. Asimismo,U tiene aproximaci�on acotada de la unidad (V. [30], Th. I.4.8) y por elCorolario 12.29(ii) (U��;�) es unitaria. Como adem�as U es abeliana por laProp. 2.7(vi) U�� es abeliana. Nuevamente, est�a de�nida la transformada deGel�fand

G(U��;�) : U�� ! C��(U��;�)

�: (52)

Tanto GU�C como G(U��;�) son isomor�smos �-isom�etricos de C�-�algebrasunitarias (cf. [21], Ch. VIII, x2. Th. 2.1) y los espacios �U�C e �(U��;�) sonambos compactos.

Proposici�on 10.1 (i) La aplicaci�on �U ! �(U��;�), �! ��1C �� est�a biende�nida.

(ii) Existe A : �(U��;�) ! �U�C funci�on (w�; w�)-continua y suryectiva.27

(iii) Existe w : ! �(U��;�) inyectiva.

(iv) w () es w�-discreto.

27Un cubrimiento de un espacio compacto Y es un par (X; f), donde X es espaciocompacto y f : X ! Y es funci�on continua suryectiva. Por otra parte, un espacio compactoX se dice hiper-stoneano si C (X) tiene alg�un predual. En particular,

��(C0()��;�); A

�da

un cubrimiento hiper-stoneano de �C0()�C: P. ej. si f 2 Cb (N) hay una extensi�on continuaf� : �N! C de f a la compactaci�on de Stone-�Cech de f tal que f� (� (n)) = f (n), donde� (n) 2 �Cb(N) es el homomor�smo � (n) (g) = g(n) para cada n 2 N (V. [21], Ch. V,Prop. 6.2). Considerando N con la topolog��a discreta Cb (N) = l1 (N) y queda inducidoun isomor�smo l1 (N)� � C (�N), por lo que �N es espacio hiper-stoneano.

50

(v) Hay un homeomor�smo � : ! �U , v��a la correspondencia x ! �xentre puntos de y los homomor�smos �x : f ! f(x), f 2 U .

(vi) w�1 es continua.

(vii) Dados H 2 �U�C � fH1g y m 2 �(U��;�), A (m) = H si y solo si

m j�U (U)= w(��1 (m � �U)) = H � j;

donde j : U ,! U�C denota la inmersi�on natural. Luego

A�1 (fHg) =�m 2 �(U��;�) : m j�U (U)= w

��1 (H � j)

�:

(viii) Si m 2 �(U��;�), A (m) = H1 si y solo si m j�U (U)= 0C: Luego

A�1 (fH1g) =�m 2 �(U��;�) : m j�U (U)= 0U��;C

:

(ix) Si f 2 U y m 2 �(U��;�) resulta

G(U��;�) (�U (f)) (m) =

�f (��1 (A(m))) si A(m) 2 �U ;

0 si A(m) = H1:

(x) A jw()2 (w�; �1) ; donde �1 es la topolog��a de la compactaci�on deAlexandro� 1 de , considerando que 1 � �U�C:

Demostraci�on 10.2 (i) Si � 2 �U bastar�a ver que

�� (p�q) = �� (p)�� (q) (53)

si p; q 2 U��: Dados z; w 2 C, z� 2 C� y f; g 2 U arbitrarios tenemos

hz�; �� (p�q)i = h�� (z�) ; p�qi (54)

= hq�� (z�) ; pi :

Adem�as q�� (z�) 2 U�,

hf; q�� (z�)i = h�� (z�) f; qi (55)

y

hg; �� (z�) fi = hfg; �� (z�)i= h� (fg) ; z�i= h� (f)� (g) ; z�i= hg; � (f)�� (z�)i ;

51

i.e.�� (z�) f = � (f)�� (z�) : (56)

Por (56) y (55)

hf; q�� (z�)i = h� (f)�� (z�) ; qi = hf; h�� (z�) ; qi�i ;

o seaq�� (z�) = h�� (z�) ; qi�: (57)

Por (57) en (54) resulta

hz�; �� (p�q)i = h�� (z�) ; qi h�; pi : (58)

Adem�as �� (z�) 2 U� y �� (z�) = z�� pues z� � z�IdC. Por (58) sigueque

z� hIdC� ; �� (p�q)i = z� h�; pi h�; qi : (59)

Por otra parte,hz; �� (q) z�i = h��(z�z); qi (60)

y ��(z�z) = zz�� porque

hf; ��(z�z)i = hz� (f) ; z�i = hf; zz��i :

Luego por (60) eshz; �� (q) z�i = hz��; qi z;

o bien�� (q) z� = hz��; qi IdC: (61)

As��

hz�; �� (p)�� (q)i = h�� (q) z�; �� (p)i (62)

= hz��; qi hIdC; �� (p)i= z� h�; pi h�; qi :

De (59) y (62) inferimos (53).

(ii) Para (f; a) 2 U�C y m 2 �(U��;�) sea

A (m) (f; a) , hm;GU�C (�U�C (f; a))i : (63)

Si E es la identidad de (U��;�) por (63) tenemos

A (m) (f; a) = h�U (f) + aE;mi = h�U (f) ;mi+ a: (64)

52

Si adem�as (g; b) 2 U�C tenemos

A (m) (fh+ ag + bf; ab) = h�U (fg) + ag + bf) ;mi+ ab

= h�U (f)��U(g) + ag + bf) ;mi+ ab

= (h�U (f) ;mi+ a) (h�U (g) ;mi+ b)

pues m es un homomor�smo. Claramente A (m) es homomor�smo y Aest�a bien de�nida. A es continua, pues si m = w�-l��mi2I mi en �(U��;�)y (f; a) 2 U�C por (64) tenemos

A (m) (f; a) = l��mi2I

(h�U (f) ;mii+ a) = l��mi2I

A (mi) (f; a) :

Si H 2 �U�C, H 6= H1, m = ��1C � (H � j)�� : Por (i) m 2 �(U��;�) yciertamente A (m) = H. Veamos ahora que H1 2 Im (A). En efecto,�U (U)� CE es C�-sub�algebra abeliana unitaria de (U��;�) y contieneun homomor�smo nulo sobre �U (U) : As�� la familia F de pares (A; �) ;formada por C�-sub�algebras abelianas A que contienen a �U (U) � CEy pos�een alg�un homomor�smo nulo � sobre �U (U) ; es no vac��a. Estafamilia est�a parcialmente ordenada si para (A1; �1) y (A2; �2) en Fescribimos (A1; �1) � (A2; �2) si y solo si A1 � A2 y �2 jA1= �1:Una aplicaci�on directa del lema de Zorn da lugar a la existencia de unelemento maximal (A1;m1) de F . Es f�acil ver que A1 = U�� y queA (m1) = H1:

(iii) Hagamos w (x) , �U� (�x) ; x 2 : Dados L;M 2 U��, x 2 , f; g 2 Uarbitrarios tenemos �xf = f (x) �x ya que

hg; �xfi = hfg; �xi = f (x) g (x) = hg; f(x)i �x:

As�� M�x = h�x;Mi �x pues

hf;M�xi = h�xf;Mi = f (x) h�x;Mi = hf; h�x;Mi �xi :

Luego

w(x) (L�M) = h�x; L�Mi= hM�x; Li= h�x; Li h�x;Mi= w (x) (L)w(x)(M)

y claramente w est�a bien de�nida. Como es localmente compacto yseparado U separa puntos de , por lo que w es inyectiva.

53

(iv) Si y 2 sea Py 2 U�� tal que Py (�) = � (fyg). Si x; y 2 vemos que

w (x) (Py) = hPy; �U� (�x)i = Py (�x) = �x (fyg) = �x;y:

As�� fw (x)g resulta w�-abierto en w () pues

fw (x)g = fQ 2 w () : jhPx; Q� w(x)ij < 1g :

(v) La continuidad de � es inmediata. Si x 6= y en , y 2 � fxg y � fxg es abierto pues 2 T1. Como es localmente compacto hayun abierto relativamente compacto U tal que y 2 U y U � � fxg(V. [115], Th. 2.7). Por el lema de Urysohn existe f 2 Cb () talque f (y) = 1 y sop(f) � U: Deducimos entonces que f tiene soportecompacto pues sop(f) � U . Luego f 2 U y f(x) 6= f(y) pues f(x) = 0:As�� como hf; �xi 6= hf; �yi sigue que �x 6= �y y � es inyectiva. Seaahora V � abierto y sea z 2 V: Nuevamente, existen W entornorelativamente compacto de z tal que W � V y g 2 Cb (), con g (z) = 1y sop (g) � W: Como antes g 2 U y adem�as � (z) 2 � (V ) \ �; con� = f� 2 U� : hg; �i > 0g : Pero � es w�-abierto ya que si �0 2 �entonces

f� 2 U� : jhg; �� 0ij < hg; �0i =2g � �:

As�� (V ) es w�-abierto y � : ! � () deviene homeomor�smo. Fi-nalmente, sea ' 2 �U y veamos que ' 2 Im (�) : Escribiremos

' , fz 2 : h(z) = 0 si h 2 ker (')g ;I' , fh 2 U : h(z) = 0 si z 2 'g :

Entonces ' es subconjunto cerrado de e I' es ideal cerrado de U . Sih 2 ker (') dado z 2 ' es h(z) = 0, o sea h 2 I': As�� ker (') � I'.Sea k 2 C00 () tal que sop (k) \ ' = ?: Si z 2 sop (k) existehz 2 ker (') tal que hz (z) 6= 0: Luego jhzj2 2 ker (') porque ' esun homomor�smo y jhz (z)j2 > 0: Como sop (k) es compacto existeF 2 Pf (sop (k)) tal que sop (k) � [z2F

�jhzj2 > 0

: Si h ,

Pz2F jhzj

2

vemos que h 2 ker (') y h jsop(k)> 0: Ahora, si k=h , l sigue quel 2 C00 () est�a bien de�nida y k = hl: Como ker (') es un idealk 2 ker ('). Deducimos entonces que ker (') contiene a la clase J defunciones continuas con soporte compacto sobre cuyo soporte es dis-junto con ': Luego J

� � ker (') y como J � I' concluiremos queker (') = I' al demostrar que J es denso en I': Precisamente, dadosh0 2 I' y " > 0 el conjunto C = fz 2 : jh0 (z)j � "g es compacto

54

y disjunto con ': Como antes existe un subconjunto Z de abiertorelativamente compacto tal que

C � Z � Z� � � ':

Por el lema de Urysohn existe k0 2 C (; [0; 1]) tal que k0 jC= 1 ysop (k0) � Z: Podemos concluir que kh0 � h0k0k1 � " y h0k0 2 J: M�asa�un, ' 6= ? ya que es claro ahora que I' 6= U . Por otra parte, existeu 2 U tal que ' (u) = 1 porque ' es suryectiva, y as�� (1� u)U � I'.Como es localmente compacto si z 2 ' existe v 2 U tal quev (z) = 1 y como v � uv 2 I' entonces u(z) = 1: Siendo ' �fz 2 : ju (z)j � 1g y u 2 C0 () entonces ' es compacto. Final-mente, ' no podr��a tener m�as que un solo punto por el car�acter max-imal de ker ('). En efecto, si ' tuviere al menos dos puntos distintosx1 y x2, como U separa puntos de es

I' � fh 2 U : h (x1) = h (x2) = 0g fh 2 U : h (x1) = 0g :

(vi) Tenemos que w�1 = ��1 � j� � A jw() : Adem�as A 2 (w�; w�) por (i),h� 2 (w�; w�) pues j es acotada y ��1 es continua por (iv).

(vii) Sea H 2 �U�C � fH1g y m 2 A�1 (fHg) : Entonces m � �U 2 �U y por(v) est�a de�nido x = ��1 (m � �U) en : Si f 2 U tenemos

w (x) (�U (f)) = h�U (f) ; �U� (� (x))i= h� (x) ; �U (f)i= hf;m � �Ui= m (�U (f)) :

Que m j�U (U)= H � j es inmediato, as�� como la a�rmaci�on rec��proca.

(viii) Es trivial.

(ix) Sigue de (v), (vii) y (viii).

(x) Por (v) es e� : ,! 1 si hacemos e� (x) (f; a) = f(x) + a, con x 2 y

(f; a) 2 U�C. Como A � w = e� sigue que A jw()= e� � w�1 y por (vi)sigue la a�rmaci�on.

10.1. Sobre M�

�(C0()��;�)

�:

Proposici�on 10.3 En las condiciones de la Prop. 10.1:

55

(i) U� = M () y U�� M��(U��;�)

�:

(ii) M () �M��(U��;�)

�=�G(U��;�) (�U (U))

�o:

(iii) M��(U��;�)

�=�G�1(U��;�)

�� M() (M ())

��G(U��;�) (�U (U))

�o:

(iv) Sea B : M��(U��;�)

�! M (), B =

�G(U��;�) � �U

��: Si f 2 U ye� 2M �

�(U��;�)�

se tieneZ

f (x) dB (e�) (x) =

Z�(U��;�)

m (�U (f)) de�(m):

(v) Si x 2 ; B�1 (f�xg) =�G�1(U��;�)

��(w(x)) +

�G(U��;�) (�U (U))

�o:

(vi) Si e� : �(U��;�) ,!M ((U��;�)), B j�(U��;�) : �(U��;�) ,! y B�e� = j��A:

(vii) Si e� 2M ��(U��;�)

�y K es subconjunto compacto de entonces

B (e�) (K) = e��(B � e�)�1 (� (K))�: (65)

(viii) La relaci�on (65) es v�alida si K es subconjunto de Borel de :

Demostraci�on 10.4 (i) La primer a�rmaci�on sigue del teorema de F. Riesz(cf. [113]; [115], Th. 2.14). Adem�as la transformada de Gel�fand (52)de�ne un isomor�smo isom�etrico de C�-�algebras abelianas unitarias ybasta considerar nuevamente el teorema de F. Riesz.

(ii) Tenemos M��(U��;�)

�= C

��(U��;�)

��, U�� = M ()�� y

M��(U��;�)

� �G(U��;�)

��!

M ()�� (�U)�

!M () : (66)

Adem�as (�U)� es suryectiva: Sea � 2 M (). Es inmediato que, por elteorema de Banach-Hahn, la aplicaci�on � � (�U)�1 : �U (U) ! C admiteuna extensi�on a una aplicaci�on e� 2 M ()�� y entonces

(�U)� (e�) = e� � �U =�� (�U)�1

�� U = �:

Por otra parte�G(U��;�)

��es un isomor�smo y

ker�(�U)� �

�G(U��;�)

��=�G(U��;�) (�U (U))

�oy podemos concluir (ii).

56

(iii) Si e� 2M ��(U��;�)

�sea

ee� =h�G�1(U��;�)

�� U� � (�U)� �

�G(U��;�)

��i(e�) :

Entonces ee� 2M ��(U��;�)

�y si f 2 U tenemosD

G(U��;�) (�U (f)) ; ee�E =�U (f) ;

��U� � (�U)� �

�G(U��;�)

��(e�)�

=�

(�U)� ��G(U��;�)

��(e�) ; �U (f)

�=f;�(�U)� �

�G(U��;�)

��(e�)�

=�U (f) ;

�G(U��;�)

��(e�)�

=G(U��;�) (�U (f)) ; e�� ;

i.e. e�� ee� 2 �G(U��;�) (�U (U))�o. Podemos inferir que

M��(U��;�)

�=�G(U��;�) (�U (U))

�o+�G�1(U��;�)

�� M() (M ())

�:

Si�G�1(U��;�)

�� M() (�)

�2�G(U��;�) (�U (U))

�opara cierta � 2 M ()

dada g 2 U es

0 =DG(U��;�) (�U (g)) ;

�G�1(U��;�)

�� M() (�)

�E=(�U) (g) ; �M() (�)

�= hg; �i

y por ello � = 0:

(iv) Si f 2 U y e� 2M ��(U��;�)

�escribimosZ

f (x) dB (e�) (x) = hf;B (e�)i

=G(U��;�) (�U (f)) ; e��

=

Z�(U��;�)

m (�U (f)) de�(m):

(v) Si x 2 y e�o 2 �G(U��;�) (�U (U))�oentonces

B��G�1(U��;�)

��(w(x)) + e�o� =

h�G(U��;�) � �U

�� G�1(U��;�)��i (w (x))

= (�U)� (w(x))

= �x:

57

Si B (e�) = �x sea e� =�G�1(U��;�)

�� M() (�)

�+ e�o, con � 2 M () ye�o 2 �G(U��;�) (�U (U))

�o: Dado f 2 U tenemos

f(x) = hf;B (e�)i=G(U��;�)(�U(f)); e��

=�U (f) ; �M() (�)

�= hf; �i ;

i.e. � = �x y sigue la a�rmaci�on.

(vi) Si f 2 U y m 2 �(U��;�) resultaDf;B

�e�m�E =DG(U��;�)(�U(f)); e�mE

= h�U (f) ;mi= A (m) (j (f))

= hf; j� (A (m))i :Como claramente j� (A (m)) 2 �U basta aplicar la Prop. 10.1(v).

(vii) Notemos que (B � e�)�1 (� (K)) es subconjunto compacto de �(U��;�):Si f 2 U y F = G(U��;�) (�U (f)) entonces F 2 C

��(U��;�)

�. Dado

m 2 (B � e�)�1 (� (K)),�B � e�� (m) = �x para un �unico x 2 K: Por (v)

podemos escribir e�m =�G�1(U��;�)

��(w(x)) + e�o

para un �unico e�o 2 �G(U��;�) (�U (U))�o. Luego

F (m) =DG(U��;�) (�U (f)) ; e�mE = h�U (f) ; w(x)i = f(x): (67)

De (67) vemos que f jK� 1 si y solo si F j(B�e�)�1(�(K))� 1. Por (iv)tenemos

B (e�) (K) = ��nff2U :f jK�1

Z

f (x) dB (e�) (x)

= ��nff2U :f jK�1

Z�(U��;�)

m (�U (f)) de�(m)

= ��nfF2C(�(U��;�)):(B�e�)�1(�(K))�1

Z�(U��;�)

F (m) de�(m)

= e��(B � e�)�1 (� (K))�;

(V. [115], Th. 2.14, p. 44).

58

(viii) Sea �c () la �-�algebra de partes de generada por la familia departes compactas. Si U es abierto en y x 2 U , como es espaciolocalmente compacto existe un entorno relativamente V de x tal queV � � U . Pero V = V � � (V � � V ) y como es espacio de Hausdor�y V ��V es cerrado en V �, que es compacto, V ��V deviene compacto.Luego V 2 �c () y en consecuencia �c () coincide con la �-�algebrade Borel de : Por otra parte, la clase de partes K de que verif��can(65) contiene a las partes compactas de y es una �-�algebra, de dondesigue la a�rmaci�on.

10.2. Isomor�smos entre espacios de medidas

Proposici�on 10.5 Sea T : M (1) ! M (2) un epimor�smo �-isom�etricotal que T (�) (2) = � (1) para todo � 2 M (1), con 1, 2 espacios deHausdor� compactos. Entonces:

(i) T � : C��(C(2)

��;�)�! C

��(C(1)

��;�)�

es isomor�smo �-isom�etrico uni-tario.

(ii) Hay un homeomor�smo � : �(C(1)��;�) ! �(C(2)

��;�) y si N 2 C (2)��

resultaT � (N) =

�G(C(1)��;�)

��1 �G(C(2)��;�) (N) � �

�: (68)

Demostraci�on 10.6 (i) Como T es epimor�smo isom�etrico tambi�en lo esT �. Si n 2 �(C(2)

��;�) sea fgjgj2J una red acotada en C (2) tal quen = w�-l��mj2J �C(2) (gj). Dado � 2 M (1) tenemos

h�; T � (n�)i = hT (�) ; n�i= l��m

j2JhT (�)� ; ni

= l��mj2Jhgj; T (�)�i

= l��mj2Jhgj; T (��)i

= hT (��) ; ni= h��; T �(n)i= h�; T � (n)�i ;

59

i.e. T � es �-operador. Si � 2 M (1) vemos que�; �C(1) (11)

�= � (1)

= T (�) (2)

=T (�) ; �C(2) (12)

�=�; T �

��C(2) (12)

��;

i.e. T ��C(2) (12)

�= �C(1) (11) y T

� es unitario.

(ii) Como (C (1)�� ;�) y (C (2)

�� ;�) son C�-�algebras abelianas unitariaspor el teorema de Gel�fand el operador

S , G(C(1)��;�) � T � ��G(C(2)��;�)

��1(69)

es epimor�smo isom�etrico. Por el Teorema 13.19 hay un homeomor�s-mo

� : �(C(1)��;�) ! �(C(2)

��;�);

una funci�on continua c : �(C(1)��;�) ! C tal que jc (m)j = 1 para todo

m 2 �(C(1)��;�) y

S (F ) (m) = c (m)F (� (m)) (70)

si F 2 C��(C(2)

��;�)�: As��

1�(C(1)��;�) = G(C(1)��;�)��C(1) (11)

�= G(C(1)��;�)

�T ��C(2) (12)

��= S

�1�(C(2)��;�)

�;

de donde

1 = S�

1�(C(2)��;�)

�(m) = c (m) 1�(C(2)��;�) (� (m)) = c(m): (71)

Por (70) y (71) S(F ) = F � �: Finalmente, de (69) sigue (68).

10.3. Preduales de M ()

Proposici�on 10.7 Sea es espacio de Hausdor� localmente compacto re-sulta

C��(C0()

��;�)�� M() (M ()) :

60

Demostraci�on 10.8 Sean F 2 C��(C0()

��;�)�y � 2 M () : Hace-

mos �M() (�) ; C(F )

�,D�;�G(C0()��;�)

��1(F )E: (72)

Queda de�nido C (F ) 2 �M() (M ())�, resultando C monomor�smocontractivo y C : C

��(C0()

��;�)�,! �M() (M ())� : Si v 2 �M() (M ())�

tenemos que v � �M() 2 C0 ()�� y C�G(C0()��;�)

�v � �M()

��= v y

sigue la tesis.

Corolario 10.9 Si e� 2 M��(C0()

��;�)�, e� 2 �G�1(U��;�)�� M() (M ())

�si

y solo si e� � C�1 es w�-continuo.Demostraci�on 10.10 Sea

�G(U��;�)

��(e�) = �M() (�0) con �0 2 M (). Si

v 2 �M() (M ())� tenemos�e� � C�1� (v) =C�1 (v) ; e��

=DG(U��;�)

�v � �M()

�;�G�1(U��;�)

�� M() (�0)

�E=v � �M(); �M() (�0)

�=�0; v � �M()

�=�M() (�0) ; v

�y la condici�on es ciertamente necesaria. Rec��procamente, si e� � C�1 es w�-continuo existir�a �0 2 M () de modo que (e� � C�1) (v) =

�M() (�0) ; v

�para cada v 2 �M() (M ())�, o bien hF; e�i =

�M() (�0) ; C(F )

�para cada

F 2 C��(C0()

��;�)�: Por (72) obtenemos

hF; e�i =D�0;�G(C0()��;�)

��1(F )E

=D�G(C0()��;�)

��1(F ) ; �M() (�0)

E=DF;�G�1(U��;�)

�� M() (�0)

�Ey sigue la a�rmaci�on.

10.4. Acciones de M (G) sobre L1 (G)

Observaci�on 10.11 Dados un grupo compacto G, x 2 L1 (G) y � 2M(G),como consecuencia del teorema de Fubini-Tonelli quedan de�nidos

R� (x) (s) ,ZG

x�st�1

��G

�t�1�d� (t) ;

L� (x) (s) ,ZG

x�t�1s

�d� (t)

61

salvo algunos subconjuntos de elementos s 2 G de medida de Haar nula. Setiene L�; R� 2 B (L1 (G)) y quedan de�nidas sendas acciones del �algebra deBanach M(G) sobre L1 (G) : Tambi�en indicaremos

j : C (G) ,! L1 (G) ; k : L1 (G) ,!M (G)

las inclusiones naturales. Como L1 (G) es espacio de Banach abstracto porel Teorema 13.50(i) hay un espacio de Hausdor� compacto K, extremada-mente desconexo por el Teorema 12.25, y un isomor�smo entre de espacios deBanach reticulares �K : L1 (G) ! C (K). En particular, K �

�L1 (G)��+

�1

y �K (f) (w) = hf; wi si f 2 L1 (G) y w 2 K :

Teorema 10.12 (Cf. [75], Th. 3.1, Th. 3.2, Th. 3.3) Sea G grupo compactocon unidad e:

(i) Si �; � 2 L1 (G)��,

(a) �� = R��j�(�) (�) y (b) �� = L��j�(�) (�) : (73)

(ii) Sea ' 2 L1 (G)��+ tal que 'x = x' = �L1(G) (x) si x 2 L1(G): Entoncesj� (') = �e:

(iii) El siguiente conjunto

K =�' 2 L1 (G)��+ : 'x = x' = �L1(G) (x) si x 2 L1(G)

es no vac��o, w�-compacto, convexo y

K = (j�)�1 (f�eg) \ ��K (P (K)) : (74)

(iv) j� (K) = Ext�M (G)+

�1:

(v) Ext (K) = K \ K :

(vi) Dado ' 2 K hay una aproximaci�on acotada de la unidad fxigi2I en

L1 (G)+ tal que ' = w�-l��mi2I �L1(G) (xi) :

(vii) K � Ud (L1 (G)�� ;�) \ Ui (L1 (G)�� ;�) :

(viii) j� : (L1 (G)�� ;�) ! (M (G) ; �) es homomor�smo.

(ix) Dado ' 2 K,

ker (j�) =�� 2 L1 (G)�� : '�� = 0

= (1� ')�L1 (G)�� :

62

(x) Si ' 2 K, ker (j�) es w�-cerrado, '�L1 (G)�� es w�-denso y

L1 (G)�� = '�L1 (G)�� + ker (j�) ; (75)

donde la suma es algebraico-topol�ogica pero en general

L1 (G)�� 6= '�L1 (G)�� 1 ker (j�) :

(xi) '�L1 (G)�� M (G) y ker (j�) = J (L1 (G)�� ;�) :

(xii) �L1(G)(L1 (G)) es ideal bil�atero cerrado de L1 (G)��.

(xiii) Las acciones de L1 (G) son separadamente d�ebilmente compactas.

(xiv) '�L1 (G)�� 6= �L1 (G)�� si ' 6= en K

Demostraci�on 10.13 (i) Dados x; y 2 L1(G), f 2 L1 (G) tenemos�f;R��

j�(�L1(G)(y))

��L1(G) (x)

��=x;R�k(y) (f)

�=Rk(y) (x) ; f

�: (76)

Adem�as para casi todo s 2 G respecto a la medida de Haar es

(x � y) (s) =

ZG

x (t) y�t�1s

�dmG (s) (77)

=

ZG

x�t�1�y (ts) �G

�t�1�dmG (s)

=

ZG

x�su�1

�y (u) �G

�u�1�dmG (u)

= Rk(y) (x) (s) :

De (76) y (77) obtenemos

R��j�(�L1(G)(y))

��L1(G) (x)

�= �L1(G) (x � y) :

Claramente R��j�(�) 2 (w�,w�) si � 2 L1 (G)�� : Adem�as

� ! R��j�(�)��L1(G) (x)

�es (w�,w�) para cada x 2 L1(G): En efecto, sean f�igi2I una red w�-convergente a cero en L1 (G)�� ; x 2 L1 (G), f 2 L1 (G) e i 2 I:

63

Entoncesf;R��j�(�i)

��L1(G) (x)

��=R�j�(�i) (f) ; �L1(G) (x)

�(78)

=x;R�j�(�i) (f)

�=Rj�(�i) (x) ; f

�=

ZG

ZG

x�st�1

��G

�t�1�dj� (�i) (t) dmG (s)

=

ZG

ZG

x�st�1

��G

�t�1�f (s) dmG (s) dj� (�i) (t) :

Como en el Teorema 11.6 la funci�on

t!ZG

x�st�1

��G

�t�1�f (s) dmG (s)

es continua sobre G. Adem�as w�-l��mi2I j� (�i) = 0 porque j� 2 (w�,w�)

y por (78) esl��mi2I

f;R��j�(�i)

��L1(G)

��= 0:

Si � = w�-l��m�2A �L1(G) (x�), � = w�-l��m�2B �L1(G) (y�) ; obtenemos

R��j�(�) (�) = w�- l��m�2A

R��j�(�)��L1(G) (x�)

�= w�- l��m

�2Al��m�2B

R��j�(�L1(G)(y�))

��L1(G) (x�)

�= w�- l��m

�2Al��m�2B

�L1(G) (x� � y�)

= ��

y sigue (73)(a). An�alogamente, dados x; y 2 L1(G) se veri�ca

L��j�(�L1(G)(x))

��L1(G) (y)

�= �L1(G) (x � y) :

y � ! L��j�(�)��L1(G) (y)

�es (w�,w�) para cada y 2 L1(G) : sean f�jgj2J

una red w�-convergente a cero en L1 (G)�� ; y 2 L1 (G), f 2 L1 (G) yj 2 J: EntoncesD

f; L��j�(�j)��L1(G) (y)

�E=Dy; L�j�(�j) (f)

E(79)

= hj� (�j) � y; fi

=

ZG

ZG

y�t�1s

�dj� (�j) (t) f(s)dmG (s)

=

ZG

(f � y_) (t) dj� (�j) (t) :

64

Pero �f;y : t! (f � y_) (t) es funci�on continua sobre G y por (79) es

l��mj2J

Df; L��j�(�j)

��L1(G) (y)

�E= l��m

j2Jhj (�f;y) ; �ji = 0:

Ahora, con la notaci�on anterior

L��j�(�) (�) = w�- l��m�2B

L��j�(�)��L1(G) (y�)

�= w�- l��m

�2Bl��m�2A

L��j�(�L1(G)(x�))

��L1(G) (y�)

�= w�- l��m

�2Bl��m�2A

�L1(G) (x� � y�)

= ��

y resulta (73)(b).

(ii) Notamos que

' jL1(G)�L1(G)= mG jL1(G)�L1(G) y ' jL1(G)L1(G)�= mG jL1(G)L1(G)�

pues dados x 2 L1 (G) y f 2 L1 (G) resultaZG

xfdmG = hx; fi = hf; 'xi = hf; x'i : (80)

En general fx y xf est�an de�nidos, en cuanto elementos de L1 (G),mediante

(fx) (u) = �G

�u�1� Z

G

x�su�1

�f (s) dmG(s) a.e. u 2 G; (81)

(xf) (u) =

ZG

x (s) f(us)dmG(s) a.e. u 2 G:

M�as a�un, dichas funciones est�an de�nidas en todo punto y como Ges compacto son ambas continuas. Sean g 2 C (G), Q = fUaga2A lafamilia de entornos relativamente compactos de e en G con el ordenparcial de inclusi�on y xa = �Ua=mG (Ua) si a 2 A: Entonces Q esaproximaci�on acotada de la unidad de L1 (G) (v. el Teorema 11.6).Como g deviene uniformemente continua sobre G dado " > 0 existe Ventorno de e tal que jg (s1)� g (s2)j < " si s�11 s2 2 V: Sean a0 2 A talque Ua0 � V , a 2 A tal que a � a0, t 2 G: Por (81) y la invariancia a

65

izquierda de la medida de Haar obtenemos

j(xag) (t)� g(t)j =

�� 1

mG(Ua)

ZUa

(g (ts)� g(t)) dmG (s)

��=

�� 1

mG(tUa)

ZtUa

(g (u)� g(t)) dmG (s)

�� 1

mG(tUa)

ZtUa

jg (u)� g(t)j dmG (s)

� ";

y l��ma2A (xag) = g en C (G), i.e. l��ma2A (xaj(g)) = j(g) en L1(G):Por (80) podemos escribir

hg; j� (')i = l��ma2A

hxaj (g) ; 'i

= l��ma2A

1

mG(Ua)

ZUa

g (s) dmG (s)

= g (e)

= hg; �ei :

(iii) Sea fxigi2I una aproximaci�on acotada no negativa de la unidad deL1 (G) (V. el Teorema 11.6). Podemos suponer, considerando eventual-mente alguna subred, que existe ' = w�-l��mi2I �L1(G) (xi) en L

1 (G)�� :Como ' 2 K es K 6= ?. Puesto que j� 2 (w�; w�) y �K es isomor�smoisom�etrico reticular K es subconjunto w�-cerrado de

�L1 (G)��+

�1; por lo

que es w�-compacto. La convexidad de K es evidente. El resto sigue de(i), (ii), y del hecho que �K es isomor�smo reticular.

(iv) Supongamos existe w 2 K tal que j� (w) =2 Ext

�M (G)+

�1: Por el Teo-

rema 13.1 hay al menos dos puntos distintos a; b 2 Sop (j� (w)) : SeanU; V entornos abiertos disjuntos de a y b respectivamente. Como ambostienen j� (m)-medida positiva hay funciones x1; x2 2

�C (G)+

�1, con so-

portes contenidos en U y V respectivamente, tales que hxj; j� (w)i > 0,j = 1; 2: Notamos que x1 ^ x2 = 0C(G) y

0 = hx1 ^ x2; j� (w)i= hj (x1 ^ x2) ; wi= hj (x1) ^ j (x2) ; wi (por la Prop. 12.21)

= m��n fhj (x1) ; wi ; hj (x2) ; wig> 0;

66

lo cual es absurdo. Ahora, por el Teorema 13.1 bastar�a ver que dadoa 2 G existe una extensi�on �a 2 K de �a: Precisamente, �a es unestado de C (G), C (G) ,! L1 (G) en cuanto C�-sub�algebra. Existe�a 2 �L1(G) tal que �a jj(CG))= �a, o bien j

� (�a) = �a (V. [79], Th.4.3.13). Como L1 (G) es C�-�algebra abeliana �L1(G) = Ext

�L1 (G)��+

�(cf. [79], Prop. 4.4.1). M�as a�un, �L1(G) = K (Combinar la Prop.12.19 con la Prop. 3.4.6 de [79]).

(v) Dado w 2 Ext (K), como w 2 K existe � 2 P (K) tal que w = ��K (�) y

w (1G) = h1G; ��K (�)i = h1G; �i = 1:

Bastar�a ahora, por la Prop. 12.21, ver que w es homomor�smo reticularsobre L1 (G) : Aplicando la Prop. 12.19 veamos que R�0w es un rayoextremo de L1 (G)�+ : Supongamos que cw � z = v para ciertos c > 0,z; v 2 L1 (G)�+, y veamos que z 2 R�0w: Podemos suponer que v yz son no nulos. Como L1 (G) es espacio de tipo (AM) con unidadtenemos

kj� (v)k = kvk = v (1G) > 0 y kj� (z)k = kzk = z (1G) > 0:

Ahora

w =z + v

c=z (1G)

c

z

kj� (z)k +v (1G)

c

v

kj� (v)k ; (82)

1 = w (1G) =z (1G)

c+v (1G)

c:

Adem�as

�e = j� (w) =z (1G)

c

j�(z)

kj� (z)k +v (1G)

c

j�(v)

kj� (v)k

y como �e 2 Ext�M (G)+

�1,

fz= kj� (z)k ; v= kj� (v)kg � (j�)�1 (f�eg) :

Como ��K (P (K)) = L1 (G)�+ deducimos que tanto z= kj� (z)k comov= kj� (v)k pertenecen a K y, por (82), z = kj� (z)kw: Notemos ahoraque K �

�L1 (G)�+

�1y Ext (K) � K \ K como consecuencia de la

Prop. 12.21.

(vi) Dado ' 2 K \ K sea U 2 U' (K), entorno abierto y cerrado de ' enK : Escribamos

xU = ��1(j�(U))=mG

��1 (j� (U))

�; (83)

67

donde � : G ! Ext�M (G)+

�1es el homeomor�smo de�nido en la

Prop. 10.1(v) (V. el Teorema 13.1). Notemos que j� jKes isom�etrica,i.e. es inyectiva. Por (iv) j� jK : K ! Ext

�M (G)+

�1es continua y

cerrada porque K es compacto separado. Como U es abierto y

j� (K � U) = Ext�M (G)+

�1� j� (U) ;

j� (U) es abierto en Ext�M (G)+

�1: As�� 1 (j� (U)) es abierto en G

y (83) est�a bien de�nido. Por otra parte, si V 2 Ue (G), V1 2 U' (K)si V1 = (j�)�1 (� (V )) : Sea V2 2 U' (K) abierto y cerrado tal queV2 � V1: Ahora �

�1 (j� (V2)) � V . Podemos concluir que fxUgU2U'(K)es una aproximaci�on acotada de la unidad de L1 (G)+ (V. el Teorema11.6). Ahora, �e = w�-l��mU2U'(K) k (xU) y como j� jKdeviene homeo-mor�smo y �e = j� (') deducimos que ' = w�-l��mU2U'(K) �L1(G) (xU).Por (iii) y (v) sigue la a�rmaci�on cuando ' 2 K.

(vii) Es ahora inmediato.

(viii) Sean a 2 C(G); x; y 2 L1 (G) ; � 2 L1 (G)��. Como

hy; j (a)xi = hx � y; j (a)i

=

ZG

ZG

x (t) y�t�1s

�dmG (t) a (s) dmG (s)

=

ZG

ZG

x�t�1�y (ts) �G

�t�1�dmG (t) a (s) dmG (s)

=

ZG

y (u) �G

�u�1� Z

G

x�su�1

�a (s) dmG (s) dmG (u)

=

ZG

y (u)

ZG

x (v) a (vu) dmG(v)dmG (u) ;

observamos que no solamente

(j (a)x) (u) =

ZG

x (v) a (vu) dmG(v) si u 2 G

sin�o que j (a)x 2 C(G): Ahoraa; j�

��L1(G) (x)

�� j� (�)

�=

ZG

ZG

a (st)x (s) dmG (s) dj� (�) (t) (84)

=

ZG

(j (a)x) (t) dj� (�) (t)

= hj (a)x; j� (�)i= ha; j� (x�)i :

68

Por (84), como j� 2 (w�; w�), R(M(G);�)� 2 (w�; w�) si � 2 M(G) y

R(L1(G)��;�)� 2 (w�; w�) sigue (viii).

(ix) Si ' 2 K, como j� (') = �e, ' es idempotente y j� es homomor�smo

claramente se tiene

(1� ')�L1 (G)�� 2 L1 (G)�� : '�� = 0

� ker (j�) :

Si � 2 ker (j�) por (i) '�� = 0. Como

L1 (G)�� = '�L1 (G)�� + (1� ')�L1 (G)��

obtenemos que � 2 (1� ')�L1 (G)�� :

(x) Dado ' 2 K, ker (j�) es ciertamente w�-cerrado y como �L1(G) (x) = 'xsi x 2 L1 (G), '�L1 (G)�� es w�-denso en L1 (G)�� : Adem�as como j�

es homomor�smo y j� (') = �e�'�L1 (G)��

�\ ker (j�) = f0g ;

por lo que la suma en (75) es algebraica. Adem�as ker (j�) y '�L1 (G)��

son cerrados pues j� es acotado, ' es idempotente y (L1 (G)�� ;�) es�algebra asociativa. Si '; 2 K fueren distintos ser�a

� ' 2 (1� ')�L1 (G)��

pero1 = k k < k � 'k+ k'k = k � 'k+ 1:

(xi) Por (x), '�L1 (G)�� M (G) pues j� es suryectiva. Por (i) sigue que

ker (j�) � ander�L1 (G)�� ;�

�� J

�L1 (G)�� ;�

�(85)

Pero M (G) es semisimple (cf. [24], Th. 3.3.6 (i)) y

M (G) � L1 (G)�� = ker (j�) : (86)

De (85) y (86) deducimos que J (L1 (G)�� ;�) = ker (j�) :

(xii) Por (i) L1(G) anula a ker (j�) a ambos lados. Por (xi), si ' 2 K hayun isomor�smo F : '�L1 (G)�� ! M (G) tal que F ('� ) = j� ( ) si 2 L1 (G)�� : Notemos que F est�a bien de�nido, ya que si '� = 0por (ix) 2 ker (j�) : Por otra parte F es claramente lineal y suryectivopor serlo j�. Adem�as, como ' 2 Ud (L1 (G)�� ;�) ; podemos escribir

F (('� )� ('��)) = F ('� ( ��)) = j� ( ��) = j� ( ) � j� (�)

69

si ; � 2 L1 (G)�� ; i.e. F es homomor�smo algebraico. Asimismo, F esinyectivo como sigue observando la demostraci�on de (x). En particular,�L1(G)(L

1 (G)) � '�L1 (G)�� y si x 2 L1 (G) tenemos

F�'��L1(G) (x)

�= j�

��L1(G) (x)

�= k(x): (87)

Podemos escribir

F (x ('� )) = F��'��L1(G)(x)

�� ('� )

�= F

�'��L1(G)(x)

�� F ('� )

= k (x) � j� ( ) ;

y como k (L1 (G)) es ideal deM(G); F (x ('� )) 2 k (L1 (G)) : An�aloga-mente,

F (('� )x) = F ('� ( x)) = j� ( x) = j� ( ) � k(x)

y F (('� )x) 2 k (L1 (G)) : En de�nitiva, por (87) sigue que

Im��L1(G)

�= F�1 (Im (k))

deviene en ideal bil�atero de (L1 (G)�� ;�) :

(xiii) Basta considerar el Teorema 6.1 y la Obs. 6.3.

(xiv) Dados ' 6= en K, 2 �L1 (G)�� pues es idempotente. Adem�as = '� + ( � '� ) es la �unica representaci�on posible de ' encuanto elemento de '�L1 (G)�� + ker (j�) conforme a (75). Pero esunidad a derecha y como ' 6= inferimos que =2 '�L1 (G)�� :

10.5. Subm�odulos de M ()

Proposici�on 10.14 (cf. [28], Prop. 4.1) Sea espacio de Hausdor� local-mente compacto.

(i) Si X es C0 ()-subm�odulo cerrado de M () entonces Xo es ideal w�-cerrado de (C0 ()�� ;�), (X�;�) es C�-�algebra y �(X�;�) � h (Xo),donde

h (Xo) =�m 2 �(C0()

��;�) : Xo � ker(m)

es la c�apsula de Xo en �(C0()��;�):

(ii) Hay una correspondencia biyectiva entre C0 () subm�odulos cerrados deM () y la clase clo

��(C0()

��;�)�

de subconjuntos clopen (o simult�anea-mente abiertos y cerrados) del cubrimiento hiper-stoneano �(C0()

��;�).

70

(iii) Todo C0 (-)subm�odulo cerrado de M () es suplementable.

Demostraci�on 10.15 (i) Si X es subm�odulo cerrado de M () ; Xo es idealw�-cerrado de (C0 ()�� ;�) y (X�;�) es C�-�algebra como consecuenciade la Prop. 12.6. Por otra parte, sea F : h (Xo) ! �(X�;�) la funci�onsiguiente: �jada m 2 h (Xo) sea em : C0 ()�� =Xo ! C el �unico ho-momor�smo tal que m = em � p; donde p : C0 ()�� ! C0 ()�� =Xo

es la proyecci�on al cociente. Con la notaci�on de la Proposici�on 12.4(ii)hagamos F (m) = em � FC0();X : Es f�acil ver que dado x� 2 X� esF (m)(x�) = m () ; donde 2 C0 ()�� es cualquier extensi�on de x�.Luego F est�a bien de�nida, es inyectiva y F 2 (w�; w�). Si s 2 �(X�;�)sea ms : C0 ()�� ! C tal que ms () = s ( jX) si 2 C0 ()�� : En-tonces s 2 �(C0()

��;�) porque ms = s �F�1C0();X � p. Adem�as, si 2 Xo

entonces ms () = 0, i.e. ms 2 h (Xo) : Finalmente, con esta notaci�on

F (ms) (x�) = ms () = s (x�) ;

o sea F (ms) = s y necesariamente F es un homeomor�smo.

(ii) Como Xo deviene ideal cerrado de la C�-�algebra (C0 ()�� ;�) tiene unaaproximaci�on acotada f�jgj2J de la identidad (V. [30], Th. I.4.8, p.11). Por el teorema de Alaoglu, considerando eventualmente alguna sub-red, podemos suponer existe � 2 Xo tal que � = w�-l��mj2J �j: Veamosque

��(C0()��;�)�h(Xo) = G(C0()��;�) (�) : (88)

En efecto, si m 2 h (Xo),

G(C0()��;�) (�) (m) = m (�) = 0 = ��(C0()��;�)�h(Xo) (m) :

Adem�as �� = � si � 2 Xo : si � 2 M () resulta

h�;�i = l��mj2Jh�;�j��i = l��m

j2Jh��;�ji = h��;�i = h�;��i :

Si m 2 �(C0()��;�) � h (Xo) consideremos � 2 Xo � ker (m). Como

m (�) = m (��) = m (�)m (�)

sigue que

G(C0()��;�) (�) (m) = m (�) = 1 = ��(C0()��;�)�h(Xo) (m) ;

tenemos (88) y h (Xo) 2 clo��(C0()

��;�)�: Si L 2 clo

��(C0()

��;�)�

existe �L 2 C0 ()�� unico tal que

G(C0()

��;�) (�L) = �L:

71

Si XL , M ()�L, como �L es necesariamente idempotente en C0 ()�� ;XL es un C0 ()-subm�odulo de Banach de M () : Veamos ahora que

h ((XL)o) = L: (89)

En efecto, sean m 2 L y 2 C0 ()�� tal que jXL= 0: Entonces 2 (XL)o y si � 2 M () es

h�L�;i = h�;��Li = 0;

i.e. ��L = 0C0()�� : As��

G(C0()��;�) (��L) = G(C0()��;�) ()�L = 0C[�(C0()��;�)];

h;mi = 0, (XL)o � ker (m) y m 2 h ((XL)o) : Si n 2 �(C0()��;�) � L

sea �Lc 2 C0 ()�� tal que G(C0()

��;�) (�Lc) = ��(C0()

��;�)�L: Como

0 = �L��(C0()��;�)�L = G(C0()��;�) (�L��Lc)

resulta �L��Lc = 0C0()�� y si � 2 M () es

h�L�; �Lci = h�; �L��Lci = 0:

Luego �Lc 2 (XL)o pero

h�Lc ; ni = G(C0()

��;�) (�Lc) (n) = ��(C0()

��;�)�L (n) = 1;

o sea (XL)o " ker (n), n =2 h ((XL)o) y sigue (89). Si L 2 clo��(C0()

��;�)�

es f�acil ver que

hhM ()G�1

(C0()��;�)

(�L)i

= L,

mientras que si X es C0 ()-subm�odulo de Banach de M () entonces

X = M ()G�1(C0()

��;�)

��h(Xo)

�; (90)

de donde sigue (i).

(iii) Como se~nalamos en la Secci�on 10 (C0 ()�� ;�) es una C�-�algebra uni-taria. Dado un C0 ()-subm�odulo cerrado X de M () tenemos

1(C0()

��;�) = G�1(C0()

��;�)

�1C(�(C0()��;�))

�= G�1

(C0()��;�)

��h(Xo)

�+G�1

(C0()��;�)

��

(C0()��;�)�h(X

o)

�:

72

Por lo tanto si � 2 M () tenemos

� = 1(C0()

��;�)

= �G�1(C0()

��;�)

��h(Xo)

�+ �G�1

(C0()��;�)

��

(C0()��;�)�h(X

o)

�;

y si Y , M ()G�1(C0()

��;�)

��

(C0()��;�)�h(X

o)

�por (90) vemos que

M () = X + Y . M�as a�un, como G�1(C0()

��;�)

��h(Xo)

�es idempotente

X \ Y =�

0M():

11. El problema de regularidad en L1 (G)11.1. Una observaci�on de M. M. Day

De�nici�on 11.1 2829Sea G grupo localmente compacto. Se dice que un ele-mento P 2 L1 (G)� es un promedio si kPk = h1; P i = 1: Un promedio Pes invariante a izquierda (resp. invariante a derecha) si hl�a�; P i = h�; P i(resp. hr�a�; P i = h�; P i) cualesquiera sean � 2 L1 (G) y a 2 G, donde(laf) (x) , f(ax) (resp. (raf) (x) , f(xa)) si a; x 2 G y f 2 L1(G): Unpromedio es invariante si lo es tanto a izquierda como a derecha.

Lema 11.2 (cf. [36], Th. 1, p. 530) Si G es un grupo discreto L1(G)� es noabeliano si tiene al menos dos promedios invariantes a izquierda.

Demostraci�on 11.3 Siendo discreto, L1 (G) se identi�ca con la clase defunciones complejas acotadas. Consideremos el subespacio

F = f 2 L1 (G)� : hl�a�;i = h�;i si � 2 L1 (G) y a 2 Gg

y sean � 2 L1 (G)�, 2 F; � 2 L1 (G) : Si f 2 L1 (G) y a 2 G resultaf; ��fag

�=�fag � f; �

�=Xx2G

��fag � f

�(x)� (x)

=Xx2G

f�a�1x

�� (x)

=Xy2G

f(y)� (ay) ;

= hf; l�a�1�i ;28Palabras clave: Promedios. Invariancia.29V. [90].

73

o bien ��fag = l�a�1�: As��fag;�

�= hl�a�1�;i = h�;i :

Luego � = h�;i 1 y h�;��i = h�;i h1;�i, o bien �� = h1;�i:Supongamos que hay dos promedios distintos P;Q invariantes a izquierda.Entonces

P�Q = h1; P iQ = Q 6= P = h1; QiP = Q�P:

Corolario 11.4 Si G es discreto, abeliano y L1 (G)� tiene al menos dospromedios entonces L1 (G) no es Arens-regular.

Demostraci�on 11.5 Sigue del Lema 11.2 y de la Prop. 2.7,(vi).

11.2. Teorema de C. Graham

Teorema 11.6 30(cf. [19] ; [58]) Sea G un grupo localmente compacto separa-do no discreto. Entonces L1 (G) no es Arens-regular y L1 (G)�� no es semisim-ple.

Demostraci�on 11.7 Sea Q = fUaga2A la familia de entornos relativamentecompactos de la identidad e de G. Si a; b 2 A escribiremos a � b si y solosi Ub � Ua, lo que induce un orden parcial en Q. Para a 2 A escribiremosga , (�Ua) =mG (Ua) ; donde mG denota de medida de Haar de G. Entoncesfgaga2A es una aproximaci�on acotada de la identidad de L1(G): En efecto,ciertamente, si a 2 A tenemos kgak1 = 1 y si f 2 L1 (G) vemos que

kf � ga � fk1 �1

mG (Ua)

ZUa

kf � Lx�1fk1 dmG(x); (91)

kf � f � gak1 �1

mG (Ua)

ZUa

kf �Rxfk1 dmG(x);

donde para x; y 2 G y f 2 L1 (G) escribimos

L : G ! B (L1 (G)) ; (Lxf) (y) , f(xy);R : G ! B (L1 (G)) ; (Rxf) (y) = f (yx) :

Notamos que las funciones anteriores est�an bien de�nidas. Por (91) la con-clusi�on ser�a consecuencia de la continuidad de las funciones x ! Lxf yx ! Rxf en e, ya que la inversi�on es continua sobre G. Si f 2 Cc (G) en-tonces f es uniformemente continua a derecha. Dado " > 0 existe a0 2 A

30V. el Corolario 11.37.

74

tal que jf(s)� f(t)j � " si st�1 2 Ua0. Luego, si a � a0 en A y si x 2 Uatenemos

kf � Lxfk1 =

ZSop(f)[x�1 Sop(f)

jf(y)� f(xy)j dmG (y) � 2"mG (Sop (f)) :

Como " > 0 es arbitrario sigue la a�rmaci�on. Para el caso general, bastaconsiderar la densidad de Cc (G) en L1 (G) y que fLxgx2G es una familia deisometr��as por la invariancia a izquierda de la medida de Haar.31 Asimismo,si f 2 Cc (G) tambi�en f es uniformemente continua a izquierda y no hayp�erdida de generalidad si suponemos que jf(s)� f(t)j � " si s�1t 2 Ua0 :Ahora, si a � a0 y si x 2 Ua tenemos

kf �Rxfk1 =

ZSop(f)[Sop(f)x�1

jf(y)� f(yx)j dmG (y) (92)

� "mG (Sop (f))�1 + �G

�x�1��;

donde �G denota la funci�on modular de G: Como �G es continua y Ua0 tieneclausura compacta de (92) tenemos

kf �Rxfk1 � "mG (Sop (f)) m�axx2Ua0

�1 + �G

�x�1�;

y sigue la continuidad de x ! Rxf . En el caso general, se ha de considerarnuevamente la densidad de Cc (G) en L1 (G), la continuidad de la funci�onmodular y que kRxgk1 = kgk1 =�G(x) si x 2 G y g 2 L1 (G) : Fijado ahoraa1 2 A, puesto que G no es discreto existe x0 2 Ua1�feg : Como Ua1�fx0g esentorno abierto de e existe V entorno abierto de e tal que V V � Ua1�fx0g :Sea W1 entorno abierto relativamente compacto de e tal que W1 � V (cf.[115], Th. 2.7, p. 38). Como W1 es compacto, W1W1 � W1 W1: As�� W1 2 Qy W1W1 Ua1 : Sea b1 2 A tal que Ub1 , Ua1 �W1W1. Existe c1 2 A tal quekgb1 � gb1 � gbk1 � 2�1 si b � c1: Sea a2 2 A tal que Ua2 & W1\Uc1 y W2 2 Qtal que W2W2 Ua2 : Sea b2 2 A tal que Ub2 , Ua2 �W2W2; de modo queUb2 � Ua2 & Uc1 y kgb1 � gb1 � gb2k1 � 2�1: Inductivamente, si n es un enteropositivo mayor que uno supongamos hallados a1; b1; c1; :::; an; bn; cn�1 2 A,

31Basta notar que Cc (G) es denso en la clase de funciones simples soportadas en sub-conjuntos de medida �nita de G: Si E es un subconjunto medible de G, 0 < mG (E) <1 y� > 0 hay un abierto V y un compacto C tales que C � E � V y mG (V � C) < �=2: Porel lema de Urysohn existe g : G! [0; 1] continua tal que g (C) = f1g y g (G� V ) = f0g :Entonces

kg � �Ek1 =ZV�C

jg (x)� �E (x)j dmG (x) � 2mG (V � C) < �:

75

W1; :::;Wn 2 Q de manera que WjWj & Uaj , Ubj , Uaj�WjWj si 1 � j � n, gbj � gbj � gbk 1� 2�j�k+2 si 1 � j < k � n y Uaj+1 & Wj\Ucj si 1 � j < n:

Sea cn 2 A tal que gbj � gbj � gb

1� 2�2n+1 si b � cn y sea an+1 2 A tal

que Uan+1 & Wn \ Ucn : Existen entonces Wn+1 2 Q y bn+1 2 A tales queWn+1Wn+1 & Uan+1 y Ubn+1 = Uan+1 � Wn+1Wn+1: Si 1 � j � n tenemosUbn+1 � Uan+1 & Ucn y gbj � gbj � gbn+1

1� 2�2n+1 � 2�j�(n+1)+2;

y sigue el paso inductivo. Hagamos ahora fj , gb2j�1 � gb2j ; j 2 N. Comolas funciones gbj�s tienen soportes disjuntos existe � 2 [L1 (G)]1 tal quehfj; �i = 2 para todo j: Pasando eventualmente a subsucesiones, podemossuponer que existen G = w�-l��mj!1 �L1(G)(fj) y F = w�-l��mk!1 �L1(G)(gbk)en L1 (G)� : Tenemos entonces

h�; F�Gi = l��mj!1

l��mk!1

hfjgbk ; �i = l��mj!1

hfj; �i = 2;

h�; F�Gi = l��mk!1

l��mj!1

hfjgbk ; �i = 0;

i.e. L1 (G) no es Arens regular. Por otra parte, si � 2 L1 (G) y f 2 L1 (G)tenemos

hf;G�i = h�f;Gi = l��mj!1

hfj; �fi = l��mj!1

hf � fj; �i = 0;

i.e. G� = 0: En consecuencia h�;G�Gi = 0 y conclu��mos que G�G = 0:Pero h�;Gi = 2, i.e. G 6= 0 y conclu��mos que (L1 (G)�� ;�) no es semisimple.An�alogamente, G�G = 0 y (L1 (G)�� ;�) es no semisimple.

11.3. La caracterizaci�on de N. J. Young

Teorema 11.8 (cf. [140]) Sea G un grupo separado localmente compacto.Entonces L1 (G) es Arens regular si y solo si G es �nito.

Demostraci�on 11.9 La condici�on es claramente su�ciente, pues si G es�nito entonces L1 (G) es �nito dimensional y, por lo tanto, re exivo. Paraprobar la necesidad, demostraremos la existencia de sucesiones fCng1n=1 yfDmg1m=1 de subconjuntos compactos de medida de Haar positiva de G talesque la sucesi�on fCnDmgn;m2N es disjunta y

([1n=1 [m>n CnDm)\

([1m=1 [n>m CnDm) = ?:

76

Luego haremos fn , mG (Cn)�1 �Cn, gm , mG (Dm)�1 �Dm donde m;n 2 N.Si h , �[1n=1[m>nCnDm entonces h 2 L1 (G) y

hfn � gm; hi =

Z[1n=1[m>nCnDm

ZCn

�Dm�y�1x

�dmG(y)

dmG (x)

mG (Cn)mG (Dm)

(93)

=1

mG (Cn)mG (Dm)

Z[1n=1[m>nCnDm

mG�xD�1

m \ Cn�dmG (x)

=1

mG (Cn)mG (Dm)

Xp>q

ZCqDp

mG�xD�1

m \ Cn�dmG (x) :

Claramente hfn � gm; hi = 0 si m < n. Si m > n tenemos xD�1m \Cn 6= ? si

y solo si x 2 CnDm, y por (93) obtenemos32

hfn � gm; hi =1

mG (Cn)mG (Dm)

ZCnDm

mG�xD�1

m \ Cn�dmG (x)

=1

mG (Cn)mG (Dm)

ZGmG�xD�1

m \ Cn�dmG (x)

= 1:

Deducimos que los l��mites iterados

l��mn!1

l��mm!1

hfn � gm; hi y l��mm!1

l��mn!1

hfn � gm; hi

existen y son distintos y basta aplicar el Teorema 3.1. Haremos la construc-ci�on de las sucesiones considerando (i) G localmente compacto no compacto,y (ii) G compacto.

(i) Como G es separado y localmente compacto no compacto existen con-juntos disjuntos, compactos, con interior no vac��o, C1 y D1. Supon-gamos hallados conjuntos compactos C1; :::; Cn y D1; :::; Dn tales queCi \Cj = Di \Dj = ? si i 6= j; 1 � i; j � n; y de modo que la familiafCiDjg1�i;j�n es disjunta. El conjunto

H , C1 [ ::: [ Cn[[r;s;t�n CrDsD

�1t

32Por [68], Th. F, p. 261 tenemosZGmG

�xD�1

m \ Cn�dmG (x) =

ZGmG

�D�1m \ x�1Cn

�dmG (x)

= mG (Cn)mG (Dm) :

77

es compacto y G�[r 6=s�nDrD�1s es entorno abierto del elemento id�enti-

co e de G. Luego, el conjunto

V ,�

(y; z) : y�1z 2 G � [r 6=s�nDrD�1s

es abierto en G � G. Si x 2 G �H entonces (x; x) 2 V y hay entoncesun entorno abierto U de x tal que U � U � V: Asimismo, U � H esentorno abierto de x y por la regularidad de la medida de Haar hay uncompacto con medida de Haar positiva Cn+1 contenido en U �H: As��,C1; :::; Cn; Cn+1 son disjuntos y Cn+1Dk \ CiDj = ? si 1 � i; j; k � n:An�alogamente, el conjunto

H1 , D1 [ ::: [Dn

[[r;s�n+1;t�n C�1r CsDt

es compacto y G � [r 6=s�n+1CrC�1s es entorno abierto del elementoid�entico e de G. Asimismo, el conjunto

V1 ,�

(y; z) 2 G � G : y�1z 2 G � [r 6=s�n+1CrC�1s

es abierto en G � G. Si y 2 G�H1 entonces (y; y) 2 V1 y hay un entornoabierto U1 de y tal que U1�U1 � V1: Adem�as U1�H1 deviene entornoabierto de y, y tiene necesariamente medida de Haar positiva. Por laregularidad de la medida existe un conjunto compacto Dn+1 de medidapositiva contenido en U1 �H1. Luego D1; :::; Dn; Dn+1 son disjuntos yCrDn+1 \ CsDt 6= ? solo si r = s y t = n + 1, de modo que es v�alidoel paso inductivo.

(ii) Si G es compacto e in�nito su topolog��a es no discreta. Determinare-mos las sucesiones disjuntas fCng1n=1 y fDmg1m=1 de subconjuntos com-pactos de medida de Haar positiva de G sujetas a las condiciones adi-cionales siguientes: (C1) e =2 Cr [Dr: (C2) Cr \ (Ds [D�1

s ) = ?. (C3)CrDs \ CpDq = ? si r < s y p > q: (C4) e =2 CrDsD

�1t si r < s y

e =2 C�1r CsDt si s > t: Para ello, si x 6= e sean U; V entornos disjuntosde x y e respectivamente. Como U 6= ? por la regularidad de la me-dida de Haar sea C1 subconjunto compacto de medida positiva de U .An�alogamente, como V�feg es abierto no vac��o existeD1 compacto conmedida de Haar positiva disjunto con C1 [ C�11 [ feg : EvidentementeC1 y D1 satisfacen las condiciones (C1)-(C4). Supongamos inductiva-mente hallados C1; :::; Cn y D1; :::; Dn con las condiciones requeridas.Escribiremos

H2 ,[r�n

�Cr [Dr [ C�1r [D�1

r

�[ [r;s�n

Cr�Ds [D�1

s

�[ [t�n;r<s�n

CrDsD�1t :

(94)

78

Notar que H2 es compacto y e =2 H2 por (C1), (C2) y (C4). Adem�asG � [r�nDr es entorno de e y razonando como antes el conjunto

V2 ,(

(y; z) 2 G � G : y�1z 2 G �[r�n

Dr

)

es un entorno de (e; e) : Sea U2 abierto tal que U�12 U2 \ Dr = ? sir � n y e 2 U2: Como G es no discreto hay un subconjunto compactoCn+1 de U2 � feg con medida de Haar positiva. Como Cn+1 \H2 = ?los conjuntos C1; :::; Cn; Cn+1; D1; :::; Dn devienen disjuntos. Notar queCn+1Dq \ CrDs = ? si r < s � n y q � n. Asimismo, e =2 C�1n+1CsDt

si s; t � n y e =2 C�1r Cn+1Dt si r; t � n: Con leves modi�caciones y unrazonamiento an�alogo sigue la construcci�on de Dn+1, y luego el pasoinductivo.

11.4. Productos de Arens y compactaciones de Stone-�Cech

Si G es grupo discreto por el teorema de Hildebrandt l1 (G)�� Mf:ad: (G),de modo que queda inducido en Mf:ad: (G) el siguiente producto de medidas:sean �1; �2 2 Mf:ad: (G) ; E 2 P (G) y : l1 (G)�� ! Mf:ad: (G) el isomor�smode�nido en el Teorema 13.39. Escribimos

(�1 � �2) (E) , ��1 (�1)��1 (�2)

�(E) (95)

=�E;

�1 (�1)��1 (�2)�

=�1 (�2)�E;

�1 (�1)�

=

ZG

�1 (�2)�Ed�1

=

ZG�2�a�1E

�d�1 (a) :

As�� : (l1 (G)�� ;�) ! (Mf:ad: (X) ; �) es un isomor�smo isom�etrico de �alge-bras de Banach. Por otra parte, l1 (G) = Cb (G) ya que G se asume discreto.Sea � : G ! Cb (G)� tal que hx; � (a)i = x (a) para a 2 G y x 2 Cb (G) :Haciendo xa , f�a;bx(a)gb2G para a 2 G, como

hx; � (a)i = x (a) =x; �l1(G)

�f�a;bx(a)gb2G

��si x 2 l1 (G)� resulta � (a) = �l1(G) (xa) : Adem�as, �G = f� (a) : a 2 Ggw

�

es la

compactaci�on de Stone-�Cech de G.

79

Teorema 11.10 (cf. [19], Th. 3.4) Sea G un grupo discreto.

(i) (�G;�) es semigrupo.

(ii) Si G posee alg�un elemento de orden in�nito entonces (�G;�) no es essemigrupo topol�ogico.

Demostraci�on 11.11 (i) Sea s 2 �G, s = w�-l��mj2J � (xaj) : Si E � G setiene

(s) (E) = h�E; si = l��mj2Jhxaj ; �Ei = l��m

j2J�E (aj) ;

i.e. Im ( (s)) � f0; 1g : Si � 2 Mf:ad: (X) e Im (�) � f0; 1g entonces�1 (�) 2 �G. Precisamente, supongamos existe E 2 P (G) tal que� (E) =2 f0; 1g : Sea U = f� 2 l1 (G)�� : jh�E;��1 (�)ij < dg ; con0 < d < m��n fj� (E)j ; 1� j� (E)jg : Entonces U es w�-entorno de�1 (�) disjunto con � (G) ; de modo que �1 (�) =2 �G. Hemos proba-do entonces que (�G) consiste de las medidas �nitamente aditivasacotadas sobre G que toman solo los valores cero o uno. Indiquemos (sj) = �j, j = 1; 2; con s1; s2 2 �G. Si F 2 P (G) por (95) tenemos

(�1 � �2) (F ) =

ZF

�2�a�1F

�d�1(a)

= �1��a 2 G : �2

�a�1F

�= 1�;

i.e. Im(�1 ��2) � f0; 1g y como �1 (�1 � �2) = s1�s2 sigue la a�rma-ci�on.

(ii) Sea a0 2 G tal que el subgrupo H , fam0 : m 2 Zg es isomorfo algrupo aditivo de n�umeros enteros. Consideremos �1 2 Mf:ad: (G) talque �1 (H+) = 1 y �1 (F ) = 0 si F es una parte de G �nita o disjuntacon H+ , fam0 : m 2 Ng. Sea �2 2 Mf:ad: (G) tal que �2 (F ) , �1 (F�1)si F 2 P (G) : Escribiremos si , �1 (�i) ; i = 1; 2: Entonces

(�1 � �2)�H+�

= �1��a 2 G : �2

�a�1H+

�= 1�

(96)

= �1��a 2 G : �1

�H�a

�= 1�;

donde H� ,�a�m0 : m 2 N

: Si para a 2 G fuera �1 (H�a) = 1

ser�a (H�a) \H+ 6= ? y �nito, de modo que

1 = �1�H�a

�= �1

��H�a

�\H+

�= 0;

lo cual es absurdo. De (96) sigue que

(�1 � �2)�H+�

= h�H+ ; s1�s2i = 0: (97)

80

Asimismo,

(�2 � �1)�H+�

= �2��a 2 G : �1

�a�1H+

�= 1�

(98)

= �1��a�1 2 G : �1

�a�1H+

�= 1�

= �1 (H)

= 1:

Veamos que s1 2 �H: sea t 2 l1 (H)�� el �unico funcional correspon-diente a �1 jP(H)por el teorema de Hildebrandt. Dado h� 2 l1 (H)�

vemos que

hh�; ti =

ZHh�d�1 =

ZGh��Hd�1 = hh��H; s1i :

Como �1 jP(H) toma solo los valores cero o uno sea fajgj2J � H tal

que t = w�-l��mj2J �l1(H) (xaj) : Si g� 2 l1 (G)� tenemos

hg�; s1i =

ZGg�d�1

=

ZH+

g�d�1

= hg��H; ti= l��m

j2Jhxaj ; g��Hi = l��m

j2Jhxaj ; g�i ;

de modo que s1 2 �H. Fijado a 2 H notamos que xag� = g�xa. Enefecto, como �2 jP(G�H)� 0 bastar�a ver que ambos funcionales coincidensobre H. Pero si b 2 H tenemos

(xag�) (b) =xb; xag�

�=xb � xa; g�

�=xba; g�

�=xab; g�

�=xa � xb; g�

�=xb; g�xa

�= (g�xa) (b) :

En consecuencia sigue que

s1�s2 = w�- l��mj2J

(xajs2) = w�- l��mj2J

(s2xaj) : (99)

Si (�G;�) fuere semigrupo topol�ogico por (99) ser��a s1�s2 = s2�s1, locual no es cierto en virtud de (97) y (98).

81

11.5. �Algebras sobre semigrupos semitopol�ogicos

Lema 11.12 33Sean E un espacio topol�ogico, E1 un subespacio denso de E,F un espacio de Tijonov y f : E ! F una funci�on tal que para cada x0 2 Ees f (x0) = l��mx2E1;x!x0 f(x): Entonces f es continua.

Demostraci�on 11.13 Por hip�otesis F resulta homeomorfo a un subespaciode [0; 1]C(F;[0;1]) (cf. [85], Cap. 4, Teo. 7, p. 140). Dicho homeomor�smo lo

da la aplicaci�on � : F ! [0; 1]C(F;[0;1]), � (y) = fg (y)gg2C(F;[0;1]), de�nidapara cada y 2 F: Bastar�a ver entonces la continuidad de � � f , notandoque (� � f) (x0) = l��mx2E1;x!x0 (� � f) (x) si x0 2 E: Luego basta ver queg � f 2 C (E; [0; 1]) si g 2 C (F; [0; 1]) : Como en todo caso se verif��ca lahip�otesis podemos asumir entonces que F � R. Sean x0 2 E, U 2 Ux0 yr < supx2U f(x): Existe x 2 U tal que r < f(x) y f(x) = l��mx12E1;x1!x f(x1):Sea V 2 Ux tal que f (x1) > r para todo x1 2 V \ E1: As��

r < supx12U\V \E1

f(x1) � supx12U\E1

f(x1)

y deducimos que

l��mx!x0

f (x) � supx2U

f(x) � supx12U\E1

f(x1);

i.e. l��mx!x0

f (x) � l��mx12E1;x1!x0

f(x1) = f(x0) y sigue enseguida la tesis.

Lema 11.14 Sean E un espacio topol�ogico separado, E1 un subespacio densode E, F un espacio de Tijonov y A un subconjunto de C (E;F ). Supongamosque para cada sucesi�on ffmg � A y cada sucesi�on fxng de E1 la sucesi�ondoble ffm (xn)g tiene alg�un punto de doble acumulaci�on !, i.e. dado un en-torno U de ! se tiene

] fn : ] fm : fm (xn) 2 Ugg = 1 y ] fm : ] fn : fm (xn) 2 Ugg = 1:

Entonces todo l��mite puntual de sucesiones de A es continuo y A devienecompacto respecto de la topolog��a de la convergencia puntual de C(E;F ) encuanto subespacio de FE:

Demostraci�on 11.15 Sea ffmg � A tal que existe f(x) , l��mm!1 fm(x)para cada x 2 E: Usaremos el Lema 11.12 para ver que f 2 C(E;F ); paralo cual bastar�a probar que f (x0) = l��mx2E1;x!x0 f(x) cuando x0 2 E: Como33Palabras clave: Espacios de Tijonov. Compactaci�on de Stone-�Cech. Funciones d�ebil-

mente casi peri�odicas. Puntos de doble acumulaci�on.

82

antes, podemos reducir el an�alisis al caso en que F � R. Suponiendo quef (x0) 6= l��mx2E1;x!x0 f(x) existir�a � > 0 de modo que si U 2 Ux0 existexU 2 U \ E1 tal que jf (xU)� f (x0)j � �: Por hip�otesis

l��mm!1

fm (xU) = f (xU) si U 2 Ux0 (100)

y como ffmg � C(E;F ) y E es separado es

l��mU2Ux0

fm (xU) = fm (x0) si m 2 N. (101)

En particular, existen m1 2 N y U1 2 Ux0 tales que

m�ax fjfm1 (x0)� f (x0)j ; jf1 (xU1)� f1 (x0)j ; jfm1 (xU1)� fm1 (x0)jg � 1

para cierto xU1 2 U \ E1: Sea n 2 N>1 y supongamos xU1 ; :::; xUn 2 E1 yfm1 ; :::; fmn 2 A tales que m1 < ::: < mn y

m�ax

�m�ax1�i<n

jfmn (xUi)� f (xUi)j ; m�ax1�j�n

��fmj(xUn)� fmj

(x0)�� 1=n:

(102)Por (100) existe mn+1 > mn tal que

��fmn+1 (xUi)� f (xUi)�� (n + 1)�1 si

1 � i � n: Por (101) existe xUn+1 2 E1 tal que��fmj

�xUn+1

�� fmj

(x0)�� (n+ 1)�1

si 1 � j � n+1 y sigue el paso inductivo. Ahora, por hip�otesis existe un puntode doble acumulaci�on z 2 F de la sucesi�on doble

�fmi

�xUj�. Si j 2 N, como��f �xUj�� f (x0)

�� > �=2 existe ij 2 N tal que��fmi

�xUj�� f (x0)

�� =2 sii � ij: En consecuencia z 6= f (x0) : Sin embargo, por (102) dado i 2 N esl��mj!1 fmi

�xUj�

= fmi(x0) y

f (x0) = l��mi!1

fmi(x0) = l��m

i!1l��mj!1

fmi

�xUj�:

Luego, ya que z es punto de doble acumulaci�on deber�a ser z = f(x0), resul-tando una contradicci�on.

Lema 11.16 Sean X, Y y Z espacios de Tijonov y f : X � Y ! Z unafunci�on lateralmente continua tal que para todo par de sucesiones fxng e fymgde X e Y el conjunto ff (xn; ym)g tiene alg�un punto de doble acumulaci�on.Entonces hay una extensi�on lateralmente continua F : �X ��Y ! �Z de f:

83

Demostraci�on 11.17 Fijado y 2 Y la funci�on f (�; y) 2 C (X; �Z) poseeuna extensi�on f1 (�; y) 2 C (�X; �Z) (V. [85], Cap. 5, Teo. 24, p. 176). Sibx 2 �X entonces f1 (bx; �) se realiza como l��mite puntual de elementos def (X; �) en C (Y; �Z) : As�� f1 : �X � Y ! �Z resulta lateralmente continuay por el Lema 11.14 el conjunto Im f1 (�; Y ) deviene compacto en C(�X; �Z)(en cuanto subespacio de �Z�X). An�alogamente, hay una extensi�on continuaf2 (x; �) 2 C (�Y; �Z) de f (x; �) para cada x 2 X y f2 : X � �Y ! �Z eslateralmente continua. A continuaci�on de�nimos las aplicaciones continuas� : Y ,! �Y ,

� : Y ! Im f1 (�; Y ); � (y) = f1 (�; y) si y 2 Y;� : �Y ! C (X;Z) ; � (by) = f2 (�; by) si by 2 �Y;

� : C(�X; �Z) ! C(X; �Z); � (g) = g jX si g 2 C(�X; �Z):

Notemos que � es inyectiva por la densidad de X en �X y si (x; y) 2 X � Yse tiene

(� � �) (y) (x) = � (y) (x)

= f1(x; y)

= f (x; y)

= f2 (x; y)

= � (y) (x) = (� � �) (y) (x) ;

i.e. � �� = � � �. M�as a�un, si by = l��mi2I yi en �Y; � (by) = � (l��mi2I f1(�; yi))y Im(�) � Im (�) : Como Im f1 (�; Y ) es compacto y C (X;Z) es separado� de�ne un homeomor�smo entre Im f1 (�; Y ) e Im (�) : Luego b� , ��1 � �extiende � de manera continua a una aplicaci�on b� : �Y ! C(�X; �Z).Finalmente, hagamos

F : �X � �Y ! �Z; F (bx; by) , b� (by) (bx) :

Si (x; y) 2 X � Y tenemos

F (x; y) = b� (y) (x) = ��1 (� (y)) (x) = f (x; y) ;

de modo que F extiende a f: Adem�as F (�; by) = b� (by) en C(�X; �Z) paracada by 2 �Y: Si bx 2 �X e by = l��mj2J byj en �Y entonces b� (by) = l��mj2J b�(byj)en C(�X; �Z) (en cuanto subespacio de �Z�X). Luego

F (bx; by) = b� (by) (bx) = l��mj2Jb�(byj) (bx) = l��m

j2JF (bx; byj)

y F es lateralmente continua.

84

Observaci�on 11.18 Sea K subconjunto acotado K de Cb (Z), siendo Z es-pacio localmente compacto. Entonces K es compacto en la topolog��a de laconvergencia puntual si y solo si { (K) es w�-compacto en C0 (Z)�� ; donde{ denota el monomor�smo

h�;{ (f)i =

ZX

fd� si f 2 Cb (Z) y � 2 M (Z) ;

(cf. [50], Th. 5.1). Sean X; Y espacios localmente compactos, F : X�Y ! Cuna funci�on acotada lateralmente continua y � 2 M (X) : Queda de�nidaF� 2 Cb (Y ) tal que F� (y) =

RXF (x; y) d� (x) para y 2 Y (cf. [50], Corollary

5.2). Se puede formar entonces la integral iteradaZY

ZX

F (x; y) d� (x) d� (y) ; con � 2 M(X) y � 2 M (Y ) :

Esta integral es independiente del orden de integraci�on (V. (cf. [51],Th. 3.1).Sea entonces S un semigrupo semitopol�ogico localmente continuo (i.e. elproducto de S es separadamente continuo). Si �; � 2 M(S) hay un �unico� � � 2 M(S) tal queZ

S

fd (� � �) =

ZS

ZS

f (xy) d� (x) d� (y) si f 2 Cb (S) :

Munido de esta convoluci�on, M (S) deviene en un �algebra de Banach (cf.[106], Th. 7.2).

Teorema 11.19 (cf. [141]) Sea S un semigrupo semitopol�ogico localmentecompacto de Hausdor�. Son equivalentes:

(i) � (Sd) admite estructura de semigrupo semitopol�ogico y contiene a Scomo subsemigrupo, donde � (Sd) es la compactaci�on de Stone-�Cechde S munido de la topolog��a discreta.

(ii) No hay sucesiones fxng e fymg de S tales que los siguientes conjuntosfxnym : n > mg y fxnym : n < mg est�an contenidos en conjuntos nulosdisjuntos.34

(iii) M (S) es regular.

(iv) l1(S) es regular.

34Un subconjunto cerrado de S se dice nulo si consiste del conjunto de puntos en losque se anula alguna funci�on real continua. Un subconjunto abierto de S se dice co-nulo sisu complemento es nulo.

85

(v) l1 (S) = WAP (S), donde WAP(S) es la clase de funciones d�ebilmentecasi peri�odicas35 sobre S.

Demostraci�on 11.20 (i) ii) Por hip�otesis hay una funci�on lateralmentecontinua F : � (Sd) � � (Sd) ! � (Sd), la cual de�ne el producto delsemigrupo � (Sd) y extiende la multiplicaci�on de la inmersi�on de S encuanto subespacio de � (Sd) : Supongamos existen sucesiones fxng ; fymgde S contenidas en sendos conjuntos nulos y disjuntos. Por la com-pacidad de � (Sd) ; considerando eventualmente subsucesiones, podemossuponer la existencia de

� = w� � l��mn!1

xn y � = w� � l��mm!1

ym:

Puesto que l1 (Sd) se identi�ca con la clase de funciones continuasacotadas complejas sobre Sd todo w

�-entorno U de F (�; �) es de laforma

U =

�� 2 � (Sd) : m�ax

x2Gjhx;�� F (�; �)ij < 1

�;

para cierto G 2 Pf (l1 (S)). Como F es continua a izquierda existen0 2 N tal que F (xn; �) 2 U si n � n0: Adem�as, para cada n � n0 e-xiste mn > n tal que F (xn; ym) 2 U si m � mn: Como F extiende

el producto de S podemos inferir que F (�; �) 2 fxnym : n < mgw�

:

An�alogamente, F (�; �) 2 fxnym : n > mgw�

, de modo que

fxnym : n < mgw�\

fxnym : n > mgw�

6= ?:

Escribiremos

A , fxnym : n < mg ; B , fxnym : n > mg ;F (�; �) = w�- l��m

a2��a = w�- l��m

b2�b;

donde f�aga2� y fbgb2� son sendas redes en A y B respectivamente.Entonces

0 = l��mb2�h�A;bi = h�A; F (�; �)i = l��m

a2�h�A;�ai = 1;

lo cual es evidentemente absurdo.

35WAP(S) consiste de las funciones escalares acotadas � sobre S tales que fs�gs2S esrelativamente d�ebilmente compacto, donde s� (t) = � (st) para todo s; t 2 S:

86

(ii) i) M�as generalmente, asumamos que S es un semigrupo semitopol�ogi-co de Tijonov. Si la multiplicaci�on p : S�S ! S adm��te una extensi�onlateralmente continua �p : �S��S ! �S entonces �p devendr�a asocia-tiva. Precisamente, sean �1; �2; �3 2 �S, digamos �j = w�-l��ms2�j �xj;spara j = 1; 2; 3; siendo �x 2 Cb (S)� la evaluaci�on usual en cada x 2 S:Entonces

�p (�p (�1; �2) ; �3) = l��mu2�3

�p��p (�1; �2) ; �x3;u

�= l��m

u2�3�p

�l��ms2�1

�p��x1;s ; �2

�; �x3;u

�= l��m

u2�3�p

�l��ms2�1

l��mt2�2

�p��x1;s ; �x2;t

�; �x3;u

�= l��m

u2�3l��ms2�1

l��mt2�2

�p��p��x1;s ; �x2;t

�; �x3;u

�= l��m

u2�3l��ms2�1

l��mt2�2

�p��p(x1;s;x2;t); �x3;u

�= l��m

u2�3l��ms2�1

l��mt2�2

�p(p(x1;s;x2;t);x3;u)

= l��mu2�3

l��ms2�1

l��mt2�2

�p(x1;s;p(x2;t;x3;u))

= l��mu2�3

l��ms2�1

l��mt2�2

�p��x1;s ; �p(x2;t;x3;u)

�= l��m

u2�3l��ms2�1

l��mt2�2

�p��x1;s ; �p

��x2;t ; �x3;u

��= l��m

u2�3l��mt2�2

�p��1; �p

��x2;t ; �x3;u

��= l��m

u2�3�p

��1; l��m

t2�2�p��x2;t ; �x3;u

��= l��m

u2�3�p��1; �p

��2; �x3;u

��= �p

��1; l��m

u2�3�p��2; �x3;u

��= �p (�1; �p (�2; �3)) :

Consideremos el caso general de espacios de Tijonov X; Y; Z entre losque hay de�nida una aplicaci�on f : X � Y ! Z lateralmente continua.Si f no admitiese una extensi�on lateralmente continua de �X��Y en�Z por el Lema 11.16 habr�a sucesiones fxng e fymg de X e Y de mo-do que ff (xn; ym)g no tiene punto de doble acumulaci�on. Como Z escompletamente regular la clase de abiertos co-nulos es base de abiertosde Z. En efecto, sean V abierto en Z y sea z 2 V: Como Z es comple-tamente regular hay una funci�on continua g : Z ! R tal que g (z) = 1y g (Z � V ) = f0g : As�� fg 6= 0g es abierto co-nulo, contiene a z y

87

est�a contenido en V: Luego todo ! 2 �Z tiene un entorno co-nulo U! dealguno de los siguientes tipos: ] fn : ] fm : f (xn; ym) 2 U!gg <1 (tipoI) o ] fm : ] fn : f (xn; ym) 2 Ugg <1 (tipo II). Por la compacidad de�Z existe F 2 Pf (�Z) de modo que �Z = [!2FU!: Podemos hacerF = FI [FII , donde U! ser�a abierto de tipo I o de tipo II seg�un ! 2 FIo ! 2 FII respectivamente. Hagamos P = [!2FIU! y Q = [!2FIIU!:Notando que la uni�on �nita de abiertos co-nulos es abierto co-nulo Py Q devienen abiertos co-nulos. Adem�as, como

fn : ] fm : f(xn; ym) 2 Pg = 1g �[w2FI

fn : ] fm : f(xn; ym) 2 U!g = 1g

sigue que P tiene tipo I y, an�alogamente, Q tiene tipo II. Luego, sal-vo un n�umero �nito de elementos de las sucesiones fxng e fymg losconjuntos fm : f(xn; ym) 2 Pg y fn : f(xn; ym) 2 Qg son �nitos. Losconjuntos H = �Z � P y K = �Z � Q devienen nulos y disjuntos.Escribamos u1 = x1; v1 = y1: Existe u2 2 fxng tal que f (u2; v1) 2 K,ya que fn : f(xn; y1) 2 Qg es �nito. Asimismo, existe v2 2 fymg talque f (u1; v2) 2 H pues fm : f(x1; ym) 2 Pg es �nito. Dado un en-tero k mayor que uno supongamos hallados u1; v1; :::; uk; vk tales quef (ui; vj) 2 K si 1 � j < i � k y f (ui; vj) 2 H si 1 � i < j � k:Escogemos entonces uk+1 2 fxng tal que f(uk+1; vj) 2 K si 1 � j � k;lo que es posible porque [kj=1 fn : f(xn; vj) 2 Qg es �nito. Luego seavk+1 2 fymg tal que f (ui; vk+1) 2 H si 1 � i � k, el que existe pues[ki=1 fm : f(ui; ym) 2 Pg es �nito. Quedan de�nidas las sucesiones fuigy fvjg en X e Y de modo que ff (ui; vj) : i > jg y ff (ui; vj) : j > igest�an contenidos en conjuntos nulos disjuntos en contradicci�on con lahip�otesis.

(iii) ii) Sino, sean fxng e fymg sucesiones de S tales que los conjuntos

A , fxnym : n > mg y B , fxnym : n < mg

est�an contenidos en conjuntos nulos disjuntos. En particular, A\B = ?y la funci�on de Borel acotada �A induce un funcional H 2 M (S)� talque h�;Hi = � (A) para � 2 M (S) : Si n;m 2 N y E es un subconjunto

88

de Borel de S tenemos

(�xn � �ym) (E) =

ZZ(x;y)2S�S:xy2E

d�xn � d�ym

=

Zx2S:xym2E

d�xn

= �E (xnym)

= �xnym (E) :

En consecuencia

h�xn � �ym ; Hi = (�xn � �ym) (A) = �xnym (A) = �A (xnym) : (103)

Por (103) y el Teo. 3.1 deducimos que M (S) no es Arens-regular.

(iv , v) Sigue del Teo. 3.1.

(ii) v) Supongamos que existe una funci�on acotada � =2 WAP (S). No sien-do fs�gs2S relativamente d�ebilmente compacto habr�a sucesiones fxng efymg de S tales que la sucesi�on doble f� (xnym)g tiene l��mites iteradosdistintos, digamos

a = l��mn

l��mm� (xnym) < l��m

ml��mn� (xnym) = b

(cf. [64], Th�eor�eme 6). Si a < c < d < b hagamos

A = fs 2 S : � (s) < cg y B = fs 2 S : � (s) > dg :

As�� A\B = ? y salvo un n�umero �nito de elementos de cada sucesi�onpara cada n ser�a xnym 2 A salvo �nitosm�s y para cadam es xnym 2 Bsalvo �nitos n�s. Razonando inductivamente como en (ii) i) podemosextraer subsucesiones tales que xnym 2 A si m > n y xnym 2 B sin > m; de donde sigue la a�rmaci�on.

(v ) iii) Si M (S) no fuere regular por el Teorema 3.1 habr�a sucesionesf�ng y f�mg en [M (S)]1 y alg�un H 2 M (S)� tal que la sucesi�on doblefH (�n � �m)g tiene l��mites iterados distintos. Haciendo

� , 1

3

" 1Xp=1

2�p (j�pj+ j�pj) +

1Xn;m=0

2�n�m j�n � �mj#

queda de�nida � 2 M (S) y U � L1 (�), donde U es el �algebra deBanach generada por f�n; �m : n;m 2 Ng ; donde consideramos L1 (�)

89

inmerso en M(S): Ahora H jL1(�)2 L1 (�)�, i.e. existe h 2 L1 (�) �unicotal que

H (� � �) =

Z ZS�S

h (xy) d� (x) d� (y) (104)

para todo �; � 2 L1 (�). M�as a�un, rede�niendo eventualmente a h en unsubconjunto de �-medida nula podemos asumir h acotada sobre S: Co-mo h 2 WAP(S) no hay sucesiones fxrg e fysg de S tal que la sucesi�ondoble fh (xrys)g tiene l��mites iterados distintos (cf. [64], Th�eor�eme 6).Luego la aplicaci�on bilineal inducida por (104) sobre L1 (�) � L1 (�)es agrupante (o cluster) sobre conjuntos acotados, i.e. no puede habersucesiones acotadas f�ng y f�mg en L1 (�) tal que fH (�n � �m)g ten-ga l��mites iterados distintos (V. [142], x4.1, Ex. 2). Sigue entonces laa�rmaci�on.

11.6. Regularidad de �algebras de Beurling discretas36Si el �algebra de Beurling l1 (S;w) sobre un semigrupo S fuere irregu-

lar37 sabemos que habr�a sucesiones acotadas fang ; fbmg en l1 (S;w) y cierto� 2 l1 (S;w�1) de modo que fhan � bm; �ig tiene l��mites iterados distintos.

36Para informaci�on relacionada en el contexto de �algebras de Beurling v. [6], [12], [41],[110], [17]. Cuestiones de regularidad de �algebras pesadas de convoluci�on constru��das sobresubsemigrupos de la recta real se tratan en [25]. Espacios biduales asociados a �algebras deBeurling se consideran en [27].37Mediante w indicamos un peso sobre S, i.e. una funci�on positiva y submultiplicativa.

El �algebra de Beurling l1 (S;w) consiste de las funciones a : S ! C tales que

kak1;w ,Xx2S

ja (x)jw (x)

es �nito. Con la estructura vectorial natural y de�niendo para a; b 2 l1 (S;w) el producto

(a � b) (z) =X

(x;y)2S�S:xy=z

a (x) b (y)

entonces l1 (S;w) es un �algebra de Banach. Por otra parte, l1 (S;w)� � l1

�S;w�1

�;

donde l1�S;w�1

�contiene las aplicaciones � : S ! C tales que �w�1 2 l1 (S) : Para

� 2 l1�S;w�1

�la norma correspondiente es k�k1;w�1 ,

�w�1 1.

90

Fijados m;n 2 N escribimos

han � bm; �i =Xz2S

(an � bm) (z)� (z)

=Xz2S

Xxy=z

an (x) bm (y)

!� (z)

=Xx;y2S

an (x)w (x) bm (y)w (y)� (xy)

w (xy) (x; y)

= h(anw) � (bmw) ;m�i ;

donde m�(x; y) = (�w�1) (xy) (x; y) si x; y 2 S: Conclu��mos que la formabilineal�

l1 (S)�1��l1 (S)

�1! C; (A;B) !

Xx;y2S

A(x)B(y)m� (x; y) ;

no es agrupante. Entonces m� no ser�a agrupante (V. [142], x4, Ex. 2). Como�w�1 2 l1 (S) es f�acil ver que no ser�a agrupante. M�as precisamente, esv�alido el siguiente:

Teorema 11.21 (cf. [22], Th. 1) Si el �algebra de Beurling l1 (S;w) es noregular habr�a sucesiones inyectivas fxng ; fymg de S de modo que la sucesi�ondoble f (xn; ym)g tiene alg�un l��mite iterado no nulo, donde es la funci�on

: S � S ! (0; 1] ; (st) =w (st)

w (s)w (t):

En caso que S sea semigrupo cancelativo esta condici�on es adem�as su�ciente.

Ejemplo 11.22 l1 (Z; w) es regular si l��mn!1w (n+ 1) =w(n) = 0: En estecaso, dadas sucesiones in�nitas fnkg ; fmhg en Z es

l��mh!1

w (nk +mh)

w (mh)= l��m

h!1

nkYp=1

w (p+mh)

w (p+mh � 1)= 0;

de modo que en todo caso los l��mites iterados son nulos y basta aplicar elTeorema 11.21.

Corolario 11.23 (cf. [22], Corollary 1) Todo semigrupo numerable adm��teun peso respecto al cual la correspondiente �algebra de Beurling es regular.

91

Demostraci�on 11.24 Sea F el semigrupo libre generado por un conjuntonumerable fakgk2N : Todo elemento x 2 F es del tipo x = ak1 :::akn, en cuyocaso escribimos w (x) = 1 + k1 + ::: + kn: Es f�acil ver que w de�ne unpeso sobre F. Si fzrgr2N es cualquier sucesi�on de elementos distintos de Fser�a w (zr) ! 1; y como w (xy) = w (x) + (y) � 1 para x; y 2 F se veque f (xn; ym)g tiene l��mites iterados nulos cualesquiera sean las sucesionesinyectivas fxng e fymg de F, por lo que l1 (F; w) es regular. Ahora, si S es unsemigrupo numerable hay un semigrupo libre F y un epimor�smo � : F! S.La funci�on

ew : S ! (0;+1) ; ew(X) = m��n�w (x) : x 2 ��1 (fXg)

;

de�ne un peso sobre S. Notamos que ew (XY ) � ew(X) + ew(Y ) � 1 paraX; Y 2 S y ew(Zr) ! 1 si fZrgr2N es cualquier sucesi�on in�nita de S, dedonde sigue enseguida la regularidad de l1 (S; ew) :

Corolario 11.25 (Ib��dem) Toda �algebra de Beurling l1 (G;w) sobre un grupono numerable es no regular.

Demostraci�on 11.26 Notamos que (x; y) � w (y)�1w (y�1)�1puesto que

w (x) � w(xy)w(y�1) para x; y 2 G. Supongamos que para todo a > 0 hayalg�un entorno Ua de a tal que W

�1 (Ua) es numerable, donde

W (y) = w (y)�1w�y�1��1

para y 2 G:

Como (0;+1) es espacio de Lindel�of hay una sucesi�on fang de manera que(0;+1) = [Uan : Pero G = [W�1 (Uan) ; lo que no es posible puesto que Ges no numerable. Existe entonces a0 > 0 y una sucesi�on inyectiva fymg talque w (ym)�1w (y�1m )

�1 � a0 para todo m: Si fxng es cualquier otra sucesi�oninyectiva de G, considerando eventualmente subsucesiones de fxng e fymg ;podemos suponer que f (xn; ym)g tiene l��mites iterados y (xn; ym) � a0para todo n;m 2 N, con lo que sigue la tesis.

11.7. Sobre l1 (G)�� siendo G grupo discreto38Sabemos, por el teorema de Hildebrandt, que si G es un conjunto no

vac��o hay un isomor�smo isom�etrico

: l1 (G)�� ! Mf:ad: (G)

tal que (F ) (S) = h�S; F i para F 2 l1 (G)�� y S 2 P(G).

38Palabras clave: Radical de Jacobson. Teorema de Hildebrandt. �Algebras semisimples.Anuladores. Cuasi-regularidad.

92

Proposici�on 11.27 (cf. [19], Th. 3.2) Si G es un grupo discreto entonces�l1 (G)�� ;�

�= �L1(G)

�l1 (G)

��R;

donde R es el ideal bil�atero

R =�F 2 l1 (G)�� : (F ) (S) = 0 para todo S 2 Pf (G)

: (105)

Demostraci�on 11.28 Sean F 2 R, G 2 l1 (G)��, a 2 G. Entonces

(G�F ) (fag) =�fag; G�F

�=F�fag; G

�: (106)

Para b 2 G haremos xb : G ! C tal que xb (c) = �b;c para cada c 2 C.Luego

�xbb2G � l1 (G) y si x 2 l1 (G) se tiene x =

Pb2G x (b)xb: Como para

a; b; c 2 G es xc; �fagx

b�

=xb � xc; �fag

�=xbc; �fag

�conclu��mos que �fagx

b = �fb�1ag: Pero entoncesxb; F�fag

�=�fagx

b; F�

=�fb�1ag; F

�= 0

ya que F 2 R, i.e. F�fag = 0l1(G)� y por (106) (G�F ) (fag) = 0: Esclaro entonces que G�F 2 R. Por otra parte si C 2 Pf (G) hay un conjuntoescalares complejos de m�odulo uno fucgc2C tales queX

c2C

��fcg; G�� =Xc2C

uc�fcg; G

�=

*Xc2C

uc�fcg; G

+� kGk :

LuegoP

c2G��fcg; G�� < 1 y el conjunto N =

�c 2 G :

�fcg; G

�6= 0es

necesariamente numerable, digamos N = fcng1n=1 : Tenemos

(F�G) (fag) =�fag; F�G

�=G�fag; F

�(107)

yxb; G�fag

�=�fb�1ag; G

�: Dados k 2 N y b 2 G haremos

gk (b) =�fb�1ag; G

��fac�11 ;:::;ac�1k g (b) :

Entonces fgkg1k=1 � l1 (G)� y gk �G�fag 1 = sup

j>k

��fcjg; G��! 0 si k !1:

Ahora por (107) escribimos

(F�G) (fag) = l��mk!1

hgk; F i = 0

y F�G 2 R, i.e. R es ideal bil�atero. M�as a�un, si hacemos x (c) =�fcg; G

�para c 2 G sabemos que x 2 l1 (G) y claramente G� �l1(G)(x) 2 R, de dondesigue enseguida la tesis.

93

Proposici�on 11.29 (cf. [19], Th. 3.5)

(i) J (l1 (G)�� ;�) � R, i.e. R contiene al correspondiente radical de Jacob-son de (l1 (G)�� ;�) :

(ii) Si G es grupo abeliano, discreto y compacto entonces

J��l1 (G)�� ;�

��= ander

�l1 (G)�� ;�

�=�l1(G)

�o=�

0l1(G)��:

Demostraci�on 11.30 (i) Basta notar que l1 (G)�� =R � l1 (G) es semisim-ple, a ra��z de la Prop. 11.27 y del Teo. 13.67. Como R es ideal bil�aterosigue la a�rmaci�on.

(ii) Dado F 2 R, como G deviene �nito, por (105) es (F ) = 0Mf:ad:(G): Enconsecuencia F = 0. Por (i) deducimos que (l1 (G)�� ;�) es semisimple.Adem�as ander (l1 (G)�� ;�) es ideal a izquierda de l1 (G)��, y est�a con-tenido en el radical de Jacobson pues todo elemento en �el es cuasi-regular a izquierda. Finalmente, si � : l1 (G) ! C

��l1(G)

�es la trasfor-

mada de Gel�fand de l1 (G) se sabe que J [(l1 (G) ; �)] = ker (�). As�� six 2 J [(l1 (G) ; �)] y h 2 �l1(G) resulta

0 = hx; hi =h; �l1(G) (x)

�;

i.e. �l1(G) (J [(l1 (G) ; �)]) ��l1(G)

�o: Puesto que G es �nito �l1(G) es epi-

mor�smo y se deduce enseguida que �l1(G) (J [(l1 (G) ; �)]) =�l1(G)

�o:

Pero por el teorema de Segal (l1 (G) ; �) es semisimple y sigue la tesis.

11.8. Sobre el radical de Jacobson de��l1 (Z) ; �

��;��

Proposici�on 11.31 (cf. [19], Th. 3.5)J (l1 (Z)��) es in�nito dimensional.

Demostraci�on 11.32 Sea T 2 B (l1 (Z)�) tal que

Tf (m) = m+ 1 para f 2 l1 (Z)� y m 2 Z:

Sea ferkgr;k2Z � l1 (Z)� tal que erk (m) = 1 si m � r (mod k) y erk(m) = 0 enotro caso para k; r;m 2 Z. Si k 2 N sea

Ik =n

� 2 l1 (G)�� :�T k��

(�) = � y herk;�i = 0 si 0 � r < ko:

En particular, e01 � e, con e = f:::; 1; 1; 1; :::g. Si

� 2 l1 (G)�� ; f 2 l1 (Z)� ; m 2 Z; k 2 N

94

tenemos

hxm;�fi = hfxm;�i = hTmf;�i = hf; (Tm)� (�)i : (108)

Por (108) es �f = fhf; (Tm)� (�)igm2Z en l1 (Z)� : Si � 2 Ik podemos es-cribir

�f =k�1Xr=0

hf; (Tm)� (�)i erk:

Dado entonces 2 l1 (Z)�� es

hf;��i = h�f;i

=

k�1Xr=0

hf; (Tm)� (�)i herk;i

=

*f;

k�1Xr=0

herk;i (Tm)� (�)

+;

o sea �� =Pk�1

r=0 herk;i�: Luego �� 2 Ik e Ik es ideal a izquierda de(l1 (Z)�� ;�). Como I2k = f0g sigue que I2k � J (l1 (Z)�� ;�) (cf. [24], Prop.1.5.6(ii)). Bastar�a ver �nalmente que I2m I2m+1 si m 2 N. Para ello,notemos que

er2m = er2m+1 + er+2m

2m+1 si 0 � r < 2m y m 2 N. (109)

En efecto, si n � k (mod 2m+1) existe 0 � r < 2m �unico tal que

n � r(mod 2m+1) o n � r + 2m�mod 2m+1

�:

En ambos casos n � r (mod 2m) : Por otra parte, si n � r(mod 2m) existea 2 Z tal que n = a2m + r: Si a es par resulta n � r(mod 2m+1): Sin�o existe� 2 Z tal que a = 2�+ 1 y n� r = 2m+1�+ 2m, i.e. n � r + 2m (mod 2m+1)y sigue (109). Tomando � 2 I2m tenemos39

her2m+1 ;�i =T 2

m

(er2m+1) ;��

=er�2

m

2m+1 ;��: (110)

Por (109) y (110) si 0 � r < 2m escribimos

her2m+1 ;�i =er2m � er+2

m

2m+1 ;��

= �er+2

m

2m+1 ;��

= �her2m+1 ;�i ;39Si s; n 2 Z observar que

T s (erk) (n) = erk (n+ s) = 1 , n+ s � r (mod k) ;

i.e. T s (erk) = er�sk :

95

o seaer2m+1 ;�

�= 0:Por (110) lo mismo ocurre si

2m � r < 2m+1 y � 2 I2m+1:

Ahora, como el grupo aditivo de enteros es abeliano hay al menos dos prome-dios invariantes distintos �1;�2 2 l1 (Z)�� (V. Def. 11.1 y [36], Corollary3). Entonces he;�ii = 1 y T � (�i) = �i si i = 1; 2: Sea U 2 B (l1 (Z)�) talque Uf(n) = f (n2m) si n 2 Z. Escribiendo H = U� (�1 ��2) veremos queH 2 I2m+1 � I2m : En efecto:�

T 2m+1��

(H) =��T 2

m+1��U��

(�1 ��2)

=�UT 2

m+1��

(�1 ��2)

= (TU)� (�1 ��2)

= U� (T � (�1)� T � (�2))

= U� (�1 ��2)

= H:

Adem�as U�er2m+1

�(n) = 0 si y solo si 2m+1 - r. Como e02m+1 = e en todo caso

H�er2m+1

�= 0 si 0 � r < 2m+1; i.e. H 2 I2m+1: Consideremos por otra parte

f 2 l1 (Z)� tal que hf;�1 ��2i 6= 0 y sea g 2 l1 (Z)� tal que U (g) = f , i.e.g (n2m+1) = f (n) si n 2 Z, haciendo g (k) = 0 si 2m+1 - k: As��

H (g) = hU (g) ;�1 ��2i = hf;�1 ��2i 6= 0;

mientras que si n 2 Z es�UT 2

m�(g) (n) = T 2

m

(g)�n2m+1

�= g

�n2m+1 + 2m

�= 0;

o sea�T 2

m��(H) (g) = 0: Pero entonces

�T 2

m��(H) 6= H y H =2 I2m :

11.9. Sobre L1 (G)�� siendo G grupo no discreto

Lema 11.33 40([19], Th. 3.12) Sean U �algebra de Banach abeliana y J sube-spacio de Banach de U�: Son equivalentes:

(i) U�U � J .

(ii) U��J o = f0U��g :

(iii) J oU = f0U��g :40V. [48].

96

Demostraci�on 11.34 (i) ii) Si �; 2 U�� y � 2 U�, h�;��i = h�;�i :Por la hip�otesis � = 0U� si 2 J o: As�� = 0U�� :

(ii) iii) Si 2 J o; x 2 U y � 2 U� es

h�;xi = hx�;i= h�x;i (pues U es abeliana)= h�; xi= 0:

(iii) i) Supongamos �x=2 J para ciertos x 2 U y � 2 U�: Por el teoremade Banach-Hahn existe 2 J o tal que

0 6= h�x;i = hx�;i = hx; �i ;

lo que contradice (iii).

Corolario 11.35 Si se veri�ca cualquiera de las condiciones anteriores setiene J o � J (U��;�) ; valiendo la igualdad si J = h�Ui donde �U es elespacio ideal maximal de U .

Demostraci�on 11.36 Evidentemente J o es ideal a izquierda de U�� y adem�asJ o � QR(U) (V. x13.15). En consecuencia J o � J (U��;�) (cf. [18], Ch.

III, x24, Prop. 16). En particular, es f�acil ver que h�Uioes ideal bil�atero.

Adem�as (U��;�) =h�Uioes semisimple: sea m 2 J

h(U��;�) =h�Ui

oiy sea

p : (U��;�) ! (U��;�) =h�Uiola proyecci�on al cociente. Sea � 2 U�� tal que

p (�) = m y sea h 2 �U : Notar que quedan de�nidos bh 2 �(U��;�) tal quebh (�) = � (h) si � 2 U�� y eh 2 �(U��;�)=h�U io tal que eh (p (�)) = bh (�). Luego

0 = eh (m) = eh (p (�)) = bh (�) = � (h) :

Como h es arbitrario � 2 h�Uioy m = 0U��=h�U i

o : As��

J (U��;�) � h�Uio;

pues si � 2 J (U��;�) y � es representaci�on irreducible de (U��;�) =h�Uio

en un espacio vectorial X, � �m es representaci�on irreducible de U�� en X.Luego (� �m) (�) = 0X y

m (�) 2 Jh(U��;�) =h�Ui

oi;

i.e. m (�) = 0U��=h�U io y � 2 h�Ui

o:

97

Corolario 11.37 ([19]; [58]) Sea G grupo abeliano localmente compacto nodiscreto. Entonces L1 (G)�� es no conmutativo y no semisimple.

Demostraci�on 11.38 Como G es no discreto Cb (G) es subespacio de Ba-nach propio de L1 (G)� ; y por el teorema de Banach-Hahn Cb (G)o es no nulo.Razonando como en la Prop. 6.11 vemos que L1 (G)� L1 (G) � Cb(G); y por elCorolario 11.35 Cb (G)o � J (L1 (G)�� ;�). Como L1 (G) tiene aproximaci�onacotada de la unidad, por el Teorema 12.27 existe E 2 Ud (L1 (G)�� ;�) : SiF 2 Cb (G)o es no nulo por el Lema 11.33(ii) es E�F = 0U�� y F�E = Fes no nulo.

12. Dualidad general en �algebras y espacios

de Banach

12.1. Espacios introvertidos

De�nici�on 12.1 Sea U un �algebra de Banach y X un U-subm�odulo a izquier-da (resp. a derecha) de U�. Decimos que X es espacio introvertido a izquierda(resp. a derecha) si U��X � X (resp. si XU�� X). Decimos que X es in-trovertido si lo es a ambos lados.

Teorema 12.2 Sea U un �algebra de Banach y X un U-subm�odulo de U�.

(i) (cf. [89], Lemma 1.2) X es introvertido a izquierda si y solo si dado � 2 Xse tiene RU ;U

�

� ([U ]1)w�

� X.

(ii) X es introvertido a izquierda si es w�-cerrado o si X � WAP (U)41.

Demostraci�on 12.3 (i) Sean � 2 X y � 2 LU ;U�� ([U ]1)w�

, digamos

� = w� � l��mi2I

(ai�) :

Pasando eventualmente a alguna subred, podemos suponer que existe

� = w� � l��mi2I

�U (ai) : (111)

Si b 2 U tenemoshb; �i = l��m

i2Ihb; ai�i = l��m

i2Ihbai; �i = l��m

i2Ihai; �bi = h�b;�i = hb;��i ;

i.e. � = �� y por ello � 2 X: Rec��procamente, sean � 2 U�� y � 2 X.Podemos suponer (111) para alguna red acotada faigi2I de U . Entonces�� = w�-l��mi2I (ai�) e inferimos que �� 2 X:

41V. la Obs. 3.3.

98

(ii) La primer a�rmaci�on es ahora evidente. Sea � 2 X y supongamos

X � WAP (U) dado � 2 X. Por el Teorema de Mazur, RU ;U�

� ([U ]1)es d�ebilmente compacto y, por lo tanto, w�-compacto. Entonces

RU ;U�

� ([U ]1) � RU ;U�

� ([U ]1) � X

y RU ;U�

� ([U ]1)w�

� X:

Proposici�on 12.4 (cf. [28], Prop. 1.16) Sea U un �algebra de Banach y Xun U-subm�odulo de U�.

(i) Si X es introvertido a izquierda (resp. a derecha) Xo es ideal cerrado aderecha (resp. a izquierda) de (U��;�) :

(ii) U��=Xo � X�:

(iii) Si X es U -subm�odulo introvertido de U�, X� adm��te la estructura deun �algebra de Banach.

(iv) Sea X un U -subm�odulo introvertido de U� e I ideal cerrado de U . Sij : I ,! U e Y = j� (X), Y es un I-subm�odulo introvertido de I�.

(v-a) Sean X un U -subm�odulo de U�, I ideal cerrado de U , j : I ,! U eY = j� (X). Existe G : (Y �;�) ! (X�;�) monomor�smo.

(v-b) Y � se identi�ca con un ideal bil�atero de X�:

(v-c) G (Y �) = fj�� (M) jX : M 2 I��g y

G�1 [j�� (M) jX ] = M jY si M 2 I��:

(v-d) Si j� (X) es cerrado G es una inmersi�on, en cuyo caso Y � se identi�cacon un ideal bil�atero cerrado de X�:

(v-e) Si j� es acotada inferiormente entonces G es suryectiva.

(v-f) Si j� (X) es cerrado y j� es acotada inferiormente, X es U -subm�odulointrovertido de U� si a su vez j�(X) lo es de I�:

Demostraci�on 12.5 (i) Es inmediato.

99

(ii) De�nimos FU ;X : X� ! U��=Xo, a saber: �jada x� 2 X� por el teoremade Banach-Hahn podemos considerar una extensi�on � 2 U�� de x�: Sip : U�� ! U��=Xo es la proyecci�on al cociente sea FU ;X(x�) = p (�) :Si fuere otra entensi�on en U�� de x� entonces p (�) = p () pues �y coinciden sobre X; de modo que FU ;X est�a bien de�nida. Es f�acilver que FU ;X es un operador lineal continuo e inyectivo. Si s 2 U��=Xo

y � 2 X sea x�s (�) = h�;�i ; donde � 2 U�� es tal que s = p (�) :As�� x�s es un elemento bien de�nido de X

� y FU ;X (x�s) = s, i.e. FU ;Xes suryectiva. Por el teorema de la funci�on abierta sigue (iv).

(iii) Si X es introvertido por (iii) Xo es ideal bil�atero cerrado de U��: Luego(U��=Xo;�) es un �algebra de Banach y si x�1; x

�2 2 X� basta hacer

x�1�x�2 = F�1U ;X [FU ;X (x�1)�FU ;X (x�2)] : (112)

(iv) Ciertamente Y es un I-subm�odulo de I�: Sean � 2 X y fa�g�2A unared de [I]1 de modo que existe e� = w�-lim�2A (a�j

�(�)). Pasando even-tualmente a una subred, podemos suponer que existe �0 2 U�� tal que�0 = w�-l��m�2A (a��). Como X es introvertido a izquierda �0 2 X.Como j� 2 (w�; w�) deducimos que

e� = w�-lim�2A (a�j�(�)) = w�-lim�2Aj

� (a��) = j� (�0) ;

de donde e� 2 j� (X) : As�� j� (X) resulta introvertido a izquierda y,an�alogamente, se ve que tambi�en lo es a derecha. Es inmediato ahoraque Y es I-subm�odulo introvertido de I�:

(v-a) Si q : I�� ! I��=Y o es la proyecci�on al cociente sea

H : I��=Y o ! U��=Xo; (113)

H (es) = p (j�� (e�)) si es = q (e�) :

Ahora, H est�a bien de�nida: si q (e�) = q (e�) existe e� 2 Y o tal quee� = e� + e�: Si � 2 X resulta

h�; j�� (e�)i = hj� (�) ; e�i = 0;

i.e. j�� (e�) 2 Xo. Por ello

0U��=Xo = p (j�� (e�)) = p (j�� (e�))� p (j�� (e�)) :

100

Es f�acil ver que H es lineal. Adem�as p y q son sendos homomor�smosde �algebras y si es = q (e�) y et = q (e�) en I��=Y o tenemos

H�es�et� = H (q (e��e�))

= p (j�� (e��e�))

= p (j�� (e�)�j�� (e�))

= p (j�� (e�))�p (j�� (e�))

= H (es)�H �et� :Por otra parte, si H (es) = 0U��=Xo entonces j�� (e�) 2 Xo, donde e� 2 I��y es = q (e�) : Por lo tanto si � 2 X vemos que

hj� (�) ; e�i = h�; j�� (e�)i = 0

y podemos concluir que e� 2 Y o: As�� es = 0I��=Y o y H es inyectiva.Finalmente, si FI;Y : I� ! I��=Y o es el isomor�smo constru��do comoen (iv), sea

G : Y � ! X�; G = F�1U ;X �H � FI;Y :Claramente G : (Y �;�) ! (X�;�) es monomor�smo.

(v-b) Sean y� 2 Y �, x� 2 X�. Si M 2 I�� es extensi�on de y� entoncesFI;Y (y�) = q (M) y H (FI;Y (y�)) = p (j�� (M)) : Si adem�as � 2 U��fuere extensi�on de x� en conformidad con (112) ser�a

G (y�)�x� = F�1U ;X [FU ;X (G (y�))�FU ;X (x�)] (114)

= F�1U ;X [H (FI;Y (y�))�FU ;X (x�)]

= F�1U ;X [p (j�� (M))�p (�)]

= F�1U ;X [p (j��(M)��)] :

Como j�� (I��) es ideal bil�atero de U�� existe N 2 I�� tal que

p (j��(M)��) = p (j�� (N)) = H (FI;Y (N jY )) : (115)

As�� N jY2 Y � y por (114) y (115) es

G (y�)�x� = F�1U ;X [H (FI;Y (N jY ))] = G (N jY ) :

An�alogamente se ve que G (Y �) es ideal a izquierda.

(v-c) Por construcci�on es f�acil ver que

G (y�) = j�� (M) jX si y� 2 Y �; (116)

101

donde M 2 I�� es cualquier extensi�on de y�: Adem�as, si M 2 I��

tenemos

G (M jY ) =�F�1U ;X �H

�(FI;Y (M jY )) (117)

= F�1U ;X (H (q (M)))

= F�1U ;X (p (j�� (M)))

= j�� (M) jX :

Finalmente, si M 2 I�� sea eG [j�� (M) jX ] = M jY : Vemos que eGest�a bien de�nida: si j�� (M) jX= 0, j�� (M) 2 Xo. Luego

H(q(M)) = 0U��=Xo

y por (117) G (M jY ) = 0X;C: Como G es inyectiva M jY = 0Y;C. Es

claro ahora que eG = G�1.

(v-d) Si k : Y ,! I� y h : X ,! U�, G � k� = (j� � h)� : Como k� essuryectiva sigue que

ran (G) = ran [(j� � h)�] : (118)

Luego ran (G) ser�a cerrado si y solo si ran (j� � h) lo es, lo cual escierto por hip�otesis (V. el Corolario 13.59).

(v-e) Por (118), como (j� � h)� = h� � j�� y h� es suryectiva, G ser�a suryec-tiva si j�� lo es. En efecto, siendo j� acotada inferiormente podemosescribir j� = l � j� jj�(U�), donde l : j� (U�) ,! I�: Como j� jj�(U�) esisomor�smo y l� es suryectiva, j�� = (j� jj�(U�))� � l� resulta suryectiva.

(v-f) Asumamos que j� es acotada inferiormente y que j� (X) es I-subm�odu-lo cerrado de I�: Ahora j� (X) y dados � 2 U�� y � 2 X veremos que�� 2 X: Como � jX2 X� por (v-e) existe y� 2 Y �, �unico por (v-a), talque por (116)

G (y�) = � jX= j�� (M) jX ;dondeM 2 I�� es cualquier extensi�on de y�: Como j� (X) es I-subm�odu-lo introvertido de I�, Mj� (�) 2 j� (X) : Pero Mj� (�) = j� (M�) ysiendo j� acotada inferiormente ha de ser inyectiva. Luego M� 2 X yX es introvertido a izquierda. An�alogamente tambi�en lo ser�a a derechay sigue la a�rmaci�on.

Proposici�on 12.6 Sean U una C�-�algebra, X un U-subm�odulo de Banachde U�. Entonces X es introvertido, Xo es ideal w�-cerrado de (U��;�) y(X�;�) es C�-�algebra.

102

Demostraci�on 12.7 Por la Prop. 9.3 U es Arens regular. Por el Teorema3.1 U� = WAP (U) y por el Teorema 12.2(ii) X es introvertido. Sean � 2 X�,� 2 X y 2 U��, digamos = w�-l��mj2J �U (bj). Como � 2 X tenemos

h�;��i = h�;�i = 0

y como X es U-m�odulo a derecha

h�;��i = l��mj2Jhbj;��i = l��m

j2Jh�bj;�i = 0:

As�� Xo es ideal de (U��;�), evidentemente w�-cerrado. Luego Xo es cerradoy basta invocar la Prop. 12.4(ii).

12.2. Regularidad y formas bilineales re exivas

De�nici�on 12.8 4243Sean X; Y espacios de Banach, m 2 B(X; Y ;C) unaforma bilineal acotada sobre X � Y: Hay um 2 B(X;Y �), vm 2 B(Y ;X�)�unicos tales que

m(x; y) = hx; um (y)i = hy; vm(x)i si x 2 X e y 2 Y:

Por el Teorema de Gantmacher, como vm = u�m � �Y ; vm ser�a d�ebilmentecompacto si um lo fuere. Luego um es d�ebilmente compacto si y solo si vm loes, en cuyo caso diremos que m es d�ebilmente compacta. Asimismo, diremosque m es re exiva si hay un espacio re exivo R y aplicaciones � 2 B(X;R)y 2 B(Y ;R�) tales que m(x; y) = h�(x); (y)i para todo x 2 X e y 2 Y:

Observaci�on 12.9 En analog��a a la Observaci�on 2.9 y con la notaci�on an-terior, las extensiones de Arens de m son

m��(x��; y��) = hy��; u�m�(x��)i y m�� (x��; y��) = hx��; v�m�(y��)i ;

donde x�� 2 X�� e y�� 2 Y ��:

Teorema 12.10 (cf. [129], Th. 2.2) Consideremos X; Y espacios de Ba-nach, m 2 B(X; Y ;C) una forma bilineal acotada sobre X � Y: Son equiva-lentes:

(i) m es regular.

42Palabras clave: Operadores d�ebilmente compactos. Teorema de Gantmacher. Gruposunimodulares.43V. [54], [9]. Sobre regularidad de �algebras tensoriales v. [130], [11].

103

(ii) m es d�ebilmente compacta.

(iii) m es re exiva.

Demostraci�on 12.11 (i) ii) Bastar�a ver que u�m : Y �� ! X� es (w�; w)-continua. Sea fy��i gi2I una red w�-convergente a cero en Y ��. Si i 2 Iy x�� 2 X�� tenemos

hu�m (y��i ) ; x��i = hy��i ; u��m (x��)i = hx��; v��m (y��i )i = hv�m (x��) ; y��i i ;

de donde l��mi2I hu�m (y��i ) ; x��i = 0:

(ii) iii) Como u�m se asume d�ebilmente compacta por el Teorema 13.27hay un espacio re exivo Z y operadores � 2 B (X;Z), 2 B (Z;Y �)de modo que um = � � (cf. [31]). Entonces si x 2 X e y 2 Y es

m(x; y) = hy; um(x)i = hy; (� (x))i = h� (x) ; ( � � �Y ) (y)i :

(iii) i) Por hip�otesis hay un espacio re exivo R y aplicaciones � 2 B(X;R)y 2 B(Y ;R�) tales que m(x; y) = h�(x); (y)i para todo x 2 X ey 2 Y: Si x�� 2 X�� e y�� 2 Y �� vemos que

m��(x��; y��) = h�� (x��) ; �� (y��)i : (119)

Como R es re exivo R (��) � �R(R) y por el Teorema 13.33 � esd�ebilmente compacta. M�as a�un, �� 2 (w�; w) y por (119) m�� es w�-continua a izquierda. An�alogamente, como R� es re exivo resultad�ebilmente compacta. Asimismo �� 2 (w�; w) y m�� tambi�en es w�-continua a derecha.

Corolario 12.12 (i) En las condiciones anteriores, m es regular si y solosi m�� es regular.

(ii) Sean X0 e Y0 subespacios de Banach de X e Y respectivamente. Entoncesm 2 B(X;Y ) ser�a regular si la restricci�on m jX0�Y0 tambi�en lo es.

(iii) Si adem�as p : X ! X=X0, q : Y ! Y=Y0 son las proyecciones al co-ciente, m0 2 B (X=X0;Y=Y0) y m = m0�(p� q) en B (X;Y ) : Entoncesm es regular si y solo si m0 lo es.

Demostraci�on 12.13 (i) De la Obs. 12.9 m�� es regular si y solo si u��mes d�ebilmente compacta. Basta aplicar el teorema de Gantmacher.

(ii) Es inmediato.

104

(iii) Sean um 2 B (X;Y �), um0 2 B (X=X0; (Y=Y0)�) los operadores induci-

dos por m y m0 respectivamente. Si x 2 X e y 2 Y tenemos

hy; q� (um0 (p(x)))i = hq (y) ; um0 (p(x))i (120)

= m0 (p (x) ; q(y))

= m (x; y)

= hy; um (x)i ;

e inferimos que q� � um0 � p = um: En consecuencia es claro que um esd�ebilmente compacto si um0 lo es y la condici�on es su�ciente. Rec��pro-camente, sea um d�ebilmente compacta y veamos que u

�m02 (w�; w), de

donde seguir�a la a�rmaci�on nuevamente del teorema de Gantmacher.Por (120) vemos que R (u�m) � Y ?

0 : Adem�as R (q�) = Y ?0 y q� jR(q�) es

isom�etrica, de modo que por el teorema de la funci�on abierta podemosescribir um0 � p = (q�)�1 � um: Sea f�igi2I una red en (Y=Y0)

�� tal quew�-l��mi2I �i = 0: Dado M 2 (X=X0)

�� sea fxjgj2J una red acotada talque M = w�-l��mj2J �X=X0 (p (xj)) : Pasando eventualmente a una sub-red, podemos suponer que existe y�0 2 Y � tal que y�0 = w-l��mj2J um (xj) :Si i 2 I tenemos

u�m0(�i) ;M

�= l��m

j2J

p (xj) ; u

�m0

(�i)�

(121)

= l��mj2J

(q�)�1 (um (xj)) ; �i

�= l��m

j2J

Dum (xj) ;

�(q�)�1

��(�i)E

=Dy�0;�(q�)�1

��(�i)E

=�

(q�)�1�

(y�0) ; �i�;

y de (121) es l��mi2Iu�m0

(�i) ;M�

= 0 y sigue la a�rmaci�on.

Teorema 12.14 (cf. [129],Th. 3.1) Sea U un �algebra de Banach con unidade y m 2 B (U ;U�;C) la aplicaci�on m(x; f) =x f; con xf (y) = f(xy) six; y 2 U y f 2 U�: Entonces m es regular si y solo si U es re exiva.

Demostraci�on 12.15 Si x 2 U y f 2 U� tenemos

m�U (e) (x; f) = f (x) = hx; IdU�(f)i : (122)

Si m fuere regular por (122) el operador IdU� ser�a d�ebilmente compacto. Co-mo (IdU)� = IdU� por el teorema de Gantmacher IU es d�ebilmente compacta.

105

As�� [U ]1 es w-relativamente compacta, [U ]1w

= [U ]1 por el Teo. 13.61(i) y co-mo �U 2 (w;w�) entonces �U ([U ]1) es w

�-compacto. Luego �U ([U ]1) = [U��]1por el teorema de Goldstine y U es re exivo. Rec��procamente, si U es re- exivo dada � 2 U�� existe x� 2 U tal que �U (x�) = � y si (x; f) 2 U � U�se tiene

m� (x; f) = hxf; �i = hx�;x fi = hxx�; fi = hf; �U (xx�)i :

Adem�as [U ]x� ser�a d�ebilmente compacto y como �U 2 (w;w) la aplicaci�on

x! �U (xx�) es d�ebilmente compacta y sigue la tesis.

Corolario 12.16 (i) Si X es espacio de Banach, la forma bilineal

m 2 B (X;X�;C) ; m (x; x�) = hx; x�i

es regular si y solo si X es re exivo.

(ii) Sea U �algebra de Banach con unidad e. La forma bilineal

m 2 B�U ; l1(U); l1 (U)

�; m

�a; fbngn2N

�= fabngn2N

es regular si y solo si U es re exiva.

(iii) Sea U un �algebra de Banach munida de aproximaci�on acotada de launidad. Luego la forma bilineal m 2 B (U ;U�;U�), m(a; a�) =a a

� esregular si y solo si U es re exiva.

(iv) Sean G grupo localmente compacto unimodular �-compacto munido deuna medida de Haar invariante a derecha44,

m 2 B�L1 (G) ; L1 (G) ;L1(G)

�; m(x; f) = x � f:

Entonces m es regular si y solo si G es �nito.

Demostraci�on 12.17 (i) Es inmediato.

44Indicamos x � f a la convoluci�on de la medida x(t)dt, en la que dt es la medida deHaar de G y x 2 L1(G); con la funci�on f 2 L1(G): M�as generalmente, si � 2 M(G) yf 2 Lp (G) es boreliana, con 1 � p � 1; la integral (� � f) (t) =

RGf�s�1t

�d� (s) existe

y es �nita salvo alg�un subconjunto N de medida de Haar nula de G cuando p es �nitoo localmente nulo respecto a la medida de Haar si p = 1 (i.e. la medida de Haar de laintersecci�on de N con cada subconjunto compacto de G es nula). Rede�niendo � � f comocero sobre N se tiene � � f 2 Lp (G) y k� � fkp � k�k kfkp (V. [73], Ch. V, Th. 20.12).

106

(ii) Si U no fuera re exiva habr�a sucesiones inyectivas acotadas fangn2N enU y fb�mgm2N en U� tales que fhan; bmig tiene l��mites iterados distintos([64], Corollaire 2). Si p 2 N escribiremos ep = f�p;qegp2N en l1 (U) :

El elemento b = fb�mgm2N pertenece a l1(U)� y si n;m 2 N es

mb (an; em) = hanem; bi = han; bmi ;

i.e. fmb (an; em)g tiene l��mites iterados distintos y m es no regular.Rec��procamente, basta notar que si � 2 l1 (U)� el operador um�

es siem-pre d�ebilmente compacto pues su dominio es re exivo.

(iii) La su�ciencia es inmediata. Por otra parte, vimos en la Prop. 4.1 quesi fejgj2J es aproximaci�on acotada de la unidad de U a derecha, con-siderando eventualmente alguna subred, 0 = w�-l��mj2J �U (bj) de�neune unidad a derecha de (U��;�) : Entonces si (a; a�) 2 U �U� resulta

m0(a; a�) = haa�;0i = l��m

j2Jhaej; a�i = ha; a�i ;

de donde sigue que U es re exivo ya que v0 = IdU� es d�ebilmentecompacto.

(iv) Sean x; y 2 L1 (G), f 2 L1(G). Si indicamos_x (s) , x (s�1) para

s 2 G; _x 2 L1 (G) pues G es unimodular. ComoDy;_xfE

=D_x � y; f

E=

ZG

�ZG

x�s�1�y�s�1t

�ds

�f(t)dt

=

ZG

�ZG

x (s) y (st) ds

�f(t)dt

=

ZG

�ZG

x�ut�1

�y (u) du

�f(t)dt

=

ZG

�ZG

x�ut�1

�f(t)dt

�y (u) du

=

ZG

�ZG

x (ut) f(t�1)dt

�y (u) du

=

ZG

�ZG

x (v) f(v�1u)dv

�y (u) du

= hy; x � fi

107

resulta x � f =_xf: Razonando como en el Corolario (iii) vemos que m

es regular si y solo si L1 (G) es re exiva, lo que equivale a la �nitud deG: 45

Ejemplo 12.18 Sea m : c (N) � c0 (N) ! c0 (N), m (a; x) = a � x, donde �denota el producto coordenada a coordenada. Tengamos presente que

c0 (N)� � l1 (N) ; l1 (N)� � l1 (N) , c (N)� � l1 (N)�C, c (N)�� l1 (N)�C.

Si � 2 l1 (N), a 2 c (N) y x 2 c0 (N) tenemos

m� (a; x) = ha � x; �i = hx; �ai :

As�� vm�: c (N) ! l1 (N), vm�

(a) = a�, y el operador

v�m�: l1 (N) ! l1 (N)� C, v�m�

(�) = ��;

es (w�; w)-continuo. Precisamente, si w�-l��mi2I �i = 0 en l1 (N), 2 l1 (N),n 2 C e i 2 I tenemos

v�m�(�i) ;� n

�= h��i;� ni = h�; ( + n)��ii :

Como c0 (N) es Arens regular l��mi2Iv�m�

(�i) ;� n�

= 0 y m resulta regu-lar.

45Si (X;�; �) es un espacio de medida �-�nita positiva L1 (X;�; �) es re exivo si y solosi � es �nita, lo cual ciertamente equivale a que L1 (X;�; �) es �nito dimensional. Lacondici�on es claramente su�ciente. Por otra parte, si � fuere in�nito sea �1 la subclasede partes de � de � medida �nita. Sea F la subfamilia de partes �nitas y disjuntas de �1con el orden parcial de inclusi�on. Dado F 2 F escribimos

MF (f) =1

#F

XA2F

1

� (A)

ZA

fd�; f 2 L1 (X;�; �) :

ClaramenteMF 2�L1 (X;�; �)

��1. Por el teorema de Alaoglu, hay una subred fMF gF2G

de fMF gF2F que w�-converge a cierto elementoM 2�L1 (X;�; �)

��1. Supongamos existe

x 2 L1 (X;�; �) tal que M = �L1(X;�;�) (x) : Dado E 2 � de �-medida �nita tenemosZE

xd� =M (�E) = l��mF2G

MF (�E) = l��mF2G

1

#F= 0:

Por la �-�nitud de la medida inferimos que x = 0: Pero M (1) = 1, de donde sigue laa�rmaci�on.

108

12.3. Homomor�smos lineales reticulares

Proposici�on 12.19 46Sea M espacio reticular real y f : M ! R una formalineal no nula. Son equivalentes:

(i) f es un homomor�smo de ret��culos.

(ii) f (x+) ^ f (x�) = 0 para todo x 2M .

(iii) f � 0 y ker (f) es hiperplano s�olido de E:47

(iv) R�0f es rayo extremo de L (M;R)+ :48

Demostraci�on 12.20 (i) ii) Es inmediato por (164).

(ii) iii) Si x 2M+ tenemos

f (x) = f�x+�� f

�x+�^ f

�x��

= 0:

Supongamos ahora que x 2 ker (f) y sea y 2M tal que jyj � jxj : Comox = x+ � x� obtenemos

0 = f�x+�^ f

�x��

= f�x+�

= f�x��:

Luego f (jxj) = 0 y podemos concluir que jyj 2 ker (f) :

(iii) iv) Sean c > 0 y g 2 L (M;R)+ no nulo tales que cf � g � 0: En-tonces 0 � g � cf y ker (g) � ker (f) : En consecuencia ff; gg eslinealmente dependiente y como ambos funcionales son positivos siguela a�rmaci�on.

(iv ) ii) Si x 2 M es tal que f (x+) > 0 sea P , [%>0% [0; x+] : De�ni-mos, para y 2 M+, g (y) = sup ff (z) : z 2 [0; y] \ Pg : Como f � 0claramente 0 � g (y) � f (y). Es f�acil ver que g es una funci�on positi-vamente homog�enea. Sean y1; y2 2M+ y veamos que

g (y1 + y2) � g (y1) + g (y2) : (123)

46Palabras clave: Espacios de Banach abstractos. Homomor�smos reticulares. Unidadesen espacios de Banach abstractos. Rayos extremos de conjuntos convexos. Conjuntos s�oli-dos. Espacio de estructura de Kakutani.47Un subconjunto S de E se dice s�olido si dados x 2 S e y 2 E tales que jyj � jxj,

y 2 S:48Dado un cono C de E con v�ertice en cero, una semirecta R contenida en C se dice

rayo extremo de C si dados x 2 R e y 2 C tales que x� y 2 C necesariamente y 2 R:

109

En efecto, si z 2 [0; y1 + y2] \ P existen t 2 [0; 1], x1 2 [0; x+] y % � 0tales que

z = t (y1 + y2) = %x1 � %x+:

Entonces existe s 2 [0; 1] tal que ty1 = s%x+ en [0; y1] \ P , de dondef (ty1) � g (y1) : An�alogamente f (ty2) � g (y2) y como f es linealf (z) � g (y1) + g (y2) y podemos inferir (123). M�as a�un, si " > 0 seanzj 2 [0; yj]\P tales que f (zj) > g (yj)� "=2, j = 1; 2: Es f�acil ver queP + P � P , de donde z1 + z2 2 [0; y1 + y2] \ P pues

[0; y1] \ P + [0; y2] \ P � [0; y1 + y2] \ P:

As��

g (y1) + g (y2)� " < f (z1) + f (z2) = f (z1 + z2) � g (y1 + y2) : (124)

Como " es arbitrario de (123) y (124) g es aditiva sobre M+: Dadosahora w1; w2 2M+ escribiremos g (w1 � w2) = g (w1)�g (w2) : Si fuerew1 � w2 = ew1 � ew2, como

g (w1) + g ( ew2) = g (w1 + ew2) = g ( ew1 + w2) = g ( ew1) + g (w2)

entonces g (w1)�g (w2) = g ( ew1)�g ( ew2) : Como M = M+�M+ quedabien de�nida g : M ! R si g (w) = g (w1)�g (w2) cuando w = w1�w2;w1; w2 2M+: Es f�acil ver que g deviene lineal y 0 � g � f: Puesto quef de�ne un rayo extremo de M+ existir�a c > 0 tal que g = cf: Pero

g�x+�

= supz2[0;x+]

f (z) = f�x+�;

de modo que f = g: Ahora, si z 2 [0; x�]\P existen u; v 2 [0; 1], � � 0y ex 2 [0; x+] tales que

z = ux� = �ex = v�x+: (125)

Si u � v�, v�x+ � v�x� y

z =�v�x�

�^�v�x+

�= (v�)

�x� ^ x+

�= 0:

Si u > v� por (125) es

ux� = (u� �v)x� + �vx� = �vx+;

i.e. (u� �v)x� = �vx: Luego x 2 M+ y x� = 0 = z: En de�nitiva,[0; x�] \ P = f0g y g (x�) = f (x�) = 0:

110

(ii) i) Si x 2M , por hip�otesisf�x+�_ f

�x��

= f�x+�

+ f�x��

y ser�a f (x+) = 0 o f (x�) = 0: Supongamos existen u; v 2M tales que

f (u _ v) > f (u) � f (v) :

Por (163), u _ v � u = (v � u)+ y como f�(v � u)+

�> 0 entonces

f�(v � u)�

�= 0: As��

0 � f(v � u) = f�(v � u)+

�> 0;

lo cual es absurdo. En consecuencia, como necesariamente f � 0,

f (u _ v) � f (u) _ f(v) � f (u _ v) :

Proposici�on 12.21 Sea M un espacio (AM) de Banach con unidad u y sea el espacio de estructura de Kakutani de M: Entonces = Ext

��M�+

�1

�y

consiste de los homomor�smos reticulares f sobre M tales que f (u) = 1:

Demostraci�on 12.22 Evidentemente�M�+

�1

= M�+ \N , con

N = ff 2M� : f (u) = 1g :Notar que

�M�+

�1es w�-compacto no vac��o, de manera que Ext

��M�+

�1

�6= ?

como consecuencia del teorema de Krein-Milman (V. [79], Th. 1.4.3). Por elTeorema 13.50 bastar�a ver que si f 2M�; f 2 Ext

��M�+

�1

�si y solo si f es

homomor�smo reticular tal que f(u) = 1: En particular, por la Prop. 12.19Ext

��M�+

�1

�es w�-compacto.

()) Sean f 2 Ext��M�+

�1

�, g 2 M�

+ y c > 0 de modo que h 2 M�+, con

h = cf � g: Probando que g 2 R�0f la a�rmaci�on ser�a consecuenciade la Prop. 12.21. En efecto, podemos suponer que g (u) y h (u) sonpositivos. Luego

f =g + h

c=g (u)

c

g

g (u)+h (u)

c

h

h (u): (126)

Como f(u) = 1, (g (u) + h (u)) =c = 1 y (126) es combinaci�on convexade g=g (u) y h=h(u); ambos elementos de

�M�+

�1. Siendo f extremal

inferimos que g = g (u) f:

(() Sean f un homomor�smo reticular tal que

f (u) = 1; t 2 (0; 1) y g; h 2�M�+

�1

tales que f = tg + (1� t)h: Por la Prop. 12.19 f genera un rayoextremo de M�

+ y como f � tg 2 M�+ existir�a c > 0 tal que cf = tg.

Pero f(u) = g(u) = 1; de modo que c = t y f = g = h:

111

12.4. Sobre espacios (AL) y (AM)4950Entendemos por espacio de Banach reticular E a todo aquel en el que

kxk � kyk si jxj � jyj, cualesquiera sean x; y 2 E. Un espacio de Banachreticular se dice de tipo (AM) (resp. de tipo (AL)) si dados x; y 2 E+ severi�ca que kx _ yk = m�ax fkxk ; kykg (resp. kx+ yk = kxk + kyk). En laSecci�on 13.11 el teorema de Kakutani precisa la estructura general de espaciosde tipo (AM). El modelo de espacios de tipo (AL) lo dan los espacios cl�asicosde Lebesgue de funciones absolutamente integrables.

Proposici�on 12.23 (i) Si E es espacio de tipo (AM) con unidad, E� esespacio de tipo (AL) :51

(ii) Si E es espacio de tipo (AL), E� es espacio de tipo (AM) con unidad.

Demostraci�on 12.24 (i) Sean E espacio de tipo (AM) con unidad u yf 2 E�+: Entonces kfk = f(u). Si adem�as g 2 E�+, como f + g � 0tambi�en

kf + gk = (f + g) (u) = f(u) + g(u) = kfk+ kgk :

(ii) Sea ahora E espacio de tipo (AL). Como la norma es aditiva y positi-vamente homog�enea sobre E+ existe f0 2 E� tal que f0 (x) = kxk six 2 E+: Evidentemente f0 2 E�+, kf0k = 1 y si f 2 E� y kfk � 1resulta f � f0 porque

f0(x)� f(x) = kxk � f(x) � 0 si x 2�E+�1:

En consecuencia f0 es unidad de E�: Dados g; h 2 E�+, como g � kgk f0

y h � khk f0 entonces

g _ h � m�ax fkgk ; khkg f0:

Luego es claro que

m�ax fkgk ; khkg � kg _ hk � m�ax fkgk ; khkg

y sigue la a�rmaci�on.

49Palabras clave: Espacios reticulares. Espacios de tipo (AL) y (AM). Unidades enespacios reticulares. Espacios extremadamente disconexos. Conjuntos reticularmente com-pletos.50Por la estructura de (AL) espacios consultar [23].51V. De�nici�on 13.46.

112

Teorema 12.25 Sea E un espacio de Banach reticular.

(i) Las operaciones reticulares son continuas.

(ii) E� es reticularmente completo (i.e. todo subconjunto no vac��o de E�

contenido en un intervalo cerrado con extremos en E� tiene supremo e��n�mo).

(iii) Si E es espacio de tipo (AL) existe X espacio compacto extremada-mente disconexo (i.e. la clausura de cada subconjunto abierto de Xes abierta) tal que E� � C (X) ; donde � representa un isomor�smoisom�etrico reticular.

Demostraci�on 12.26 (i) Si x; y; z 2 E veremos que

jx� yj = jx _ z � y _ zj+ jx ^ z � y ^ zj : (127)

Luego ser�akx _ z � y _ zk � kx� yk

pues jx _ z � y _ zj � jx� yj y _ (y por ende tambi�en ^) resultar�ancontinuas. Asumiendo cierto (127) cuando z = 0 ser�a

jx� yj = j(x+ z) _ 0� (y + z) _ 0j+ j(x+ z) ^ 0� (y + z) ^ 0j= jx _ z � y _ zj+ jx ^ z � y ^ zj :

Notemos que

x� y = (x _ 0� y _ 0) + (x ^ 0� y ^ 0) : (128)

Adem�as (x� y)+ = (x� y) _ 0 y

(x� y) _ 0 + y _ 0 = x _ 0;

de modo que (x� y)+ = x _ 0� y _ 0 y por (128) ha de ser

(x� y)+ = x ^ 0� y ^ 0:

Por lo tanto

jx� yj = (x� y)+ + (x� y)�

= jx _ 0� y _ 0j+ jx ^ 0� y ^ 0j

y (127) es efectivamente v�alida si z = 0:

113

(ii) Sean A � E�, A 6= ?; y g1; g2 2 E� de modo que A � [g1; g2] : Sih (x) , supf2g2�A f (x), x 2 E+; vemos que 0 � h (x) � (g2 � g1) (x)y h est�a bien de�nida. Adem�as es inmediato que h es una funci�onpositivamente homog�enea subaditiva. M�as a�un, si x1; x2 2 E+ y " > 0sean f1; f2 2 g2 � A tales que fj (xj) > h (xj) � "=2 si j = 1; 2: Comog2 � A � [0; g2 � g1] no hay p�erdida de generalidad si suponemos quef1 � f2, y as��

h (x1) + h (x2)� " < f1 (x1) + f2 (x2) � f2 (x1 + x2) � h (x1 + x2) :

Como " > 0 es arbitrario h es aditiva sobre E+: Razonando como enla Prop. 12.19 h se extiende a una aplicaci�on lineal sobre E, la cualser�a ciertamente positiva. Por otra parte, h 2 E� : sea fxng1n=1 unasucesi�on convergente a cero en E. Como las operaciones reticularesson continuas en E si n 2 N resulta

jh (xn)j � h jxnj � (g2 � g1) (jxnj) ;

i.e. l��mn!1 h (xn) = 0: Si x 2 E+ y k 2 A, como (g2 � k) (x) � h (x)es (g2 � h) (x) � k (x) y g2 � h deviene cota inferior de A: Adem�as, sil fuere otra cota inferior de A,

g2 (x)� k (x) � g2 (x)� l (x) si k 2 A:

Luego h (x) � g2 (x)�l (x), h � g2�l y conclu��mos que g2�h = ��nf (A) :An�alogamente se prueba la existencia de sup (A) en E�:

(iii) La existencia de un espacio compacto X tal que E� � C(X) sigueal combinar la Prop. 12.23(ii) y el teorema de Kakutani. Sea U unsubconjunto abierto no vac��o de X y veamos que U� es abierto. Por ellema de Urysohn la familia S de funciones f 2 [0; 1] soportadas en U esno vac��a. Como C(X) es reticularmente completo existe f0 = sup (S) :Tambi�en por el lema de Urysohn sigue que f0 jU� 1 y f0 jX�U�� 0:Conclu��mos que f0 = �U� y, como f0 es continua, U

� ser�a abierto.

12.5. Factores en el dual de �algebras de Banach

Sea U un �algebra de Banach. Indicamos U�U y UU� a los U -subm�odulosde U� generados por elementos de la forma fa y af respectivamente, dondea 2 U y f 2 U�: En particular, si U tuviere aproximaci�on acotada de laidentidad a derecha (resp. a izquierda) por el Corolario 13.23 U�U (resp.UU�) ser��a cerrado. M�as a�un, por el teorema de Cohen todo elemento de U�U(resp. de UU�) es de la forma fa (resp. af), para ciertos a 2 U y f 2 U�: Se

114

dice que U� es factor de U� a izquierda (resp. a derecha) si U�U = U� (resp.UU� = U�), siendo simplemente un factor si lo es a ambos lados.

Teorema 12.27 (cf. [91]) Sea U un �algebra de Banach con aproximaci�onacotada de la identidad feigi2I . Son equivalentes:

(i) U�U = U� (resp. UU� = U�):

(ii) Dado f 2 U�, f = w-l��mi2I (fei) (resp. f = w-l��mi2I (eif)).

(iii) (U��;�) (resp. (U��;�)) es unitaria.

Demostraci�on 12.28 (i) ii) Sean f 2 U�; � 2 U��: Podemos escribir laexistencia de a 2 U y g 2 U� tales que f = ga: Como

hfei;�i = h(ga) ei;�i = hg (aei) ;�i = haei;�gi

resultal��mi2Ihfei;�i = ha;�gi = hga;�i = hf;�i :

(ii) iii) Por la Prop. 4.1 (U��;�) tiene unidad a derecha. Considerandoeventualmente una subred podemos suponer que existe

�0 = w� � l��mi2I

�U (ei) :

Si � 2 U�� y f 2 U� tenemos

hf;�0��i = h�f;�0i = l��mi2Ihei;�fi = l��m

i2Ihfei;�i = hf;�i

e inferimos la a�rmaci�on.

(iii) i) De la demostraci�on de la Prop. 4.1, pasando eventualmente a unasubred de feigi2I , existe E = w�-l��mi2I �U (ei) y F es unidad a derechade (U��;�) : Si (U��;�) es unitaria necesariamente E ha de ser launidad del �algebra. Si f 2 U y � 2 U��, como R�� 2 (w�; w�) escribimos

hf;�i = hf; E��i = l��mi2Ihf; ei�i = l��m

i2Ihfei;�i ;

i.e. f 2 U�Uw: Luego f 2 U�U y sigue que f 2 U�U .

Corolario 12.29 Sea U �algebra de Banach provista de aproximaci�on acota-da de la unidad.

115

(i) Si I es ideal bil�atero cerrado de U y (U��;�) (resp. (U��;�)) es unitariatambi�en lo es ((U=I)�� ;�) (resp. ((U=I)�� ;�)).

(ii) Si U es regular entonces U�� es unitaria.

Demostraci�on 12.30 (i) Sea E unidad de (U��;�), p : U ! U=I la proyec-ci�on al cociente. Notamos que p�� : (U��;�) ! ((U=I)�� ;�) es epimor-�smo (V. la demostraci�on de Prop. 12.38(viii)). Es inmediato as�� quep�� (E) deviene unidad de ((U=I)�� ;�) :

(ii) Por la Prop. 4.1 existen E;F 2 U�� tales que

� = ��E = F�� si � 2 U��

y, por la regularidad, sigue la a�rmaci�on.

Teorema 12.31 (cf. [91], Th. 2.6) Sea U �algebra de Banach d�ebilmentesecuencialmente completa provista de una aproximaci�on acotada secuencialfengn2N de la unidad. Son equivalentes:

(i) U�U = U�:

(ii) UU� = U�:

(iii) U es unitaria.

Demostraci�on 12.32 (i) ii) Si f 2 U� sean g 2 U�, a 2 U tales quef = ga: Como para n 2 N es hen; fi = haen; gi sigue que fengn2Nes sucesi�on w-Cauchy y por hip�otesis existe e 2 U tal que e = w-l��mn!1 en: Adem�as

hben; hi = hen; hbi ! hb; hi = he; hbi = hbe; hi

cualesquiera sean b 2 U y h 2 U�, i.e. b = be y e es unidad a derechade U . Luego h = eh para todo h 2 U� y sigue (ii).

(ii) i) �Idem.

(i) iii) Es ahora inmediato.

(iii) i) Trivial.

Lema 12.33 Sea U �algebra de Banach regular provista de aproximaci�on aco-tada de la unidad. Entonces U� es un factor.

116

Demostraci�on 12.34 Supongamos U�U U� y sea � 2 U�� no nulo tal que� (U�U) = f0g : Sea � 2 U� tal que h�;�i = 1: Si a 2 U tenemos

0 = h�a;�i = ha;��i ;

i.e. �� = 0: Como U tiene aproximaci�on acotada de la unidad por el Coro-lario 4.3 existe E 2 U�� identidad mixta. Como U es regular obtenemos

1 = h�;�i = h�;E��i = h�;E��i = h��;Ei = 0;

lo que es absurdo y sigue luego la tesis.

Corolario 12.35 Un �algebra de Banach secuencialmente completa provistade una aproximaci�on secuencial acotada de la unidad es regular solo si esunitaria.

Demostraci�on 12.36 Sigue combinando el Teorema 12.31 y el Lema 12.33.

12.6. Centros topol�ogicos

De�nici�on 12.37 5253Sea U un �algebra de Banach. Indicamos

Z1t (U��) =�

� 2 U�� : L�� = L��; Z2t (U��) =

�� 2 U�� : R�� = R��

;

donde para � 2 U�� indicamos L��; L��; R�� ; R�� a los operadores de multipli-caci�on a izquierda o derecha por � sobre U�� respecto al primer o segundoproducto de Arens. Decimos que Z1t (U��) y Z2t (U��) son los centros topol�ogi-cos a izquierda y derecha de U��:

Proposici�on 12.38 (i) Se tiene

Z1t (U��) =�

� 2 U�� : L�� es (w*-w*) continuo;

Z2t (U��) =�

� 2 U�� : R�� es (w*-w*) continuo:

(ii) Ambos centros topol�ogicos son sub�algebras de Banach de (U��;�) y (U��;�)y contienen al centro del �algebra respectivamente.

(iii) U es Arens-regular si y solo si U�� coincide con alguno de sus centrostopol�ogicos.

52Palabras clave: Productos semidirectos. Centros topol�ogicos. �Algebras de Banachfuertemente Arens irregulares. Identidades mixtas. Ideales nilpotentes.53V. [99], [98], [10], [8], [43].

117

(iv) Si U es abeliana entonces Z1t (U��) = Z2t (U��), siendo �este conjunto elcentro Z (U��) de (U��;�) y (U��;�) :

(v) Z1t (U��) = Z2t ((Uop)��) y Z2t (U��) = Z1t ((Uop)��) :

(vi) Si U es una �-�algebra de Banach y � 2 U�� entonces � 2 Z1t (U��) si ysolo si �� 2 Z2t (U��) :

(vii) Sea V una sub�algebra de Banach de U y sea j : V ,! U la inclusi�on.Entonces para i = 1; 2 se tiene

j�� (V��) \ Z it (U��) � j��Z it (V��)

�:

(viii) Si I es ideal cerrado de U y q : U ! U=I es la proyecci�on al cocientepara i = 1; 2 resulta

q��Z it (U��)

�� Z it ((U=I)��) :

Demostraci�on 12.39 (i) Sean � 2 Z1t (U��) y = w�-l��ma2A a en U��:Si � 2 U� tenemos

�; L�� ()�

=�; L�� ()

�= h�;��i= h��;i= l��m

a2Ah��;ai

= l��ma2A

h�;��ai

= l��ma2A

�; L�� (a)

�= l��m

a2A

�; L�� (a)

�i.e. L�� () = w�-l��ma2A L

�� (a) y L

�� 2 (w�; w�) : Sea 2 U�� tal que

118

= w�-l��mj2J �U (bj) : Si L�� es (w*-w*) continuo y � 2 U� escribimos

�; L�� ()�

= l��mj2J

�; L�� (�U (bj))

�= l��m

j2Jh�;��U (bj)i

= l��mj2Jh�U (bj)�;�i

= l��mj2Jhbj�;�i

= l��mj2Jhbj; ��i

= h��;i= h�;��i=�; L�� ()

�;

i.e. � 2 Z1t (U��). La otra a�rmaci�on se prueba en forma an�aloga.

(ii) Evidentemente los centros topol�ogicos son subespacios de Banach de U��:Como (U��;�) y (U��;�) son �algebras asociativas de (i) sigue enseguidaque los centros topol�ogicos devienen sub�algebras de Banach. Que estoscentros topol�ogicos contienen a los centros de (U��;�) y (U��;�) esinmediato.

(iii) Es inmediato.

(iv) Supongamos U abeliana, � 2 Z1t (U��) y 2 U��, digamos

� = w�- l��m�2A

�U (a�) ; = w�- l��m�2B

�U (b�) : (129)

Entonces

�� = w�- l��m�2A

l��m�2B

�U (b�a�)

= w�- l��m�2A

l��m�2B

�U (a�b�)

= ��

= ��

= w�- l��m�2B

l��m�2A

�U (a�b�)

= w�- l��m�2B

l��m�2A

�U (b�a�)

= ��;

de modo que Z1t (U��) � Z2t (U��) : An�alogamente sigue la otra inclusi�ony el resto de la a�rmaci�on es inmediata.

119

(v) Sean �; 2 U�� como en (129). Por (2) tenemos

�� = w�- l��m�2A

l��m�2B

�U (a�b�) = w�- l��m�2A

l��m�2B

�U (b� �op a�) = �op�

y an�alogamente �� = �op�: Si adem�as � 2 Z1t (U��) tenemosentonces

�op� = �� = �� = �op�;o sea � 2 Z2t ((Uop)��) y podemos inferir la a�rmaci�on.

(vi) Si � = w�-l��m�2A �U (a�) y � 2 U� tenemos

h�;��i = h��;�i = l��m�2A

ha�; ��i = l��m�2A

ha��; �i ;

i.e. �� = w�-l��m�2A �U (a��) : Es f�acil ver entonces que si 2 U�� setiene (��)� = ��: Por lo tanto si � 2 Z1t (U��) escribimos

�� = �� = (��)� = (��)� = ��;

o sea �� 2 Z2t ((U��) : El resto es inmediato.

(vii) Por el teorema de Banach-Hahn la aplicaci�on j� es suryectiva, por loque j�� deviene inyectiva. Por otra parte,

j�� : (V��;�V��) ! (U��;�) y j�� : (V��;�V��) ! (U��;�) (130)

son homomor�smos que �algebras54. Dado � 2 j�� (V��) \ Z1t (U��) seaM 2 V�� tal que � = j��(M): Bastar�a ver que M 2 Z1t (V��), para loque consideramos N 2 V�� y escribimos

j�� (M�V��N) = j��(M)�j��(N) = j��(M)�j��(N) = j��(M�V��N);

y podemos concluir que M�V��N = M�V��N .

(viii) Sean � 2 Z1t (U��),M 2 (U=I)�� : Notemos que q�� 2 B (U��; (U=I)��)es epimor�smo55. Sea M = q�� () para cierto 2 U��: Notemos que

54P. ej. para el primer caso en (130) notar que como sigue notando que

Mj� (�) = j� (j�� (M)�)

toda vez que M 2 V�� y � 2 U�: El segundo caso es an�alogo.55Es f�acil ver que q� : (U=I)� ! Io es isomor�smo isom�etrico de espacios de Banach.

Dados N 2 (U=I)�� sea

�0 : Io ! C; h�;�0i ,

D(q�)

�1(�) ; N

E:

Entonces jh�;�0ij � (q�)�1 kNk k�k para cada � 2 Io y por el teorema de Hahn-Banach

existe � 2 U�� tal que � jIo= �0. Ciertamente q�� (�) = N:

120

Ioo es ideal cerrado de (U��;�) y de (U��;�) :56 As�� U��=Ioo admitesendas estructuras de �algebra inducidas por los productos de Arens sobreU��: Sean � : U�� ! U��=Ioo la proyecci�on al cociente y

� : U��=Ioo ! (U=I)��

el isomor�smo tal que q�� = � � �: Es f�acil ver que tanto � como � sonhomomor�smos de �algebras. Finalmente,

q��(�)�M = q��(�)�q�� ()

= � (� (�))�� (� ())

= � (� (�)�� ())

= q�� (��)

= q�� (��)

= � (� (�)�� ())

= � (� (�))�� (� ())

= q��(�)�q�� ()

= q��(�)�M:

o sea q�� (�) 2 Z1t ((U=I)��) : El resto sigue en forma an�aloga.

De�nici�on 12.40 Un �algebra de Banach U es fuertemente Arens irregular57a izquierda (f.A.i.i.) o fuertemente Arens irregular a derecha (f.A.i.d.) seg�unsea �U(U) = Z1t (U��) o �U(U) = Z2t (U��) respectivamente. Diremos que U esfuertemente Arens irregular (f.A.i.) si lo es tanto a derecha como a izquierda.

56En efecto, sea f�sgs2� � Ioo y sea � = w�-l��ms2� �s en U��: Si a� 2 U� tenemos

ha�;�i = l��ms2�

ha�;�si = 0;

i.e. � 2 Ioo e Ioo resulta w�-cerrado. M�as a�un, Ioo = �U (I)w�

: como �U (I) � Ioo entonces�U (I)

w� � Ioo: Por otra parte, sea �0 =2 �U (I)w�

: Por la Prop. 13.13 existen un funcionallineal w�-continuo u : U�� ! C y c 2 R tal que

�U (I) � f� 2 U�� : Re h�; ui � cg (131)

y Re h�0; ui < c: Razonando como en el teorema de Goldstine existe �0 2 U� tal queu = �U� (�0) : Por (131) vemos que Re ha; �0i � c para todo a 2 I, de modo que ha de ser�0 2 Io: Adem�as

Re h�0; ui = h�0;�0i < c � 0;

i.e. �0 =2 Ioo: Que Ioo es ideal cerrado de (U��;�) y de (U��;�) sigue de la Prop. 2.7(iii).57P. ej., por fuerte Arens irregularidad de �algebras de Beurling v. [94].

121

Proposici�on 12.41 (i) Sea U �algebra de Banach dual con un predual U�:Entonces U es f.A.i. si y solo si dado � 2 (�U�(U�))

o � f0U��g existen1;2 2 U�� tales que ��1 6= ��1 y 2�� 6= 2��:

(ii) Un �algebra de Banach abeliana U es f.A.i. si y solo si Z (U��) = �U (U) :

Demostraci�on 12.42 (i) Como en el Teorema 5.1 sabemos que

U�� = �U (U)� (�U� (U�))o

Claramente la condici�on es necesaria. Rec��procamente, si � 2 Z1t (U��)hay �unicos a 2 U y �0 2 (�U� (U�))o tales que � = �U (a) + �0: Si�0 6= 0U�� por hip�otesis existe 2 U�� tal que �0� 6= �0�: Luego,por la Prop. 2.7(v), se contradice el car�acter de centro topol�ogico aizquierda de �: As�� 0 = 0U�� y �U(U) = Z1t (U��) : An�alogamente sigueque �U(U) = Z2t (U��) y U es f.A.i..

(ii) Sigue de la Prop. 12.38(iv).

Proposici�on 12.43 Sean U un �algebra de Banach abeliana e I un idealnilpotente de ��ndice n � 2 de (U��;�) tal que U�� = �U (U) n I. EntoncesIn�1 � Z (U��) y U no es fuertemente Arens irregular.

Demostraci�on 12.44 Sean � 2 In�1; a 2 U y 2 I. Como I es ideal con��ndice de nilpotencia n y U es abeliana, por la Prop. 2.7(v) tenemos

�� (�U (a) + ) = ��U (a) = �a = a� = (�U (a) + )��: (132)

De (132) y la Prop. 12.38(iv) sigue que � 2 Z(U��): Adem�as In�1 " �U(U)pues In�1 6= f0U��g, In�1 � I y �U (U)\I = f0U��g ; de donde sigue la tesis.

Proposici�on 12.45 Sea U un �algebra de Banach. Entonces:

(i) U� � Z1t (U��) � U�U :

(ii) Si U tiene alguna unidad mixta E entonces Z2t (U��) � E�U��:

(iii) Si U tiene alguna unidad mixta E y U�U 6= U� entonces E =2 Z1t (U��)y U no es Arens regular.

122

Demostraci�on 12.46 (i) Si � = w�-l��m�2A �U (a�) pertenece a Z1t (U��) y� 2 U�, dado 2 U�� escribimos

h��;i = h�;��i= h�;��i= h�;�i= l��m

�2Aha�;�i

= l��m�2A

h�a�;i ;

i.e. �� = w-l��m�2A (�a�) : As�� 2 U�Uw basta aplicar el Teo. 13.61(i).

(ii) Es inmediato.

(iii) Sea �0 2 U� � U�U . Por el teorema de Banach-Hahn existe � 2 U��tal que h�0;�i 6= 0 y U�U � ker (�) : Suponiendo E 2 Z1t (U��) por (i)ser�a �0E 2 U�U y

0 = h�0E;�i = h�0; E��i = h�0;�i ;

lo cual no es cierto. Luego sigue la tesis.

Proposici�on 12.47 (cf. [91]) Sea U �algebra de Banach con aproximaci�onacotada de la unidad.

(i) Si U� es factor solo a un lado Z1t (U��) 6= Z2t (U��) :

(ii) U� es factor a izquierda (resp. a derecha) si y solo si M1 � Z1t (U��)(resp. M2 � Z2t (U��)), donde

M1 = fm 2 U�� : Um � �U (U)g (M2 = fm 2 U�� : mU � �U (U)g ).

Demostraci�on 12.48 (i) Sea U� factor a izquierda pero no a derecha. Porel Teorema 12.27 (U��;�) es unitaria pero (U��;�) no lo es. Por elCorolario 4.3 existe E 2 U�� identidad mixta. Como

��E = E�� = � si � 2 U��

existir�a � tal que ��E 6= �, i.e. E =2 Z2t (U��) : Si U es el elementoid�entico de (U��;�) resulta E = U�E = U . Es claro entonces queE 2 Z1t (U��) :

123

(ii) Sean m 2M1, n 2 U��: Asumiendo que U es factor a izquierda si a 2 Uy f 2 U� existe b 2 U tal que am = �U(b) y tenemos

hfa;m�ni = hn (fa) ;mi= h(nf) a;mi= hnf; ami= hb; nfi= hfb; ni= hf�U (b) ; ni= hf (am) ; ni= h(fa)m;ni= hfa;m�ni ;

y as�� m 2 Z1t (U��) : Rec��procamente, como U tiene aproximaci�on aco-tada de la unidad existe sea E 2 U�� identidad mixta. Si c 2 U resulta

cE = �U (E)�E = �U (c) ;

o sea E 2M1: Por hip�otesis sigue que E 2 Z1t (U��) y si � 2 U�� es

E�� = E�� = ��E = �;

i.e. (U��;�) es unitaria y basta aplicar el Teorema 12.27.

12.7. Regularidad y completitud secuencial d�ebil

Proposici�on 12.49 (cf. [91]) Sea U �algebra de Banach con aproximaci�onacotada de la unidad y sea E el conjunto de unidades mixtas de U .58

(i) Si E 2 E la relaci�on PE (m) = E�m de�ne un proyector sobre U��:

(ii) (1� E)�U�� es ideal bil�atero cerrado de U��.

(iii) (1� E)�U�� = (U�U)? :

(iv) (U�U)� � U��= (U�U)? � E�U��:

(v) (U�U)� es �algebra de Banach.

58Palabras clave: Unidades mixtas. Centros topol�ogicos. Sucesiones d�ebiles de Cauchy.Funcionales tipo 1 de Baire. D�ebil-secuencial completitud.

124

Demostraci�on 12.50 (i) Evidentemente PE 2 B (U��) : Si m 2 U�� resulta

P 2E (m) = (E�E)�m = E�m = PE (m) ;

por lo que PE es proyector y podemos representar

U�� = E�U�� (1� E)�U��: (133)

(ii) Evidentemente (1� E)�U�� es ideal a derecha, y es cerrado pues setrata del n�ucleo de PE: Adem�as dados n;m 2 U�� resulta

n� (m� E�m) = n�m� n� (E�m)

= n�m� (n�E)�m= n�m� n�m= 0:

(iii) Sean m 2 U��; f 2 U�, a 2 U . Entonces

hfa; E�mi = hm (fa) ; Ei= h(mf) a;Ei= hmf; aEi= ha;mfi= hfa;mi ;

i.e. hfa;m� E�mi = 0. Por otra parte, dado n 2 (U�U)? considere-mos una red acotada fxigi2I en U cuyo w�-l��mite sea E. Entonces

hf; E�ni = hnf;Ei = l��mi2Ihxi; nfi = l��m

i2Ihfxi; ni = 0:

Por (133) es n 2 (1� E)�U��:

(iv) Sean �j : U�U ,! U� y p : U�� ! U��= (U�U)? la inclusi�on natural y laproyecci�on al cociente respectivamente. Por el teorema de Banach-Hahn(�j)

� : U�� ! (U�U)� es suryectiva. Como (U�U)? es ideal cerradoU��= (U�U)? es un espacio de Banach. Hay, adem�as, un isomor�smode espacios de Banach e�j : U��= (U�U)? ! (U�U)� tal que e�j�p = (�j)

� :Si m 2 U�� escribimos

�E : E�U�� ! (U�U)� ; �E(E�m) = m jU�U :

Por (iii) �E est�a bien de�nida. Adem�as es monomor�smo, y si es da-do � 2 (U�U)� existe n 2 U�� tal que (�j)

� (n) = �: Es f�acil ver que�E(E�n) = �: Por el teorema de la funci�on abierta �E deviene isomor-�smo de espacios de Banach.

125

(v) Como (U�U)? es ideal cerrado U��= (U�U)? es un �algebra de Banach y pes homomor�smo de �algebras. Por (iv), queda inducida en (U�U)� unaestrutura de �algebra de Banach respecto a la cual tanto (�j)

� como e�jser�an homomor�smos de �algebras. Precisamente, dadosM;N 2 (U�U)�

basta hacer MN = (�j)� (m�n) ; donde m;n 2 U�� extienden a M y

N respectivamente.

Notaci�on 1 Si L;M 2 (U�U)� escribiremos LM 2 (U�U)� al producto deambos, como en la Prop. 12.49(v). Por la Prop. 12.38(i) haremos tambi�en

Z1t ((U�U)�) = fM 2 (U�U)� : LM es (w*-w*) continuog ;Z2t ((U�U)�) = fM 2 (U�U)� : RM es (w*-w*) continuog :

Adem�as quedan de�nidas las aplicaciones

U� � U�� ^! U��; (f;m) !dfm; Dn;dfmE , hf;m�ni ;

U�U� (U�U)�_! (U�U)�� ; (�;M) !

_�M;

�L;

_�M

�, h�;MLi :

(134)

Observaci�on 12.51 Sean a 2 U , M 2 (U�U)� : Por el teorema de Banach-Hahn existe m 2 U�� extensi�on de M . Por la Prop. 12.49(iv) podemos haceraM , (am) jU�U ; quedando bien de�nido aM 2 (U�U)� : M�as a�un, aM cobrasentido en cuanto elemento de U��, pues si m1 2 U�� fuere otra extensi�on deM dado f 2 U� es

hf; ami = hfa;mi = hfa;Mi = hfa;m1i = hf; am1i ;

i.e. aM , am en U��:

Proposici�on 12.52 (Ib��d., Lemma 3.1) Sea U �algebra de Banach con apro-ximaci�on acotada de la unidad.

(i) Dado m 2 U��, m 2 Z1t (U��) si y solo sidfm 2 �U� (U�) para todo f 2 U�:En ese caso, fm 2 U�U y dfm = �U�(fm).

(ii) Si M 2 (U�U)� son equivalentes:

(a) M 2 Z1t ((U�U)�) :

(b)_�M 2 �U�U (U�U) para todo � 2 U�U .

(c) aM 2 Z1t (U��) para todo a 2 U .

126

Demostraci�on 12.53 (i) La a�rmaci�on es consecuencia de la Prop. 12.38(i).Si m 2 Z1t (U��), f 2 U� y n 2 U�� se tieneD

n;dfmE , hf;m�ni = hf;m�ni = hfm; ni = hn; �U� (fm)i :

M�as a�un, sea fajgj2J red acotada en U tal que m = w�-l��mj2J �j (aj) :Si n 2 U�� sigue que

hfm; ni =

�n;

^fm

�= hf;m�ni= hnf;mi= l��m

j2Jhaj; nfi

= l��mj2Jhfaj; ni ;

i.e. fm 2 U�Uw, y por el Teo. 13.61(i) y el Corolario 13.23 conclu��mosque fm 2 U�U :

(iia, iib) Dadas cualquier red fLigi2I en (U�U)�, � 2 U�U e i 2 I es

h�;MLii =

�Li;

_�M

�: Luego Li

w�! 0(U�U)� si y solo si h�;MLii ! 0.

(iib) iic) Veamos que si a 2 U y f 2 U� entonces

_(fa)M � (�j)

� =^

f (aM): (135)

Precisamente, si m 2 U�� extiende a M dado n 2 U�� por (134), la

127

Obs. 12.51 y la Prop. 12.49(v) tenemos�n;

^f (aM)

�= hf; (aM)�ni

= hnf; ami= h(nf) a;mi= hn (fa) ;mi= hfa;m�ni= h(�j) (fa) ;m�ni= hfa; (�j)� (m�n)i= hfa;M (�j)

� (n)i

=

�(�j)

� (n);_

(fa)M

�=

�n;

_(fa)M � (�j)

��:

Ahora por hip�otesis existe � 2 U�U tal que_

(fa)M = �U�U(�) y sin 2 U�� por (135) obtenemos�

n;^

f (aM)

�= hu; (�j)� (n)i = hu; ni = hn; �U� (�)i (136)

y por (i) sigue (ii)(c).

(iic) iia) Sean w�-l��mi2I Ni = 0(U�U)�, � = fa en U�U y si i 2 I seani 2 U�� extensi�on de Ni. Por (134) y (135) si i 2 I es

hfa;MNii =

�Ni;

_(fa)M

�=

�(�j)

� (n1);_

(fa)M

�=

^f (aM) (ni) :

(137)

Pero por (i) tenemos^

f (aM) = �U�U (�) para cierto � 2 U�U . Por(137) escribimos

hfa;MNii = h�; nii = h�;Nii

para i 2 I, o sea l��mi2I hfa;MNii = 0 y sigue la tesis.

Corolario 12.54 Si U es �algebra de Banach con aproximaci�on acotada dela unidad entonces UZ1t (U��) = UZ1t ((U�U)�) :

128

Demostraci�on 12.55 Si M 2 Z1t ((U�U)�) por la Prop. 12.52(ii) tenemosUM � Z1t (U��) : Luego U (UM) � UZ1t (U��) : Como UM es U m�odulode Banach a izquierda y U posee aproximaci�on acotada de la unidad por elteorema de Cohen UM= U (UM) ; i.e. UZ1t ((U�U)�) � UZ1t (U��). Por otraparte, dado n 2 Z1t (U��) sea N la restricci�on de n a U�U . Entonces an = aNpara cada a 2 U como se se~nalara en la Obs. 12.51 y N 2 Z1t ((U�U)�).Precisamente,basta notar que UZ1t (U��) � Z1t (U��), y de nuevo por la Prop.12.52(ii) sigue la tesis.

De�nici�on 12.56 En un �algebra de Banach U , un elemento f 2 U� se diced�ebilmente completamente continuo a izquierda (o f 2 dcci) si la aplicaci�onLU ,U

�

f : a ! fa de U en U� transforma sucesiones d�ebiles de Cauchy ensucesiones d�ebilmente convergentes. Indicaremos DCCI (U�) a dicha clasede elementos.

De�nici�on 12.57 En un �algebra de Banach U , un elemento m 2 U�� se diceque es Baire de tipo 1 (o m 2 B1) si hay una sucesi�on fang1n=1 en U tal quem = w�-l��mn!1 �U (an) : Indicaremos B1 (U��) a la clase de tales elementos.

Lema 12.58 (Ib��d., Lemma 3.3) Sea U un �algebra de Banach. EntoncesB1 (U��) � Z1t (U��) si y solo si DCCI (U�) = U�:

Demostraci�on 12.59 ()) Sean f 2 U� y fang1n=1 una sucesi�on d�ebil deCauchy en U . Esta sucesi�on ha de ser acotada por el principio deacotaci�on uniforme de modo que por el teorema de Alaoglu59 est�a de�nidon = w�-l��mn!1 �U (an). Por hip�otesis n 2 Z1t (U��) y si m 2 U�� vemosque

hfn;mi = hf; n�mi= hf; n�mi= hmf; ni= l��m

n!1han;mfi

= l��mn!1

hfan;mi ;

i.e. fn = w-l��mn!1 fan y f 2 DCCI(U�):

(() Sea p 2 B1 (U��) ; p = w�-l��mn!1 �U (bn) para cierta sucesi�on fbng1n=1contenida en U . Sea fqigi2I � U�� tal que w�-l��mi2I qi = 0U��: Si

59Hay que considerar alguna subsucesi�on de fang1n=1 ; pero como fhan; gig1n=1 converge

para todo g 2 U� la sucesi�on f�U (an)g1n=1 resulta w�-convergente.

129

h 2 U�, como fbng1n=1 deviene sucesi�on d�ebil de Cauchy, por hip�otesisexiste l 2 U� tal que l = w-l��mn!1 (hbn) : Entonces

0 = l��mi2Ihl; qii

= l��mi2I

l��mn!1

hhbn; qii

= l��mi2I

l��mn!1

hbn; qihi

= l��mi2Ihqih; pi

= l��mi2Ihh; p�qii ;

o sea 0U�� = w�-l��mi2I p�qi y sigue la a�rmaci�on.

Teorema 12.60 (Ib��d., Th. 3.4) Sea U �algebra de Banach con una aproxi-maci�on acotada secuencial feng1n=1 de la identidad tal que Z1t (U��)U � �U(U).

(i) Si U es d�ebilmente secuencialmente completo entonces Z1t (U��) = �U(U).

(ii) Si U� es d�ebilmente secuencialmente completo60 Z1t (U��) = B1 (U��) :

(iii) Si U es regular entonces U�� = B1 (U��) :

Demostraci�on 12.61 (i) Sea m 2 Z1t (U��): Por el Corolario 4.3 hay enU�� una unidad mixta E del tipo

E = w� � l��mk!1

�U (enk) ;

para cierta subsucesi�on fenkg1k=1 de feng

1n=1. Entonces m = m�E y

por la Prop. 12.38(i) m = w�-l��mk!1 (menk) : Por hip�otesis deducimosque m 2 B1 (U��) : Como U es d�ebilmente secuencialmente completay puesto que fmenkg

1k=1 resulta sucesi�on d�ebil de Cauchy en U existe

a 2 U tal que a = w-l��mk!1 (menk). Finalmente, es inmediato quem = �U (a). La otra inclusi�on es trivial.

(ii) Veamos que DCCI (U�) = U� asumiendo que U� es d�ebilmente se-cuencialmente completo. Sean f 2 U� y fang1n=1 sucesi�on d�ebil deCauchy en U . Si � 2 U entonces fhfan; �ig1n=1 es de Cauchy porquefhan; �fig1n=1 lo es y ambas coinciden. Por lo tanto existe g 2 U� talque g = w-l��mn!1 (fan) y sigue la a�rmaci�on. Por el Lema 12.58 esB1 (U��) � Z1t (U��): La otra inclusi�on sigue como en la primera partede (i).

60V. [132].

130

(iii) Si U fuere regular por el Teorema 3.1 Z1t (U��) = U�� y basta razonarcomo en la primer parte de (i).

Teorema 12.62 (Ib��d., Th. 3.6) Sea U �algebra de Banach con aproximaci�onacotada feigi2I de la identidad. Son equivalentes:

(i) WAP (U) � U�U . 61

(ii) UU�� Z1t (U��):

(iii) UU�� UZ1t ((U�U)�):

(iv) (U�U)� = Z1t ((U�U)�):

Demostraci�on 12.63 (i) ii) Sean a 2 U , m;n 2 U��; f 2 U�: Entonces�n;

^f (am)

�= hf; (am)�ni

= hf; a (m�n)i= hfa;m�ni= hfa;m�ni= h(fa)m;ni= hn; �U� ((fa)m)i ;

i.e.^

f (am) 2 �U� (U�) y basta aplicar la Prop. 12.52(i).

(ii) iii) Como U tiene aproximaci�on acotada de la identidad por el teoremade Cohen U = UU . Por el Corolario 12.54 tenemos

UU�� = (UU)U�� U (UU��) � UZ1t (U��) = UZ1t ((U�U)�):

(iii) iv) Sean M 2 (U�U)� y fNjgj2J � (U�U)� red w�-convergente a cero.Si f 2 U�, j 2 J y a 2 U tenemos

hfa;MNji = l��mi2Ihfei; a (MNj)i (138)

= l��mi2Ihfei; ((aM)Nj)i

= l��mi2Ihfei; ((aM)Nj)i ;

61Generalizando la noci�on ya introducida en el Teorema 11.19, WAP (U) denota el con-junto de funcionales f 2 U� que son casi-peri�odicos, i.e. la aplicaci�on LU ,U

�

f : U ! U�,LU ,U

�

f (a) = fa es d�ebilmente compacta.

131

donde hemos usado que (�j)� (bn) = b (�j)

� (n) y b (PQ) = (bP )Q sib 2 U , n 2 U�� y P;Q 2 (U�U)� : Sabemos que aM = am donde mes cualquier extensi�on de M a U�, de modo que por hip�otesis podemosescribir aM = cR para ciertos c 2 U y R 2 Z1t ((U�U)�): Por (138)resulta

0 = l��mj2Jhfc; RNji = l��m

j2Jl��mi2Ihfei; ((cR)Nj)i = l��m

j2Jhfa;MNji :

(iv ) i) Dados f 2 U� y a 2 U veremos que el conjunto

H (fa) = f(fa)x : x 2 [U ]1g

es relativamente d�ebilmente compacto. Por el teorema de Eberlein-�Smu-lian bastar�a ver que dada fxng1n=1 sucesi�on in�nita en [U ]1 el conjun-to f(fa)xng1n=1 tiene alg�un punto de d�ebil acumulaci�on. Por el teore-ma de Alaoglu existe alguna subsucesi�on fxnkg

1k=1 de fxng

1n=1 de modo

que existe m = w�-l��mk!1 �U (xnk) : Si M = m jU�U por la hip�otesisM 2 Z1t ((U�U)�): Adem�as aM = am pertenece a UZ1t ((U�U)�): Por elCorolario 12.54 am 2 UZ1t (U��) y como UZ1t (U��) � Z1t (U��) por laProp. 12.52(i) sabemos que (fa)m 2 U�U y

^(fa)m = �U� ((fa)m) : Si

n 2 U�� escribimos�n;

^(fa)m

�= h(fa)m;ni

= hf (am) ; ni= ham; nfi= l��m

k!1haxnk ; nfi

= l��mk!1

hf (axnk) ; ni

= l��mk!1

h(fa)xnk ; ni ;

i.e.^

(fa)m = w-l��mk!1 ((fa)xnk) :

Teorema 12.64 (Ib��d., Th. 5.1) Sea U un �algebra de Banach con aproxi-maci�on acotada de la unidad fekgk2K : Dado m 2 U�� son equivalentes:

(i) m 2 Z1t (U��):

(ii) (a) m�U (U) � Z1t (U��); (b) Dado E 2 E , m�E = m y (c) fm 2 U�U sif 2 U�:

132

Demostraci�on 12.65 (i) ii) Sean w�-l��mi2I ni = 0U�� y a 2 U . Eviden-temente w�-l��mi2I (ani) = 0U�� y por la Prop. 12.38(i) resulta

0U�� = w�- l��mi2I

m� (ani) = w�- l��mi2I

(ma)�ni;

i.e. ma 2 Z1t (U��): Dados E 2 E, g 2 U�, b 2 U es

hb; Egi = hgb; Ei= hg; bEi= hg; �U (b)�Ei= hg; �U (b)i= hb; gi ;

de donde Eg = g: En consecuencia,

hg;m�Ei = hg;m�Ei = hEg;mi = hg;mi ;

y sigue (ii)(b). La condici�on (ii)(c) sigue de la Prop. 12.52(i).

(ii) i) Sea E 2 S del tipo E = w�-l��mj2J �U (ej), donde fejgj2J es algunasubred de fekgk2K. Dados n 2 U�� y f 2 U� tenemos

hf;m�ni = hnf;mi= hnf;m�Ei (por (ii)(b))

= h(nf)m;Ei= l��m

j2Jhej; (nf)mi

= l��mj2Jhej (nf) ;mi

= l��mj2Jhnf;meji

= l��mj2Jhf; (mej)�ni (por (ii) (a))

= l��mj2Jhf; (mej)�ni

= l��mj2Jhf;m� (ejn)i

= l��mj2Jhfm; ejni

= l��mj2Jh(fm) ej; ni (por (ii) (c))

= hfm; ni= hf;m�ni :

133

13. ANEXO

13.1. Teorema de Arens-Kelley

Teorema 13.1 62(cf. [5]) Sean espacio compacto Hausdor� y X un espa-cio vectorial topol�ogico.

(i) [M()]1 = co (D)w�

, con D = fc�x : jcj = 1 en C y x 2 g :

(ii) Si A � X se tiene co(A) = co (A) ;i.e. coA es la c�apsula convexa cerradade A.

(iii) Sean A; B subconjuntos de X cuyas c�apsulas convexas cerradas soncompactas. Entonces

co (A [B) = co [co (A) [ co (B)] :

(iv) Si X es localmente convexo y Q es subespacio compacto de X cuyac�apsula convexa cerrada es compacta entonces ext [co(Q)] � Q:

(v) Dado X subespacio de Banach de C () ; ext ([X]1) � D:

(vi) ext ([M ()]1) = D:

Demostraci�on 13.2 (i) La inclusi�on � es inmediata. Si � =2 co (D)w�

, porel Corolario 13.11 hay un operador lineal � : M () ! C y w�-continuotal que para cierta constante a 2 R es

Re h�;�i < a < Re h�;�i (139)

para todo � 2 D: Como en el teorema de Goldstine existe f 2 C () talque h�;�i = hf; �i para cada � 2 M (). Por (139), dado x 2 existec 2 C unitario de modo que

jf(x)j = cf(x) = Re [cf(x)] = Re hf; c�xi < a < Re hf; �i :

Por lo tantokfk � a < Re hf; �i � kfk k�k ;

y como claramente f 6= 0 deducimos que k�k > 1:

62Palabras clave: C�apsulas convexa y convexa cerrada de un conjunto.

134

(ii) La inclusi�on � es inmediata. Si � =2 co (A) sea C convexo cerrado talque A � C y � =2 C: Inferimos que � =2 A porque

A � co (A) � C:

(iii) Como co (A) [ co (B) � co (A [B) y co (A [B) es convexo,

co [co (A) [ co (B)] � co (A [B) :

Por la hip�otesis el conjunto K = [0; 1] � co (A) � co (B) es compacto.Como la funci�on

: K ! co [co (A) [ co (B)] ;

(s; x; y) = (1� s)x+ sy;

es continua (K) resulta compacto. Adem�as (K) � A[B y habremosdeducido (iii) si (K) fuere convexo. En efecto, sean p = (t; x; y) ;ep =

�et; ex; ey� en K; s 2 [0; 1] y hagamos z = (1� s) (p) + s (ep) :Entonces

z = (1� s) [(1� t)x+ ty] + s��

1� et� ex+ etey� : (140)

Si � = (1� s) (1� t) + s�1� et�, � 2 [0; 1]. Si 0 < s < 1, � = 0 si y

solo si t = et = 1; en cuyo caso por (140) es

z = (1� s) y + sey = (0; x; (1� s) y + sey) :

An�alogamente, si � = (1� s) t + set, � 2 [0; 1] : Si 0 < s < 1, � = 0 siy solo si t = et = 0 y ahora

z = (1� s)x+ sex = (0; (1� s)x+ sex; ey) :

Con esta notaci�on, si 0 < s < 1, � > 0 y � > 0, vemos que � + � = 1y por (140) es

z = �(1� s) (1� t)x+ s

�1� et� ex

�+ �

(1� s) ty + setey�

=

�;

(1� s) (1� t)x+ s�1� et� ex

�;(1� s) ty + setey

�

!:

135

(iv) Supongamos existe x 2 ext [co (Q)]�Q y sea U0 entorno de cero tal que(x+ U0)\Q = ?: Si U es entorno convexo de cero tal que U �U � U0vemos que

(x+ U) \ (Q+ U) = ?; (141)

i.e. x =2 Q+ U: Como Q es compacto existe F � Q �nito tal queQ � [y2F (y + U). Sea Ky = co [(y + U) \Q], y 2 F: Cada Ky escerrado en co (Q), y como X es separado, deviene compacto. Adem�as

co (Q) � co ([y2FKy) � co (Q) ;

i.e. co (Q) = co ([y2FKy) : Por (iii) sigue claramente que

co (Q) = co [[y2F co(Ky)] = co [[y2FKy] :

Luego hay escalares fcygy2F en [0; 1] de modo queP

y2F cy = 1 y ele-mentos zy 2 Ky para cada y 2 F de modo que x =

Py2F cyzy: Como x

es extremal, x = zy si cy > 0, o sea que x 2 [y2FKy: Pero

[y2FKy � [y2Fy + U � Q+ U;

y se contradice (141).

(v) Como y toda circunferencia del plano complejo son compactos D re-sulta w�-compacto. Por (i), (ii) y el teorema de Alaoglu co (D) resultaw�-compacto y basta aplicar (iv).

(vi) Sea c�x = (1� t) e�+ te�, con jcj = 1 en C, 0 < t < 1 y e�; e� 2 [M ()]1 :Si � = ce� y � = ce�, �x = (1� t)� + t� y bastar�a ver que �x = � = �:Fijemos y 6= x ya que podemos suponer 6= fxg : Como es separadohay abiertos U , V con clausuras disjuntas, x 2 U e y 2 V: Por el lemade Urysohn existe f 2 C (; [0; 1]) tal que f jU� 1 y sop (f) � � V :Como

1 = f (x) = �x(f) = (1� t)� (f) + t� (f) ; (142)

j� (f)j � 1 y j� (f)j � 1 en C, � (f) = � (f) = 1: En consecuencia, sif0 2 C () es nula en un entorno de x tenemos

1 = (f + f0) (x) = �x (f + f0) = (1� t)� (f + f0) + t� (f + f0) :

De (142) y la linealidad de � y �, � (f0) = � (f0) = 0: Sean g 2 [C ()]1tal que g (x) = 0 y n 2 N. El conjunto

Un = fz 2 : jg (z)j < 1=ng

136

es entorno abierto de x y existe tambi�en Vn abierto de modo que x 2 Vny Vn � Un: Sea egn 2 C (; [0; 1]) tal que egn jVn� 1, sop (egn) � Un y

hagamos eegn = gegn: Entonces eegn � 1=n, eegn jVn= g y sop�eegn� � Un:

Luego ��g � eegn�� = jg (1� egn)j � kgk1 � 1

y g � eegn ! g: Como cada g � eegn es nula en un entorno de x y � y� son continuas � (g) = � (g) = 0: En el caso general, sean g 2 C ()tal que g (x) = 0 y k 2 N de modo que g=k 2 [C ()]1. Luego � y � seanulan en g=k y por consiguiente en g: Como ker (�x) � ker (�)\ker (�)existen a; b 2 C tales que � = a�x y � = b�x: En particular, debe serm�ax fjaj ; jbjg � 1. As�� x = [(1� t) a+ tb] �x y podemos inferir que(1� t) a + tb = 1: Como 1 es extremal en la circunferencia complejahabr�a de ser entonces a = b = 1:

13.2. Teorema de Banach-Hahn

Teorema 13.3 63(cf. [67], [13], [14]) Sea X un espacio vectorial real, mu-nido de un funcional sublineal p : X ! R, i.e.

p(x+ y) � p(x) + p(y) y p(�x) = �p(x)

toda vez que x; y 2 X y � � 0: Sea Y un subespacio vectorial propio de Xy sea t : Y ! R una aplicaci�on lineal tal que t(x) � p(x) para todo x 2 Y:Entonces existe un operador lineal T : X ! R que extiende a t y T (x) � p(x)para todo x 2 X:

Demostraci�on 13.4 Fijemos x0 2 X�Y y sea Z = Y �Rx0: Procuraremosen principio una extensi�on S de t a Z en las condiciones de la a�rmaci�on.Para ello, si y 2 Y y � 2 R sea z = y+�x0: Deber��a ser S(z) = t(y)+�S (x0),y todo consiste en decidir la existencia de alg�un valor conveniente S(x0) 2 R.Podemos asumir � 6= 0: Si � > 0; a posteriori tendr��amos

t(y) + �S (x0) = S (z) � p (z) = p (y + �x0) = �p (y=�+ x0) ;

de donde S(x0) � �t (y=�) + p (y=�+ x0) : Como y 2 Y es arbitrario habr��ade ser

S(x0) � ��nf fp (y + x0)� t(y) : y 2 Y g : (143)

63Palabras clave: Cadenas �ltrantes. Lema de Zorn. Espacios vectoriales topol�ogicoslocalmente convexos. Entornos sim�etricos del or��gen. Topolog��as d�ebil, w o � (X;X�) sobreun espacio vectorial topol�ogico X y topolog��a �-d�ebil, w� o � (X�; X) sobre X�:

137

Si � < 0 tendr��amos

t(y) + �S (x0) = S (z) � p(z) = p (y + �x0) = ��p(�y=�� x0);

de dondeS(x0) � �p(�y=�� x0) + t(�y=�):

Como antes, habr��a de ser

S(x0) � sup ft(y)� p(y � x0) : y 2 Y g : (144)

De (143) y (144), podremos hallar una de�nici�on satisfactoria de S(x0) sipara y1; y2 2 Y resulta

t(y1)� p(y1 � x0) � p (y2 + x0)� t(y2): (145)

En efecto, dados y1; y2 2 Y tenemos

t(y1) + t(y2) = t(y1 + y2) � p(y1 + y2) � p (y1 � x0) + p (x0 + y2)

y sigue (145). Podemos considerar entonces la familia F de pares ordenados(Z; S) ; en la que Z es un subespacio de X que contiene a Y , S : Z ! R esuna aplicaci�on lineal que extiende a t y S(x) � p(x) para todo x 2 Z: Intro-ducimos una noci�on de orden � sobre F , a saber: si (Z1; S1) y (Z2; S2) sonelementos de F , ser�a (Z1; S1) � (Z2; S2) si y solo si Z1 � Z2 y S2 jZ1= S1:Es f�acil ver que F deviene en un conjunto parcialmente ordenado. Consi-deremos entonces una cadena �ltrante superiormente C = f(Zv; Sv)gv2V : Elconjunto Z , [v2VZv contiene a Y y es un subespacio vectorial real de Xpues C se asume �ltrante superiormente. Sea S : Z ! R, S(x) , Sv(x)si x 2 Zv con v 2 V:Si fuere tambi�en x 2 Zw para w 2 V podemosasumir sin p�erdida de generalidad que (Zv; Sv) � (Zw; Sw). Pero entoncesSw(x) = Sw jZv (x) = Sv(x) y as�� S est�a bien de�nida. Como C es �ltrantesuperiormente sigue enseguida que S es una aplicaci�on lineal que extiende at: En consecuencia, (Z; S) 2 F y (Z; S) es cota superior de C. Por el lema deZorn F posee un elemento maximal (Z0; S0) : Si Z0 fuera subespacio propio deX, razonando como al principio podemos construir un elemento (Z1; S1) 2 Fde manera que Z0 Z1 en contradicci�on con el car�acter maximal de (Z0; S0) :Por lo tanto Z0 = X y basta considerar T = S0:

Corolario 13.5 Sea X un espacio vectorial complejo munido de una apli-caci�on sublineal p. Sea Y un subespacio vectorial propio de X y sea t : Y ! Cuna aplicaci�on lineal tal que jt(x)j � p(x) para todo x 2 Y: Entonces existeun operador lineal T : X ! C que extiende a t, i.e. T (x) = t(x) para todox 2 Y , de modo que jT (x)j � p(x) para todo x 2 X:

138

Demostraci�on 13.6 Escribiremos t1 = Re (t) ; t2 = Im(t), o sea

t1(x) =�t (x) + t(x)

�=2, t2(x) =

�t(x)� t(x)

�=(2i)

para cada x 2 Y: Entonces t = t1 + it2 y tanto t1 como t2 son formas linealesreales sobre Y: Si x 2 Y podemos escribir

t1(ix) + it2(ix) = t(ix) = it(x) = it1(x)� t2(x);

i.e.t2(x) = �t1(ix) y t1(x) = t2(ix): (146)

Las identidades en (146) son compatibles, ya que

t2(ix) = �t1�i2x�

= t1(x):

Luego t (x) = t1(x)� it1(ix) para todo x 2 Y: Adem�as

t1 (x) � jt1(x)j � jt(x)j � p(x);

y por el Teorema 13.3 hay una extensi�on lineal real T1 : X ! R de t1 tal queT1(x) � p(x) si x 2 X: Escribiendo T (x) , T1(x) � iT1(ix) queda de�nidauna funci�on T : X ! C tal que T jY = t: Evidentemente T es aditiva y si� 2 C y x 2 X entonces T (�x) = �T (x): Precisamente, sea � = a + ib paraciertas a; b 2 R. Entonces

T (�x) = T1 (�x)� iT1(i�x)

= T1(ax+ ibx)� iT1 (iax� bx)

= aT1(x) + bT1(ix)� (aT1(ix)� bT1(x)) i

= (a+ ib) (T1(x)� iT1(ix))

= �T (x):

Luego T es una extensi�on C-lineal de t. Dado x 2 X, si T (x) 6= 0 sea � 2 S1tal que T (x) = � jT (x)j : Entonces

jT (x)j = �T (x) = T (�x) = T1 (�x) � p (�x) = p(x)

y sigue la tesis.

De�nici�on 13.7 Si X es un espacio vectorial topol�ogico, denominamos semies-pacio cerrado (resp. semiespacio abierto) a todo conjunto S de la forma

S = fx 2 X : Re �(x) � �g

(resp. S = fx 2 X : Re �(x) > �g), donde � : X ! C es una forma linealcontinua y � 2 R. Dos subconjuntos de X se dicen separados (resp. es-trictamente separados) si est�an contenidos en semiespacios cerrados (resp.semiespacios abiertos) disjuntos.

139

Teorema 13.8 Sean X un espacio vectorial topol�ogico real, A;B conjuntosconvexos disjuntos no vac��os, A abierto. Existen una forma lineal continua� : X ! R y una constante � 2 R tal que � (x) < � � � (y) si x 2 A ey 2 B: Si B fuere tambi�en abierto, las desigualdades anteriores pueden serestrictas.

Demostraci�on 13.9 Sean a 2 A; b 2 B; y hagamos C , A � B + c; conc , �a + b: En consecuencia, 0 2 C y C es convexo. Como A es abierto esclaro que C tambi�en lo es pues se realiza como la uni�on de traslaciones deA. Entonces, C es un entorno convexo de cero. Si x 2 X sea64

�C (x) , ��nf ft > 0 : x=t 2 Cg :

Como la aplicaci�on c ! cx de C en X es continua �C (x) est�a de�nido y0 � �C (x) < 1: Ya que C es convexo y 0 2 C, x 2 C si �C(x) < 1: Porotra parte, si x 2 C existe � > 0 tal que cx 2 C si j1� cj < �: Si 1 < c < 1+�se tiene cx 2 C y 1 > 1=c � �C(x): En de�nitiva, C = fx 2 X : �C(x) < 1g :Veamos que �C es un funcional sublineal. En efecto, si x; y 2 X y " > 0 seans; t positivos tales que x=s; y=t 2 C, s < �C(x) + "=2 y t < �C(y) + "=2:Entonces

x+ y

s+ t=

s

s+ t� xs

+t

s+ t� yt2 C;

de modo que�C (x+ y) � s+ t < �C(x) + �C(y) + ":

Como " es arbitrario �C (x+ y) � �C(x)+�C(y): Que �C (tx) = t�C(x) paratodo t � 0 y todo x 2 X es inmediato. Ahora bien, c =2 C pues A \ B = ?:Como C es entorno convexo de cero entonces �C(c) � 1: Consideremos laaplicaci�on lineal l : Rc! R tal que l (tc) = t para cada t 2 R. Si t � 0 vemosque

l(tc) = t � t�C(c) = �C(tc):

En consecuencia l(tc) � �C(tc) para todo t 2 R y existe una extensi�on lineal� de l a X de modo que � (x) � �C(x) para todo x 2 X: Si x 2 A e y 2 Btenemos x� y + c 2 C y

� (x� y + c) = � (x)� � (y) + l(c)

= � (x)� � (y) + 1

� �C (x� y + c)

< 1;

64�C es el denominado funcional de Minkowski de C:

140

i.e. � (x) < � (y) : Notemos que � (A) y � (B) resultan subconjuntos convexos(o intervalos) disjuntos de R. Si C0 , C \ (�C) ; C0 es un entorno abiertoy sim�etrico de cero, i.e. C0 = �C0: Si x 2 C0 tenemos

� (x) � �C(x) < 1 y � (�x) = �� (x) � �C (x) < 1:

Por lo tanto, j� (x)j < 1 y siendo x arbitraria, � deviene en una forma linealacotada real sobre X: En consecuencia, � (A) ha de ser abierto. Precisamente,si z 2 A entonces A�z es entorno abierto de cero. Sea � > 0 tal que tc 2 A�zsi jtj < �: Como � (z + tc) = �(z) + t deducimos que � (z) + t 2 � (A) sijtj < �, sigue la a�rmaci�on y enseguida la tesis.

Observaci�on 13.10 Con la notaci�on anterior, notemos que el funcionalsublineal real �C es una seminorma si y solo si C = �C: En ese caso,�C es una seminorma continua. Precisamente, sea fxaga2A una red de Xque converge a cierto x 2 X: Si l��ma2A �C (xa � x) 6= 0, pasando eventual-mente a una subred fxa1ga12A1 podemos suponer que existe � > 0 tal que�C (xa1 � x) � � si a1 2 A1: Entonces xa1 =2 x+�C, lo cual no es posible. Enconsecuencia, como j�C (xa)� �C (x)j � �C (xa � x) para cada a 2 A siguela a�rmaci�on.

Corolario 13.11 Sean X un espacio vectorial topol�ogico localmente con-vexo, A y B subconjuntos convexos cerrados disjuntos. Si B es compactoentonces A y B est�an estrictamente separados.

Demostraci�on 13.12 Asumiremos en primer lugar el caso real. Puesto queB � X�A y X�A es abierto dado x 2 B existe un entorno Ux de 0 tal quex+Ux � X �A: M�as a�un, como X es localmente convexo existe un entornoabierto convexo de cero Vx tal que Vx + Vx � Ux: Como B es compacto seaF 2 Pf (B) tal que B � [x2F (x + Vx): As�� V , \x2FVx es entorno abiertoconvexo de cero y

B + V � [x2F (x+ Vx + V ) � [x2F (x+ Vx + Vx) � [x2F (x+ Ux) � X �A:

Como B + V es abierto convexo, por el Teorema 13.8 hay una forma linealcontinua � : X ! R y un escalar � 2 R de modo que �(x) < � � �(y) parax 2 B+V e y 2 A: Adem�as est�a de�nido � , m�ax f� (x) : x 2 Bg pues � escontinua y B es compacto. Como B � B+V sigue que � (x) � � < � � �(y)si x 2 B e y 2 A: En el caso general, en cuanto X es tambi�en espacioreal hay un funcional � en las condiciones anteriores. Hacemos entonces�0(x) , � (x) � i� (ix) para x 2 X: Razonando como en el Corolario 13.5sigue que � es una forma lineal compleja sobre X, evidentemente continua,y Re �0 (x) � � < � � Re �0(y) si x 2 B e y 2 A:

141

Proposici�on 13.13 Sea X un espacio vectorial topol�ogico localmente con-vexo, A una parte no vac��a de X. Entonces la c�apsula cerrada lineal ccl (A)de A es la intersecci�on de la familia de semiespacios cerrados de X que con-tienen a A:

Demostraci�on 13.14 Sea J (A) la intersecci�on de la familia de semiespa-cios cerrados de X que contienen a A: Evidentemente, ccl (A) � J (A) : Porel Corolario 13.11, si x =2 ccl (A) existen una forma lineal continua � y con-stantes reales � < � tales que Re � (x) � � < � � Re � (y) si y 2 ccl (A) :En consecuencia x =2 J (A) y sigue la a�rmaci�on.

Proposici�on 13.15 Si X es un espacio normado dado x 2 X � f0g existe� 2 S1 (X�) tal que � (x) = kxk :

Demostraci�on 13.16 Sea l : Cx! C tal que l (u) = c si u = cx: Entoncesl es una aplicaci�on lineal bien de�nida y jl(u)j = kuk = kxk para todo u 2 Cx:Por el teorema de Banach-Hahn existe una extensi�on lineal � de l tal quej� (y)j � kyk = kxk si y 2 X: En particular, � 2 X� y k�k � 1= kxk : M�asa�un, � (x= kxk) = 1= kxk y como kx= kxkk = 1 entonces k�k = 1= kxk ybasta considerar � = kxk�:

Proposici�on 13.17 Hay una inmersi�on lineal isom�etrica �X : X ,! X��.

Demostraci�on 13.18 Sea �X (x) : X� ! C, �X (x) (�) , � (x) si x 2 X y� 2 X�: Fijado x 2 X, si a 2 C y �; � 2 X� se tiene

�X (x) (a�+ �) = (a�+ �) (x)

= (a�) (x) + � (x)

= a� (x) + � (x)

= a�X(x) (�) + �X (x) (�) ;

i.e. �X(x) en una aplicaci�on C-lineal. Adem�as

j�X(x)(�)j = j� (x)j � k�k kxk

i.e. �X(x) 2 X�� y �X est�a bien de�nida, con k�X(x)k � kxk : Evidentemente,�X(0) = 0X�, y por la Prop. 13.15 si x 2 X � f0g existe � 2 S1 (X�) tal que�X (x) (�) = kxk : En consecuencia k�X(x)k = kxk y sigue la a�rmaci�on.

142

13.3. Teorema de Banach-Stone

Teorema 13.19 (Cf. [14], p. 173; [122]) Sean X e Y espacios compactos yT : C (X) ! C(Y ) una isometr��a lineal suryectiva. Hay un homeomor�smo� : Y ! X y una funci�on c 2 C(Y ) tales que jc (y)j = 1 y

T (f) (y) = c (y) f (� (y))

cualesquiera sean y 2 Y y f 2 C(X):

Demostraci�on 13.20 Evidentemente todo operador del tipo enunciado de-�ne una isometr��a lineal suryectiva de C(X) en C(Y ): Probaremos que esaes, precisamente, la estructura de toda isometr��a lineal suryectiva. Si T esisometr��a lineal suryectiva T � : M (Y ) !M(X) y si � 2M(Y ) tenemos

kT � (�)k = supkfkC(X)=1

jhf; T � (�)ij

= supkfkC(X)=1

jhT (f); �ij

= supkFkC(Y )=1

jhF; �ij

= k�k :

Adem�as si 2 M(X) sea � (T (f)) = hf; i cuando f 2 C(X): Como T esinyectiva � est�a bien de�nida, es lineal y j� (T (f))j � k k kT (f)kC(Y ) puestoque T es isom�etrica. Por el teorema de Banach-Hahn hay una extensi�on lineal� : C (Y ) ! C de � tal que jhF;�ij � k k kFkC(Y ) para cada F 2 C(Y ):Luego � 2M(Y ); k�k � k k y si f 2 C(X) es

hf; T � (�)i = hT (f);�i = hT (f); �i = hf; i ;

i.e. T � (�) = : En consecuencia T � de�ne un w�-isomor�smo entre [M (Y )]1y [M(X)]1 y

T � [ext ([M(Y )]1)] = ext ([M(X)]1) :

Por el teorema 13.1 dado y 2 Y existen � (y) 2 X y c (y) 2 C, jc (y)j = 1; demodo que T � (�y) = c (y) ��(y): Evidentemente quedan bien de�nidas sendas

funciones c : Y ! C y � : Y ! X. Si y1 6= y2 en Y , c (y1)�y1 6= c (y2)�y2 enM(Y ). Siendo T � inyectiva ��(y1) 6= ��(y2) en M(X), o sea � (y1) 6= � (y2) y� es inyectiva. Consideremos y 2 Y y una red fyigi2I convergente a y en Y .Entonces T � (�y) = w�-l��mi2I T

�(�yi) ya que �y = w�-l��mi2I �yi y

c(y) = h1; T � (�y)i = l��mi2Ih1; T � (�yi)i = l��m

i2Ic (yi) ;

143

por lo que c es continua. M�as a�un, si f 2 C(X) e i 2 I tenemosf; ��(yi)

�= c (yi)

�1 hf; T � (�yi)i= c (yi)

�1 hf; T � (�yi)� T � (�y)i+ c (yi)�1 hf; T � (�y)i ;

de donde l��mi2If; ��(yi)

�=f; ��(y)

�y ��(y) = w�-l��mi2I ��(yi): Como en

la Prop. 10.1(v) conclu��mos que � (y) = l��mi2I � (yi) y � es continua. Porotra parte, � es suryectiva, ya que si x 2 X como T � es suryectiva existe& 2M (Y ) de modo que T � (&) = �x: Como T

� es inyectiva & 2 ext ([M (Y )]1),i.e. podemos escribir & = d�z para �unicos d 2 C con jdj = 1 y z 2 Y: Entonces�x = dc (z) ��(z), � (z) = x y c(z) = d: Inferimos as�� que � es homeomor�smoporque X e Y son compactos. Finalmente, si f 2 C(X) e y 2 Y tenemos

T (f)(y) = hy; T (f)i= hT (f); �yi= hf; T � (�y)i=f; c (y) ��(y)

�= c (y) f (� (y))

y sigue la tesis.

13.4. Teorema de Cohen

Teorema 13.21 (cf. [20], [104])65Sea X un U-m�odulo de Banach munidode una aproximaci�on acotada de la unidad (i.e. hay una red acotada felgl2Lde U tal que l��ml2L kelx� xk = 0 para todo x 2 X): Dados z 2 X y � > 0existen a 2 U e y 2 X de modo que z = ay y kz � yk � �:

Demostraci�on 13.22 (cf. [18], Lemma 9, p. 60) Si U no fuere unitariaconside-raremos la unitizaci�on de U . En todo caso, indicaremos eU a lacorrespon-diente unidad. Si felgl2L es una aproximaci�on acotada de la unidadde U para X sea C > 1 tal que felgl2L � [U ]C : Sean

= (4C)�1 ; f (e) , [(1� ) eU + e]�1 ; e 2 [U ]C :

Entonces f est�a bien de�nida pues 0 < < 1=4, 1 � > 3=4 y si kek � Centonces e

1�

� C

3=4=

1

3:

65Palabras clave: M�odulos de Banach. Aproximaciones acotadas de la unidad. Uniti-zaci�on de un �algebra.

144

Si adem�as x 2 X y " > 0 existe K 2 N tal que

kf(e)x� xk = (1� )�1KXk=1

�

� 1

�k ekx� x +

"

2kxk (147)

� (1� )�1KXk=1

�

� 1

�k (ex� x)

k�1Xj=0

ej

+"

2kxk

� (1� )�1KXk=1

�

� 1

�kkex� xk

k�1Xj=0

Cj + " kxk :

La desigualdad (147) es uniforme para e 2 [U ]C, de modo que

l��ml2Lkf(el)x� xk � " kxk :

Como " > 0 es arbitrario sigue que l��ml2L kf(el)x� xk = 0 para x 2 X.Construiremos una sucesi�on flkg1k=1 � L de modo que si ek , elk entoncesfang1n=1 � U (U), con

an , (1� )n eU + nXk=1

(1� )k�1 ek

y ktnz � tn�1zk � �=2n si n 2 N, donde t0 , eU y tn , a�1n : Si x = z laconstrucci�on de a1 sigue del razonamiento anterior. Inductivamente, supuestohallados l1; :::; lm escribimos

u (l) , (1� )m eU + mXk=1

(1� )k�1 f(el)ek:

Entonces,

u(l)� am =

mXk=1

(1� )k�1 (f(el)ek � ek) :

Como antes, existe lm+1 2 L de modo que cada f(elm+1)ek � ek

sea arbi-trariamente peque~no y, por consiguiente, u (lm+1) 2 U (U) : Luego

[(1� ) eU + el]u (l) = (1� )m+1 eU + (1� )m el +

mXk=1

(1� )k�1 ek;

i.e. am+1 2 U (U),�(1� ) eU + elm+1

�u (lm+1) = am+1 y tm+1 = [u (lm+1)]

�1 f�elm+1

�:

145

Como

ktm+1z � tmzk = [u (lm+1)]

�1 f�elm+1

�z � tmz

(148)

� [u (lm+1)]

�1 � tm f �elm+1� z + ktmk

f �elm+1� z � z

� 2 [u (lm+1)]

�1 � tm kzk+ ktmk

f �elm+1� z � z ;

la selecci�on de lm+1 se habr�a hecho de modo la expresi�on en (148) no sea may-or que �=2m+1, resultando v�alido el paso inductivo. Si para n 2 N hacemosyn = tnz claramente la sucesi�on fyng1n=1 ser�a fundamental. Si y , l��mn!1 yny a ,

P1k=1 (1� )k�1 ek deducimos que z = ay:

Corolario 13.23 En las condiciones del Teorema 13.21, si U tiene aproxi-maci�on acotada de la unidad a izquierda el conjunto UX es un U-subm�odulocerrado de X:

Demostraci�on 13.24 Sea Y = cl (UX) : As�� Y es un U-subm�odulo cerradode X y U posee una aproximaci�on acotada de la identidad para Y : Por elTeorema 13.21, Y = UY . Luego Y � UX � Y y sigue la a�rmaci�on.

13.5. Teorema de Davis, Figiel, Johnson & Pe lczy�nski

Lema 13.25 66Sea fXng una sucesi�on de espacios de Banach.

(i) Si 1 � p <1 entonces (�nXn)�p � (�nX�n)q, donde � denota isomor�s-

mo de espacios de Banach y 1=p+ 1=q = 1:

(ii) (�nXn)�0 � (�nX�n)1 :

Demostraci�on 13.26 (i) Si j 2 N sea �j : Xj ,! �nXn la inmersi�on na-tural. Si � 2 (�nXn)�p escribamos Ip (�) =

��j (�)

: Si p = 1 tenemos

supj2N

��j (�) 1 = sup

j2Nsup

kxjkj=1

��xj; ��j (�)�� k�k ;

I1 (�) 2 (�nX�n)1 e I1 es operador lineal y acotado. Es f�acil ver que

I1 es inyectivo. Adem�as I1 es suryectivo, pues si x� 2 (�nX�

n)1 quedade�nido �x� 2 (�nXn)�1 haciendo hx; �xi =

Phxn; x�ni, donde x = fxng

y x� = fx�ng : M�as a�un, I1 (�x�) = x�: Por el teorema de la funci�on

66Palabras clave: Operadores d�ebilmente compactos. Sumas directas de espacios de Ba-nach.

146

abierta sigue la a�rmaci�on si p = 1: Si 1 < p <1 dados r 2 N resultay vectores xi 2 [Xi], 1 � i � r; escribimos

rXj=1

jh�j (xj) ; �ijq =

rXj=1

jh�j (xj) ; �ijq�1 uj h�j (xj) ; �i (149)

=

*rXj=1

jh�j (xj) ; �ijq�1 uj�j (xj) ; �

+

= k�k

rXj=1

jh�j (xj) ; �ijq!1=p

:

Por (149) obtenemos

rXj=1

��j (�) q =

rXj=1

supkxjkj=1

��xj; ��j (�)��q

= supkx1k1=:::=kxrkr=1

rXj=1

jh�j (xj) ; �ijq

� k�kq ;

y siendo r arbitrario Ip (�) 2 (�nX�n)q : Claramente Ip es lineal y aco-

tado, siendo el resto de la prueba similar al caso anterior.

(ii) �Idem.

Teorema 13.27 (cf. [31]) Sea T 2 B (X;Y ) operador d�ebilmente compactoentre espacios de Banach. Existen un espacio re exivo R y sendos operadoresA 2 B (R; Y ) y B 2 B (X;R) tales que T = A �B:

Demostraci�on 13.28 El conjunto W = T ([X]1) es acotado, balanceado,convexo y, por hip�otesis, relativamente d�ebilmente compacto. Si n 2 N seapn el funcional de Minkowski del conjunto Un = 2nW + 2�n(Y )1: Como2�n (Y )1 � Un vemos que pn(y) � 2n si y 2 (Y )1 : Luego si " > 0 espn (y) � 2n ("+ kyk) ; i.e. pn (y) � 2n kyk si y 2 Y: Adem�as existe M > 0 talque Un � (Y )M : Luego, si t > 0; y 2 Y e y=t 2 Un entonces kyk < tM , demodo que kyk �Mpn (y) : En de�nitiva, pn es una norma equivalente a la de

Y: Sea R el espacio de los elementos y 2 Y tales que jyj ,�P1

n=1 pn (y)2�1=2

es �nito. Entonces W � (R)1 ; pues si y 2 W y n 2 N es 2ny 2 Un: ComoUn es abierto pn (2ny) < 1, pn(y) < 2�n y jyj < 1: Sean H = (�n (Y; pn))2y � : R! H tal que � (y) = (y; y; :::) para y 2 R: Como � es isometr��a

147

lineal (R; j�j) deviene espacio de Banach. Si n 2 N, �R;Y = Pn � � dondePn : H ! Y es la proyecci�on a la n-�esima coordenada, i.e. �R;Y es conti-nua. Adem�as �� es inyectiva pues �� es suryectiva. Como en el Lema 13.25,consideremos los isomor�smos

I : (�n (Y; pn))�2 ! (�n (Y; pn)�)2 ;

J : (�n (Y; pn)�)�2 ! (�n (Y; pn)��)2 :

Si m 2 N, I � P �m = km, donde

km : (Y; pn)� ,! (�n (Y; pn)�)2 :

Si adem�as Qm : (�n (Y; pn)��)2 ! (Y; pm)�� es la proyecci�on a la m-�esimacoordenada resulta Qm � J = P ��m � I�: Si r�� 2 R�� obtenemos

Qm��J ��I�1��

(�� (r��))�

= P ��m (�� (r��))

= (Pm � �)�� (r��)

= ��R;Y (r��) ;

o sea�� (r��) =

�I� � J�1

�(��R;Y (r��) ; ��R;Y (r��) ; :::) (150)

en (�n (Y; pn))��2 : De (150) podemos inferir ya que ��R;Y es inyectiva. Veamos

que ��R;Y

��1(�Y (Y )) = �R (R) : (151)

La inclusi�on � se da pues

��R;Y � �R = �Y � �R;Y : (152)

Dado r�� 2��R;Y

��1(�Y (Y )) sean x�� = �� (r��) e y 2 Y tal que

��R;Y (r��) = �Y (y):

Probaremos que x�� 2 �H (H) ; para lo que bastar�a ver que x�� es w�-continuo.Sea f�igi2I red en H� tal que w�-l��mi2I �i = 0H� : Si m 2 N sea

hm : (Y; pn) ,! (�n (Y; pn))2 :

148

Dado i 2 I usando (150) escribimos

h�i; x��i =I(�i); J

�1 (�Y (y); �Y (y); :::)�

=fh�m (�i)g ; J�1 (�Y (y); �Y (y); :::)

�=

1Xm=1

hh�m (�i) ; �Y (y)i

=

1Xm=1

hhm(y); �ii

= h� (y) ; �ii ;

de donde l��mi2I h�i; x��i = 0: Existe as�� x 2 H tal que x�� = �H (x) y,si frjgj2J es una red acotada en R tal que r�� = w�-l��mj2J �R (rj), como�� 2 (w�; w�) es

�H (x) = w�- l��mj2J

��R (rj) = w�- l��mj2J

�H (� (rj)) :

Es claro entonces que x = w-l��mj2J � (rj) ; i.e. x 2 � (R)w: Como � es

isom�etrica y R es espacio de Banach por el Teo. 13.61(i) existe r 2 R talque x = � (r) : Luego

�� (�R (r)) = �H (� (r)) = �H(x) = x�� = �� (r��) ;

y como �� es inyectiva sigue (151). Veamos ahora que R es re exivo. Enefecto, dados r0 2 (R)1 y n 2 N es pn (r0) < 1; i.e. existe t 2 (0; 1) tal quer0=t 2 Un: Como Un es balanceado r0 2 Un, i.e. (R)1 est�a contenido en elconjunto d�ebilmente cerrado 2nW + 2�n [Y ]1 : Como pn es equivalente a lanorma de Y , si jykj ! 0 en R es pn (yk) ! 0 y por ello kykk ! 0: Luegopodemos escribir

�R;Y ([R]1) = (R)1j�j � (R)1 = (R)1

w � 2nW + 2�n [Y ]1 : (153)

Por (152) y (153) sigue que

��R;Y (�R([R]1)) �1\n=1

��Y (Y ) + 2�n [Y ��]1

�� Y (Y ):

Finalmente, comoT ([X]1) = W � (R)1

deducimos que B 2 B (X;R) si B(x) = T (x) para x 2 X: Haciendo A = �R;Ytenemos que A 2 B (R; Y ) y T = A �B:

149

13.6. Teorema de Eberlein-�Smulian

Lema 13.29 67Sea X espacio de Banach.

(i) ([X�]1 ; w�) es metrizable si y solo si X es separable.

(ii) ([X]1 ; w) es metrizable si y solo si X� es separable.

Demostraci�on 13.30 (i) Si ([X�]1 ; w�) es metrizable sea fU�ng

1n=1 una suce-

si�on de w�-entornos de cero tal que \1n=1U�n = f0X�g : Para cada n 2 Nexiste Dn 2 Pf (X) tal que

U�n = \x2Dn fx� 2 [X�]1 : jhx; x�ij < 1g :

Sean D = [n2NDn y X0 el subespacio de Banach de X generado porD. Si X0 6= X por la Prop. 13.13 existir�a x� 2 [X�]1 � f0X�g nulosobre X0: As�� x

� 2 \1n=1U�n, i.e. x� = 0X� ; lo que no es cierto. LuegoX = X0 y X es claramente separable. Rec��procamente, sea fxng1n=1 unsubconjunto denso numerable de X y para x�; y� 2 [X�]1 sea

d (x�; y�) =1Xn=1

2�njhxn; x� � y�ij

1 + jhxn; x� � y�ij :

Evidentemente d de�ne una m�etrica sobre [X�]1. M�as a�un, d metrizala w�-topolog��a de [X�]1. En efecto, sea fz�i gi2I una red en [X�]1 y seaz� = w�-l��mi2I en [X�]1 : Dados m 2 N e i 2 I se tiene

d (z�i ; z�) �

mXn=1

2�njhxn; z�i � z�ij

1 + jhxn; z�i � z�ij +1X

n=m+1

2�n: (154)

Por (154) es l��mi2Id (z�i ; z�) �

P1n=m+1 2�n; y como m es arbitrario

d (z�i ; z�) ! 0: Con la misma notaci�on, si fuera d (z�i ; z

�) ! 0 �jemosx 2 X y " > 0: Existe k 2 N tal que kx� xkk � "=2; y para i 2 Iresulta

jhx; z�i � z�ij � jhx� xk; z�i ij+ jhxk; z�i � z�ij+ jhxk � x; z�ij (155)

� 2 kx� xkk+ jhxk; z�i � z�ij� "+ jhxk; z�i � z�ij :

67Palabras clave: Separabilidad. Espacios d�ebilmente compactos. Espacios secuencial-mente compactos.

150

Como

2�kjhxk; z�i � z�ij

1 + jhxk; z�i � z�ij � d (z�i ; z�)

es claro que l��mi2I ti = 0; donde

ti =jhxk; z�i � z�ij

1 + jhxk; z�i � z�ij :

Luego

l��mi2I

ti1� ti

= l��mi2Ijhxk; z�i � z�ij = 0: (156)

Por (155) y (156) l��mi2I jhx; z�i � z�ij � " y sigue la a�rmaci�on.

(ii) Si X� es separable por (i) ([X��]1 ; w�) es metrizable. La inmersi�on

natural �X : X ,! X�� induce un homeomor�smo entre ([X]1 ; w) e(�X([X]1); w

�). En cuanto subespacio de ([X��]1 ; w�), (�X([X]1); w

�)devendr�a metrizable, por lo que tambi�en lo ser�a ([X]1 ; w): Rec��pro-camente, si ([X]1 ; w) es metrizable hay una sucesi�on fUng1n=1 de w-entornos de cero en [X]1 tal que \1n=1Un = f0Xg y basta razonar comoen la primer parte de (i).

Teorema 13.31 (cf. [42], [121]) Sea X espacio de Banach, A subconjuntono vac��o de X: Son equivalentes:

(i) A es relativamente d�ebilmente compacto.

(ii) Toda sucesi�on in�nita de puntos de A tiene un punto de d�ebil acumu-laci�on.

(iii) A es d�ebilmente secuencialmente compacto.

Demostraci�on 13.32 (i) ii) Es inmediato.

(ii) iii) Dada fxng1n=1 sucesi�on in�nita de puntos de A sea X0 el subespa-cio de Banach generado por ella. Como X0 es separable por el Lema13.29(i) ([X�

0 ]1 ; w�) es metrizable. Por el teorema de Alaoglu este es-

pacio es compacto, y siendo adem�as metrizable resulta separable. Porlo tanto es evidente que X�

0 resulta w�-separable. Sea D0 =

�x�0;m

1m=1

subconjunto numerable w�-denso de X�0 . Por el teorema de Banach-

Hahn cada elemento de D0 se extiende a otro de X�. Indicaremos

D = fx�mg1m=1 al conjunto de estas extensiones. Por el principio de

acotaci�on uniforme se deduce f�acilmente que A debe ser acotado. Porun proceso diagonal hay una subsucesi�on fx1ng

1n=1 de fxng

1n=1 tal que

151

fx�m (x1n)g1n=1 2 c para todo m 2 N. Por (ii) sea x 2 X punto ded�ebil acumulaci�on de fx1ng

1n=1 : En particular, por el teorema de Mazur

x 2 X0: Si para alg�un m 2 N fuese l��mn!1 x�m (x1n) 6= x�m (x) existir��a

� > 0 tal que ��x�m (x)� l��mn!1

x�m�x1n�� > 2�: (157)

El conjunto U = fz 2 X : jx�m (z � x)j < �g es entorno d�ebil de x y por(157) U\ fx1ng

1n=1 es �nito, lo que contradice el car�acter de punto de

acumulaci�on de x: Luego

l��mn!1

x�m�x1n�

= x�m (x) para todo m 2 N: (158)

M�as a�un, supongamos que x 6= w-l��mn!1 x1n: Existir�an x

� 2 X�, � > 0y una subsucesi�on fx2ng

1n=1 de fx1ng

1n=1 tales que jx�(x� x2n)j > 2� para

todo n 2 N. Sea y 2 X punto de d�ebil acumulaci�on de fx2ng1n=1 : Como

antes, y 2 X0 y

l��mn!1

x�m�x2n�

= x�m (y) para todo m 2 N: (159)

Por (158) y (159) deducimos que x�0;m (x) = x�0;m (y) si m 2 N. ComoD0 es total en X0 resulta x = y: Pero ahora el entorno d�ebil

V = fz 2 X : jx�(x� z)j < �g

de x ser�a disjunto con la sucesi�on fx2ng1n=1, lo que no puede ser.

13.7. Teorema de Gantmacher

Teorema 13.33 (cf. [44])Sean X; Y espacios de Banach, T 2 B (X;Y ) :Son equivalentes:

(i) T es d�ebilmente compacto.

(ii) R (T ��) � �Y (Y ):

(iii) T � 2 (w�; w) :

(iv) T � es d�ebilmente compacto.

Demostraci�on 13.34 (i) ii) Como T �� 2 (w�; w�) y T �� X = �Y � Tresulta

T ��X ([X]1)

w�� (T �� X) ([X]1)

w�

= (�Y T ) ([X]1)w�

: (160)

152

Adem�as �Y 2 (w;w�) y T ([X]1) es relativamente d�ebilmente compacto.

Luego �Y

�T ([X]1)

w�es w� cerrado y por el Teo. 13.37 y (160) es

T �� (�X ([X]1)) � �Y

�T ([X]1)

w�:

(ii) i) Como �Y 2 (w;w�),

�Y

�T ([X]1)

w�

= �Y (T ([X]1))w�

(161)

= T �� (�X ([X]1))w�

� T �� ([X��]1)w�

= T �� (�X ([X]1)) � �Y (Y ) :

Pero T �� (�X ([X]1)) es w�-compacto por el teorema de Alaoglu y ser

T �� 2 (w�; w�) : Adem�as �Y de�ne un (w;w�)-homeomor�smo entre Y

y su im�agen. Por (161) conclu��mos que T ([X]1)wes compacto y sigue

la a�rmaci�on.

(ii) iii) Es inmediato.

(iii) ii) Dado x�� 2 X��, si T � 2 (w�; w) ; el operador T �� (x��) devienew�-continuo. Razonando como en la Prop. 12.38(viii) deducimos queT �� (x��) 2 �Y (Y ) :

(iii) iv) Por el teorema de Alaoglu [Y �]1 es w�-compacta y por hip�otesis,

T � ([Y �]1) resulta w-compacta.

(iv ) i) Si T � es d�ebilmente compacto T �� 2 (w�; w) : Si x�� 2 X�� sigueentonces que T �� (x��) es w�-continuo y por lo tanto pertenece a �Y (Y ) :As�� R (T ��) � �Y (Y ) y sigue la tesis.

13.8. Teoremas de Gel�fand-Naimark

Teorema 13.35 (cf. [45], [46]) Sea68 U una C�-�algebra unitaria, con unidade y espacio de estados S(U), i.e. el espacio de formas lineales positivas uni-tarias.

(i) Cada estado � de U induce una representaci�on c��clica (��;H�) de U .

68Palabras clave: Estados. Formas lineales (positivas, autoadjuntas). Representacionesc��clicas. Representaciones equivalentes. Vectores c��clicos. Teorema espectral. F�ormula deHadamard. Teorema de representaci�on de Gel�fand.

153

(ii) Sea (�;H) representaci�on c��clica de U con vector c��clico x0 y hagamos�� (a) , h� (a) (x0) ; x0i para cada a 2 U . Entonces �� 2 S(U) y lasrepresentaciones (�� ;H��) y (�;H) son equivalentes.

(iii) Dado a 2 U+ existe � 2 S(U) tal que � (a) = kak :

(iv) Existe una representaci�on isom�etrica de U .

Demostraci�on 13.36 (i) Dados � 2 S(U), x; y 2 U y t 2 R tenemos

0 � � ((x+ ty)� (x+ ty))

= � (x�x) + t (� (x�y) + � (y�x)) + t2� (y�y)

= � (x�x) + 2tRe� (x�y) + t2� (y�y) pues � = ��:

Como t es arbitrario jRe� (x�y)j � (� (x�x)� (y�y))1=2 : Reemplazandoeventualmente x por alg�un m�ultiplo de x se veri�ca la desigualdad

j� (x�y)j � (� (x�x)� (y�y))1=2 :

Indiquemos I� = fx 2 U : � (x�x) = 0g : Si x; y 2 I� tenemos

0 � � ((x+ y)� (x+ y)) = 2 Re� (x�y) � 2 (� (x�x)� (y�y))1=2 = 0;

y sigue ahora enseguida que I� es un espacio vectorial complejo. Siadem�as x 2 I� y a 2 U tenemos

0 � � ((ax)� (ax)) = � (x� (a�ax)) � (� (x�x)� ((a�ax)� (a�ax)))1=2

= 0;

o sea I� es ideal a izquierda de U . M�as a�un, I� es cerrado ya que sixn ! x y cada xn 2 I� es

0 � � (x�x)

� � ((x� xn)� x) + � (x�nx)

� k(x� xn)� xk+ (� (x�nxn)� (x�x))1=2

� k(x� xn)k kxk ;

y haciendo n ! 1 vemos que x 2 I�: Sean H� = U=I�; q� : U !H�

la proyecci�on al cociente y si x; y 2 U sea

hq� (x) ; q� (y)i� , � (y�x)

154

Si q� (x) = q� (z) y q� (y) = q� (t) sean u; v 2 I� tales que x = z + u ey = t+ v. Entonces

� (y�x) = � ((t+ v)� (z + u))

= � (t�z) + � (t�u) + � (v�z) + � (v�u)

= � (t�z) ;

y queda as�� de�nido un producto interno h�; �i en H�. Sea k�k� lanorma inducida y H� el espacio de Hilbert que resulta al completar H�

respecto a esta m�etrica. Como I� es ideal a izquierda la relaci�on

�� (a) (q� (x)) = q� (ax) si a; x 2 U ;

de�ne una aplicaci�on lineal �� (a) : H� ! H� tal que

k�� (a) (q� (x))k2� = kq� (ax)k2�= � ((ax)� (ax))

= � (x� (a�a)x)

� ka�ak� (x�x)

= kak2 kq� (x)k2� :

Luego �� (a) extiende a un �unico operador contractivo de B(H�) y que-da de�nida una aplicaci�on lineal �� : U ! B(H�) contractiva tal que�� (e) = IdH�. Adem�as

h�� (a) (q� (x)) ; q� (y)i� = hq� (ax) ; q� (y)i�= � (y� (ax))

= � ((a�y)� x)

= hq� (x) ; q� (a�y)i�= hq� (x) ; �� (a�) (q� (y))i� ;

o sea �� (a)� = �� (a�) y por lo tanto �� es una representaci�on de U .Por otra parte, si hacemos e� = q�(e) vemos que �� (U) (e�) = H� yH� es denso en H�, i.e. e� es vector c��clico para ��: Adem�as

h�� (a) (e�) ; e�i� = hq� (a) ; q� (e)i� = � (a)

para todo a 2 U .

(ii) Claramente �B(H) (� (a)) � �U (a) para cada a 2 U , de modo que si a eshermitiano

k� (a)k = rsp (� (a)) � rsp (a) = kak :

155

En el caso general,

k� (a)k2 = k� (a)� � (a)k = k� (a�a)k � ka�ak = kak2

y � es contractiva. Ahora es claro que �� es lineal y dado a 2 U , comopodemos asumir x0 unitario y puesto que � es una representaci�on

j�� (a)j � k� (a) (x0)k � k� (a)k � kak

i.e. �� 2 U�: M�as a�un,

��(a) = �� (a�) = hx0; � (a�) (x0)i = h� (a) (x0) ; x0i = �� (a)

o sea �� es hermitiana. Tambi�en

�� (a�a) = h� (a�a) (x0) ; x0i = k� (a) (x0)k2 � 0;

e inferimos que �� es positiva (V. [21], Ch. VIII, Th. 3.6). En parti-cular, � (a) (x0) = � (e) (� (a) (x0)) para todo a 2 U y como � (U) (x0)es denso en H resulta � (e) = IdH y

�� (e) = kx0k = 1;

i.e. �� 2 S(U). Con la notaci�on precedente, sea �� (a) (e��) = 0H��

para cierto a 2 U . Entonces q�� (a) = 0H�� y

0 = �� (a�a) = h� (a�a) (x0) ; x0i = k� (a) (x0)k2 ;

o sea � (a) (x0) = 0H: Queda de�nida la aplicaci�on lineal

Q : �� (U) (e��) ! � (U) (x0) ;

Q (�� (a) (e��)) = � (a) (x0) si a 2 U ,

que es isom�etrica pues

kQ (�� (a) (e��))k2 = k� (a) (x0)k2 = �� (a�a) = k�� (a) (e��)k2H��:

As�� Q se extiende a un operador isom�etrico de H�� en H. Finalmente,como para a 2 U se tiene

Q (�� (a) (e��)) = � (a) (x0) = � (a) (Q (e��))

sigue la equivalencia de (�� ;H��) y (�;H) :

156

(iii) Si U es abeliana por el teorema de Gel�fand � (a) = Im (GU (a)) ; dondeGU es la transformada de Gel�fand de U . Como kak 2 � (a) por ser ahermitiano existe � 2 �U tal que

kak = GU (a) (�) = � (a)

y �U � S(U). En el caso general consideremos ' 2 S (C� (a)) tal que' (a) = kakC�(a). Como a es hermitiano por la f�ormula de HadamardkakC�(a) = kak y bastar�a ver que existe una extensi�on e' 2 S(U) de'. Ciertamente, por el teorema de Banach-Hahn hay una extensi�one' 2 U� de '; con

ke'k = k'k = 1 = e' (e) :

Solo falta ver que e' � 0, para lo cual sea b 2 U+ y demostremosque e' (b) � 0: Sean z0 2 C y r > 0 tales que [0; kbk] � D [z0; r] :Como [0; kbk] es la intersecci�on de todos dichos c��rculos bastar�a verque je' (b)� z0j � r: Precisamente, por el teorema espectral

� (b� z0e) = � (b)� z0 � [0; kbk]� z0 � D [0; r]

y como b� z0e es normal tenemos

je' (b)� z0j = je' (b� z0e)j � kb� z0ek = rsp (b� z0e) � r:

(iv) Con la notaci�on precedente, sean

Hu ,X

�'2S(U)H';

�u : U ! B(Hu), �u ,X

�'2S(U)�':

As�� u es una representaci�on bien de�nida de U y k�u (a)k � kakpara cada a 2 U . Por (iii) �jado a 2 U existe � 2 S(U) tal que� (a�a) = ka�ak : En consecuencia

kak2 = ka�ak= � (a�a)

= h�� (a�a) (ea�a) ; ea�ai�= k�� (a) (ea�a)k2�� k�u (a) (j� (ea�a))k2Hu

� k�u (a)k2Hu

y sigue la tesis.

157

13.9. Teorema de Goldstine

Teorema 13.37 (Cf. [52]) Sea X espacio normado. Entonces �X ([X]1) es� (X��; X�)-densa en [X��]1 :

Demostraci�on 13.38 Sean � =2 [X��]1, � 2 S1 (X�), r 2 R tales quej� (�)j > r > 1: Entonces f 2 X�� : j (�)j > rg es un � (X��; X�)-entornode � disjunto con [X��]1. En consecuencia, [X��]1 es � (X��; X�)-cerrado.Bastar�a ver entonces que todo elemento de [X��]1 es adherente para �X ([X]1) :

Si no fuere as��, sea � 2 [X��]1 � �X ([X]1)�(X��;X�)

: Por el Corolario 13.11existen una aplicaci�on lineal continua A : (X��; � (X��; X�)) ! C, � 2 R y� > 0 tales que

ReA (�) < � < � + � < ReA () si 2 �X ([X]1)�(X��;X�)

: (162)

Hay un n�umero �nito de elementos de X�; digamos �1; :::; �n; de modo queN � A�1 ((C)1), donde

N ,�

� 2 X�� : m�ax1�j�n

j� (�j)j < 1

�:

Si � 2 \nj=1 ker (�X� (�j)) entonces m� 2 N y jA (�)j < 1=m para todom 2 N. En consecuencia, \nj=1 ker (�X� (�j)) � ker(A): De�nimos

F : X�� ! Cn; F (�) = (� (�1); :::;� (�n)) :

Sea S un suplemento en Cn de F (X��) ; i.e. Cn = F (X��)M

S: Sea

a : Cn ! C; a(z) = A (�) si z = F (�) + w; � 2 X��; w 2 S:

As�� a est�a bien de�nida: si adem�as z = F (�1) + w con F (�) = F (�1)entonces ��1 2 ker (�X� (�j)). Luego A (�) = A (�1) : Evidentemente a esC-lineal y A = a � F: Existe v 2 Cn tal que a (z) = hz; vi para todo z 2 Cn:En de�nitiva,

A (�) = a (F (�))

= hF (�) ; vi

=nXj=1

� (�j) vj

= �

nXj=1

vj�j

!

= �X�

nXj=1

vj�j

!(�)

158

para todo � 2 X��: Luego A = �X� (�0), donde �0 ,Pn

j=1 vj�j: Por (162)vemos que

Re ��0�< � < � + � < Re�0 (x) si x 2 [X]1 :

En particular, � + � < 0 y

Re ��0=�

�> 1 > 1 + �=� > Re

��0=�

�(x) si x 2 [X]1 :

Haciendo �1 , �0=�, si x 2 [X]1 y �1 (x) 6= 0 sea � 2 S1 de modo tal que

�1(x) = j�1 (x)j�: Entonces��1 (x)�� = �1 (�x) = Re�1 (�x) < 1 + �=�:

En consecuencia, �1 � 1 + �=� < 1 < Re ��1�� 1�� 1 ;

lo cual es absurdo y sigue la tesis.

13.10. Teorema de Hildebrandt

Teorema 13.39 (cf. [74]) Sea X un espacio topol�ogico discreto. Hay unisomor�smo isom�etrico de espacios de Banach l1 (X)� � Mf:ad: (X) ; dondeMf:ad: (X) es el espacio de medidas �nitamente aditivas acotadas sobre X:

Demostraci�on 13.40 Dados F 2 l1 (X) y E 2 P (X) sea �F (E) = h�E; F i :Claramente � : P (X) ! C es una medida �nitamente aditiva. Si � 2 Pf (X)es una partici�on �nita de X, digamos � = fEjgnj=1, hay escalares complejosunitarios fujgnj=1 de modo que

nXj=1

��Ej ; F�� =

nXj=1

uj�Ej ; F

�=

*nXj=1

uj�Ej ; F

+� kFk ;

de donde �F 2 Mf:ad:(X) y k�Fk � kFk : Dado " > 0 sea f 2 l1 (X)

unitario tal que kFk � " < jhf; F ij : Como f(X) es compacto en C existenx1; :::; xs 2 X tales que f(X) � [si=1D [xi; "] : Haciendo Ei = f�1(D [xi; "]),1 � i � s; podemos escribir X = [si=1Gi donde G1 = E1 y Gi = Ei � [i�1j=1

si 1 < i � s: As�� fGigsi=1 2 Pf (X) y hacemos g ,Ps

i=1 f (yi)�Gi, dondeescogemos yi 2 Gi para cada i: Luego g 2 l1 (X) ; kgk1 � 1 y kf � gk1 � ".En consecuencia, hay una sucesi�on de funciones simples ffng1n=1 en B [0; 1]de modo que f = l��mn!1 fn. En consecuencia

kFk � " < jhf; F ij = l��mn!1

jhfn; F ij � k�Fk

159

y deducimos que k�Fk = kFk : Queda de�nida una aplicaci�on lineal e isom�etri-ca : l1 (X)� ! Mf:ad: (X) tal que (F ) = �F para cada F 2 l1 (X)� : Seaahora � 2 Mf:ad: (X) y para h 2 l1 (X) hagamos hh;Gi =

RXhd�: Es claro

que G 2 l1 (X)� y (G) = �; lo que completa la demostraci�on.

13.11. Teorema de Kakutani

De�nici�on 13.41 69Un espacio de Banach M se dice (AM) o abstracto siest�a parcialmente ordenado por una relaci�on � tal que:

(i) Si x; y 2M , � � 0 y x � y entonces �x � �y:

(ii) Si x; y; z 2M y x � y entonces x+ z � y + z:

(iii) Dados x; y 2M existe x_ y 2M; donde x_ y denota a la m��nima cotasuperior de fx; yg :

(iv) Dados x; y 2M existe x^ y 2M; donde x^ y denota a la m�axima cotainferior de fx; yg :

(v) Si fxng e fyng son sucesiones de M , xn ! x, yn ! y y xn � yn paracada n entonces x � y:

(vi) Si x ^ y = 0 entonces kx� yk = kx+ yk :

(vii) Si x � 0 e y � 0 entonces kx _ yk = m�ax fkxk ; kykg :

Proposici�on 13.42 Sea M espacio de Banach (AM).

(i) Si 0 � x � y entonces kxk � kyk :

(ii) Si x; y; z 2M;

x _ y + z = (x+ z) _ (y + z) y x ^ y + z = (x+ z) ^ (y + z) : (163)

(iii) Si � � 0 y x; y 2M , � (x _ y) = (�x) _ (�y) :

(iv) Si x; y 2M; x+ y = x _ y + x ^ y:

(v) Si x 2M hagamos x+ , x_0; x� , (�x)_0 y jxj = x_(�x) : Entonces

x = x+ � x�; jxj = x+ + x�; x+ ^ x� = 0:

69Palabras clave: Espacios de Banach abstractos. Homomor�smos reticulares. Unidadesen espacios de Banach abstractos. Rayos extremos de conjuntos convexos. Conjuntos s�oli-dos. Espacio de estructura de Kakutani.

160

(vi) Si x; y 2M y x ^ y = 0, kx _ yk = m�ax fkxk ; kykg :

Demostraci�on 13.43 (i) Es inmediato por la condici�on (vii) de la De�ni-ci�on 13.41.

(ii) Si x; y; z 2 M por la condici�on (ii) de la De�nici�on 13.41 x _ y + zes cota superior de fx+ z; y + zg : Si w fuere otra cota superior deese conjunto, w � z ser��a cota superior de fx; yg : En consecuencia,w � z � x _ y y sigue la a�rmaci�on. La otra identidad en (163) sigueen forma an�aloga.

(iii) Es inmediato por la condici�on (i) de la De�nici�on 13.41.

(iv) Dados x; y 2 M , x + y � x ^ y � x porque y � x ^ y: An�alogamente,x+y�x^y � y: Si z fuere cota superior de fx; yg, como x+y�z � xy x+ y � z � y sigue que x+ y � z � x ^ y y sigue la a�rmaci�on.

(v) Por (ii) y (iii) vemos que

jxj+ x = (2x) _ 0 = 2 (x _ 0) = 2x+;

jxj � x = 0 _ (�2x) = 2 (0 _ (�x)) = 2x�;

de donde jxj = x+ + x� y x = x+ � x�: Aplicando (iv),

x+ ^ x� = x+ + x� � x+ _ x� = 0: (164)

(vi) Evidentemente sigue de (vii) de la De�nici�on 13.41.

Ejemplos 13.44 Si es espacio de Hausdor� M ,�CbR () ; k�k1

�es es-

pacio (AM) : En este caso, M si x; y 2 CbR () hacemos x � y si y solosi x (t) � y (t) para cada t 2 : As�� M es espacio de Banach y las condi-ciones (i) - (v) de la De�nici�on 13.41 se dan claramente. Respecto a (vi), six; y 2M e x ^ y = 0 entonces x e y son no negativas en todo punto y como

jx� yj � x+ y � kx+ yk

resulta kx� yk � kx+ yk : Notamos adem�as que x(t) = 0 (resp. y(t) = 0)toda vez que y(t) > 0 (resp. si x(t) > 0), y as�� kx� yk � kx+ yk : Respectoa la condici�on (vii), si x � 0 e y � 0 ciertamente

x � x _ y � kx _ yk

y por ello kxk � kx _ yk. An�alogamente kyk � kx _ yk y en consecuenciam�ax fkxk ; kykg � kx _ yk : Adem�as

x _ y = m�ax fx; yg � m�ax fkxk ; kykg ;

161

i.e. kx _ yk � m�ax fkxk ; kykg : Tambi�en son espacios (AM) los subespaciosde CbR () del tipo N , CbR (; ta; t�a; �a; a 2 A), en los que A 6= ?, ftaga2A ;ft�aga2A son subconjuntos de , f�aga2A � [0; 1) y x (ta) = �ax (t�a) para todox 2 N: Asimismo, si S es subconjunto no vac��o de el subespacio CbR (; S)de funciones de CbR () nulas sobre S es espacio (AM) de Banach.

Ejemplos 13.45 Si est�a munido de la topolog��a discreta CbR () = l1R () :Si (;�;m) es un espacio de medida positiva, M , L1 (;�;m) es espacio(AM) ; identi�cando funciones que di�eren en conjuntos �-medibles de m-medida cero.

De�nici�on 13.46 En un espacio M de tipo (AM) llamamos unidad a todoelemento u 2M+ tal que kuk = 1 de modo que si x 2M y kxk � 1 entoncesx � u:

Observaci�on 13.47 Desde luego, en el contexto de los ejemplos anterioresCbR () y L1 (;�;m) tienen unidades. En cambio, si es espacio de Haus-dor� localmente compacto y t0 es punto no aislado de entonces CbR (; ft0g)no tiene unidades. Si hubiera alguna unidad u 2 CbR (; ft0g) consideremost1 2 fu < 1=2g � ft0g. Por el lema de Urysohn existe x 2 CbR (; ft0g),0 � x � 1, tal que x (t1) = 1: Pero

1 = x (t1) > 1=2 > u (t1) ;

por lo que u no podr��a ser unidad.

Lema 13.48 Sean M un espacio(AM), x0 2M+ tal que kx0k = 1.

(i) Vx0 �M�+, donde Vx0 = ff 2M� : f (x0) = kfk = 1g :

(ii) Dados f 2 Vx0 e y 2M+ tal que kx0 ^ yk < 1,

f (y) = f (x0 ^ y) < 1: (165)

(iii) Dado � 2 Pf (M+) ; digamos � = fx1; :::; xng ; existen y0 2 M y�� 2 Pf (M+) del tipo �� = fy1; :::; yng de modo que

(iiia) 0 � y0 � x0 y ky0k = 1:

(iiib) ky0 ^ �yik < 1 si � > 0 e i = 1; :::; n:

(iiic) Si 1 � i; j � n y xi ^ xj = 0, xi = yi o xj = yj:

162

(iv) Si � = fx1; :::; xng como en (iii), existe f� 2 Vx0 tal que toda vez que1 � i; j � n y xi ^ xj = 0 entonces f� (xi) = 0 o f� (xj) = 0:

Demostraci�on 13.49 (i) Sean f 2 Vx0 e y 2 M+ tal que kyk = 1: En-tonces

0 � (x0 � y) _ 0 � x0; 0 � (y � x0) _ 0 � y: (166)

Por la Prop. 13.42(i) obtenemos

k(x0 � y) _ 0k � kx0k = 1 y k(y � x0) _ 0k � kyk = 1: (167)

Vemos que

x0 � y = (x0 � y) _ 0� (y � x0) _ 0 = (x0 � y)+ � (x0 � y)� :

Por (vi) de la De�nici�on 13.41 y (v) y (vi) de la Prop. 13.42,

kx0 � yk = (x0 � y)+ � (x0 � y)�

(168)

= (x0 � y)+ + (x0 � y)�

= kjx0 � yjk= (x0 � y)+ _ (x0 � y)�

= m�ax

� (x0 � y)+ ; (x0 � y)�

� 1:

En consecuencia

f (x0 � y) = 1� f(y) � kx0 � yk � 1;

i.e. f (y) � 0:

(ii) Sea z = (1� �) (x0 ^ y) + �y; con y 2 M+ tal que kx0 ^ yk < 1 y0 < � < 1: Entonces

x0 ^ y � z � y; (169)

porque y�z = (1� �) (y � x0 ^ y) y z�x0^y = � (y � x0 ^ y) : Como

kzk � (1� �) kx0 ^ yk+ � kyk

y kx0 ^ yk < 1, ser�a kzk < 1 si � es lo su�cientemente peque~no. Enese caso, por (169)

x0 ^ z = x0 ^ (y ^ z) = (x0 ^ y) ^ z = x0 ^ y: (170)

163

Como f 2 Vx0 y usando (vii) de la De�nici�on 13.41,

1 = f (x0) � f (x0 _ z) � kx0 _ zk = m�ax f1; kzkg = 1: (171)

Por la Prop. 13.42(iv), (170) y (171) obtenemos

f (x0 ^ y) = f (x0 ^ z)

= 1 + f (z)� f (x0 _ z)

= f (z)

= (1� �) f (x0 ^ y) + �f(y);

de donde sigue (165).

(iii) Haremos inducci�on en el cardinal n de �: Sea z0 = x0 y si � = fx1gy kx0 ^ �x1k < 1 para todo � > 0 sea y1 = x1 y z1 = z0: Sino, exis-tir�a �1 > 0 tal que kx0 ^ �1x1k = 1, en cuyo caso sea z1 = x0 ^ �1x1e y1 = 0: En ambos casos, sea y0 = z1: Ahora, si � = fx1; x2g con-sideremos los elementos y1 y z1 asociados a x1: Si kz1 ^ �x2k < 1para todo � > 0 sea z2 = z1 e y2 = x2: Sino existir�a �2 > 0 talque kz1 ^ �2x2k = 1 y hacemos z2 = z1 ^ �2x2 e y2 = 0: En am-bos casos sea y0 = z2: Sea n > 1 y supongamos hallados elementospositivos z0 � z1 � ::: � zn�1 de norma uno e y1; :::; yn�1 2 M+. Sikzn�1 ^ �xnk < 1 para todo � > 0 escribimos zn = zn�1 e yn = xn: Sinoexistir�a �n > 0 tal que kzn�1 ^ �nxnk = 1 y hacemos zn = zn�1 ^ �nxne yn = 0: Hacemos y0 = zn y sigue el paso inductivo. La condici�on(iiia) se veri�ca por construcci�on. Respecto a (iiib), si para i 2 N esyi 6= 0 debe ser yi = xi. Como y0 � zi�1 por la Prop. 13.42(i) si � > 0tenemos

ky0 ^ �yik = ky0 ^ �xik � kzi�1 ^ �xik < 1:

Respecto a (iiic) supongamos xi ^xj = 0, i < j en N, xi 6= yi: Veremosque kzj�1 ^ �xjk < 1 para todo � > 0, con lo que tendremos xj = yj:Pero sabemos existe �i > 0 tal que zi = zi�1 ^ �ixi, de modo que

0 � zj�1 ^ �xj� zi ^ �xj= (zi�1 ^ �ixi) ^ �xj= zi�1 ^ (�ixi ^ �xj)� �ixi ^ �xj� m�ax f�i; �gxi ^ xj= 0:

164

(iv) Sean y0; y1; :::; yn asociados a � conforme a (iii). Por el teorema deBanach-Hahn existe f� 2 M� tal que f� (y0) = kf�k = 1: En conse-cuencia f 2 Vy0 y por (i) f � 0: Adem�as por (iiia) vemos que

1 = f� (y0) � f� (x0) � 1;

i.e. f� 2 Vx0 : Supongamos xi ^ xj = 0 para ciertos 1 � i; j � n. Por(iiic) podemos suponer xi = yi y kzi�1 ^ �xik < 1 para todo � > 0. Por(ii) sigue que

f� (�xi) = f� (zi�1 ^ �xi) < 1

cualquiera sea � > 0, de donde f� (xi) = 0:

Teorema 13.50 (cf. [80]) Sea M un espacio (AM) de Banach.

(i) Hay un espacio compacto Hausdor� , un conjunto de ��ndices A, subcon-juntos ffaga2A ; ff�aga2A de y f�aga2A de [0; 1) y un homomor�smoacotado entre espacios (AM) de Banach

�K : M ! CbR (; fa; f�a; �a; a 2 A) : (172)

Diremos que es el espacio de estructura de Kakutani de M:

(ii) Dado x0 2M existe f0 2 tal que j�K (x0) (f0)j = kx0k :

(iii) �K es suryectiva, y en de�nitiva (172) establece un isomor�smo isom�etri-co reticular de espacios de Banach (AM). Esta a�rmaci�on sigue de lossiguientes hechos:

(iiia) Sean X0 2 CbR (; fa; f�a; �a; a 2 A), f0; g0 2 : Existe y0 2M tal que

f0 (y0) = X0 (f0) y g0 (y0) = X (g0) : (173)

(iiib) Si g0 2 y " > 0 existe z0 2M tal que g0 (z0) = X0 (g0) y para todof 2 es f (z0) > X0 (f)� ".

(iiic) Dado " > 0 existe x" 2 M tal que jf (x")�X0 (f)j < " para todof 2 :

Demostraci�on 13.51 (i) Sea � la clase de formas lineales f 2 M�+ de

norma uno tales que si x; y 2 M es f(x) = 0 o f(y) = 0 si x ^ y = 0:Si f 2 � y x; y 2 M , por (163) es (x� x ^ y) ^ (y � x ^ y) = 0:Entonces

f(x ^ y) 2 ff (x) ; f (y)g : (174)

165

Siendo f � 0,f(x ^ y) � f(x) ^ f(y): (175)

De (174) y (175) conclu��mos que

f(x ^ y) = f(x) ^ f(y)

Luego

f (x _ y) = f (x+ y � x ^ y) = f (x)+f (y)�f (x)^f (y) = f (x)_f (y)

y todo elemento de � deviene en un homomor�smo de ret��culos. El

conjunto , �w�es w�-compacto como consecuencia del teorema de

Alaoglu, y kfk � 1 para todo f 2 : Dado f 2 tal que kfk = � en[0; 1), f = �f�con f�2 �.70 Quedan establecidas expresiones fa = �af�aentre elementos f 2 ; f�a 2 �, �a 2 [0; 1) e ��ndices a en ciertoconjunto A: En particular, notar que los elementos de son asimismoshomomor�smos de ret��culos. Adem�as tenemos una aplicaci�on

�K : M ! C (; fa; f�a; �a; a 2 A) ; �K (x) (f) = f (x) ; (176)

la que est�a bien de�nida: Fijado x 2M , �K (x) : ! R es claramentew�-continua, k�K (x)k � kxk y si a 2 A se tiene

�K (x) (fa) = fa (x) = �af�a (x) = �a�K (x) (f�a):

Por otra parte, �K no solo es un operador acotado entre espacios deBanach, sin�o tambi�en un homomor�smo de ret��culos ya que si x; y 2My f 2 se tiene

�K (x _ y) (f) = f (x _ y) = f (x) _ f (y) = �K (x) (f) _ �K (y) (f) ;

�K (x ^ y) (f) = f (x ^ y) = f (x) ^ f (y) = �K (x) (f) ^ �K (y) (f) :

(ii) La a�rmaci�on para x0 = 0 es trivial. Dado x0 2 M � f0g, si asu-mimos el resultado para vectores de norma uno, existir�a f0 2 tal

70En particular, kfk = 1 para cada f 2 en caso que M tuviere alguna unidad u: Enefecto, por la De�nici�on 13.46 si f 2 �y kxk � 1 entonces x � u; y como f � 0 y tienenorma uno y kuk = 1 es f (x) � f (u) � 1: Como x es arbitrario, f (u) = 1: Sin�o habr�a unared ffigi2I de �tal que f = w�-l��mi2I fi y es claro que

f(u) = l��mi2Ifi (u) = 1:

En este caso �deviene w�-compacto y �K : M ! C(�) ser�a un isomor�smo isom�etricoreticular de espacios abstractos de Banach.

166

que jf0 (x0= kx0k)j = 1, y como f0 es R-lineal el resultado ser�a ciertoen general. Como en (168), kx0k = m�ax

� x+0 ; x�0 . Supongamoskx0k = 1 y el resultado cierto para elementos positivos de norma uno.Si fuere

x+0 = 1 existir��a f+ 2 tal que f+�x+0�

= 1: Luego kf+k = 1y como x+0 ^ x�0 = 0 habr�a de ser f+

�x�0�

= 0: As��

jf+ (x0)j = f+�x+0�

= 1 = kx0k :

Asimismo, si x�0 = 1 existir�a f� 2 tal que f� (x�) = 1: Ahora

f��x+0�

= 0 yjf� (x0)j = f�

�x�0�

= 1 = kx0k :Todo se reduce as�� a probar el resultado cuando x0 es positivo y de nor-ma uno. Si � 2 Pf (M+) sea f� 2 Vx0 tal que toda vez que f� (x) = 0o f� (y) = 0 cuando x; y 2 � y x^y = 0. Indiquemos � al conjunto detodos los funcionales con las propiedades de f�: Por el Lema 13.48(iv)� 6= ? y claramente � es subconjunto w�-cerrado de [M�]1 : SiF 2 Pf (Pf (M+)) entonces \� 6= ? porque \�2F� � [�2F�:Siendo f�g�2Pf (M+) una familia de partes cerradas del espacio w

�-

compacto separado [M�]1, existe f0 2 \�2Pf (M+)�: En consecuencia,f0 2M� y

kf0k = f(x0) = 1 = kx0kporque f0 2 Vx0 : Por el Lema 13.48(i), f0 � 0 y claramente f0 (x) = 0o f0 (y) = 0 toda vez que x ^ y = 0: Entonces f0 2 �y, en particular,deviene en un homomor�smo de ret��culos. En de�nitiva, f0 2 einferimos que �K es isom�etrica.

(iii) Asumiendo (iiia)-(iiic), sea fxng1n=1 � M tal que para f 2 y n 2 Nes jf (xn)�X0 (f)j < 1=n. Dados n;m 2 N por (ii) existe f 2 talque jf (xn � xm)j = kxn � xmk, de modo que

kxn � xmk = jf (xn � xm)j= jf (xn)� f (xm)j� jf (xn)�X0 (f)j+ jX0 (f)� f (xm)j< 1=n+ 1=m:

Luego fxng1n=1 es sucesi�on de Cauchy. Sea x0 = l��mn!1 xn: Si g 2 tendremos entonces

jX0 (g)� g (x0)j = l��mn!1

jX0 (g)� g (xn)j = 0:

167

(iiia) Como X (0) = 0 podemos suponer f0 6= 0 o g0 6= 0: Si f0 = 0 existenx0 2 M y � 2 R tales que g0 (x0) 6= 0 y X (g0) = �g0 (x0) ; en cuyocaso bastar�a hacer y0 = �x0: Supongamos entonces f0 y g0 no nulos ydistintos. Si para alg�un a 2 A fuera f0 = fa y g0 = f�a tendremos

f0 = fa = �af�a = �ag0:

Dado y 2M tal que g0 (y) 6= 0 ser�a �a = f0 (y) =g0 (y),

X0 (f0) = �aX (g0) =f0 (y)

g0 (y)X (g0)

y bastar�a que y0 , (X (g0) =g0 (y)) y. En otro caso, si kf0k < 1 podemosescribir f0 = kf0k f�, donde f� 2 �. As�� kf0k 2 A, f� = f�kf0k y aposteriori deber��a ser

X (f0) = kf0kX(f�) = kf0k f�(y0) :

Podemos asumir entonces que f0; g0 2 �y son distintos. Supongamosadem�as que existe � 2 R de modo que

� � f0 (y1)

g0 (y1)=f0 (y2)

g0 (y2)si g0 (y1) 6= 0, g0 (y2) 6= 0; y1; y2 2M: (177)

Si existiese y1 2 ker (f0)�ker (g0), por (177) esM�ker (g0) � ker (f0) :Esto no es posible pues M � ker (f0) es denso en M y ker (f0) M:En consecuencia ker (f0) � ker (g0) y ff0; g0g deber�a ser linealmentedependiente. Como f0; g0 2 �ser�a f0 = �g0 porque suponemos f0 6= g0:Como f0 y g0 son positivos resulta f0 = g0 = 0, lo cual no es cierto.Luego existen y1; y2 2 M tales que f0 (y1) g0 (y2) � g0 (y1) f0 (y2) 6= 0:Luego el sistema de ecuaciones

X (f0) = �f0(y1) + �f0 (y2) ; X (g0) = �g0 (y1) + �g0 (y2) (178)

adm��te una �unica soluci�on (�0; �0) 2 R2 y con y0 , �0y1 + �0y2 de(178) sigue (173).

(iiib) Fijados g0 2 y " > 0, si f0 2 aplicando (iiia) existen y0 2 M talque g0 (y0) = X0 (g0) y un w

�-entorno Uf0 de f0 tal que

f (y0) > X0 (f0)� " para todo f 2 Uf0 :

Por la compacidad de sean f1; :::; fm 2 , y1; :::; ym 2 M de modoque = [mj=1Ufj y f (yj) > X0 (fj) � " si f 2 Ufj ; 1 � j � m: Siy0 = y1 _ ::: _ ym entonces

g0(y0) = m�ax1�j�m

g0 (yj) = X0 (g0)

168

y si f 2 f (y0) = m�ax

1�j�mf (yj) > X0 (f)� ":

(iiic) Dado " > 0; por (iiib), si g0 2 existen x0 2M y un w�-entorno Vg0de g0 tales que g (x0) > X0 (g) � " si g 2 y g (x0) < X0 (g) + " sig 2 Vg0 : Por ser compacto existen g1; :::; gn 2 , x1; :::; xn 2M talesque = [ni=1Vgi, g (xi) < X0 (g) + " si g 2 Vgi y g (xi) > X0 (g) � "si g 2 , 1 � i � n: Finalmente, si x" = x1 ^ ::: ^ xn y si g 2 ,existir�a i 2 f1; :::; ng tal que g 2 Vgi y por lo tanto

X0 (g)� " < g (x") � g (xi) < X0 (g) + ":

Observaci�on 13.52 Si X es espacio de Hausdor� compacto C (X) = Cb (X),�X � M (X) ; donde �X es la compactaci�on de Stone- �Cech de X: SiendoX compacto, si � : X ! �X, �x (f) = f (x) si x 2 X y f 2 M; � de�ne unhomeomor�smo X � �X: Sea M = C(X) y el espacio de Hausdor� aso-ciado a M por el Teorema 13.50. Sabemos que �

�M (X)+

�1y por (176)

resulta

�K : C (X) ! C () ; �K (x) (�) =

ZX

xd�:

M�as a�un, con la notaci�on del Teorema 13.50,

� (X) = �X � = �w�

= �:

Adem�as �� (X) ; ya que si � 2 � y hay puntos distintos s; t 2 sop (�)consideremos entornos disjuntos U y V de s y t respectivamente. Por ellema de Urysohn existen x; y 2 M no negativas tales que x(s) = y(t) = 1,sop (x) � U y sop (y) � V: Pero entonces x ^ y = 0 y tanto � (x) como� (y) son positivos, lo que no es posible. Si sop (�) = ?, hay un cubrimientofUigi2I de X por abiertos tales que

RXfd� = 0 si f 2 M , 0 � f � 1 y

sop (f) � Ui, i 2 I: Luego en todo caso � (Ui) = 0 y, como X se asumecompacto, � = 0: Como k�k = 1 debe ser entonces � 2 � (X) :

13.12. Teorema de densidad de Kaplansky

Lema 13.53 71Sea H un espacio de Hilbert.

(i) La composici�on de operadores es fuertemente continua sobre [B (H)]1 :

(ii) Si f es funci�on compleja continua de�nida para jzj � 1 la funci�on(A;A�) ! f(A) es fuertemente continua sobre el conjunto [N(H)]1de operadores normales unitarios.

71Palabras clave: Sub�algebras esenciales. Conmutadores. Transformaci�on de Cayley.

169

(iii) La transformaci�on de Cayley

C : Re (B(H)) ! U (B(H)) ; C (A) = (A� i) (A+ i)�1

est�a bien de�nida, aplica operadores normales en unitarios y es fuerte-mente continua.

(iv) Dada h 2 C0 (R;R) la funci�on A! h(A) es fuertemente continua sobreRe (B(H)) :

Demostraci�on 13.54 (i) Sean fAigi2I , fBjgj2J redes en [B(H)]1 fuerte-mente convergentes a A;B 2 [B(H)]1 respectivamente. Si x 2 H, i 2 Iy j 2 J se tiene

k(AiBj � AB) (x)k � kAi ((Bj �B) (x))k+ k(Ai � A) (B (x))k� k(Bj �B) (x)k+ k(Ai � A) (B (x))k ;

de donde sigue enseguida la a�rmaci�on.

(ii) Dados A0 2 [N(H)]1 y F 2 Pf (H) veremos que hay un entorno fuerteS de A0 en [N(H)]1 tal que

m�axx2F

k(f(A)� f(A0)) (x)k < 1

si A 2 S. Por el teorema de Stone-Wierstrass C [z; z] es uniformementedensa en C ([C]1) : Sea g 2 C [z; z] tal que

m�axjzj�1

jg (z; z)� f(z)j < 1= (3m) ;

con m = m�axx2F kxk : Por (i) la funci�on A! g (A;A�) es fuertementecontinua sobre [N(H)]1. Hay entonces un subconjunto �nito G de Htal que

m�axx2F

k(g (A;A�)� g (A0; A�0)) (x)k < 1=3

si m�axy2G k(A� A0) (y)k < 1 y A 2 [N (H)]1 : Sea S el conjunto dedichos operadores. Si A 2 S y x 2 F resulta

kf (A)� f (A0) (x)k � k(f(A)� g (A;A�)) (x)k+ k(g (A;A�)� g (A0; A

�0)) (x)k

+ k((g (A0; A�0))� f(A0)) (x)k

< 2 kxk =(3m) + 1=3

= 1;

(V. [21], Ch. IX, x1).

170

(iii) Basta notar que si A;A0 2 Re (B(H)) se tiene

C (A)� C (A0) = (A+ i)�1 (A� i)� (A0 � i) (A0 + i)�1 (179)

= (A+ i)�1�A� i� (A+ i) (A0 � i) (A0 + i)�1

�= (A+ i)�1

�A� i� (A+ i)

�1� 2i (A0 + i)�1

��= �2i (A+ i)�1

�1� (A+ i) (A0 + i)�1

�:

Si x 2 H, como (A+ i)�1

� 1 de (179) obtenemos

k(C (A)� C (A0)) (x)k � 2 x� (A+ i) (A0 + i)�1

;de donde C (A0) = sot-l��mA!A0 C (A) en Re (B(H)) :

(iv) La funci�on f de�nida sobre la circunferencia unitaria centrada en cerotal que f(1) = 0 y

f (z) = h [�i (z + 1) = (z � 1)] si jzj = 1 y z 6= 1

deviene continua. Como h(A) = f (C (A)) si A 2 Re (B(H)) la a�rma-ci�on sigue de (ii) y (iii).

Teorema 13.55 (Cf. [84]) Sea H un espacio de Hilbert y M una �-sub�alge-bra esencial de B(H), i.e. el subespacio generado por elementos de la forma

T (x) con T 2M y x 2 H es denso en H. Entonces [M ]1sot

=hM

soti1:

Demostraci�on 13.56 Como todo subconjunto fuertemente cerrado de B(H)

es cerrado Msotes cerrado. Notemos que

Msot �

�M��sot � �M sot

��sot= M

sot;

i.e. (M�)�sot

= Msot: Adem�as si Y es un subespacio de un espacio de Banach

X,�Y�1

= [Y ]1: En efecto,�Y�1� [Y ]1 por continuidad de la norma. Adem�as

es inmediato que�Y�1� [Y ]1 y as��

Y�1

=�Y�1� [Y ]1:

Si asumimos el resultado cierto para M cerrado tendremos

[M ]1sot

=�([M ]1)

��sot =�M�1

sot=h�M��soti

1=hM

soti1:

171

No hay p�erdida de generalidad entonces si asumimos que M es cerrado. Lassiguientes inclusiones son inmediatas

[M ]1sot � [M ]1 �

hM

soti1:

Sea ahora T 2hRe�M

sot�i

1: Como M es convexo M

sot= M

wot(V. [21],

Th. IX.5.2) y como � es wot-continua T 2 Re(M)sot. Si S 2 Re (M),

�i =2 �B(H) (S) : Si M c es el conmutador de M , M c es una �- sub�alge-bra cerrada unitaria de B(H). Asimismo, M cc es una �-sub�algebra cerradaunitaria de B(H) y por lo tanto �B(H) (S) = �Mcc (M) (V. [21], Ch. VI-II, Prop. 1.14). En consecuencia est�a de�nida su transformada de Cayley

C (S) = (S � i) (S + i)�1 en M cc: Por el Teorema 13.69 M cc = Msot. Con

la notaci�on del Lema 13.53(iv) y con h 2 [C0 (R;R)]1 tal que h (t) = t si

jtj � 1 sigue que h (S) 2 f (M)sot; i.e. h (S) 2 [Re (M)]1

sot: Escribiendo

T = sot-l��mj2J Tj con fTjgj2J � Re (M) obtenemos

T = h(T ) = sot- l��mj2J

h(Tj)

y T 2 [Re (M)]1sot. As��h

Re�M

sot�i

1� [Re (M)]1

sot: (180)

El monomor�smo

� : M2

�M

sot�! B(H�H),

�

��A BC D

��(x; y) = (Ax+By;Cx+Dy) ;

con A;B;C;D 2 M2

�M

sot�y x; y 2 H, induce naturalmente una m�etrica

en M2

�M

sot�. M�as a�un, M2

�M

sot�admite una involuci�on respecto a la que

resulta en una �-�algebra de Banach. As�� M , Im (�) ser�a una �-sub�algebracerrada esencial de B(H�H). En el caso general, dado V 2

hM

soti1seaeV 2M tal que eV (x; y) = (V y; V �x) si x; y 2 H. Si x; y; z; t 2 H esDeV (x; y) ; (z; t)

E= hV y; zi+hV �x; ti = hy; V �zi+hx; V ti = h(x; y) ; (V t; V �z)i ;

172

i.e. eV � = eV y eV � 1. Si V = wot-l��mi2I Vi para cierta red fVigi2I de M

tenemos

0 = l��mi2I

[h(Vi � V ) y; zi+ hx; (Vi � V ) ti]

= l��mi2I

[h(Vi � V ) y; zi+ h(Vi � V )� x; ti]

= l��mi2Ih((Vi � V ) y; (Vi � V )� x) ; (z; t)i

= l��mi2I

��(

�0 ViV �i 0

�)� eV� (x; y) ; (z; t)

�y podemos deducir que eV 2

hRe�

� [M2 (M)]sot�i

1. Como observamos en

(180) para el caso autoadjunto habr�a una red�W ll2L en M2(M) tal que�

Re��W l��

l2L � [B(H�H)]1 yeV = sot-l��ml2L Re (� (Wl)) : Si l 2 L y

w 2 H, escribiendo W l =�W li;j

�i;j=1;2

, vemos que �V � �W l1;2 +

�W l2;1

��=2�

(w) � �eV � Re

��W l��

(0; w)

y �W l1;2 +

�W l2;1

��=2 � Re

��W l�� 1;

i.e. V = sot-l��ml2L��W l1;2 +

�W l2;1

��=2�y V 2 [M ]1

sot:

13.13. Teorema de Krein-�Smulian

Teorema 13.57 (cf. [86]) En un espacio de Banach X, un subconjunto con-vexo A de X� es w�-cerrado si y solo si A \ [X�]r lo es para cada r > 0:

Demostraci�on 13.58 Evidentemente la condici�on es necesaria. Fijemos unelemento x�0 =2 A: Es f�acil ver que A ha de ser cerrado por lo que existe r > 0tal que B [x�0; r] \ A = ;: Luego [X�]1 \ B = ;; donde B = (A� x�0) =r: Seas > 0 y veamos que B\ [X�]s es w

�-cerrado. Sea fy�i gi2I una red de B\ [X�]sy sea y� = w�-l��mi2I y

�i : Hay una red fz�i gi2I � A tal que y�i = (z�i � x�0) =r

para cada i 2 I: Haciendo z� = x�0 + ry� es f�acil ver que

w�- l��mi2I

z�i = w�- l��mi2I

(x�0 + ry�i ) = z�

y como fz�i gi2I � [X�]kx�0k+rs por hip�otesis z� 2 A: Luego ciertamente se

tiene y� 2 B \ [X�]s. Veamos que hay una sucesi�on fFng1n=0 de subconjuntos

�nitos de X tales que

nFn � [X]1 y B \n�1\k=0

F ok \ [X�]n = ;; (181)

173

donde F o denota, para cada parte F de X, el correspondiente conjunto polar

F o =

�u� 2 X� : sup

x2Fjhx; u�ij � 1

�:

Como [X�]1 \ B = ; podemos hacer F0 = f0Xg : Si F0; :::; Fn�1 se hubiesen

hallado veri�cando (181) sea Q = B \n�1Tk=0

F ok \ [X�]n+1 : Entonces Q es w�-

compacto pues es w�-cerrado en [X�]n+1, que adem�as lo es por el teorema deAlaoglu. Si la familia

I =nQ \ F o : F 2 Pf

�[X]1=n

�ode partes w�-cerradas de Q tuviere la propiedad de intersecci�on �nita ser��a\I 6= ;. Pero \n

F o : F 2 Pf�

[X]1=n

�o= [X�]n :

La inclusi�on � es inmediata. Adem�as si x� 2 X� y kx�k > n existe x 2 [X]1tal que jhx=n; x�ij > 1; i.e. x� =2 fx=ngo y kx=nk � 1=n: As��

; 6= \I = Q\ [X�]n = B \n�1\k=0

F ok \ [X�]n ;

lo cual contradice (181). Existe entonces Fn 2 Pf�

[X]1=n

�tal que Q\F on = ;;

i.e. B \nTk=0

F ok \ [X�]n+1 = ; y vale el paso inductivo. Enumeremos los

elementos de [1n=1Fn en una sucesi�on fxng1n=1. Es claro que xn ! 0 y queda

de�nida la aplicaci�on T 2 B (X�; c0), T (x�) = fhxn; x�ig1n=1 : Ahora, T (B) esconvexo y por (181) ser�a T (B) \ [c0]1 = ;: Por el teorema de Banach-Hahnexiste � 2 c�0 y c 2 R tal que

Re h�;�i < c � Re hT (x�) ;�i si � 2 (c0)1 y x� 2 B:

Reemplazando eventualmente � y c por �= k�k y c= k�k podemos suponerk�k = 1: Si � 2 (c0)1 sea s 2 C unitario tal que h�;�i = s jh�;�ij : Entonces

jh�;�ij = hs�;�i = Re hs�;�i < c;

y como � es arbitrario

1 � c � Re hT (x�);�i si x� 2 B:

174

M�as a�un, � = f�ng1n=1 y si x� 2 B como X es completo tenemos

hT (x�);�i =1Xn=1

hxn; x�i�n = hx0; x�i ;

donde x0 =P1

n=1 �nxn; y as�� Re hx0; x�i � 1 para cada x� 2 B: Por lo tanto0X� =2 Bw�

, de donde x�0 =2 Aw�:

Corolario 13.59 Sea T 2 B (X; Y ) on operador entre espacios de Banach.Son equivalentes: (a) ran (T ) es cerrado. (b) ran (T �) es w�-cerrado. (c)ran (T �) es cerrado.

Demostraci�on 13.60 Sean Z = ran (T ) y p : X ! X= ker (T ) la proyecci�on

al cociente. Queda inducido eT 2 B (X= ker (T ) ; Z) isomor�smo tal que

T jZ= eT � p y ran (T ) = ran(eT ): (182)

Adem�as (X= ker (T ))� � ker (T )o v��a la aplicaci�on siguiente: si x� 2 ker (T )o

sea � (x�) (p (x)) = x� (x) ; x 2 X: � est�a bien de�nido, es lineal e inyectivo.Si � 2 (X= ker (T ))� entonces � � p 2 ker (T )o y � (� � p) = �; i.e. � es unisomor�smo y ��1 (�) = � � p: Asimismo, Y �=Zo � Z�: Si q : Y � ! Y �=Zo

sea : Y �=Zo ! Z� tal que (q (y�)) (z) = y� (z), donde y� 2 Y � y z 2 Z:Tambi�en est�a bien de�nida, es lineal, inyectiva, y dado z� 2 Z� si y� 2 Y �

es extensi�on de z� se tiene (q (y�)) = z�: Consideremos la aplicaci�on

� : Y � ! ker (T )o ; � = ��1 � eT � � � q:

Si y� 2 Y � y x 2 X tenemos

� (y�) (x) = ��1h eT � ( (q (y�)))

i(x)

= eT � [ (q (y�))] (S (p (x)))

= (q (y�)) (T (x))

= y� (T (x))

= T � (y�) (x) ;

i.e. � (y�) = T � (y�) y eT � [ (q (y�))] = � (T � (y�)) : As��

ran(eT �) = � [ran (T �)] : (183)

En particular, eT es inyectivo y tiene rango denso. Asumamos el resultadov�alido para eT : Si ran(eT ) fuere cerrado tambi�en lo ser�a ran (T ) por (182) y

175

ran (T �) por (183). As��mismo, como ran(eT ) es w�-cerrado, � es isomor�smoy � 2 (w�; w�) por (183) vemos que ran (T �) ha de ser w�-cerrado. En de�-nitiva, podemos remitirnos al caso en que T es un monomor�smo con rangodenso. Bajo estas hip�otesis obramos a continuaci�on:

(a) b) Si ran (T ) es cerrado y denso T es suryectiva. Si adem�as es inyec-tiva por el teorema de la funci�on abierta T es inversible. Luego T � esinversible y sigue (b).

(b) a) Como ran (T �)w�

= ker (T )o, suponemos que ran (T �) es cerrado yque T es inyectiva, T � es suryectiva. Como ker (T �) = ran (T )o, T � resul-ta inyectiva pues ran (T ) es denso. Por el teorema de la funci�on abiertaT � es inversible. Existe entonces c > 0 tal que [X�]c � T � ([Y �]1) : Six 2 X tenemos

kT (x)k = supy�2[Y �]1

jy� (T (x)))j

= supy�2[Y �]1

jT � (y�) (x))j

� supx�2[X�]c

jx�(x))j

= c kxk :

As�� T es acotada inferiormente y tiene rango denso, o sea es inversible.Ahora (a) es inmediato.

(b) c) Es inmediato.

(c) b) Por el teorema de Krein-�Smulian bastar�a ver que ran (T �)\ [X�]r esw�-cerrado para cada r > 0: Sea x� 2 X� tal que x� = w�-l��mn!1 T

� (y�n)para cierta sucesi�on fy�ng

1n=1 de Y �, con fT � (y�n)g1n=1 acotada en X�:

Como T tiene rango denso T � es inyectivo y T � jran(T �) deviene in-versible, en particular, acotado inferiormente. Luego fy�ng

1n=1 ser�a aco-

tada en Y � y, considerando eventualmente alguna subsucesi�on, por elteorema de Alaoglu existe y�0 2 Y � tal que y�0 = w�-l��mn!1 y

�n y en-

seguida vemos que x� = T � (y�0) :

13.14. Teorema de Mazur

Teorema 13.61 (cf. [97]) Sea X un espacio normado. Si C � X es convexo,

entonces C = C�(X;X�)

:

176

Demostraci�on 13.62 Como la topolog��a de la norma es m�as �na que la

topolog��a d�ebil, C � C�(X;X�)

: Si x 2 X � C por el Corolario 13.11 existen� 2 X�, � 2 R y " > 0 tales que Re �(x) < � < � + " < Re � (y) para todoy 2 C: El conjunto M = fz 2 X : j� (x� z)j < "g es un � (X;X�)-entornode x: Pero si y 2 C tenemos

j� (y � x)j � Re (y � x) > ";

i.e. M \ C = ? y x =2 C�(X;X�):

13.15. Espectros. Teorema de Rickart

Si U es un �algebra y a 2 U decimos que a es cuasi-regular a izquierda(resp. a derecha) si existe b 2 U tal que b � a = 0 (resp. a � b = 0), donde� denota el producto de Kaplansky x � y = x + y � xy para x; y 2 U . Elproducto � es asociativo y adm��te a cero como elemento neutro. Un elemen-to se dir�a cuasi-regular o perteneciente a QR (U) si lo es tanto a derechacomo a izquierda. Dado a 2 QR (U) es f�acil ver que existe a� �unico tal quea� � a = a � a� = 0; y a tal a� se lo llama elemento cuasi-inverso de a: In-dicamos QS (U) a la clase de elementos cuasi-singulares de U , constitu��dalos elementos no cuasi-regulares de U . �Estos conceptos est�an motivados paracubrir situaciones en las que el �algebra U no es unitaria, en cuyo caso seconsidera la correspondiente unitizaci�on. As��, si U es �algebra sobre un cuer-po K (en general K = R o C) hacemos U# = U�K munida de la estructuraalgebraica natural en la cual

(a; k) + (b; h) , (a+ b; k + h)

k (a; h) , (ka; kh)

(a; k) (b; h) , (ab+ kb+ ha; kh)

para a; b 2 U y k; h 2 K. En particular, U# resulta �algebra unitaria conunidad e# , (0; 1). Adem�as, si (U ; kk) es �algebra normada tambi�en lo es U#haciendo k(a; k)k , kak+ jkj : Tenemos

U�U#�

= f(a; k) : k 6= 0 y � a=k 2 QR (U)g

y si U no es �algebra unitaria dado a 2 U es natural de�nir � (a) , � ((a; 0)) ;de modo que

� (a) = fk 2 K�f0Kg : a=k 2 QS (U)g [ f0Kg : (184)

La de�nici�on (184) es general, v�alida a�un si el �algebra es unitaria. Precisa-mente, si U es unitaria, a 2 U y k 6= 0K tenemos que k 2 � (a) si y solo sia=k 2 QS (U) :

177

Proposici�on 13.63 Sea U un �algebra normada. Entonces QR (U) es abiertoy la operaci�on QR (U) ! QR (U), a! a0 es un homeomor�smo.

Demostraci�on 13.64 La aplicaci�on j : U ! U# es un homomor�smo con-tinuo, m�as a�un, isom�etrica. Adem�as�

e# � j(a)� �e# � j(b)

�= e# � j (a � b)

para a; b 2 U . En consecuencia, si J (a) = e# � j(a) para a 2 U tenemosJ�1

�U�U#��

= QR (U) y como J es aplicaci�on continua QR (U) es abierto.Fijado ahora a0 2 U escribamos (a0 + h)� = a�0 + k. Si x 2 U tenemos(1� a�0) (x� a0) = a�0 � x. Haciendo x = a0 + h resulta

a�0 = ((1� a�0)h) � (a�0 + k)

= h� a�0h+ a�0 + k � (ha�0 + hk � a�0ha�0 � a�0hk) :

Luegok � hk + a�0hk = �h+ a�0h+ ha�0 � a�0ha

�0: (185)

De (185) estimamos

kkk � khk kkk � ka�0k khk kkk � kkk � (k�hkk+ ka�0hkk) (186)

� kkk � ka�0hk � hkk� kk � hk + a�0hkk� (1 + ka�0k)

2 khk :

Finalmente, de (186) resulta

k(a0 + h)� � a�0k �(1 + ka�0k)

2 khk1� (1 + ka�0k) khk

;

i.e. l��mh!0 (a0 + h)� = a�0:

Teorema 13.65 (cf. [112], Th. 1.6.3) Si U es un �algebra normada y x 2 Uexiste � 2 � (x) tal que rsp (x) � j�j :

Demostraci�on 13.66 Toda �algebra normada real puede ser inmersa isom�etri-camente en un �algebra compleja (v. [112], Ch. I, x3), de modo que asumire-mos que el �algebra dada es compleja. Si 0 =2 � (x) entonces U es unitaria,x es inversible y 1 � rsp (x) rsp (x�1) : Por lo tanto, si rsp(x) = 0 entonces0 2 � (x) y la a�rmaci�on resulta cierta. Supongamos que rsp (x) > j�j paratodo � 2 � (x) : La funci�on f (�) = (x=�)� resulta continua si j�j � rsp (x)y nula en el in�nito. Luego f es uniformemente continua en el semiplano

178

j�j � rsp (x) : Fijado n 2 N mayor que uno sean z1; :::; zn las ra��ces n-�esimas de la unidad. Para w 2 C indicaremos wj = wzj, 1 � j � n: Como

zn � 1 =nYj=1

(z � zj) escribimos

1� z�n =nYj=1

�1� 1

zzj

�: (187)

Reemplazando z por �=� en (187) obtenemos

1��

�

�n=

nYj=1

�1� �

�j

�(188)

y haciendo � = x en (188) es

1��x

�

�n=

nYj=1

�1� x

�j

�:

Por lo tanto �x

�

�n=

�x

�1

�� ::: �

�x

�n

�: (189)

Por (189) podemos escribir (x=�)n = (x=�j) �Rj; donde

Rj = �n�1Xk=1

��kj xk; 1 � j � n:

Si j�j � rsp (x) cada x=�j y cada Rj resultar�a cuasi-regular e inferimos quef (�j) = Rj � (��nxn)

�: Ahora

nXj=1

Rj = �n�1Xk=1

xknXj=1

��kj = �n�1Xk=1

�kxknXj=1

zkj : (190)

Pero si 1 � k < n la aplicaci�on z ! zk produce una biyecci�on en las ra��cesn-�esimas de la unidad y la suma de �estas es nula, de donde por (190) es

1

n

nXj=1

f (�j) =��nxn

��: (191)

Dado " > 0 sea � > 0 tal que kf (z)� f (w)k < " si jz � wj < � en elsemiplano j�j � rsp (x) : Si � = rsp (x) y = �+�=2 es kf (�j)� f ( j)k < "para 1 � j � n y por (191) ��nxn�� nxn�� < ":

179

Pero l��mn!1 ( �nxn) = 0; ya que en caso contrario existir�a � > 0 y una sub-sucesi�on in�nita fnlgl2N tal que k �nlxnlk � � para todo l: En consecuencia

kxnlk1=nl � �1=nl para todo l, i.e. � � lo que es falso. Por la Prop. 13.63es l��mn!1

(��nxn)� = 0, o bien l��mn!1 k��nxnk = 0. Esto es imposible

ya que k��nxnk � 1 para todo n:

13.16. Teorema de Segal

Teorema 13.67 72(cf. [119]) Si G es grupo localmente compacto separadoel �algebra L1 (G) es semisimple.

Demostraci�on 13.68 Dados f 2 L1 (G) y g 2 C00 (G) por la desigualdadintegral de Minkowsky y la invariancia de la medida de Haar f � g 2 L2 (G)y kf � gk2 � kfk1 kgk2 : Por el teorema de Banach-Hahn el operador linealfMf : C00 (G) ! L2 (G) ; fMf (g) = f � g;

admite una extensi�on a un operador lineal Mf : L2 (G) ! L2 (G) de modoque kMf (g)k2 � kfk1 kgk2 para todo g 2 L2 (G) : En consecuencia quedade�nido M : L1(G) ! B (L2(G)) operador lineal tal que M (f) = Mf ykM(f)k � kfk1 para cada f 2 L1(G): Notemos que L1(G) es una �-�algebrade Banach si para f 2 L1(G) escribimos f �(x) = f(x�1)�G (x�1) para x 2 G:Es f�acil ver que M deviene en un homomor�smo. M�as a�un, para f 2 L1 (G),g; h 2 C00(G) por el teorema de Fubini y por propiedades de la medida deHaar tenemos

hMf (g); hi = hf � g; hi

=

ZG

�ZG

f(x)g(x�1y)dx

�h(y)dy

=

ZG

f(x)

�ZG

g�x�1y

�h(y)dy

�dx

=

ZG

f(x)

�ZG

g (z)h(xz)dz

�dx

=

ZG

g(z)

�ZG

f(x)h(xz)dx

�dz

=

ZG

g(z)

�ZG

f �(x)h (x�1z) dx

�dz

= hg;Mf�(h)i :72Palabras clave: Radical de Jacobson. Integral y medida de Haar. A�-�algebras.

180

Como Mf es continuo y C00(G) es denso en L2(G) podemos inferir que M esun �-homomor�smo. Consideremos la clase U de entornos abiertos sim�etricosrelativamente compactos de e 2 G: Dado U 2 U por el lema de Urysohn existeuU 2 C00 (G)+ tal que sop (uU) � U y kuUk1 = 1: Si f 2 L1 (G) y U 2 Utenemos f � (uU)_ � f

1

=

ZG

��ZG

f(x) (uU)_�x�1y

�dx� f(y)

�� dy: (192)

Adem�as por la invariancia de la medida de HaarZG

(uU)_�x�1y

�dx =

ZG

uU�y�1x

�dx =

ZG

uU (x) dx = 1

cualquiera sea y 2 G: Entonces en (192) tenemos f � (uU)_ � f 1

=

ZG

��ZG

(f(x)� f(y)) (uU)_�x�1y

�dx

�� dy (193)

=

ZG

��ZG

(f(x�1)� f(y)) (uU)_ (xy) �G

�x�1�dx

�� dy=

ZG

��ZG

(f(yz�1)� f(y)) (uU)_ (z) �G

�z�1�dz

�� dy�ZU

uU�z�1�

�G

�z�1� Z

G

��f(yz�1)� f(y)�� dydz:

Como en la prueba del Teorema 11.6 de (193) sigue que�

(uU)_U2U es apro-

ximaci�on acotada de la unidad a derecha de L1(G): Ahora, si M(f) = 0ser�a f � (uU)_ = 0L2(G) para cada U 2 U . Luego f � (uU)_ = 0 a.e. paratodo U 2 U y por lo tanto f = 0L1(G), i.e. M es un monomor�smo. Sea

ahora jf j , kM (f)k para f 2 L1 (G) : Vemos que (L1 (G) ; j�j) es un �alge-bra normada, jf � gj � jf j jgj y jf � � f j = jf j2 para todo f; g 2 L1(G), i.e.L1 (G) es un A�-�algebra. Dado f 2 J (L1 (G)) ; como f � � f 2 J (L1 (G))deber�a ser rsp (f � � f) = 0 (V. [18], Prop. 1, p. 126). Por el Teorema 13.65es rsp (f � � f) � jf � � f j2 y podemos concluir que f = 0.

13.17. Teorema de Von Neumann

Teorema 13.69 (cf. [133]) SeanH un espacio de Hilbert yM una �-sub�alge-bra de B(H). Si P es la proyecci�on de H sobre el subespacio cerrado generadopor elementos de la forma T (x) con T 2M y x 2 H entonces

Mwot

= L = M ccP;

donde L = fT 2M cc : TP = PT = Tg :

181

Demostraci�on 13.70 Notemos que P 2 M c \M cc: En efecto, si T 2 Mclaramente PT = T . Adem�as T = TP + T (IdH � P ) y si y 2 ran (P )?

tenemoskT (y)k2 = hT � (T (y)) ; yi = 0

pues T � 2M , de modo que TP = T y P 2M c: Si adem�as S 2M c y x 2 Htenemos

(PS) (T (x)) = P ((ST ) (x))

= P ((TS) (x))

= (TS) (x)

= (ST ) (x)

= S (P (T (x)))

= (SP ) (T (x)) :

Adem�as hay una sucesi�on fsng1n=1 de elementos de la forma sn =Pjn

j=1 Tj;n (xj;n),donde n; jn 2 N, Tj;n 2 M y xj;n 2 H de modo que (PS) (y) = l��mn!1 sn.Como S� 2M c obtenemos

k(PS) (y)k2 = h(S�PS) (y) ; yi= l��m

n!1hS� (sn) ; yi

= l��mn!1

*jnXj=1

Tj;n (S� (xj;n)) ; y

+= 0:

Como P (y) = 0 es adem�as (SP ) (y) = 0 y P 2M cc: Por otra parte

ran (P )? = fw 2 H : X (w) = 0 si X 2Mg : (194)

Ciertamente, si w 2 ran (P )? dados X 2M y t 2 H se tiene

0 = hX� (t) ; wi = ht;X(w)i ;y como t es arbitrario X(w) = 0: Asimismo, si w 2 H es tal que X(w) = 0cuando X 2M sea s 2 ran (P ) : Con la notaci�on anterior, con s = l��mn!1 sntenemos

hs; wi = l��mn!1

*jnXj=1

Tj;n (xj;n) ; w

+

= l��mn!1

jnXj=1

xj;n; T

�j;n (w)

�= 0:

182

Sigue entonces que M � L. Adem�as es f�acil ver que L es wot-cerrado, por

lo que Msot � L dado que M es convexo. La identidad L = M ccP se deduce

ahora sencillamente. Finalmente, sea U 2 L y �jemos un n�umero �nito devectores z1; :::; zm 2 H. Veremos que S (U; z1; :::; zm) \M 6= ?; donde

S (U; z1; :::; zm) =

�X 2 B(H) : m�ax

1�j�mk(X � U) (zj)k < 1

�:

Sea W = hX�m (z)iX2M en H�m , con z = (z1; ; ; :zm) ; y sea Q 2 B(H�m)el proyector de H�m sobre W. Entonces Q determina una matriz �unica deoperadores [Qi;;j]1�i;j�m 2Mm (B (H)) tal que

Qi (t) =mXj=1

Qi;;j (tj) si t = (t1; :::; tm)

en H�m y 1 � i � m: Dados t 2 H�m, X 2 M hay �unicos u 2 W, v 2 W?

tales que t = u+ v: En particular �QX�m� (v) 2 =

�X�m��QX�m (v) ; v

�=(X�)�mQX�m (v) ; v

�= 0

pues (X�)�m (W) � W. Por lo tanto�QX�m� (t) = Q

�X�m (u) +X�m (v)

�= X�m (u) =

�X�mQ

�(t)

y Q ^ X�m. As��

�QX�m�

i(t) =

mXj=1

Qi;;j (X (tj)) = X(

mXj=1

Qi;;j (tj)) =�X�mQ

�(t)

i.e. Qi;j ^ X y fQi;jg1�i;j�m � M c: Como adem�as (QX�m) (z) = X�m (z)si 1 � i � m resulta

X (zi) =

mXj=1

Qi;;j (X (zj)) = X(

mXj=1

Qi;;j (zj));

i.e. X�zi �

Pmj=1Qi;;j (zj)

�= 0: Siendo X 2M arbitrario, por (194) resulta

zi �mXj=1

Qi;;j (zj) 2 ran (P )? si 1 � i � m:

183

Pero ran (P )? = ran (IdH � P ), U = UP y U 2M cc de modo que

U (zi) =

mXj=1

(UQi;;j) (zj) =

mXj=1

(Qi;;jU) (zj) si 1 � i � m:

As�� U�m (z) = Q (U�m (z)) y U�m (z) 2 W, de modo que existe X0 2M talque

U�m (z)�X�m0 (z)

< 1: Luego

m�ax1�i�m

k(U �X0) (zi)k � U�m (z)�X�m

0 (z) < 1

y X0 2 S (U; z1; :::; zm) \M:

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