Introducció al tema de funcions reals de variable real – 1

OBJECTIUS

1.- Saber determinar les coordenades d’un punt del pla en uns eixos de

coordenades o cartesians.

2.- Saber diferenciar els conceptes de constant i de variable.

3.- Entendre el concepte de funció i conèixer exemples en la vida

quotidiana

4.- Saber i entendre el llenguatge de les funcions i els símbols que

utilitzem.

5.- Confeccionar la taula de valors d’una funció.

6.- Dibuixar la gràfica d’una funció a partir de la seva taula de valors.

7.- Saber buscar imatges i antiimatges amb la fórmula d’una funció.

8.- Saber buscar imatges i antiimatges amb la gràfica d’una funció.

INTRODUCCIÓ AL TEMA DE FUNCIONS

REALS DE VARIABLE REAL

Introducció al tema de funcions reals de variable real – 2

Els eixos de coordenades o cartesians són dues rectes perpendiculars en

què es determina una graduació, divideixen el pla en quatre quadrants.

L’origen de coordenades és el punt on es tallen les rectes i el definirem amb

les coordenades O = (0,0).

L’eix d’abscisses (OX) és la recta horitzontal on el valors de la dreta són

positius i els de l’esquerra negatius.

L’eix d’ordenades (OY) és la recta vertical on els valors de dalt són positius

i els de baix negatius.

y

2n quadrant 1r quadrant

Origen de coordenades x

3r quadrant 4t quadrant

Les coordenades d’un punt del pla sempre s’ha de donar en un mateix ordre:

CONCEPTE 1.- Coneixements previs.

Introducció al tema de funcions reals de variable real – 3

1a coordenada = abscissa del punt (a)

2a coordenada = ordenada del punt (b)

y

b P=(a, b)

a x

1.- Dibuixa en un sistema de referència cartesià, els punts A=(2,4) ,

B=(–5,6) , C=(0,5) , D=(–3,–2) , E=(–6,0) , F=(2,–7) i G=(0,0).

2.- Què tenen en comú els punts situats sobre l’eix d’abscisses?

3.- Què tenen en comú els punts situats sobre l’eix d’ordenades?

4.- Parlem del mateix punt si canviem l’ordre de les coordenades? Posa un

exemple.

5.- Dibuixa en un sistema de referència cartesià, els punts A=(1/2,3/4) ,

B=(–2/3,6) , C=(3/2,0) , D=(–5,–1) , E=(0,3/2) i F=(1/3,–3).

PROCEDIMENT 1.- Coneixements previs.

Introducció al tema de funcions reals de variable real – 4

Una constant té un valor fix i determinat. Per exemple el nombre pi, la

velocitat de la llum en el buit o l’aire, el valor de l’euro respecte la

pesseta,...

Una variable pot tenir diferents valors. Per exemple la velocitat d’un cotxe,

el saldo d’un compte corrent, el preu d’un litre de gasolina,...

Una funció és una relació de dependència entre dues variables de manera

que a cada valor real de la primera li correspon un únic valor real de la

segona. La primera l’anomenem variable independent i la segona variable

dependent.

La imatge de x , és el valor real de variable dependent que li correspon.

L’antiimatge de y, és el valor o valors reals de variable independent que li

correspon.

Una funció es pot expressar mitjançant:

- Una descripció verbal.

- Una taula de valors.

- Una gràfica.

- Una expressió algebraica o fórmula.

CONCEPTE 2.- Constant i variable.

CONCEPTE 3.- Definició de funció real de variable real.

. CONCEPTE 4.- Formes d'expressar aquesta relació.

Introducció al tema de funcions reals de variable real – 5

1.- Els globus sonda són utilitzats per les estacions

meteorològiques per mesurar, entre altres coses, la

temperatura de l’atmosfera a diferents alçades.

S’ha comprovat que en les capes més baixes de

l’atmosfera ( fins els 3.000 m aproximadament ),

per cada 200m d’alçada la temperatura disminueix

en 1ºC. En u dia determinat la temperatura al nivell

del mar és de 4ºC.

a) Quina és la variable independent i la variable dependent?

b) Si simbolitzem amb la lletra x l’altura a la qual està situat el globus, i

amb T la temperatura de l’atmosfera, construeix la taula de valors

adient.

c) Dibuixa en paper mil·limetrat la gràfica d’aquesta funció ( 0,5cm=200m

altura i 1cm=1ºC ).

d) Gràficament contesta a les següents preguntes:

- A quina alçada la temperatura és de 2,5ºC?

- Quina temperatura marcarà el termòmetre a 1.700m?

- A partir de quina alçada la temperatura és inferior o igual a 0ºC?

- Si sabem que el globus sonda està situat entre 800 i 1.500m, què

podem dir de la temperatura que marcarà el termòmetre?

2.- En Kilian Jornet camina a velocitat constant

durant tot un dia. L’espai que recorre es pot

calcular amb la següent expressió matemàtica:

x=6.t , on x s’expressa en quilòmetres i el

temps en hores.

a) Quina és la variable independent i la variable

dependent?

b) Construeix la taula de valors adient.

c) Dibuixa la gràfica corresponent.

d) Comprova un punt a partir de l’expressió matemàtica, la taula de valors i

la gràfica.

e) Quina distància ha recorregut al cap de 1,15 h ?

PROCEDIMENT 2.- Exercicis per treballar el concepte de funció i el seu entorn.

Introducció al tema de funcions reals de variable real – 6

3.- Volem construir una piscina però només disposem de 18 metres de la

rajola que es posa al voltant. Quines han de ser les dimensions de la piscina

per tal que la superfície sigui màxima? Quina forma tindrà la piscina?

a) Per tal de trobar les mides ideals,

retallem un tros de paper mil·limetrat,

imitant la forma de la piscina i suposant

que el perímetre és de 18 centímetres.

Quina superfície has aconseguit?

b) Anota els resultats obtinguts pels

altres companys de classe i retalla els

papers adequats per tal de trobar les

diferents superfícies.

c) Construeix la taula de valors adient.

d) Representa en uns eixos de coordenades la gràfica corresponent.

e) Comprova tres punts de la taula i de la gràfica mitjançant la fórmula que

relaciona la superfície i la llargada de la piscina.

4.- En un aparcament de la ciutat ens cobren 2€ per la primera hora i 1€ per

cada hora o fracció d’hora posterior.

a) Quina és la variable independent i la variable dependent?

b) Si simbolitzem amb la lletra P el preu a pagar i amb t el temps que hem

tingut el cotxe aparcat, construeix la taula de valors adient.

c) Dibuixa en paper mil·limetrat la gràfica d’aquesta funció.

d) Comprova tres punts de la taula i de la gràfica.