Introducción a la Mecánica (Parte II)

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Introducción a la Mecánica (Parte II)

J. A. Orduz-Ducuara

23 de junio de 2015

Contenido

• Contenido

• Evaluación

• Producto

• Objetivo

• Conceptos

• ¿Cómo elegir una FSapropiado?

• Conceptos

• Fenómenos porflexión

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ContenidoEvaluaciónProductoObjetivoConceptos¿Cómo elegir una FS apropiado?ConceptosFenómenos por flexión

Criterios de evaluación

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• Conceptos


• Conceptos


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Estos son los criterios de evaluación. El alumno debe:

Exponer claramente conceptos como:

• factor de seguridad.• deformación• Esfuerzo-deformación• deformación y relación esfuerzo-deformación.

Realizar los ejercicios y ejemplos propuestos.Participar en clase con ideas, comentarios o conceptos.

Producto

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• Producto

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• Conceptos


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Un examen con valor del 30%

Examen: viernes 22 de mayo de 2015.

La bibliografía la encuentran al final de este documento.

Objetivo

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Diseñar varillas, tornillos y pernos bajo condiciones un poco máscomplicadas de carga que lo visto anteriormente.

Conceptos

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Carga permisible: Es una carga menor a la carga que lleva aun material al punto de cedencia. Algunas veces se le conocecomo carga de trabajo o carga ed diseño.

Factor de seguridad: Es la razón entre la carga de cedenciay la carga permisible; i. e.:

FS =Carga de cedencia

Carga permisible(1)

Otra forma de definir FS,

FS =Esfuerzo de cedencia

Esfuerzo permisible(2)

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Las ecuaciones anteriores (1 y 2) son identicas cuando existe unacombinación lineal entre la carga y el esfuerzo. Pero esta relacióntermina cuando el valor del esfuerzo se aproxima al (esfuerzo) decedencia.Importante: Carga permisible= Carga de funcionamiento = cargade diseño.

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Elegir una FS es una tarea importante. A continuación daremosalgunas consideraciones.Nótese que solamente una fracción de la la capacidad de la cargade cedencia se usa cuando la carga permisible se aplica. La porciónrestante de la capacidad de carga soportable del miembro semantiene en reserva para asegurar su comportamiento seguro.

¿Cómo elegir una FS apropiado?

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A continuación presentamos algunas consideraciones que se debenusar para elegir un FS apropiado:

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Elección del FS

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Elegir un FS es una tarea muy importante para la ingeniería. Elegirun FS demasiado pequeño, posibilita fallas y es inaceptable; si elFS se elige innecesariamente grande, el resultado es un diseñono funcional y costoso.

Códigos de construcción y especificaciones de diseño

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A continuación daremos algunos ejemplos de los comités queregulan las especificiones de los materiales:

Investigar: Factor de Resistencia

Conceptos: Torsión, presiones y las deformaciones causa-das

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En esta sección consideraremos miembros y partes de lasmáquinas que están sometidas a torsiones

Actividad en Clase

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Observe las siguientes simulaciones. Responda y discuta con suscompañeros sobre los siguientes tópicos (Colocar simulación dePhysion)

1. ¿Qué tipo de esfuerzos intervienen en los fenómenos?2. Las simulaciones estan desarrolladas en el plano, pero. . . ¿qué

sucede si imagina el mismo fenómeno en el espaciotridimensional?

a) ¿Aparecen nuevos esfuerzos o son los mismos que en elespacio bidimensional?

b) ¿Qué otros esfuerzos aparecen? Explíquelos.

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3. Puedes proponer otros fenómenos en los que sucedanesfuerzos nuevos, ¿cuáles? Explíquelos.

4. Piensa en los fenómenos de tracción y en los de torsión,¿Cuál es la diferencia?

5. Piensa en los fenómenos decompresión y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia?

Introducción

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En la siguiente sección vamos a trabajar sobre torsión

¿Cuál es la dirección de la torsión?

Introducción

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Propiedad de los Ejes circulares

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“Cuando un eje circular se somete a torsión, cada seccióntransversal permanece plana y sin deformar”

Esta propiedad te permitirá determinar: “la distribución de esfuerzosde cizallamiento en un eje circular y concluir que el esfuerzo decizallamiento varia linealmente con la distancia desde el eje axial deleje circular ”

Representaciones de torsión

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Esfuerzos en una flecha (eje)

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Consideremos la siguiente imagen:

T′ es el torque opuesto al e

igual en magnitud al torqueinterno, T .

El diagrama de cuerpo libre es:

donde,

dF es el diferencial de la fuerza

de cizallamiento ρ es la distancia

perpendicular desde la fuerza

hasta el eje de la flecha.

El cizallamiento no puede ser en un plano. . .

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En esta figura mostramos un elemento de la flecha que ilustra elesfuerzo de cizallamiento en las caras perpendiculares a los ejes dela flecha. También, señalamos los esfuerzos iguales en los planosque contienen los ejes de la flecha.

Representación matemática de los conceptos Físicos

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Torque ~T = ~τ = ~r × ~F . Vamos a usar ρ para etiquetar el radio,usaremos negrillas o una flecha sobre la cantidad física que seancantidades vectoriales ( ~letra). Y ahora definimos que las cantidadesvectoriales son perpendiculares, por esa razón, escribimos:

∫

ρdF = T (3)

pero, sabemos que F = τA, donde τ es la tensión. Expresandocomo una derivada dF = τdA. Por lo que, podemos escribir:

∫

ρ(τdA) = T (4)

Descripción de las deformaciones por cizallamiento

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Consideremos esta figura (a)donde la flecha ha sido giradaun ángulo φ. Separemos uncilindro de radio ρ yconsideremos un cuadradomostrado en rojo (b). Veamoscomo el cuadrado se deforma,convirtiéndose en un rombo,después de someter la flechaa una carga (c).


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La deformación porcizallamiento en un elementoestá dado por el cambio en losángulos formados por loslados del elemento.


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Notemos que las líneas queforman los dos círculospermanecen sin cambiar; porlo que la deformación porcizallamiento debe ser igual alángulo entre las líneas AB yA′B.


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Veamos las fig. c; podemosdefinir el arco AA′ = Lγ yobservando la cara de laflecha, tenemos: AA′ = ρφ;por lo que igualando estasecuaciones, obtenemos:

Lγ = ρφ (5)

γ =ρφ

L(6)

γ y θ medidos en radianes, ρy L en unidades de longitud.

Conclusión

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las deformaciones por cizallamiento en una flecha circular cambialinealmente con la distancia del eje de la flecha.En forma general, definimos:

γmáx =cφ

L(7)

y, obtenemos,

γ =ρ

cγmáx (8)

La ley de Hooke

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Recordando que la ley de Hooke la expresamos: esfuerzo normal detensión o de compresión y el modulo de tensión de elasticidad del material(alargamiento) de la pieza que se está probando

σ = E ǫ (9)

deformación

El modulo de Elasticidad (E) (modulo de Young) tiene las misma unidades

que el esfuerzo de tensión (o tensión).

Usamos los nuevos símbolos:

τ = Gγ (10)

donde σ → τ , E → G y ǫ → γ.

Esfuerzo de cizallamiento

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Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos:

τ =ρ

cτmáx (11)

y concluimos que el esfuerzo de cizallamiento en una flecha varialinealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha.Introduciendo la ecuación (11) en (4), obtenemos:

T =τmáxc

∫

ρ2dA (12)

donde Es el momento de Inercia: J .

Ecuaciones de torsión elásticas

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Haciendo un poco de álgebra, podemos obtener:

τmáx =T c

J(13)

y

τ =T ρ

J(14)

las ecuaciones (13) y (14) son conocidas como: ecuaciones detorsión elástica.

Ejercicios

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1. En el Sistema Internacional (SI) y de EE.UU. ¿Cuáles son lasunidades de T, J y τ?

2. Calcule el momento de inercia de un círculo de radio ρ.3. Calcule el momento de inercia de una flecha cuya sección

transversal tiene un hoyo, el radio interno es c1 y el externo esc2.

4. Solucione y explíque el ejemplo 3.01 de la página 150.5. Solucione y explíque el problema ejemplo 3.1 de la página 152.6. Ejercicio para casa: Solucione y explíque el problema ejemplo

3.2 de la página 153. Lo revisaremos en la siguiente clase.

Ejercicio en Clase

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Considere un sistema como el que se muestra en la siguiente figura:Considerando que el esfuerzode cizallamiento permisible esde(τ ) 8 500 psi, la magnituddel torque en el punto C (TC)es 5 kip · in; (kip = klb) y ade-más el ensamble está en equi-librio. Determinar el diámetrode la flecha a) BC y b) EF .

Solución

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Usando la Fig. P325, que muestra un sistema con dos ejes y dosengranes que forman un engranaje. Objetivos: Calcular losdiámetros de las dos flechas que funcionan como ejes de losengranes.Conocemos: τ = 8 500 psi = 8,5 ksi; TC = 5 kip · in; y que elsistema está en equilibrio

∑

i Fi = 0.Análisis: Los ejes tienen sección transversal circular y ya

conocemos su momento de inercia: J = π c4

2.

Resultados

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a) Resultados:

τmáx =T c

J

τmáx =T cπ c4

2

τmáx =2T

π c3

despejando,

c = 3

√

2T

πτmáx

entonces,

dBC = 2c = 2 3

√

2T

πτmáx

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b)

FA − FD = 0

TC

cA=

TF

cDcDcA

TC = TF

Obtenemos TF y lo introducimos en:

dEF = 2 3

√

2TF

πτmáx

Ángulo de Torsión

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El ángulo de torsión φ es pro-porcional al torque aplicado enla flecha.La flecha debe ser homogénea;es decir, G debe ser constante,sección transversal uniforme y lacarga debe ser colocada en suextremo.

Esta figura muestra el ángu-lo de giro φ. Podemos haceruso de la ley de Hooke y de laecuación que describe las de-formaciones por cizallamiento(7); esto es:

γmáx =c φ

L

y

γmáx =τmáxG

=T c

J G;

combinándolas obtenemos:

φ =T L

J G(15)

Flecha con sección transversal circular variable

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Considerando la figurapodemos expresar la ecuaciónpara el ángulo de torsión:

φ =

∫ L

0

T dx

J G(16)

Ángulo relativo de Torsión

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Cada flecha tiene un módulo derigidez G. Aplicando un torqueT se aplica en E; las dos flechasgiran. Nótese que en D, la flechaAD está fija; el ángulo AD se midepor el ángulo de Torsión φA en elfin de A.

Por otro lado, veamos que am-bos extremos de la flecha BErotan; el ángulo de torsión BEis igual a la diferencia entre losángulo de torsión φB y φE ; esdecir, el ángulo de giro es iguala el ángulo por el cual el extre-mo E rota con respecto al ex-tremo B. Llamemos a este án-gulo relativo de torsión de la si-guiente forma:

φE/B = φE − φB =T L

J G

Realizar el problema muestra 3., pág.165.

¡Importante!

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Es importante señalar que lo que hemos trabajado permanece en ellímite elástico: “Un material se dice se comporta elásticamente, silas deformaciones causadas en un material de prueba por laaplicación de una carga dada, desaparecen cuando la carga seremueve.”

Fenómenos por flexión

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En las secciones anteriores estudiamos fenómenos para determi-nar presiones de miembros sometidos a cargas axiales o de giro.

. . . Ahora estudiaremos fe-nómenos relacionados conflexión.

Algunos conceptos

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Flexión Pura: Un miembro se dice que está en flexión pura si sesomete a acoplamientos iguales y opuestos M y M ′ actuandoen el mismo plano.

Plano longitudinal: Es aquel plano que divide un miembrosimétricamente (esta definición se toma para este curso y loaclararemos posteriormente).

Cargas axiales excéntricas: Son aquellas cargas que se aplicanfuera del eje de axial.

Cargas transversales: Son aquellas cargas que se aplicanperpendicular al aje axial.

Representación Pictórica y Vectorial

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Este es un ejemplo típico deuna flexión pura.

Las reacciones en las manosdel deportista deben seriguales y opuestas a lascargas.

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Considerando la distancia entre CD de la figura anterior; podemosreemplazar las cargas y las reacciones por dos iguales y opuestasde 960 lb · in .

Cargas axiales excéntricas

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Cargas Transversales

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Esta figura se conoce comocantilever (miembros sujetos acargas transversales).Observando el diagrama decuerpo libre de la fig. 4.4b;obtenemos, el momento

flexionante M = Px.También podemos ver lafuerza opuesta P ′.

Deformaciones por Flexión

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La línea que formaba el meimbro AB, ahora tiene una curva cuyocírculo tiene centro en C

Análisis

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Algunas ecuaciones. . .

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La longitud (L) del miembro no deformado es. L = ρθ y delmiembro deformado es: L′ = (ρ− y)θ y la deformación es:δ = L′

− L; combinando las ecuaciones anteriores, obtenemos:δ = −yθLa deformación longitudinal de JK (ver figura anterior) se definecomo: ǫx = δ

L = −y θρ θ , o

ǫx = −

y

ρ.

Relacionaremos el signo menos con la curva concava.

Conclusión

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La deformación normal longitudinal ǫx varia linealmente con la dis-tancia y de la superficie neutra; es decir la superficie donde ǫx y σxson nulos.La superficie neutra intersecta el plano de simetría a lo largo de unarco de círculo DE (ver figura) y la sección transversal a lo largo deuna línea recta llamada, eje neutro.El valor máximo que puede tomar la deformación ǫ es:ǫm = c

ρy obtenemos,ǫx = −

yc ǫm.

Esfuerzo normal

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El esfuerzo normal está dado por: σ = −M yI

donde I es el momento de inercia y S es el módulo de la secciónelástica y está dada por: S = I

c ; por lo que obtenemo: σm = MS

Retomando la ley dev Hooke, σx = Eǫx y usando la ecuación ante-rior para la deformación, obtenemos: σx = −

ycσm y σm denota el

valor absoluto máximo de tensión.

Ejemplo

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Considere una viga de madera con una sección transversalrectangular de lados (ancho) b y (altura) h. Obtenga el módulo desección elástica S. Considere que c = h/2.Observe el resultado note la dependencia con h.

Otra Conclusión (resultado)

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La deformación del miembro causado por el momento flexionante semide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se definecomo el recíproco del radio de curvatura ρ y puede ser obtenido:

1

ρ=

ǫmc,

y en el rango elástico, tenemos: ǫm = σm/E; y haciendo álgebra,obtenemos,

1

ρ=

M

E I

Fin. . .

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Continuará. . .

Éxitos.

Referencias

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• Conceptos


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[1] Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, John T. DeWolf, and David Mazurek. Mechanics of materials. Mc Graw Hill, 6th.edition, 2012.

[2] Robert L. Mott. Resistencia de Materiales. Prentice Hall, 5ta edition, 2009.

[3] William A. Nash. Resistencia de Materiales. Mc Graw Hill, 1991.

[4] Sitio web, 2015. https://curiosoando.com/que-es-una-fuerza-axial.

[5] Sitio web, 2015. http://www.parro.com.ar/definicion-de-fuerza+axial.

https://curiosoando.com/que-es-una-fuerza-axial

http://www.parro.com.ar/definicion-de-fuerza+axial

Introducción a la Mecánica (Parte II)

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