Capitulo 1.Introducción

Fundamentos de Mecánica de Fluidos

Introducción

1. Orígenes de la Mecánica de Fluidos. 2. Introducción a la Mecánica de Fluidos 3. Revisión de álgebra vectorial

3.1. Escalares, vectores y tensores1.3.2. Operadores gradiente y

divergencia

Introducción

La Mecánica de Fluidos es la ciencia que estudia la cinemática y dinámica de los fluidos ante la acción de fuerzas aplicadas.

Es una rama de la mecánica y tiene a su vez varias subdivisiones (Dinámica de gases, hidráulica, hidrostática, aerodinámica, etc)

El formulismo matemático se basa en ecuaciones no lineales (turbulencia).

Dimensiones, unidades y cantidades físicas.

Hay 9 cantidades fundamentales: longitud, masa, tiempo, temperatura, cantidad de sustancia, corriente eléctrica, intensidad luminosa, ángulo plano y ángulo sólido.

Líquidos y gases

Esfuerzo: Fuerza dividida entre el área.

Esfuerzo normal: Componente normal de la fuerza dividida entre el área.

Esfuerzo cortante: Componente tangencial de la fuerza dividida entre el área.

A

Ft

A

0

lim

Líquidos y gases

Un fluido es una sustancia que reacciona deformándose de forma instantánea, ante un esfuerzo de corte por mínimo que sea. En general los líquidos y los gases cumplen esta propiedad

Los fluidos que consideraremos aquí están continuamente distribuidos sobre la región de interés

Las moléculas están suficientemente cerca unas de las otras.

El camino libre medio es pequeño en comparación con las dimensiones del sistema.

V

mV

0

lim

Con la asunción de continuidad las variables de un sistema se puede considerar como una función.

tzyx ,,,

Si un fluido es un continuo, la densidad puede ser definida como:

2225.0

d

m

Presión y temperatura

Presión: Es el resultado de una fuerza de compresión normal que actúa sobre un área.

PaA

FP n

A

0

lim

manatmabs PPP

Temperatura

La temperatura es una propiedad de un objeto que está relacionada con el hecho de que el objeto esté o no en equilibrio térmico con otro objeto con el cuál está en contacto.Las escalas mas usadas son la Celsius y la Kelvin. 15.273 KC TT

Propiedades de Fluido

Densidad: masa por unidad de volumen.

Peso específico: peso por unidad de volumen.

Gravedad específica: densidad (o peso especifico) con respecto a la del agua.

g

aguaagua

S

Viscosidad

dy

du

Tensión superficial

rP

rrP

2

22

rP

rrP

4

42

Dh

hD

gD

cos44

cos2

Revisión de algebra vectorial

Una particularidad de Mecánica de Fluidos es la necesidad de trabajar con álgebra vectorial. Los conceptos de flujo, gradiente de un escalar, divergencia de un vector y los productos escalares y vectoriales son de uso frecuente.

Cabe también aclarar y enfatizar que todo lo presentado aquí corresponde a álgebra vectorial Cartesiana que tiene una notación muy conveniente denominada indicial, la cual facilita enormemente la manipulación de expresiones matemáticas. Por ese motivo en esta revisión se introduce también dicha notación de forma muy breve y sucinta.

Campos Escalares y Vectoriales

Campo: Función matemática de espacio y tiempo

Campo escalar

Campo Vectorial

tzyxfzyxr ,,,,, tzyxFzyxr ,,,,,

Vectores y escalares

Para representar una cantidad escalar se usará cualquier letra mayúscula o minúscula

A, T, f, c

vrFA

, , ,

También se suele usar una letra en negrilla

A, F, r, v

Gráficamente por medio de flechas o saetas Ar

Para representar una cantidad vectorial se puede usar una letra con una flecha en la parte superior

Suma de Vectores

A

B CBA

A

B

C

CBA

BA

CB

Se define

donde tiene la misma magnitud que ,

y la misma dirección, pero sentido inverso.

a b a b

b b

a

b

a b

Diferencia de vectores

A

AA

A

3

Al multiplicar un vector por un escalar se obtiene un vector paralelo al vector inicial, y con una magnitud igual al producto del escalar con la magnitud del vector inicial

Si el escalar es menor que cero la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector inicial.

A

2

Si el escalar esta entre -1 y 1, el vector tendrá una magnitud menor que el inicial.

A

2

1

Magnitud de un vector

La magnitud o norma de un vector es su longitud, su tamaño.

Se representa escribiendo el vector entre dos barras o simplemente sin la flecha en la parte superior de la letra.

A

A

Vector unitario y vector nulo

El vector unitario es aquel cuya magnitud o norma es igual a 1. Se representa mediante un acento circunflejo o “gorro” sobre la letra.

1ˆ a

El vector nulo es aquel cuya magnitud o norma es igual a cero. Se representa como un cero con flecha, o simplemente con el escalar 0.

Si llamamos al ángulo que hacen los vectores

y ,

se define el producto escalar (interno ó punto)

como

cos cos

a b

a b a b ab

a

b

Producto escalar, producto punto o producto externo

cosbaba

Lo podemos ver como

cos cos

Es la proyección de uno de los dos en el otro,

por la magnitud de ese otro

a b a b b a

a

b

a

cos cosp

p aa

p

abbaba

coscos

. dedirección laen de

proyección la es cos entonces 1,a Si 1)

ab

θbba

2 tienesey 1cos0 entonces ,a Si 2) aaaθb

abba oconmutativ esescalar producto El 3)

cabacba

suma la a respectocon vodistributi esescalar producto El 4)

ba

baba

alar perpendicu es

0 o 0 0 Si 5)

1) sina b a b

2) Su dirección es perpendicular al plano formado

por los vectores y a b

3) El sentido del vector está definido por el avance

de un tornillo que va de a (por la regla de la

mano derecha)

a b

Producto vectorial, producto cruz o producto interno

:así cruz o vectorialproducto el define se

,y vecoresloshacen que ángulo al llamalos Si ba

sinbaba

a b

a b

sinbaba

a b

a b

sin es el área

de este paralelogramo

a b a b sinbaba

1) El producto vectorial NO ES CONMUTATIVO:

2) El producto vectorial es distributivo respecto

a la suma

3) Para todo vector 0

a b c a b a c

a a

a b b a

Si el producto vectorial de dos vectores

sin

es cero, entonces

1) Al menos uno de los dos es cero

ó

2) Los vectores son paralelos

es de

Si dos vectores son paralelos, entonce

cir, 0 0 ó 18

s su

0

a b a b

producto vectorial es cero

sinbaba

Producto triple escalar

zyx

zyx

zyx

CCC

BBB

AAA

CBA

A

C

B

CB

Producto triple vectorial

BACCABCBA

Por una parte, B × C es perpendicular al plano formado por los vectores B y C, y, ya que W = A×(B×C) es perpendicular a B×C , entonces W pertenece al plano formado por B y C.

Sistema de Coordenadas

Vectores Base Unitarios

222

222

222

Esféricasˆˆˆ

sCilíndricaˆˆˆ

resRectangulaˆˆˆ

AAAA

AAAA

AAAA

AArAA

zAArAA

zAyAxAA

r

zr

zyx

r

zr

zyx

Coordenadas cartesianas

Denotaremos como

ˆˆ ˆ, ,

los vectores unitarios a lo largo de los ejes

, ,

Así un punto estará representado por el

vector

ˆˆ ˆ

i j k

X Y Z

P

r xi yj zk

Coordenadas cartesianas

X

Y

Z

i

j

k

x

y

z

, ,P x y z

ˆˆ ˆr xi yj zk

r

Coordenadas cartesianas

ˆ ˆLos vectores 0

ˆˆbase cartesianos 0

ˆ ˆson ortogonales entre si 0

ˆ ˆLos vectores 1

base

i j

j k

k i

i i

ˆ ˆ cartesianos 1

ˆ ˆson unitarios 1

j j

k k

Coordenadas cartesianas

Los vectores base cartesianos constituyen,

además, una base "der

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

h ":

ˆ

ec a

i k

k

k i

j i

j

j

X

Y

Z

i

j

k

Coordenadas cartesianas

1 2 3 1 2 3ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y a a i a j a k b b i b j b k

1 1 2 2 3 3ˆˆ ˆ1) a b a b i a b j a b k

1 1 2 2 3 32) a b a b a b a b

2 2 21 2 33) a a a a

Representación de vectores por componentes

23

22

21 aaaa

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆSi y

4)

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

a a i a j a k b b i b j b k

i j k

a b a a a

b b b

a b a b i a b a b j a b a b k

Representación de vectores por componentes

1 2

Sea :

un campo escalar diferenciable,

el

:

definido como

,

c

gradiente de

ampo vectorial

,...,

se llama

n

n n

n

D R R

R R

x x x xx x x

Gradiente de una función escalar

Sea : un campo escalar diferenciable.

En todos los puntos en los cuales 0,

el vector apunta en la dirección de mayor

crecimiento de .

El número es la razón máxima de

crecimiento.

nD R R

x

x

x

Gradiente de una función escalar

• El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores.

• El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar

Gradiente de una función escalar

1

campo escalar

S

divergencia de

ea :

un campo vectorial diferenciable,

el

:

definido como

se llama

n n

n

ni

i i

F D R R

F R R

F

FF

x

Divergencia de un campo vectorial

z

F

y

F

x

FF zyx

3 3

2 2

2 2

Sea : un campo vectorial diferenciable,

definido como

, , , ,2

2 2

, , 2

F D R R

F x y z xz y x y

F xz y x y z yx y z

F x y z z y

Divergencia de un campo vectorial

Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial indica cuales son las fuentes o sumideros de las líneas del campo vectorial.

En aquellos puntos donde la divergencia sea diferente de cero, se tiene una fuente o sumidero de campo.

3 3

3 3

Sea : un campo vectorial diferenciable,

el

:

definido como

ro

c

ˆˆ ˆ

se

ampo vecto

llama tacional de

ial

r

x y z

F D R R

F R R

i j k

Fx y z

F F F

F

OJO: En inglés se llama“CURL”Equivale a “chinitos”, “rulitos”

Rotacional de un campo vectorial

3 3

2 2

2

2 2

Sea : un campo vectorial diferenciable,

definido como

, , , ,2

ˆˆ ˆ

2 , 4 ,0

2

F D R R

F x y z xz y x y

i j k

F x x xyx y z

xz y x y

Rotacional de un campo vectorial

3 3

ˆˆ ˆ

:

El rotacional de un campo vectorial nos dice

"que tantas vueltas" dan las líneas de campo.

Si el rotacional es cero, entonces la líneas de

campo no pueden "cerrarse"

x y z

i j k

F D R R Fx y z

F F F

Rotacional de un campo vectorial

Teorema de la Divergencia

3 3Sea : un campo vectorial.

Para todo volumen tenemos

siendo la superficie que rodea

el volumen

V S V

F D R R

V

F dV F dS

S V

V

VSV

SdFdVF

Teorema de Stokes

3 3:

C S C

F D R R

F dl F dS

CSC

SdFldF