Introducci´on a la Teor´ıa Algebr´aica de Num´ erosdemetrio/Apuntes/De Alumnos/8... · Veremos...

Introduccion a la Teorıa Algebraicade Numeros

M. Guadalupe Garcıa, Adriana Giacobbi y Noelia B. Rıos

17 de Septiembre de 2008

1

INDICE

Indice

1. Introduccion 4

2. Preliminares 52.1. Anillos e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Cuerpos y Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4. Teorıa de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Extensiones integrales 143.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Clausura Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Extensiones cuadraticas de los racionales 204.1. Enteros algebraicos de Q(

√d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2. Cuerpos ciclotomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5. Normas y Trazas 265.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2. El sistema basico para la Teorıa Algebraica de Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6. El Discriminante 346.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.2. Base dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. Modulos y Anillos Noetherianos y Artinianos 427.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2. Teorema de Jordan-Holder para modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. Ideales Fraccionales 518.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2. Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9. Factorizacion unica de Ideales en un Dominio de Dedekind 569.1. Definiciones y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Trabajo Final de Estructuras Algebraicas Hoja 2 de 79

INDICE

10.Aritmetica en Dominios de Dedekind 6010.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2. El Grupo de Clases de Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.3. Dominios de Dedekind y Teorıa de Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11.Numeros p-adicos 6411.1. Enteros p-adicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.2. Valor absoluto no arquimediano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6511.3. Numeros p-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

A. Apendice 76A.1. Teorema de Jordan-Holder para grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 79

1 INTRODUCCION

1. Introduccion

La teorıa general de anillos conmutativos es conocida como algebra conmutativa. Una de lasprincipales aplicaciones de esta disciplina es la teorıa de numeros, la cual sera introducida en estetrabajo.

Tecnicas de algebra abstracta han sido aplicadas a problemas de teorıa de numeros por unlargo tiempo, con el afan de probar el Ultimo Teorema de Fermat. Como un ejemplo introductorio,vamos a considerar un problema para el cual un acercamiento algebraico funciona muy bien. Si pes un primo impar y p ≡ 1 mod 4, vamos a probar que p es suma de dos cuadrados, es decir p sepuede expresar como x2 + y2, donde x e y son enteros. Como p−1

2 es par, se tiene que −1 es unresiduo cuadratico (es decir, un cuadrado) mod p. (Formar pares de los numeros 2, 3, 4, . . . , p − 2con su inverso mod p y el par 1 con p− 1 ≡ −1 mod p. El producto desde 1 hasta p− 1 es, mod p,

1× 2× . . .× p− 12×−1×−2× . . .×−p− 1

2

y por lo tanto[(p−1

2 )!]2≡ −1 mod p.)

Si −1 ≡ x2 mod p entonces p divide a x2 + 1. Ahora, podemos considerar el anillo de enterosGaussianos Z[i] y factorizar x2 + 1 como (x+ i)(x− i). Como p no puede dividir a ninguno de losfactores, p no es primo en Z[i] entonces podemos escribir p = αβ donde ni α ni β son unidades.

Definimos la norma de γ = a+ bi como N(γ) = a2 + b2. Entonces, N(γ) = 1 si y solo si γ ± 1o ±i, o sea si γ es una unidad. Luego,

p2 = N(p) = N(α)N(β)

con N(α) > 1 y N(β) > 1, por lo tanto N(α) = N(β) = p. Si α = x+ iy, entonces p = x2 + y2.Recıprocamente, si p es un primo impar y p = x2 + y2, entonces p es congruente con 1 mod 4.

(Si x es par, entonces x ≡ 0 mod 4, y si x es impar, entonces x2 ≡ 1 mod 4. Observemos que x e yno pueden ser ambos pares o impares ya que p es impar.)

Es natural conjeturar que podemos identificar aquellos primos que pueden ser representadoscomo x2 + |d| y2, donde d es un entero negativo, trabajando en el anillo Z[

√d]. Pero lo enteros

Gaussianos forman un dominio ıntegro, en particular un dominio de factorizacion unica. Por otraparte, la factorizacion unica falla para d ≤ 3 y el argumento previo colapsa. Dificultades de estetipo llevaron a Kummer a inventar ”ideales numericos”, los cuales mas adelante se convertiran enideales de la mano de Dedekind. Veremos que aunque un anillo de enteros algebraicos no necesitaser un DFU, la unicidad en la factorizacion de ideales siempre valdra.


2. Preliminares

2.1. Anillos e Ideales

Definicion 2.1.1. Un anillo R es un grupo abeliano con una operacion multiplicacion (a, b) 7→ ab,para todo a, b, c ∈ R, que satisface:

1. (ab)c = a(bc).

2. a(b+ c) = ab+ ac.

3. (a+ b)c = ac+ bc.

Asumiremos siempre que R tiene un elemento neutro para la suma, que denotaremos por 0R,y en algunos casos, una identidad multiplicativa 1R que es unica y que para todo a en el anilloverifica:

4. a1R = 1Ra = a.

Si a, b ∈ R son tales que ab = 0 pero ninguno de ellos es 0, diremos que R tiene divisores decero. Llamaremos unidad a los elementos de R que tengan inverso multiplicativo en el anillo y Rsera un anillo conmutativo si para todo a, b ∈ R se tiene ab = ba.

Definicion 2.1.2. Diremos que el anillo R es un dominio ıntegro, si es conmutativo y no tienedivisores de cero.

Definicion 2.1.3. El anillo R es un anillo de division, si todo elemento distinto de 0 es unaunidad. Si ademas R es conmutativo, diremos que R es cuerpo.

Definicion 2.1.4. Sea R un anillo. Si existe al menos un entero positivo n tal que na = 0 paratodo a en R, entonces se dice que R tiene caracterıstica n. Si no existe tal n, se dice que R tienecaracterıstica cero. Notar que la caracterıstica nunca es 1, ya que 1R 6= 0.

Definicion 2.1.5. Un subanillo S del anillo R es un subconjunto de el, que es cerrado por lasoperaciones de aditividad y multiplicacion heredadas de R.

Definicion 2.1.6. Sea I un subconjunto de R. Consideremos las siguientes propiedades:

1. I es un subgrupo aditivo de R.

2. Si a ∈ I y r ∈ R, entonces ra ∈ I.

3. Si a ∈ I y r ∈ R, entonces ar ∈ I.

Si I verifica 1) y 2), diremos que I es un ideal a izquierda, analogamente, si verifica 1) y 3)diremos que es un ideal a derecha. En el caso que se verifiquen las 3 propiedades, llamaremos aI simplemente ideal.


2 PRELIMINARES

2.1.7. Teorema de correspondenciaSea I un ideal del anillo R. La aplicacion S −→ S/I genera una correspondencia biunıvoca

entre el conjunto de todos los subanillos de R que contienen a I, y el de todos los subanillos deR/I. De la misma manera, tambien hay una correspondencia biunıvoca entre el conjunto de todosideales de R que contienen a I, y el conjunto de todos los ideales del cociente. La inversa de laaplicacion es Q −→ π−1(Q), donde π es la aplicacion canonica R −→ R/I.

2.1.8. Definiciones y comentarios1. a y b son numeros enteros congruentes modulo n si y solo si n|(b− a). De este modo, (a− b)

es un elemento del ideal In que consiste de todos los multiplos de n en el anillo Z. Esto nos permitedefinir la congruencia modulo In de la siguiente manera: a es congruente con b modulo In si ysolo si (a− b) ∈ In. En general, si a y b son elementos de un anillo R e I es un ideal de R, diremosque a ≡ b mod I si y solo si (a− b) ∈ I.

2. Los enteros a y b son coprimos (o primos relativos), si 1 puede ser expresado como combinacionlineal de ellos. Equivalentemente se tiene que (a) + (b) = (1) = Z. En general, diremos que dosideales I y J del anillo R son coprimos si I + J = R.

Definicion 2.1.9. Un ideal propio P en un anillo R se dice primo si para todos a, b ∈ R,

ab ∈ P ⇒ a ∈ P o b ∈ P.

Definicion 2.1.10. Un ideal M en un anillo R se dice maximal si M 6= R y para todo ideal Ntal que M ⊂ N ⊂ R entonces N = M o N = R.

Proposicion 2.1.11. Sea f : R → S es un homeomorfismo de anillos. Si J es un ideal primo deS, entonces f−1(J) es un ideal primo de R.

Teorema 2.1.12. Si f : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces el nucleo de f es unideal de R. Recıprocamente, si I es un ideal de R, entonces la aplicacion π : R → R/I dada porr 7→ r+ I es un epimorfismo de anillos cuyo nucleo es I. (La aplicacion π se denomina epimorfismocanonico o proyeccion).

Teorema 2.1.13. En un anillo conmutativo R con identidad, un ideal P es primo si y solo si elanillo cociente R/P es un dominio ıntegro.

Teorema 2.1.14. Si R es un anillo conmutativo tal que R2 = R (en particular si R tiene unaidentidad), entonces todo ideal maximal en R es primo.

Teorema 2.1.15. Sea M un ideal de un anillo R con identidad.

1. Si M es maximal y R es conmutativo, entonces el anillo cociente R/M es cuerpo.

2. Si el anillo cociente R/M es un anillo de division, entonces M es maximal.

Demostracion. 1. Si M es maximal entonces, por teorema 2.1.14, M es primo, luego R/M es undominio ıntegro por 2.1.13. Por lo tanto, basta ver que si a+M 6= M , entonces a+M tiene inversomultiplicativo en R/M . Ahora, a + M 6= M implica que a /∈ M , entonces M esta contenido en


2.1 Anillos e Ideales

el ideal M + (a). Como M es maximal, debe ser M + (a) = R. Luego, por ser R conmutativo,1R = m+ ra, para algun m ∈M y r ∈ R. Por lo tanto, 1R − ra = m ∈M , luego,

1R +M = ra+M = (r +M)(a+M).

Entonces, r +M es un inverso multiplicativo de a+M . Luego, R/M es cuerpo.

2. Si R/M es un anillo de division, entonces 1R + M 6= 0 + M , por lo tanto 0 /∈ M y R 6= M .Si N es un ideal tal que M ⊂ N , sea a ∈ N −M . Luego, a+M tiene un inverso multiplicativo enR/M , es decir (a+M)(b+M) = 1R +M . En consecuencia, ab+M = 1R +M y ab− 1R = c ∈M .Pero a ∈ N y M ⊂ N , lo que implica que 1R ∈ N . Por lo tanto, N = R. Luego, M es maximal.

�

Corolario 2.1.16. Las siguientes condiciones sobre un anillo conmutativo R con identidad sonequivalentes:

1. R es un cuerpo.

2. R no tiene ideales propios.

3. 0 es un ideal maximal de R.

4. Todo homomorfismo no nulo de anillos R→ S es un monomorfismo.

2.1.17. Factorizacion unicaDiremos que los elementos a y b de R son asociados si a = bu, para u una unidad de R.Un elemento no nulo a ∈ R, que no es una unidad, es denominado irreducible si no puede ser

representado como producto de elementos de R que no son unidades, y primo si cuando divide unproducto, debe dividir al menos uno de sus factores. Esto es, a|bc entonces a|b o a|c.

Se sigue de la definicion, que si p es un elemento no nulo del anillo, entonces p es primo si ysolo si, (p) es un ideal primo.

Si el anillo en cuestion es Z, entonces tenemos que las unicas unidades son 1 y −1. Ademaslos elementos primos coinciden con los irreducibles. Esta propiedad en general no es cierta en undominio ıntegro arbitrario.

Proposicion 2.1.18. Si a es primo, entonces es irreducible. Pero la recıproca en general es falsa.

Definicion 2.1.19. Un dominio de factorizacion unica (DFU) es un dominio ıntegro R quesatisface:

1. Todo elemento no nulo a ∈ R puede ser expresado como a = up1 . . . pn, donde u es unaunidad y pi es irreducible para todo i.

2. Si a tiene otra factorizacion, digamos a = vq1 . . . qm, entonces m = n y cada pi es asociado aqi para todo i. (Despues de reordenar los terminos en caso que sea necesario).

Teorema 2.1.20. R es un DFU si y solo si R satisface la condicion de cadena ascendente (cca)(es decir, si a1, a2, . . . pertenecen a R y (a1) ⊆ (a2) ⊆ . . ., entonces para algun n tenemos que(an) = (an+1) = . . .) y todo elemento irreducible de R es primo.


2 PRELIMINARES

Definicion 2.1.21. Un dominio ıntegro en el que todo ideal es principal, o sea esta generado porun solo elemento, es denominado dominio de ideales principales (DIP).

Teorema 2.1.22. Si R es DIP entonces es DFU.

Demostracion. Consideremos (a1) ⊆ (a2) ⊆ . . . y sea I =⋃i (ai). Entonces I es un ideal, necesaria-

mente principal por hipotesis. Si I = (b), se tiene que b pertenece a algun (an), entonces I ⊆ (an).Por lo tanto, si i ≥ n tenemos que (ai) ⊆ I ⊆ (an) ⊆ (ai). Luego, (ai) = (an), para todo i ≥ n. Deeste modo, R satisface la cca sobre ideales principales.

Ahora, supongamos que a es irreducible. Entonces (a) es un ideal propio, pues si (a) = R,1 ∈ (a) y por lo tanto, a es una unidad. Por la cca sobre ideales principales, (a) esta contenidoen un ideal maximal I. Si I = (b), tenemos que b divide al elemento irreducible a, y b no es unaunidad ya que I es propio. Por lo tanto, a y b son asociados, lo cual implica que (a) = (b) = I.Pero I, ideal maximal, es primo, entonces a es primo. Luego, por 2.1.20 R es DFU. �

Teorema 2.1.23. R es DIP si y solo si R es DFU y todo ideal primo de R (no nulo) es maximal.

Demostracion.

⇒) Por 2.1.22, sabemos que DIP implica DFU. Sea (p) un ideal primo no nulo de R. Luego, existeun ideal maximal (q) tal que (p) ⊆ (q), de este modo q|p. Como (q) es maximal q 6= 1R, entonces py q son asociados. Por lo tanto (p) = (q) es maximal.

⇐) Es suficiente con mostrar que todo ideal primo P es principal. Sea P un ideal primo no nuloy a ∈ P no nulo. Como R es DFU, a = pm1

1 . . . pmrr donde p1, p2, . . . son irreducibles de R. Como

a ∈ P y P es primo, se sigue que pj ∈ P, para algun j. Luego, (pj) ⊆ P. Pero en un dominio defactorizacion unica, todo elemento irreducible genera un ideal maximal, por lo tanto (pj) = P. �

2.2. Modulos

Definicion 2.2.1. Sea R un anillo. Un R-modulo es un grupo abeliano aditivo A junto con unafuncion de R×A→ A tal que para todo r, s ∈ R y a, b ∈ A:

1. r(a+ b) = ra+ rb.

2. (r + s)a = ra+ sa.

3. r(sa) = (rs)a.

Si R tiene identidad y

4. 1Ra = a, para todo a ∈ A,

entonces A se dice R-modulo unitario. Si R es un anillo de division, entonces un R-modulounitario es llamado espacio vectorial.

Definicion 2.2.2. Si B es un modulo sobre un anillo conmutativo con unidad R, se llama anuladorde B sobre R al ideal I ⊆ R dado por I = {r ∈ R/rb = 0, ∀b ∈ B}. Un modulo se dice fiel si suanulador es el 0.


2.3 Cuerpos y Extensiones

2.2.3. Primer Teorema del IsomorfismoSi f : M −→M ′ es un morfismo de modulos, entonces:

M

Ker(f)∼= Im(f).

2.2.4. Segundo Teorema del IsomorfismoSean S y T submodulos de M , y sea S + T = {x+ y : x ∈ S, y ∈ T}. Luego S + T y S ∩ T son

submodulos de M yS + T

T∼=

S

S ∩ T.

2.2.5. Tercer Teorema del IsomorfismoSi N ≤ L ≤M , entonces:

M

L∼=M/N

L/N.

Observacion 2.2.6. Los teoremas del isomorfismo son analogos para el caso de anillos cambiandomorfismo de modulos por morfismo de anillos y submodulos por ideales. 4

Observacion 2.2.7. Si N es un modulo arbitrario, podemos expresarlo como la imagen por unhomomorfismo, de un modulo libre. Notar que por 2.2.3, todo modulo es un cociente de un modulolibre. 4

2.2.8. Teorema de correspondenciaSea N un submodulo del R-modulo M . La aplicacion S −→ S/N genera una correspondencia

biunıvoca entre el conjunto de todos los submodulos de M que contienen a N , y el de todos lossubmodulos de M/N . La inversa de la aplicacion es T −→ π−1(T ), donde π es la aplicacion canonicaM −→M/N .

2.3. Cuerpos y Extensiones

Definicion 2.3.1. Sea R un dominio ıntegro, definimos como cuerpo cociente de R, (o cuerpode fracciones de R), al cuerpo

K ={ab

: a, b ∈ R, b 6= 0}.

Observacion 2.3.2. El cuerpo cociente K de un dominio ıntegro R es el menor cuerpo que contienea R.

2.3.3. Definiciones y comentarios En 2.1.17 definimos a un elemento irreducible de un anillo.Si R es un dominio ıntegro, nos referiremos a un elemento irreducible de R[X] como un polinomioirreducible. Si R es un cuerpo, las unidades de R[X] son simplemente los elementos no nulos de R.En este caso un elemento irreducible es un polinomio que tiene al menos grado 1 y que no puede serfactorizado como producto de dos polinomios de grado menor. Un polinomio que no es irreduciblese denomina reducible o factoreable. Salvo que quede claro, siempre diremos sobre que dominioel polinomio en cuestion es o no irreducible. Por ejemplo, el polinomio X2 + 1 es irreducible sobreR[X], sin embargo es reducible sobre C[X]. Diremos ademas, que un polinomio es primitivo, sisus coeficientes son coprimos.

Lema 2.3.4. Sea g ∈ Z[X] monico. Si g = fh, con f, h ∈ Q[X] y f monico, entonces f ∈ Z[X].


2 PRELIMINARES

Teorema 2.3.5. Si R es un DFU entonces R[X] tambien lo es.

Definicion 2.3.6. Si E y F son cuerpos tales que F ⊆ E, diremos que E es una extension de F ,y la denotaremos por E/F .

Si E/F es una extension de F , en particular E es un grupo abeliano con la adicion, y esta per-mitido multiplicar al ”vector” x ∈ E por el ”escalar” λ ∈ F y ası tenemos una estructura deE como F -espacio vectorial. A la dimension de este espacio vectorial la llamaremos grado de laextension, y la denotaremos por [E : F ]. Si [E : F ] = n < ∞, diremos que la extension E/F esfinita.

Definicion 2.3.7. Si E/F es una extension, el elemento α ∈ E se dice algebraico sobre F si esla raız de algun polinomio no constante, con coeficientes en F . Si α ∈ E no es algebraico sobre Fentonces es trascendente (sobre F ).

Definicion 2.3.8. Una extension E de un cuerpo F es llamada extension algebraica, si todoelemento de E es algebraico sobre F .

Teorema 2.3.9. Sean E,K,F cuerpos tales que E ⊆ K ⊆ F . Luego [E : F ] = [E : K][K : F ]. Enparticular, [E : F ] es finito si y solo si [E : K] y [K : F ] son finitos.

Teorema 2.3.10. Si E es una extension finita de F , entonces es una extension algebraica sobreF .

Definicion 2.3.11. Si E es una extension de un cuerpo F y f ∈ F [X], diremos que f es splitsobre E si f puede ser escrito como

f(X) = λ∏αi∈E

(X − αi) (λ ∈ F ).

Diremos que E es un cuerpo split para f sobre F [X], si f es split sobre E pero no lo es sobreningun subcuerpo propio de E que contenga a F .

Teorema 2.3.12. Si α y β son raıces del polinomio irreducible f ∈ F [X] en una extension E deF , entonces F (α) es isomorfo a F (β) vıa un isomorfismo que lleva α en β y es la identidad sobreF .

Definicion 2.3.13. Un cuerpo F se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio irreducibleen F [X] es lineal.

Definicion 2.3.14. Una extension E de F es una clausura algebraica de F , si E es algebraicosobre F y E es algebraicamente cerrado.

Teorema 2.3.15. Todo cuerpo K tiene una clausura algebraica. Dos clausuras cualesquiera de Kson K-isomorfas.

Corolario 2.3.16. Si K es un cuerpo y S es un conjunto de polinomios de grado positivo en K[X],entonces existe un cuerpo split de S sobre K.

Observacion 2.3.17. Dos cuerpos split cualesquiera de S sobre K, son K-isomorfos. 4


2.4 Teorıa de Galois

Definicion 2.3.18. Un polinomio irreducible f ∈ F [X] es separable si f no tiene raıces repetidasen un cuerpo split. En caso contrario diremos que f es inseparable. Si f es un polinomio arbitrario,no necesariamente irreducible, diremos que es separable si cada uno de sus factores irreducibles esseparable. Si E/F es una extension y α ∈ E, entonces α es separable sobre F si α es algebraicosobre F y el polinomio minimal min(α, F ) es un polinomio separable. Si todo elemento de E esseparable sobre F , diremos que E/F es una extension separable.

Teorema 2.3.19.1. Sobre un cuerpo de caracterıstica 0, todo polinomio es separable.

2. Sobre un cuerpo F de caracterıstica p, donde p es un numero primo, el polinomio irreduciblef es inseparable si y solo si f ′ ≡ 0.

Observacion 2.3.20. Toda extension algebraica de un cuerpo de caracterıstica cero o de un cuerpofinito es separable. 4

Lema 2.3.21. Si F ≤ K ≤ E y E es separable sobre F , entonces K es separable sobre F y E esseparable sobre K.

2.4. Teorıa de Galois

Lema 2.4.1. Sea σ : E −→ E un F -monomorfismo, y asumamos que el polinomio f ∈ F [X] essplit sobre E. Si α es una raız de f en E, entonces σ(α) tambien lo es. Luego σ permuta las raıcesde f .

Demostracion. Sea f =n∑i=0

biXi en F [X], tal que f(α) = 0. Como σ es un F -monomorfismo

σ(bi) = bi, ∀i = 1, . . . , n y σ(αi) = (σ(α))i. Luego

0 = σ

(n∑i=0

biαi

)=

n∑i=0

σ(biα

i)

=n∑i=0

bi(σ (α))i.

�

Teorema 2.4.2. Sea E/F una extension finita y separable de grado n, y sea σ una inclusion de Fen C. Luego σ extiende exactamente n inclusiones de E en C. En otras palabras, hay exactamenten inclusiones τ de E en C tales que la restriccion τ |E de τ , coincide con σ. En particular, si σ = idF ,hay exactamente n monomorfismos de E en C.

Demostracion. Por induccion. Si n = 1, E = F y no hay nada que probar. Asumamos ahora quen > 1 y tomemos α ∈ F −E. Si f es el minimal de α sobre F , podemos considerar g = σ(f). Luego,cualquier factorizacion de g puede ser ‘trasladada’ a una factorizacion de f y de este modo g esirreducible y separable sobre el cuerpo σ(F ). Si β es cualquier raız de g, entonces existe un unicoisomorfismo entre F (α) y (σ(F ))(β), que mapea a α en β y coincide con σ en F . Ahora, si el gradode g es r, tenemos que [F (α) : F ] = gra(f) = gra(g) = r, entonces por 2.3.9 [E : F (α)] = n/r < n.Como g es separable, tiene exactamente r raıces distintas en C, entonces hay exactamente r posibleselecciones de β. Por hipotesis inductiva, en cada caso la inclusion de F (α) en C puede ser extendidaa exactamente n/r inclusiones de E en C. Esto produce n inclusiones distintas de E en C que


2 PRELIMINARES

extienden a σ. Pero si τ es cualquier inclusion de F en C que extiende a σ, entonces τ debe mapeara α a una raız de g como en 2.4.1. Si hubiera mas de n posibles τ , habrıa mas de n/r posiblesextensiones de al menos una de las inclusiones de F (α) en C, lo cual estarıa contradiciendo lahipotesis inductiva. �

Definicion 2.4.3. Una extension algebraica E de un cuerpo F es normal sobre E (o simplementeextension normal) si todo polinomio irreducible en F [X] que tiene una raız en E es split en E[X].

Teorema 2.4.4. Una extension E/F finita es normal si y solo si todo F -monomorfismo de E ensu clausura algebraica C es, en realidad, un F -automorfismo de E.

Observacion 2.4.5. En 2.4.2 y 2.4.4, se puede reemplazar la clausura algebraica por cualquierextension normal fija de F que contenga a E. Ademas la implicacion τ(E) ⊆ E ⇒ τ(E) = E esvalida para cualquier F -monomorfismo τ y para cualquier extension finita E/F sin necesidad queesta sea normal. 4

Teorema 2.4.6. La extension finita E/F es normal si y solo si E es un cuerpo split para algunpolinomio f ∈ F [X].

Corolario 2.4.7. Sea F ≤ K ≤ E, donde E es una extension finita de F . Si E/F es normalentonces E/K tambien lo es.

Definicion 2.4.8. E/F es una extension de Galois si es una extension normal y separable.Podemos decir tambien que E es Galois sobre F .

Se sigue de 2.4.2 y 2.4.4 que si E/F es una extension finita de Galois, hay exactamente [E : F ]F -automorfismos de E. Si E/F es una extension finita y separable pero no es normal, al menos unaF -inclusion de E en una clausura algebraica no es un automorfismo de E. En este caso el numerode F -automorfismos de E es menor que el grado de la extension.

Definicion 2.4.9. Si E/F es una extension arbitraria, el grupo de Galois de la extension,denotado por Gal(E/F ), es el conjunto de F -automorfismos de E. (El conjunto es un grupo con lacomposicion de funciones.)

Definicion 2.4.10. Sea E una extension finita de F , digamos, E = F (α1, . . . , αn). Si N ⊇ Ees cualquier extension normal de F , entonces N debe contener todas las raıces de min(αi, F ),i = 1, . . . , n. Si f es el producto de estos polinomios minimales, entonces N debe contener el cuerposplit K de f sobre F . Pero K/F es normal por 2.4.6, entonces K debe ser la extension normal maspequena de F que contiene a E. Se denomina a K clausura normal de E sobre F .

Definicion 2.4.11. Sea G = Gal(E/F ) el grupo de Galois de la extension E/F . Si H es subgrupode G, el cuerpo fijo de H es el conjunto de elementos que quedan fijos por cualquier automorfismosobre H, es decir,

F(H) = {x ∈ E : σ(x) = x,∀σ ∈ H}

Proposicion 2.4.12. Sea E/F una extension finita de Galois con grupo de Galois G = Gal(E/F ).Entonces, el cuerpo fijo de Galois de G es F .


2.4 Teorıa de Galois

Demostracion. Sea F0 el cuerpo fijo de G. Si σ es un F -automorfismo de E, entonces por definicionde F0, σ deja fijos a todos los elementos de F0. Luego, los F -automorfismos de G coinciden conlos F0-automorfismos de G. Ademas, por 2.3.21 y 2.4.7, E/F0 es Galois, y por 2.4.8 la cantidadde elementos del grupo de Galois de una extension de Galois finita, coincide con el grado de laextension. Luego, [E : F ] = [E : F0] y por 2.3.9 resulta F = F0.

�

2.4.13. Lema de DedekindSi σ1, σ2, . . . , σn son distintos homomorfismos de G a E∗ (el conjunto de elementos no nulos de

E), entonces los σi son linealmente independientes sobre E.


3 EXTENSIONES INTEGRALES

3. Extensiones integrales

Si E/F es un cuerpo de extension y α ∈ E, entonces α es algebraico sobre F si y solo si α esraız de un polinomio con coeficientes en F . Podemos considerar que el polinomio es monico.

3.1. Definiciones y propiedades basicas

En esta seccion consideraremos que todos los anillos son conmutativos con identidad. Sea A unsubanillo del anillo R y x ∈ R. Decimos que x es integral sobre A si x es raız de un polinomiomonico f con coeficientes en A. La ecuacion f(X) = 0 se llama ecuacion de dependenciaintegral de x sobre A. Si x es un numero real o complejo que es integral sobre Z, entonces x sedenomina entero algebraico. Luego, para todo entero d,

√d es un entero algebraico, ası como lo es

cualquier raız n-esima de la unidad. Los polinomios monicos son X2−d y Xn−1, respectivamente.En preparacion para el proximo resultado sobre condiciones equivalentes a integralidad, notar queA[x], el conjunto de los polinomios con coeficientes en A, es un A-modulo, dado que la suma depolinomios es un polinomio, y multiplicar un polinomio por un elemento de A es otro polinomiosobre A.

Proposicion 3.1.1. Sea A un subanillo de R, con x ∈ R. Las siguientes condiciones son equiva-lentes:

1. x es integral sobre A.

2. El A-modulo A[x] esta finitamente generado.

3. x pertenece a un subanillo B de R tal que A ⊆ B y B es un A-modulo finitamente generado.

Demostracion.

1) ⇒ 2) Si x es raız de un polinomio monico de grado n, f(x) = xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

entonces xn y toda potencia mayor de x se puede expresar como combinacion lineal de potenciasmenores de x. Luego,

{1, x, x2, . . . , xn−1

}generan A[x] sobre A.

2)⇒ 3) B = A[x] es un A-modulo finitamente generado, x ∈ A[x] y A ⊆ A[x].

3) ⇒ 1) Si β1, . . . , βn generan B sobre A, entonces xβi es combinacion lineal de los βj , es decir

xβi =n∑j=1

cijβj . Luego, si β es un vector columna cuyas componentes son los βi, I es la matriz

identidad y C = [cij ], entonces(xI − C)β = 0,

y si premultiplicamos por la matriz adjunta de xI −C (como en la regla de Cramer), tenemos que

[det(xI − C)]Iβ = 0,

entonces [det(xI − C)]b = 0 para todo b ∈ B. Como B es un anillo con identidad, tomando b = 1tenemos que x es raız del polinomio monico det(XI − C) en A[X]. Luego, x es integral sobre A.

�


3.2 Clausura Integral

Observacion 3.1.2. Si A,B y C son anillos tales que C es un B-modulo finitamente generado yB es un A-modulo finitamente generado entonces C es un A-modulo finitamente generado.

En efecto, si suponemos que C esta generado por {y1, y2, . . . , yr} y B esta generado por{z1, z2, . . . , zs}, entonces por ser C un B-modulo,

C =r∑j=1

Byj .

Ademas, B es un A-modulo entonces

B =s∑

k=1

Azk.

Luego,

C =r∑j=1

Byj =r∑j=1

s∑k=1

Azkyj .

4

Lema 3.1.3. Sea A un subanillo de R, y x1, . . . , xn ∈ R. Si x1 es integral sobre A, x2 es inte-gral sobre A[x1],. . . , xn es integral sobre A[x1, . . . , xn−1], entonces A[x1, . . . , xn] es un A-modulofinitamente generado.

Demostracion. Si n = 1, x1 ∈ R tal que x1 es integral sobre A entonces, por 3.1.1, A[x1] es unA-modulo finitamente generado.

Supongamos que si x1 es integral sobre A, x2 es integral sobre A[x1],. . . , xn−1 es integral sobreA[x1, . . . , xn−2] entonces A[x1, . . . , xn−1] es un A-modulo finitamente generado.

Ahora, sea x1 integral sobre A, x2 integral sobre A[x1],. . . , xn integral sobre A[x1, . . . , xn−1]. Sitomamos C = A[x1, . . . , xn] y B = A[x1, . . . , xn−1] entonces, por proposicion 3.1.1., A[x1, . . . , xn]es un A[x1, . . . , xn−1]-modulo finitamente generado y por hipotesis A[x1, . . . , xn−1] es un A-modulo.Luego, por la observacion, A[x1, . . . , xn] es un A-modulo finitamente generado.

�

3.1.4. Transitividad de Extensiones IntegralesSean A, B y C subanillos de R. Si C es integral sobre B, es decir cada elemento de C es integral

sobre B, y B es integral sobre A, entonces C es integral sobre A.

Demostracion. Sea x ∈ C tal que xn + bn−1xn−1 + . . .+ b0 = 0, con bi ∈ B. Entonces, x es integral

sobre A[b0, . . . , bn−1]. Cada bi es integral sobre A, entonces lo es sobre A[b0, . . . , bn−1]. Por 3.1.3,A[b0, . . . , bn, x] es un A-modulo finitamente generado. Por 3.1.1, parte 2), x es integral sobre A. �

3.2. Clausura Integral

Definicion 3.2.1. Si A es un subanillo de R, la clausura integral de A en R es el conjunto Acde elementos de R que son integrales sobre A. Notar que A ⊆ Ac pues cada a ∈ A es raız de X −a.

Definicion 3.2.2. Decimos que A es integralmente cerrado en R si Ac = A. Si decimos queA es integralmente cerrado sin hacer referencia a R, asumimos que A es un dominio ıntegro concuerpo cociente K, y A es integralmente cerrado sobre K.



Observacion 3.2.3. Si x e y son integrales sobre A, como en la demostracion de transitividad deextensiones integrales, se tiene que, por el lema 3.1.3, A[x, y] es un A-modulo finitamente generado.Dado que x + y, x − y, x.y pertenecen a este modulo, son integrales sobre A por 3.1.1, parte 2).En conclusion, Ac es un subanillo de R que contiene a A. Si tomamos la clausura integral de laclausura integral obtenemos Ac. 4

Proposicion 3.2.4. La clausura integral Ac de A en R es integralmente cerrada en R.

Demostracion. Por definicion Ac es integral sobre A.Si x es integral sobre Ac y Ac es integral sobre A entonces por transitividad, x es integral sobre

A. �

Proposicion 3.2.5. Si A es un DFU entonces A es integralmente cerrado.

Demostracion. Si x pertenece al cuerpo cociente K, entonces podemos escribir x = ab tal que

a, b ∈ A son primos relativos. Si x es integral sobre A, entonces existe una ecuacion de la forma(ab

)n+ an−1

(ab

)n−1+ +a1

(ab

)+ a0 = 0,

con ai ∈ A. Multiplicando por bn, tenemos que an + bc = 0, con c ∈ A. Luego, b divide a an, lo cualno puede suceder pues a y b son primos relativos, a menos que b no tenga factores primos, es decirb es una unidad. Pero entonces x = ab−1 ∈ A. �

Definicion 3.2.6. Un cuerpo numerico es un subcuerpo L de los numeros complejos C talque L es una extension finita de los racionales Q. Llamaremos a los elementos de L numerosalgebraicos. La clausura integral de Z en L se denomina anillo de los enteros algebraicos (osimplemente enteros) de L.


3.3 Ejercicios

3.3. Ejercicios

3.3.1. Mostrar que en la proposicion 3.1.1 otra condicion equivalente es:4. Existe un subanillo B de R que es un A-modulo finitamente generado y xB ⊆B. Ademas, si

R es un cuerpo podemos omitir que B es un subanillo, siempre que B 6= 0.

Demostracion.

2)⇒ 4) Por hipotesis, A[x] es un A-modulo finitamente generado. Ademas, xA[x] ∈ A[x].

4) ⇒ 1) La demostracion es analoga a 3) ⇒ 1). Sin embargo, si R es cuerpo y B 6= 0, entonces(xI −C)β = 0 para todo β ∈ B implica que (xI −C) = 0 (pues R no tiene divisores de cero). Porlo tanto, x es autovalor de C. Luego,

[det(xI − C)]Iβ = 0, ∀β ∈ B.

�

3.3.2. Mostrar que en la proposicion 3.1 la siguiente es otra equivalencia:5. Existe un A[x]-modulo fiel B que esta finitamente generado como un A-modulo.

Demostracion.

2)⇒ 5) A[x] es un A-modulo finitamente generado. Ademas como A es un anillo con unidad, A[x]tambien es un anillo con unidad 1 6= 0. Si tomamos r ∈ I tal que r1 = 0, entonces r = 0 (pues porser 1 unidad, 1r 6= 0,∀r 6= 0). Por lo tanto, A[x] es fiel.

5)⇒ 1) Si B un A[x]-modulo sabemos que xβ ∈ B y (xI −C)β = 0,∀β ∈ B. Como B es fiel, debeser xI − C = 0, por lo tanto det(xI − C) = 0 y x es integral sobre A. �

Sea A un subanillo de un dominio ıntegro B, con B integral sobre A. En los problemas de 3.3.3a 3.3.5 mostraremos que A es un cuerpo si y solo si B lo es.

3.3.3. Supongamos que B es un cuerpo, y sea a un elemento no nulo de A. Entonces, como a−1 ∈ B,existe una ecuacion de la forma

(a−1)n + cn−1(a−1)n−1 + . . .+ c1a−1 + c0 = 0,

con ci ∈ A. Mostrar que a−1 ∈ A, probando ası que A es cuerpo.

Demostracion. Sea a ∈ A, luego

an−1[(a−1)n + cn−1(a−1)n−1 + . . .+ c1a−1 + c0] = 0

entonces,a−1 + cn−1 + cn−2a+ cn−3a

2 + . . .+ c1an−2 + c0a

n−1 = 0.

Por lo tanto,a−1 = −cn−1 − cn−2a− cn−3a

2 − . . .− c1an−2 − c0an−1 ∈ A

pues an, ci ∈ A. Luego, A es cuerpo. �



3.3.4. Supongamos que A es un cuerpo, y sea b un elemento no nulo de B. Por la proposicion 3.1.1,parte 2, A[b] es un espacio vectorial de dimension finita sobre A. Sea f una A-transformacion linealsobre este espacio vectorial dada por multiplicar por b, es decir f(z) = bz, z ∈ A[b]. Mostrar que fes inyectiva.

Demostracion. Sean z, w ∈ A[b]. Si f(z) = f(w) entonces bz = bw. Por lo tanto, b(z − w) = 0, ypor ser A[x] un dominio ıntegro (pues A[b] es un subanillo de B que es dominio ıntegro), se tieneque z − w = 0, es decir z = w. Luego, f es inyectiva. �

3.3.5. Mostrar que f es suryectiva, y concluir que B es un cuerpo.

Demostracion. Sea f : A[b]→ A[b]. Sabemos que

dim(A[b]) = dim(Nu(f)) + dim(Im(f)).

Por ser f inyectiva,dim(A[b]) = dim(Im(f)).

Por lo tanto, f es suryectiva.Ahora, para 1 ∈ A[b] existe z ∈ A[b] tal que f(z) = 1, por lo tanto bz = 1 entonces z = b−1.

Ademas, como A[b] es anillo conmutativo 1 = bz = zb. Luego, B es cuerpo (pues para cada elementono nulo de B se puede definir una transformacion f).

�

En los problemas de 3.3.6 a 3.3.8, consideraremos A un subanillo de B, con B integral sobre A, Qun ideal primo de B y P = Q ∩A.

3.3.6. Mostrar que P es un ideal primo de A, y que A/P puede considerarse como un subanillo deB/Q.

Demostracion. Veamos que P = Q ∩A es un ideal de A.Sea p ∈ P y a ∈ A. Como A es subanillo de B tenemos que a ∈ B, entonces ap ∈ A y por ser

Q ideal de B, ap ∈ Q. Luego, ap ∈ P.Veamos que P es primo.Si P = A entonces A ⊂ Q, lo cual es absurdo ya que 1 ∈ A y Q es ideal. Luego, P 6= A.Si consideramos la aplicacion inclusion J : A → B, tenemos que P = J−1(Q) es la preimagen

de un ideal primo por un homomorfismo de anillos, luego P es un ideal primo (2.1.11).Por otra parte, A es anillo y P es un ideal de A, por lo tanto A/P es anillo. Si consideramos la

aplicacion f : A/P → B/Q dada por f(a+ P ) = a+Q, esta bien definida y es inyectiva entoncesA/P puede considerarse como un subanillo en B/Q. �

3.3.7. Mostrar que B/Q es integral sobre A/P .

Demostracion. Sea b+Q ∈ B/Q. Para b ∈ B existe un polinomio

p = anxn + . . .+ a1x+ a0,

con coeficientes en A tal que p(b) = 0. Por el ejercicio anterior, existe una inyeccion J : A/P → B/Qtal que J(ai + P ) = ai + Q ∈ B/Q, es decir podemos identificar a cada elemento de A/P con unelemento de B/Q.


3.3 Ejercicios

Ahora, si cocientamos con Q,

anbn + . . .+ a1b+ a0 = 0⇒ anbn + . . .+ a1b+ a0 = 0.

Luego, B/Q es integral sobre A/P .�

3.3.8. Mostrar que P es un ideal maximal de A si y solo si Q es un ideal maximal de B.

Demostracion.

⇒) Si P es ideal maximal del anillo conmutativo A entonces A/P es cuerpo (2.1.15). Ademas, siQ es primo tenemos que B/Q es dominio ıntegro (2.1.13), A/P es subanillo B/P (3.3.6) y B/Q esintegral sobre A/P (3.3.7) entonces como A/P es cuerpo resulta B/Q cuerpo (3.3.4), por lo tantoB/Q es un anillo de division. Luego, Q es maximal.

⇐) Si Q ideal maximal del anillo conmutativo B entonces B/Q es cuerpo. Ademas, por 3.3.6 A/Pes subanillo del dominio ıntegro B/Q y por 3.3.7 B/Q es integral sobre A/P , por lo tanto A/P escuerpo (3.3.3) entonces A/P es anillo de division. Luego, por 2.1.15 P es maximal.

�


4 EXTENSIONES CUADRATICAS DE LOS RACIONALES

4. Extensiones cuadraticas de los racionales

En este capıtulo determinaremos los enteros algebraicos de

Q(√d) = {a+ b

√d : a, b ∈ Q},

donde podemos suponer sin perdida de la generalidad que d es un entero libre de cuadrados, o sea,se puede escribir como producto de factores primos distintos. Un ejemplo es:

Q(√

12) = Q(√

3),

ya que 12 = 22 · 3.

El polinomio minimal de√d sobre Q es X2 − d, cuyas raıces son ±

√d, entonces Q(

√d)/Q es

normal (2.4.6) y ademas, por 2.3.20, es separable. Luego, Q(√d)/Q es Galois (2.4.8) y el grupo de

Galois consiste de la identidad y del automorfismo σ(a+ b√d) = a− b

√d para a, b ∈ Q.

4.1. Enteros algebraicos de Q(√

d)

Lema 4.1.1. Si a y b son racionales, a + b√d es un entero algebraico si y solo si 2a y a2 − db2

pertenecen a Z.

Demostracion.

⇒) Si x = a + b√d, σ(x) = a − b

√d. Luego x + σ(x) = 2a ∈ Q y ademas xσ(x) = a2 − db2 ∈ Q.

Si x es un entero algebraico entonces es raız de algun polinomio monico f ∈ Z[X]. Pero comoσ es un automorfismo f(σ(x)) = σ(f(x)) = σ(0) = 0, entonces σ(x) tambien es raız de f yconsecuentemente, un entero algebraico. Por 3.2.3 tenemos que 2a y a2 − db2 resultan enterosalgebraicos y como Z es algebraicamente cerrado (3.2.5), 2a y a2 − db2 pertenecen a Z.

⇐) Para la vuelta tenemos que a+ b√d verifica la ecuacion (X − a)2 = db2, lo que es igual a decir

que a+ b√d es raız del polinomio

X2 − 2aX + a2 − db2,

cuyos coeficientes, por hipotesis, estan en Z. �

Observacion 4.1.2. Si 2a y a2 − db2 pertenecen a Z, 2b tambien pertenece a Z, ya que

(2a)2 − d(2b)2 = 4(a2 − db2) ∈ Z =⇒ d(2b)2 ∈ Z,

y si suponemos que 2b no es entero tenemos que 2b = pq con p, q ∈ Z coprimos, de este modo,

(2b)2 =(p

q

)2

=⇒ d(2b)2 = d

(p

q

)2

,

y como d es libre de cuadrados no se puede simplificar con q2, lo cual contradice el hecho anterior.Por lo tanto, 2b ∈ Z. 4


4.1 Enteros algebraicos de Q(√d)

Corolario 4.1.3. El conjunto B de enteros algebraicos de Q(√d) con d libre de cuadrados puede

ser descripto de la siguiente forma:

1. Si d ≡/ 1 mod 4, entonces B consiste de todos los numeros de la forma a+ b√d, con a, b ∈ Z.

2. Si d ≡ 1 mod 4, entonces B consiste de todos los numeros de la forma u2 + v

2

√d con u, v ∈ Z

y con la misma paridad.

Observacion 4.1.4. Por ser d entero libre de cuadrados, la condicion en 1 se reduce a los casosd ≡ 2 mod 4 o d ≡ 3 mod 4. 4

Demostracion.

1. Veamos que si a+ b√d es entero algebraico entonces a, b ∈ Z.

Por 4.1.1 y 4.1.2 sabemos que 2a, 2b y a2 − db2 son enteros, entonces

(2a)2 − (2b)2d4

∈ Z,

mas aun, como (2b)2d ∈ Z y d es libre de cuadrados, se tiene que

b =p

2con p ∈ Z y (2a)2 − p2d ≡ 0 mod 4,

ademas como d ≡ 2 o d ≡ 3 mod 4, a debe ser entero y p par, ya que si suponemos que p es impar,existe k ∈ Z tal que p = 2k + 1, entonces

(2a)2 − (2k + 1)2d ≡ 0 =⇒ 4a2 − (4k2d+ 4kd+ d) ≡ 0 =⇒ 4 (a2 − k2d+ kd)︸︷︷︸∈Z

−d ≡ 0 mod 4,

lo cual es absurdo porque d es libre de cuadrados. Por lo tanto p es par, lo que implica que b ∈ Z.

2. Por 4.1.1 los enteros algebraicos de Q(√d) son de la forma u

2 + v2

√d con u, v ∈ Z y u2

4 +d v2

4 ∈ Z,o sea u2 − dv2 ≡ 0 mod 4, entonces u y v tienen que tener la misma paridad, mas aun el caso enque ambos son impares ocurre si d ≡ 1 mod 4, y el caso en que ambos son pares es equivalente adecir que u

2 ,v2 ∈ Z. �

Podemos expresar este resultado de manera mas conveniente. Para ello mostraremos mas ade-lante que el conjunto de enteros algebraicos de cualquier cuerpo numerico L es un Z-modulo librede rango n = [L : Q]. Una base para este modulo es llamada base integral.

Teorema 4.1.5. Sea B como en el corolario anterior.

1. Si d ≡/ 1 mod 4, entonces 1 y d forman una base integral de B.

2. Si d ≡ 1 mod 4, entonces 1 y 12(1 +

√d) forman una base integral para B.

Demostracion.

1. Por 4.1.3 sabemos que 1 y√d generan B y como

√d es irracional, son linealmente independientes.



2. Por 4.1.3 ahora tenemos que 1 y 12(1 +

√d) son enteros algebraicos, bastarıa con ver que generan

B y que son linealmente independientes.Consideremos 1

2(u+ v√d) donde u y v tienen la misma paridad, luego

12

(u+ v√d) =

(u− v

2

)1 + v

[12

(1 +√d)],

con u−v2 y v enteros. Finalmente, para la independencia lineal consideremos a, b ∈ Z y la ecuacion

a+ b

[12

(1 +√d)]

= 0.

Luego, 2a+ b+ b√d = 0 lo cual fuerza a que a y b sean iguales a 0. �

4.2. Cuerpos ciclotomicos

Definicion 4.2.1. Una extension ciclotomica de F es un cuerpo split E de f(X) = Xn − 1sobre F .

Las raıces de f son denominadas raıces n-esimas de la unidad, y forman un subgrupo multi-plicativo del grupo E∗ de elementos no nulos de E. Este subgrupo es cıclico. Observar ademas quetoda extension ciclotomica es normal (2.4.6).

Definicion 4.2.2. Una raız n-esima de la unidad es primitiva si es de orden n en E∗.

Definicion 4.2.3. El n-esimo polimonio ciclotomico ψn(X) es definido como el producto delos terminos X − ω, donde ω varıa entre todas las raıces n-esimas primitivas de la unidad, en C.

De este modo, una raız n-esima de la unidad es una raız d-esima primitiva de la unidad, parad cualquier divisor de n. Luego Xn − 1 es el producto de todos los polinomios ciclotomicos ψd(X),con d divisor de n.

En particular, si n = pr es una potencia de un numero primo, como los divisores de pr son dela forma ps con s ≤ r, se tiene que :

ψpr(X) =Xpr − 1Xpr−1 − 1

=tp − 1t− 1

= 1 + t+ . . .+ tp−1,

donde t = Xpr−1. Si X = 1, entonces t = 1, lo cual implica que ψpr(X) = p.

Supongamos que F es un cuerpo de caracterıstica p y p|n. Si ω es una raız n-esima de la unidadtenemos que

0 = ωn − 1 = (ωn − 1)p,

entonces el orden de ω debe ser menor que n. Para evitar que esto suceda, consideraremos F demanera tal que su caracterıstica no divida a n. Luego

f ′(X) = nXn−1 6= 0,

entonces por 2.3.19 f es separable y consecuentemente E/F es Galois.Como hay n raıces n-esimas de la unidad distintas, debe existir una que sea primitiva, para esa

raız ω tendremos que E = F (ω).


4.2 Cuerpos ciclotomicos

Si σ es cualquier automorfismo en Gal(E/F ) y ω es una raız n-esima primitiva de la unidad,entonces

σ(ω) = ωr,

donde ωr tambien es una raız n-esima primitiva de la unidad y ademas n y r son coprimos.

Observacion 4.2.4. Si ωn = e2πi/n es una raız n-esima primitiva de la unidad, se tiene que:

1. ω22n = e2(2πi/2n) = e2πi/n = ωn.

2. −ωn+12n = −eπi(n+1)/n = eπi eπi eπi/n = ω2n.

Podemos deducir de 1) que Q(ωn) ⊆ Q(ω2n), mas aun, se puede ver que Q(ωn) = Q(ω2n)(ejercicio 4.3.4). Esto nos muestra que en general los cuerpos ciclotomicos no se comportan de igualmanera que las extensiones cuadraticas de Q, ya que las extensiones Q(

√d) con d libre de cuadrados

son todas distintas (ejercicio 4.3.2). 4



4.3. Ejercicios

4.3.1. Mostrar que si L = Q(α), donde α es una raız del polinomio cuadratico irreducible

X2 + bX + c (b, c ∈ Q),

entonces L = Q(√d) para algun entero d libre de cuadrados.

Demostracion. Si α es raız del polinomio cuadratico X2 + bX + c, entonces

α2 + bα+ c = 0 =⇒ α =−b±

√b2 − 4c

2=⇒ Q(α) = Q(

√b2 − 4c),

como b2 − 4c ∈ Q existen p, q ∈ Z coprimos, tales que b2 − 4c = pq . Luego

√b2 − 4c =

√p

q=

1q2√p q =⇒ Q(

√b2 − 4c) = Q(

√pq).

Por otro lado, como p y q son coprimos, podemos decir que p = ux2 y q = vy2 con x, u, v, y ∈ Zy u, v libres de cuadrados y coprimos. De este modo tenemos que,

√pq = xy

√uv =⇒ Q(

√pq) = Q(

√uv).

Por lo tanto, existe d = u v entero libre de cuadrados, tal que L = Q(√d). �

4.3.2. Mostrar que las extensiones cuadraticas de Q(√d), con d libre de cuadrados, son todas

distintas.

Demostracion. Sean d y d′ enteros libres de cuadrados distintos. Si Q(√d) = Q(

√d′), entonces

existen a, b ∈ Q tales que√d = a+ b

√d′ =⇒ d = (a+ b

√d′)2 =⇒ d = a2 + 2ab

√d′ + b2d′

=⇒ (a2 + 2ab√d′ + b2d′) ∈ Z,

pero (a2 + b2d′) ∈ Q, entonces 2ab√d′ ∈ Q lo cual es posible solo si a = 0 y b = 1, y en ese caso

d = d′. Por lo tanto, si d 6= d′ se tiene que Q(√d) 6= Q(

√d′). �

4.3.3. Mostrar que dos extensiones cuadraticas de Q que no son distintas son Q-isomorfas.

Demostracion. Supongamos que tenemos un isomorfismo φ : Q(√d) −→ Q(

√d′), entonces existen

a, b ∈ Q tales que φ(√d) = a+ b

√d′. Luego φ(d) = a2 + b2d′ + 2ab

√d′, lo cual es absurdo, ya que

la imagen de d por cualquier Q-isomorfismo es el mismo d. �

4.3.4. Mostrar que si n es impar, entonces Q(ωn) = Q(ω2n).

Demostracion. Veamos la doble inclusion.

⊆) Si ωn = e2πi/n es una raız n-esima primitiva de la unidad, por 4.2.4 sabemos que ω22n = ωn, lo

cual implica que Q(ωn) ⊆ Q(ω2n).


4.3 Ejercicios

⊇) Si consideramos n impar, entonces existe k ∈ Z tal que n+ 1 = 2k. Como por 4.2.4 tenemos que−ωn+1

2n = ω2n, luegoω2n = −ω2k

2n = −(ω22n)k = −(ωn)k ∈ Q(ωn).

Por lo tanto, para n impar, Q(ωn) = Q(ω2n). �

4.3.5. Si a es un entero algebraico, mostrar que el polinomio minimal de a sobre Q tiene coeficientesen Z. Consecuentemente, un entero algebraico que pertenece a Q, pertenece a Z. (El polinomiominimal de r ∈ Q sobre Q es X − r.)

Demostracion. Como a es un entero algebraico, existe un polinomio monico f =n∑i=0

αixi con

αi ∈ Z, (∀i = 0, . . . , n) tal que f(a) = 0. Si ma ∈ Q[X] es el polinomio minimal de a en Q[X], porCayley-Hamilton existe h ∈ Q[X] tal que f = mah. Como f y ma son ambos monicos, por (2.3.4)se tiene que ma ∈ Z[X].

Como consecuencia tenemos que si r ∈ Q es un entero algebraico, el polinomio X − r pertenecea Z[X], con lo cual r ∈ Z. �

4.3.6. Dar un ejemplo de una extension cuadratica de Q que tambien sea un cuerpo ciclotomico.

Demostracion. Una extension cuadratica de Q que es tambien una extension ciclotomica es:

Q(√−3) = Q

(−1

2+

12√−3),

donde ω = −12 + 1

2

√−3 es una raız 3-esima primitiva de la unidad.

�

4.3.7. Una base integral para el anillo B de enteros algebraicos de un cuerpo numerico L es, enparticular, una base para L sobre Q.

Demostracion. Sea dim(B) = n y {b1, . . . , bn} una base para B. Si tomamos αi = βi

γi∈ Q, con

βi, γi ∈ Z y γi 6= 0, para cada i = 1, . . . , n, tales quen∑i=1

αibi = 0, entonces

n∑i=1

αibi =n∑i=1

βiγibi = 0.

Sea γ = γ1 . . . γn el denominador comun, entonces

1γ

n∑i=1

∏j 6=i

γjβi bi = 0 =⇒n∑i=1

∏j 6=i

γjβi bi = 0,

pero para cada i = 1, . . . , n,∏j 6=i

γjβi es entero. Luego, como {b1, . . . , bn} es una base para B,∏j 6=i

γjβi = 0 para todo i. Esto es posible solo si βi = 0 ∀i = 1, . . . , n, ya que γi 6= 0 y Z es un

anillo sin divisores de cero. Por lo tanto los bi son n ”vectores”linealmente independientes sobre Q,y como dim(L/Q) = [L : Q] = n, podemos concluir que {b1, . . . , bn} es una base para L sobre Q. �


5 NORMAS Y TRAZAS

5. Normas y Trazas


Si E/F es un cuerpo de extension de grado n, entonces podemos ver a E como un espaciovectorial de dimension n sobre F , y las herramientas del Algebra Lineal basica son validas. Si x esun elemento de E, podemos estudiar la F -transformacion lineal m(x) dada por la multiplicacionpor x, esto es, m(x)y = xy.

Definicion 5.1.1. Definimos la norma y la traza de x, relativas a la extension E/F como

N [E/F ](x) = det [m(x)] y T [E/F ](x) = Tr [m(x)] .

Escribiremos N(x) y T (x) si E/F es conocido.

Si la matriz A(x) = [aij(x)] representa m(x) con respecto a alguna base de E sobre F , entoncesla norma de x es el determinante de A(x) y la traza de x es la traza de A(x).

Definicion 5.1.2. Definimos el polinomio caracterıstico de x como el polinomio caracterısticode la matriz A(x), esto es,

char[E/F ](x) = det [XI −A(x)],

donde I es la matriz identidad de orden n. Si E/F es conocido, escribiremos char(x).

Ejemplo 5.1.3. Sea E = C, F = R y {1, i} una base de C para R. Si x = a+ bi tenemos

(a+ bi)(1) = a(1) + b(i) y (a+ bi)(i) = −b(1) + a(i).

Luego,

A(a+ bi) =(a −bb a

).

La norma, traza y polinomio caracterıstico de a+ bi son

N(a+ bi) = a2 + b2, T (a+ bi) = 2a, char(a+ bi) = X2 − 2aX + a2 + b2.

El calculo es exactamente el mismo si E = Q(i) y F = Q. Notar que el coeficiente de X es −T (x) yel termino constante es N(x). En general, se sigue de la definicion de polinomio caracterıstico que

char(x) = Xn − T (x)Xn−1 + . . .+ (−1)nN(x).

(Los unicos terminos que multiplican Xn−1 en la expansion del determinante son −aii(x), parai = 1, . . . , n. Tomando X = 0 podemos ver que el termino constante de char(x) es (−1)ndetA(x).)

Lema 5.1.4. Si E es una extension de F y x ∈ E, entonces N(x), T (x) y los coeficientes de char(x)pertenecen a F . Si a ∈ F , entonces

N(a) = an, T (a) = na, char(a) = (X − a)n.


5.1 Definiciones y propiedades basicas

Demostracion. La primera afirmacion se sigue del hecho de que las entradas de la matriz A(x)estan en F . La segunda es valida porque si a ∈ F , la matriz que representa la multiplicacion por aes aI. �

Es natural buscar una conexion entre el polinomio caracterıstico de x y el polinomio minimalde x sobre F .

Proposicion 5.1.5.char[E/F ](x) = [min(x, F )]r

donde r = [E : F (x)].

Demostracion. Si r = 1, E = F (x). Por el Teorema de Cayley Hamilton, la transformacion linealm(x) satisface char(m(x)), y dado que m(x) es la multiplicacion por x, x es raız de char(m(x)).Luego, min(x, F ) divide a char(x). Pero cada uno de los polinomios tiene grado n; con lo cual elresultado se sigue.

En el caso general, sea {y1, . . . , ys} una base de F (x) sobre F , y sea {z1, . . . , zn} una base de Esobre F (x). Entonces {yizj}ij forma una base de E sobre F . Sea A = A(x) la matriz que representa

la multiplicacion por x en la extension F (x)/F , entonces xyi =∑k

akiyk, y x(yizj) =∑k

aki(ykzj).

Ordenamos la base de E/F como {y1z1, y2z1, . . . , ysz1; y1z2, y2z2, . . . , ysz2; . . . ; y1zr, y2zr, . . . , yszr}.Entonces m(x) es representada en E/F como

A 0 . . . 00 A . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . A

Luego, char[E/F ](x) = [det(XI −A)]r.

�

Corolario 5.1.6. Sea [E : F ] = n, y [F (x) : F ] = d. Sean x1, . . . , xd las raıces de min(x, F ) en uncuerpo split (contando multiplicidad). Entonces

N(x) = (d∏i=1

xi)n/d, T (x) =n

d

d∑i=1

xi

y

char(x) = [d∏i=1

(X − xi)]n/d.

Demostracion. La formula para el polinomio caracterıstico se sigue de 5.1.5. Si evaluamos char(x)en X = 0, obtenemos (−1)nN(x) (ver 5.1.3), entonces

N(x) = (−1)n(−1)n(d∏i=1

xi)n/d = (d∏i=1

xi)n/d.


5 NORMAS Y TRAZAS

Finalmente, si min(x, F ) = Xd + ad−1Xd−1 + . . . + a1X + a0, entonces el coeficiente de Xn−1

en [min(x, F )]n/d es nd ad−1 = −n

d

d∑i=1

xi. Dado que la traza es dicho coeficiente con signo contrario,

se obtiene el resultado.�

Si E es una extension separable de F , hay una expresion alternativa util de la traza y la norma.

Proposicion 5.1.7. Sea E/F una extension separable de grado n, y sean σ1,. . . , σn los distintosF -monomorfismos de E en una clausura algebraica de E, o equivalentemente, en una extensionnormal L de F que contiene a E. Entonces

T [E/F ](x) =n∑i=1

σi(x) y N [E/F ](x) =n∏i=1

σi(x).

Consecuentemente, T (ax+ by) = aT (x) + bT (y) y N(xy) = N(x)N(y) para x, y ∈ E; a, b ∈ F .

Demostracion. Cada una de las d distintas F -inclusiones τi de F (x) en L lleva a x en un unicoconjugado xi, y se extiende exactamente a n

d = [E : F (x)] F -inclusiones de E en L, las cualestambien llevan x a xi (ver 2.4.1, 2.3.12, 2.4.2). De este modo

n∑i=1

σi(x) =n

d

d∑i=1

τi(x) = T (x)

y

n∏i=1

σi(x) =

(d∏i=1

τi(x)

)n/d= N(x).

�

Corolario 5.1.8. (Transitividad de la Traza y la Norma)Si F ≤ K ≤ E, donde E/F es finita y separable, entonces

T [E/F ] = T [K/F ] ◦ T [E/K] y N [E/F ] = N [K/F ] ◦N [E/K].

Demostracion. Sean σ1,. . . , σn las distintas F -inclusiones de K en L, y sean τ1,. . . , τm las distintasK-inclusiones de E en L, donde L es la clausura normal de E sobre F . Por 2.4.10 y 2.4.8, L/F esGalois, y por 2.4.2, 2.4.4 y 2.4.5, cada mapeo σi y τj se extiende a un automorfismo de L, por lotanto, tiene sentido componerlos. Por 5.1.7,

T [K,F ](T [E/K])(x) =n∑i=1

σi

m∑j=1

τj(x)

=n∑i=1

m∑j=1

σiτj(x).

Ahora, cada σiτj es una F -inclusion de E en L, y el numero de mapeos es mn = [E : K][K : F ].Mas aun, los σiτj son distintos si se restringen a E. En efecto, si σiτj = σkτl en E (luego en K),entonces σi = σk en K (porque τi es la identidad en K). Ası, i = k, con lo cual τj = τl en E. Peroentonces j = l. Por 5.1.7, T [K,F ](T [E/K])(x) = T [E/F ](x).

La norma se calcula de la misma manera, reemplazando sumas por productos.�


5.2 El sistema basico para la Teorıa Algebraica de Numeros

Corolario 5.1.9. Si E/F es una extension separable finita, entonces T [E/F ](x) no puede ser 0para todo x ∈ E.

Demostracion. Si T (x) = 0 para todo x, entonces por 5.1.7,n∑i=1

σi(x) = 0. Esto contradice el Lema

de Dedekind (2.4.13). �

Una afirmacion equivalente a 5.1.9 es que si E/F es finita y separable, entonces la formabilineal (x, y) → T [E/F ](xy) es no degenerada, es decir, si T (xy) = 0 para todo y, entoncesx = 0. Supongamos que existe x0 ∈ E tal que T (x0) 6= 0. Si x 6= 0 y T (xy) = 0 para todo y,podemos elegir y tal que xy = x0 para llegar a una contradiccion.

5.2. El sistema basico para la Teorıa Algebraica de Numeros

Sea A un dominio ıntegro con cuerpo cociente K, L una extension separable finita de K y B laclausura algebraica de A en L.

En el caso mas importante, A = Z, K = Q, L es un cuerpo numerico y B es el anillo de enterosalgebraicos de L.

Nos referiremos a (5.2) como el sistema AKLB.

Proposicion 5.2.1. Si x ∈ B, entonces los coeficientes de char[L/K](x) y min(x,K) son integralessobre A. En particular, T [L/K](x) y N [L/K](x) son integrales sobre A.

Demostracion. Por la proposicion 5.1.5, basta con probarlo para min(x,K). Ahora bien, los coefi-cientes de este polinomio son sumas de productos de las raıces xi, por lo que alcanza con ver quelos xi son integrales sobre A. Cada xi es un conjugado de x sobre K, luego por (3.2.3) existe unK-isomorfismo τi : K(x)→ K(xi) tal que τi(x) = xi. Si

xn + an−1xn−1 + . . .+ a0 = 0

es la ecuacion de dependencia integral de x sobre A y aplicamos τi, nos queda una ecuacion dedependencia integral de xi sobre A.

�


5 NORMAS Y TRAZAS

5.3. Ejercicios

5.3.1. Si E = Q(√d) y x = a+ b

√d, hallar la norma y traza de x.

Demostracion. Sean E = Q(√d) y x = a+ b

√d. Como los automorfismos en E son la identidad y

σ(x) = a− b√d, por 5.1.7 se tiene que

N(x) = xσ(x) = (a+ b√d)(a− b

√d) = a2 − db2

T (x) = x+ σ(x) = 2a.

�

5.3.2. Si E = Q(θ) donde θ es una raız del polinomio cubico irreducible X3 − 3X + 1, hallar lanorma y traza de θ2.

Demostracion. Tomamos la base{

1, θ, θ2}

de E/Q.

mθ2(1) = θ2

mθ2(θ) = θ3 = 3θ − 1mθ2(θ2) = θ4 = θθ3 = θ(3θ − 1) = 3θ2 − θ.

Luego,

A(θ2) =

0 −1 00 3 −11 0 3

Se tiene entonces que

N(θ2) = det(A(θ2)) = 1 y T (θ2) = 6.

�

5.3.3. Hallar la traza de las raıces sextas primitivas de la unidad en la extension ciclotomica Q6.

Demostracion. Las raıces sextas primitivas de la unidad son ω1 = eπi/3 y ω1 . Por (4.2.3), el 6-esimopolinomio ciclotomico ψ6 = (x− ω1)(x− ω1). Luego,

T (ω1) = ω1 + ω1 = eπi/3 + e−πi/3 = 2cos(π

3) = 1.

�

5.3.4. Demostrar el Teorema de Hilbert :

Sea E/F es una extension cıclica, con [E : F ] = n y grupo de Galois G ={

1, σ, σ2, . . . , σn−1}

generado por σ, y sea x ∈ E. Entonces

1. N(x) = 1 si y solo si ∃ y ∈ E tal que x = y/σ(y).

2. T (x) = 0 si y solo si ∃ z ∈ E tal que x = z − σ(z).

Demostracion.Veamos primero 1.


5.3 Ejercicios

⇒) Supongamos que N(x) = 1. Por el Lema de Dedekind, 1, σ, σ2, . . . , σn−1 son linealmente inde-pendientes sobre E, con lo cual

1 + xσ + xσ(x)σ2 + . . .+ xσ(x) . . . σn−2(x)σn−1

no es identicamente 0 en E. Luego, existe s 6= 0 en E tal que

y = s+ xσ(s) + xσ(x)σ2(s) + . . .+ xσ(x) . . . σn−2(x)σn−1(s) 6= 0.

Aplicando σ se tiene

σ(y) = σ(s) + σ(x)σ2(s) + σ(x)σ2(x)σ3(s) + . . .+ σ(x)σ2(x) . . . σn−1(x)σn(s)︸︷︷︸s

.

Luego,

xσ(y) = xσ(s) + . . .+ xσ(x)σ2(x) . . . σn−1(x)︸︷︷︸1

s = xσ(s) + . . .+ xσ(x) . . . σn−2(x)σn−1(s) + s = y.

⇐) Si existe y ∈ E tal que x = y/σ(y),

N(x) =n−1∏i=0

σi(x) = y/σ(y)σ(y/σ(y)) . . . σn−1(y/σ(y))

= yσ−1(y)σ(y)σ−2(y) . . . σn−1(y)σ−n(y)︸︷︷︸y−1

= yy−1 = 1

Demostremos 2.

⇐) Supongamos que existe z ∈ E tal que x = z − σ(z).

T (x) = x+n−1∑i=1

σi(x)

= z − σ(z) +n−1∑i=1

(σi(z)− σi+1(z))

= z − z = 0

⇒) Supongamos que T (x) = 0. Por 5.1.9, existe un elemento u en E cuya traza no es 0. Sea entonces

w = xσ(u) + (x+ σ(x))σ2(u) + . . .+(x+ σ(x) + . . .+ σn−2(x)

)σn−1(u).


5 NORMAS Y TRAZAS

Observemos que w − σ(w) = xT (u). En efecto,

w − σ(w) = xσ(u) + (x+ σ(x)− σ(x))σ2(u) +(x+ σ(x) + σ2(x)− σ(x)− σ2(x)

)σ3(u)+

+ . . .+(x+ σ(x) + . . .+ σn−2(x)− σ(x)− . . .− σn−2(x)

)σn−1(u)+

−(σ(x) + σ2(x) + . . .+ σn−1(x)

)σn(u)

= xσ(u) + xσ2(u) + xσ3(u) + . . .+ xσn−1(u)− (σ(x) + σ2(x) + . . .+ σn−1(x))σn(u)

= x(σ(u) + . . .+ σn−1(u)

)+ xσn(u)− T (x)︸︷︷︸

0

σn(u)

= x (σ(u) + . . .+ σn(u)) = xT (u).

Ahora bien, si tomamos z = w/T (u), nos queda

z − σ(z) =w

T (u)− σ

(w

T (u)

)=

w

T (u)− σ(w)T (u)

=xT (u)T (u)

= x.

�

5.3.5. En el teorema de Hilbert, son unicos los elementos y y z ?

Demostracion. Por construccion, los elementos y y z pueden no ser unicos. �

5.3.6. Sea θ raız de X4 − 2 sobre Q. Hallar la traza sobre Q de θ, θ2, θ3 y√

3 θ.

Demostracion.θ4 − 2 = 0⇒ min(θ,Q) = X4 − 2⇒ T (θ) = 0.

(θ2)2 − 2 = 0⇒ min(θ2,Q) = X2 − 2⇒ T (θ2) = 0.

(θ3)4 = (θ4)3 = 8⇒ min(θ3,Q) = X4 − 8⇒ T (θ3) = 0.

(√

3 θ)4 = 9θ4 = 18⇒ min(√

3 θ,Q) = X4 − 18⇒ T (√

3 θ) = 0.

�

5.3.7. Continuando con el ejercicio 5.3.6, mostrar que√

3 no puede estar en Q[θ].

Demostracion. Si√

3 = a0 + a1θ + a2θ2 + a3θ

3, observar que min(√

3,Q) = X2 − 3. Luego,

0 = T (√

3) = a0 + a1T (θ) + a2T (θ2) + a3T (θ3)

con lo cual, a0 = 0.Por lo tanto,

√3 = a1θ + a2θ

2 + a3θ3. Se tiene entonces que

√3 θ = a1θ

2 + a2θ3 + 2a3.

Luego,

0 = T (√

3θ) = 2a3,

y ası a3 = 0.


5.3 Ejercicios

De este modo,√

3 = a1θ + a2θ2. Multiplicando por θ2 resulta

√3 θ2 = a1θ

3 + 2a2,

con lo cual,

T (√

3 θ2) =√

3T (θ2) = 0.

Por lo tanto, a2 = 0. Ası,√

3 = a1θ y

√3 θ3 = a1θ

4 = 2a1 ⇒ T (√

3 θ3) =√

3T (θ3) = 0,

lo que implica que a1 = 0. Absurdo.�


6 EL DISCRIMINANTE

6. El Discriminante


Definicion 6.1.1. Sea F un cuerpo con caracterıstica distinta de 2 (lo pedimos para poder dividirpor 2, ya que el polinomio cuadratico f(X) = X2 + bX + c tiene raıces 1

2(−b±√b2 − 4c)) y f un

polinomio sobre F de grado n con n raıces distintas x1, x2, . . . , xn en algun cuerpo split E sobre F .Definimos

∆ =∏i<j

(xi − xj).

El discriminante de f se define como

D(f) = ∆2 =∏i<j

(xi − xj)2.

Existe tambien un discriminante en teorıa de numeros. Los dos conceptos no estan relacionados aprimera vista, sin embargo existe una relacion entre ellos. Asumimos el sistema basico AKLB de5.2, con n = [L : K].

Definicion 6.1.2. El discriminante de la n-upla x = (x1, x2, . . . , xn) de elementos de E es

D(x) = det(T [L/K](xixj)).

Es decir, armamos la matriz cuyo elemento ij es la traza de xixj , y tomamos el determinante dela matriz. Por 5.1.4 y 5.2.1, D(x) pertenece a K y es integral sobre A, luego pertenece a A si A esintegralmente cerrado.

El siguiente lema senala de que manera se comporta el discriminante bajo transformacioneslineales.

Lema 6.1.3. Si y = Cx, donde C es una matriz de n×n y x e y son n-uplas escritas como vectorescolumna, entonces D(y) = (detC)2D(x).

Demostracion. La traza de yrys es

T (∑i,j

cricsjxixj) =∑i,j

criT (xixj)csj ,

entoncesT (yrys) = C(T (xixj))C ′

donde C ′ es la traspuesta de C. El resultado se sigue de tomar determinante. �

La siguiente es una expresion alternativa del discriminante.

Lema 6.1.4. Sean σ1, . . . , σn K-inclusiones de L en una clausura algebraica de L, como en 5.1.7.Entonces, D(x) = [det(σi(xj))]2.

Demostracion. Por 5.1.7,

T (xixj) =∑k

σk(xixj) =∑k

σk(xi)σk(xj).

Luego, si C es la matriz cuya entrada ij es σi(xj), entonces T (xixj) = CC ′ y nuevamente elresultado se obtiene tomando determinante. �



El discriminante ”discrimina” entre bases y no bases como sigue.

Proposicion 6.1.5. Si x = (x1, . . . , xn), entonces los xi forman una base de L sobre K si y solo siD(x) 6= 0.

Demostracion.

⇐) Si∑j

cjxj = 0, con cj ∈ K no todos nulos, se tiene que∑j

cjσi(xj) = 0 para todo i, entonces

las columnas de la matriz B = (σi(xj)) son linealmente dependientes. Luego, la dependencia linealde los xi implica que D = 0.

⇒) Supongamos que los xi son linealmente independientes (y por lo tanto una base, dado quen = [L/K]). Si D = 0 entonces las filas de B son linealmente dependientes, luego para algunci ∈ K, no nulo, tenemos que

∑i

ciσi(xj) = 0 para todo j. Como los xj forman una base, tenemos

que∑i

ciσi(u) = 0 para todo u ∈ L, entonces los monomorfismos σi son linealmente dependientes.

Esto contradice el Lema de Dedekind. �

A continuacion veremos la relacion entre el discriminante definido en 6.1.4 y el discriminantede un polinomio.

Proposicion 6.1.6. Supongamos que L = K(x), y sea f el polinomio minimal de x sobre K. SeaD el discriminante de la base

{1, x, x2, . . . , xn−1

}para L sobre K. Entonces D es el discriminante

del polinomio f.

Demostracion. Sea x1, . . . , xn las raıces de f en un cuerpo split, con x1 = x. Sea σi la K-inclusionque lleva x a xi, i = 1, 2, . . . , n. Entonces σi(xj) = xi

j , y por 6.1.4,D es el cuadrado del determinantede la matriz

1 x1 x12 . . . x1

n−1

1 x2 x22 . . . x2

n−1

......

.... . .

...1 xn xn

2 . . . xnn−1

y el resultado se sigue de la formula para el determinante de Vandermonde. �

Corolario 6.1.7. Bajo las hipotesis de 6.1.6,

D = (−1)(n2 )N [L/K](f ′(x)),

donde f ′ es la derivada de f.

Demostracion. Sea a = (−1)(n2 ). Por 6.1.6,

D =∏i<j

(xi − xj)2 = a∏i 6=j

(xi − xj) = a∏i

∏j 6=i

(xi − xj).

Pero f(X) = (X − x1) . . . (X − xn), entonces

f ′(X) =∑k

∏j 6=k

(X − xj).


6 EL DISCRIMINANTE

Cuando X es reemplazado por xi solo el termino k = i es no nulo, por lo tanto

f ′(xi) =∏j 6=i

(xi − xj).

En consecuencia,

D = a

n∏i=1

f ′(xi).

Perof ′(xi) = f ′(σi(x)) = σi(f ′(x))

entonces por 5.1.7,D = aN [L/K](f ′(x)).

�

El discriminante para una base integral de un cuerpo numerico tiene propiedades especiales.Vamos a llegar a esos resultados considerando el sistema AKLB, y algunas condiciones adicionales.

Lema 6.1.8. Existe una base para L/K que consiste solamente de elementos de B.

Demostracion. Sea {x1, . . . , xn} una base para L sobre K. Cada xi es algebraico sobre K, y por lotanto satisface una ecuacion polinomial de la forma

amxim + . . .+ a1xi + ao = 0

con am 6= 0 y los ai ∈ A. (Inicialmente solo tenemos ai ∈ K, pero entonces ai es el cociente dedos elementos en A, y podemos sacar denominador comun). Multiplicamos la ecuacion por amm−1

para obtener una ecuacion de dependencia integral para yi = amxi sobre A. Los yi forman la basedeseada. �

6.2. Base dual

Supongamos que tenemos una forma bilineal simetrica no degenerada sobre un espacio vec-torial V de dimension n, escrita por conveniencia con la notacion de producto interno 〈x, y〉. Si{x1, . . . , xn} es cualquier base de V , entonces existe una base {y1, . . . , yn} para V , llamada la basedual referida a V , tal que

〈xi, yj〉 = δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j .

Teorema 6.2.1. Si A es un dominio de ideales principales, entonces B es un A-modulo libre derango n.

Demostracion. Por 5.1.9 la traza es una forma bilineal no degenerada sobre el espacio vectorialn dimensional L sobre K. Por 3.2.5, A es integralmente cerrado, entonces por 5.2.1, la traza decualquier elemento de L pertenece a A. Ahora, sea {x1, . . . , xn} cualquier base de L sobre K, y


6.2 Base dual

sea {y1, . . . , yn} la base dual referida a L. Si z ∈ B, entonces podemos escribir z =n∑j=1

ajyj con

aj ∈ K. Sabemos que la traza de xiz pertenece a A, y tenemos que

T (xiz) = T (n∑j=1

ajxiyj) =n∑j=1

ajT (xiyj) =n∑j=1

ajδij = ai

Entonces cada ai pertenece a A, luego B es un A-submodulo del A-modulo libre Ay1 ⊕ . . .⊕Ayn,con lo cual B es un A-modulo libre de rango a lo sumo n. Ademas, por 6.1.8, B contiene una basepara L sobre K, y si queremos, podemos asumir que esta base es {x1, . . . , xn}. Entonces B contieneel A-modulo libre ⊕nj=1Axj , luego el rango de B como un A-modulo es por lo menos n, por lo tantoes exactamente n.

�

Corolario 6.2.2. El conjunto B de enteros algebraicos en cualquier cuerpo numerico L es unZ-modulo libre de rango n = [L : K], entonces B tiene una base integral. El discriminante es elmismo para toda base integral y se denomina discriminante del cuerpo.

Demostracion. Tomamos A = Z en 6.2.1 para mostrar que B tiene una base integral. La matriz decambio de base C entre bases integrales (ver 6.1.3) es invertible, y ambas C y C ′ tienen coeficientesenteros racionales. Tomamos determinante en la ecuacion CC ′ = I para concluir que detC es unaunidad en Z. Luego, detC = ±1, entonces por 6.1.3, toda base integral tiene el mismo discriminante.

�


6 EL DISCRIMINANTE

6.3. Ejercicios

Sea {x1, . . . , xn} una base para el espacio vectorial V y 〈x, y〉 una forma bilineal simetrica nodegenerada sobre V .

6.3.1. Para cualquier y ∈ V , la funcion x 7→ 〈x, y〉 es una forma lineal l(y), es decir una funcionlineal de V en el cuerpo de escalares. Mostrar que la transformacion lineal y 7→ l(y) de V en V ∗, elespacio dual de V (o sea, el espacio de todas las formas lineales sobre V ), es inyectiva.

Demostracion. Sea T : V → V ∗ la aplicacion dada por T (y) = l(y). Si T (y) = 0 entonces l(y) = 0,es decir 〈x, y〉 = 0, ∀x ∈ V , y como la forma bilineal es no degenerada debe ser y=0. Luego, T esinyectiva. �

6.3.2. Mostrar que cualquier forma lineal sobre V es l(y) para algun y ∈ V .

Demostracion. Por el ejercicio 6.3.1, la aplicacion T es inyectiva, por lo tanto la dimension de V esigual a la dimension de la imagen de T . Ademas, los espacios V y V ∗ tienen la misma dimension,luego T es suryectiva. �

6.3.3. Sea {f1, . . . , fn} la base dual correspondiente a {x1, . . . , xn}. Entonces cada fj pertenece aV ∗ y fj(xi) = δij . Si fj = l(yj), mostrar que {y1, . . . , yn} es la base dual referida a V requerida.

Demostracion. Sea {x1, . . . , xn} una base de V y {f1, . . . , fn} ⊂ V ∗ la base dual correspondiente.Entonces,

fj(xi) = δij =

{1 si i = j

0 si i 6= j

Si fj = l(yj), entonces fj(xi) = l(yj)(xi) = 〈yj , xi〉 =

{1 si i = j

0 si i 6= j.

Por otra parte,

〈yi, yj〉 = 〈yi, α1x1 + . . .+ αnxn〉 = α1 〈yi, x1〉+ . . .+ αn 〈yi, xn〉 = αi

Por lo tanto, yj = 〈y1, yj〉x1 + . . .+ 〈yn, yj〉xn. Ahora, si β1y1 + . . .+ βnyn = 0 entonces

〈yj , β1y1 + . . .+ βnyn〉 = 0,

por lo tanto βj = 0, ∀j = 1, . . . , n. Luego, {y1, . . . , yn} son linealmente independientes, y en conse-cuencia forman una base para V . �

6.3.4. Mostrar que xi =n∑j=1

〈xi, xj〉 yj . Entonces para calcular la base dual referida a V en terminos

de la base original, debemos invertir la matriz (〈xi, xj〉).

Demostracion.

Sea {x1, . . . , xn} una base de V e {y1, . . . , yn} la base referida a V . Entonces,

xi = βi1y1 + . . .+ βinyn ⇒ 〈xi, xj〉 = 〈βi1y1 + . . .+ βinyn, xj〉 = βij .

Por lo tanto, xi =n∑j=1

〈xi, xj〉 yj .

�


6.3 Ejercicios

6.3.5. Una matriz C con coeficientes en Z se dice unimodular si su discriminante es ±1. Mostrarque C es unimodular si y solo si C es invertible y su inversa tiene coeficientes en Z.

Demostracion.

⇒) Si C es unimodular, por definicion det C = ±1, entonces C es inversible y det C−1 = 1det C = ±1.

Ademas, C−1 = 1det C [Adj(C)]T = ±[Adj(C)]T , luego los coeficientes de C−1 estan en Z pues C

tiene coeficientes en Z.

⇐) Sea C una matriz con coeficientes en Z inversible, cuya inversa tambien tiene coeficientes en Z.Entonces, det (I) = det (CC−1) = det (C) · det (C−1) = 1. Luego, como los coeficientes de C estanen Z, debe ser det (C) = ±1. �

6.3.6. Mostrar que el discriminante de una extension cuadratica Q(√d), d libre de cuadrados, es

D =

{4d si d ≡/ 1 mod 4d si d ≡ 1 mod 4

Demostracion. Por el teorema 4.1.5, sabemos que si d ≡/ 1 mod 4 entonces{

1,√d}

forma una base

integral para B y si d ≡ 1 mod 4,{

1, 12(1 +

√d)}

es una base integral. Ademas, por el ejercicio

5.3.1 tenemos que T (x) = T (a+ b√d) = 2a.

Por lo tanto,

D(x) = det(T [Q(

√d)/Q](1,

√d))

= det

(tr(1 · 1) tr(1 ·

√d)

tr(√d · 1) tr(

√d ·√d)

)

= det

(tr(1) tr(

√d)

tr(√d) tr(d)

)= det

(2 00 2d

)= 4d

Por otra parte,

D(x) = det

(T [Q(

√d)/Q](1,

12

(1 +√d)))

= det

tr(1 · 1) tr(1 · 12(1 +

√d))

tr(12(1 +

√d) · 1) tr(1

2(1 +√d) · 1

2(1 +√d))

= det

tr(1) tr(12(1 +

√d))

tr(12(1 +

√d)) tr(1

4(1 +√d)2)

= det

(2 11 1

2(1 + d)

)= d

�


6 EL DISCRIMINANTE

6.3.7. Sean x1, . . . , xn enteros algebraicos arbitrarios en un cuerpo numerico, y consideremos eldeterminante de la matriz (σi(xj)), como en 6.1.4. La expansion directa del determinante tiene n!terminos. Sea P la suma de aquellos terminos en la expansion que tienen signo positivo delantede ellos, y sea N la suma de los terminos precedidos por signo negativo. Entonces el discriminanteD de (x1, . . . , xn) es (P + N)2. Mostrar que P + N y PN estan fijos para cada σi, y deducir queP +N y PN son numeros racionales.

Demostracion. Sea L un cuerpo numerico, F una extension de Q que lo contiene y G = {σ1, . . . , σn}su grupo de Galois. Si restringimos cada σi ∈ G a L, y llamamos H al subgrupo de G que loscontiene, entonces por 2.4.12

F(H) = {x ∈ F : σi(x) = x,∀σi ∈ H} = Q.

Ademas, por ser G grupo, si multiplicamos a todos los elementos de G por σi para i fijo, obtenemosuna permutacion de los elementos de G. Luego, σi(P +N) = P +N y σi(PN) = PN , ∀i = 1, . . . , n,entonces P +N,PN ∈ F(H) = Q . �

6.3.8. Continuando con el ejercicio 6.3.7, mostrar que P +N y PN son enteros racionales.

Demostracion. En el ejercicio 6.3.7 tomamos xi enteros algebraicos entonces, por la demostracionde 4.1.1, σj(xi) tambien es un entero algebraico. Luego, por 3.2.3, P y N son enteros algebraicosy por lo tanto P +N y PN tambien lo son. Por 3.2.5. Z es integralmente cerrado, entonces por elejercicio anterior, P +N y PN pertenecen a Z. �

6.3.9. Continuando con ejercicio 6.3.8, probar el teorema de Stickelberger: D ≡ 0 o 1 mod 4.

Demostracion. Por 6.3.7, sabemos que D = (P −N)2 = (P + N)2 − 4PN . Pero 4PN ≡ 0 mod 4y (P +N)2 ≡ 1 mod 4 o (P +N)2 ≡ 0 mod 4. Luego, D ≡ 1 mod 4 o D ≡ 0 mod 4. �

6.3.10. Sea L un cuerpo numerico de grado n sobre Q, y sea {y1, . . . , yn} una base de L sobre Q queconsiste de enteros algebraicos. Sea {x1, . . . , xn} una base integral. Mostrar que si el discriminanteD(y1, . . . , yn) es libre de cuadrados, entonces cada xi puede ser expresado como combinacion linealde los yj con coeficiente enteros.

Demostracion. Sea {x1, . . . , xn} una base integral. Por 6.2.2 sabemos que si ∃ βi, i = 1, . . . , n talque yj = βj1x1 + . . . + βjnxn entonces D(y) = (det(A))2D(x). Por ser D(y) libre de cuadrados,(det(A))2 = 1 por lo tanto det(A) = ±1, luego A es unimodular, en consecuencia ∃A−1 y tienecoeficientes en Z, de este modo, x = A−1y. �

6.3.11. Continuando con problema 6.3.10, mostrar que si D(y1, . . . , yn) es libre de cuadrados,entonces {y1, . . . , yn} es una base integral.

Demostracion. Sea {y1, . . . , yn} una base de enteros algebraicos de L sobre Q tal que D(y1, . . . , yn)es libre de cuadrados entonces por el ejercicio 6.3.10, si {x1, . . . , xn} es base integral, cada xi escombinacion lineal de {y1, . . . , yn}. Luego, {y1, . . . , yn} es base integral. �

6.3.12. ¿Vale la recıproca del resultado del problema 6.3.11?

Demostracion. La recıproca es falsa. Por ejemplo,{

1,√d}

es base integral de Q, sin embargo, enel ejercicio 6.3.6 vimos que D(x) = 4d, que no es libre de cuadrados. �


6.3 Ejercicios

6.3.13. En el sistema standard AKLB (ver 5.2), mostrar que L es el cuerpo cociente de B.

Demostracion. Sea l ∈ L, como L es cuerpo podemos escribir l = l1l2

con l1, l2 ∈ L. Por 6.1.8 cadali es combinacion lineal de elementos de B, luego L es el cuerpo cociente de B.

�


7 MODULOS Y ANILLOS NOETHERIANOS Y ARTINIANOS

7. Modulos y Anillos Noetherianos y Artinianos

En esta seccion R es considerado un anillo y M un R-modulo. A partir de ahora los anillos noson asumidos conmutativos.

7.1. Definiciones y propiedades

Definicion 7.1.1. Supongamos que tenemos una sucesion creciente M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ . . . desubmodulos de M ; o una sucesion decreciente M1 ≥ M2 ≥ M3 ≥ . . .. Decimos que la sucesion seestabiliza si existe t tal que para todo k ≥ t, Mt = Mk.

Definicion 7.1.2. Se dice que el modulo M cumple con la condicion de cadena ascendente(cca) si toda sucesion creciente de submodulos de M se estabiliza. Analogamente se dice que cumplecon la condicion de cadena descendente (ccd) si toda sucesion decreciente de submodulos deM se estabiliza.

Proposicion 7.1.3. Las siguientes condiciones sobre M son equivalentes y definen a un moduloNoetheriano:

1. M satisface la cca.

2. Toda coleccion no vacıa de submodulos de M tiene un elemento maximal respecto de la inclusion.

Analogamente, las siguientes condiciones tambien son equivalentes y definen a un modulo Ar-tiniano.

1′. M satisface la ccd.

2′. Toda coleccion no vacıa de submodulos de M tiene un elemento minimal respecto a la inclusion.

Demostracion.

1⇒ 2) Sea S una coleccion no vacıa de submodulos de M . Tomemos M1 ∈ S, si M1 es maximal laprueba se termina, sino existe M2 ∈ S tal que M1 < M2. Continuando inductivamente, como porhipotesis M satisface la cca, el procedimiento termina. Luego S tiene un elemento maximal.

2⇒ 1) Si tomamos una coleccion no vacıa S de submodulos de M tal que M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ . . .,por hipotesis tiene un elemento maximal, entonces existe t tal que para todo k ≥ t, Mt = Mk. Porlo tanto M satisface la cca.

La demostracion es analoga para el caso de modulos Artinianos, tomando las desigualdades demodo contrario. �

Otra condicion equivalente para el caso Noetheriano es la siguiente:

Proposicion 7.1.4. M es Noetheriano si y solo si todo submodulo de M es finitamente generado.

Demostracion.

⇒) Sea N ≤ M , N 6= 0 y x1 ∈ N . Si N = Rx1, entonces N es finitamente generado. De no serası, podemos tomar x2 ∈ M tal que x2 /∈ Rx1. Si x1 y x2 generan N la prueba termina, sino,podemos tomar x3 ∈ M tal que x3 /∈ (Rx1 + Rx2). Como M es Noetheriano, toda cadena desubmodulos de M verifica la cca (7.1.3), esto obliga a que el proceso termine en algun t, en cuyocaso N estara generado por {x1, . . . , xt}.


7.1 Definiciones y propiedades

⇐) Supongamos queM no es Noetheriano, y seaM1 ≤M2 ≤M3 ≤ . . . una cadena de submodulos deM que no se estabiliza. Si N = ∪∞k=1Mk, entonces N es un submodulo de M que no esta finitamentegenerado. En efecto, si {x1, . . . , xs} generan N , para algun t suficientemente grande se tendrıa queN ⊆ Mt ⊆ Mt+1 ⊆ . . . ⊆ N . De este modo Ms = Mt para todo s ≥ t, lo cual contradice la noestabilizacion de la cadena.

�

La condicion equivalente para modulos Artinianos, es que todo modulo cociente M/N sea fini-tamente cogenerado, o sea, si la interseccion de una coleccion de submodulos de M/N es 0, entoncesexiste una subcoleccion finita cuya interseccion es 0 (ver ejercicio 7.3.7). Pero para poder demostarloprimero veremos algunas definiciones y propiedades.

Definicion 7.1.5. Un anillo R es Noetheriano (o Artiniano) si es Noetheriano (o Artiniano)como modulo sobre si mismo.

Ejemplos 7.1.6.

1. Todo Dominio de Ideales Principales (DIP) es Noetheriano.

2. Z es Noetheriano por ser un caso particular del ejemplo anterior, pero no es Artiniano, ya quehay cadenas descendentes de ideales que no se estabilizan, por ejemplo,

Z ⊃ (2) ⊃ (4) ⊃ (8) ⊃ . . .

3. Si F es un cuerpo, el anillo de polinomios F [X] es Noetheriano por ser tambien un caso especialdel ejemplo 1. Pero no es Artiniano, ya que la cadena descendente

(X) ⊃ (X2) ⊃ (X3) ⊃ (X4) ⊃ . . .

no se estabiliza.

4. El anillo F [X1, X2, . . .] de polinomios sobre F con infinitas variables, no es ni Noetheriano niArtiniano, ya que una cadena descendente que no se estabiliza se puede contruir como en el ejemploanterior, y una creciente puede ser

(X1) ⊂ (X1, X2) ⊂ (X1, X2, X3) ⊂ . . .

Las siguientes observaciones seran utiles para demostrar algunas propiedades de los modulosNoetherianos y Artinianos.

Observacion 7.1.7. Si N ≤ M , un submodulo L de M que contiene a N puede ser escrito de laforma K +N para algun submodulo K y por el teorema de correspondencia,

1. (K1 +N)/N = (K2 +N)/N =⇒ K1 +N = K2 +N

2. (K1 +N)/N ≤ (K2 +N)/N =⇒ K1 +N ≤ K2 +N. 4

Proposicion 7.1.8. Si N es un submodulo de M , luego M es Noetheriano (respectivamenteArtiniano) si y solo si N y M/N son Noetherianos (respectivamente Artinianos).

La demostracion la haremos solo para el caso Noetheriano, para el caso Artiniano es igual, peroconsiderando las desigualdades de manera contraria.



Demostracion.

⇒) Supongamos que M es Noetheriano. Como cualquier coleccion no vacıa de submodulos de Nesta incluida en M , por 7.1.3 (2) tiene un elemento maximal. Luego N tambien es Noetheriano.

Veamos que M/N es Noetheriano. Por la observacion 7.1.7, una cadena ascendente de submodu-los de M/N es de la forma:

(M1 +N)/N ≤ (M2 +N)/N ≤ (M3 +N)/N ≤ . . . ,

donde Mi es submodulo de M para todo i. Luego

(M1 +N) ≤ (M2 +N) ≤ (M3 +N) ≤ . . .

es una cadena ascendente de submodulos del modulo Noetheriano M , entonces se estabiliza. Porlo tanto (M1 + N)/N ≤ (M2 + N)/N ≤ (M3 + N)/N ≤ . . . tambien se debe estabilizar, entoncesM/N es Noetheriano.

⇐) Asumamos ahora que N y M/N son Noetherianos. Consideremos en M la cadena ascendentede submodulos

M1 ≤M2 ≤M3 ≤ . . .

y elijamos i de manera tal que las sucesiones

(M1 +N)/N ≤ (M2 +N)/N ≤ (M3 +N)/N ≤ . . . ,

(M1 ∩N) ≤ (M2 ∩N) ≤ (M3 ∩N) ≤ . . . ,

se estabilicen a partir de dicho ındice. Si x ∈Mi+1 entonces x+N ∈Mi+1 +N = Mi +N . Luegox = y+ z con y ∈Mi y z ∈ N lo cual implica que x− y = z ∈Mi+1 ∩N = Mi ∩N y como y ∈Mi,x tambien debe pertenecer a Mi. Por lo tanto Mi = Mi+1, entonces la sucesion M1 ≤M2 ≤ . . . esestabilizada. �

Corolario 7.1.9. Si M1, . . . ,Mn son R-modulos Noetherianos (respectivamente Artinianos) en-tonces M1 ⊕ . . .⊕Mn tambien lo es.

Demostracion. Lo probaremos para el caso n = 2, para n ≥ 2 se aplica induccion.M1 y M2 son submodulos Noetherianos de M = M1 ⊕M2, y como por el primer teorema del

isomorfismo (2.2.3) tenemos que M/M1∼= M2, M/M1 tambien es Noetheriano. Por lo tanto, por

7.1.8, M = M1 ⊕M2 es Noetheriano. �

Corolario 7.1.10. Si M es un modulo finitamente generado sobre un anillo R, entonces M esNoetheriano (respectivamente Artiniano) si R lo es.

Demostracion. Por 2.2.7, M es cociente de un modulo libre L de rango finito y como L se puedeescribir como suma directa de copias de R, por 7.1.9 se tiene que M es Noetheriano (respectivamenteArtiniano). �


7.2 Teorema de Jordan-Holder para modulos

7.2. Teorema de Jordan-Holder para modulos

El objetivo de esta subseccion es encontrar una conexion entre las cadenas ascendentes y des-cendentes de submodulos y las series normales y subnormales de la teorıa de grupos. Hablaremos dela version del teorema de Jordan-Holder para modulos, y finalmente relacionaremos los resultadosobtenidos hasta ahora, con la teorıa de numeros.

Definicion 7.2.1. Una serie de longitud n para un modulo M es una sucesion de la forma

M = M0 ≥M1 ≥M2 ≥ . . . ≥Mn = 0.

Definicion 7.2.2. Decimos que M es un modulo simple si no tiene submodulos propios.

Definicion 7.2.3. La serie en 7.2.1 es llamada serie de composicion si cada uno de los modulosfactores Mi/Mi+1 es simple.

Definicion 7.2.4. Llamaremos longitud de un modulo M a la longitud de una serie de composi-cion para M , y la denotaremos por l(M). Si M no tiene ninguna serie de composicion diremos quel(M) =∞.

Definicion 7.2.5. Dos series son equivalentes si tienen la misma longitud y los mismos modulosfactores salvo isomorfismos y reordenamientos.

De aquı en mas solo consideraremos series que no tengan refinamientos propios, y por convenciondiremos que el modulo 0 tiene una serie de composicion que denotaremos por {0}.

7.2.6. Teorema de Jordan-HolderSi M tiene una serie de composicion, entonces dos series de composicion cualesquiera para M

son equivalentes. Mas aun, cualquier sucesion de submodulos estrictamente decreciente, puede serrefinada a una serie de composicion.

Demostracion. La demostracion del teorema de Jordan-Holder para modulos es exactamente lamisma que para grupos (A.1.5), cambiando la notacion multiplicativa por la aditiva. Mas aun,tambien podemos hacer lo mismo con el lema de Zassenhaus (A.1.2) y el teorema de refinamientode Schreier (A.1.4), los cuales son muy importantes en la demostracion del teorema, lo que hay quetener en cuenta es que si un grupo es abeliano, entonces todo subgrupo de el es normal.

En el caso del lema de Zassenhaus, si cambiamos la notacion tenemos que:

A+ (B ∩D)A+ (B ∩ C)

∼=C + (D ∩B)C + (D ∩A)

.

Si la pregunta ahora es ¿Por que una serie de composicion S de longitud n no puede coexistircon una cadena infinita ascendente o una descendente?, lo que podemos pensar es que si tomamosuna serie T para M que tenga longitud n+ 1, por el teorema de Schreier sabemos que S y T tienenrefinamientos equivalentes. Pero como S es una serie de composicion para M , no tiene refinamientospropios, entonces deberıa pasar que n ≥ n+ 1, lo cual es absurdo. �

Teorema 7.2.7. Un R-modulo M tiene una serie de composicion si y solo si M es Noetheriano yArtiniano.



Demostracion.

⇒) Si M tiene una serie de composicion, entonces por lo dicho al final de la demostracion de 7.2.6,M es Noetheriano y Artiniano.

⇐) Asumamos ahora que M es Noetheriano y Artiniano. Sin perdida de la generalidad, tomemosM 6= 0, entonces por 7.1.3 (2), M0 = M tiene un submodulo propio M1 que es maximal y por 7.1.8tambien es Noetheriano, entonces contiene un submodulo propio M2 que es maximal. Continuandode la misma forma, por ser M es Artiniano, existe algun n tal que Mn = 0. Ademas, por laconstruccion Mi/Mi+1 es simple para todo i = 0, . . . , n. Por lo tanto

M = M0 ≥M1 ≥M2 ≥ . . . ≥Mn = 0,

es una serie de composicion para M . �

Ahora estamos en condiciones de mostrar una conexion con la teorıa de numeros.

Proposicion 7.2.8. Consideremos el sistema basico AKLB visto en 5.2 y asumamos que A esintegralmente cerrado. Si A es un anillo Noetheriano, entonces B tambien lo es. En particular, elanillo de enteros algebraicos en un cuerpo numerico, es Noetheriano.

Demostracion. Como ya vimos en 6.2.1, B es un submodulo de un A-modulo libre M de rangofinito (*). Luego, por 7.1.9 M es Noetheriano, entonces por 7.1.8 B es un A-modulo Noetheriano.Ademas como un ideal de B en particular es un A-submodulo de B, resulta que es finitamentegenerado sobre A y luego sobre B. Por lo tanto, B es un anillo Noetheriano.

(*) Aquı no es necesario que A sea DIP, ya que esa hipotesis es utilizada para mostrar que Aes integralmente cerrado, condicion que tenemos por hipotesis. Tambien es clave para ver que B esun A-modulo libre, pero no sera necesario en este caso. �


7.3 Ejercicios

7.3. Ejercicios

7.3.1. Sea p un numero primo fijo, y sea A el grupo abeliano de todos numeros racionales de laforma a

pn , con n = 0, 1, . . . y a ∈ Z, donde todos los calculos se hacen modulo 1, o sea, A es unsubgrupo de Q/Z. Consideremos el subgrupo de A

An ={

0,1pn,

2pn,

3pn, . . . ,

pn − 1pn

}.

Mostrar que A no es un Z-modulo Noetheriano, y que si B es un subgrupo propio de A, entoncesB = An para algun n. Luego A es un Z-modulo Artiniano.

Demostracion. Para ver que A no es un Z-modulo Noetheriano observemos que

A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ,

es una cadena ascendente que no se estabiliza, ya que si

a

pn∈ An =⇒ a

pn=

ap

pn+1∈ An+1.

Por lo tanto An ⊂ An+1, para todo n ≥ 0. Luego, por 7.1.3 A no puede ser un Z-modulo Noethe-riano.

Para ver que es un Z-modulo Artiniano, vamos a mostrar que toda coleccion no vacıa desubmodulos de A tiene un elemento minimal.

Supongamos que B es un subgrupo propio de A, y veamos que B = An para algun n.

Sea apn ∈ B tal que p no divide a a, entonces existen r, s ∈ Z tales que

ra+ spn = 1 =⇒ ra

pn+ s =

1pn

=⇒ ra

pn=

1pn

en Q/Z,

y como B es un grupo, rapn = 1

pn ∈ B. Luego An ⊆ B.Si ahora tomamos b

pm ∈ B, tal que m 6= n y p no divide a b, entonces por el mismo razonamientoque antes Am ⊆ B y por ser B grupo se tiene que Am+n ⊆ B. Esto se debe a que 1

pn y 1pm pertenecen

a B, entonces 1pn+m ∈ B. De este modo, si para cada n podemos encontrar un elemento de la forma

apn con las mismas condiciones, tenemos que para todo n ≥ 0, 1

pn ∈ B. Luego B = A, lo cualcontradice la hipotesis de que B es un subgrupo propio. Entonces tiene que existir un n maximo,y ası para todo m > n, B ∩Am ⊆ An. De este modo B = An.

Como todo subgrupo de A es de la forma An para algun n ≥ 0, y ademas An ⊂ An+1, ∀n ≥ 0,podemos concluir que para cualquier coleccion no vacıa de submodulos de A, existe un elementominimal. Por lo tanto, A es un Z-modulo Artiniano. �



7.3.2. Mostrar que si V es un espacio vectorial, son equivalentes:

1. V es de dimension finita.

2. V es Noetheriano.

3. V es Artiniano.

4. V tiene una serie de composicion.

Demostracion.

1⇒ 4) Supongamos que dim(V ) = n < ∞. Sea B = {v1, . . . , vn} una base para V y consideremoslos siguientes subespacios de V :

Vi = (v1, . . . , vi) y Ui = (vi+1, . . . , vn) .

Luego,

{0} = V0 ≤ V1 ≤ . . . ≤ Vn−1 ≤ Vn = V y V = U0 ≥ U1 ≥ . . . ≥ Un−1 ≥ Un = {0} ,

son series de composicion para V , ya que para todo i = 1, . . . , n el subespacio Vi es de codimension1 en Vi+1, lo cual implica que el cociente V1+1/Vi es un modulo simple.

4⇒ 2) y 4⇒ 3) Teorema 7.2.7.

2⇒ 1) y 3⇒ 1) Si suponemos que V tiene dimension infinita, entonces

{0} = V0 ≤ V1 ≤ . . . y V = U1 ≥ U2 ≥ . . .

no verifican la cca y la ccd respectivamente (7.1.2), por lo tanto V no es ni Noetheriano ni Artiniano(7.1.3).

�

7.3.3. Sea la sucesion exacta:0→ N

f−→Mg−→M/N → 0.

Mostrar que l(M) <∞ si y solo si l(N) y l(M/N) son finitas.

Demostracion. Por 7.2.4, l(M) < ∞ si y solo si M tiene una serie de composicion, si y solo si Mes Artiniano y Noetheriano (7.2.7), si y solo si M/N y N son ambos Artinianos y Noetherianos(7.1.8), si y solo si l(M/N) y l(N) son finitas. �

7.3.4. Mostrar que l(M) es aditiva, esto es

l(M) = l(N) + l(M/N).

Demostracion. Por 7.3.3, si l(M) =∞, entonces l(M/N) y l(N) tambien son infinitas, por lo tantoel resultado es valido en este caso.

Supongamos ahora que l(M) <∞, luego por 7.3.3, l(N) = s <∞ y l(M/N) = r <∞. Sean

0 < N1 < . . . < Ns = N y N/N < (M1 +N)/N < . . . < (Mr +N)/N = M/N,


7.3 Ejercicios

series de composicion para N y M/N respectivamente. Aplicando el tercer teorema del isomor-fismo (2.2.5), tenemos que Mi+1/Mi es simple para todo i = 1, . . . , r − 1 (i ∈ N) y una serie decomposicion para M es la siguiente:

0 < N1 < N2 < . . . < Ns < M1 +N < M2 +N < . . . < Mr +N = M.

Queda claro entonces que l(M) = s+ r = l(N) + l(M/N).�

7.3.5. Sea S un subanillo del anillo R, tal que S es un anillo Noetheriano. Si R es un modulofinitamente generado sobre S, entonces R tambien es un anillo Noetheriano.

Demostracion. Si S es un subanillo de R, entonces R es un S-modulo, que por 7.1.10 resultaNoetheriano. Como cada R-submodulo en R es en particular un S-submodulo de R, entonces cadauno de ellos esta finitamente generado. Luego R es un R-modulo Noetheriano, esto es, R es unanillo Noetheriano (7.1.5). �

7.3.6. Sea R un anillo y supongamos que el anillo de polinomios R[X] es Noetheriano. Mostrarque R tambien es Noetheriano

Demostracion. Sea f =n∑i=0

riXi ∈ R[X]. Consideremos la aplicacion ψ : R[X] −→ R, dada

por ψ(f) = r0, es decir, ψ le asigna a cada polinomio de R[X] su termino constante. ψ es un

homomorfismo de anillos, ya que si g =m∑i=0

siXi ∈ R[X], tenemos que:

1. ψ(f + g) = ψ

(n∑i=0

riXi +

m∑i=0

siXi

)= r0 + s0 = ψ(f) + ψ(g).

2. ψ(fg) = ψ

((n∑i=0

riXi

)(m∑i=0

Xi

))= r0s0 = ψ(f)ψ(g).

Ademas ψ es claramente suryectiva, y su nucleo es

ker(ψ) = {f ∈ R[X] : ψ(f) = 0} = (X) .

Por lo tanto, por el primer teorema del isomorfismo (2.2.3)

R[X](X)

∼= R.

Como R[X] es Noetheriano, y (X) es un submodulo de R[X], por 7.1.8 el cociente R[X]/ (X) esun anillo que resulta Noetheriano.

�

El proximo ejercicio muestra la condicion equivalente a la mencionada en 7.1.4 para modulosArtinianos.

7.3.7. Mostrar que un modulo M es Artiniano si y solo si todo modulo cociente M/N es finitamentecogenerado.



Demostracion.

⇒) Supongamos que existe un modulo cociente M/N que no es finitamente cogenerado. Luego,existe una coleccion {Mα/N}α tal que

⋂αMα/N = 0 pero no hay ninguna subcoleccion finita de

ella cuya interseccion sea 0. Por 2.2.8 podemos decir que no existen finitos α tales que⋂αMα = N .

Si existe un α1 de manera tal que Mα1 ⊆ Mα para todo α, entonces Mα1 = N , absurdo. Por lotanto, existe α2 tal que Mα1 ⊃Mα1 ∩Mα2 , como Mα1 ∩Mα2 6= N podemos seguir inductivamente,y ası tenemos una cadena descendente de submodulos de M que no se estabiliza. Luego M no puedeser Artiniano.

⇐) Ahora supongamos que M no es Artiniano, y tomemos una cadena descendente de submodulos

M1 ≥M2 ≥M3 ≥ . . . ,

que no se estabiliza. Claramente⋂i≥1Mi = N es un submodulo de M que no puede ser expresado

como interseccion finita de los submodulos Mi. Luego, por 2.2.8⋂i≥1Mi/N = 0, pero no existen

finitos i tales que⋂iMi/N = 0. �


8. Ideales Fraccionales

Nuestro proximo objetivo es establecer factorizacion unica de ideales en un dominio de Dede-kind. Para esto, necesitaremos previamente generalizar la nocion de ideal.


Definicion 8.1.1. Si I1, I2, . . . , In son ideales, el producto I1 . . . In es el conjunto de todas lassumas finitas

∑i

a1i a2i . . . ani, donde aki ∈ Ik, k = 1, . . . , n. Se sigue de la definicion que el producto

es un ideal contenido en cada Ij .

Lema 8.1.2. Si P es un ideal primo que contiene un producto I1 . . . In de ideales, entonces Pcontiene a Ij para algun j.

Demostracion. Supongamos que P no contiene a ningun Ij y sea aj ∈ Ij−P , j = 1, . . . , n. Entoncesa1 . . . an ∈ I1 . . . In, y dado que P es primo, algun aj esta en P . Absurdo.

�

Proposicion 8.1.3. Si I es un ideal no nulo de un dominio ıntegro NoetherianoR, entonces Icontiene un producto de ideales primos no nulos.

Demostracion. Sea I un ideal no nulo de R que no contiene ningun producto de ideales primos nonulos y definamos como S a la coleccion de ideales no nulos que cumplen esta propiedad. Como Res Noetheriano, S tiene un elemento maximal J , y J no puede ser primo porque esta en S. Luego,existen elementos a, b ∈ R con a /∈ J , b /∈ J y ab ∈ J . Por maximalidad de J , los ideales J +Ra yJ +Rb contienen un producto de ideales primos no nulos, pero (J +Ra)(J +Rb) ⊂ J +Rab = J ,por lo que J deberıa contener un producto de ideales primos no nulos. Esto contradice el hecho deque J ∈ S. (Observemos que el producto de elementos no nulos de R es no nulo por ser R dominioıntegro.)

�

Corolario 8.1.4. Si I es un ideal de un anillo Noetheriano R (no necesariamente dominio ıntegro),entonces I contiene un producto de ideales primos.

Demostracion. La demostracion es analoga a la de 8.1.3, sin usar ideales “no nulos”.�

Los ideales en el anillo de enteros son de la forma nZ, el conjunto de multiplos de n. Un conjuntode la forma 3

2Z no es un ideal porque no es un subconjunto de Z, aunque se comporta de manerasimilar. El conjunto es cerrado bajo suma y producto por un entero, y se convierte en un ideal de Zsi simplemente multiplicamos todos los elementos por 2. Sera ventajoso estudiar conjuntos de estetipo.

Definicion 8.1.5. Sea R un dominio ıntegro con cuerpo cociente K, y sea I un R-submodulo deK. Decimos que I es un ideal fraccional de R si rI ⊂ R, para algun r ∈ R no nulo. A r lollamaremos denominador de I. Los ideales ordinarios de R son ideales fraccionales (tomar r=1),y a menudo nos referiremos a ellos como ideales integrales.


8 IDEALES FRACCIONALES

Lema 8.1.6.

1. Si I es un R-submodulo de K finitamente generado, entonces I es un ideal fraccional.

2. Si R es Noetheriano e I es un ideal fraccional de R, entonces I es un R-submodulo de Kfinitamente generado.

3. Si I y J son ideales fraccionales con denominadores r y s respectivamente, entonces I ∩ J , I + Je IJ son ideales fraccionales con denominadores r (o s), rs y rs respectivamente.

Demostracion.

1. Si x1 = a1/b1, . . . , xn = an/bn generan I y b = b1 . . . bn, entonces bI ⊆ R.

2. Si rI ⊆ R, entonces I ⊆ r−1R. Como r−1R y R son isomorfos, r−1R resulta Noetheriano. Luego,I es finitamente generado.

3. Se sigue de la definicion 8.1.5 que la interseccion, la suma y el producto de ideales fraccionalesson ideales fraccionales. La afirmacion sobre los denominadores se prueba notando que

r(I ∩ J) ⊆ rI ⊆ R,

rs(I + J) ⊆ rI + sJ ⊆ R, y

rsIJ = (rI)(sJ) ⊆ R.

�

El producto de dos ideales fraccionales no nulos es un ideal fraccional no nulo, y la multiplicaciones asociativa (por ser asociativa en R). Existe un elemento identidad, concretamente es R dado queRI ⊆ I = 1I ⊆ RI. Mostraremos que si R es un dominio de Dedekind, entonces todo ideal fraccionalno nulo tiene inverso multiplicativo, por lo que los ideales fraccionales no nulos forman un grupo.

8.2. Dominios de Dedekind

Definicion 8.2.1. Un dominio de Dedekind es un dominio ıntegro R tal que:

1. R es Noetheriano.

2. R es integralmente cerrado.

3. Todo ideal primo no nulo de R es maximal.

Todo DIP es un dominio de Dedekind, por 7.1.6, 3.2.5, 2.1.22 y 2.1.23. Probaremos que elanillo de enteros algebraicos de un cuerpo numerico forma un dominio de Dedekind, aunque nonecesariamente es DIP ni DFU.

Lema 8.2.2. Sea I un ideal primo no nulo de un dominio de DedekindR, y sea J = {x ∈ K : xI ⊆ R}.Entonces, R ⊂ J .


8.2 Dominios de Dedekind

Demostracion. Dado que RI ⊆ R, se sigue que R es un subconjunto de J . Tomemos un elementoa no nulo de I tal que I contenga al ideal principal Ra. Sea n el menor entero positivo tal que Racontiene un producto P1 . . . Pn de n ideales primos no nulos. Dado que R es Noetheriano, existe taln (8.1.3) e I contiene algun Pi (8.1.2), digamos P1. Pero en un dominio de Dedekind, todo idealprimo no nulo es maximal, por lo que I = P1. Asumiendo que n ≥ 2, sea I1 = P2 . . . Pn. Se tieneque Ra ⊇/ I1, por minimalidad de n. Elegimos b ∈ I1 con b /∈ Ra. Ahora, II1 ⊆ Ra, en particularIb ⊆ Ra, con lo cual Iba−1 ⊆ R. (Notar que a tiene un inverso en K, pero no necesariamente enR.) Luego, ba−1 ∈ J , pero ba−1 /∈ R, pues sino b ∈ Ra, contradiciendo la eleccion de b.

Si n = 1, P1 = I ⊇ Ra ⊇ P1, con lo cual, I = Ra. Luego, Ra es un ideal propio y podemos elegirb ∈ R, con b /∈ Ra. Entonces, ba−1 /∈ R, pero ba−1I = ba−1Ra = bR ⊆ R, por lo que ba−1 ∈ J .

�

Ahora probaremos que en 8.2.2, J es el inverso de I.

Proposicion 8.2.3. Sea I un ideal primo no nulo de un dominio de Dedekind R, y seaJ = {x ∈ K : xI ⊆ R}. Entonces J es un ideal fraccional y R = IJ .

Demostracion. Por definicion, J es un R-submodulo de K. Si r es un elemento no nulo de I yx ∈ J , entonces rx ∈ R, con lo cual rJ ⊆ R y J es ideal fraccional. Ahora, IJ ⊆ R por definicionde J , por lo que IJ es un ideal integral. Usando 8.2.2, I = IR ⊆ IJ ⊆ R, y la maximalidad deI implica que o bien IJ = I, o bien IJ = R. En el ultimo caso, se termina con la demostracion,ası que asumimos que IJ = I.

Si x ∈ J , entonces xI ⊆ IJ = I, y por induccion, xnI ⊆ I para todo n ∈ N. Sea r un elementono nulo de I. Entonces rxn ∈ xnI ⊆ I ⊆ R, de modo que R[x] es ideal fraccional. Dado que R esNoetheriano, R[x] es un R-submodulo de K finitamente generado. Por 3.1.1, x es integral sobre Ry por ser R integralmente cerrado, x ∈ R. Ası, J ⊆ R, contradiciendo 8.2.2. �


8 IDEALES FRACCIONALES

8.3. Ejercicios

8.3.1. Mostrar que un ideal propio P de R es primo si y solo si para todos los ideales A,B talesque AB ⊆ P , se verifica que A ⊆ P o B ⊆ P .

Demostracion.

⇒) Sean A y B ideales tales que AB ⊆ P y supongamos que A ⊆/P . Existe entonces a ∈ A tal quea /∈ P . Sea b ∈ B. Luego, ab ∈ AB, con lo cual ab ∈ P y dado que P es primo, debe ser b ∈ P .

⇐) Sean a, b ∈ R tales que ab ∈ P , entonces (ab) ⊆ P . Por otro lado (a) (b) ⊆ (ab) ⊆ P , luego porhipotesis (a) ⊆ P o (b) ⊆ P . En particular, a ∈ P o b ∈ P . Por lo tanto, P es un ideal primo. �

8.3.2. Si I ⊆n⋃i=1

Pi con Pi ideales primos, entonces I ⊆ Pi, para algun i = 1, . . . , n.

Demostracion. Si n = 1, el resultado es valido. Supongamos que tambien es valido para n − 1ideales primos.

Sea I ⊆n⋃i=1

Pi y supongamos que I ⊆/Pi para todo i = 1, . . . , n. En particular, I ⊆/Pi para todo

i 6= j, i, j = 1, . . . , n. Por hipotesis inductiva (n veces), I ⊆/⋃i 6=j

Pi. Luego, existe xj ∈ I tal que

xj /∈ Pi para todo i 6= j (*). Ademas, como I ⊆n⋃i=1

Pi, tenemos que xj ∈ Pj para cada j = 1, . . . , n.

Sea x =n∑i=1

∏j 6=i

xj . Dado que xi ∈ I para todo i, se tiene que x ∈ I y ası x esta en algun Pi,

digamos x ∈ P1. Luego,

x2x3 . . . xn = x− x1

n∑i=3

x2 . . . xi−1xi+1 . . . xn ∈ P1,

con lo cual, x2x3 . . . xn ∈ P1. De este modo, existe j 6= 1 tal que xj ∈ P1 contradiciendo (*).�

8.3.3. Si I y J son primos relativos, entonces IJ = I ∩ J . Mas generalmente, si I1, . . . , In son

primos relativos de a pares, entoncesn∏i=1

Ii =n⋂i=1

Ii.

Demostracion. Sean I y J ideales primos relativos. Por definicion, IJ ⊆ I e IJ ⊆ J ; con lo cual,IJ ⊆ I ∩ J .

Por otra parte, si z ∈ I ∩ J , entonces z = z1 = z(x + y) = zx + zy ∈ IJ donde x ∈ I, y ∈ J .Luego, IJ = I ∩ J .

En el caso general, supongamos que siempre que I1, . . . , In−1 sean ideales primos relativos de apares, se verifica

I1 . . . In−1 =n−1⋂i=1

Ii.

Si I1, . . . , In son ideales primos relativos dos a dos, e I = I1 . . . In−1, entonces I e In son primosrelativos.


8.3 Ejercicios

En efecto,

R =n−1∏i=1

(Ii + In) ⊆

(n−1∏i=1

Ii

)+ In = I + In.

Luego,

n∏i=1

Ii = I ∩ In =︸︷︷︸Hipotesis Inductiva

(I1 ∩ . . . ∩ In−1) ∩ In =n⋂i=1

Ii.

�

8.3.4. Mostrar que si un dominio de Dedekind R es DFU, entonces es DIP.

Demostracion. Un anillo R es DIP si y solo si es un DFU y todo ideal primo no nulo de R esmaximal (2.3.5). �

8.3.5. Supongamos que en 8.2.3 queremos invertir cualquier ideal maximal en lugar de idealesprimos no nulos. ¿Que hipotesis razonable se debe agregar sobre R ?

Demostracion. Asumimos que R no es un cuerpo. Equivalentemente, {0} no es ideal maximal. Por8.2.3, todo ideal maximal es invertible. �

8.3.6. Sea R un dominio ıntegro con cuerpo cociente K. Si K es un ideal fraccional de R, entoncesR = K.

Demostracion. Sea r un elemento no nulo de R tal que rK ⊆ R, entonces K ⊆ r−1R ⊆ K; conlo cual K = r−1R. Dado que r−2 ∈ K, se tiene que r−2 = r−1s, para algun s ∈ R. Pero entoncesr−1 = s ∈ R, de modo que K ⊆ R y consecuentemente, K = R.

�

8.3.7. Sean P1 y P2 ideales primos relativos en el anillo R. Entonces, P r1 y P s2 son primos relativos,para todo par de enteros positivos r y s.

Demostracion. R = Rr = (P1 + P2)r ⊆ P r1 + P2. Luego, P r1 y P2 son primos relativos, para todor ≥ 1. Asumiendo que el resultado es valido para P r1 y P s2 primos relativos, tenemos que

P s2 = P s2R = P s2 (P r1 + P2) ⊆ P r1 + P s+12 ,

con lo cual,

R = P r1 + P s2 ⊆ P r1 + (P r1 + P s+12 ) = P r1 + P s+1

2 .

�


9 FACTORIZACION UNICA DE IDEALES EN UN DOMINIO DE DEDEKIND

9. Factorizacion unica de Ideales en un Dominio de Dedekind


En la seccion anterior, hemos invertido ideales primos no nulos en un dominio de Dedekind.Ahora queremos extender este resultado a ideales fraccionales no nulos.

Teorema 9.1.1. Si I es un ideal fraccional no nulo del dominio de Dedekind R, entonces I puedeser factorizado de manera unica como P1

n1P2n2 . . . Pr

nr donde los ni son enteros. En consecuencia,los ideales fraccionales no nulos forman un grupo con la multiplicacion.

Demostracion. Primero veamos la existencia de tal factorizacion. Sin perdida de generalidad, po-demos restringirnos a ideales integrales. (Notar que si r 6= 0 y rI ⊆ R, entonces I = (Rr)−1(rI),siendo rI ideal integral.) Por convencion, consideramos a R como el producto de la coleccion vacıade ideales primos. Sea S el conjunto de todos los ideales propios no nulos de R que no pueden serfactorizados de la forma dada, con todos los ni enteros positivos. (Este truco nos dara el resultadode que la factorizacion de ideales integrales solo involucra exponentes positivos). Como R es Noe-theriano, si S es no vacıo entonces tiene un elemento maximal I0, el cual esta contenido en un idealmaximal I. Por 8.2.3, I tiene un inverso J , ideal fraccional. Entonces, por 8.2.2 y 8.2.3,

I0 = I0R ⊆ I0J ⊆ IJ = R.

Luego, I0J es un ideal integral, y afirmamos que I0 ⊂ I0J , pues si I0 = I0J , el ultimo parrafo de lademostracion de 8.2.3 puede ser reproducido con I0 en lugar de I, lo que lleva a una contradiccion.Por maximalidad de I0, I0J es un producto de ideales primos, es decir I0J = P1 . . . Pr (puedehaber factores repetidos). Multiplicando a ambos lados por el ideal primo I concluimos que I0 esproducto de ideales primos, contradiciendo que I0 ∈ S. Entonces, S debe ser vacıo, con lo cualqueda demostrada la existencia de la factorizacion deseada.

Para probar la unicidad supongamos que existen dos factorizaciones primas

P1n1P2

n2 . . . Prnr = Q1

t1Q2t2 . . . Qs

ts

donde, nuevamente, vamos a asumir sin perdida de generalidad que todos los exponentes son po-sitivos (si aparece P−n, multiplicamos a ambos lados por Pn). Ahora, P1 contiene el producto delos Pini , entonces por 8.1.2, P1 contiene a Qj para algun j. Por maximalidad de Qj , P1 = Qj , ypodemos reenumerar de modo que P1 = Q1. Multiplicamos por el inverso de P1 para cancelar P1 yQ1, y continuamos inductivamente para completar la demostracion. �

Corolario 9.1.2. Un ideal fraccional no nulo I es un ideal integral si y solo si todos los exponentesen la factorizacion prima de I son no negativos.

Demostracion.

⇒)Esta incluido en la demostracion del teorema 9.1.1.⇐)Una potencia de un ideal integral es un ideal integral. �

Corolario 9.1.3. Denotamos por nP (I) al exponente del ideal primo P en la factorizacion de I.(Si P no aparece, tomamos nP (I) = 0). Si I1 e I2 son ideales fraccionales no nulos, entonces I2 ⊆ I1si y solo si para todo ideal primo P de R, nP (I1) ≤ nP (I2).



Demostracion. Sabemos que I2 ⊆ I1 si y solo si I2I1−1 ⊆ R, y por 9.1.2 esto sucede si y solo sipara todo P , nP (I2)− nP (I1) ≥ 0. �

Definicion 9.1.4. Sean I1 e I2 ideales integrales no nulos. Decimos que I1 divide a I2 si I2 = JI1para algun ideal integral J . Al igual que en los numeros enteros, una condicion equivalente es quecada factor primo de I1 es factor de I2.

Corolario 9.1.5. Si I1 e I2 son ideales integrales no nulos, entonces I1 divide a I2 si y solo siI2 ⊆ I1. En otras palabras, dividir significa contener.

Demostracion. Por 9.1.4, I1 divide a I2 si y solo si nP (I1) ≤ nP (I2) para todo ideal primo P . Por9.1.3, es equivalente a que I2 ⊆ I1. �

El proximo resultado explica por que los dominios de Dedekind son importantes en la teorıaalgebraica de numeros.

Teorema 9.1.6. En el sistema basico AKLB de 5.2, si A es un dominio de Dedekind, entoncestambien lo es B. En particular, el anillo de enteros algebraicos en un cuerpo numerico es un dominiode Dedekind. Ademas, B es un A-modulo finitamente generado y el cuerpo cociente de B es L.

Demostracion. Por 3.2.4, B es integralmente cerrado en L. La demostracion de 6.1.8, con xi reem-plazado por un elemento arbitrario de L, muestra que L es el cuerpo cociente de B. Por lo tanto,B es integralmente cerrado. Por 7.2.8, B es un anillo Noetheriano, y en su demostracion se pruebaque B es A-modulo Noetheriano, en consecuencia esta finitamente generado.

Ahora, veamos que todo ideal no nulo Q de B es maximal. Tomamos cualquier elemento nonulo x de Q. Como x esta en B, satisface una ecuacion polinomial

xn + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0 = 0

con los ai ∈ A. Si tomamos al entero positivo n como el mas chico posible, entonces a0 6= 0 porminimalidad de n. Despejando a0 vemos que a0 ∈ Bx ∩ A ⊆ Q ∩ A, por lo tanto P = Q ∩ A 6= 0.Pero P es la preimagen del ideal primo Q por la aplicacion inclusion de A en B. Luego, P es unideal primo no nulo (2.1.11), por lo tanto maximal, del dominio de Dedekind A. En consecuencia,A/P es cuerpo.

Ahora, A/P puede ser indentificado con un anillo del dominio de Dedekind B/Q vıa la aplicaciony + P 7→ y + Q. Mas aun, B/Q es integral sobre A/P . [B es integral sobre A, y podemos usar lamisma ecuacion de dependencia integral]. Se sigue del ejercicio 3.3.5 que B/Q es cuerpo, luego Qes un ideal maximal (2.1.15). �


9 FACTORIZACION UNICA DE IDEALES EN UN DOMINIO DE DEDEKIND

9.2. Ejercicios

Por 4.1.5, el anillo de enteros algebraicos B de Q(√−5) es Z[

√−5]. Demostraremos que Z[

√−5]

no es un dominio de factorizacion unica. Considerar la factorizacion

(1 +√−5)(1−

√−5) = (2)(3) (∗)

9.2.1. Verificar, utilizando la norma, que los cuatro factores considerados arriba son irreducibles.

Demostracion. Si1 +√−5 = (a+ b

√−5)(c+ d

√−5),

tomando norma en ambos miembros tenemos que

6 = (a2 + 5b2)(c2 + 5d2).

Por lo tanto, si ninguno de los factores de la descomposicion de 1 +√−5 es una unidad, debe ser

(a2 + 5b2) igual a 2 o 3, lo cual es absurdo. Luego, 1 +√−5 es irreducible. De manera analoga se

puede ver que 1−√−5, 2 y 3 son irreducibles. �

9.2.2. Mostrar que las unicas unidades de B son ±1.

Demostracion. Como −5 ≡/1 mod 4, por 4.1.3 sabemos que los elementos de B son de la formaa+ b

√−5, con a, b ∈ Z. Si a+ b

√−5 es unidad, entonces existe c+ d

√−5 ∈ Z[

√−5] tal que

(a+ b√−5) · (c+ d

√−5) = 1.

Por lo tanto,N(a+ b

√−5) ·N(c+ d

√−5) = N(1),

es decir (a2 + 5b2)(c2 + 5d2) = 1 entonces a = c = ±1 y b = d = 0. Luego, las unicas unidades deB son ±1. �

9.2.3. Mostrar que ningun factor de uno de los lados de la ecuacion (∗) es un asociado de algunode los factores sobre el otro lado. Por lo tanto, la factorizacion unica falla.

Demostracion. Supongamos que a y b son dos elementos asociados, es decir a|b y b|a. Entoncesexiste u ∈ Z[

√−5] unidad tal que b

a = u. Luego, por el ejercicio 9.2.2, u = ±1, con lo cual ba = ±1,

absurdo. �

9.2.4. Podemos utilizar la factorizacion prima de ideales en un dominio de Dedekind para calcularel maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo de dos ideales no nulos I y J , exactamentecomo con los numeros enteros. Mostrar que el maximo comun divisor entre I y J es I + J y que elmınimo comun multiplo es I ∩ J .

Demostracion.

Veamos que mcd(I, J) = I + J .I ⊂ I + J y J ⊂ I + J entonces por 9.1.5 I + J divide a I y a J .Sea Q un ideal que divide a I y a J . Entonces, por 9.1.5, I ⊂ Q y J ⊂ Q, por lo tanto

I + J ⊂ Q+Q ⊂ Q. Luego, I + J = mcd(I, J).Veamos que mcm(I, J) = I ∩ J .

I ∩ J ⊂ I, J entonces I y J dividen a I ∩ J . Ahora, sea Q un ideal tal que Q ⊂ I y Q ⊂ Jentonces Q ⊂ I ∩ J . Luego, I ∩ J = mcm(I, J).

En conclusion, el maximo comun divisor es el ideal mas chico que contiene a I y a J , esto esI + J . El mınimo comun multiplo es el mayor ideal contenido en ambos, es decir, I ∩ J . �


9.2 Ejercicios

9.2.5. Un dominio de Dedekind R esta proximo a ser un dominio de ideales principales en elsiguiente sentido. (Todos los ideales son asumidos no nulos). Si I es un ideal integral, en realidadsi I es un ideal fraccional, mostrar que existe un ideal integral J tal que IJ es un ideal principalde R.

Demostracion. Sea I un ideal fraccional de R. Por 9.1.1 sabemos que los ideales fraccionales formanun grupo con la multiplicacion, por lo tanto I tiene inverso multiplicativo, es decir existe H idealfraccional tal que IH = R. Ademas, existe r ∈ R tal que rH ⊂ R es ideal integral. Si llamamosJ = rH tenemos que IJ = IHr = Rr. Por lo tanto, IJ = (r) . �

9.2.6. Mostrar que el anillo de enteros algebraicos de Q(√−17) no es un dominio de factorizacion

unica.

Demostracion. Consideremos la factorizacion

(1 +√−17)(1−

√−17) = 18 = 2 · 32

y veamos que los factores son irreducibles.Supongamos que

(1 +√−17) = (a+ b

√−17)(c+ d

√−17),

tomando norma tenemos18 = (a2 + 17b2)(c2 + 17d2).

Por lo tanto, (a2 + 17b2) debe ser 2 o 32. Por ejemplo, si (a2 + 17b2) = 32 entonces (c2 + 17d2) = 2lo cual es absurdo.

Analogamente, se puede ver que 2, 3 y (1−√−17) son irreducibles.

Por otra parte, las unicas unidades en Z(√−17) son ±1. En efecto, si (a+ b

√−17) es una unidad,

entonces existe (c+ d√−17) tal que

(a+ b√−17)(c+ d

√−17) = 1.

Luego,N((a+ b

√−17))N((c+ d

√−17)) = N(1),

es decir(a2 + 17b2)(c2 + 17d2) = 1.

Por lo tanto, a = c = ±1 y b = d = 0.Ademas, al igual que en el ejercicio 9.2.3, los factores de las dos descomposiciones no son

asociados. En conclusion, Z(√−17) no es un dominio de factorizacion unica.

�

9.2.7. En el problema 9.2.6, los unicos enteros algebraicos de norma 1 son ±1. Mostrar que estapropiedad no se verifica para los enteros algebraicos en Q(

√−3).

Demostracion. Veamos que en Q(√−3) los unicos enteros de norma 1 no son ±1.

Como −3 ≡ 1 mod 4, por 4.1.3 los elementos del conjunto de enteros algebraicos de Q(√−3) son

de la forma u2 + v

2

√−3 con u, v ∈ Z. Luego, N(u2 + v

2

√−3) = 1 si y solo si u

2

4 +3v2

4 = 1, por lo tantou2 + 3v2 = 4 entonces u = v = ±1 o u = ±2 y v = 0. Luego, las unidades son ±1, (±1

2 ±12

√−3). �


10 ARITMETICA EN DOMINIOS DE DEDEKIND

10. Aritmetica en Dominios de Dedekind

La factorizacion unica de ideales en un dominio de Dedekind permite hacer calculos que sonanalogos a algunos que nos resultan bastante familiares al manipular numeros enteros. En estaseccion nos dedicaremos a mostrar cuales son dichos calculos.

10.1. Propiedades

10.1.1. Definiciones y ComentariosSean P1, . . . , Pn ideales primos distintos no nulos de un dominio de Dedekind R, denotaremos

por J al producto de todos los Pi, y Qi al producto de los Pj excluyendo al ideal Pi, esto es:

J = P1 . . . Pn y Qi = P1 . . . Pi−1Pi+1 . . . Pn.

En el caso en que i = 1, Qi = R. Si I es un ideal no nulo de R, por la factorizacion unica tenemosque IQi ⊃ IJ . Para cada i = 1, 2, . . . , n elegiremos un elemento ai que pertenezca a IQi, pero no

a IJ , y definimos a =n∑i=1

ai.

Lema 10.1.2. a ∈ I, pero para cada i, a /∈ IPi. (En particular a 6= 0).

Demostracion. El hecho de que a ∈ I es consecuencia de que ai ∈ IQi ⊂ I, para todo i = 1, 2, . . . , n.Veamos ahora que a /∈ IPi.

Supongamos que para cada i, ai ∈ IPi, entonces ai ∈ IPi ∩ IQi = mcm(IPi; IQi) (por 9.2.4)pero por la definicion de Qi, mcm(IPi; IQi) = IJ , lo cual implica que ai pertenece a IJ , absurdo.Luego, para cada i se tiene que ai /∈ IPi.

Por otro lado, sabemos por definicion que

a =n∑k=1

ak = (a1 + . . .+ ai−1)︸︷︷︸b

+ai + (ai+1 + . . .+ an)︸︷︷︸c

.

Si j 6= i, aj ∈ IQj ⊆ IPi, entonces b, c ∈ IPi. Como ai /∈ IPi, podemos concluir que a /∈ IPi.�

En la seccion anterior, en 9.2.5, vimos que cualquier ideal no nulo es un factor de un idealprincipal, nosotros podemos refinar este resultado de la siguiente manera:

Proposicion 10.1.3. Si I es un ideal no nulo de un dominio de Dedekind R, entonces existe unideal no nulo I ′ tal que II ′ es un ideal principal. Mas aun, si K es un ideal arbitrario no nulo deR, podemos elegir a I ′ de manera tal que sea coprimo con K.

Demostracion. Sean P1, . . . , Pn los divisores primos distintos de K. Si tomamos a como en 10.1.2,tenemos que a es un elemento de I, por lo tanto (a) ⊆ I. Como en este contexto contener significadividir (7.7.5), I | (a), esto es, existe I ′ ideal no nulo de R tal que (a) = II ′. Luego, II ′ es un idealprincipal de R.

Veamos que I ′ y K son primos relativos.Supongamos que I ′ es divisible por Pi, en ese caso tenemos que existe un ideal I0 no nulo de

R, tal que I ′ = PiI0, luego (a) = IPiI0. Por la misma razon que antes, IPi| (a), entonces a ∈ Pi locual es absurdo por 10.1.2. �


10.2 El Grupo de Clases de Ideales

Corolario 10.1.4. Un dominio de Dedekind R que contiene una cantidad finita de ideales primoses un DIP.

Demostracion. Sean P1, . . . , Pn todos los ideales primos distintos y no nulos de R, y llamemosJ = P1 . . . Pn. Si I es un ideal no nulo de R, por 10.1.3 existe un ideal I ′ no nulo de R tal queII ′ = (a) y ademas I ′ + J = R. Esto nos dice que en la factorizacion de I ′ no aparece ningun idealprimo de R, entonces I ′ = R, por lo tanto

(a) = II ′ = IR = I.

Luego R es DIP. �

Ahora sabemos bajo que condiciones un dominio de Dedekind es un DIP. Lo que nos muestrael proximo resultado es que en general un dominio de Dedekind no esta tan lejos de cumplir esacondicion.

Corolario 10.1.5. Si I es un ideal no nulo de un dominio de Dedekind R, y a 6= 0R es cualquierelemento de I, entonces I puede ser generado por dos elementos, uno de los cuales es a.

Demostracion. Como a ∈ I, (a) ⊆ I, entonces existe un ideal no nulo de R, digamos K, tal que(a) = IK. Por 10.1.3, existe un ideal I ′ no nulo de R, tal que para algun b ∈ R, II ′ = (b) yK + I ′ = R. Luego

(a, b) = (a) + (b) = mcd((a) ; (b)) = mcd(IK; II ′).

Y como (K; I ′) = (1R), se tiene que (a, b) = (IK; II ′) = I. �

10.2. El Grupo de Clases de Ideales

En esta subseccion denotaremos por R a un dominio de Dedekind, y K sera su cuerpo defracciones (2.3.1).

Sea I(R) el grupo de ideales fraccionales no nulos de R. Si P (R) es el subconjunto de I(R) queconsiste de todos los ideales principales fraccionales no nulos de la forma xR, con x ∈ K, es facilver que P (R) es un subgrupo de I(R), ya que si para x, y en K, Rx y Ry pertenecen a P (R), setiene que

(Rx)(Ry)−1 = (Rx)(Ry−1) = Rxy−1 ∈ P (R).

El grupo cociente C(R) = I(R)/P (R) es llamado grupo de clases de ideales de R. ComoR es conmutativo, C(R) es abeliano. Se puede ver tambien que C(R) es finito, pero para ello senecesitan herramientas tales como la teorıa de Minkowsky, la cual pertenece al area de la geometrıade numeros y no sera desarrollada en este trabajo (ver [2]). Lo interesante de esto, es que nos dauna idea de cuan cerca esta un dominio de Dedekind de ser un DIP.

Proposicion 10.2.1. C(R) es trivial si y solo si R es DIP.

Demostracion.

⇒) Si C(R) es trivial, entonces todo ideal integral I de R es un ideal principal fraccional de la formaRx, para x ∈ K. Como x = 1Rx ∈ I ⊆ R, luego R es DIP.

⇐) Si suponemos que R es DIP y tomamos un ideal fraccional I no nulo de R, entonces existe algunr 6= 0R en R tal que rI ⊆ R. Como rI es un ideal principal, tenemos que rI = Ra para alguna ∈ R. Luego I = R(a/r) con a/r ∈ K. Por lo tanto, todo ideal fraccional no nulo I de R es unideal principal fraccional, lo cual implica que C(R) es trivial. �


10 ARITMETICA EN DOMINIOS DE DEDEKIND

10.3. Dominios de Dedekind y Teorıa de Numeros

Nos vamos a ocupar ahora de la factorizacion de un ideal en un cuerpo numerico. Aunqueno contemos aun con todas las herramientas de la teorıa de numeros que son utilizadas para eldesarrollo de este tema, estamos en condiciones de obtener algunos resultados manipuleando losque conocemos hasta ahora.

Por 4.1.5, como −5 ≡ 3 mod 4, se tiene que el anillo B de enteros algebraicos del cuerponumerico Q(

√−5) es Z[

√−5]. Si lo que deseamos es factorizar el ideal (2) = 2B en B, la idea es

factorizar el polinomio x2+5 mod 2, y lo que se obtiene es que x2+5 ≡ (x+1)2 mod 2. Identificandox con

√−5, podemos formar el ideal P2 =

(2; 1 +

√−5), el cual resulta ser primo. La factorizacion

deseada es (2) = P 22 . Esta tecnica funciona si B = Z[α], donde el cuerpo numerico es Q(α).

Proposicion 10.3.1. Veamos que efectivamente (2) = P 22 .

Demostracion.

⊆) (1−√−5) ∈ P2, ya que 1−

√−5 = 2− (1 +

√−5), entonces

6 = (1 +√−5)(1−

√−5) ∈ P 2

2 .

Como 2 ∈ P2, entonces 4 ∈ P 22 , luego 2 = 6 − 4 pertenece a P 2

2 . Podemos concluir entonces que(2) ⊆ P 2

2 .

⊇) P 22 =

(2; 1 +

√−5)2 entonces

(P 2

2

)=(4; 2(1 +

√−5); (1 +

√−5)2

). Luego, como

(1 +√−5)2 = −4 + 2

√−5,

podemos afirmar que P 22 ⊆ (2), ya que cada generador de P 2

2 es multiplo de 2. �


10.4 Ejercicios

10.4. Ejercicios

Los ejercicios 10.4.1 y 10.4.2 de esta seccion han sido desarrollados mas claramente en el contextode la subseccion 10.2. Del mismo modo, el ejercicio 10.4.3 forma parte de la subseccion 10.3.

10.4.1. Sea P (R) como en 10.2, mostrar que es un subgrupo de I(R).

Demostracion. Sean x, y en K, Rx y Ry pertenecientes a P (R), luego

(Rx)(Ry)−1 = (Rx)(Ry−1) = Rxy−1 ∈ P (R).

�

10.4.2. C(R) es trivial si y solo si R es DIP.

Demostracion.

⇒) Si C(R) es trivial, entonces todo ideal integral I de R es un ideal principal fraccional de la formaRx, para x ∈ K. Como x = 1Rx ∈ I ⊆ R, luego R es DIP.

⇐) Si suponemos que R es DIP y tomamos un ideal fraccional I, no nulo de R, entonces existealgun r 6= 0R en R tal que rI ⊆ R. Como rI es un ideal principal (R es DIP), tenemos que rI = Rapara algun a ∈ R. Luego I = R(a/r) con a/r ∈ K. Por lo tanto, todo ideal fraccional no nulo, I deR es un ideal principal fraccional, lo cual implica que C(R) es trivial. �

10.4.3. Sea P2 =(2; 1 +

√−5), mostrar que efectivamente (2) = P 2

2 en Z[√−5].

Demostracion.

⊆) (1−√−5) ∈ P2, ya que 1−

√−5 = 2− (1 +

√−5), entonces

6 = (1 +√−5)(1−

√−5) ∈ P 2

2 .

Como 2 ∈ P2, entonces 4 ∈ P 22 , luego 2 = 6 − 4 pertenece a P 2

2 . Podemos concluir entonces que(2) ⊆ P 2

2 .

⊇) P 22 =

(2; 1 +

√−5)2 entonces

(P 2

2

)=(4; 2(1 +

√−5); (1 +

√−5)2

). Luego, como

(1 +√−5)2 = −4 + 2

√−5,

podemos afirmar que P 22 ⊆ (2), ya que cada generador de P 2

2 es multiplo de 2. �

10.4.4. Utilizando la misma tecnica que en el ejercicio anterior, factorizar (3) en Z[√−5].

Demostracion. Empecemos factorizando el polinomio x2 + 5 mod 3. De este modo tenemos que:

x2 + 5 ≡ (x+ 1)(x− 1) mod 3.

Esto nos induce a pensar que (3) = P3P′3 donde P3 =

(3; 1 +

√−5)

y P ′3 =(3; 1−

√−5). Para

mostrarlo verifiquemos la doble inclusion.

⊇) P3P′3 =

(9; 3(1−

√−5); 3(1 +

√−5); 6

). Claramente, cada generador de P3P

′3 es multiplo de 3.

⊆) Como 9, 6 ∈ P3P′3, luego 9− 6 = 3 pertenece a P3P

′3. Por lo tanto (3) ⊆ P3P

′3. �


11 NUMEROS P-ADICOS

11. Numeros p-adicos

Daremos una introduccion muy informal de esta area basica de la Teorıa de Numeros. Asumi-remos que p es un numero primo fijo.

11.1. Enteros p-adicos.

Un entero p-adico puede ser descripto por varios caminos. Una representacion es vıa la serie

x =∞∑i=0

aipi, con ai ∈ Z. (1)

Por ahora ignoraremos el problema de convergencia. Las sumas parciales son

xn = a0 + a1p+ . . .+ anpn,

de modo que xn − xn−1 = anpn. Un entero p-adico puede ser definido tambien como una sucesion

de enteros x = {x0, x1, . . .} que satisface

xn ≡ xn−1 mod pn, n = 1, 2, . . . (2)

Dada una sucesion que satisface (2), podemos recuperar los coeficientes de la serie (1) mediante

a0 = x0, a1 =x1 − x0

p, a2 =

x2 − x1

p2, . . .

Las sucesiones x e y definen el mismo entero p-adico si y solo si xn ≡ yn mod pn+1, paran = 0, 1, . . . Si reemplazamos cada xn por el menor entero no negativo congruente a el mod pn+1,equivale a restringir los ai en (1) al conjunto {0, 1, . . . , p− 1}. A esto lo llamamos representacionstandard. Luego, (1) es el caso limitado, en algun sentido, de la expansion en base p.

Las sumas y productos de enteros p-adicos pueden ser definidos por multiplicacion de polinomios,si se utiliza (1). Con la representacion (2), tomamos

x+ y = {xn + yn} ,

xy = {xnyn} .

Con adicion y multiplicacion definidas de este modo, tenemos el anillo de enteros p-adicos,denotado por θp . Los enteros racionales Z forman un subanillo de θp vıa x = {x, x, x, . . .}.

Ahora identificaremos las unidades de θp .

Proposicion 11.1.1. El entero p-adico x = {xn} es una unidad de θp (tambien llamada unidadp-adica) si y solo si x0 ≡/ 0 mod p. En particular, un entero racional a es una unidad p-adica si ysolo si a ≡/ 0 mod p.

Demostracion.

⇒) Si (a0 + a1p+ . . .)(b0 + b1p+ . . .) = 1, entonces a0 b0 = 1. Ası, a0 ≡/ 0 mod p.


11.2 Valor absoluto no arquimediano.

⇐) Sea x0 ≡/ 0 mod p . Por (2),

xn ≡ xn−1 mod pn

xn−1 ≡ xn−2 mod pn−1

...x1 ≡ x0 mod p,

por lo que xn ≡/ 0 mod p. De este modo, xn y pn+1 son primos relativos, con lo cual existe yntal que xnyn ≡ 1 mod pn+1 (por lo tanto, mod pn). Por (2), xn ≡ xn−1 mod pn, de modo quexnyn−1 ≡ xn−1 yn−1 ≡ 1 modpn. Luego, xnyn ≡ xnyn−1 mod pn y ası, yn ≡ yn−1 mod pn. De estemodo, la sucesion y = {yn} es un entero p-adico y por construccion, xy = 1.

�

Corolario 11.1.2. Todo entero p-adico no nulo tiene la forma x = pnu, donde n ≥ 0 y u es unaunidad p-adica. Consecuentemente, θp es un dominio ıntegro. Mas aun, θp tiene a p como unicoelemento primo, y todo x ∈ θp es una potencia de p salvo producto por una unidad.

Demostracion. La representacion de la serie para x tiene un termino no nulo anpn de grado mınimon, donde an puede considerarse entre 1 y p − 1. Tomando como factor comun a pn, se tiene quex = pnu, donde u es una unidad (11.1.1).

�

11.2. Valor absoluto no arquimediano.

Definicion 11.2.1. Una valuacion v sobre un cuerpo F es una funcion a valores reales sobreF − {0} que satisface:

(a) v(xy) = v(x) + v(y);

(b) v(x+ y) ≥ min(v(x), v(y)).

Por convencion, tomamos v(0) = +∞.

Definicion 11.2.2. Un valor absoluto sobre un cuerpo F es una funcion a valores reales sobreF tal que:

1. |x| ≥ 0, con la igualdad si y solo si x = 0;

2. |xy| = |x||y|;

3. |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

Observacion 11.2.3. Si c es cualquier numero real mayor que 1, entonces la valuacion v induceun valor absoluto sobre F , concretamente

|x| = c−v(x).


11 NUMEROS P-ADICOS

Por (b), un valor absoluto inducido por una valuacion satisface una propiedad mas fuerte que 3):

4. |x+ y| ≤ max (|x|, |y|).

La desigualdad 4 se llama desigualdad ultrametrica. Un valor absoluto que satisface una de-sigualdad ultrametrica es llamado no arquimediano. Un valor absoluto que no es no arquimedianose llama arquimediano. 4

Proposicion 11.2.4. Sea F el cuerpo cociente de un dominio ıntegro R. El valor absoluto | · |sobre F es no arquimediano si y solo si |n| ≤ 1 para todo entero n = 1± . . .± 1 ∈ R.

Demostracion.

⇒) Supongamos que | · | es no arquimediano. Por propiedad de valor absoluto, |±1| = 1. Si |n| ≤ 1,entonces por propiedad 4), |n± 1| ≤ 1 y por induccion se tiene el resultado deseado.

⇐) Asumimos que el valor absoluto de todo entero es a lo sumo 1. Para probar 4) es suficientecon mostrar que |x+ 1| ≤ max (|x|, 1) para todo x ∈ F . (Si y 6= 0 en 4), dividimos por |y|.) Por elteorema del binomio,

|x+ 1|n =

∣∣∣∣∣n∑i=0

(ni)xi

∣∣∣∣∣ ≤n∑i=0

∣∣∣(ni)∣∣∣ |x|i.Por hipotesis, el entero

(ni)

tiene valor absoluto menor o igual que 1. Si |x| > 1, entonces

|x|i ≤ |x|n para todo i = 0, 1, . . . , n. Consecuentemente,

|x+ 1|n ≤ (n+ 1) max (|x|n, 1).

Tomando raıces n-esimas y n→∞, tenemos que |x+ 1| ≤ max (|x|, 1).�

El siguiente resultado puede parecer inocuo, pero es una propiedad importante de valores ab-solutos no arquimedianos.

Proposicion 11.2.5. Si | · | es un valor absoluto no arquimediano y |x| 6= |y|, entonces

|x+ y| = max (|x|, |y|).

Demostracion. Primero notemos que | − y| = |(−1)y| = | − 1||y| = |y|. Sin perdida de generalidadpodemos asumir que |x| > |y|. Usando la propiedad 4) de la observacion 11.2.3 tenemos

|x| = |x+ y − y| ≤ max(|x+ y|, |y|) = |x+ y|.

(De no ser ası, max (|x+ y|, |y|) = |y|, con lo cual |x| ≤ |y| < |x|, una contradiccion.) Por otraparte, |x+ y| ≤ max (|x|, |y|) = |x|, completando la demostracion.

�

Cada valor absoluto determina una metrica vıa d(x, y) = |x− y|. Esta funcion distancia puedeser usada para medir la longitud de los lados de un triangulo.

Corolario 11.2.6. Con respecto a la metrica inducida por un valor absoluto no arquimediano,todos los triangulos son isosceles.


11.2 Valor absoluto no arquimediano.

Demostracion. Sean x, y, z los vertices de un triangulo. Entonces

|x− y| = |(x− z) + (z − y)|.

Si |x− z| = |z− y|, entonces dos lados tienen la misma longitud. Si |x− z| 6= |z− y|, por 11.2.5se tiene que |x− y| = max (|x− z|, |z − y|), y nuevamente tenemos dos lados de igual longitud.

�

Definicion 11.2.7. Sea | · | un valor absoluto no arquimediano sobre un cuerpo F . El anillovaluacion de | · | es

θ = {x ∈ F : |x| ≤ 1} .

Definicion 11.2.8. El ideal valuacion de | · | es

β = {x ∈ F : |x| < 1} .

Definicion 11.2.9. Un anillo con un unico ideal maximal es llamado anillo local.

Proposicion 11.2.10. Sea | · | un valor absoluto no arquimediano sobre el cuerpo K. Sean θ suanillo valuacion y β su ideal valuacion. Entonces:

1. θ es un anillo local con ideal maximal β y cuerpo cociente K.

2. Si u ∈ K, entonces u es unidad de θ si y solo si |u| = 1.

3. Si | · | es no trivial, entonces θ no es un cuerpo.

Demostracion.

1. Para verificar que β es un ideal de θ, notemos que si x, y ∈ β y r ∈ θ, entonces

|rx| = |r||x| ≤ |x| < 1 y |x+ y| ≤ max (|x|, |y|) < 1.

Por otra parte, si x ∈ θ − β, entonces |x| = 1; con lo cual |x−1| = 1/|x| = 1. Ası, x−1 ∈ θ y xes una unidad de θ. Pero si x ∈ β, entonces no puede ser unidad de θ. En efecto, si xy = 1, resulta1 = |x||y| ≤ |x| < 1. Luego, el ideal β es el conjunto de todos los elementos de θ que no son unidad.

Ningun ideal propio I de θ puede contener una unidad, de modo que I ⊆ β. Se sigue que β esel unico ideal maximal de θ.

Por otra parte, K es el cuerpo cociente de θ, pues si z ∈ K, z 6= 0, entonces z o su inverso estanen θ.

2. Si u, v ∈ θ y u v = 1, entonces |u||v| = 1. Pero |u|, |v| ≤ 1, por lo que debe ser |u| = |v| = 1.Recıprocamente, si |u| = 1 se tiene que |u−1| = 1. Pero entonces u y u−1 estan en θ, por lo que

u debe ser unidad de θ.

3. Supongamos que | · | es no trivial, entonces existe x 6= 0 tal que |x| 6= 1; con lo cual |x| < 1 y|x−1| > 1 o |x| > 1 y |x−1| < 1. En ambos casos, se tiene un elemento de θ con inverso fuera de θ.

�


11 NUMEROS P-ADICOS

11.3. Numeros p-adicos

Cualquier racional r 6= 0 se puede escribir de la forma r = pn uv con n, u, v ∈ Z, p |/ u y p |/ v.

Definimos la funcion | · |p como

|r|p = p−n y |0| = 0.

La definicion claramente satisface 1) y 2) de 11.2.2. Para ver 3), sea s = pm wz , con m,w, z ∈ Z,

p |/w y p |/ z. Se verifica que |s|p = p−m. Sin perdida de generalidad podemos suponer que m ≥ n,con lo cual

r + s = pnuz + pm−n vw

vz.

Ahora bien, p |/ vz y si m 6= n, p |/ uz+pm−nvz. Ası, |r+ s|p ≤ p−n y |r+ s|p ≤ max (|r|p , |s|p). Estonos dice que | · |p satisface una desigualdad ultrametrica, que claramente implica la desigualdadtriangular. Luego, | · |p es un valor absoluto (no arquimediano) y lo denominaremos valor absolutop-adico.

Ejemplos 11.3.1.

1. |60|2 = 122 = 1

4

2. |60|3 = 13

3. |40|2 = 123 = 1

8

Definicion 11.3.2. Diremos que una sucesion {an} es de Cauchy si dado ε > 0, existe n0 = n0(ε)tal que

|am − an|p < ε, ∀m,n ≥ n0.

La sucesion {an} converge a a si

|an − a|p < ε, ∀n ≥ n0.

El problema es que con esta metrica, Q no es completo. Por ejemplo, si p = 5, construyamosuna sucesion {an} que verifique:

a2n + 1 ≡ 0 mod 5n,

an+1 ≡ an mod 5n y a1 = 2.

Supongamos que ya tenemos una expresion para {an} y escribamos an+1 = an + c5n, con c ∈ Za determinar. Como

(an + c5n)2 + 1 ≡ 0 mod 5n+1

se tiene que

a2n + 1 + 2 · 5nanc+ 52nc2 ≡ 0 mod 5n+1,


11.3 Numeros p-adicos

de donde2anc+ k ≡ 0 mod 5,

con k = a2n+15n ∈ Z. Como 5 |/ an, existe un c que verifica la congruencia anterior.

La sucesion obtenida es de Cauchy con la metrica 5-adica, dado que

|am − an|5 ≤ 5−n, ∀m ≥ n.

Supongamos que existe l ∈ Q tal que an −−−→n→∞

l. Entonces

a2n + 1 −−−→

n→∞l2 + 1.

Pero por construccion, a2n + 1 −−−→

n→∞0, con lo cual l2 + 1 = 0. Absurdo. 4

Daremos ahora una idea de la completacion de Q con la metrica inducida por | · |p . Dichacompletacion se llamara cuerpo de numeros p-adicos y se denotara por Qp.

Sea S el conjunto de las sucesiones de Cauchy {an} para | · |p con an ∈ Q, y sea N el conjuntode sucesiones nulas, es decir, las sucesiones {an} tales que an −−−→

n→∞0. Es facil ver que N es un

ideal de S.Sea {an} ∈ S −N . Se puede probar que existe al menos un N ∈ N tal que |aN − an|p < |aN |p,

∀n > N . Para dicho N , por 11.2.5 se tiene que

|an|p = |(an − aN ) + aN |p = max(|an − aN |p , |aN |p) = |aN |p, ∀n > N.

Por otra parte, es sencillo demostrar que si an 6= 0 para todo n, entonces{a−1n

}∈ S. Veamos

ahora que N es un ideal maximal de S. De no serlo, existirıa un ideal maximalM tal que N ⊂M.Tomando {an} ∈ M − N , se tiene que solo finitos an son nulos y pueden ser reemplazados poralgun numero racional no nulo, digamos, por 1. Ası, podemos suponer que an 6= 0 para todo n yresulta

{a−1n

}∈ S. Luego, {an}

{a−1n

}∈M, con lo cual M = S. Absurdo.

Se tiene entonces que N es maximal y ası, S/N es un cuerpo.

Consideremos el isomorfismo

φ : Q −→ S/Nr 7→ {r}+N

donde {r} es la sucesion constantemente igual a r. La aplicacion φ induce una funcion φ en S/Ndefinida por

φ(α) = lımk→∞

|αk|p .

Sea {αk} ⊂ S. Ası, {|αk|p} es de Cauchy en R, con lo cual existe lımk→∞

|αk|p en R. Luego, si βky αk estan en la misma clase y ε > 0, existe k0 tal que

|αk − βk|p < ε, ∀k ≥ k0.


11 NUMEROS P-ADICOS

De este modo,

||αk|p − |βk|p| < ε, ∀k ≥ k0.

Como lımk→∞

|αk|p = lımk→∞

|βk|p, dicho lımite no depende de la eleccion de {αk}.

Si α ∈ Q, entonces φ(α) = |α|p ; luego, φ es una extension de | · |p .

Veamos ahora que Q es denso en S/N . Sea A = {αk}k +N ∈ S/N .Si βk = {αk, αk, . . .}, entonces podemos identificar Ak = βk +N con αk. Ademas

lımk→∞

Ak = {αk}k +N .

Para ε > 0 podemos encontrar n0 ∈ N tal que |αm − αn0 |p < ε, si m > n0. Luego, existelımm→∞

|αm − αn0 |p ≤ ε.

Por otro lado,

φ(A−Ak) = lımm→∞

|αm − αk|p ≤ ε, si k ≥ n0.

Por lo tanto,lımk→∞

Ak = A

concluyendo que Q es denso en S/N .Finalmente, veamos que S/N es completo. Sea {Ak}k una sucesion de Cauchy de elementos de

S/N . Para cada k podemos tomar αk ∈ Q ⊆ S/N tal que φ(Ak − αk) < 12k . Entonces

|αm − αn|p ≤ φ(αm −Am) + φ(Am −An) + φ(An − αn) ≤ φ(Am −An) +1

2m+

12n.

Como {Ak}k es una sucesion de Cauchy, tenemos que {αk}k es una sucesion de Cauchy deelementos de Q. Tomando A = {αk}k +N como antes, se puede ver que lımAk = A. Luego, S/Nes completo.

Observacion 11.3.3. En Qp la valuacion p-adica esta definida por vp(pmu) = m. De este modo,|x|p = p−vp(x) = p−m. 4

Observacion 11.3.4. En el caso p-adico, θ = {x ∈ Qp : vp(x) ≥ 0} = θp . Por propiedades 2) y 4)de 11.2.3, θ es un subanillo de F .

Por otra parte, β = {x ∈ Qp : vp(x) ≥ 1} = p θp , que consta de enteros p-adicos cuya serie derepresentacion no posee terminos constantes. 4

11.3.5. Representacion en serie de potenciasPor 11.1.2 cada α ∈ Qp tiene la forma pru, donde r es un entero (posiblemente negativo) y u es

una unidad de θ. Sea S un conjunto fijo de representantes de los cosets de θ/β. Mostraremos quecada α ∈ Qp tiene una expansion en serie de Laurent

α =a−mpm

+ . . .+a−1

p+ a0 + a1p+ a2p

2 + . . . , ai ∈ S

y si ar es el primer coeficiente no nulo, entonces vp(α) = r.


11.3 Numeros p-adicos

La idea es expandir la unidad u en una serie de potencias que involucran solo potencias nonegativas de p. Para algun a0 ∈ S, tenemos que u − a0 ∈ β, con lo cual vp(u − a0) ≥ 1, entoncesvp((u − a0)/p) ≥ 0. Ası, (u − a0)/p ∈ θ. Luego, para algun a1 ∈ S tenemos [(u − a0)/p] − a1 ∈ β,en otras palabras

u− a0 − a1p

p∈ β.

Por el mismo razonamiento tenemos

u− a0 − a1p

p2∈ θ.

Continuando inductivamente se obtiene la expansion en serie deseada.Notar que por definicion de S, los coeficientes ai son unicos. Luego, una expansion de α que

comienza con un termino de grado r en p corresponde a la representacion α = upr y a la valuacionvp(α) = r. Ademas, como |p |p < 1, el valor absoluto p-adico de las potencias positivas de p soncada vez mas pequenas. La sucesion de sumas parciales Sn de la serie verifica Sn ≡ Sn−1 mod pn.

Ejemplo 11.3.6. Trataremos de escribir√

6 en Q5. Para esto, debemos hallar a0, a1, a2, . . . con0 ≤ ai ≤ 4 tales que

(a0 + a15 + a252 + . . .)2 = 1 + 1 · 5.

Comparando los coeficientes de 1 = 50 sobre ambos lados, tenemos que a20 ≡ 1 mod 5 y por lo

tanto a0 = 1 o 4. Si tomamos a0 = 1 y comparamos los coeficientes de 5 sobre el otro lado tenemosque 2a1 · 5 ≡ 1 · 5 mod 52. Luego, 2a1 ≡ 1 mod 5, con lo cual a1 = 3. En el siguiente paso tenemos:

1 + 1 · 5 ≡ (1 + 3 · 5 + a252)2 ≡ 1 + 1 · 5 + 2a252 mod 53.

De este modo, 2a2 ≡ 0 mod 5, por lo tanto a2 = 0. Procediendo de esta manera obtenemos unaserie

a = 1 + 3 · 5 + 0 · 52 + 4 · 53 + a454 + a555 + . . .

donde cada ai esta unıvocamente determinado.Ahora, si tomamos a0 = 4 tenemos que

−a = 4 + 1 · 5 + 4 · 52 + 0 · 53 + (4− a4)54 + (4− a5)55 + . . .

El hecho de tener dos elecciones para a0, y una vez elegido a0, solo una posibilidad paraa1, a2, a3, . . ., refleja que los elementos no nulos en un cuerpo como Q, R o Qp siempre tienenexactamente dos raıces cuadradas en el cuerpo (si es que tienen alguna).

Teorema 11.3.7. La serie infinita de numeros p-adicos∞∑n=1

zn converge si y solo si zn −−−→n→∞

0.

(Ver ejercicio 11.4.6)

Ejemplo 11.3.8. La representacion 5-adica de −0,25 es

−0,25 = −14 = 1

1−5 = 1 + 5 + 52 + 53 + . . .

(Se utiliza la formula geometrica 11−x = 1 + x + x2 + x3 + . . ., si |x|5 < 1. En nuestro caso,

|5|5 = 15 . ) De este modo, la sucesion an = 5n −−−→

n→∞0 con la norma p-adica.


11 NUMEROS P-ADICOS

Recordemos que dos metricas d1 y d2 sobre un espacio F son equivalentes si cada sucesion deCauchy con d1 es de Cauchy con d2 y recıprocamente. El Teorema de Ostrowsky afirma que el valorabsoluto usual | · |∞ en Q, el valor absoluto | · |p para p primo y el valor absoluto trivial agotantodas las posibilidades. Para ser mas precisos, cada valor absoluto no trivial es equivalente a | · |p,para algun p primo o p =∞ (Ver [5]).


11.4 Ejercicios

11.4. Ejercicios

11.4.1. Calcular para p = 3 la representacion standard de (2 + p + p2)(2 + p2) por dos caminos,utilizando (1) y (2). Comprobar el resultado calculando el producto usual de dos enteros y expandiren base p = 3.

Demostracion. Supongamos que p = 3.

(2 + p+ p2)(2 + p2) = 4p0 + 2p2 + 2p+ p3 + 2p2 + p4

= 3p0 + p0 + 2p+ 3p2 + p2 + p3 + p4

= p+ p0 + 2p+ p3 + p2 + p4

= p0 + 2p2 + 2p3 + p4

= 1 + 2 · 32 + 2 · 33 + 34.

Utilizando (2) podemos representar (2 + p+ p2) y (2 + p2) como

x = {2, 5, 14, 14, . . .} ,

y = {2, 2, 11, 11, . . .} .

Luego, si z = xy se tiene que

z0 = 4 ⇒ z0 ≡ 1 mod 3

z1 = 10 ⇒ z1 ≡ 1 mod 32

z2 = 154 ⇒ z2 ≡ 19 mod 33

z3 = 154 ⇒ z3 ≡ 73 mod 34

z4 = 154 ⇒ z4 ≡ 154 mod 35

La representacion standard de z es entonces

z = {1, 1, 19, 73, 154, 154, . . .} .

Para verificar, calculamos

(2 + 3 + 32)(2 + 32) = 154,

que en base 3 se escribe como

154 = 1 + 2 · 32 + 2 · 33 + 34.

�


11 NUMEROS P-ADICOS

11.4.2. Expresar el entero p-adico −1 como serie infinita de la forma (1) usando representacionstandard.

Demostracion. Si −1 = {x0, x1, . . .}, entonces xn = −1 para todo n.

Para la representacion standard hacemos:

x0 ≡ −1 mod p ⇒ x0 + 1 = p ⇒ x0 = p− 1

x1 ≡ −1 mod p2 ⇒ x1 = p2 − 1

x2 ≡ −1 mod p3 ⇒ x2 = p3 − 1

...

xn ≡ −1 mod pn+1 ⇒ xn = pn+1 − 1.

Calculemos an en Zp :

a0 = p− 1

a1 =x1 − x0

p=p2 − 1− (p− 1)

p=p(p− 1)

p= p− 1

...

an =xn − xn−1

pn=

(pn+1 − 1)− (pn − 1)pn

=(p− 1)pn

pn= p− 1,

por lo tanto,

−1 = (p− 1) + (p− 1)p+ (p− 1)p2 + . . .

�

11.4.3. Mostrar que todo valor absoluto sobre un cuerpo finito es trivial.

Demostracion. Sea E un cuerpo finito de caracterıstica p > 0 con q = pn elementos. Si x ∈ E∗,entonces xq−1 = 1, con lo cual |x|q−1 = 1. Ası, |x| = 1.

�

11.4.4. Mostrar que un valor absoluto es arquimediano si y solo si el conjunto S = {|n| : n ∈ Z}es no acotado.

Demostracion.

⇒) Si | · | es arquimediano, entonces por 11.2.4 existe n0 ∈ Z tal que |n0| > 1. Luego, para n ∈ Z,n · n0 ∈ Z y |n · n0| = |n||n0| > |n|. Por lo tanto, S es no acotado.


11.4 Ejercicios

⇐) Si S es no acotado, existe n0 ∈ Z tal que |n0| > 1. Por 11.2.4, | · | es arquimediano. �

11.4.5. Mostrar que un cuerpo S que tiene un valor absoluto arquimediano, debe tener carac-terıstica 0.

Demostracion. Sea r la caracterıstica de S y n0 ∈ Z tal que |n0| > 1. Luego,

1 = |nr0| = |n0|r.

La unica posibilidad de que se cumpla esta igualdad, es que r = 0.�

11.4.6. Mostrar que la serie infinita de numeros p-adicos∞∑n=1

zn converge si y solo si zn −−−→n→∞

0.

Demostracion.

⇒) Si∞∑n=1

zn converge, entonces zn −−−→n→∞

0, igual que en analisis real.

⇐) Supongamos que zn −−−→n→∞

0. Entonces

|zr + zr+1 + . . .+ zs| ≤ max(|zi|, r ≤ i ≤ s) −→ 0 cuando r, s→∞.

Por lo tanto, SN =N∑n=1

zn es de Cauchy en Qp y ası, converge. �

11.4.7. Mostrar que la sucesion an = n! de enteros p-adicos converge a 0.

Demostracion. Observemos que si n > p

n! = n(n− 1) . . . 3p . . . 2p . . . p . . . 3 · 2 · 1.

Ahora, si rp ≤ n ≤ (r + 1)p, entonces |n!|p = p−r −→ 0 cuando r −→∞. �

11.4.8. La sucesion an = n, ¿converge en Qp?

Demostracion. No. Todo entero n tal que rp < n < (r+ 1)p tiene valor absoluto p-adico 1 (11.1.1).Luego, la sucesion de valores absolutos |n|p no puede converger; con lo cual, la sucesion an = n noconverge. �


A APENDICE

A. Apendice

A.1. Teorema de Jordan-Holder para grupos

Para demostrar el teorema de Jordan-Holder, primero enunciaremos y demostraremos dos re-sultados previos, el lema de Zassenhaus y el teorema de refinamiento de Schreier.

Lema A.1.1.

1. Si K /H ≤ G y f un homomorfismo sobre G, entonces f(K) / f(H).

2. Si K /H ≤ G y N / G, entonces NK / NH.

3. Si A,B,C y D son subgrupos de G con A / B y C / D, entonces A(B ∩ C) / A(B ∩D).

4. Si A,B,C y D son subgrupos de G con A/B y C/D, entonces A(B∩C)∩B∩D = C(D∩A)∩D∩B.Equivalentemente A(B ∩ C) ∩D = C(D ∩A) ∩B.

Demostracion.

1. Como f es un homorfismo sobre G,

f(h)f(k)f(h−1) = f(h k h−1) ∈ f(K),

para todo h ∈ H y k ∈ K. Luego f(K) / f(H).

2. Sea f el mapa canonico de G sobre G/N , por 1) tenemos que

f(NK) / f(NH) =⇒ NK/N / NH/N,

y aplicando el teorema de correspondencia NK / NH.

3. Aplicar 2) a G = B,N = A,K = (B ∩ C), H = (B ∩D).

4. Ambas versiones resultan equivalentes, ya que A(B∩C) ≤ B y C(D∩A) ≤ D. Si x ∈ A(B∩C)∩D,luego x = a c con a ∈ A y c ∈ (B ∩ C) y ademas x ∈ D. Pero x = c(c−1ac) = ca∗ para alguna∗ ∈ A / B. Como x = a c con a ∈ A ≤ B y c ∈ (B ∩ C) ≤ B, entonces x ∈ C(D ∩ A) ∩ B.De este modo tenemos que A(B ∩ C) ∩D ≤ C(D ∩ A) ∩ B. De manera analoga se puede ver queC(D ∩A) ∩B ≤ A(B ∩ C) ∩D. Por lo tanto A(B ∩ C) ∩D = C(D ∩A) ∩B.

�

A.1.2. Lema de ZassenhausSean A,B,C,D subgrupos del grupo G tales que A / B y C / D, luego

A(B ∩D)A(B ∩ C)

∼=C(D ∩B)C(D ∩A)

.

Demostracion. Por A.1.1 3) el cociente esta bien definido. Tomemos u ∈ A(B∩D)A(B∩C) , de este modo

u = ayA(B ∩ C) con a ∈ A, y ∈ B ∩D. Pero ay = y(y−1ay) = ya∗, a∗ ∈ A, entonces

ayA(B ∩ C) = ya∗A(B ∩ C) = yA(B ∩ C).

Similarmente para v ∈ C(D∩B)C(D∩A) , v = zC(D ∩A) con z ∈ D ∩B = B ∩D. Luego, como y, z ∈ B ∩D

se tiene que:yA(B ∩ C) = zA(B ∩ C)⇔ z−1y ∈ A(B ∩ C) ∩B ∩D


A.1 Teorema de Jordan-Holder para grupos

lo cual es equivalente ( por A.1.1 4) ) a,

z−1y ∈ C(D ∩A) ∩D ∩B ⇔ yC(D ∩A) = zC(D ∩A).

Sea h el mapa que manda yA(B∩C) a yC(D∩A), luego h es una biyeccion bien definida de A(B∩D)A(B∩C)

en C(D∩B)C(D∩A) , y por la definicion de producto en el cociente, h es un isomorfismo. Por lo tanto

A(B ∩D)A(B ∩ C)

∼=C(D ∩B)C(D ∩A)

.

�

A.1.3. Definiciones y comentariosSea 1 = H0 / H1 / H2 / . . . / Hn = G una serie subnormal. Un refinamiento de un paso de

esta serie, es cualquier serie de la forma

1 = H0 / H1 / H2 / . . . / Hi / N / Hi+1 / . . . / Hn = G.

Un refinamiento de una serie subnormal S es obtenido por aplicarle a S refinamientos de unpaso. En el caso en que las inserciones sean estrictas, diremos que el refinamiento es propio. (Enese caso la longitud del refinamiento es mayor que la de S.) Diremos tambien que dos series sonequivalentes si tienen la misma longitud y sus grupos factores son iguales salvo isomorfismos yreordenamientos.

A.1.4. Teorema de Refinamiento de SchreierSean 1 = H0 / H1 /H2 / . . . /Hr = G y 1 = K0 /K1 /K2 / . . . /Ks = G, dos series subnormales

para G. Luego ambas series tienen refinamientos equivalentes.

Demostracion. Sean Hij = Hi(Hi+1 ∩Kj) y Kij = Kj(Kj+1 ∩Hi). Por A.1.2 tenemos que

Hi,j+1

Hij

∼=Ki+1,j

Kij.

Construiremos refinamientos propios de ambas series, pero en un ejemplo concreto. El primerrefinamiento tendra r bloques de longitud s, y el segundo tendra s bloques de longitud r, de estemodo ambos refinamientos tendran longitud rs.

Tomemos r = 2 y s = 3, y ası conseguimos las series:

1 = H00 / H01 / H02 / H03 = H1 = H10 / H11 / H12 / H13 = H2 = G,

1 = K00 / K10 / K20 = K1 = K01 / K11 / K21 = K2 = K02 / K12 / K22 = K3 = G,

y sus factores correspondientes:

H01

H00

∼=K10

K00,H02

H01

∼=K11

K01,H03

H02

∼=K12

K02,

H11

H10

∼=K20

K10,H12

H11

∼=K21

K11,H13

H12

∼=K22

K12.

Luego, los factores de la segunda serie, son un reordenamiento de los factores de la primera.Por lo tanto las series tienen refinamientos equivalentes. �


A APENDICE

A.1.5. Teorema de Jordan-HolderSi G tiene una serie de composicion S (en particular si G es de dimension finita), cualquier serie

subnormal R sin repeticion, puede ser refinada a una serie de composicion. Mas aun, dos series decomposicion cualesquiera para G, son equivalentes.

Demostracion. Por A.1.4, R y S tienen refinamientos equivalentes. Si sacamos los subgrupos repe-tidos de ambas series, podemos producir refinamientos equivalentes R0 y S0, sin repeticiones. Perocomo S es una serie de composicion, no tiene refinamientos propios, por lo tanto S0 = S. Luego,cualquier serie subnormal puede ser refinada a una serie de composicion.

Si R tambien es una serie de composicion, tenemos que R0 = R y ası R y S son equivalentes. �


BIBLIOGRAFIA

Bibliografıa

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[3] Hungerford; Algebra. Graduate Texts in Mathematics 73. Springer-Verlag, New York,1974.

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