Introducción a la Teoría de series de FourierConferencias explicadas en la Cátedrade la Fundación «Conde de Cartagena»

por

Sixto Ríos (*)

(Conclusión) (**)

XIII.—EL ESPACIO DE HILBERT

13. 1. Construcción axiomática del espacio de Hilbert.

Para proseguir el estudio de las funciones de cuadrado sumable vamos adefinir axiomáticamente el espacio de Hilbert, siguiendo a von Neumann, ycomprobando, a posteriori, que el espacio de las funciones de cuadrado suma-ble verifica dichos axiomas.

Definición.—Un conjunto H de elementos f, g, .. • se llama espacio deHilbert si se verifica los siguientes postulados.

POSTULADO A.—H es un espacio vectorial lineal, es decir, (a) existe una ope-ración llamada suma, aplicable a cada par de elementos del espacio, cuyo resul-tado pertenece a H y tal que verifica las propiedades asociativa y conmutativa:

f+g=g+/

(?) Existe una operación llamada producto que verifica las propiedadesasociativa y distributiva, aplicable a cada número complejo aya cada ele-mento / de H, tal que a/cH y i • / = / .

Dichas propiedades asociativa y distributiva se expresan:

(ab)/=a(bf)

(*) Redactadas con la colaboración de J. Béjar, T. Iglesias y M.a E. Ríos.(**) Véase Tomo XLI, pág. 43 y XUI pág. 9.

— 228 —

Existe en H un elemento nulo, que se designa con o, tal que

f -f- o =y" ,, a • o — o ,, o • /= o (*)

POSTULADO B.—A cada par de elementos f, g de H se le puede asignar unnúmero complejo que designaremos por (f, g) y llamaremos producto escalar, quetiene las siguientes propiedades:

•) (<*/. g) = " (/•<?)

3) (JTI /J = Í / IS") (simetría hermitiana)

4) ( y \ / ) 2 i 0 llamaremos norma de y al número real ( y , / ) 2 —\\/\\

5) ( / ,y ' ) = o sí, y solamente s ¡ / = o.

Definiremos la distancia de dos elementos f,g, como la norma de ladiferencia \\f— g || .

POSTULADO C.—Dado n arbitrariamente grande, existen n elementos de Hlinealmente independientes, es decir, que este espacio es de infinitas dimensiones.

POSTULADO D. — El espacio es separable, es decir, existe una sucesión de ele-mentos de H tal que dado un s > o, para cada elemento de H se puede deter-minar un elemento de la sucesión que diste de él menos de s.

POSTULADO E.—El espacio H es completo, es decir, que si una sucesión deelementos es convergente, converge hacia un elemento del espacio. Esto es, siuna sucesión \fH\ de elementos de H es tal que dado E > O , existe N, tal quepara n >• N y cualquier p es | |/»+/ —/» || <C £, existe un elemento f a H demodo que | |/—/„ || —»• o, para n —> co .

La compatibilidad de estos axiomas es una consecuencia de lo expuesto enel párrafo siguiente.

13. 2. El espacio de las funciones de cuadrado sumable.Vamos a demostrar ahora que el espacio Ey de las funciones complejas de

variable real de cuadrado sumable en un intervalo (a, b) (**) es un espacio H. Lafunción f(x) = s> (x) -{-'<? W es un punto de Ef si existe

b

f\f\l<tx

Diremos que un elemento J de este espacio es nulo cuando la función / es cero

{*) Obsérvese que en las dos primeras relaciones o es un elemento del espacio y en la terceraes el número nulo.

(**) Todo esto se generaliza fácilmente al caso de funciones f{ul, . . . tij,) definidas en un es-pacio euclídeo de k dimensiones.

— 229 —

en casi todos los puntos de (a, b) y que dos funciones son iguales cuando sudiferencia es el elemento nulo.

Veamos ahora que el espacio Ef verifica los postulados: A) Ef es un espa-cio vectorial lineal.

a)

b)

Si

Si

/ C E/ también

/CE/ y ge.

= (/+?)(/+i)pero |R ( /

a / c E / yes Ja

i/ también {f~\~i

=ff+fg+f&+&Ú C E/

'jf=¡/i; i

P = a

pues! + !¿r¡2

[ ¡ / ' ; 2 +

2 J l / l 2 ^tí

+ ^ R (/¿j

resulta así que la función f-\-g tiene una mayorante sumable y, por consi-guiente, también es sumable, y como consecuencia lo será también la combina-ción lineal

donde \ y ¡x son dos números complejos.Se ve, pues, que tomando como definición de suma y producto en el espa-

cio L2 las ordinarias se verifican todas las propiedades expresadas.En particular

/+O = I ./-)-O./=(l -f-0)/= I •/=/

Por definición

de donde/ - f f = / + ( - O.?

Si en un espacio damos una definición de distancia D (/, g) la noción deproducto escalar viene definida del mismo modo que en el espacio eucüdiano:

/ \ 2 _ D Q

o sea (/, g) = \- [D (o,ff + D (o,f)« - D (/f

Tomando como distancia la expresión

resulta para el producto escalar la definición

r i b b "i

~T fl/-2dx + j leí'**- fif-gXf^)** =La <J o J

i- ¿ ¿ * * í "I

y j \ f \ * d x + j \ S \ * d x - j \ f \ * d x - f \ g \ * d x + f{f} + gf)dx

o sea

De este modo obtenemos un producto escalar que es simétrico, es decir,(f,g) = (g,f). Esta definición es más natural, pero menos sencilla que la si-guiente, introducida por Neumann, que tiene la simetría hermitiana:

t

~dx

a

Vamos a comprobar que este producto verifica los postulados B:

3)

b

4) {/,/)-= ¡A?dx = j\f\* dx> o

5) (/,/) = o si, y sólo si / = o

Ey es un espacio de infinitas dimensiones.—En efecto, dado « arbitrariamentegrande consideremos n conjuntos ü l t Qa, . . ., Q« disjuñtos y de medida finita,contenidos en el intervalo {a, b) = Q.

— 23' —

Sean cplt tp,, ... ,<?„ las correspondientes funciones características, o sea-

»/ = i en todo punto x £ P.,-

?,- = o si í f Q . 12/

Se tendrá entonces

/ |tP<-|2rflí = medíi,-,

luego y,- £ E/-. Además son linealmente independientes, pues si fuese

sería también

al Vi ~f~ • • • + an <p« = O

en casi todo ü; pero en un punto de Qj se verifica

< p 2 = ( P j = . . . = ! J B = ^ O ,

luego queda a1 = o. Análogamente se ve que

a J = = ai — • • • — a" — °

E,- ^j un espacio completo, es decir, si una sucesión \ fn j defunciones del espa-cio L2 es convergente en media, lo es hacia una función de L2.

Vamos a extraer de la sucesión \fH\ una sucesión parcial j /„ I convergenteen casi todo el intervalo (a, b) (que designaremos abreviadamente Q) que nosdefinirá, por tanto, una función / , y demostraremos:

i.° / C L 2 y el punto / a E,-

l.° Por hipótesis, a todo e > o , corresponde N(s), tal que

J

— 232

Consideremos la sucesión de números:

que tiende hacia 00 y verifica las siguientes condiciones:

y de aquí

salvo en un conjunto P(v de medida

(P(V) = ¡jv < _ L

en el.que se veiifica

pues como

si en el conjunto P>v se verifica

se tendrá

p(v p(v O

o sea ¡i* = med (IHV) < •

Consideremos ahora los conjuntos:

233 —

evidentemente Q<v z> Q ( v + l 3 . . . y será:

(QC)< - 1 - + - i + T -f . . . =z'

Por la manera como hemos definido los O(V resulta que un punto F perte-nece a 0<v, si para un cierto valor p > v se verifica:

i 2/

y un punto P no pertenece a Q(V si para todo p > v es

La desigualdad

que se verifica en el conjunto ü — Q(v para />>v, prueba que la serie

A + (A -/ . ,) + • • • + (/-/+l - /- /) + • • • [']

converge uniformemente en el conjunto Q—Q<v, o lo que es lo mismo, que/^ converge uniformemente en il — Q(v

Resulta así que el conjunto Q de los puntos en que esta serie puede noconverger, pertenece ciertamente a todos los conjuntos Qu , luego

Q(V 3 Q ( v + ' = ) . . . r ) Q

med (Q) < lim m e d ( Q ( v ) < lím

luego la serie [i] converge uniformemente en casi todos los puntos de O haciauna función / .

2.° Vamos a comprobar ahora que / pertenece al espacio L2 y que la su-cesión /„ converge fuertemente hacia/ , o sea que | ¡ / ( 1 — / | | - » o .

En efecto:

— 234 —

3' aplicando el teorema de Lebesgue podemos pasar al límite bajo el signo inte-gral y obtenemos:

/ . - / . |

ya que /„ converge uniformemente hacia / e n 2 — Q(y.Hallando ahora el límite cuando v —> oo y teniendo presente que

SI - Q(v c ü — Q(v + 1 c . . . ; lím Q — QC = Í2 — QV -> 00

se tiene:lím í\/nlím

Q-Q(v Q-Qluego

para todo « > N ( s ) , lo que quiere decir que la diferencia / — / „ pertenece aL2 y como /„ también pertenece, resulta demostrado que / es una función delespacio L2 tal que

yespacio L2 tal que

Puesto que la función / ha sido construida por intermedio de la sucesiónfnf puede pensarse en la posibilidad de obtener otra sucesión distinta y, porconsiguiente, otra función g 4=/. Vamos a ver que estas dos funciones han deser la misma, salvo en un conjunto de medida nula.

Por hipótesis se verifica:

Hm \\s - / „ « = o00

de donde deducimos

|| S _ / | | < \\/-fH || + || g - / „ | |< 2

pero como ni / ni g dependen de ;/, resulta:

11/— g\\~ o o s " / = fi-

en casi todos los puntos de ü = («, 6).

— 235

El espacio Ef es separable (*).—Vamos a probar esta propiedad del espacioE/; es decir, que existe una sucesión fH(x) de funciones, de cuadrado sumableen Q, densa en todo el espacio E/, o sea que dada una función f(x) de L2 yun número E > O se puede determinar una función / v de esta sucesión talque | | / - / v | | < £ .

i.° Consideremos una sucesión Q.\ de intervalos de amplitud 2 N y cen-tro 0, tal que todo punto de ü sea interior a un intervalo QN para N suficien-temente grande.

Dada una función f{x) CZ L2 definiremos una sucesión de funciones /JJ (x)como sigue

/ N (x) = 0 si ^ no pertenece a QN

/ N (X~> —f(x) si x pertenece a fíN siendo | / | < N

fy. (x) = o s i *: p e r t e n e c e a Q N s i e n d o ] / ¡ ^ > N

Desde luego estas funciones /N son acotadas en 0 y nulas salvo en unconjunto de medida finita. Además, la sucesión J/N(*)J es densa en L2, puesdada una función f(x) cz L2 la diferencia | /N {X) —f(x) \ pertenece a U ya que

!/(*)-/,.<*) I <£|/(*) I-

cualquiera que sea N y, por consiguiente, existe

(*) La demostración se ha desarrollado de modo que sea inmediatamente generalizable al casoen que O, sea el espacio de k dimensiones en vez de un intervalo (a, b).

— 236 —

y se verifica:

y, pasando al límite bajo el signo de integral, por el teorema de Lebesgue,se tiene:

Hm f I / (•*) - A (-*) I 2 d * = f Hm I f(x) —/N (*) ,' 2 </ x = oN->oo J ' .1

O ¿

pueslím |/»-/N(.v)|=o

N->oo

cualquiera que sea x.Resulta así que la clase G de las funciones g{x) acotadas en 9. y que no

difieren de cero más que en un conjunto de medida finita contiene a las fun-ciones /N y, por lo tanto, es denso en E/.

2.0 Consideremos en la clase G antes definida las funciones h (x), cadauna de las cuales no toma más que valores racionales p -(- ¡c, en número finito,siendo tomado cada uno de estos valores, salvo el cero, sobre un conjunto demedida finita (funciones escalonadas).

Estas funciones forman una clase H densa en todo G y, por lo tanto, enL2. Los puntos // correspondientes a estas funciones serán densos en todo E/-Sea una función g = gi~\- ig>> perteneciente a G, tal que |¿"|<"C. Interca-lemos entre— C y + C, / números racionales p,-.

-[C < P, < • • • < Pi-, < p,- < • • • < Q, < c

tales que la distancia entre dos consecutivos sea menor que s y además

P i < —C-+e y p />C —e

La función h (x) = kí (x) -j- i k¡ (x) definida de la manera siguiente:

Ai (x) = 0 si gx (*•) = o

(-v) = 0

es medible, pues lo es el conjunto

E(A, = P¡) = E (-P-Í=>±£L. < g l {x) 1 <; 1ͱ1ͱL}

— 237 —

yaque es medible g1 (x) y lo mismo el conjunto análogo para la función //2 (•*•).Sea M la medida del conjunto E {g dp o). Se tiene

= J I JTi - ¿i 12 d x -f J igt -E K

th ¡ ^ rf * < -J M + e i M = 2 a* M

puesto que para ^ = o, ha de ser g1 — g2 = o y, por tanto, hy = k>2 — o y enlos puntos del conjunto E es

! SÍ - h\! < s y : ira - ¿2! < *

por definición de los números p,-; luego se verifica

f [g — A \ * d x < 2 =2M

es decir, que se puede hacer tan pequeña como se quiera

y, por lo tanto, el conjunto de los puntos h es denso sobre el de los g y enconsecuencia sobre Ef.

3-° Toda función h permanece constante sobre un cierto número de con-juntos ~ de medida finita. Vamos a aproximar tales conjuntos ~ por mediode conjuntos de una sucesión numerable ~(l, rS1 . . . tal que para todo con-junto z. de medida finita y para s dado existe un conjunto rS" tal que rS" di-fiera de z en menos que e.

Designemos por (z, -{") el conjunto de los puntos que pertenecen a unosolo de los dos conjuntos z, ~{", se verifica

med (r,s(")<s

Vamos a ver que construida la sucesión rS" es fácil la determinación deuna clase numerable de funciones densa en H y, por tanto, en G y en Ey-, conlo cual el problema estará resuelto.

Sea fK¡ la función característica de r, = \ h = o., + ios). Se tiene evidente-mente

pero -s es la intersección de los conjuntos

E(V-=p,) -v E(*, = aJ

que son medibles, luego también es medible.Supongamos construida una sucesión de conjuntos medibles ~Sl, ~(2, ... -("...

tal que dado un conjunto cualquiera medible x, y un e ̂ > o, se puede encon-trar un conjunto -'"* tal la medida del conjunto (-s,rM<) sea menor que s, yconsideremos las funciones k definidas como sigue:

Vamos a probar que el conjunto de estas funciones k es denso sobre la delas h y, por lo tanto, en Ef para lo cual formemos la diferencia

\ \ h --*"'= j \ S {ps + ;'3í)(/*'"s ~ / x - ) * d*< ¿ f\ps + i**]*!/«(«-o ' = i

\* dx1 = 1 y

se tiene:

2 <

med (-„ z(

El conjunto de las funciones k es numerable, puesto que por definición

y i puede tomar los valores i, 2, . . . , oo ; p, y a; son números racionales y losns toman los valores 1,2, . . . , oo .

Hemos construido, pues, una sucesión de funciones k densa en E/ a re-serva de probar la existencia de la sucesión r> .

4.0 Veamos que, en efecto, es posible construir TS" .El conjunto x de medida M se puede considerar contenido en un conjunto

abierto -J de medida •< M -\- s. Recubramos el espacio 9. con un retículo ob-

— 239 —

tenido partiendo de los cubos cuyas caras tengan coordenadas enteras y subdi-vidiendo indefinidamente por planos perpendiculares en los puntos medios delas aristas. Podemos formar un conjunto de un número finito de cubos, talesque esta suma esté contenida en - ' y cuya medida sea mayor que (med r.' •— ¿)resulta entonces:

mcd(i:,i")<2£

El conjunto de los %" así definidos es, además, numerable.En efecto, el conjunto z" queda definido por el número n de sus cubos, las

longitudes de sus aristas y las coordenadas de los centros de estos cubos, esdecir, mediante un número finito de números racionales, luego el conjunto delos conjuntos r" es numerable.

13. 3. El teorema de Riesz-Fischer

En el párrafo anterior hemos demostrado que el espacio E/ es completo (*).Dicha propiedad de completitud, que fue demostrada casi simultáneamente

por Riesz y Fischer, tiene como consecuencia un importante teorema llamadode Riesz-Fischer:

Si la serie00

Cn I 5 < °C ,

existe una función f cz Ey, cuyos coeficientes de Fourier son los, cH

Sea \ o¡ j un sistema ortonormal completo. Si designamos por:

fn — ^X Cv t&v

1

tenemos:

rJ \fm-

si vi y n tienden simultáneamente a co . Por el teorema de completitud fez E/.Resulta, pues, como consecuencia del teorema de Riesz-Fischer, que existe

(*) Esta propiedad pone de manifiesto la ventaja de manejar la integral de Lebesgue sobre lade Cauchy-Riemann, pues el paso al límite en sucesiones de funciones de L2 conduce siempre auna función de la misma clase, lo que no ocurre con las funciones continuas.

Creemos que no está lejos el día que un libro de teoría de funciones que exponga la integral deCauchy-Kiemann parezca tan pasado como hoy nos parecería un libro de Geometría proyectiva quen ° introdujera elementos impropios.

— 240 —

una correspondencia biunivoca entre ¡as funciones de L* y las sucesiones \ c ¡ ta-les que

Si es

convenimos en que a / corresponde la sucesión de coordenadas (c1, c.,,... cH, ...)y recíprocamente. Que la correspondencia es biunivoca resulta inmediatamentede teoremas demostrados anteriormente. Pues si dos puntos / , / * tienen lasmismas coordenadas, es decir,

b b

a (i

se deduce:b

—/*)<?,•<** = °,

y como j c?,- j es completo, la diferencia / — / * es cero en casi todo (a, b).Este espacio de puntos f{cx, c2, . . ., cn, . . .) tales que

suele llamarse espacio E(U . Se puede considerar como una generalización natu-ral del espacio euclídeo tridimensional, ya que la distancia de dos puntos

Su estudio geométrico es equivalente al del espaqio H como consecuencia delteorema anterior. Ambos estudios pueden hacerse simultáneamente mediante elmétodo axiomático de von Neumann (*) aquí iniciado.

(*) He aquí la bibliografía fundamental constituida por libros a los que estas Conferenciaspretenden servir de Introducción:

Von Neumann, Mathcmatische Grundlagen der Quantenmechanik.G. Julia, Introduction Matkématique aux ihéorics Quantiquts.Stone, Linear transformations in the Hilbert spacc.

— 241 —

13. 4. Geometría del espacio H

Sin pretender hacer un desarrollo completo de la Geometría del espacio deHilbert, vamos a deducir algunas propiedades a partir de los postulados de vonNeiimann.

De la definición producto escalar se deduce

En efecto:

= (a g,f) = a (s,/) = a (gj) = a(f, g)

pues

= (fi +St,f) = (i'!,/) + (J?j./) = (A'j

II « - / l l = l« l • 11/

pues en virtud de [i] se tiene

[3

i 2.

| af || = (a/, af)'i = aü (/,/)'* = \* I • II / I

Acotación de Schwarz [4]

siendo válido el signodientes. En efecto:

| (/,¿r)|< 11/II • II s i

sí y solamente si / y g son linealmente indepen-

/1iIlí-ll2

te-./)T/Ír II ¿ r i , 2

(g,f) !

D E LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS.—1948. 16

— 242 —

pero para que esta última expresión sea > o es necesario que se veri-fique

ll/ll2 • II d i 1 - ! ( / .* ) i1.:* o, osea | (/, g, | ¿ ||/|| . || g |

pues si fuese

li/ll1 • llf^-K/i^l'^o

para

l lár l i1

tendríamos | | / + ^¿"11' S ° -Si es ll/ l2 • II^H2 — | (f,g) |2 = o [i] para el anterior valor de >., resulta

| | /+X^ | | 2 = o, es decir, para que se verifique [i] es necesario que pueda ser| | / + ^¿r||2 = ° P a r a u n cierto valor de X, y recíprocamente, pues los dos su-mandos del miembro final de [a] son positivos; es, pues, condición necesaria ysuficiente para que se verifique [i] que las funciones f y g sean linealmenteindependientes.

Desigualdad triangular [5]

En efecto, se tiene:

= ll/ll' + II sT + (A*) + (fTs) = II/T + II ¿rll2 + 2 R (/.*) <• ll/ll2 +

+ •!(/.«) I ^Il/¡I2 + Il¿-Il2 + 2|/Il • \\s II = íll/ll + Ws II i2

luego

l l / + ¿ 1 < l ! / l l + ll¿rll

Si las funciones / y g son ortogonales {f,g) = o se verifica

l ( / , f f ) | -o

luego

U/+s-llJ = ll/ll2 + llsT

propiedad que se conoce con el nombre de teorema de Pitágoras.

— 243 —

TEOREMA.—La función distancia ]| f — g |¡ verifica las siguientes propiedades:

2) ||y — £• || == o si f = g y solamente si f =

3) \\f-g\\ = \\g-f\\

4) í / -A |^ | | / - f f | l + ll*--*ll

pues

en virtud de la propiedad triangular.Estas propiedades se resumen diciendo que H es un espacio métrico.