INTRODUCCION Al Calculo Integral2
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Sumatoria Propiedades de la sumatoria Área Definición de área de una región plana Ejercicios resueltos Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria. Arriba Propiedades de la sumatoria: Arriba Área : Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas.
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Sumatoria Propiedades de la sumatoria Área Definición de área de una región plana Ejercicios resueltos
Como se verá más adelante, para definir el área de una región en el plano cartesiano, acotada por una curva, el ejex y las rectas x = a y x = b, se requiere hallar la suma de muchos términos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria.
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Propiedades de la sumatoria:
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Área: Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas.
Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.
(fig.1)
(fig.2)
(fig.3)
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 3 halle la suma por medio de la definición de sumatoria. En los ejercicios 4 a 7 evalúe la suma que se indica utilizando las propiedades de la sumatoria. En los ejercicios 8 a 11 evalúe el área de la región dada; emplee rectángulos inscritos o circunscritos según se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muestre la región y el i-ésimo rectángulo.
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
L a i n t e g r a l d e f i n i d a
Partición de un intervalo cerrado Suma de Riemann La integral definida Teorema Área Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
P r o p i e d a d e s d e l a i n t e g r a l d e f i n i d a
Propiedad de la integral definida 1 Propiedad de la integral definida 2 Propiedad de la integral definida 3 Propiedad de la integral definida 4 Propiedad de la integral definida 5 Propiedad de la integral definida 6 Propiedad de la integral definida 7 Propiedad de la integral definida 8 Propiedad de la integral definida 9 Propiedad de la integral definida 10 Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
Enunciados
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Enunciados
Enunciados
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Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
T e o r e m a d e l v a l o r m e d i o p a r a l a i n t e g r a l d e f i n i d a
Teorema del valor medio para la integral definida Definición Ejercicios resueltos
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el Primer Teorema fundamental del cálculo.
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
T e o r e m a s f u n d a m e n t a l e s d e l c á l c u l o
Primer teorema fundamental del cálculo Segundo teorema fundamental del cálculo Ejercicios resueltos
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Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14, evalúe la integral definida. En los ejercicios 15 a 21, calcule la derivada. Nota: para resolver los ejercicios es necesario conocer algunas técnicas de integración, por el momento sólo es indispensable aprender la integración directa y la integración por sustitución.
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
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Enunciados
Enunciados
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Enunciados
Enunciados
Enunciados
Área de una región en el plano
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, encuentre el área de la región limitada por las curvas dadas. En cada problema haga lo siguiente: (a) trace una figura que muestre la región, así como un elemento rectangular de área; (b) exprese el área de la región como el límite de una suma de Riemann; (c) determine el límite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del cálculo:
S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Longitud de arco de la gráfica de una función
Definición 1 Definición 2 Ejercicios resueltos
Si la derivada de la función f, f ', es continua en el intervalo [a, b], se dice que f es alisada en dicho intervalo.
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Ejercicios resueltos
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
I n t e g r a c i ó n d i r e c t a
Propiedad1 Propiedad2 Propiedad3 Propiedad4 Propiedad5 Propiedad6 Propiedad7 Propiedad8 Propiedad9 Propiedad10 Propiedad11 Propiedad12 Propiedad13
Propiedad14 Propiedad15 Propiedad16 Propiedad17 Propiedad18 Propiedad19 Propiedad20 Propiedad21 Propiedad22 Propiedad23 Propiedad24 Propiedad25
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.
Ejercicios resueltos
Propiedades fundamentales de la antidiferenciación de funciones
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Ejercicios resueltos
Efectúe las operaciones de antidiferenciación que se indican, aplicando las propiedades correspondientes en cada caso:
S o l u c i o n e s
I n t e g r a c i ó n p o r s u s t i t u c i ó n
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:
S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
I n t e g r a c i ó n p o r p a r t e s
En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
Potencias de las funciones trigonométricas
Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonométricas:
Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la integración por sustitución; en otros casos debemos recurrir a la integración por partes.
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Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#1
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#2
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#3
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#4
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S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#7
http://www.analisismatematico21.com/CalculoIntegral/potencias_de_las_funciones_trigonometricas.htm#8
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
S u s t i t u c i ó n t r i g o n o m é t r i c a
Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:
Expresión en el integrando Sustitución trigonométrica
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Enunciados
Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador sólo tiene factores lineales
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
S o l u c i o n e s
T a b l a d e i n t e g r a l e s
