Introducción al Diseño de Filtros...

Introducción al

Diseño de Filtros Digitales

Diego Milone

Muestreo y Procesamiento Digital

Ingeniería Informática FICH-UNL

7 de mayo de 2009

Introducción Diseño IIR Diseño FIR Modulación

Organización de la clase

Introducción

Concepto y clasi�cación de �ltrosFiltros ideales y �ltros realizables

Diseño de �ltros IIR

Algoritmos de diseño IIRDiseños analógicos básicosTransformaciones en frecuencia

Diseño de �ltros FIR

Propiedades de los �ltros FIRFiltros de fase linealMétodos de diseño FIR

Modulación

Conceptos básicos


Concepto

• ¾Qué es un �ltro?

• Filtros vs. Sistemas

• Ejemplos...


Clasi�cación de los �ltros

• Respuesta al impulso• IIR (recursivos, AR/ARMA)• FIR (no-recursivos, MA)

• Banda de paso• Pasa-Bajos• Pasa-Altos• Pasa-Banda• Rechaza-Banda• Multibanda


Clasi�cación de los �ltros

• Adaptativos vs. estáticos

• Filtros de fase lineal

• Filtros para compensación de fase


Clasi�cación de las técnicas de diseño

• Filtros IIR• Prototipos analógicos

• Butterworth

• Chebyshev I y II

• Elípticos

• Bessel

• Diseño digital directo (Yule-Walk)

• Filtros FIR• Método de Fourier + Ventaneo• Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)


Filtro pasa bajos ideal

• Magnitud

• Fase

• Frecuencia de corte (-3 dB)


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición

• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo

• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo

• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa bajos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa altos• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro pasa banda• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros realizables

• Filtro rechaza banda• Bandas de paso, rechazo y transición• Tolerancias en las bandas de paso y rechazo• Frecuencias de paso, corte y rechazo• Fase


Filtros digitales vs. analógicos

++ Estabilidad (componentes electrónicos)

++ Precisión

−− Frecuencia limitada por la conversión A/D (=> costos)



Introducción






Modulación

Conceptos básicos


Algoritmos de diseño IIR

• Método 1• Diseño analógico (�ltro P-Bajos normalizado)• Transformación en frecuencia (analógica, en s)• Transformación conforme (bilineal)

• Método 2• Diseño analógico (�ltro P-Bajos normalizado)• Transformación conforme (bilineal)• Transformación en frecuencia (digital, en z)


Diseño analógico: Butterworth

• Función de transferencia

• Tolerancias en la banda de paso y rechazo

• Forma de la respuesta en frecuencia

• Diseño:• Especi�caciones típicas (wp, A y K0)• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtro de Butterworth

|H(jω)|2 = 1

1 + ε2(ω

ωP

)2N

si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > 11+ε2

si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < 11+λ2

si N →∞ωR → ωPε→ 0λ→∞


Características del �ltro de Butterworth

• Respuesta monotónicamente decreciente

• Respuesta máximamente plana cerca de ω = 0• Fase tendiendo a −Nπ/2 para ω →∞


Diseño Butterworth

• Dados• ωp : frecuencia de corte• A : relación de atenuación máxima• K0 : relación de ancho de transición

• Se requiere• N : orden del �ltro


Ecuación de diseño Butterworth

Se debe cumplir:

N >logA

log(

1K0

)siendo:A = λ

ε =√

100,1AR−1100,1AP−1

K0 = ωPωR


Diseño analógico: Chebyshev

• Función de transferencia tipo I y tipo II



• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtro de Chebyshev tipo I

|H(jω)|2 = 1

1+ε2V 2N

“ωωP

”

Polinomio de Chebyshev:

VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x


Filtro de Chebyshev tipo I

|H(jω)|2 = 1

1+ε2V 2N

“ωωP

”Polinomio de Chebyshev:

VN (x) = 2xVN−1(x)− VN−2(x)V0 = 1V1 = x


Caracte¯isticas de los �ltros de Chebyshev

• Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónicodecreciente en la banda de rechazo

• Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónicodecreciente en la banda de paso

• Diferentes formas para orden par o impar


Ecuación de diseño Chebyshev (tipos I y II)

Se debe cumplir:

N >cosh−1A

cosh−1(

1K0

)siendo:A = λ

ε =√

100,1AR−1100,1AP−1

K0 = ωPωR


Diseño analógico: �ltros elípticos

• Función de transferencia



• Fórmula para la estimación del orden (N)


Filtros elípticos

|H(jω)|2 =1

1 + ε2F 2N

(ωωP

)

FN (x): función elíptica Jacobiana


Filtros elípticos

|H(jω)|2 =1

1 + ε2F 2N

(ωωP

)FN (x): función elíptica Jacobiana


Características de los �ltros elípticos

• Ondulaciones en las bandas de paso y rechazo

• Corte más abrupto que los anteriores (para igual orden)

• Diferentes formas para orden par o impar


Ecuación de diseño para �ltros elípticos

Se debe cumplir:

N >log(16A)

log(

1q

)siendo:q = q0 + 2q50 + 15q90 + 150q13

0

q0 =1−(1−K2

0)0,25

2h1+(1−K2

0)0,25

i


Algoritmos de diseño IIR

• Método 1• Diseño analógico (�ltro P-Bajos normalizado)• Transformación en frecuencia (analógica, en s) ⇐• Transformación conforme (bilineal)

• Método 2• Diseño analógico (�ltro P-Bajos normalizado)• Transformación conforme (bilineal)• Transformación en frecuencia (digital, en z) ⇐


Transformaciones en frecuencia �analógica�

• Pasa-bajos → Pasa-bajos s→ sωP

• Pasa-bajos → Pasa-altos s→ ωPs

• Pasa-bajos → Pasa-banda s→ s2+ωP1ωP2

s(ωP2−ωP1)

• Pasa-bajos → Rechaza-banda s→ s(ωP2−ωP1)s2+ωP1ωP2


Transformaciones en frecuencia �digital�

• Pasa-bajos → Pasa-bajos z−1 → z−1−α1−αz−1

α = sin((ωN−ωP )/2)sin((ωN+ωP )/2)

• Pasa-bajos → Pasa-altos z−1 → − z−1+α1+αz−1

• Pasa-bajos → Pasa-banda z−1 → z−2− 2αkk+1

z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1

• Pasa-bajos → Rechaza-banda z−1 → z−2− 2α1+k

z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1





α = − cos((ωN+ωP )/2)cos((ωN−ωP )/2)


z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1






z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1

α =cos ((ωP2 + ωP1)/2)cos ((ωP2 − ωP1)/2)

k = cos ((ωP2 − ωP1)/2) tan (ωN/2)


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1






z−1+ k−1k+1

k−1k+1

z−2− 2αkk+1

z−1+1


z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2− 2αk+1

z−1+1

α =cos ((ωP2 + ωP1)/2)cos ((ωP2 − ωP1)/2)

k = tan ((ωP2 − ωP1)/2) tan (ωN/2)



Introducción






Modulación

Conceptos básicos


Filtros FIR: ventajas y desventajas

++ Se puede lograr fase lineal

++ Presentan mayor estabilidad

++ Diseño hardware e�ciente

++ Frecuencias de corte abruptas

++ Cortos transitorios de inicialización

−− Requieren más cálculos


Filtros FIR: relaciones importantes

• Coe�cientes FIR

• Respuesta al impulso

• Convolución

• Sistemas MA


Fase lineal: interpretación grá�ca

• Descomposición de una onda cuadrada en dos componentessenoidales

• Aplicación de un �ltro de fase constante a ambascomponentes por superposición

• Aplicación de un �ltro de fase lineal a ambas componentespor superposición

• Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma laonda en el tiempo


Fase lineal: de�niciones

• De�niciones de módulo y fase

• De�nición de retardo de fase: τφ(ω) = −φ(ω)ω

• De�nición de retardo de grupo τγ(ω) = −dφ(ω)dω

• Fase lineal: φ(ω) = τω

(... τφ y τγ constantes ...)


Diseño FIR por Fourier y ventaneo

1. Especi�cación de los requerimientos (mód. y fase)

2. Muestreo de la respuesta en frecuencia

3. Aplicación de la TDF inversa

4. Truncado temporal (ventanas temporales)

5. Corrección de amplitud

6. Corrección para obtener la causalidad


Truncado y ventaneo temporal

Objetivos:

• Reducción del orden del �ltro resultante

• Reducción de los artefactos del truncado• reducción de los lóbulos laterales• �reducción� del ancho en el lóbulo central

Interpretación grá�ca


Ventanas

• Ventana rectangular: ωR[n] = 1

• Ventana de Hanning: ωh[n] = 12 −

12 cos(2πn/N)

• Ventana de Hamming: ωH [n] = 2750 −

2350 cos(2πn/N)

• Ventana de Bartlett:

ωB[n] ={

2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N

• Ventana de Blackman:

ωK [n] =2150− 1

2cos(2πn/N) +

225

cos(4πn/N)


Ventanas

• Ventana rectangular: ωR[n] = 1• Ventana de Hanning: ωh[n] = 1

2 −12 cos(2πn/N)

• Ventana de Hamming: ωH [n] = 2750 −

2350 cos(2πn/N)

• Ventana de Bartlett:

ωB[n] ={

2n/N si 0 < n ≤ N/22− 2n/N si N/2 < n ≤ N

• Ventana de Blackman:

ωK [n] =2150− 1

2cos(2πn/N) +

225

cos(4πn/N)


Ventanas

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.5

1Ventana cuadrada

−0.2 0.2

−80−60−40−20

0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Hamming

−0.2 0.2−80

−60

−40

−20

0

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Bartlett

−0.2 0 0.2

−80−60−40−20

0−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.40

0.20.40.60.8

Ventana de Blackman

−0.2 0 0.2

−80

−60

−40

−20

0


Ventanas: ancho del lóbulo central

• Rectangular: 4π/N• Bartlet: 8π/N• Hanning: 8π/N• Hamming: 8π/N• Blackman: 12π/N


Ventanas: relación de energía entrelóbulos laterales y central

• Rectangular: -13 dB

• Bartlet: -25 dB

• Hanning: -31 dB

• Hamming: -41 dB

• Blackman: -57 dB



Introducción






Modulación

Conceptos básicos


Modulación: conceptos básicos

• Modulación en amplitud (sinusoidal)

• Demodulación sincrónica y asincrónica

• Multiplexado en frecuencia

• Modulación en frecuencia


Bibliografía básica

• D.J. DeFatta, J.J. Lucas, W.S. Hodgkiss, Digital SignalProcessing: A System Design Approach (Capítulos 4 y 5),John Wiley, 1988.

• R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing(Capítulos 6, 7, 8 y 9), Mcgraw-Hill, 1988.

• A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems(modulación en amplitud y en frecuencia, Secciones7.1,7.2,7.3,7.5,7.6), Prentice-Hall, 1999.

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