Introducción al Teorema de Gödel

Eduardo Alejandro Barrio

UBA - CONICET

www.accionfilosofica.com

2do Cuatrimestre de 2009

Eduardo Alejandro Barrio

UBA - CONICET

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2do Cuatrimestre de 2009

23 problemas fundamentales de la matemática

En 1900, en el Segundo Congresointernacional de Matemática (París):

Segundo Problema:

¿Es la matemática consistente?

David Hilbert (1862 - 1943)

En 1900, en el Segundo Congresointernacional de Matemática (París):

Segundo Problema:

¿Es la matemática consistente?

David Hilbert (1862 - 1943)

Teoría de la Computabilidad

Alan Turing desarrolló un modelo formalde cómputo: la máquina de Turing

Algoritmo: Procedimiento efectivo

Resultado: hay problemas que unaComputadora ideal no puede resolver

Si se le formulan a una máquina ideal,se cuelga!

Turing en 1936

Alan Turing desarrolló un modelo formalde cómputo: la máquina de Turing

Algoritmo: Procedimiento efectivo

Resultado: hay problemas que unaComputadora ideal no puede resolver

Si se le formulan a una máquina ideal,se cuelga!

Turing en 1936

Teoría de la Computabilidad

Funciones efectivamente calculables:Funciones recursivas.

Alonso Church

Funciones efectivamente calculables:Funciones recursivas.

Alonso Church

Teoría de la Computabilidad

Todos los lenguajes de programación y todas las computadoras resuelven sólo problemas que puede resulver una máquina de Turing.No es posible construir un sistema de cómputo que sea más potente que una máquina de Turing

Decidiendo lo indecidible: Lo efectivo es lo que una computadora puede resolver.

¿Hay un método efectivo para decidir si una fórmula cualquiera de la aritmética es un teorema?

¿Hay problemas aritméticos que están más allá de toda capacidad de cómputo?

Todos los lenguajes de programación y todas las computadoras resuelven sólo problemas que puede resulver una máquina de Turing.No es posible construir un sistema de cómputo que sea más potente que una máquina de Turing

Decidiendo lo indecidible: Lo efectivo es lo que una computadora puede resolver.

¿Hay un método efectivo para decidir si una fórmula cualquiera de la aritmética es un teorema?

¿Hay problemas aritméticos que están más allá de toda capacidad de cómputo?

Aritmetizando la aritmética

¿Podrá expresarse toda propiedadaritmética dentro de la aritmética?

Teorema de la aritmética

Verdad aritmética

¿Podrá expresarse toda propiedadaritmética dentro de la aritmética?

Teorema de la aritmética

Verdad aritmética

Taller de Lógica: El teorema de Gödel

- Kurt Gödel (1931) “Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos”

- Problema: Fundamentos de las Matemáticas

- Aplicar el método axiomático para las matemáticas

PM (Principia Mathematica) Define las entidades matemáticas (números) usando lógica.

- Conjunto infinito de todos los teoremas de PM- Conjunto infinito de todas las verdades de PM.

- Axiomatización perfecta de las matemáticas:- Deriva como teoremas todas las verdaderas matemáticas y ninguna falsedad

desde un conjunto finito de Ax, aplicando mecanicamente las reglas de inferencia.

Introducción al Teorema de Gödel

¿Podría una computadora demostrar todas las verdades?

- Yo soy una verdad indemostrable

- Si la computadora la puede demostrar, el sistema es inconsistente (admite contradicciones)

- Si no la puede demostrar, lo que dice es lo que sucede. Por lo tanto, hay una verdad indemostrable.

El teorema de Gödel

- Sistema axiomático incompleto:- Es posible probar algunas, pero no todas, las fórmulas verdaderas, y ninguna fórmula falsa a

partir de un número finito de axiomas aplicando reglas de inferencia.

- Sistema axiomático inconsistente: Es posible probar A y ¬ A.

- La numeración de Gödel:

- NÜMERO DE GÖDEL: Gödel demostró que es posible asignar un único número a cada signo elemental, a cada fórmula y a cada prueba.

- Gödel demostró que todas las proposiciones metamátemáticas acerca de las propiedades estructurales contenidas en el cálculo pueden ser reflejadas dentro del cálculo mismo. A cada expresión del cálculo le está asociado un número de Gödel. Por eso, puede construirse una proposición metamatemática acerca de las expresiones y de

Taller de Lógica: El teorema de Gödel

- La numeración de Gödel:

- NÜMERO DE GÖDEL: Gödel demostró que es posible asignar un único número a cada signo elemental, a cada fórmula y a cada prueba.

- ( x ) ( x = s y )

- 8 4 11 9 8 11 5 7 13 9

- ARITMETIZACIÓN DE LA METAMATEMÁTICA:

- Gödel demostró que todas las proposiciones metamátemáticas acerca de las propiedades estructurales contenidas en el cálculo pueden ser reflejadas dentro del cálculo mismo.

Taller de Lógica: El teorema de Gödel

- A cada expresión del cálculo le está asociado un número de Gödel. - Por eso, puede construirse una proposición metamatemática acerca de las

expresiones y de sus recíprocas relaciones como una proposición acerca de los correspondinetes números de Gödel y de sus recíprocas relaciones aristméticas.

- Ejemplo de proposición metamatemática:- “La suceción de fórmulas con número de Gödel x es una prueba de la fórmula con

número de Gódel z”- Relación aritmética entre x y z: “Dem (x,z)”

- La proposición metamatemática “una cierta sucesión de fórmulas constituye una prueba de una fórmula dada” es verdadera ssi el número de Gödel de la pretendida prueba está con el número de Gödel de la conclusión en la relación aritmética designada como “Dem”.

- Por eso, para establecer la verdad de una proposición metamatemática sólo nos interesa si la relación “Dem” se mantiene entre dos números.

Introducción al Teorema de Gödel

Teorema de incompletitud de Gödel

- En todo sistema de axiomático que tenga por lo menos la complejidad de la aritmética, hay fórmulas que no pueden probarse o refutarse mediante deducciones formales basadas en los axiomas del sistema.

- o la aritmética es consistenteo la aritmética es incompleta

Taller de Lógica: El teorema de Gödel

- Estrategia de la Prueba:

- Tesis: En PM hay fórmulas verdaderas que no pueden probarse.

- Encontrar un caso G: “Yo no soy demostrable”.

- La fórmula G de Gödel : Esta fórmula de la teoría de números no tiene ninguna prueba en PM

- G no tiene una prueba, pero es verdadera!- Si G fuera probable, entonces PM sería inconsistente. - Si G fuera no probable, entonces PM sería incompleto.

- Por eso, PM no puede ser completo y consistente!

Introducción al Teorema de Gödel

Segundo teorema de Gödel:

Si PA es consistente, entonces PA no puede probar como teorema una fórmula que afirme su propia consistencia.

No hay ninguna teoría más débil que PA que pueda demostrar la consistencia de PA.

¿Qué pasa con el programa de Hilbert?

Taller de Lógica: El teorema de Gödel

- Gödel demostró que es imposible establecer la consistencia lógica interna de una amplia clase de sistemas deductivos (dentro de los que se incluye la aritmética), a menos que se adopten principios tan complejos de razonamiento que su consistencia interna quede tan sujeta a la duda como la de los propios sistemas.

- Toda formulación axiomática consistente de la teoría de números incluye fórmulas indecidibles.

- Fórmula indecidible: no puede probarse o su verdad o su falsedad dentro de la teoría de números.