Teoremas deCompletitud e Incompletitud

de GödelRoberto Moriyón

Teorema de completitud de Gödel

• Todas las consecuencias de un conjunto de axiomas se deducen de él.

• La afirmación inversa (todas las fórmulas que se deducen de un conjunto de axiomas son consecuencias de él) es el teorema de coherencia.

• Ya los hemos demostrado en el caso más sencillo de la Lógica proposicional.

Teorema de Coherencia de la Lógica de Predicados

• Al igual que en la Lógica Proposicional, es consecuencia de que en todas las reglas de deducción, de la forma AB, B es consecuencia de A.

Recordatorio: Demostración del Teorema de Completitud proposicional

• Primer paso: Si un conjunto de axiomas es inconsistente, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

• Segundo paso: Si un conjunto de axiomas es consistente maximal, entonces todas sus consecuencias se deducen de él.

• La demostración del Teorema de Completitud de Gödel se basará en dos pasos análogos.

Recordatorio: Inconsistencia

• A G v ~G

Recordatorio: Inconsistencia

• A G v ~G F (F cualquiera)

Teorema de completitud de Gödel para axiomas inconsistentes

• Todas las fórmulas se deducen de los axiomas si éstos son inconsistentes– Se debe a que, como consecuencia de la

regla de deducción de implicaciones, de una contradicción se deduce cualquier fórmula

• Todas las fórmulas son consecuencia de los axiomas si éstos son inconsistentes– Se debe a que todas las fórmulas que se

deducen a partir de A son consecuencia de A

Recordatorio: Conjuntos consistentes maximales

• Un conjunto de fórmulas es consistente maximal si al añadirle cualquier otra fórmula deja de ser consistente.

• Por ejemplo, las fórmulas ciertas en una interpretación cualquiera forman un conjunto consistente maximal.

Recordatorio: Conjuntos consistentes maximales, II

• En la Lógica Proposicional:– Si A es consistente maximal, las fórmulas de

A son las únicas que se deducen de A– Si A es consistente, entonces es maximal si y

solamente si GA ~GA– A es consistente maximal si y solamente si

A corresponde a una interpretación– De lo anterior se deduce el Teorema de

Completitud para conjuntos de axiomas consistentes maximales

Conjuntos consistentes maximales en la Lógica de Predicados

• Los dos últimos puntos no se verifican en la Lógica de Predicados, pues un conjunto de fórmulas no determina una interpretación: hace falta un dominio y una interpretación en el dominio de cada símbolo de constante, función y predicado

• Los puntos anteriores son válidos, y se demuestran como en la Lógica Proposicional

Dominio sintáctico asociado a un lenguaje lógico

• El dominio sintáctico asociado a un lenguaje de la Lógica de Predicados es el conjunto formado por los términos sin variables del lenguaje.

• Ejemplo: El modelo sintáctico de un lenguaje con un símbolo constante, 0, y otro de función, f (unaria) es D={0,f0,ff0,…}.

Interpretación natural simple de una teoría lógica

• La interpretación natural simple asociada a una teoría lógica tiene como dominio a su dominio sintáctico. La interpretación de los símbolos de constante y función es puramente sintáctica (no depende de cuáles sean los axiomas de la teoría): las constantes se interpretan como ellas mismas (cI=c) y las funciones actúan simbólicamente sobre n-plas de términos: fI(T1, …, Tn) = fT1…Tn.

Interpretación sintáctica de una teoría lógica, II

En el ejemplo de un lenguaje con un símbolo constante, 0, y otro de función, f (unaria) la interpretación natural simple de estos símbolos es la siguiente:– 0I = 0,

– fI:DD es la función definida por fI(fk)0)=fk+1)0

Por ejemplo, fI(fff0)=ffff0.

Interpretación natural simple de una teoría lógica, III

• La interpretación natural simple de los símbolos de predicado de una teoría lógica es la que corresponde a la validez de cada término dependiendo de los axiomas: si P es un símbolo de predicado n-ario y T1, …, Tn son términos cualesquiera, PI(T1, …, Tn) es cierto si PT1…Tn es un teorema de la teoría.

Interpretación natural simple de una teoría lógica, IV

• Ejemplo: En la interpretación natural simple de la teoría lógica con símbolos 0 (constante), f (función unaria) y P y axiomas x,Pxx x,y,(PxyPyx) x,y,z,(Pxy^PyzPxz) x,Pxffx,

PI (fk)0, fh)0) es cierto si y sólo si k-h es par

Interpretación natural simple de una teoría lógica, IV

• Si los axiomas incluyen igualdades, la interpretación natural simple de una teoría puede no ser un modelo.

• Por ejemplo, en la interpretación natural simple de la teoría lógica con símbolos 0 y f y axioma x,x=ffx, el dominio sintáctico es D0={0,f0,ff0,…} y la interpretación de la fórmula 0=ff0 es falsa a pesar de que la fórmula es un teorema.

Dominio natural asociadoa una teoría lógica

• El problema anterior se evita mediante el cociente del dominio sintáctico por una relación de equivalencia.

• El dominio natural asociado a una teoría es el cociente del dominio sintáctico por la relación de equivalencia T S si y sólo si AT=S

Dominio natural asociado a una teoría lógica, II

• Ejemplo:

El dominio natural de la teoría lógica con símbolos 0 y f y axioma x,x=ffx es el cociente del dominio sintáctico D0={0,f0,ff0,…} por la relación de equivalencia

fj)0 fk)0 k-j es un número par.

El conjunto cociente D=D0/={[0],[f0]} es un modelo de la teoría con la interpretación 0I=[0], fI([fk)0])=[fk+1)0].

Interpretación natural asociada a una teoría lógica

• La interpretación natural simple de una teoría lógica da lugar a otra interpretación sobre el dominio natural, que llamamos interpretación natural. Por cada símbolo de constante c, de función f y de predicado P,– cI = [cI]. - fI([T1], …, [Tn]) = [fT1…Tn].

– PI([T1], …, [Tn]) es cierto si PT1…Tn es un teorema de la teoría.

Interpretación natural asociadaa una teoría lógica, II

• La interpretación natural de la Aritmética es la siguiente:

• Los elementos del dominio sintáctico son expresiones numéricas construidas a partir del 0 y las operaciones S, + y ., como S0+(S0.0).

• En la relación de equivalencia inducida por los axiomas de la Aritmética todas las expresiones numéricas son equivalentes a otra de la forma Sn0. Por ejemplo, S0+(S0.0) S0.

Interpretación natural asociadaa una teoría lógica, III

• Como consecuencia de lo anterior, el dominio natural es D={[Sn0] | n0} y la interpretación natural es– 0I = [0]– SI[Sn0] [Sn+10]– [Sn0]+I[Sm0] [Sn+m0]– [Sn0].I[Sm0] [Sn.m0]

• La interpretación anterior da lugar al modelo estándar de la Aritmética. La interpretación natural de la semiótica también es la estándar.

Interpretación natural asociadaa una teoría lógica, IV

• La construcción anterior no nos proporciona un modelo de una teoría si ésta contiene axiomas existenciales. Por ejemplo, la teoría que tiene como único axioma x,x=x, que admite como modelo a cualquier conjunto no vacío, tiene como dominio natural al conjunto vacío, que no es un modelo de la teoría.

Eskolemización• El problema anterior se puede solucionar

considerando un símbolo adicional c que se interpreta como el elemento del dominio final a construir D que existe según el axioma y que verifica que c=c.

• Para integrar esta idea con la construcción anterior del dominio mínimo, el símbolo c se puede introducir como constante de una lógica extendida, y junto al axioma x,x=x se puede considerar el nuevo axioma c=c.

• La idea anterior permite construir un modelo mínimo, D={c}.

Eskolemización, II• Análogamente, para poder interpretar un axioma

como y,x,~y=x, se puede extender la lógica introduciendo un símbolo de función H y añadiendo el axioma y,~y=Hy.

• Esta construcción se puede hacer con fórmulas arbitrarias del tipo y1,y2,…yN,x,F. En este caso se añade un símbolo de función N-aria J y el axioma y1, y2,…yN,FJy1…yN/x.

• Los términos introducidos en los ejemplos (c, Hy, Jy1,…,yN) se denominan testigos.

Normalización de cuantificadores

• A partir de cualquier fórmula lógica se deduce otra equivalente a ella (normalizada) sin implicaciones y que tiene todos los cuantificadores en su parte exterior.

• Ejemplos (suponemos que las fórmulas son simples):– ~x,x+x=x equivale a x,~x+x=x. x,y,~((z,F)G) equivale a x,y,z,(F^~G).

Normalización de cuantificadores, II

• En general, las implicaciones de la forma FG equivalen a ~FvG, y las negaciones (~) se pueden pasar al interior de los cuantificadores y operaciones lógicas proposicionales mediante las reglas de intercambio y De Morgan. Tras esto, las reglas de ámbito permiten pasar los cuantificadores restantes al exterior.

Fórmulas atestiguadoras

• Una fórmula FT es atestiguadora de otra F que está en forma normal si se obtiene eliminando todos los cuantificadores existenciales de F y sustituyendo las correspondientes variables por términos de la forma Jy1,…,yN, donde y1,…,yN son las variables que afectan al cuantificador existencial correspondiente mediante cuantificadores universales.

• Los símbolos de funciones y constantes que se introducen han de ser nuevos.

Fórmulas atestiguadoras, II

• Por ejemplo, una fórmula atestiguadora de la fórmula lógica

F x,y,z,u,(~x=y^~x=u^~y=u^~z=u)

es

FT x,z,(~x=Hx^~x=Jxz^~Hx=Jxz^~z=Jxz).

En esta fórmula, Hx y Jxz son testigos de los cuantificadores existenciales de y y u.

Fórmulas Atestiguadoras, III

• FTF, pero no al revés• Ejemplo: F x, y,~x=y, FT ~c=d.

• Si A es consistente y FA, entonces A{FT} también es consistente.

Fórmulas Atestiguadoras, IV

• Ejemplo:

Si Fx,y,~x=y, entonces FTx,~x=Jx. Si A fuera consistente y A{FT} no lo fuera, de A se deduciría ~FTx,x=Jx. Como las fórmulas de A no contienen el símbolo J, la deducción de ~FT introduciría Jx en algún paso.

…

Fórmulas Atestiguadoras, V

…

Los únicos pasos en los que se pueden introducir términos nuevos en una deducción son al aplicar la regla de especificación o en el primer paso de una “deducción al margen” para su utilización en la regla de deducción de implicaciones.

…

Fórmulas Atestiguadoras, VI

• En el primer caso, si la deducción de ~FT introdujera Jx al utilizar la regla de especificación, se podría hacer otra deducción quitando esa regla y siguiendo los mismos pasos de la deducción inicial, deduciéndose ~F x,y,x=y. Esto es imposible, pues entonces A sería inconsistente.

Fórmulas Atestiguadoras, VII

• En el segundo caso, si la deducción de ~FT introdujera Jx en el primer paso de una “de-ducción al margen” para su utilización en la regla de deducción de implicaciones, se po-dría sustituir esta fórmula por otra con un cuantificador existencia que la tuviera como atestiguadora. Continuando como en el caso anterior también se deduciría ~F x,y,x=y, lo que de nuevo es imposible, pues A sería inconsistente.

Fórmulas Atestiguadoras, VIII

• La demostración anterior se extiende al caso de cualquier otra fórmula F.

Teorema de Satisfactibilidad simplificado

• Si un conjunto de axiomas M es consis-tente maximal y con testigos, entonces en la interpretación natural de la teoría asociada a M las fórmulas ciertas son precisamente las de M.

Teorema de Satisfactibilidad simplificado: Demostración

• Por su definición, las fórmulas atómicas (igualdades y predicados) pertenecen a M si y sólo si son ciertas en la interpretación.

• ~FM si y sólo si FM, pues:• Si ~FM y FM, M no sería consistente.• Si FM, entonces MF (si no, M no sería

maximal), luego M{~F} es consistente, por lo que ~FM.

Teorema de Satisfactibilidad simplificado: Demostración, II

• Suponemos que FM si y sólo si FI es cier-to y que lo mismo ocurre con G. Entonces:– F ^ G M si y sólo si FM y GM, pues en caso

contrario M no sería consistente maximal.– F v G M si y sólo si FM o GM, pues si FM

o GM y FvGM, M no sería consistente maximal, e inversamente, si FvGM, FM y GM, entonces ~F,~GM, por lo que ~(FvG)M y M no sería consistente.

Luego F^G y FvG tienen la misma propiedad.

Teorema de Satisfactibilidad simplificado: Demostración, III

• De lo anterior, se deduce que las fórmulas sin cuantificadores que pertenecen a M son las que son ciertas en la interpretación natural.

• Como consecuencia de las reglas de generalización y de especificación, lo mismo ocurre con todas las fórmulas que en forma normal no tienen cuantificadores existenciales.

Teorema de Satisfactibilidad simplificado: Demostración, IV

• Por otra parte, como consecuencia de la última observación sobre fórmulas atestiguadoras, las fórmulas con cuantificadores existenciales pertenecen a M si y solamente si pertenece a M alguna fórmula atestiguadora suya.

• El teorema simplificado de satisfactibilidad es consecuencia de lo anterior.

Teorema de Completitud de Gödel: Demostración

• Si A es un conjunto de axiomas y F es una consecuencia de A, entonces F se puede deducir a partir de A.

• Demostración:– Ya hemos demostrado el caso particular en que A

es inconsistente.– El caso en que A es consistente maximal y con

testigos es consecuencia del Teorema de Satisfactibilidad simplificado.

– …

Teorema de Completitud de Gödel: Demostración, II

• En general, si A es un conjunto consistente de axiomas y F no se deduce de A, entonces A{~F} es consistente. Veremos más ade-lante que entonces hay un conjunto de fór-mulas M maximal consistente y con testigos que contiene a A{~F}. Por lo tanto, hay una interpretación de M en la cual ~F es cierta. Restringiendo la interpretación a los símbo-los de la Lógica inicial, se ve que F no es consecuencia de A.

Teorema de Completitud de Gödel: Demostración, III

• Si B es un conjunto consistente de axiomas, entonces se puede ampliar su conjunto de constantes y funciones, definiendo una nueva teoría lógica en la que hay un conjunto de fórmulas M maximal consistente y con testigos que contiene a B.

Teorema de Completitud de Gödel: Demostración, IV

• La demostración de la afirmación anterior es análoga al caso proposicional, excepto por la incorporación de fórmulas atestiguadoras adicionales.

• Se incorporan símbolos nuevos de funciones de todos los órdenes Hn,k con n0 y k0.

• Si {Fj | j0} es una numeración de todas las fórmulas de la nueva teoría, se va añadiendo a B consecutivamente Fj si con ello el conjunto ampliado de axiomas sigue siendo consistente.

Teorema de Completitud de Gödel: Demostración, V

• Además, en cada paso se añade una fórmula atestiguadora correspondiente a la fórmula Fj si finalmente Fj pertenece al conjunto ampliado. Como consecuencia de la última observación sobre fórmulas atestiguadoras, cada conjunto Aj así obtenido es consistente.

• Por construcción, el conjunto obtenido de fórmulas es consistente maximal y con testigos.

Teorema de satisfactibilidad de la Lógica de Predicados

• Como consecuencia de la demostración del Teorema de Completitud de Gödel hemos demostrado lo siguiente:

Todo conjunto consistente de axiomas es satisfactible.

Teorema de Incompletitud de Gödel

• En cualquier teoría que incluya los axiomas de la Semiótica y que sea compatible con su modelo natural hay fórmulas que son válidas en el mismo que no se pueden demostrar y su negación tampoco.

Teorema deIncompletitud de Gödel, II

• Las fórmulas anteriores son ciertas en el sentido de que su interpretación natural sobre cadenas de caracteres es cierta. Sin embargo, ni ellas ni sus negaciones se pueden demostrar. Esto no contradice el Teorema de Completitud.

Teorema de Incompletitud de Gödel, III

• Idea de la demostración: Hallar una fórmula cerrada F cuyo significado en la interpretación natural sea “F no tiene demostración”.

Teorema de Incompletitud de Gödel, IV

• Si la interpretación natural de F fuera falsa, F tendría demostración, luego su interpretación natural sería cierta.

• Por lo anterior, F no tiene demostración y su interpretación natural es cierta.

• Si ~F tuviera demostración, sería cierta en cualquier modelo de la Semiótica, luego F sería falsa en la interpretación natural.

Preparativos para la demostración del teorema

• El predicado D demuestra E es computable. (D y E son variables).

• Como consecuencia del teorema de representación, hay una fórmula , con dos variables libres, d y e, cuya inter-pretación natural es “la demostración d demuestra la fórmula representada por e”.

• La interpretación natural de la fórmula d,~ es “e no tiene demostración.

Preparativos para la demostración del teorema, II

• En lo sucesivo consideraremos fórmulas con una variable libre. Les llamaremos fórmulas parametrizadas.

• Corresponden en lenguaje natural a frases sin sujeto.

• Ejemplos:– empieza por a x,y=Sax

– contiene “=S” u,v,z=u+“=S”+v– no tiene demostración d,~

Preparativos para la demostración del teorema, III

• Las fórmulas parametrizadas definen funciones que a cada cadena de caracteres le hace corresponder una fórmula cerrada.

• En el lenguaje natural esta función asocia un sujeto a la fórmula.

• Ejemplo: al aplicar la fórmula empieza por a a la cadena “aaaaa” se obtiene “aaaaa” empieza por a.

(Si F x,y=Sax y G “aaaaa”, entonces FG x,“aaaaa”=Sax).

Preparativos para la demostración del teorema, IV

• En particular, la cadena de caracteres a la que se aplica una fórmula parametrizada puede ser otra fórmula.

• Ejemplo: Si F es contiene “=S” (F u,v,z=u+“=S”+v) y G es empieza por a (G x,y=Sax), entonces la aplicación de F a G es

FG u,v,“x,y=Sax”=u+“=S”+v.

Preparativos para la demostración del teorema, VII

• La función que a dos fórmulas v y w (vistas como cadenas de caracteres) les hace corresponder la fórmula vw es recursiva, por lo que se puede representar mediante una fórmula , con tres variables libres, u, v y w, cuya interpretación natural es “el resultado de sustituir la variable libre de la fórmula parametrizada u por la fórmula para-metrizada v es la fórmula parametrizada w”.

Preparativos para la demostración del teorema, VIII

• En este contexto, la demostración del Teorema de incompletitud de Gödel se reduce a la de un teorema del punto fijo del tipo del de Turing: Buscamos una fórmula cerrada F tal que F (d,~)F.

Preparativos para la demostración del teorema, IX

• La solución es totalmente análoga a la de Turing: F es la aplicación de la fórmula G a sí misma, donde G es la fórmula parametrizada XX no tiene demostración, pues al aplicársela a ella misma se obtiene la fórmula GG no tiene demostración.

Preparativos para la demostración del teorema, X

• Solamente nos queda demostrar que hay una fórmula parametrizada G cuya interpretación natural es XX no tiene demostración. Esto es fácil de obtener en base a lo dicho anteriormente, pues basta con tomar G d,~ ^e/w,u/v.

El Teorema de Incompletitudpara la Aritmética

• Gödel demostró su teorema de incompletitud para la Aritmética.

• La demostración es análoga al caso de la Semiótica, excepto que las fórmulas lógicas no se representan mediante cadenas de caracteres, sino que se codifican mediante números utilizando la numeración de Gödel. Lo mismo ocurre con las demostraciones y con la representación de funciones recursivas totales.

Comentario

• La demostración del teorema de representación de Gödel es constructiva en el sentido de que da una fórmula concreta que no se puede demostrar así como su negación.

• La fórmula construida en la demostración depende del conjunto de axiomas, pues la fórmula que representa al predicado d demuestra f depende del mismo.

Consecuencias delTeorema de Incompletitud

• El conjunto de fórmulas de la Aritmética (o de la Semiótica) ciertas en la interpretación estándar (o en otra) no es computable.

• Demostración: Si lo fuera, formaría un conjunto computable consistente maximal de axiomas que contendrían a los habituales, y cualquier fórmula o su negación sería uno de ellos, por lo que no tendría fórmulas indecidibles.