97

Artículo solicitado por Suma en julio de 2014 y aceptado en septiembre de 2014

77

En puertas deltercer milenio

77

14 de enero de 1978

Después de entregarle el original a la enfermera eldoctor Greenway se detuvo antes de firmar la copiadel acta de defunción tras echarle una última ojeaday subrayó la fecha que aparecía sobre su firma:

14 de enero de 1978

el nombre y las fechas que encabezaban el docu-mento:

Kurt Friedrich Gödel,

28 de abril de 1906-14 de enero de 1978

y el último párrafo:

víctima de desnutrición e inanición

provocada por trastornos mentales

Metió el papel en una carpeta en la que con letracasi de manual de caligrafía había escrito el nombredel paciente y la guardó en un archivador, no sin re-cordar en ese momento cómo se dulcificaba el gestoagrio del que había sido su paciente mientras suslabios intentaban trazar lo que quería ser una sonrisacon la que lo recibía cada vez que entraba en su ha-bitación, dispuesto a jugar la única partida de ajedrezque jugaron juntos.

Kurt Gödel:la fuerza de la lógica

ANTONIO PÉREZ SANZJOAQUÍN COLLANTES HERNÁEZ

SeccioneSnoviembre 2014

pp. 97-108

Todo error obedece a factores externos (tales como la emocióny la educación); la razón, por sí sola, no yerra.

Kurt Gödel

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

Los médicos de la planta, a la vista del enfermo queacababa de ingresar, reconocieron que nunca habíanvisto nada semejante. No se explicaban cómo podíaseguir vivo aquel anciano que parecía un cadáverviviente y que permanecía, sin reaccionar a ningúntipo de estímulo, en posición fetal desde que loacostaron en la cama. Pero se sorprendieron al com-probar que sí reaccionaba contra los que intentabanquitarle las gafas o cambiarlo de la posición que élhabía elegido: sobre el costado derecho y justo alborde del colchón.

Sólo el doctor Greenway supo quién era el pacienteque había ingresado de urgencia la mañana del 29de diciembre en el hospital de Princenton. Y al leersu nombre en la lista de recepción subió inmediata-mente a la habitación que le habían adjudicado paraencontrarse con un hombre con el cuerpo destruido,un muñeco roto que apenas pesaba 30 kilos y delque, como signo de vida, solamente destacaba elbrillo intenso de los ojos miopes tras las gafas queno quiso abandonar ni un solo momento.

El diagnóstico del médico que ordenó su ingresoen el hospital era tan impresionante como contun-dente. El doctor Greenway leyó:

Sufre desnutrición grave, paranoia aguda con alucinacio-nes, ataques de pánico, hipocondría y depresión apare-cida en un principio en crisis intermitentes para terminarhaciéndose aguda. Sufre bloqueo de los conductos urina-rios por hipertrofia de la próstata. Durante años se ha ne-gado a aceptar ayuda médica. Ha tenido rachas denormalidad que han ido espaciándose hasta desapareceren la actualidad, aunque solamente su mente continua in-tacta en un cuerpo prácticamente muerto. Diagnóstico:muy grave, y a mi juicio, en estado terminal.

El doctor Greenway no tiró la toalla.

—está usted intentando un imposible. este hombre notiene solución, ya está fuera de este mundo.

Sin hacer caso del comentario de su colega, colocóuna mesa baja junto a la cabecera de la cama, dellado sobre el que estaba acostado el enfermo. Y so-

bre la mesa un tablero de ajedrez. Y sobreel tablero, muy despacio, fue colocandolas piezas sin quitarle ojo al que todo loobservaba atentamente, a la espera de unareacción que solamente llegaría cuando,con el Rey Negro en una mano y el ReyBlanco en la otra el médico, sonriendo, lepreguntó al enfermo:

—¿negras o blancas?

El enfermo, con un gesto casi impercep-tible, señaló la mano que contenía la piezanegra. Cuando, con un hilo de voz, dijo:peón reina, el doctor Greenway supo que,aunque mínima, aún había esperanza desalvar al hombre que era considerado ungenio de las matemáticas.

Así pasaron seis días durante los cuales lapartida avanzaba lentamente con claro re-troceso de las piezas blancas ante el ata-que, tan lento como despiadado, de laspiezas negras. Hasta que un día, cuandosolamente defendían al rey blanco la reina,un caballo, un alfil, una torre y dos peones,el doctor, al entrar en la habitación se en-contró con que el matemático había ce-rrado los ojos solamente para volver aabrirlos apenas un minuto antes de sumuerte, ocho días después. Pero lo queno sabía el médico es que el matemáticohabía abandonado la partida, y la habita-ción y el hospital para asistir como espec-tador privilegiado a la rápida película desu vida antes de exhalar su último suspiro.

Su nacimiento, el 28 de abril de 1906 ysus primeros años en Brno, en la actualRepública Checa, junto a unos padres deposición acomodada, de origen alemán,junto a su neurosis y fiebres reumáticasinfantiles, fueron la primera imagen fija

98

noviembre2014

77

Teorema de completitud

en el sistema axiomático de la lógica de primer orden, si una afirmación es verdadera, entonces puededemostrarse.

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

seguida, a velocidad de vértigo, por susaños de estudiante de física y matemáticasen la universidad de Viena. Ya en 1928,dentro de sus investigaciones para su tesisdoctoral, Gödel focaliza su interés hacialos fundamentos de la matemática. Se su-merge en la lectura de Los elementos de lógicateórica, de Hilbert y Ackherman. Por lotanto, la obra lógica de Gödel hay que re-lacionarla desde el principio con el pro-grama formalista de Hilbert. Su tesis doc-toral, La completitud de los axiomas del cálculofuncional de primer orden, dirigida por HansHahn y Fürtwängler y leída en 1930 in-corpora su famosa prueba de la suficienciasemántica del cálculo lógico de primer or-den… ¡Y solamente tenía 11 páginas! Es-tas escasas páginas le abrieron las puertaspara ejercer como privatdozent, profesorsin derecho a sueldo, en la universidad deViena hasta su marcha a Estados Unidos.

Viena y los teoremasde incompletitud

En la siguiente escena que pasa por su ca-beza, a las 16,45 horas del día 26 de agostode 1930, un Gödel sonriente, abre la puertade la habitación para entrar en el ambienteruidoso y ahumado del Café Reichsratcomprobando que, como siempre, llegabatarde a su cita. Sentados al velador de már-mol que consideraban suyo, el que estabaen el rincón del café, junto al ventanal quese abría a la Ringstrasse, le esperaban Men-ger, Carnap, Feigl y Waismann, entre otrosmiembros de Círculo de Viena, impacien-tes por ver el trabajo que Gödel les habíaasegurado que les mostraría aquella tarde.Así que, sentándose y dejando la carpetaque llevaba encima de la mesa, a modo desaludo, les espetó a los que esperaban:

—la ciencia no tiene respuestas a todas laspreguntas.

noviembre2014

9977

El Círculo de Viena

Surgió con el nombre de Sociedad ernst mach —figuraseñera del racionalismo antimetafísico— a partir delas reuniones mantenidas en 1907 entre el matemá-tico Hans Hahn, el economista otto neurath y el físicoPhilipp Frank para hablar, fundamentalmente, sobrefilosofía y ciencia con un interés positivista lógico. Supremisa era que lo que no es verificable empírica-mente no tiene sentido.

A partir de 1922, y con la incorporación del mate-mático moritz Schlick como líder del círculo, las reu-niones del ya definitivamente círculo de viena se hi-cieron cada vez más regulares y numerosas,señalando como objetivo prioritario la propagaciónde una visión científica del mundo. en 1929 el círculopreparó un manifiesto en el que se definía comomovimiento científico y filosófico, consolidándosecomo un movimiento fundamental en la historia dela filosofía y la ciencia del siglo xx. en el manifiestoaparecían como miembros:Gustav bergmann, filósofo y matemático

rudolf carnap, físico y filósofoHerbert Feigl, filósofoPhilipp Frank, físicoKurt Gödel, matemáticoHans Hahn, matemáticovictor Kraft, filósofo e historiadorKarl menger, matemáticomarcel natkin, matemáticootto neurath, sociólogoolga Hahn-neurath, matemáticatheodor radakovic, filósofomoritz Schlick, filósofo y físicoFriedrich Waismann, filósofo

Además de los socios habituales, el círculo contabacon un cierto número de simpatizantes entre los quese destacaban Albert einstein y bertrand russell —residentes en Alemania e inglaterra, respectiva-mente—, ludwig Wittgenstein y Karl Popper, que re-sidieron en viena pese a no formar parte directa delcírculo ni asistier a sus famosas reuniones.

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

Y aunque ya muchos científicos sehabían hecho tal cuestión, Kurt Gö-del fue el primero en demostrar ri-gurosamente esta aseveración cons-truyendo su demostración sobre ellenguaje preciso de la lógica simbólicay utilizando el rigor de las matemáti-cas para demostrar, sin lugar a dudas,que las mismas matemáticas son in-completas. Gödel debió dejar atóni-tos a sus oyentes con afirmaciones tan simples y almismo tiempo tan sorprendentes como:

—En cualquier sistema formal que incorpore alaparato de la lógica los principios y reglas de la arit-mética elemental hay sentencias bien construidasque no son demostrables, es decir que no se puedenni refutar ni demostrar, por tanto son indecidibles.Y si añadimos estas sentencias como axiomas, apa-recen otras nuevas no demostrables. Es decir, el sis-tema es incompleto.

Como remate, añadió:

—la consistencia de estos sistemas no puede probarsedentro de ellos mismos.

En 1932 Gödel forma parte activa del seminario delógica de Hans Hahn, el matemático director de sutesis y es asiduo a los Coloquios de Menger (reunio-nes promovidas por el matemático Karl Menger conel que más tarde Gödel coincidiríaen América). Durante estos años lasreuniones con el Círculo de Vienaserán determinantes para Gödel porla oportunidad de establecer amistadcon muchos de sus miembros, amis-tad que continuaría en Estados Uni-dos cuando ya la mayoría de suscomponentes se habían exiliado allí.

1933-1940:cuatro viajes a América

A lo largo de estos años Gödel rea-lizó cuatro viajes a Estados Unidos.En el primero, en octubre de 1933,

descubriría el ambiente li-beral del Instituto de Estu-dios Avanzados (IAS) dePrinceton en contraste conel asfixiante de Viena, en elque rectores, decanos yprofesores fueron obliga-dos a afiliarse al nazi Frentenazi Patriótico.

El segundo fue en agostode 1935. Al empezar el curso en el IASuna profunda depresión le obligó a regre-sar a Viena. Gödel recordaría siempre elaño que le esperaba, 1936, como el peorde su vida, ya que tuvo que ser internadoen el sanatorio de enfermedades nerviosasde Rekawinkel. El matemático estaba soloya que la mayoría de sus amigos y com-pañeros habían emigrado; su mentor,Hans Hahn, había muerto en 1934 y elprofesor Moritz Schlick, había sido aba-tido a tiros en las escaleras de la universi-dad por uno de sus alumnos.

El 20 de septiembre de 1938 Gödel se casócon Adele Thusnelda contra la voluntad desu familia, que se negaba rotundamente aadmitir en el seno familiar a una mujer di-vorciada, católica, seis años mayor que él y

que trabajaba en el cabaretNachtfalter de Viena. Pero,contra todo pronóstico, tu-vieron finalmente que re-conocer que su presenciaactuaría positivamente en elánimo y salud de Gödel, yque su papel como pacienteesposa sería esencial en susrelaciones, incluso impres-cindible durante sus crisis,sobre todo al final de suvida, época en que cuidó asu marido con una dedica-ción ejemplar, a pesar deque ella, a su vez, estabagravemente enferma.

100

noviembre2014

77

Kurt Gödel junto a su mujer,Adele thusnelda, en 1938

A pesar de que él era ario y notenía que temer la represióndesatada contra sus colegasjudíos, Gödel despreciaba laactitud agresiva y hostil delgobierno nacional-socialistahacia la cultura y su controlasfixiante de la ciencia y la vidauniversitaria

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

En 1938, en su tercer viaje a América,pudo viajar con un permiso de salida delas autoridades alemanas, imprescindibletras la anexión de Austria al III Reich.Pero los barcos hacia Inglaterra y EstadosUnidos salían atestados, de tal manera quefue imposible encontrar un segundo pa-saje en el New York para Adele, que tuvoque quedarse en Viena. John von New-mann consiguió que Gödel impartiera unseminario sobre Teoría de Conjuntos du-rante los meses de noviembre y diciembrede 1938. En la Universidad de NotreDame en South Bend, cerca de Chicago,impartiría como profesor invitado de fe-brero a junio de 1939 cursos de lógicaelemental con la ayuda de su amigo vienésKarl Menger, exiliado en 1936.

Ya en Princeton, Gödel se encontró ensu ambiente, propiciado por la amistad devon Newmann, Einstein, Morgenstern yotros profesores que había conocido enAustria y Alemania y que ahora estabanrefugiados en Estados Unidos y con acti-vidad investigadora y docente en esa uni-versidad. Allí trabajó sobre su artículo «Laconsistencia del axioma de elección y dela hipótesis generalizada del continuo»,que publicaría incompleto, a modo de ini-cio, en el volumen de noviembre de losProceedings of the Nacional Academy of Scien-ces. El artículo completo se publicaría elaño siguiente.

De vuelta en Viena, en agosto de 1939Gödel es llamado a filas. El matemáticofue consciente de que si estallaba la guerrasu salida hacia los Estados Unidos seríaprácticamente imposible. Para eludir elalistamiento alegó problemas de corazónmotivados por unas fiebres reumáticas,incluso esgrimió imprudentemente su es-tancia en el sanatorio de Purkersdorf, es-pecializado en enfermedades nerviosas.

Kurt Gödel decidió que la única soluciónera huir. A pesar de que él era ario y no

noviembre2014

10177

Sobre las sentencias formalmenteindecidibles de los Principia Mathematicay sistemas afines

marzo de 1931: un artículo publicado en una revistaespecializada al alcance de muy pocos, Monatsheftefür Mathematik und Phisik, el artículo más impor-tante de la lógica matemática del siglo xx, y quizásde toda la historia de la matemática, va a catapultara la fama mundial entre la colectividad científica aun extraño joven de tan solo 25 años.

en este artículo, que tan sólo ocupa 26 páginas delnúmero 38 de la revista, un resultado estrella va aponer patas arriba todo el panorama matemáticode la época: el teorema de incompletitud, que desdeentonces sería conocido como «teorema de Gödel».

Se trata de un resultado que viene a enterrar de ma-nera definitiva el sueño de Hilbert de dotar a las ma-temáticas de una formalización completa aceptadauniversalmente.

el teorema establece que en todo sistema formaldeductivo que incluya al menos los principios y reglasde la aritmética existen proposiciones que no se pue-den demostrar ni refutar y que, por tanto, son «in-decidibles». la existencia de estas proposicioneshace que el sistema sea «incompleto».

una simple y triste consecuencia de este resultadova a hacer tambalear todo el edificio de las mate-máticas: los axiomas y las reglas de la aritmética for-mal son incapaces de probar por sus propios mediosque están libres de contradicción. es decir, que unaproposición puede resultar al mismo tiempo verda-dera y falsa. en definitiva, que no podemos decidirsi el sistema es consistente.

John von neumann se encargará de darle el espal-darazo definitivo:

—Puesto que has probado la indemostrabilidad dela consistencia como continuación natural de tus re-sultados anteriores, no publicaré nada al respecto.

ese año, los cursos de von neumann en Princetontuvieron como tema central los teoremas de incom-pletitud de Gödel.

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

102

noviembre2014

77

fin, el día 4 de marzo de 1940 Kurt Gödely su esposa, agotados tras dos meses deviaje, pisaron el continente en el que resi-dirían hasta su muerte.

La casa definitiva:129, Linden Lane

Gödel se afinca en Princeton. Hasta 1946como miembro ordinario del IAS; en 1946pasará a ser miembro permanente, en 1948adquirió la nacionalidad americana y en1953 es elegido miembro de la NationalAcademy of Sciences lo que provocaríaque, al fin, el IAS reconociera su status deprofesor titular, algo que su amigo vonNewmann venía reclamando desde su lle-gada. Sus excentricidades de aquella épocaretrasaron tal nombramiento ya que elclaustro de profesores se preguntaba si loque ya era clara paranoia de su compañero,no acabaría siendo peligrosa para la marchadel centro e incluso para ellos. Cuando fi-nalmente decidieron concederle la plazade profesor titular, especificaron en su con-trato que en caso de enfermedad se podríaretirar con una pensión adecuada.

El mes de septiembre del año 1949 Gödely Adele compraron, con la ayuda de Op-penheimer, la que sería su casa definitiva,en el número 129 de Linden Lane, enPrinceton. A su vuelta de un viaje a Eu-

Adele y Kurt en su casa de linden lane(Princeton, 1949)

tenía que temer la represión desatada contra sus co-legas judíos, Gödel despreciaba la actitud agresiva yhostil del gobierno nacional-socialista hacia la cul-tura, y su control asfixiante de la ciencia y la vidauniversitaria. En el propio campus universitario alser tomado por judío fue vejado y golpeado mientraspaseaba con Adele. Este suceso le convenció deque tenía que abandonar cuanto antes el país. Peroel Ministerio de Educación prohibía a los profesoresestablecer contactos con centros extranjeros de en-señanza sin la autorización de las autoridades aca-démicas del III Reich. Así que, ante la solicitud deGödel para volver por cuarta vez a Princeton, elrector de la universidad declaró que, a pesar de labuena opinión que tenía del matemático, disentíaenérgicamente de su falta de compromiso con elrégimen nacional-socialista. El hecho de haber rea-lizado su tesis doctoral con el eminente profesorHans Hahn, eminente matemático pero judío, eraconsiderado como un agravante en su expediente.Desde Princeton, fue reclamado por John von New-mann (residente en Princeton desde 1930 y miembrodel Instituto de Estudios Avanzados desde 1933),por Abraham Flexner, director del IAS desde sufundación hasta 1939 y por su sucesor Frank Ayde-lotte que ocuparía el cargo entre 1939 hasta 1947.El 19 de diciembre de 1939, Gödel y Adele obtienenpor fin los pertinentes permisos de salida de las au-toridades alemanas y la visa de inmigrantes sin cuotapor parte de las autoridades americanas, los dos do-cumentos imprescindibles para su cambio radicalde vida. Pero las cosas se complicaron aún más alllegarles la inquietante noticia de que al ser ciuda-danos alemanes (Alemania había invadido Poloniael 1 de septiembre señalando el comienzo de la IIGuerra Mundial) podrían ser arrestados en el mismobarco mientras trataban de cruzar el Atlántico. Op-taron por elegir el recorrido más largo hacia Américaa través del territorio ruso después de obtener, el12 de enero de 1940, los correspondientes visadosde las autoridades soviéticas. Atravesaron Letonia yLituania hasta Vladivostok para trasladarse a Moscúcomo etapa previa, para llegar, viajando en el tran-siberiano, a Yokohama. El largo rodeo los llevóhasta el puerto chino para embarcarse en el Presi-dent Cleveland con destino a San Francisco. Por

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

noviembre2014

10377

ropa, para visitar a los supervivientes desu familia, Adele encontró a su marido enbuen estado de salud y ánimo. Instaladosya en la nueva casa disfrutaron de un pe-riodo de equilibrio, un periodo de inespe-rada tranquilidad que permitiría a Adeleocuparse de todo lo relativo a la puesta apunto de su nuevo hogar, y a Gödel cen-trarse en sus trabajos con una salud y unequilibrio casi olvidado.

Por aquella época Gödel dejó a un ladosus trabajos sobre lógica y se orientó, in-fluenciado por su colega y amigo Einstein,hacia la filosofía y la física, discutiendocon él aspectos filosóficos y matemáticosde la Teoría de la Relatividad, a la vezque se ocupaba de la cosmología relati-vista, buscando y encontrando, además,soluciones novedosas a las ecuaciones delcampo gravitatorio de la relatividad gene-ral que sorprenderían al mismo Einstein.

Ese año Gödel publica en Reviews of modernphysiscs el artículo titulado «Un ejemplo deun nuevo tipo de soluciones cosmológicasa las ecuaciones del campo gravitatorio deEinstein», el que pone de manifiesto la exis-tencia de soluciones cosmológicas en lasque no se puede definir un tiempo abso-luto, abriendo la posibilidad teórica de viajara cualquier región del pasado, presente yfuturo y regresar a la posición inicial.

En 1951 todo pareció volverse negro. Gö-del cayó en una profunda depresión acausa de una hemorragia por ulcera deduodeno que necesitó urgente hospitali-zación. El sueño de que los problemas desalud se hubieran terminado estallaron enpedazos, y a pesar de los cuidados de suesposa el matemático adelgazó considera-blemente pues se alimentaba prácticamentesólo con papillas de bebé. Por esas fechasse estableció el Premio Einstein que ten-dría carácter trianual. En esa primera con-vocatoria el premio sería compartido entreJulian Schwinger y Kurt Gödel.

Para Gödel la noticia supuso una inyección de op-timismo no sólo por el prestigio del premio en sí,sino también porque los 15.000 dólares de dotaciónque lo acompañaban supondrían una ayuda estima-ble para sus continuos gastos médicos. El 14 demarzo de 1951, en la ceremonia de entrega del pre-mio, Oppenheimer presentó a Julian Schwinger ydisertó sobre su obra, mientras que von Newmannlo hacía sobre la de Gödel, incidiendo en la impor-tancia de los teoremas de incompletitud y en queeste trabajo fuera al fin valorado como se merecía,añadiendo, antes de que una cerrada ovación de lospresentes confirmara sus palabras, que la obra deeste lógico genial marca un hito en la historia de laciencia. Einstein entregó los galardones personal-mente y al imponérselo a Gödel, exclamó:

—éste, mi querido amigo, es para ti, aunque no lo nece-sites.

En junio de 1951 la Universidad de Yale le concedeun doctorado honoris causa, y en diciembre es in-vitado por la American Mathematical Society para hablaren la prestigiosa conferencia Gibbs como el primerlógico al que le ofrecían tal honor. En dicha confe-rencia, titulada Algunos teoremas básicos sobre los funda-mentos de las matemáticas y sus implicaciones filosóficas, elmatemático meditaba sobre la relación de su obracon el conocimiento humano con argumentos nomatemáticos, sino filosóficos.

En 1952 la Universidad de Harvard le concedió eldoctorado honoris causa con una mención como eldescubridor de la verdad matemática más significa-tiva del siglo XX.

Paseando con Einstein

Durante años Einstein y Gödel pasearon juntos to-dos los días. Formaban parte del paisaje de Princetonrecorriendo el camino que iba de Fuld Hall hastaOlden Farm. Habían congeniado desde el primermomento, cuando Gödel llegó a Princeton en 1933en su primera visita. Tras su incorporación definitivaen 1940 se harían inseparables a pesar de los vein-tiocho años de diferencia y de sus caracteres anta-gónicos: Einstein era extrovertido, alegre y reía por

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

todo; mientras que Gödel era introvertido, profun-damente serio y solitario.

Gödel era de los pocos colegas de Princeton al queEinstein consideraba como un igual. Los dos amigoshablaban de ciencia pero también sobre música, po-lítica o religión, temas en los que coincidían. Einstein,en alguna ocasión aseguró:

—Si voy a mi oficina en el instituto de estudios Avanzadoses únicamente para tener el privilegio de volver luego acasa paseando con Gödel.

La peculiar pareja hacía que todos se volvieran a supaso. Digna de mención es la anécdota ocurrida en1947 cuando Gödel se nacionalizó norteamericano.Al llevar siete años como residente en los EstadosUnidos, sus amigos lo convencieron para adoptar lanacionalidad americana. Como todo solicitante de lamisma, Gödel debería demostrar tener un conoci-miento general del contenido de la Constitución Ame-ricana respondiendo a unas sencillas preguntas. Ade-más, necesitaba dos avalistas que respondieran de sureputación y lo acompañaran al examen oral ante unjuez local.

Gödel se presentó con dos padrinos de lujo: AlbertEinstein, sobradamente conocido y respetado, y Os-kar Morgenstern. El juez que tenía que examinarloera amigo de Einstein, pero Gödel no quiso privile-gios y preparó el examen concienzudamente…, tantoque encontró resquicios en el entramado legal quehacían de la Constitución Americana un sistema in-consistente que permitiría la instauración de una dic-tadura en el país. Morgenstern le contestó que esoera algo completamente absurdo y que bajo ningúnconcepto debía mencionarlo en la entrevista ante eljuez, ya que pondría en peligro la obtención de la na-cionalidad. Cuando llegó la cita, Einstein y Morgens-tern insistieron en que se limitara a presentarse, darlas respuestas de rigor y los tópicos aprendidos dememoria y se fuera con la nacionalidad recién adqui-

104

noviembre2014

77

Albert einstein y Kurt Gödel

rida en el bolsillo. Pero las sospechas delos padrinos, como se vería, no eran in-fundadas. El juez Philipp Forman, impre-sionado por la categoría intelectual de lostestigos, comenzó la entrevista diciendo:

—Hasta ahora usted tenía la nacionalidadalemana.

A lo que Gödel contestó:

—Perdone, señor juez: austriaca.

Y el juez, sin inmutarse, añadió:

—Ah, ya. De todos modos su país tuvo quesufrir una horrible dictadura. Afortunada-mente, eso no puede suceder en América.

—¡todo lo contrario! —exclamó Gödel. yo sécómo puede ocurrir. y puedo probarlo.

Y comenzó a disertar con vehemencia so-bre el mecanismo que había descubiertoen el texto de la Constitución hasta que eljuez, probablemente advertido con ante-rioridad por Einstein, le interrumpió:

—tampoco creo que sea cuestión de meter-nos en honduras…

Y comenzó a hacerle las preguntas ruti-narias. Es un misterio qué fue lo que Gö-del había descubierto.

en agosto de 1950 Gödel presentó en el congreso internacional de matemáticos (icm) de cambridge,massachussets, su trabajo titulado Universos rotatorios en la teoría general de la relatividad, nuevas so-luciones de las ecuaciones del campo gravitatorio, que determinan diversos universos posibles, todosellos rotatorios, espacialmente homogéneos y finitos en los que la existencia de líneas cerradas de tipotemporal depende de la rotación.

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

noviembre2014

10577

En 1957, el mismo año en que eselegido miembro de la AmericanAcademy of Arts and Sciences ycuando aún no había superado laausencia de Albert Einstein, des-aparecido dos años antes, fallecesu entrañable amigo Joseph vonNewmann, el padre de la teoría de juegos.Von Newmann, como muchos de los pri-meros investigadores que trabajaron sobrela energía atómica, subestimó el peligrode las radiaciones a que se exponía en losensayos nucleares y en agosto de 1956 ledetectaron un cáncer que acabaría con suvida el 8 de febrero de 1957, a los cin-cuenta y tres años. Este segundo impactovino a ahondar el dolor producido por lamuerte de Albert Einstein en 1955.

La década de los sesenta fue para Gödella época de prestigiosos reconocimientos.En 1968 fue elegido miembro extranjerode la Royal Society ya que el año anteriorhabía sido nombrado miembro honorariode la London Mathematical Society, a lavez que el prestigioso Amherst College leconcedía un doctorado honoris causa.Dos años antes, en el año 1966, rechazóvehementemente la propuesta de nom-bramiento como miembro honorario dela Academia Austriaca de Ciencias comouna inequívoca ruptura con su pasado.

La recta final: 1970-1978

Desde 1970, sus crisis de hipocondríaeran cada vez más agudas unidas a rachasintermitentes de euforia en la que hacíatodo tipo de planes de trabajo, que que-daban en nada en cuanto volvía la depre-sión crónica que ya no lo abandonaría.Sufría alucinaciones y en su paranoia ase-guraba que tenía pinchado el teléfono, loque le llevaba a utilizar claves absurdaspara hablar con sus amigos, convencidoasí de despistar a los posibles espías. Ase-

guraba también estar vigiladopor el FBI por sus opinionescontrarias a la guerra de Viet-nam y que alguien lo habíahechizado por medio de hip-nosis.

Su desprecio por el mundoacadémico va en aumento. En 1972 había aceptadoentusiasmado, en la que sería su última apariciónpública, el doctorado honoris causa concedido porla Universidad Rockefeller de Nueva York a ins-tancias del profesor Wang. Tres años después, enmayo de 1975, aceptaría también el nombramientocomo miembro de la Academia de Ciencias Moralesy Políticas del Instituto de Francia. Sin embargo,cuando la universidad de Princeton decide, al fin,concederle el doctorado honoris causa, Gödel co-menta a sus amigos que llega con retraso, ya que lológico hubiera sido recibirlo al mismo tiempo quesus doctorados honoris causa en Yale y Harvard,en 1951 y 1952. En septiembre renuncia también ala Medalla Nacional de Ciencia que debería entre-garle en Washington el presidente de los EstadosUnidos, Gerald Ford.

Durante este año, encerrado cada vez más en símismo, solamente comparte sus ideas sobre eco-nomía, filosofía y matemáticas con Oskar Mor-genstern y Hao Wang. Wang, lógico, filósofo y ma-temático de origen chino, llegó a la UniversidadRockefeller de Nueva York en 1967, contratadocomo profesor de lógica. Impresionado por los tra-bajos de Gödel le haría continuas visitas a Princetonhasta establecerse entre ambos una sólida amistad.Fruto de estas reuniones, escribiría sus Reflexionessobre Kurt Gödel que tanto aportó al conocimientode la vida y obra del matemático; y también lasobras De las matemáticas a la filosofía y Un viaje lógico:de Gödel a la filosofía.

El punto de inflexión llegó con el ingreso de Adeleen el hospital, en el mes de julio de 1977. Durantelos meses que estuvo internada Gödel se despreo-cupó de su propia salud. Incapaz de desenvolverseen una casa en la que la presencia de Adele era in-sustituible, abandonó los hábitos imprescindibles,empezando por la alimentación. Los amigos más

… encontró resquicios en elentramado legal que hacían dela Constitución Americana unsistema inconsistente quepermitiría la instauración deuna dictadura en el país

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

106

noviembre2014

77

Las 26 páginas más famosasde la lógica matemática

las obras completas de Kurt Gödel ocupan un únicoy breve volumen de tan solo cuatro capítulos titu-lado: Kurt Gödel. Obras completas.

Capítulo 1

contiene un breve resumen de las ideas fundamen-tales del artículo y presenta un esbozo de la ideaprincipal de la demostración del teorema 11. AquíGödel precisa la terminología y notación a usar:

Para las consideraciones metamatemáticas resulta indife-rente qué objetos usemos como signos primitivos. use-mos números naturales como tales signos. Por tanto, unafórmula será una secuencia finita de números naturales yuna deducción será una secuencia finita de secuencias denúmeros naturales.

Así, Gödel aritmetiza el sistema formal permitiendodefinir «fórmula», «deducción» o «fórmula deduci-ble» en términos del propio sistema de los Principia.Define los signos de clase como una fórmula de Pmcon exactamente una variable libre del tipo de losnúmeros naturales y los ordena mediante una rela-ción R(n) que a su vez puede ser definida en el sis-tema Pm.

Capítulo 2

en este capítulo, hace una descripción precisa delsistema formal P con el que va a trabajar. es un sis-tema en el que a los axiomas de Peano se les añadela lógica del sistema Pm.

Se definen los signos primitivos del sistema: cons-tantes, variables de tipo 1, de tipo 2, de tipo n, signosde primer tipo, de tipo n, los signos de clase, fórmu-las, sentencias, axiomas…

el teorema vi es el famoso Teorema de in-completitud de Gödel que, adaptado a unlenguaje más prosaico de cómo él lo pre-senta, dice lo siguiente:

Teorema VI:en el sistema P, aunque lo completemos connuevos axiomas, hay siempre alguna senten-cia ta que ni ella ni su negación son deduci-bles en el sistema.

Gödel lo demuestra construyendo la fa-mosa sentencia (17 Gen r) que afirma desí misma que no es decidible.

Capítulo 3

en este capítulo introduce el concepto derelación (o clase) aritmética y completa elteorema vi con otros dos:

Teorema VIII:en cada uno de los sistemas formales men-cionados en el teorema vi hay sentenciasaritméticas indecidibles.

Teorema IX:en todos los sistemas formales mencionadosen el teorema vi hay problemas indecidiblesde la lógica pura de predicados de primerorden.

Capítulo 4

Kurt Gödel culmina su obra con el últimoteorema, el broche final:

Teorema XI:Sea K una clase recursiva primitiva y consis-tente de FórmulAS. entonces, ocurre quela SentenciA que dice que K es consistenteno es K-deducible. en especial, la consisten-cia de P no es deducible en P, suponiendoque P sea consistente (en caso contrario,toda fórmula sería deducible).

Gódel esboza una demostración. Sabedorde las consecuencias del mismo, en el úl-timo párrafo del artículo, anuncia una ge-neralización y una prueba detallada delteorema xi. Sin embargo, este trabajonunca se llevó a cabo. realmente, no hizofalta. nadie se atrevió a poner en duda lasconclusiones de este breve, denso, con-tundente y definitivo artículo.

Kurt GöDel: lA FuerzA De lA lóGicA

cercanos, como Morgenstern yHao Wang, se ocuparon como pu-dieron ya que rechazaba todaayuda.

Y la situación empeoró cuando el26 del mismo mes de julio, su que-rido amigo Oskar Morgenstern fa-lleció.Tras conocer la noticia, Gödelcayó en un estado de ensimismamiento delque apenas lograrían sacarlo la vuelta deAdele a casa y el fiel Hao Wang con susatenciones. Desde la muerte de Einstein,Gödel había convertido a Morgenstern enel inseparable amigo que siempre estabadispuesto a escucharle cuando sus depre-siones lo agobiaban. Entonces Gödel re-clamaba con vehemencia la presencia deeste matemático nacido en Silesia, que habíaestudiado también en la Universidad deViena, donde había conocido a Gödel. En1944 Morgenstern publicaría conjunta-mente con John von Newmann la granobra por la que sería internacionalmenteconocido: Theory of Games and Economic Be-havior, su teoría de los juegos que tanta in-

fluencia tendría en el mundode la economía.

La larga ausencia de su mujerse dejó plasmar en el cuerpodel matemático, que llegó abajar en su peso hasta los cua-renta kilos. Su peso iba a me-nos mientras su paranoia iba

a más, hasta el punto de que se desentendía de losque lo rodeaban para hablar solamente de sus en-fermedades, las reales y las inventadas por su hipo-condría. Abrumaba a sus amigos telefoneándolesconstantemente para pedirles ayuda al sentirse fal-samente acosado por la policía, vigilado por seresextraños, acechado por los vecinos y perseguidopor médicos que querían inyectarle medicamentosen estado de experimentación. Convencido de que estaba en marcha una conspi-ración para envenenarlo hervía varias veces las ver-duras que comía y el agua que bebía, auto-recetán-dose toda clase de medicamentos sin hacer caso delos consejos de los médicos, convencido de que to-dos formaban parte de la conspiración y de que losmedicamentos que le recetaban eran pócimas paramermar sus capacidades físicas y mentales.Su estricta dieta llegó a componerse de un huevoduro y una taza de té por la mañana y una pequeñaporción de verdura a la hora del almuerzo. Alcanzótal estado de debilidad que siempre tenía frío, de talmanera que, cuando acudía a su despacho, se arro-paba con tres o cuatro jerséis de lana gruesa super-puestos, bufanda de lana, guantes y un abrigo que aveces ni siquiera se quitaba en todo el día, ante elestupor de quienes lo contemplaban vestido así enplena primavera y hasta en verano. Desde que en el mes de julio de 1976 se jubilaradel IAS (Instituto de Estudios Avanzados) comoprofesor emérito se agudizaron sus problemas desalud y, sobre todo, su paranoia, dado que ahora noentretenía parte de su tiempo en el instituto y sededicaba obsesivamente a observarse ya que se to-maba la temperatura y la tensión varias veces al día,anotando las incidencias en un cuaderno que siem-pre llevaba en el bolsillo.

noviembre2014

10777

Su peso iba a menos mientrassu paranoia iba a más, hasta elpunto de que se desentendíade los que lo rodeaban parahablar solamente de susenfermedades, las reales y lasinventadas por su hipocondría

Profundidad en el pensamiento y en la mirada

Antonio Pérez SAnz y JoAquín collAnteS Hernáez

El 29 de diciembre de 1977, ante la insistencia deAdele y de Hao Wang, el único amigo que le que-daba en quien poder confiar, Kurt Gödel cedió ypermitió que le hospitalizaran. Ingresó en el hospitalde Princeton, el mismo en el que 22 años anteshabía fallecido Albert Einstein.

Hao Wang se dio cuenta de la gravedad de la situa-ción nada más entrar en la casa. El hogar de losGödel, pulcro y cuidado hasta extremos exageradoshasta entonces —y de dudoso gusto estético en ladecoración, según el juicio general de quienes lovisitaban— aparecía ahora como si hubiera sidoabandonado por los dos ancianos que recibieronal recién llegado como si no fueran conscientes desu presencia, como si no lo vieran. Cuando Wangconsiguió al fin que Adele reaccionara estuvieronde acuerdo en que la única solución para salvar lavida de Kurt era su ingreso urgente en un centrohospitalario.

Epílogo

La partida de ajedrez no llegaría a su final. KurtGödel había puesto punto final a la partida de lavida. El doctor Greenway estampó su firma en elcertificado.

14 de enero de 1978, Kurt Friedrich Gödel. 28 de abril de 1906 - 14 de enero de1978; causa de la defunción: Desnutrición e inanición provocadapor trastornos mentales.

Metió la copia en una carpeta en la que una letracasi de manual de caligrafía había escrito el nombre

del paciente, y la guardó en un archivador,no sin recordar en ese momento cómo sedulcificaba el gesto agrio del que habíasido su paciente, mientras sus labios in-tentaban trazar lo que quería ser una son-risa con la que lo recibía cada vez que en-traba en su habitación, dispuesto a jugarla única partida de ajedrez que jugaronjuntos.

Referencias bibliográficasFRESÁN, J. (2007), Gödel. La lógica de los escépti-

cos, Editorial Nivola, Madrid.GÖDEL, K. (1981), Obras completas, Alianza

Universidad, Madrid.— (2006), Sobre proposicones formalmente indeci-

dibles de los Principia Mathematica y sistemasafines, KRK Pensamiento, Oviedo.

108

noviembre2014

77

Antonio Pérez SAnzIES Salvador Dalí (Madrid)

JoAquín collAnteS HernáezIES Salvador Dalí (Madrid)

<tercermilenio@revistasuma.es>

la tumba de Kurt y Adele en el cementeriode Princeton, nueva Jersey (estados unidos)

(Foto: Antonio t. colombo)