Introduccion de Los Metodos Matriciales en Estructuras

Métodos matriciales de análisis estructural

MARCO TEORICO:

INTRODUCCION DE LOS METODOS MATRICIALES EN ESTRUCTURAS

Los métodos de cálculo matricial (CM) de estructuras son un conjunto de métodos que tienen en común organizar toda la información en forma de matrices. En estos métodos, todas las relaciones entre las distintas partes de una estructura dan lugar a sistemas de ecuaciones con un alto número de variables pero donde no se han realizado suposiciones o simplificaciones en las que se pierda información relevante. Esta generalidad, junto a la estructura de la información en matrices, permite que su planteamiento y resolución pueda ser ejecutada de manera automática por medio de programas de ordenador, lo que ha hecho que en la actualidad sean la práctica habitual en la ingeniería.En el presente texto se va a desarrollar el denominado método de la rigidez de cálculo matricial, aplicado a estructuras bidimensionales Formadas por barras y vigas. Este mismo esquema puede ser extendido a otras formas de discretizar una estructura o un medio continuo. De hecho, el método de los Elementos Finitos es la extensión del método de CM donde se trata con elementos que no son solo barras, sino volúmenes de distintas formas geométricas que modelan un mayor número de problemas mecánicos o físicos.En todo el desarrollo del método aceptaremos las hipótesis generales en las que normalmente se desarrolla la Teoría de Estructuras, esto es, comportamiento elástico y lineal del material y estado de pequeños desplazamientos.

Características de los métodos matriciales

En primer lugar es interesante hacer un breve análisis de diversas características que presentan estos métodos frente a los clásicos de cálculo de estructuras:

Generalidad: Puesto que todas las ecuaciones que describen el comportamiento de la estructura son implementadas en el problema, el CM se puede considerar un método de cálculo general, no está limitado por la aplicación del mismo a una tipología de estructura particular. Esto contrasta con los métodos para estructuras articuladas, en los que se exige que todos los nudos puedan considerarse como articulados, así como con el método de Cross, donde se asume que los efectos de acortamiento de barras son despreciables.

Conocimiento: La aplicación del CM, una vez que sus relaciones ya han sido desarrolladas, requiere un nivel de conocimiento para el operador mucho más básico. No es necesario entender el sentido físico de estas relaciones para aplicarlas. Los métodos particulares exigen un conocimiento preciso del problema estructural a tratar y una toma de decisiones continua sobre la influencia de diversos aspectos con el fin de simplificarlos. En el CM, al no tener que evaluar hipótesis o estimar efectos despreciables sobre el resultado final, la aplicación es directa.

Número de ecuaciones: La diferencia fundamental radica en el número de ecuaciones que intervienen en la resolución del problema. En CM intervienen todas, no se descarta ninguna incluso aunque a priori se pueda estimar que su influencia pueda ser despreciable. El método está establecido de manera que automática mente se tengan en cuenta todos los efectos. La potencialidad de los métodos particulares radica en limitarse a aplicar las ecuaciones significativas con lo que se

Análisis estructural II Página 1


llegaba a una solución muy aproximada a la real pero con un coste de tiempo y de cálculo mucho menor.

Velocidad de cálculo: Al incluirse todas las ecuaciones en CM, el tiempo de cálculo es mucho mayor por lo que, conocidas sus ecuaciones desde hace varios siglos, no han resultado ´útiles y de aplicación práctica hasta mediados del siglo XX. Los métodos particulares estaban desde el principio establecidos para poder aplicarse de manera manual y rápida, bien con ayuda de algún elemento de cálculo (reglas de cálculo) o incluso de manera gráfica (métodos de Maxwell-Cremona, Williot, etc.).

Sentido físico del problema: Durante la aplicación de los métodos particulares (articuladas y Cross) se puede entender y seguir sin grandes dificultades el comportamiento estructural del sistema. Esta es la razón por la que se siguen enseñando en las materias de Teoría y Cálculo de Estructuras: tienen un valor didáctico para comprender el comportamiento de estructuras. Sin embargo, en el CM tenemos finalmente un conjunto de números ordenados en matrices, que tienen una significación pero a la que puede costar más establecer su correspondiente con las características visibles de la estructura.

Automatización del método: Esta es una característica derivada de las anteriores y termina siendo la razón fundamental por la que los métodos matriciales son los que se han implantado actualmente, en particular el denominado método de la rigidez (que se desarrollara en los próximos capítulos). La generalidad del método y el hecho de que se implementen todas las ecuaciones, reducen al mínimo las decisiones previas para modelar el problema matemáticamente. Si se organiza la información de manera que se puedan seguir pasos repetitivos para cada elemento (barra) que intervenga en la estructura, es muy fácil desarrollar un algoritmo de aplicación automática para todos los casos. En eso consiste el método matricial de la rigidez, y tiene como consecuencia que sea muy sencillo implementar programas de ordenador para aplicar el método. Con ello se salva la principal limitación en cuanto a la necesidad de resolución de grandes sistemas de ecuaciones y permite explotar todas las ventajas adicionales que tiene el CM.



ANÁLISIS MATRICIAL

MÉTODO DE LA RIGIDEZ DIRECTA

Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos.

Se desarrollo con base en uno de los principios del equilibrio:La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento

Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema.

La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libre o restringido)

La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por:

[ F ] = [ K ] { U }

[ K ] = Matriz de rigidez

[ F ] =Vector de fuerzas

{ U } = Vector de desplazamiento

Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS

Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas:

1.1 Sistema de coordenadas globales

Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.



1.2 Sistema de coordenadas locales

Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define

un vector deposición: dirección y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales.

Øx, Øy, Øz: Cosenos directores

2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático,

llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de

puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario

aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas

generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez

relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la

estructura, mediante la siguiente ecuación:

Donde: son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores

aplicadas sobre la estructura; son las reacciones hiperestáticas inicialmente

desconocidas sobre la estructura; los desplazamientos nodales incógnita de la

estructura y el número de grados de libertad de la estructura.


http://es.wikipedia.org/wiki/Grados_de_libertad_(ingenier%C3%ADa)


La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la

matriz de rigidez mediante la relación:

Método de rigidez y flexibilidad

En los métodos matriciales para el cálculo de estructuras tantos hiperestáticos

como elementales siempre hay 2 variables, dependiendo del:

Método de la flexibilidad , siendo las incógnitas las fuerzas, que se basa a

su vez en el método de los desplazamientos (abordado este tema por mi

compañero Lucas Pérez Monge

Método de la rigidez , siendo las incógnitas los desplazamientos. En el que

hay tantas ecuaciones de equilibrio como desplazamientos desconocidos.

Las barras de una estructura se las relaciona con los desplazamientos que

presentan en los nodos de las estructuras, con las fuerzas exteriores

necesarias para que se produzcan estos desplazamientos. Relacionando

esta matriz de rigidez las fuerzas nodales y desplazamientos sobre los nodos

de la estructura a estudiar, obtenemos la ecuación:


http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3n


=

Donde:

Fi son las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; Ri son los

desplazamientos de la estructura; y di el número de grados de libertad de la

estructura.

La rigidez de una estructura consiste en que no sobrepasen un límite que están

íntimamente ligados con la funcionalidad o estabilidad en la elasticidad lineal de

la pieza a estudiar.

La deformación elástica se expresa también mediante esta matriz de rigidez

mediante la Imagen:

= · =

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser

simétrica en el que deduce que:

Si sobre un cuerpo elástico actúa una causa en un punto A, la deformación que

se produce en otro punto del sistema B es igual a la que se produciría en A si la

causa actuase en B. (J. C. Maxwell)

Con lo que interpreta que sólo existe la acción de una fuerza y no un conjunto

de éstas.

Este teorema es aplicable a la matriz de rigidez de una estructura lineal en

el que establece que ésta debe ser simétrica, como muestra en la Imagen:

ORIGEN

M. Levy en 1947 demostró la utilidad del método de la flexibilidad o de las

fuerzas para el análisis de estructuras. Esta teoría se completó en 1950 por

L.B. Wehle y W. Lansing. Levy fue el primero también en proponer el método

de la rigidez o desplazamientos para su análisis estructural, en un artículo



publicado en 1953, y ya estableció las ecuaciones en forma matricial,

resolviéndolas mediante el ordenador.

Al principio estos métodos se utilizaron para resolver problemas de estática

lineal en estructuras de barras, pero posteriormente, se destinaron al análisis

de estructuras más complejas incluyendo en este análisis el método de los

elementos finitos.

Entre 1945-1955 aparecieron los primeros artículos con los citados autores

para los métodos de matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura, este

método resurgió en aeronáutica, cuyos investigadores consiguieron estudiar el

comportamiento estructural del avión mediante ecuaciones simples. Mientras

que en Ingeniería Estructural necesitaban otros métodos que contrastasen

diseños más complejos, por lo que se ha seguido estudiando este método. El

mayor inconveniente era su gran tiempo en la ejecución de sus cálculos. Pero

con la coincidencia en la misma época de la entrada de los ordenadores (en

especial con la utilización del programa informático MATLAB u Octave, éste

último con licencia libre) facilitaron la resolución de estas ecuaciones de forma

rápida y directa.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

El procedimiento de cálculo, según la demostración obtenida de Roberto

Aguiar Falconí. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

para hallar la matriz de rigidez de una estructura K se consigue mediante los

siguientes pasos:

1) Establecemos la deformada elemental cuya columna se va a calcular.

2) Debemos localizar las deformaciones p en cada uno de los elementos

afiliado a la deformada elemental.

3) Hacemos una transformación de las deformaciones p de cada elemento en

cargas internas P a través de la matriz de rigidez del elemento k. Siendo la

ecuación matricial: P= k•p

4) Realizamos el equilibrio de cada uno de los elementos que conforman la

estructura.

5) Debemos localizar el equilibrio de cada uno de los nodos de la estructura.

6) En este paso se obtienen las cargas que ejerce sobre la estructura y el

vector de las cargas que son los elementos de la matriz de rigidez de la

estructura.



Ahora veremos (Imagen 3.1) un ejemplo donde va siguiendo estos pasos:

Primero debemos darnos cuenta que las deformaciones p se obtienen de las

siguientes ecuaciones:

-

-

La matriz de rigidez de un elemento para un sistema de coordenadas indicado

es:

=

Las cargas del elemento 1 se obtienen del producto matricial

Donde es de la siguiente forma:

=

De donde:


http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title=Imagen:Estructura.jpg


Lo normal es que se realice con los elementos 2 y 3, es decir, se multiplica la

matriz de rigidez de cada elemento por su vector de deformaciones,

obteniéndose:

Resumiendo, el vector de cargas generalizadas Q que establecida como:

=

Por definición los elementos de Q son los términos de la primera columna de la

matriz de rigidez de la estructura. Dando una matriz más simplificada cuyo

resultado final es el siguiente:



=

MÉTODO MATRICIAL DE LA RIGIDEZ PARA ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

En el estudio de una estructura por el método de la rigidez se establecen tres

conjuntos de ecuaciones que deben cumplir.

Ecuaciones de compatibilidad

Ecuaciones constitutivas

Ecuaciones de equilibrio

Nuestro método a describir será para la rigidez de estructuras hiperestáticas

mediante matrices, aunque su flexibilidad, en el concluiremos con unas

conclusiones diferenciándola con la rigidez ya que, se calcula mediante un

campo vectorial y matricial de desplazamientos.

Las estructuras de barras hiperestáticas largas tienen un número finito de

grados de libertad pudiéndose calcular mediante un numero definido con el

mismo número de ecuaciones que de incógnitas en forma algebraica.

La matriz de rigidez es simétrica y dispersa; por lo que decimos que la matriz

de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidad, relacionando entre ellas los

desplazamientos con las cargas que actúan (Imagen).

=

Un ejemplo de la matriz rigidez de una estructura hiperestática de una barra

será de orden 4 como muestra la Imagen .



=

y los vectores de carga y de movimientos (Imagen):

Simplificando la matriz rigidez obtenemos una matriz más esquematizada como

muestra en la Imagen 4.4.

=

Sabiendo Eliminando las filas y columnas que se encuentran coaccionados

debido a los g.d.l. resultndoa la siguiente matriz simplificada (Imagen)


http://cala.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title=Imagen:Estructura2.jpg


=

Este método dependerá de una serie de condiciones que se designará a

cada barra elástica de la estructura a estudiar, estos factores dependen de:

las condiciones de enlace en su extremo (articulación, nudo rígido, etc.)

la forma de la barra: si es recta, curvada, etc.

Las constantes elásticas del material de la barra, ya sea longitudinal o

transversal.

También podremos decir que a partir de las fuerzas aplicadas sobre la barra se

forma el vector de fuerza que equivale a las acciones exteriores sobre la

estructura. Las únicas incógnitas que nos encontraremos serán las posibles

reacciones sobre la estructura en sus apoyos. En el que con todos estos datos

construimos un sistema lineal de ecuaciones para los desplazamientos que se

produzcan y las incógnitas de sus apoyos. Este número de desplazamientos y

reacciones incógnitas dependerán del número de nodos; siendo:

Si es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un

problema tridimensional. Este sistema se divide en dos subsistemas de

ecuaciones que cumplen:

Subsistema 1: Agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original

que sólo tiene desplazamientos como incógnita.

Subsistema 2: Agrupa al resto de ecuaciones, en el que resuelto el

subsistema 1 y sustituido en el subsistema 2 obtendremos el resultado

de las reacciones incógnita.

En el que finalmente una vez obtenidas las reacciones, fuerzas

nodales equivalentes y desplazamientos; podemos conocer los

esfuerzos que pasa en cualquier punto de la estructura, sus tensiones

máximas y dimensionar las secciones de la estructura.



MATRICES DE RIGIDEZ ELEMENTAL

Las matrices de rigidez elemental depende únicamente de:

1. Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra

biempotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).

2. Las características de la sección transversal de la barra: área,

momentos de inercia de la sección y las características geométricas

(longitud de la barra, curvatura, etc.)

3. El número de grados de libertad por nodo, dependerán si son

problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales. Esto relaciona

a su vez la deformada de la barra al relacionar las fuerzas nodales

equivalentes a las fuerzas aplicadas con los desplazamientos y giros

en sus extremos.

Estos esfuerzos en los extremos y desplazamientos de las barras

dependen directamente del tipo de estructura que se va a resolver:

a) Reticulado Plano: dos desplazamientos por nudo

b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo.

En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales.

c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo (una rotación en el

plano del pórtico y dos traslaciones), y como acciones en el extremo

de una barra existen tres acciones (una fuerza axial, un esfuerzo de

corte y un momento flector).

d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones

y tres rotaciones, y como acciones en el extremo de una barra existen

cuatro acciones (una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos

momentos flectores y un momento torsor).

e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un

corrimiento normal al plano de la grilla y dos rotaciones alrededor de

los ejes contenidos en el plano). Los esfuerzos son un cortante y dos

momentos (un torsor y un flector).

En relación a la magnitud del vector de fuerzas nodales depende de

la dimensionalidad de la barra como muestra en la Imagen:



:

En la MATRIZ DE ROTACIÓN (r = f(α)) se puede representar con una

orientación arbitraria α, que conviertes los vectores y matrices entre

los sistemas de referencia absoluto y local, en los distintos tipos de

estructuras como en:

Reticulado plano en una barra : Imagen:

=

Vigas : al ser horizontales no hace falta su transformación

mediante la matriz de rotación.

Pórtico plano en una barra : Imagen

=

Entramado o parrilla Imagen:



=

Barra recta bidimensional de nudos rígidos

Se llama nudo que une dos barras de manera rígida o empotrada si el

ángulo formado por las dos barras después de la deformación no varía

con el ángulo que formaba antes de su deformación. Este conjunto

permite un giro respecto a un nodo, pero con la salvedad de que

mantienen el ángulo que forman en su extremo. Para este tipo de

barras unidas rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez

elemental viene dado como muestra en la Imagen:

=

Donde:

L, A, I son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de

inercia).

E la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).

Para obtener la matriz de rigidez en este tipo de barra biempotrada

más abreviada, introducimos la esbeltez mecánica característica, para

reducir su matriz:

= =

Donde: es la esbeltez mecánica característica.



=

Así mediante esta matriz, queda relacionada las fuerzas en el extremo

de la barra (f) con los desplazamientos nodales (d).

Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido

En este caso se incorporan giros en el nudo articulado pero sin

transmitir esfuerzos al nudo rígido. En este caso la matriz de rigidez,

viene dada por (Imagen 4.1.2.1 y 3.1.2.2):

=

Donde se ha supuesto que el nudo articulado es el segundo. Si

hubiera sido al revés, tendríamos que permutar la matriz anterior para

estar en este nuevo caso planteado (Imagen 3.1.2.2):

=

Barra recta bidimensional con dos nudos articulados

Una barra bidimensional con dos nudos articulados sólo transmiten

esfuerzos en su eje, en que su matriz de rigidez tendrá componentes

diferentes para los grados de libertad longitudinal, dada por:



=

Barra recta tridimensional de nudos rígidos

Una barra recta tridimensional tiene 6 grados de libertad en cada nudo

(3 de traslación y 3 de orientación), como en este caso la barra está

compuesta por dos nudos la matriz de rigidez será de 12x12. Este tipo

de barras puede transmitir torsiones, esfuerzos a flexión y cortante en

dos direcciones diferentes, que permite que la barra tenga más grados

de libertad y su matriz de rigidez más compleja para definir

correctamente su comportamiento, por lo que se descompone en 3

submatrices (Imagen 3.1.4.1):

=

Estas 3 submatrices son (Imagen 3.1.4.2):



Y las magnitudes geométricas y mecánicas asociadas a la barra son:

L, A, Iy, Iz,J son las magnitudes geométricas: longitud de la barra y su

área transversal, momentos de área en las direcciones Y y Z; y su

módulo de torsión.

E, G se refieren al módulo de elasticidad longitudinal y el módulo de

elasticidad transversal.

E1=+1, E2= -1 son signos relativos.

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

La matriz de rigidez global de la estructura (S) se obtiene mediante la suma de

las rigideces de cada una de las barras, necesitando de la ayuda de sus

submatrices que componen la matriz de la rigidez de la barra(Imagen 4.2.1).

El vector de cargas de la estructura(L) a calcular, se forma mediante la suma

de las cargas aplicadas, incluyendo aquellas cargas que han sido producidas

por cada barra(Imagen 3.2.2).

SOLUCIÓN DEL SISTEMA GLOBAL DE ECUACIONES

Una vez obtenido el sistema de ecuaciones procederemos a su cálculo

mediante uno de los métodos más conocidos para su resolución matricial,

como:

a) Método directo: son algoritmos que dan una solución exacta mediante

números finitos de operaciones. Estos métodos son:



Gauss

Cholesky

Gauss-Jordan

Método frontal

b) Método iterativo: son algoritmos que dan una solución inicial inexacta que

mediante aproximaciones sucesivas nos da una solución exacta. Estos

métodos son:

Método Jacobi

Método de Gauss-Seidel

Método de gradientes conjugados

MODIFICACIÓN DE LA RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Si fuese necesario modificar algunas características de un elemento

estructural o de algún material en concreto según MÉTODOS GENERALES:

Análisis matricial, podremos omitir este proceso de resolución del sistema de

ecuaciones tan largo, mediante un sistema de ecuaciones “modificado” el cuál

sería:

{f} = ([K] + [K']){d}

Donde [K´] es la matriz modificada a la matriz [K]

Quedando la expresión definida como:

{f} = [K](I + [K]-1[K']){d}

y, por tanto,

{d} = (I + [K]-1[K'])-1 [K]-1 {f}

El factor [K]-1 {f} coincide con el vector {d}0 de movimientos en la estructura

antes de la modificación por lo cual podemos sustituirlo en la ecuación:



{d} = (I + [K]-1[K'])-1 {d}0

Con lo que se deduce que el vector de movimiento del sistema "modificado" se

obtiene del vector {d}0 y de las matrices [K] y [K´]. Esta matriz es permitida si

las "modificaciones" no alteran mucho a los nodos de la estructura; así se

procederá a ordenar razonadamente agrupando los g.d.l. afectados.

LIMITACIONES DE LA MATRIZ RIGIDEZ

Para enlazar la matriz de rigidez con las estructuras hiperestáticas, se tienen

que tener en cuenta unas limitaciones muy importantes como son :

Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke (relación lineal

esfuerzo-deformación)

Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta efectos de

segundo orden.

Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión

Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se cumplan las

anteriores suposiciones.

Todas las cargas se aplican en forma progresiva y simultánea.

Se omiten las deformaciones por cortante

No se considera la rigidez de los nodos

No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión

Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos actúan las

cargas

El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, siendo

así independientes

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos

En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir con el

plano de carga



La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de orden n. Se

dice que A es simétrica si cumple que AT=A ó que A es anti-simétrica si

AT=-A)

La suma de los elementos de cada columna es cero

Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los

mayores valores de cada una de las filas.

Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de

rigidez con determinante cero se dice que es una estructura inestable.

DIFERENCIAS ENTRE EL CÁLCULO MATRICIAL POR ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD

Y EN RIGIDEZ

Las diferencias aportadas por el catedrático Diego Miramontes De León.

Análisis Estructural 1. Hace una comparativa entre el cálculo matricial de la

flexibilidad y la rigidez. Primeramente hace una comparativa en los

procedimientos ya que uno es el inverso del otro (Flexibilidad y Rigidez). Como

en un principio desprecia la deformación axial de las barras y considera una

incógnita por nudo para asó obtener sistemas de ecuaciones en el que se

puedan comparar.

ACCIÓN EN FLEXIBILIDAD ACCIÓN EN RIGIDEZ

Se eliminan todas las incógnitas

quedando una estructura

isostática. En la estructura

liberada, aparecen unos

desplazamientos incongruentes

con las condiciones de apoyo

reales. Los desplazamientos son

debidos a la carga real.

Para eliminar los

desplazamientos incongruentes,

se aplican fuerzas (incógnitas)

en cada uno de los puntos y en

las direcciones en donde se

presentan. Utilizándose así, unos

Se sujetan todos los nudos para

impedir cualquier movimiento,

resultando en una estructura

empotrada en todos sus nudos. En la

estructura empotrada, aparecen

fuerzas de empotramiento

incongruentes con las condiciones de

apoyo reales. Los momentos son

debidos a la carga real.

Para eliminar estas fuerzas ficticias,

se aplican desplazamientos

(incógnitas) en cada uno de los

puntos y en las direcciones en las que

aparecen las fuerzas. Utilizándose



valores unitarios.

La suma de todas las

configuraciones, deben

satisfacer las condiciones

geométricas de la estructura

real, los desplazamientos en

cada apoyo deben ser nulos.

así, unos valores unitarios.

La suma de todas las configuraciones

debe satisfacer las condiciones de

equilibrio de la estructura real, es

decir, la suma de los momentos en

cada apoyo, debe ser nula (equilibrio).



CONCLUSIONES:

Centrándonos en el cálculo de la rigidez de estructuras hiperestáticas de barras

que se comportan de forma elástica y lineal mediante matrices, podemos decir,

que es un proceso muy complejo en el que actualmente se ha reducido

mediante el uso de programas informáticos (MATLAB u Octave, éste último con

licencia libre); resolviendo este tipo de matrices de forma rápida y sencilla,

analizando cualquier problema que pueda ocurrir en la estructura.

El método matricial está formado por los tres conjuntos de ecuaciones

(constitutivas, de compatibilidad y equilibrio) relacionando los desplazamientos

de cada tipo de estructura con variables que dependen de las fuerzas

exteriores.

Si en algún caso los resultados obtenidos de la matriz de rigidez tiene que ser

modificado no es necesario volver al proceso de cálculo anterior, pudiéndose

hacer con una modificación mencionada anteriormente su proceso.

Su relación al campo de algebra para la edificación podemos asociar a la

matriz de rigidez que es una matriz simétrica y dispersa, siendo la inversa de la

matriz de flexibilidad, relacionando los desplazamientos con las fuerzas que

actúan. También observamos que la suma de los elementos de cada columna

es cero y es invertible, siendo su determinante distinto de cero, diciéndonos

que la estructura es estable. En caso contrario, si el determinante es cero, la

estructura es inestable.



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICA

Aguiar Falconí, Roberto. CEINCI-ESPE, ANÁLISIS MATRICIAL DE

ESTRUCTURAS.

<http://www.espe.edu.ec/portal/files/libros/analisis/capi8p.pdf>

ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POREL METODO DE LA

RIGIDEZ. <http://es.scribd.com/doc/51315934/Analisis-matricial-de-

estructuras>

Rodríguez Araújo, Jorge. Teoría y cálculo de estructuras.

<http://es.scribd.com/doc/49968810/40/Matriz-de-rigidez-global-y-vector-

de-cargas-global-de-la-estructura>

MÉTODOS GENERALES: ANÁLISIS MATRICIAL.

<http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-de-

estructuras/ingenieria-estructural/material-de-clase-1/apuntes/

Capitulo_8.-Analisis_matricial_de_estructuras_reticuladas.pdf>

Miramontes De León, Diego. Análisis Estructural 1.

<http://www.uaz.edu.mx/dmiram/flex-rigi.pdf>

Wikipedia.- Teorema de Maxwell-Betti

<http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Maxwell-

Betti#Simetr.C3.ADa_de_la_matriz_de_rigidez>

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS PARTE I: INTRODUCCIÓN:

Grupo de Modelamiento de Sistemas Ingeniería Civil U de A (POWER

POINT) <http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&q=limitaciones%20de

%20la%20matriz

%20rigidez&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CFEQFjAA&url=http%3A

%2F%2Faprendeenlinea.udea.edu.co%2Flms%2Fmoodle%2Fmod

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INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS DE EDIFICACIÓN. TOMO I.

Editorial Universidad Politécnica de Valencia

<http://books.google.es/books?id=1qHQxMAOqesC&pg=SA1-

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Pérez Valcárcel, Juan (1999). CÁLCULO MATRICIAL DE

ESTRUCTURAS.

<http://www.udc.es/dep/dtcon/estructuras/ETSAC/Publicaciones/pub-

val/matricial/matricial1.pdf>

VEASE TAMBIEN:

Aquí mostrare algunos ejemplos del procedimiento de cálculo del método

matricial de la rigidez por medio de un programa informático; habiéndolo ya

para móviles para facilitar su aplicación de cálculo en obra.

1. CÁLCULO MEDIANTE PROGRAMA INFORMÁTICO EN EL

ORDENADOR: http://www.youtube.com/watch?v=XFyoqd6U3ck

2. CÁLCULO MEDIANTE PROGRAMA INFORMÁTICO EN EL

MÓVIL: http://www.youtube.com/watch?v=OGD4BDjmcKs


Introduccion de Los Metodos Matriciales en Estructuras

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