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Contrato Interadministrativo 0803 de 2016 Mallas de aprendizaje, Matemáticas, Grado Quinto. Versión Preliminar

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INTRODUCCIÓN GENERAL DEL ÁREA PARA EL GRADO (Saber ser, saber hacer, saber conocer)

En las mallas de aprendizaje se pretende ofrecer orientaciones para esbozar caminos posibles para el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes en el área de matemáticas. Esta propuesta se fundamenta en los Derechos Básicos de Aprendizaje, a su vez, retoma la propuesta de los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, a partir de estos documentos subyace una visión de las matemáticas como creación humana y como disciplina en desarrollo y en constante cambio. En consecuencia con ello, se espera consolidar ideas para el acompañamiento a los profesores, en este caso de grado quinto; con la intención que se propenda por el desarrollo de dimensiones como el saber SER, el saber HACER, y el saber CONOCER, pues no se trata de la implementación aislada de conceptos, sino de apostarle al desarrollo integral de los estudiantes, al reconocer que las matemáticas forman parte del sistema de valores compartidos y tienen fundamentos éticos para constituirse en una práctica social. El reconocimiento, el respeto a sí mismo y la visión crítica con criterios éticos para la toma de decisiones son aspectos fundamentales a desarrollar en este nivel de escolaridad, y las matemáticas no pueden esconder su papel. Para ello se precisan acciones encaminadas a valorar con respeto la participación en diferentes tareas individuales y grupales, donde la actividad matemática surja con agrado y responsabilidad, y se asuman nuevos retos y desafíos. Los estudiantes deben hacer explícitas un conjunto de actitudes, entre ellas, manifestar maneras de actuar que promuevan la indagación, la argumentación, el trabajo en equipo, el planteamiento de conjeturas, la preocupación por cuestionar continuamente su entorno y, dentro de él, todo aquello que pueda articularse con el estudio de la matemáticas. En coherencia con los planteamientos en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas (MEN, 2006), y los aprendizajes fundamentales descritos en los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2016) se enfatiza en que la formulación y resolución de problemas es el proceso a través del cual se dinamizan otros procesos, la actividad matemática misma y, por tanto, los aprendizajes de los estudiantes. La noción de ser matemáticamente competente sugiere ambientes de aprendizaje a través de la formulación y resolución de problemas que propicien la construcción progresiva y cíclica de niveles de conceptualización y construcción del conocimiento matemático de los estudiantes, para ello se requiere que los profesores propongan diversidad de situaciones, con diferentes grados de complejidad, de tal manera que se movilicen procesos que involucran las actividades que conforman el ciclo de resolución de problemas. En este sentido, el saber hacer y saber conocer posibilitan que los estudiantes resuelvan y formulen problemas en los que se usen los números naturales, enteros y racionales y las relaciones entre ellos. Además, que utilicen representaciones tabulares o simbólicas (SND) para establecer las características aritméticas de las relaciones entre las cantidades en estudio, y las equivalencias entre diversas expresiones decimal, fraccionaria y porcentual, que empleen estrategias de cálculo mental o escrito para operar con los números naturales, enteros y racionales, a la vez que justifiquen sus procesos de resolución y los comuniquen utilizando lenguaje matemático adecuado. En cuanto a las magnitudes y las formas, se espera que los estudiantes reconozcan en espacios bi y tridimensionales propiedades y sus relaciones, las características medibles y las maneras de medirlas, estimarlas o calcularlas, especialmente que diferencien el volumen, el área y la longitud a partir de acciones de empacar, cubrir, componer, construir figuras y del uso de diferentes representaciones, y que expliquen las relaciones entre volumen y área, área y perímetro. Asimismo, se busca en este grado, formulen y resuelvan preguntas estadísticas que impliquen la comparación intra o entre dos o más grupos y expliquen los resultados usando la forma, medidas de tendencia central y el rango así como la variabilidad natural y la proveniente de la medición. En formulación y resolución de problemas estadísticos entendida como un proceso de investigación se movilizan los demás procesos


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matemáticos: modelización, la comunicación, el razonamiento, la formulación, comparación y ejercitación procedimientos, por tanto dichos procesos, aunque generales se particularizan tanto en el contexto del problema como en el mismo proceso de resolución. En esta malla se retoman los enunciados y evidencias de la segunda versión de los Derechos Básicos de Aprendizaje. Se agrupan por tipos de pensamiento, a saber: Numérico - Variacional, Métrico- Espacial y Aleatorio, además una red conceptual que permite visibilizar las relaciones entre los saberes estructurantes, los DBA y los procesos generales. Otro componente de las mallas, son las consideraciones didácticas, como posibles caminos de diseño curricular, algunas claridades sobre los tópicos y las acciones sugeridas para abordar los aspectos mencionados, con el propósito de lograr una consistencia, coherencia y pertinencia de las propuestas curriculares del MEN para el área de matemáticas. Los aprendizajes esperados en el estudiante al finalizar el grado se consolidan en la siguiente red conceptual:


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PROGRESIÓN DBA GRADO ANTERIOR- GRADO SIGUIENTE

Pensamiento DBA Grado 4 Grado 5 Grado 6

Pensamiento numérico

1 Interpreta las fracciones como razón, relación parte todo, cociente y operador en diferentes contextos.

Interpreta y utiliza los números naturales y racionales en su representación fraccionaria para formular y resolver problemas aditivos, multiplicativos y que involucren operaciones de potenciación.

Interpreta los números enteros y racionales (en sus representaciones de fracción y de decimal) con sus operaciones, en diferentes contextos, al resolver problemas de variación, repartos, particiones, estimaciones, etc. Reconoce y establece diferentes relaciones (de orden y equivalencia y las utiliza para argumentar procedimientos.

2 Describe y justifica diferentes estrategias para representar, operar y hacer estimaciones con números naturales y números racionales (fraccionarios), expresados como fracción o como decimal.

Describe y desarrolla estrategias (algoritmos, propiedades de las operaciones básicas y sus relaciones) para hacer estimaciones y cálculos al solucionar problemas de potenciación.

Utiliza las propiedades de los números enteros y racionales y las propiedades de sus operaciones para proponer estrategias y procedimientos de cálculo en la solución de problemas.

3 Establece relaciones mayor que, menor que, igual que y relaciones multiplicativas entre números racionales en sus formas de fracción o decimal.

Compara y ordena números fraccionarios a través de diversas interpretaciones, recursos y representaciones.

Reconoce y establece diferentes relaciones (orden y equivalencia) entre elementos de diversos dominios numéricos y los utiliza para argumentar procedimientos sencillos.

Pensamiento variacional

8 Identifica, documenta e interpreta variaciones de dependencia entre cantidades en diferentes fenómenos (en las matemáticas y en otras ciencias) y los representa por medio de gráficas.

Describe e interpreta variaciones de dependencia entre cantidades y las representa por medio de gráficas.

Identifica y analiza propiedades de covariación directa e inversa entre variables, en contextos numéricos, geométricos y cotidianos y las representa mediante gráficas (cartesianas de puntos, continuas, formadas por


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segmentos, etc.).

9 Identifica patrones en secuencias (aditivas o multiplicativas) y los utiliza para establecer generalizaciones aritméticas o algebraicas.

Utiliza operaciones no convencionales, encuentra propiedades y resuelve ecuaciones en donde están involucradas.

Opera sobre números desconocidos y encuentra las operaciones apropiadas al contexto para resolver problemas.

Pensamiento métrico

4 Caracteriza y compara atributos medibles de los objetos (densidad, dureza, viscosidad, masa, capacidad de los recipientes, temperatura) con respecto a procedimientos, instrumentos y unidades de medición; y con respecto a las necesidades a las que responden.

Justifica relaciones entre superficie y volumen, respecto a dimensiones de figuras y sólidos, y elige las unidades apropiadas según el tipo de medición (directa e indirecta), los instrumentos y los procedimientos.

Utiliza y explica diferentes estrategias (desarrollo de la forma o plantillas) e instrumentos (regla, compás o software) para la construcción de figuras planas y cuerpos.

5 Elige instrumentos y unidades estandarizadas y no estandarizadas para estimar y medir longitud, área, volumen, capacidad, peso y masa, duración, rapidez, temperatura, y a partir de ellos hace los cálculos necesarios para resolver problemas.

Explica las relaciones entre el perímetro y el área de diferentes figuras (variaciones en el perímetro no implican variaciones en el área y viceversa) a partir de mediciones, superposición de figuras, cálculo, entre otras.

Propone y desarrolla estrategias de estimación, medición y cálculo de diferentes cantidades (ángulos, longitudes, áreas, volúmenes, etc.) para resolver problemas.

Pensamiento espacial

6 Identifica, describe y representa figuras bidimensionales y tridimensionales, y establece relaciones entre ellas.

Identifica y describe propiedades que caracterizan un cuerpo en términos de la bidimensionalidad y la tridimensionalidad y resuelve problemas en relación con la composición y descomposición de las formas.

Representa y construye formas bidimensionales y tridimensionales con el apoyo en instrumentos de medida apropiados.

7 Identifica los movimientos realizados a una figura en el plano respecto a una posición o eje (rotación, traslación y simetría) y las modificaciones que pueden sufrir las formas (ampliación- reducción).

Resuelve y propone situaciones en las que es necesario describir y localizar la posición y la trayectoria de un objeto con referencia al plano cartesiano.

Reconoce el plano cartesiano como un sistema bidimensional que permite ubicar puntos como sistema de referencia gráfico o geográfico.


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Pensamiento aleatorio

10 Recopila y organiza datos en tablas de doble entrada y los representa en gráficos de barras agrupadas o gráficos de líneas, para dar respuesta a una pregunta planteada. Interpreta la información y comunica sus conclusiones.

Formula preguntas que requieren comparar dos grupos de datos, para lo cual recolecta, organiza y usa tablas de frecuencia, gráficos de barras, circulares, de línea, entre otros. Analiza la información presentada y comunica los resultados.

Interpreta información estadística presentada en diversas fuentes de información, la analiza y la usa para plantear y resolver preguntas que sean de su interés.

Utiliza la media y la mediana para resolver problemas en los que se requiere presentar o resumir el comportamiento de un conjunto de datos.

Compara características compartidas por dos o más poblaciones o características diferentes dentro de una misma población para lo cual seleccionan muestras, utiliza representaciones gráficas adecuadas y analiza los resultados obtenidos usando conjuntamente las medidas de tendencia central y el rango.

11 Comprende y explica, usando vocabulario adecuado, la diferencia entre una situación aleatoria y una determinística y predice, en una situación de la vida cotidiana, la presencia o no del azar.

Predice la posibilidad de ocurrencia de un evento simple a partir de la relación entre los elementos del espacio muestral y los elementos del evento definido.

A partir de la información previamente obtenida en repeticiones de experimentos aleatorios sencillos, compara las frecuencias esperadas con las frecuencias observadas.

NUMÉRICO - VARIACIONAL

APRENDIZAJES EVIDENCIAS

1. Interpreta y utiliza los números naturales y fraccionarios para formular y resolver problemas aditivos, multiplicativos y que involucren operaciones de

Interpreta la relación parte - todo y la representa por medio de fracciones, razones o cocientes.

Interpreta y utiliza números naturales y racionales (fraccionarios) asociados a un contexto para solucionar un problema.

Determina las operaciones suficientes y necesarias para solucionar diferentes tipos de problemas.


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potenciación. Resuelve problemas que requieran reconocer un patrón de medida asociado a un número natural o a un racional (fraccionario).

2. Describe y desarrolla estrategias (algoritmos, propiedades de las operaciones básicas y sus relaciones) para hacer estimaciones y cálculos al solucionar problemas de potenciación

Utiliza las propiedades de las operaciones básicas con números naturales y racionales (fraccionarios) para justificar algunas estrategias de cálculo o estimación relacionados con áreas de cuadrados y volúmenes de cubos.

Descompone un número en sus factores primos.

Identifica y utiliza las propiedades de la potenciación para resolver problemas aritméticos.

Determina y argumenta acerca de la validez o no de estrategias para calcular potencias

3. Compara y ordena números fraccionarios a través de diversas interpretaciones, recursos y representaciones.

Representa fracciones con la ayuda de la recta numérica.

Determina criterios para ordenar fracciones y expresiones decimales de mayor a menor o viceversa.

4. Describe e interpreta variaciones de dependencia entre cantidades y los representa.

Propone patrones de comportamiento numéricos y patrones de comportamiento gráficos.

Realiza cálculos numéricos, organiza la información en tablas, elabora representaciones gráficas y las interpreta.

Trabaja sobre números desconocidos para dar respuestas a los problemas.

5. Convierte sentencias numéricas expresadas en el registro verbal a expresiones escritas que incluyen números y operaciones.

Interpreta y opera con operaciones no convencionales.

Explora y busca propiedades de tales operaciones.

Compara las propiedades de las operaciones convencionales de suma, resta, producto y división con las propiedades de las operaciones no convencionales.

Resuelve ecuaciones numéricas cuando se involucran operaciones no convencionales.

MÉTRICO - ESPACIAL


6. Justifica relaciones entre superficie y volumen, respecto a dimensiones de figuras y sólidos, y elige las unidades apropiadas según el tipo de medición (directa e indirecta),

Determina las mediciones reales de una figura a partir de un registro gráfico (un plano).

Mide superficies y longitudes utilizando diferentes estrategias (composición, recubrimiento, bordeado, cálculo)

Construye y descompone figuras planas y sólidos a partir de medidas establecidas.


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los instrumentos y los procedimientos desarrollados Realiza estimaciones y mediciones con unidades apropiadas según sea longitud, área o volumen.

7. Explica las relaciones entre el perímetro y el área de diferentes figuras (variaciones en el perímetro no implican variaciones en el área y viceversa) a partir de mediciones, superposición de figuras, cálculo, entre otras.

Compara diferentes figuras a partir de las medidas de sus lados.

Calcula las medidas de los lados de una figura a partir de su área.

Dibuja figuras planas cuando se le dan las medidas de los lados.

Propone estrategias para la solución de problemas relativos a la medida de la superficie de figuras planas.

Reconoce que figuras con áreas diferentes pueden tener el mismo perímetro.

Mide superficies y longitudes utilizando diferentes estrategias (composición, recubrimiento, bordeado, cálculo)

8. Identifica y describe propiedades que caracterizan un cuerpo en términos de la bidimensionalidad y la tridimensionalidad y resuelve problemas en relación con la composición y descomposición de las formas.

Relaciona objetos tridimensionales y sus propiedades con sus respectivos desarrollos planos.

Reconoce relaciones intra e interfigurales.

Determina las mediciones reales de una figura a partir de un registro gráfico (un plano).

Construye y descompone figuras planas y sólidos a partir de medidas establecidas.

Utiliza transformaciones a figuras en el plano para describirlas y calcular sus medidas.

Reconoce diferentes distribuciones de plantillas de un cuerpo en una superficie, las formas en que pueden acoplarse o encajar, lee la información que presenta la plantilla del cuerpo o su representación en un plano

9. Resuelve y propone situaciones en las que es necesario describir y localizar la posición y la trayectoria de un objeto con referencia al plano cartesiano.

Localiza puntos en un mapa a partir de coordenadas cartesianas.

Interpreta los elementos de un sistema de referencia (ejes, cuadrantes, coordenadas).

Gráfica en el plano cartesiano la posición de un objeto usando direcciones cardinales (norte, sur, oriente y occidente).

Emplea el plano cartesiano al plantear y resolver situaciones de localización.

Representa en forma gráfica y simbólica la localización y trayectoria que puede sufrir un objeto

ALEATORIO


10. Formula preguntas que requieren comparar dos grupos de Formula preguntas y elabora encuestas para obtener los datos requeridos e identifica quienes deben responder.


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datos, para lo cual recolecta, organiza y usa tablas de frecuencia, gráficos de barras, circulares, de línea, entre otros. Analiza la información presentada y comunica los resultados.

Registra, organiza y presenta la información recolectada usando tablas, gráficos de barras, gráficos de línea, y/o gráficos circulares.

Selecciona los gráficos teniendo en cuenta el tipo de datos que se va a representar.

Interpreta la información obtenida y produce conclusiones que le permiten comparar dos grupos de datos de una misma población.

Escribe informes sencillos en los que compara la distribución de dos grupos de datos.

11. Utiliza la media y la mediana para resolver problemas en los que se requiere presentar o resumir el comportamiento de un conjunto de datos.

Interpreta y encuentra la mediana y la media en un conjunto de datos usando estrategias gráficas y/o numéricas.

Argumenta la selección realizada empleando semejanzas y diferencias entre lo que cada una de las medidas indica.

Explica la información que brinda cada medida en relación con el conjunto de datos.

Selecciona una de las medidas como la más representa del comportamiento del conjunto de datos estudiado.

12. Predice la posibilidad de ocurrencia de un evento simple a partir de la relación entre los elementos del espacio muestral y los elementos del evento definido.

Reconoce situaciones aleatorias en contexto cotidianos o de juego.

Enumera todos los posibles resultados de un experimento aleatorio simple.

Identifica y enumera los resultados favorables de ocurrencia de un evento simple.

Anticipa la ocurrencia de un evento simple.

CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

Sobre el Pensamiento Numérico y Variacional

1. Introducción

Al iniciar el último grado de la Educación Básica Primaria se espera que, en sus experiencias escolares previas, los estudiantes hayan desarrollado procesos relacionados con las transformaciones aditivas y multiplicativas y, también, que tengan nociones más elaboradas sobre las cantidades relativas (positivas y negativas). Los aprendizajes esperados para el grado 5º, en el área de matemáticas, están fuertemente vinculados a los aprendizajes logrados en el grado cuarto, y en ese sentido, este grado busca profundizar en aquellos procesos sobre los que se estructuró el trabajo del grado cuarto. Al inicio del grado, se sugiere realizar una serie de actividades que permitan hacer un reconocimiento de los aprendizajes efectivamente logrados en el grado anterior, tanto en lo relacionado con el tratamiento de situaciones de variación directamente proporcional, como en lo relativo a las comprensiones logradas con los números (naturales, racionales, positivos o negativos), sus relaciones y sus operaciones. Así mismo, se puede tomar como punto de partida las formas de representación gráfica o icónica de las relaciones entre cantidades y sus operaciones, para avanzar paulatinamente hacia formas aritméticas de realizar tales representaciones y operaciones. Se espera que a partir del análisis de esas actividades, el profesor promueva el desarrollo de procesos que apunten a lo largo de


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año a realizar acciones como: Determinar una cantidad al establecer relaciones entre las partes y el todo, y observar cómo inicialmente estas relaciones se dan de forma natural (en juegos al hacer repartos, por ejemplo repartir un chocolatina de cuatro pastas entre tres personas) y luego pasar a la formalización; descomponer un número con la ayuda de diferentes representaciones que le permitan comparar y establecer criterios de orden y equivalencia con otros números; estudiar y proponer representaciones para fenómenos en donde la variación está presente, describir las maneras en que las matemáticas les ayudan a construir una mejor comprensión de su entorno y recíprocamente. Adicionalmente, se espera que el trabajo a lo largo del año escolar promueva la comprensión intuitiva de las relaciones lineales que caracterizan las variaciones directamente proporcionales, y las interprete y ajuste a las condiciones particulares que puedan asociarte en cada cultura, por ejemplo a condiciones de equidad. Se espera que también se permita estudiar de forma intuitiva otras formas de variación (analizando las regularidades y diferencias a partir de las tablas de valores, o de las gráficas cartesianas), como por ejemplo, las variaciones inversamente proporcionales (variación de los lados de un rectángulo, cuando el área se mantiene constante) o las variaciones cuadráticas (por ejemplo, la variación del área de un cuadrado al cambiar el lado del mismo). Para dar sentido a procesos de modelación y comunicación se propone ambientes en los cuales los estudiantes se enfrente a fenómenos de variación, los estudiantes tomen decisiones sobre las variables y magnitudes que intervienen y pueden describir relaciones matemáticas entre ellas. A partir de allí los estudiantes se les propone la construcción representaciones pictóricas, tabulares y verbales (Por ejemplo, “a medida que una cantidad crece, la otra también crece en la misma proporción”). Es importante que en todo momento, los estudiantes expresen sus argumentos sobre la pertinencia de sus representaciones bien sea a través de ejemplos particulares, o a través declaraciones ilustren otras situaciones con comportamientos semejantes. Todos estos procesos deben estar enfocados en las propiedades aritméticas de tales formas de variación, y sobre todo, en la incidencia o los efectos del cambio en una de las variables sobre las demás variables (por ejemplo, qué pasa con el tiempo al recorrer una determinada distancia, si la velocidad se aumenta al doble, o al triple, o que pasa con el área de un rectángulo cuando uno de sus lados se aumenta al doble, se reduce a la mitad, o incluso, qué pasa con el área, cuando los dos lados cambian en una cierta proporción de manera simultánea). En contextos donde se ocupen de ciertas labores, se sugiere estudiar “el ritmo de trabajo de una persona o máquina” y con base en las condiciones de esta cantidad, reconocer la existencia de covariación directa y la presencia o no de la proporcionalidad. Vale la pena resaltar que, desde el punto de vista de las propiedades aritméticas, en este grado se espera que los estudiantes puedan profundizar en el estudio de las razones y las proporciones, constituyendo unas ideas intuitivas sobre sus propiedades en relación con los fenómenos de variación en los cuales dichos objetos de conocimiento permiten modelar y tratar el fenómeno en estudio.


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2. Objetos y momentos para la actividad matemática


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Algunas ideas fundamentales del pensamiento numérico-variacional del grado 5°

Usos e interpretaciones de los números y de las

operaciones en contextos

Proporciona ejemplos en los cuales las fracciones están presente en sus diferentes interpretaciones. Indaga en labores propias de su contexto por los usos y significados de las fracciones y la proporcionalidad. Reconoce que el resultado de un reparto no siempre es exacto, sino que puede ser una fracción y describe las condiciones que se pueden presentar en el contexto para que este hecho ocurra. Identifica que 5/9 puede ser una relación entre dos cuerdas vibrantes de medidas 5cm y 9cm respectivamente. Amplía la idea de relación de medida, para indicar que algo es 4/3 de otro y no dos números con una raya. Enuncia que pagar 2456 pesos no es significativo, y si lo es decir 2500 porque no tengo monedas de 1 peso; que está cerca aunque no es lo mismo. En situaciones del contexto establece equivalencias entre las maneras de presentar la información y operar con ella, por ejemplo, operar con fracciones u operar con la parte de una cantidad (Por ejemplo, la mitad de la mesada más la tercera parte de la mesada equivale cinco sextos de la mesada; o 3mil más 2mil equivale a 5 mil en caso que se conozca que el valor de la mesada es 6 mil). Reconoce y comprende que el sistema monetario colombiano no es estrictamente decimal, así como el sistema de horas, minutos y segundos es sexagesimal. Interpreta el número decimal en situaciones de longitud, o bien en sistemas monetarios extranjeros.

Uso y sentido de los procedimientos y estrategias con

números y operaciones

Argumentar que ½ más ¼ no son 2/6. Establece representaciones adecuadas mediante círculos, rectángulos o línea numérica fraccionaria, para saber que para sumar o restar ¼ y 3/6 debe buscarse una medida común que puede ser el doceavo. Propone secuencias de fracciones equivalentes y establece criterios para determinar cómo ampliar la secuencia y cómo determinar que una fracción hace o no parte de dicho conjunto de fracciones equivalente. Usa fracciones o decimales, en situaciones de cálculos de impuestos como el IVA o descuentos para resolver un problema que lo requiera.

Comprensión de las Describe y justifica varias estrategias para comparar dos fracciones (entre ellas, con el uso de la calculadora) y


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relaciones entre números y operaciones

los utiliza para ordenarlas. En este mismo sentido, usa representaciones adecuadas para establecer que 3/6 es

menor que 5/8 porque uno tiene 12 veinticuatroavos, y el otro tiene 15 veinticuatroavos, y sabe que no son

equivalentes aunque el numerador y denominador tiene dos más en situaciones de mezclas, jugos, etc. Usa

técnicas de cálculo para sumar o restar fracciones sencillas o expresiones decimales. Establece igualdades entre

formas de relación numérica de forma generalizada como para sumar dos números próximos, hago el doble del

menor, y le sumo la diferencia 35+ 37 = 70 + 2

Patrones, regularidades y covariación

Explora regularidades y cambios de tipo aditivo como “siempre sumamos 3”, o multiplicativo “siempre es el

doble”. Analiza variaciones en fenómenos de dependencia mediante formas no sólo numéricas sino gráficas.

Comprende situaciones con el efecto zoom de ampliación de medidas estableciendo que hay un factor de

proporción. Analiza fenómenos como cambios de unidades como factores de proporcionalidad, no aditivos,

como son los precios por kg, ventas de ropa con precio por metro, etc. Distingue la pérdida de linealidad en

casos de descuento, cuando me ofrecen que si compro cuatro, pagó tres.

Comprensión de la estructura de los

conjuntos (propiedades, usos y

significados en la resolución de problemas)

Reconoce que para incrementar un precio con IVA del 16% puedo multiplicar directamente por 1,16. Aplica

estas observaciones en cuanto se necesite. Resuelve y propone problemas en donde hay una situación de

contexto de partida desconocida y un final conocido, mediante operaciones inversas.


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3. Situaciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática

Una situación como la que se enuncia a continuación1, puede ser útil para que el profesor tenga un buen mapa de estado de los aprendizajes de los estudiantes (comprensiones sobre el número, sobre las relaciones multiplicativas entre cantidades) en el análisis de situaciones donde las magnitudes se relacionan multiplicativamente.

Una agencia de viajes debe organizar un Tour por los sitios turísticos de la región para un grupo de 75 personas, y puede alquilar dos tipos de transporte: vehículos pequeños, con capacidad para 4 pasajeros, y un costo de $120.000 por cada uno, o vehículos grandes, con capacidad para 7 pasajeros, y un costo de $ 175.000 cada uno. ¿Si la agencia de viajes contrata 6 vehículos pequeños, cuántos vehículos grandes debe contratar? ¿Cuánto costaría el transporte para las 75 personas ¿Tomó la agencia una buena decisión con la cantidad de vehículos contratados? ¿Podría la agencia organizar el transporte de tal forma que el costo total del transporte fuera menor?

Este trabajo se puede hacer en pequeños grupos, y mientras realiza el trabajo el profesor puede estar atento a los intercambios comunicativos de los estudiantes, los diálogos que sostienen para intentar solucionar cada una de las preguntas y a las estrategias que ellos desarrollan para ello. En particular, se sugiere prestar atención a aquellos casos en los cuales los estudiantes realicen procesos basados en representaciones gráficas o expresiones verbales, ya que allí puede haber evidencia de cómo están interpretando el enunciado y cada una de sus preguntas. Es posible que en la solución de las preguntas, aparezcan múltiples procedimientos, por ejemplo, a la primera en la primera de ellas, una posible respuesta puede ser: 6 taxis pequeños transportan 24 personas. Faltan 51 personas pues 75 - 24 = 51. Se necesitan entonces 7.2 taxis grandes. Este tipo de procedimientos permite discusiones con los estudiantes, no sólo en relación con la escritura aritmética correcta (pues seguramente lo que el estudiante quería expresar era que el 75 se

1 Esta tarea es una adaptación de la propuesta en el sitio http://map.mathshell.org/tasks.php?unit=ME11&collection=9

http://map.mathshell.org/tasks.php?unit=ME11&collection=9

http://map.mathshell.org/tasks.php?unit=ME11&collection=9


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puede repartir en dos cantidades, 24 y 51, pero el uso inadecuado del signo igual da a entender otra cosa), sino también con la interpretación de lo adecuado de una respuesta en relación con la situación propuesta, ya que no se pueden contratar 7.2 vehículos, se contratan 7 u 8, y ello tiene implicaciones en el precio final de transporte de las personas. Este tipo de respuestas deben ser objeto de análisis para movilizar a los estudiantes a una actividad matemática que no centre la mirada solo en los procedimientos, sino también en los procesos que acompañan la solución de un problema. Finalmente, y como parte del proceso de evaluación de los aprendizajes, en este tipo de trabajos es importantes pedir que los estudiantes socialicen sus estrategias de solución (sobre todo, para la respuesta a las dos últimas preguntas), ya que cuando los estudiantes socializan los procesos y procedimientos trabajados para la solución de problemas, se favorecen los procesos de razonamiento y comunicación en el aula de clase, y es una buena oportunidad para que los profesores se hagan una idea clara sobre lo que han aprendido los estudiantes (evaluación de los aprendizajes). Actividades como la expuesta en el anterior ejemplo, no solo permiten una buena evaluación de los aprendizajes, sino profundizar en las comprensiones logradas en el grado, tanto en lo relacionado con el estudio de situaciones donde las magnitudes se relacionan multiplicativamente (magnitudes que se correlacionan a partir de una proporcionalidad directa), como con la comprensión del sistema de numeración decimal y las estimaciones que se realizan en él.

4. Evidencias evaluativas

Posibles errores o incomprensiones Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer

Establecer con limitaciones la relación entre el número de personas que se deben transportar y la cantidad de vehículos que se deben contratar.

Se sugiere invitar al estudiante a diseñar una representación que le permita establecer las relaciones entre el número de vehículos y la cantidad de personas que puede transportar. Estas representaciones pueden ser icónicas o con la ayuda de tablas de doble entrada.

Determinar procedimientos incorrectos para calcular el valor costo del transporte para las 75 personas.

El profesor podría revisar algunos procedimientos planteados por sus estudiantes y de esta manera encontrar algunos posibles errores que no permiten realizar un cálculo correcto de la cantidad a determinar. Se sugiere de manera similar, que el profesor cuestione a sus estudiantes sobre la elección, el orden y las propiedades de las operaciones que emplearán para solucionar el problema.

Emplear estrategias imprecisas para generar relaciones entre la El profesor puede validar varias de las estrategias adoptadas por sus estudiantes para determinar


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cantidad de personas y la capacidad de los vehículos. las relaciones entre la cantidad de vehículos que debe contratar y las personas que puede transportar.

Decidir de manera inadecuada las variables y relaciones entre la cantidad de personas y la capacidad del vehículo con el ánimo de generar predicciones y verificar conclusiones.

Se propone a los estudiantes, una vez comprendida la actividad buscar modelos matemáticos que posibiliten reconocer los diferentes niveles de complejidad y propone diferentes alternativas de solución con sentido.

Generar explicaciones en términos de la relación entre la cantidad de sujetos y la capacidad de los vehículos sin establecer el cómo y por qué ocurre.

El profesor pide a los estudiantes sustentar la respuesta a partir de diversos registros (tablas, diagramas, algoritmos, entre otros) donde se reconozcan los procesos comprensivos de los estudiantes en relación con las variables que se involucran en la situación.


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Sobre el Pensamiento Métrico y espacial

1. Introducción Al ingresar a grado quinto los estudiantes han tenido experiencia con problemas que implican diferenciar volumen de capacidad, masa de peso, duración de rapidez y en los que usan y utilizan reglas y propiedades de cálculo y estimación de los atributos medibles, de otro lado, el uso de instrumentos y unidades de medida estandarizadas y no estandarizadas se constituyen en la base para comprender las relaciones entre área y volumen, así como las diversas formas aritméticas y geométricas de cálculo y la estimación del área y el volumen. La experiencia con los movimientos en el plano y la representación bidimensional y tridimensional de las figuras y los objetos se conforman en la base a partir de la cual desarrollarán habilidades para describir geométricamente posiciones de un objeto en el plano y utilizar el sistema de coordenadas cartesianas, de la misma manera son la base para calcular áreas y volúmenes mediante los procesos de composición y descomposición de figuras y sólidos geométricos y comprender sus propiedades. Al inicio del grado, realizar una serie de actividades que permitan hacer un diagnóstico sobre los aprendizajes efectivamente logrados en el grado anterior, tanto en lo relacionado con el tratamiento de situaciones de medida como del tratamiento de las figuras y sus propiedades. El profesor puede impulsar un debate sobre los objetos que se encuentran en la cocina de una casa, los medios de transporte, los estados del tiempo, para que allí se identifiquen y diferencien, los atributos medibles, sus propiedades y se describan las formas con sus propiedades y posibles trayectorias o localizaciones. Por ejemplo, que en la cocina se identifiquen objetos como una olla y se diferencie la capacidad del volumen, la masa del volumen. Se encuentren objetos o recipientes de igual volumen y diferente peso, o viceversa. De igual manera proceder con área y volumen, distancia y rapidez; o hacer listas de instrumentos y unidades apropiadas para medir cada magnitud. Luego de identificar los saberes de los estudiantes, el profesor puede proponer otras situaciones para afianzar y profundizar en ellos, por ejemplo para afianzar el reconocimiento y medición de diferentes magnitudes puede llevar a la clase objetos y recipientes con los cuales experimentar diferentes medidas por ejemplo el líquido de un envase medirlo al envasarlo en varios recipientes de menor capacidad, hacer estimaciones y mediciones de la masa de los objetos y discutir con los estudiantes las unidades utilizadas en uno y otro experimento (el de capacidad y el de masa). En el grado quinto, se espera que los estudiantes puedan describir y representar formas bidimensionales y tridimensionales de acuerdo con las propiedades de sus elementos básicos y construirlas a partir de las descripciones realizadas. Interpretar y justificar el uso de sistemas de medida y la relación entre algunos atributos medibles como el perímetro y el área, y el volumen y el área en figuras geométricas y en cuerpos. Además describir posiciones y trayectorias utilizando sistemas de coordenadas.



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Algunas ideas fundamentales del pensamiento métrico-espacial del grado 5°

LAS FORMAS Y SUS RELACIONES

Se reconocen las formas, las relaciones y las transformaciones espaciales cuando: Identifica y describe cuerpos geométricos, o arquitecturas culturales usando características como vértices, aristas, caras, ejes, bases, alturas, radio, etc. y encuentren relaciones de incidencia, paralelismo o perpendicularidad. Genera y construye figuras con papel, pitillos o palillos, reconociendo lo que se mantiene y lo que cambia. Identifica propiedades características de los paralelogramos como diagonales iguales, para la clasificación de figuras. Establece relaciones entre el número de lados y el número de vértices, el número de caras y el número de aristas de las figuras. Identifica visualizaciones de objetos mediante la mirada frontal, lateral, y de planta. Identifica todos los posibles ejes de simetría de una figura. Diseña objetos con ciertas características, y usa modelos físicos o dibujos en los que se establecen las propiedades de los objetos, utilizando desarrollos planos de las figuras. Por ejemplo, un paralelogramo puede servir para construir un cilindro de papel. O una pirámide se obtiene presionando un cilindro en planos perpendiculares como se hace en ciertos empaquetados. Se reconoce como hacer ampliaciones de figuras geométricas, conservando los ángulos.

ATRIBUTOS DE LOS CUERPOS QUE SE PUEDEN MEDIR

Se comprenden los atributos de los cuerpos que se pueden medir cuando Identifica que con un mismo volumen de cubos se puede conseguir formas de distinta superficie exterior. Interpreta y explica que puedes obtener medidas de áreas por superposición, y usando fracciones. Reconoce que mediante procesos de descomposición y composición, podemos encontrar equivalencias de áreas. Aproxima áreas de contorno curvilíneo por cuadriculado

Medición y Estimación de Atributos

Se afianza el uso de instrumentos y procesos de Medición y Estimación de Atributos cuando: Construye equivalencias de áreas mediante composición y descomposición y así justifica las relaciones entre las fórmulas para hallar las áreas de estas figuras. Se aproxima a la comprensión de que el área de un triángulo es la mitad de la de un paralelogramo. Usa la subdivisión en triángulos para calcular áreas de cualquier polígono.


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Construye la idea de que todas estas acciones conducen hacia la generalización de propiedades Emplea la cuadrícula para descomponer un paralelogramo y formar un rectángulo y así justificar las relaciones entre las fórmulas para hallar las áreas de estas figuras.

Localización en el espacio y trayectoria

recorrida

Se desarrolla la capacidad de localización en el espacio y la referencialidad cuando: Visualiza empaques o formas de trayectorias asumiendo que hay formas como la parábola en fenómenos no tangibles como la caída del agua en una fuente. Identifica localizaciones de objetos por capas, como se suele hacer en arqueología. Indica el punto de referencia y las coordenadas en las que se encuentra, y se describen las trayectorias a partir de las direcciones, longitudes, tiempos, etc. Se usan los ángulos para describir cambios de posición. Se caracterizan cambios de posición al observar las sombras de un objeto al sol a lo largo del día y en diferentes momentos del año. Se propone el establecimiento de hipótesis y conjeturas sobre la simetría del fenómeno, Se establece relación con las estaciones y la rotación de la Tierra.

3. Problemas, fenómenos y acciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática.

Algunas situaciones a las que puede hacerse referencia y que permiten movilizar los procesos matemáticos en grado 5 en relación con el desarrollo del pensamiento métrico - espacial son aquellas en las que los estudiantes:

● Identifican los diferentes significados de volumen: espacio que ocupa un cuerpo en relación con otros objetos, cantidad de unidades (cuerpos) que forman o llenan otro cuerpo, espacio desplazado al sumergir un objeto en un líquido, un espacio libre encerrado en una superficie cerrada.

● Necesitan comunicar a otros, cuestiones relacionadas con: ¿cómo se puede descomponer o recomponer figuras tridimensionales o bidimensionales?, ¿cómo se construye una figura tridimensional a partir de su desarrollo en el plano?, ¿cuál es la localización o la trayectoria de un objetos o de un conjunto de ellos? o ¿cuál es la duración de cierto evento?

● Requieren identificar las propiedades de las figuras bi o tridimensionales, según su desarrollo plano. ● Requieren construir figuras tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales o realizar el proceso inverso; ● Requieren justificar las relaciones entre superficie y volumen.


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En la siguiente situación, se analizan algunas comprensiones y procesos que son pertinentes para el grado 5° en torno al desarrollo del pensamiento métrico - espacial. Un granjero estudia una manera eficiente de trasladar al supermercado los huevos que produce2. Para lograr eficiencia necesita empacar en cajas y en su camioneta, la mayor cantidad que sea posible, además trasladarse por la ruta más apropiada para optimizar tiempo. El granjero consigue cajas de diferentes tamaños, pero necesita tomar la mejor decisión. ¿Cómo puede el granjero hacer las mediciones y los cálculos para empacar las cubetas de huevos, de manera que tenga que hacer el mínimo de viajes y que aproveche todo el espacio de la camioneta y de las cajas? ¿Cómo puede decidir sobre la ruta más cómoda y rápida para llevar el pedido al supermercado? Para abordar la situación, se puede invitar a los estudiantes a llevar cajas de diferentes tamaños, hacer las descripciones y estimaciones inicialmente sin medir directamente. De igual manera que lleven algunas cubetas de huevos (las canastas reciclables), para hacer las estimaciones y luego las mediciones que consideren necesarias, además que indaguen por las medidas de las camionetas o camiones que más se encuentran en su barrio, municipio o vereda. Con la ayuda del profesor los estudiantes analizan las características de los huevos, de las cubetas o canastas, de las cajas, de los carros transportadores, y a partir de diálogos y mesas de trabajo se propone hacer un poster o cartelera para presentar los objetos y su clasificación según los criterios acordados, por ejemplo por forma, tamaño, o más específicos como las cajas de igual base, las de igual altura, las iguales en todas sus dimensiones. Luego algunas preguntas para afianzar los procesos de razonamiento que permitan reconocer las relaciones entre caras, aristas, vértices , como ¿cuántas caras tiene cada caja?, ¿cuántos vértices?, ¿cuántas aristas?, y otras con relación a la diferencia entre área y volumen y entre volumen y capacidad, entre perímetro y área, ¿Cómo podemos averiguar cuántas cubetas caben en cada caja?, ¿ y cuántas cajas en cada carro?, ¿Cuánto cartón se han gastado para hacer cada caja?, como los estudiantes ya han tenido experiencias con las magnitudes volumen y área, se espera que busquen respuestas cada vez más refinadas, en términos del lenguaje utilizado, de las representaciones, de las explicaciones y de las mismas preguntas que formulan. Juega un papel fundamental la experiencia que tengan los estudiantes en relación con la situación o con situaciones similares de empacado, transporte de objetos, situaciones de trasteo y organización de espacios. Dado que la situación es abierta, en tanto las preguntas no son tan específicas, se invita a los estudiantes a proponer estrategias a partir de supuestos, si el carro es de tales dimensiones, ¿cuántas cajas de

2 Adaptado de Matemáticas 4. Cartilla 2. Escuela Nueva.


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tipo A se pueden empacar?, si las cajas son de tipo A, B, etc., cuántas cubetas respectivamente se pueden empacar? y con las cajas que se llevan a la clase se pueden hacer los cálculos d de área y volumen, capacidad empacando directamente las cubetas en las cajas. Se pide a los estudiantes que elaboren propuestas concretas a partir de los supuestos y de los cálculos y escriban una carta al granjero explicando los procesos y acciones para tomar las decisiones adecuadas. Además, que incluyan datos relativos al peso, a las maneras de empacar dado que se trata de huevos. Después de las acciones sugeridas anteriormente, la comprensión y generalización respecto a las formas y sus medidas, la medición y cálculo de área, longitud y volumen, se pueden desarrollar de manera inductiva, por medio de cuadrícula o geoplano (usando representaciones bidimensionales). Luego, a partir, de la observación, los estudiantes interpretan los resultados obtenidos al contar las unidades cuadradas, o volumétricas a la vez que utilicen un método simplificado en el que no tengan que contar para hallar el área o el volumen. Esto genera una discusión en torno a la relación entre forma y área, forma y volumen, área y volumen, área y perímetro y perímetro y volumen En relación con la pregunta por el transporte de los huevos, y después de haber dado solución al problema del empacado en las cajas y en el carro, se trata de responder a la pregunta por la ruta más apropiada y en este caso también se deben hacer supuestos. Se puede pedir a los estudiantes que seleccionen o señalen un lugar específico e identifiquen los supermercados o tiendas a su alrededor y a partir de tal selección propongan alternativas para seleccionar la ruta más adecuada; para ello el profesor sugiere que elaboren planos, mapas o descripciones según el reconocimiento que se tenga de los lugares seleccionados. Además los estudiantes pueden describir las rutas a partir del mapa de Google maps considerando los tiempos posibles y las diferentes rutas, con un lenguaje matemático, cada vez con mayor nivel de precisión.

4. Evidencias evaluativas

Posibles dificultades Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer

Al calcular el volumen o la capacidad de las cajas, no tienen en cuenta todas las dimensiones.

El profesor puede realizar con los estudiantes las comparaciones de objetos tridimensionales con objetos también tridimensionales y las figuras (las caras de las cajas por ejemplo) con figuras bidimensionales y hacer los recubrimientos para que los estudiantes visualicen y experimenten considerando las diferencias entre hacer uno y otro proceso.

Al expresar los resultados de las mediciones o de las estimaciones no utilizan las unidades de medida adecuadas.

El profesor propone a los estudiantes medir o estimar el volumen de una caja o de un objeto y expresar la medida en diferentes unidades, hacer luego la comparación y sacar conclusiones, de igual manera con el área, y así varias experiencias utilizando unidades estandarizadas y no estandarizadas. Expresar unas unidades en términos de otras, a partir de la medición directa y del análisis más que de cálculos en forma rutinaria, que esconden el significado de las unidades. Poner en un mismo instrumento (cuadrados de papel milimetrado por ejemplo), varias unidades de área y comparar los resultados de unas con los de otras.


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Para calcular el área por medio de recubrimientos o el volumen al encajar objetos, no cubren totalmente la superficie o todo el espacio respectivo (no consideran la aditividad del volumen y del área).

Utilizar aproximaciones cómo repartir equitativamente, comparar y reproducir, y medir, para fortalecer el concepto de área (Del Olmo, et al., 1993).

Asumir que la variación entre el volumen y el área es lineal, como la variación en la longitud.

Proponer a los estudiantes la elaboración de tablas comparando longitud de los lados y área de rectángulos respectivos, o longitud de las aristas y volumen de los paralelepípedos, para analizar la relación del cambio de una con respecto a la otra, es decir para que los estudiantes comprendan que aumentos en la longitud de los lados, generan aumentos “no lineales” en el área respectiva y de igual manera con el volumen. Las distintas representaciones de dicha variación pueden ayudar a los estudiantes en comprensión de las relaciones mencionadas.

Sobre el Pensamiento Aleatorio

1. Introducción

Al ingresar el grado quinto los estudiantes han tenido experiencias con la recolección, organización y análisis de datos cualitativos, así como con el planteamiento de preguntas estadísticas que implican estudios censales y la recolección de datos mediante encuestas o experimentos simples. Reconocen las formas y la variación en los gráficos de barras compuestos o en los gráficos de líneas, analizan las diferencias entre las variables en estudio y pueden escribir informes en los que elaboran conclusiones. Leen, comprenden y cuestionan estudios estadísticos presentados en los medios de comunicación y son capaces de cuestionar algunos de los procesos de recolección o el uso de algunas representaciones, cuando sea del caso. Para constatar los aprendizajes que hasta el momento traen los estudiantes en los aspectos mencionados anteriormente, se sugieren actividades que permitan interpretar información proveniente de diversas fuentes, generar diálogos sobre los estudios censales, y con base en ello afianzar y profundizar en los análisis, tipos de encuestas o experimentos, diferentes representaciones, gráficas, tabular o verbal, para consolidar las fases iniciales del ciclo investigativo. Es por esto que para el grado quinto se espera que los estudiantes participen en un ciclo investigativo completo, explicitando cada una de las fases: Problema, plan, datos, análisis y conclusiones Problema: definición del problema y la pregunta, Plan: definición de un plan para definir los procedimientos para solucionar el problema, Datos: definir las formas y los instrumentos de recolección de los datos, Análisis: definir cómo se resumen los datos, cuáles representaciones utilizar y analizar los resultados que se obtienen, y Conclusiones: sacar las conclusiones pertinentes, dar respuesta al problema y


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proponer nuevos problemas.



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Algunas ideas fundamentales del pensamiento aleatorio del grado 5°

Organización de los datos y las medidas de tendencia central y la

variabilidad

Se desarrolla la capacidad para organizar los datos y las medidas de tendencia central y la variabilidad cuando: Determinan, recogen, organizan, analizan e interpretan datos provenientes de varias variables cualitativas o cuantitativas discretas. Con ayuda del profesor formulan preguntas que se refieren a comparaciones entre dos o más grupos de datos, deciden la forma de recolección de los datos considerando el diseño -censal o muestreo simple. Identifica los instrumentos adecuados y los tipos de variables. Determinan y justifican las mejores formas de organizar, representar y analizar los datos. Comunican los resultados apoyados en la forma, las medidas de tendencia central y el rango. Explican la variabilidad desde la diferencias en la medición

Probabilidad e inferencia

Se desarrolla una idea de probabilidad e inferencia cuando Identifica que hay grados en la ocurrencia de ciertos fenómenos, y hay un gran abanico entre lo imposible y lo seguro. Construye una visión intuitiva de la probabilidad en situaciones de juego, asumiendo que a mayor superficie de contacto en un dado prismático, corresponde mayor probabilidad de ocurrencia. Se construye la idea de que si es mayor el número de posibilidades, el éxito de una ocurrencia es menor. Y si es el doble, la probabilidad de ocurrencia es la mitad- Se usan representaciones de probabilidad, examinando la proporción de éxitos (usando fracciones) cuando se realizan observaciones repetidas de ocurrencia de resultados aleatorios de un determinado evento. Se analiza casos en que al sacar blanco en una bolsa con 4 negras y 5 blancas, se sugiere que no tienes la misma probabilidad que si pones una negra y una blanca más en la bolsa. Analizan experimentos y se realizan predicciones intuitivas sobre los mismos. Describe resultados experimentales haciendo conjeturas del tipo...si pasó esto, entonces es probable que ocurra… Analiza el valor de usar representaciones adecuadas en situaciones de simulación sencillas para sacar conjeturas sobre predicciones y argumentar las observaciones.


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3. Problemas, fenómenos y acciones en correspondencia con los procesos de la actividad matemática.

Algunas situaciones a las que puede hacerse referencia son: ● Comparar el comportamiento de una variable cualitativa o cuantitativa discreta en dos grupos de una misma población ● Comparar el comportamiento de una variable cualitativa o cuantitativa en dos muestra provenientes de dos poblaciones diferentes. ● Encontrar una cantidad equitativa a conseguir para obtener una distribución uniforme. ● Encontrar una medida representativa del comportamiento del conjunto de datos. ● Estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento usando la frecuencia relativa.

A continuación ejemplificamos uno de estos tipos de situaciones, desarrollando un ciclo investigativo. Para iniciar el ciclo investigativo, el profesor puede proponer una discusión para indagar sobre un tema que interese a los estudiantes y explicitar las razones por las cuales desean investigarlo. Esta discusión es importante para que los estudiantes diferencien situaciones estadísticas de aquellas que no los son, a partir de reconocer la presencia o no de la variabilidad de los datos, por ejemplo, describir cuáles son las reglas de un juego de video no es estadístico mientras que indagar por la diferencia entre las destrezas tecnológicas de los hombres y las mujeres del curso, sí lo es. Una vez definido el tema el profesor propone a los estudiantes que elaboren preguntas estadísticas, que para este grado se propone conduzcan a estudios censales o muestrales de comparación de una variable en al menos dos grupos diferentes, por ejemplo ¿son los niños de quinto tecnológicamente más hábiles que las niñas? Para constatar que los estudiantes comprenden la pregunta se sugiere que el profesor formule preguntas como: ¿Qué se debe hacer para responder a esta pregunta?, ¿Qué se necesita saber para responder?, ¿Cómo se va a encontrar la información que se necesita?, ¿Qué se va a hacer con la información que se recopila? Una discusión importante para la comprensión colectiva de la pregunta estadística, se dirige hacia definir cómo sabemos que una persona es tecnológicamente hábil. En esta discusión pueden salir propuestas sobre los rasgos que distinguen a una persona hábil tecnológicamente de otra que no lo es. Por ejemplo, la destreza se evidencia en el saber utilizar diferentes aparatos tecnológicos, o en poder describirlos según su forma, sus funciones, etc., o porque para variadas actividades utiliza diversos programas para comunicación, para entretenimiento, para buscar información, etc. Una vez comprendido el sentido que se le va a dar al término “tecnológicamente hábil”, se asume que la primera fase del ciclo investigativo ha terminado y se procede a definir un plan de recolección de información adecuado, es decir, se dirige a la segunda etapa del ciclo. Este plan debe incluir la elaboración de preguntas para una encuesta, así como la definición de la población o la selección de una muestra representativa con la cual se hará el estudio. El profesor motiva a los estudiantes a que definan la población y propongan diferentes muestras representativas para la realización del estudio. Para


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el ejemplo que se viene describiendo, la población son los estudiantes de grado quinto, y como muestras representativas, se puede seleccionar un grupo de niños y niñas de un solo curso del grado quinto, o un grupo de niñas de un curso y otro grupo de niños de otro curso de grado quinto del colegio, o un grupo de niñas y niños de cada uno de los cursos de quinto que tenga el colegio. En cualquiera de las opciones, es preciso discutir un método para seleccionar quienes participarán en el estudio. Aquí el profesor buscará que los estudiantes reconozcan que los resultados del estudio dependerá de la muestra que se seleccione, ya que no se está buscando que ésta sea aleatoria sino representativa. En relación con el instrumento de recolección de datos, se invita a los estudiantes a que formulen preguntas que permitan recolectar la información necesaria para dar respuesta a la pregunta inicial. Construir preguntas es un proceso importante por cuanto de la calidad de los datos recolectados dependen, en buena parte, las conclusiones que se puedan extraer de ellos. Por lo anterior, es necesario constatar que las preguntas estén bien formuladas y atiendan a las variables a estudiar. Preguntas como: ¿cuántos aparatos de tecnología utiliza?, ¿para qué usa los siguientes aparatos tecnológicos? (se da una lista), ¿cuántas horas al día usa el celular?, ¿cuántas funciones del celular utiliza?, pueden integrar una encuesta. En esta etapa el profesor debe orientar a los estudiantes en reconocer las posibles respuestas que se pueden obtener de una pregunta, de manera que pueda reconocer la variabilidad natural de los datos, debida a las diferentes opiniones de los estudiantes que responden la encuesta. En este grado, los datos pueden ser cualitativos categóricos o cuantitativos discretos; estos se organizan y presentan en tablas de frecuencia, gráficos de barras agrupadas, gráficos de línea, gráficos circulares o pictogramas según el contexto del problema; estas representaciones tienen dos funciones, la primera, comunicar de manera sistemática los datos que se han recolectado para realizar el estudio, en este sentido, cada representación que se obtenga a partir de los datos y de representaciones anteriores, deberá permitirle al estudiante una mayor compresión de los datos. Para que esto ocurra, el profesor solicita a sus estudiantes que las representaciones que construyen les deben permitir resumir los datos sin perder la totalidad de los mismos y en donde la lectura sobre el comportamiento de los datos en términos sea visible. Además deberá cuestionar la selección que los estudiantes hacen sobre el tipo de gráfico que emplearán para representar los datos, de manera que pueda reconocer los usos de cada uno de estos. La segunda función, busca que los estudiantes puedan analizar algunas tendencias o patrones del comportamiento que den cuenta de la diferencia entre los dos grupos, a partir de una lectura de gráficos que va más allá de la lectura literal, toda vez que se involucran operaciones. Los razonamientos que realizan los estudiantes, les deben permitir justificar si existe o no diferencia con respecto a la variable, entre los grupos, en nuestro ejemplo, poder justificar si las habilidades tecnológicas de los niños y niñas de grado quinto son o no diferentes. Para ampliar los razonamiento que puedan hacer los estudiantes en relación con la lectura de gráficos, el profesor puede hacer uso de hojas de cálculo o Applets, en donde se permita la construcción simultánea de tablas y gráficas, y proponer a los estudiantes el cambio de escalas, de tipos de gráficos, de posición, inclusión de nuevos datos, etc. y analizar los efectos que cada uno de esos cambios tiene en el análisis y la conveniencia o no de dichos cambios. El análisis de los resultados incluye el cálculo de medidas representativas del comportamiento de los datos, como son las medidas de tendencia central y el rango. El profesor busca estrategias para calcular estas medidas sin recurrir exclusivamente al cálculo numérico, por ejemplo, en un diagrama de barras, los estudiantes pueden hacer compensaciones entre las barras para encontrar la media, del


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mismo modo pueden usar las gráficas de barras para calcular la mediana. Cuando los datos son cualitativos, es importante que se propongan gráficos circulares para comparar los dos grupos (los niños y las niñas) en términos de porcentajes. En el proceso de comunicación de los resultados se solicita a los estudiantes que utilicen una lectura diferencial de la información que se obtiene con cada una de las representaciones, y se apoyen en el uso adecuado de expresiones como variables, población o muestra, moda, mediana o media. Para dar respuesta a la pregunta, los estudiantes deben construir argumentos, apoyados en los resultados, que sustenten si existen o no diferencias entre los dos grupos en estudio cuando se analizan ciertas variables. Para el ejemplo, las diferencias pueden sustentarse en que los niños manejan más funciones del celular que las niñas o en que las niñas utilizan mayor número de aparatos tecnológicos que los niños etc. Y combinar todas las respuestas en la encuesta y los análisis para decidir sobre la tendencia de comportamiento de las variables estudiadas. Cabe recalcar que no se trata de hacer ningún tipo de discriminaciones, sino de apoyarse en los procesos y en los resultados para hacer afirmaciones con argumentos. De otro lado y con el interés de fomentar el análisis crítico de la información es importante que el profesor lleve a la clase noticias, informes, reportes de juegos, etc. en los que sea necesario analizar la información, para plantear una posible pregunta, analizar el tipo de representación y si su construcción corresponde a las características estadísticas establecidas, inferir un plan de recolección de datos y analizar las conclusiones elaboradas. En relación con el estudio de la aleatoriedad y el azar, se busca que el estudiante pueda realizar experimentos aleatorios, anticipar los posibles resultados y calcular las probabilidades de ocurrencia de un evento. Este aspecto se desarrolla mediante la participación de los estudiantes en actividades de juego en las que esté presente el azar, por ejemplo, los juegos de dados, las cartas, la ruleta, las rifas. Es muy importante que los estudiantes puedan predecir los resultados antes de realizar los experimentos, ya que con ello van consolidando la idea de experimento aleatorio como diferente a experimento determinístico. Una de las actividades de evaluación que puede utilizar un profesor, es solicitar a los alumnos que se planteen, a partir de la investigación ya terminada, nuevas preguntas como ¿si se cambia de población o muestra los resultados serán similares? Este tipo de cuestiones cumplen dos propósitos primero, iniciar a los alumnos en el razonamiento inferencial y segundo involucrar a los alumnos en el estudio del azar como una condición presente en algunos los problemas estadísticos en los que se trabaja con muestras.

4. Evidencias evaluativas en correspondencia con el pensamientos aleatorio

Posibles dificultades Preguntas o sugerencias que el profesor puede hacer


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Confundir en el cálculo de la media el total del número de frecuencias con la suma de las frecuencias (total de datos)

Imagina que se listan todos los datos, ¿cuántos darán? Compara el valor de la media con los datos. Recuerda qué representa una frecuencia relativa.

Suponer que la media debe ser uno de los datos recolectados o excluir el cero en el cálculo de la media cuando es uno de los valores que toma la variable

Elabora un gráfico de barras y mediante compensaciones entre las barras encuentre una cantidad equitativa. ¿Por qué aparece el 0 en el conjunto de datos? Recuerda que para calcular la media se deben incluir todos los datos.

Usar sin discriminación la media, la mediana o la moda. Mostrar un gráfico en el cual las tres medidas se vean diferentes y preguntar por cada una de ellas.

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