U.C.U. – F.C.E. – Economía de Empresa J.I.MARTIN AGOSTIClase # 10 26/05/04

INTRODUCCIÓN sobre las posibilidades del Software GAMBIT para el

planteo y resolución de Juegos (1ra Parte)

El programa Gambit es un programa interactivo sobre teoría de los juegos. Su

origen se remonta al año 1997, cuando economistas y programadores de la

Fundación Nacional de Ciencias (National Science Foundation), del Instituto

Tecnológico de California (Caltech) y de la Universidad de Minnesota reunieron

sus esfuerzos para este programa. Este trabajo fue dirigido por Richard

McKelvey y su lenguaje informático es el C++.

El programa se puede obtener en una versión de libre uso del sitio web:

http://econweb.tamu.edu/gambit/

El software Gambit es una forma interactiva para construir y resolver juegos,

tanto en su forma normal como extensiva. Este programa presenta dos

módulos: uno que permite trabajar los juegos en su forma normal o matricial; y

otro modulo que permite la presentación de los juegos en forma extensiva

(árboles de decisión).

Una vez instalado, y ya cargado, se observan un pequeño panel con cuatro

botones y dos menúes. Los comandos son Abrir Carpeta, Nuevo Juego

Extensivo, Nuevo Juego Normal y Ayuda, en ese orden. Las mismas opciones

se pueden obtener a través de los otros dos menúes.

Por su parte, el programa viene acompañado por dos subdirectorios: uno de

juegos normales (extensión .nfg), con 25 ejemplos archivados; y otro de juegos

extensivos (extensión efg) con 27 ejemplos.

Sobre el módulo matricial o de juegos expuestos en forma

“normal”:

Este módulo es ideal para el planteo y resolución de juegos de suma cero, de

suma constante y de suma no constante; tanto para dos o más personas.

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Los siguientes ejemplos, nos permitirán apreciar las posibilidades del

programa:

Juego de Suma Cero con punto silla

Para diagramar un juego, se ejecuta el comando File New Normal. Entonces,

aparecerá una pantalla donde se introducirán los parámetros: en primer lugar,

la cantidad de jugadores; y por último, la cantidad de filas y columnas

(estrategias).

En esta oportunidad presentamos un juego de suma cero. En función de los

requerimientos del software, se tendrá que presentar las cifras

correspondientes a ambos jugadores. Los números en rojo significan el

beneficio para el jugador de las filas; mientras que los números en azul

conforman las pérdidas para el jugador de las columnas. (Nota: el valor

negativo de las pérdidas representan ganancias para el jugador de las

columnas).

1

2

3

1 2 3 4

1,-1 0,0 1,-1 0,0

0,0 -1,1 2,-2 0,0

-1,1 0,0 3,-3 1,-11,-1

Una vez completa la tabla, se ejecuta el comando Solve y se obtendrán los

resultados correspondientes. De esta operación, se obtiene una modificación

de la tabla anterior, con el punto silla sombreado. Surge entonces evidente, que

el valor del juego es cero.

1

2

3

Prob

1 2 3 4 Prob

1,-1 0,0 1,-1 0,0 1

0,0 -1,1 2,-2 0,0 0

-1,1 0,0 3,-3 1,-1 0

0 1 0 0 1

0,0

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Finalmente nótese que las estrategias son puras, dado que la estrategia fila 1,

y la estrategia columna 2, registran una frecuencia o probabilidad del 100%.

Juego de Suma Cero sin punto silla (estrategias mixtas)

Tomamos como ilustración, en esta oportunidad, el juego tradicional de “piedra,

papel o tijera”. A saber: “Los dos jugadores dicen en forma simultánea una

palabra de las tres: piedra, papel o tijera. Si ambos jugadores dicen la misma

palabra, el juego queda empatado. Si no es así, un jugador le gana 1 dólar al

otro según las siguientes reglas: las tijeras le ganan al papel; el papel le gana a

la piedra y la piedra le gana a las tijeras”. Consecuentemente, y estructurando

una matriz de pagos:

Piedra

Papel

Tijera

Piedra Papel Tijera

0,0 -1,1 1,-1

1,-1 0,0 -1,1

-1,1 1,-1 0,0

0,0

Al presionar el botón de Solve, se obtiene el siguiente resultado:

Piedra

Papel

Tijera

Prob

Piedra Papel Tijera Prob

0,0 -1,1 1,-1 1/3

1,-1 0,0 -1,1 1/3

-1,1 1,-1 0,0 1/3

1/3 1/3 1/3 1

0,0

Nótese que no existe como solución una estrategia pura. De hecho, toda la

tabla está sombreada y esto implica una estrategia compartida o mixta, donde

a cada una de las opciones le corresponde una probabilidad o frecuencia de un

tercio.

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Juego de Suma Constante con punto silla

Tómese en esta oportunidad y a modo de ejemplo, el siguiente enunciado:

“En el horario de 8 a 9 de la noche, dos cadenas televisivas compiten por la

audiencia de 100 millones de espectadores. Las cadenas deben anunciar en

forma simultánea el espectáculo que emitirán en ese horario. Las elecciones

posibles de cada cadena y el número de televidentes de la cadena 1 y 2

aparecen en la siguiente tabla”.

Al igual que con los juegos de suma cero, aquí también se pondrán dos

números por casilla, pero aquí la suma de las dos cantidad dan un mismo

número para todo el cuadro (en este caso, 100).

Película

Novelas

Comedia

Película Novela Comedia

35,65 15,85 60,40

45,55 58,42 50,50

38,68 14,86 70,30

35,65

Después de ejecutar el comando Solve, surge evidente el punto silla existente

en este juego: 45 millones de personas ven Cadena 1 y 55 millones ven

Cadena 2. Ambos valores del juego suman los 100 millones de televidentes.

Este resultado se demuestra tanto en la casilla sombreada, como por la

probabilidad 1.

Película

Novelas

Comedia

Prob

Película Novela Comedia Prob

35,65 15,85 60,40 0

45,55 58,42 50,50 1

38,68 14,86 70,30 0

1 0 0 1

45,55

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Juego de Suma No Constante con punto silla

Como ilustración, se plantea el caso del dilema del prisionero; A saber:

“Dos prisioneros que escaparon y participaron en un robo fueron recapturados

y esperan el juicio por su nuevo delito. Aunque ambos son culpables, el fiscal

de no está seguro de tener las pruebas suficientes para condenarlos. Para

provocar que testifiquen uno en contra del otro, el fiscal les dice a cada uno que

si sólo uno confiesa y testifica contra su socio, el que confiese será liberado,

mientras que el que no confiese será condenado a una sentencia de 20 años.

Si ambos confiesan, ambos serán condenados y pasarán 5 años en prisión.

Por último, si nadie confiesa, los acusan de mal comportamiento y pasan un

año en prisión”.

La matriz de recompensa se puede ver en el siguiente cuadro. Es importante

hacer notar que la suma de las recompensas en cada lugar varía desde –2

hasta –20.

Confiesa

No Confiesa

Confiesa No Confiesa

-5,-5 0,-20

-20,0 -1,-1

-5,-5

El siguiente paso implica apelar al solver que nos dará la solución de este

problema. Se puede observar que los prisioneros confiesan, ya que esa es la

estrategia dominante.

Confiesa

No Confiesa

Prob

Confiesa No Confiesa Prob

-5,-5 0,-20 1

-20,0 -1,-1 0

1 0 1

-5,-5

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Juegos de Suma No Constante sin punto silla (estrategias mixtas)

Al igual que los juegos de suma constante, uno con suma no constante puede

no tener un punto de equilibro en estrategias puras. Se puede demostrar que si

se permiten estrategias mezcladas, entonces en cualquier juego de dos

personas con suma no constante cada jugador tiene una estrategia de

equilibrio. Esto se puede notar dada la solución correspondiente a la matriz de

pagos expuesta. En gris, surge como solución al problema una estrategia mixta

para cada uno de los dos jugadores: cada uno jugará sus dos jugadas el 50%

de las veces.

1

2

Prob

1 2 Prob

2,-1 -2,1 1/2

-2,1 2,-1 1/2

1/2 1/2 1

2,-1