Transformaciones en la gráfica de 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙) donde 𝒏 ∈ 𝒁+

Introducción

Seno se define como “la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa”1. Es una de

las seis proporciones principales de la trigonometría. La función seno 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

es aquella función la cual relaciona los valores que toma el eje 𝑦 con el seno de un

ángulo en radianes. Junto con las funciones 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) y 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) son las más

importantes en la trigonometría, los usos que tienen estas relaciones en las

matemáticas son muchísimos. Es normal encontrar una función 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 3 o

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 3) − 5, sin embargo no tiende a ser común encontrar una función de

seno elevado a un número entero positivo: por ejemplo𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥). Este tipo de

funciones empiezan a aparecer cuando se estudian las identidades trigonométricas,

o bien, suelen ser recurrentes en ejercicios cuando se diferencia e integra en

cálculo, normalmente para comprobar si el estudiante entiende la regla de la

cadena.

Realmente, al estudiar la función de seno, nunca se llevan al plano cartesiano este

tipo de funciones, la gráfica de funciones 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) donde 𝑛 ∈ 𝑍+ nunca las

estudié a fondo, y esto fue lo que me motivó a escoger este tema. Normalmente

solo estudié transformaciones de tipo 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵(𝑥 − 𝐶) + 𝐷 en las gráficas de

seno, a pesar de que estas transformaciones son las más básicas que afectan a la

gráfica de una función seno, siempre me quede con la inquietud de qué tipo de

transformaciones afectan a la gráfica de seno al ser elevada a un número entero

positivo. ¿Es posible que al elevar seno a un número entero positivo haya algún

patrón que afecte en las características (sea ya amplitud, periodo, etc.) de la gráfica

de seno como sucede en el caso de 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝐵(𝑥 − 𝐶) + 𝐷?

De esto se trata mi exploración, mi objetivo es poder establecer características de

los comportamientos de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) con respecto a 𝑛 ∈

𝑍+.

A continuación intentaré llegar a una conclusión que satisfaga el objetivo de esta

investigación.

1Baldor, J. (2004). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones Cultural.Pág 304.

La primera función que vamos a analizar es 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛(𝑥))2, o como normalmente es

expresada 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥).

Gráfica 1. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)

Teniendo las gráficas de las dos funciones podemos hacer una tabla comparativa

que ayude a encontrar los cambios que sucedieron al elevar la función seno al

cuadrado.

Tabla 1. Comparación de las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y

𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)

A pesar de que el dominio de las funciones es el mismo, todo lo demás cambió. El

rango de la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)cambió a [0,1] puesto que el resultado de todo

número elevado al cuadrado, siempre es positivo. Por eso no existen valores

negativos en el eje y.

Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙)

Dominio ℝ ℝ

Rango [-1,1] [0,1]

Amplitud 1 1

2

Periodo 2𝜋 𝜋

Movimiento Horizontal o Vertical

- Movimiento vertical hacia arriba de 0.5 unidades

Paridad de la función Impar, ya que

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Par, ya que

𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥)

La amplitud de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) se redujo a la mitad al igual que el periodo. A pesar

de que la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) es par, la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) es impar. Otra

observación importante que hacer es que cuando 𝑓(𝑥) = 0 entonces 𝑔(𝑥) = 0,

ejemplos de esto en la gráfica se evidencian en las coordenadas (𝜋, 0), (0,0) ó

(−2𝜋, 0).

Sabiendo ya los cambios que se producen cuando tenemos una función 𝑔(𝑥) =

𝑠𝑒𝑛2(𝑥), podríamos intentar usar las funciones ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥) y 𝑖 (𝑥) =

𝑠𝑒𝑛10(𝑥) para comprobar si los comportamientos vistos en la gráfica anterior 𝑔(𝑥)

también aplican a estas, por ser 𝑛 en estos casos un número par.

Gráfica 2. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙),𝒈(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙),

𝒉(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟒(𝒙)y 𝒊(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟎(𝒙)

En esta gráfica sin necesidad de hacer una tabla comparativa de las cuatro

funciones, podemos observar que las gráficas de las funciones ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥) y

𝑖(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛10(𝑥), poseen las mismas características que la función 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥).

Es decir, los dominios siguen siendo ℝ, los rangos tampoco cambiaron: las gráficas

tienen un rango de {0,1}; las amplitudes continúan siendo 1

2 , el periodo es igual en

las tres gráficas 𝑔, ℎ, 𝑖, es decir𝜋; y cuando comprobamos la paridad de la función

seguimos teniendo que ℎ(−𝑥) = ℎ(𝑥) y 𝑖(−𝑥) = 𝑖(𝑥). Esto demuestra que cada vez

que 𝑛 es un 𝑍+ par, la gráfica de la función siempre va a tener estas características.

La única diferencia entre las gráficas de estas funciones es que se puede ver que

los espacios bajo las curvas de las gráficas de ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)y de 𝑖(𝑥) =

𝑠𝑒𝑛10(𝑥) tienen menos área que las de 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) ya que hay muchos más

valores en el eje y cercanos al 0.

Habiendo ya visto lo que sucede con la gráfica de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) en el

caso de que 𝑛 sea un número par, podríamos intentar ver qué sucede con la gráfica

cuando 𝑛 es un número impar.

Gráfica 3. Gráfica de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝟑(𝒙)

Al igual que en las anteriores funciones, podemos hacer una tabla comparativa para

ver detalladamente los cambios que le ocurrieron a la gráfica.

Tabla 2. Comparación de las gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) y 𝒋(𝒙) =

𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙)

Gracias a la tabla comparativa podemos decir que aparentemente no hubo ningún

tipo de transformación de la gráfica, ya que en ningún aspecto se diferencia la

gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) con la de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥). Las gráficas se cortan entre sí

Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙)

Dominio ℝ ℝ

Rango [-1,1] [-1,1]

Amplitud 1 1

Periodo 2𝜋 2𝜋

Movimiento Horizontal y/o Vertical

- -

Paridad de la función Impar, ya que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Impar, ya que 𝑗(−𝑥) = −𝑗(𝑥)

cada 𝜋

2, y con el eje x cada 𝜋, por eso cuando 𝑓(𝑥) = 0, 𝑗(𝑥) = 0.A pesar de todo

esto, podemos ver en la Gráfica 3 que sí hubo un ligero cambio, hay muchos más

valores cercanos a 0 en el eje y en la gráfica de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) que en la de 𝑓(𝑥) =

𝑠𝑒𝑛 (𝑥). Lo que significa que la gráfica se achata más, es decir, se pega más al eje

x. Si tomáramos un rango de observación 0 a 𝜋 es posible observar que el área

debajo la curva de 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥) en este rango es mucho menor a la de la curva

de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥).

Para verificar esto podemos tomar las funciones 𝑗(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥), 𝑘(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛5(𝑥) y

𝑙(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛7(𝑥) donde 𝑛 es impar.

Gráfica4. Gráficas de las funciones 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙), 𝒋(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟑(𝒙),

𝒌(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟓(𝒙) y 𝒍(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟕(𝒙)

A pesar de que no cambia el periodo (2𝜋), la amplitud (1), el rango [-1,1] o el dominio

(ℝ) cuando 𝑛 es un número impar (como se puede observar en la Gráfica 4) -lo que

nos permite afirmar que cuando 𝑛 sea impar siempre tendrá estas características-,

sí cambia el área debajo de la curva entre 0 y 𝜋, que es nuestro rango de

observación. Este comportamiento ocurre tanto cuando 𝑛 es un número par como

cuando 𝑛 es un número impar, como se puede observar.

Con esta gráfica podemos ver que a medida que el exponente aumenta el área que

hay debajo de las curvas se vuelve más pequeño, y hay muchos más valores de x

en el eje y cercanos a 0. Las curvas parecen contraerse, a medida que 𝑛 va

aumentando, independientemente si 𝑛 es par o impar. A pesar de los cambios que

vimos que ocurrían si 𝑛 era par o impar, en realidad no nos decían mucho de las

transformaciones de una gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥).

Este comportamiento de contracción de las curvas de la gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) a

medida que 𝑛 aumenta, genera una pregunta: ¿de qué manera afecta 𝑛 al área que

está debajo de las curvas de la gráfica 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)?

Para resolver esta pregunta usaremos integrales definidas. Estudiaremos el área

que se encuentra debajo de las curvas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥), donde 𝑛 es 𝑍+ ≤ 36. Para este

análisis se tomará 𝑛 ≤ 36, puesto que estadísticamente una muestra es

considerada grande cuando el universo es mayor a 30, así se tienen más datos para

poder analizar. Se utilizará como límite superior 𝜋 y como límite inferior 0 (que es el

rango de observación propuesto anteriormente), ya que no importa si 𝑛 es par o

impar, siempre hay una curva positiva en esos puntos del eje x.

Empezaremos con la integral definida de𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en el área designada.

∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = − cos(𝑥)𝜋

0

𝜋0

= − cos(𝜋) − (− cos(0)) = 2

Otro ejemplo de integración es el de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥):

∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 =1

2∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥 =

1

2[∫ 𝑑𝑥

𝜋

0

−1

2∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 × 2𝑑𝑥

𝜋

0

]𝜋

0

=1

2[𝑥 −

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥]

𝜋0

=1

2[(𝜋 −

1

2𝑠𝑒𝑛2𝜋) − (0 −

1

2𝑠𝑒𝑛2(0))] =

1

2𝜋

Ahora muestro la integración de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛3(𝑥):

∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 = ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥 =𝜋

0

∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋

0

= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋

0

=𝜋

0

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥(−𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑑𝑥𝜋

0

𝜋

0

Para resolver la segunda integral hacemos u = cosx y du = -senx por lo tanto:

= [𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑐𝑜𝑠3𝑥

𝑥]

0

𝜋

reemplazando el valor de x tanto par 𝜋 como para 0, se obtiene:

∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 =4

3

Para resolver la integral de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4(𝑥):

∫ 𝑠𝑒𝑛4(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 = ∫ (𝑠𝑒𝑛2𝑥)2𝑑𝑥 =𝜋

0

∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2)

2

𝑑𝑥𝜋

0

=1

4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠22𝑥)𝑑𝑥 =

1

4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥

2) 𝑑𝑥

𝜋

0

𝜋

0

=1

4∫ (1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

2+

𝑐𝑜𝑠4𝑥

2) 𝑑𝑥

𝜋

0

=1

4∫ (

3

2− 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +

1

2+

𝑐𝑜𝑠4𝑥

2) 𝑑𝑥

𝜋

0

=1

4(

3

2𝑥 − (2)

1

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (

1

2)

1

4𝑠𝑒𝑛4𝑥)

0

𝜋

=3

8𝜋

Procediendo de manera análoga como se resolvió ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝑥)𝜋

0𝑑𝑥, tenemos que:

∫ 𝑠𝑒𝑛5(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 =16

15

La siguiente tabla muestra estos resultados para n≤ 36

Tabla 3. Tabla de Integrales Definidas 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙)donde 𝒏 es𝟏 ≤ 𝒁+ ≤ 𝟑𝟔

Valor de 𝒏 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏

𝝅

𝟎

(𝒙)𝒅𝒙 Valor de 𝒏

∫ 𝒔𝒆𝒏𝒏𝝅

𝟎

(𝒙)𝒅𝒙

1 2,000 19 0,568

2 1

2𝜋≈1,570 20 0,554

3 4

3≈1,333 21 0,541

4 3

8𝜋 ≈1,178 22 0,528

5 16

15≈1,067 23 0,517

6 0,982 24 0,506

7 0,914 25 0,496

8 0,859 26 0,487

9 0,813 27 0,478

10 0,773 28 0,469

11 0,739 29 0,461

12 0,709 30 0,454

13 0,682 31 0,447

14 0,658 32 0,440

15 0,637 33 0,433

16 0,617 34 0,427

17 0,599 35 0,421

18 0,583 36 0,415

Los datos de la anterior tabla muestran una disminución del área a medida que 𝑛

aumenta, justo se mostraba en las gráficas. Esta tabla muestra una disminución del

área debajo de las curvas, esto concuerda con las contracciones de las curvas que

se vieron en las Gráficas, por eso se buscara un modelo que logre explicar el patrón

de disminución que tiene el área con el exponente 𝑛 de la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥).

El dominio de esta gráfica es 𝐙+, su rango es (0,2], pero, en el contexto de este

análisis sería de (0, 2]. A partir de lo anterior, me surge la siguiente pregunta ¿tendrá

el mismo comportamiento la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) si n 𝜖 ℝ+?

Por ejemplo, encontremos el área para:

∫ 𝑠𝑒𝑛12(𝑥)

𝜋

0

𝑑𝑥 ≈

∫ 𝑠𝑒𝑛32(𝑥)

𝜋

0

𝑑𝑥 ≈

∫ 𝑠𝑒𝑛14(𝑥)

𝜋

0

𝑑𝑥 ≈

∫ 𝑠𝑒𝑛𝜋(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 ≈

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑒(𝑥)𝜋

0

𝑑𝑥 ≈

Al observar estos resultados, y compararlos con la gráfica, notamos que encaja

perfectamente en la curva por lo que puedo concluir que el dominio y el rango de

esta gráfica son 𝐑+.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

área

baj

o la

cu

rva

n

área bajo la curva f(x)=sennx, con respecto a n

A continuación encuentro el modelo tecnológico que rige esta función.

Gráfica 5. Gráfica de 𝒚 = 𝟐, 𝟏𝟕𝟗𝟕𝒙−𝟎,𝟒𝟓𝟖 para 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑𝟔

En el anterior diagrama de dispersión se observa un comportamiento potencial, que

se puede apreciar con su línea de tendencia. Aquí se muestra el modelo potencial

𝑦 = 2,1797𝑥−0,458el cual se ajusta en un 99,75% (coeficiente de determinación) a

la tabla de datos anteriormente presentada. Nótese que x=0 es una asíntota vertical

pues la función tendería a serla recta y=1 y por lo tanto el área sería infinito. De

igual manera, y=0 es también una asíntota porque a medida que x tienda a infinito,

f(x) tiende a 0.

Con el modelo encontrado, se puede averiguar el área de una función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)

entre un rango de 0 a 𝜋, o bien encontrar 𝑛 a partir de un área determinada que se

nos dé entre estos rangos. La asíntota de esta gráfica tiende a 0 -a pesar de que en

la Gráfica 5 no se evidencie- puesto que a medida que 𝑛 aumente el área debajo de

las curvas va a ir disminuyendo.

y = 2,1797x-0,458

R² = 0,9975

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 5 10 15 20 25 30 35

Conclusión

A través del trabajo se intentó ver qué tipo de influencia tenía 𝑛 ∈ 𝑍+ en las gráficas

de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥). Para ello se utilizaron diferentes herramientas matemáticas

pasando desde la gráfica de una función de seno, hasta tareas más complejas como

la integración definida en cálculo.

Los resultados del trabajo fueron los siguientes:

𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙) donde 𝒏 ∈ 𝒁+

A pesar de que el modelo no tiene un 100% de precisión, se acerca bastante a

predecir el comportamiento de las áreas bajo la curva, conociendo ahora que 𝑛

juega un papel importante a la hora de trabajar con gráficas 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥). El modelo

presenta imprecisiones en cuanto 𝑛 empieza a crecer de manera exagerada, puesto

que es más difícil predecir el comportamiento de áreas que se hacen tan

decimalmente pequeñas que hacen que la imprecisión sea más frecuente. Lo que

indica que para hacer un modelo más preciso todavía se necesitarían tomar muchos

más datos.

El objetivo de esta investigación fue cumplido, ya que a través de ella se pudo

evidenciar las transformaciones que afectan a la gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥) en relación

con 𝑛 ∈ 𝑍+, centrándose especialmente en los casos en los que 𝑛 es par o impar,

y cómo cambia 𝑛 el área que ocupa la curva de estas funciones a medida que

aumenta 𝑛. Sin lugar a dudas sería interesante investigar más a fondo las

transformaciones de seno, puesto que al haber estudiado unos pocos aspectos de

esta gráfica requirió un trabajo que incluyó diferentes áreas de la matemática, lo

cual le da un interés de estudio por su facilidad de análisis, pero a la vez, por su

profundidad de estudio.

Aspecto 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒏 (𝒙) (n es par)

𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒏+𝟏(𝒙) (n es impar)

Dominio ℝ ℝ

Rango [0,1] [-1,1]

Amplitud 1

2

1

Periodo 𝜋 2𝜋

Movimiento Horizontal y/o Vertical

- -

Paridad de la función Par, ya que 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

Impar, ya que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

|∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛(𝑥)𝜋

0

| ≅ 2,1797𝑛−0,458

Bibliografía Baldor, J. (2004). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. México: Publicaciones

Cultural.

Brinton Thomas, G., Weir, M. D., Hass, J., & Giordano, F. R. (2005). Cálculo: una variable.

Pearson.

Matemática Tuya. (s.f.). Matemática Tuya. Recuperado el 18 de Enero de 2015, de

http://matematicatuya.com/FUNCIONES/Paridad.pdf

Sullivan, M. J. (2006). Álgebra y Trigonometría. Séptima Edición. México: Pearson

Education.

Vitutor. (s.f.). Vitutor. Recuperado el 18 de Enero de 2015, de

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_trigonometricas2.html

Transformaciones en la gráfica de 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒏(𝒙)

Colegio Alemán- Deutsche Schule Barranquilla

19 de febrero del 2015