Inv de operaciones

INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROF.: FELIPE LILLO V. ING. CIVIL INDUSTRIAL

[email protected]

INVESTIGACION DE OPERACIONESPrograma del Curso

DESCRIPCION El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal, Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.

OBJETIVOS Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración.Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones.Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de procesos.Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.

METODOLOGÍA

Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema.Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.

INVESTIGACION DE OPERACIONESPrograma del Curso

CONTENIDOS.Introducción a la Investigación de OperacionesDefinición de I.O.Historia de la I.O.Campos de aplicación.

2.Formulación matemáticaMetodología para la generación de modelos.Formulaciones matemáticas típicas presentes en la P.L.

3.Programación LinealDefinición de P.L.Métodos de Resolución:Método gráficoMétodo algebraico (simplex)Análisis de sensibilidad.Problemas especiales de P.L:Problemas de transporteProblemas de asignación

4. Introducción a la SimulaciónDefinición de la simulaciónGuìa para proyectos de simulacìón.Simulacìón de Monte CarloModelos con incrementos de tiempo discretosModelos con incrementos de tiempo variable.

Softwares de Simulación

5.Teoría de InventariosModelos con demanda real conocida:Modelo General.Sistema de revisión continua.Sistemas de revisión periódica.

Nota Final = 0.25*P1+25*P2+0.2T+0.30*PGP1 / P2: Notas pruebas parcialesT: Promedio trabajos practicos.PG: Prueba global

FECHASPrueba 1: 02 de Octubre del 2003Prueba 2: 27 de Noviembre del 2003P. Global: 04 de Diciembre del 2003

BIBLIOGRAFIATitulo: “Investigación de Operaciones”Autor: Hamdy TahaEditorial: Prentice Hall / sexta edición.Año: 1998Titulo: “Administración de Operaciones”Autor: Roger SchroederEditorial: Mc Graw Hill. / 3ª edición / Año: 1999


Definición:

Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos

sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de

acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en

estudio.

• Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.

• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos procesos.

• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta.

• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.

Sistemas v/s Procesos


Entidadesque Entran

Entidadesque Salen

Reglas deOperación(Controles)

Sistema

Recursos

Actividades



• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo trabaja.

• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión de cómo el sistema se comporta.

ModelosModelos

INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos

Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:

•Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el tiempo.

•Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a través del tiempo.

•Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas maneras.

•Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible, construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).

•Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de ecuaciones).

•Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes. No se obtiene ninguna solución analítica.


•Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las variables intervinientes son continuas.

•Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las variables varían en forma discontinua.

•Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es única y siempre la misma.

•Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una distribución equiprobable dentro del intervalo).


•Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no

pertenecen al mismo tipo.

Por ejemplo:

•El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)

corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza

dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan

gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema

continuo por un modelo discreto.

Gotas


•La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <= x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el método de Monte Carlo, es igual a:

•En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema determinístico.


El azar en computadora es pseudo azar:

•Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una

distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos

estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema

real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo

puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.

•En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo

pseudoazar (determinístico).

INVESTIGACION DE OPERACIONESClasificación de los modelos según la I.O.

Modelo MatemáticoEs aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por ende tiene una solución optima.

Modelo de SimulaciónEs un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo entrega soluciones aproximadas.

Modelo HeurísticoEs una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada, dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.

INVESTIGACION DE OPERACIONESTópicos relacionados

•Análisis Estadístico

•Simulación

•Programación Lineal

•Sistema de Redes

•Líneas de Espera

•Problemas de Inventario

•Programación No - Lineal

•Programación Dinámica

•Programación Entera

•Teoría de Decisiones

•Teoría de Juegos

INVESTIGACION DE OPERACIONESEl Arte del Modelado

La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.•Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los

problemas.•Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la

creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.

INVESTIGACION DE OPERACIONESEtapas para puesta en práctica

1. Definición del problema:• Alternativas de decisión (vars. de decisión).• El objetivo de estudio (Función Objetivo).• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.

2. Construcción del modelo:• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión, la Función Objetivo y las restricciones.

3. Solución del modelo:• Uso de algoritmos de optimización.• Se encuentran los valores de las vars. decisión.

4. Validación del modelo:• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema estudiado?

5. Puesta en práctica:• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.

PROGRAMACIÓN LINEAL

FORM ULACION MATEM ATICA

M ETODO GRAFICO M ETODO ALGEBRAICO(SIM PLEX)

PROBLEM A GENERAL

PROBLEM AS DE TRANSPORTE PROBLEM AS DE ASIGNACIÓN

PROBLEM AS ESPECIALES

PROGRAM ACION LINEAL

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas optima posible.

Supuestos de la P.L.•Proporcionalidad•Aditividad•Divisibilidad•Certidumbre•Objetivo único•No negatividad

PROGRAMACIÓN LINEALConstrucción de modelos

PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOSUna compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y bobinas.Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de tiempo en empaque.Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque.Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la utilidad total.


Solución:

Formulación

Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar

Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}

Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar

X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}

Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}

Paso 3: Identificar las restricciones del modelo

R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.

R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.

R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.

R4) No Negatividad.


Paso 4: Construcción del modelo matemático

F.Objetivo

MAX { U = X + Y }

Sujeto a :

R1) X + 2Y 300

R2) 2X + Y 400

R3) X + 2Y 400

R4) X , Y 0


EJERCICIO PROPUESTO

El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que

pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria

de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear

procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por

radiografía son $4 para la máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas

radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?

Se pide:

Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y

las variables de decisión.


Solución:

Formulación


Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día}


X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día}

Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}


R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80.

R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100.

R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día.

R4) No Negatividad.



F.Objetivo

M IN { C = 4X + 3Y }

Sujeto a :

R1) X 80

R2) Y 100

R3) X + Y 150

R4) X , Y 0


PROBLEMA DE LA DIETA

La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.

El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes

composiciones.

Costo

US$/lb

Maíz 0.09 0.02 0.30Similla Soya 0.60 0.06 0.90

A. ganado FibraProteinas

libra componente por libra de alimento ganado


Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos

un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el

costo mínimo diario de la mezcla de alimento.

¿….?


Solución:

Formulación


Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}


X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}

Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}


R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día

R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%

R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.

R4) No Negatividad.



F.Objetivo

M IN { C = 0.3X + 0.9Y }

Sujeto a :

R1) X + Y 800

R2) 0.09X + 0.6Y 0.3(X + Y)

R3)0.02 X + 0.06Y 0.05(X + Y)

R4) X , Y 0


Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)

F.Objetivo

M IN { C = 0.3X + 0.9Y }

Sujeto a :

R1) X + Y 800

R2) 0.21X - 0.30Y 0

R3)0.03 X - 0.01Y 0

R4) X , Y 0


PROBLEMA DE TRANSPORTE

Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la

compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales.

Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se

conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se

conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es

determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes de manera que

minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de

transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades

embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70,

90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de

Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se

muestran en la tabla siguiente:


Se pide:

Formular como un PPL.

Planta1 2 3 4

1 19 30 50 102 70 30 40 603 40 8 70 20

Almacén


Paso 4.1: Construcción del modelo matemático

F.Objetivo

Min{C=19X11+70X21+40X31+30X12+30X22+8X32+50X13+40X23+70X33+10X14+60X24+20X34}

Sujeto a :

R1) X11+X12+X13+X14 70

R2) X21+X22+X23+X24 90

R3) X31+X32+X33+X34 180

R4) X11+X21+X31 50

R5) X12+X22+X32 80

R6) X13+X23+X33 70

R7) X14+X24+X34 140

R8) Xij 0 i , j

8

Modelo General de PL Definición de variables:

Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....nFunción objetivo:Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , ma11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn = b1a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn = b2

· .· .

ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn = bi· .· .

am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn = bm

Condiciones de signo para variables: toda xj 0m = # total de restricciones,n = # de variables de decisión (originales)

Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.

8

Métodos de Resolución Método GráficoEmpleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.

Método Algebraico (SIMPLEX)Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

8

Métodos de ResoluciónGRAFICO

Sujeto a:

R1)

R2)

R3)

10

Método de Resolución: Paso 1Gráficar las restricciones

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

A B

C0,0

FabX1 X20 1,000

1,666.7 0

AssyX1 X20 750

3,000 0

X1

R1

R2


Solución:

Formulación


Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes}


Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}

i = 1,2,3 / j = 1,2,3,4


R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70



R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50




R8) No Negatividad.

11

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

FabX1 X20 1,000

1,666.7 0

AssyX1 X20 750

3,000 0

R1

R2

Método de Resolución: Paso 1Gráficar las restricciones

11

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

FabX1 X20 1,000

1,666.7 0

AssyX1 X20 750

3,000 0

R1

R2

Método de Resolución: Paso 2Obtener la RSF

RSF

11

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Método de Resolución:

RSF

Premisa: el punto optimo siempre se encuentra en uno de los vértices de la RSF.

13

Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo: Alternativas

Alternativa 1Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que maximice (o minimice) dicha función.

Alternativa 2Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a la solución optima.

13

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Método de Resolución: Paso3 Encontrar el Punto Optimo(1)

Z=320.000

14

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

Optimal PointOptimal Point

Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (2)

15

1,000

2,000

3,000

1,000 2,000 3,000

X2

X1

A B

C0,0

El punto optimo (B) se encuentra en la intersección de las dos rectas

3X + 12X 9,000 Assy

3X + 5X 5,000 Fab

7X 4,000

X = 571.43, or 571 Multimax

X =5000 - 5(571)

3 715 Max

1 2

1 2

2

2

1

Método de Resolución: Paso 3 Encontrar el Punto Optimo (3)

16

RESULTADOSMax Z= 400X + 800 X

Z= 400(715) + 800 (571)

Z=$286,000+$456,800=

1 2

$742,800

X1=715X2=571 Z =742,800.

X1=715X2=571 Z =742,800.

8

Métodos de ResoluciónALGEBRAICO SIMPLEX

El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el

desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la

técnica matemática de programación lineal.

El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la

solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y

apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa

hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..

•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.

•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo

(vértice) del conjunto de soluciones factibles.

•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución

óptima del problema es finito.

8


Forma Estándar de un PPL

La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:

1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)

a.- Restricción menor o igual (≤)

Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar

su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del

recurso que excede al empleo que le dan las actividades.

Ej.

6X1 + 4X2 ≤ 24

F.e

6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)

h1 ≥ 0

8


b.- Restricción mayor o igual (≥)

Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de

especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa

el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho

( cuanto falta para cumplir con lo pedido).

Ej.

X1 + X2 ≥ 800

X1 + X2 - r1 = 800

r1 ≥ 0

Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:

F.E

X1 + X2 - r1 + t1 = 800

r1, t1 ≥ 0

t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)

8


d.- Restricción de igualdad (=)

Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.

Ej.

X1 + X2 = 800

X1 + X2 + t1 = 800

t1 ≥ 0

Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera

al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables

artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de

maximizar es ‘ M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.

8


2º Cambios de variables

a.- Variables no restringidas

Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.

Xi s.r.s

Cambio de variable

Xi = Ui – Vi

Ui …. Parte positiva de Xi

Vi …. Parte negativa de Xi

Ej.

X1 + X2 ≤ 24

X1 ≥ 0, X2 s.r.s

Luego X2 = U2 – V2

F.E.

X1 + U2 – V2 + h1 = 24

8


b.- Variables negativas

Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.

Xi ≤ 0

Cambio de variable

Yi = – Xi Donde Yi ≥ 0

Ej.

X1 + X2 ≤ 40

X1 ≥ 0, X2 ≤ 0

Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2

F.E.

X1 - Y2 + h1 = 40

8


3º Cambio en criterio de optimización

Muchas veces el objetivo no es maximizar.

MIN (Z)

Cambio de variable: Z* = -Z

MIN Z = MAX ( Z*)

Ej.

MIN [ Z = X1 + X2 ]

Z* = -Z

F.E

MAX [ Z* = -X1 – X2]

8


EJEMPLO

MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)

S/A

R1) X1+2X2+4X3 ≥ 30

R2) 5X1+5X2+3X3 = 40

R3) X1 + X2 + X3 ≤ 70

R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0

Cambios de variable:

Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2

8


Forma Estándar

Z* + 15 U1 - 15 V1 - 10 Y2 - 20 X3 + M t1 + M t2 = 0

U1 - V1 - 2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30

5 U1 - 5 V1 - 25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40

U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70

8


Forma Tabular

BASE Z U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1SOLUCION

z 1 15 -15 -10 -20 0 M M 0 0

t1 0 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30

t2 0 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40

h1 0 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70

8


Forma Tabular Especial

BASE U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1SOLUCION

z 15 -15 -10 -20 0 0 0 0 0

M 0 0 0 0 0 1 1 0 0

t1 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30

t2 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40

h1 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70

8

Métodos de ResoluciónALGEBRAICO

Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá

encontrar la (s) solución (es) del PPL.

Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas

entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen

como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:

C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no

básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen

arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la

F.O. de las variables básicas son positivos.

C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable

de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los

“lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.

8


Pasos del Simplex:

Paso 0 : determinar la solución factible inicial.

Paso 1 : seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.

Deténgase si no hay variable de entrada.

Paso 2 : seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.

Paso 3 : determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de

Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.

8


EJEMPLO

Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3

S/A

2x1 + x2 30

3x1 + 2x2 + x3 25

x2 + 2x3 20

x1 , x2 , x3 0

8



BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3SOLUCION

z -7 -4 -5 0 0 0 0

h1 2 1 0 1 0 0 30

h2 3 2 1 0 1 0 25

h3 0 1 2 0 0 1 20

8




z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón

h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2

h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3

h3 0 1 2 0 0 1 20 ___

8




z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón

h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2

h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3

h3 0 1 2 0 0 1 20 ___

PIVOTE

8


Gauss Jordan


z 0 2 0 0 7/3 4/3 85

h1 0 0 0 1 -2/3 1/3 20

X1 1 1/2 0 0 1/3 -1/6 5

h3 0 1/2 1 0 0 1/2 10

¡Optimo!

8


SOLUCIÓN

z 85

X1 5

X2 0

X3 0

h1 20

h2 0

h3 10

8

Métodos de ResoluciónDUAL SIMPLEX

Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto

provoca que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como

“Metodo Dual Simplex”, el cual funciona de la siguiente manera:

Condicion de Factibilidad:

La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas

negativo, si todas las variables basicas son no negativas el proceso

termina y se alcanza la solucion factible - optima.

Condicion de Optimalidad:

La variable entrante se escoge de la manera siguiente:

Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los

coeficientes de la fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes

positivos o ceros. La variable que entra es la que posee la razon mas

pequeña si el problema es de minimizacion. Si todos los denominadores

son cero o positivos el problema no tiene solucion factible.

8

EJEMPLO

MIN (Z = 2X1 + X2)

S/A

R1) 3X1+X2 ≥ 3

R2) 4X1+3X2 ≥ 6

R3) X1 + 2X2 ≤ 3

R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0

Forma Estándar:


8

Forma Estándar

Z + -2 X1 - X2 = 0

-3 X1 - X2 + r1 = -3

-4 X1 - 3 X2 + r2 = -6

X1 + 2 X2 + h1 = 3


8


BASE X1 X2 r1 r2 h1SOLUCION

z -2 -1 0 0 0 0

r1 -3 -1 1 0 0 -3

r2 -4 -3 0 1 0 -6

h1 1 2 0 0 1 3


8


z -2 -1 0 0 0 0

r1 -3 -1 1 0 0 -3

r2 -4 -3 0 1 0 -6

h1 1 2 0 0 1 3Sale mas negativa


8

RAZON 2/4 1/3 0 0 0


z -2 -1 0 0 0 0

r1 -3 -1 1 0 0 -3

r2 -4 -3 0 1 0 -6

h1 1 2 0 0 1 3


8

RAZON 2/4 1/3 0 0 0


z -2 -1 0 0 0 0

r1 -3 -1 1 0 0 -3

r2 -4 -3 0 1 0 -6

h1 1 2 0 0 1 3

Entra razon mas pequeña


8

Gauss Jordan


z -2/3 0 0 -1/3 0 2

r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

X2 4/3 1 0 -1/3 0 2

h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1


8


z -2/3 0 0 -1/3 0 2

r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

X2 4/3 1 0 -1/3 0 2

h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1


8

RAZON 2/5 0 0 1 0


z -2/3 0 0 -1/3 0 2

r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

X2 4/3 1 0 -1/3 0 2

h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1


8

RAZON 2/5 0 0 1 0


z -2/3 0 0 -1/3 0 2

r1 -5/3 0 1 -1/3 0 -1

X2 4/3 1 0 -1/3 0 2

h1 -5/3 0 0 2/3 1 -1

Pivote


8

Gauss Jordan

BASE X1 X2 R1 r2 h1SOLUCION

Z 0 0 -2/5 -1/5 0 12/5

X1 1 1 -3/5 1/5 0 3/5

X2 0 0 4/5 -3/5 0 6/5

h1 0 0 -1 1 1 0

Optimo – Factible!!!


8

Solución:BASE SOLUCION

Z 12/5

X1 3/5

X2 6/5

r1 0

r2 0

h1 0


8

Ejercicio Propuesto

MIN (Z = 5X1 + 4X2 + 8X3)

S/A

R1) X1+2X2+X3 ≥ 15

R2) 2X1+X2+X3 ≥ 10

R3) X1 + X2 +X3 ≤ 20

R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0; X3 ≥ 0


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