SOLUCION GRÁFICA

Introducción

Utilizaremos algunos conceptos fundamentales de la Teoría General de los Conjuntos Convexos para interpretar geométricamente la solución de los modelos de Programación Lineal. La solución en forma gráfica se obtiene representando en un plano cartesiano las restricciones tecnológicas y la función objetivo. La forma más conocida del método consiste en asociar los ejes coordenados a las variables de decisión o actividades del problema, dando lugar al llamado método gráfico en actividades; pero hay otro enfoque conocido como método gráfico en recursos en el cual se asocian los ejes a las restricciones o recursos del problema.

Debe quedar claro que la representación gráfica del modelo no es el método general utilizado para resolver problemas reales de programación lineal, los cuales tienen muchas variables y muchas restricciones, ya que no podemos dibujar en más de tres dimensiones,

En consecuencia, el método gráfico en actividades está limitado a la solución de problemas que tengan un máximo de tres variables (actividades), y cualquier número de restricciones. De la misma manera el método gráfico en recursos sólo puede utilizarse para solucionar modelos con cualquier cantidad de actividades, pero con un máximo de tres restricciones (“recursos”).

No obstante sus limitaciones, estudiaremos el método gráfico en actividades, ya que tiene una gran utilidad didáctica. Para mayor facilidad en los análisis, resolveremos problemas que contienen solo dos actividades alternativas, lo cual nos permitirá trabajar en el plano, en lugar de hacerlo en el espacio. Este capitulo nos servirá para comprender los fundamentos conceptuales de los métodos analíticos utilizados para la solución de los problemas de programación lineal y para identificar geométricamente los diferentes tipos de solución que podemos obtener.

El método gráfico en actividades

Este análisis gráfico nos permite intuir uno de los teoremas fundamentales de la P.L., llamado teorema del punto extremo – solución óptima. Igualmente descubriremos la esencia del método simplex, que es el algoritmo mas utilizado para obtener la solución analítica de los problemas de P.L.

En forma suscinta, el algoritmo del método gráfico en actividades es el siguiente.

1. Dibujar un plano coordenado y asociar un eje a cada variable del modelo.2. Representar en el plano las restricciones tecnológicas.3. Identificar gráficamente el conjunto de soluciones factibles (región de factibilidad).4. Representar en el plano la función objetivo.5. Identificar gráficamente la solución óptima.

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Para aprender el uso del algoritmo, se hallará la solución del siguiente problema sencillo de mezcla productiva, cuyo modelo consta de dos variables y tres restricciones:

Problema ejemplo No 1: Un problema de maximización

La empresa Calzado Montoya produce zapatos para dama y para caballero, mediante un proceso que se compone de tres actividades. Algunos datos importantes del proceso son:

ActividadTiempo

(minutos / unidad)Disponible

(minutos / día)Dama Caballero

Formado de la suelaCorte del cuero

Ensamble

446

832

800600600

Utilidad neta($/unidad) 10 6

Elabore y resuelva el modelo de programación lineal que permite determinar el número de unidades de cada producto que deben fabricarse para maximizar la utilidad neta total.

El problema tiene el siguiente modelo de P.L.:

Maximizar: Z = 10 X1 + 6 X2 Utilidad

Sujeto a: 4 X1 + 8 X2 ¿ 800 (1) Tiempo de Formado (min/día) 4 X1 + 3 X2 ¿ 600 (2) Tiempo de Corte “ 6 X1 + 2 X2 ¿ 600 (3) Tiempo de Ensamble “ con X1, X2 ¿ 0 condición de no negatividad

En donde X1 y X2 son el número de pares a fabricar cada día, de los artículos zapato para dama y zapato para caballero respectivamente. La primera restricción se refiere al máximo de minutos que se pueden usar diariamente en la operación de formado, la segunda al máximo en la operación de corte y la tercera al máximo en la operación de ensamble.

Solución del modelo

Paso 1: Dibujamos el plano coordenado y asignamos, arbitrariamente, el eje horizontal a la variable X1 y el eje vertical a la variable X2. ( figura 3.1)

Recordar que una ecuación del tipo aX1 + bX2 = c

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(o equivalentemente de la forma X2 = -

ab X1 +

cb ), corresponde a una línea recta,

mientras que una inecuación del tipo aX1 + bX2 ¿ c, o del tipo aX1 + bX2 ¿ c, corresponde a un semiplano cuya frontera es la correspondiente recta aX1 + bX2 = c.

Veamos cómo se grafican las restricciones tecnológicas de nuestro modelo.

Para determinar el semiplano indicado por la restricción de formado, se grafica primero la recta 4X1 + 8X2 = 800.

El trazado de la recta se realiza en forma fácil determinando los intersectos con los ejes, para lo cual se asigna alternadamente el valor cero a una variable, despejando el valor para la otra.

Para nuestra ecuación quedaría:

Si X1 = 0 entonces X2 = 800/8 = 100 (punto B que es el intersecto con el eje X2)Si X2 = 0 entonces X1 = 800/4 = 200 (punto A que es el intersecto con el eje X1)

Procedemos luego a trazar la recta que pasa por estos dos puntos (figura 3.2).

Para definir el semiplano indicado por la inecuación, se efectúa un sencillo chequeo, consistente en verificar si el origen forma parte del semiplano.

En caso afirmativo, deducimos que el semiplano indicado por la inecuación es aquel que contiene el origen e indicamos el hecho, mediante unas flechas que parten de la recta frontera del semiplano y apuntan hacia el origen. En caso negativo, las flechas tendrán la orientación contraria, indicando que el semiplano no contiene al origen.

Reemplazando el punto (X1, X2) = (0,0) en la inecuación se obtiene: 4(0) + 8(0) = 0 < 800; indicando así que el punto (0,0) hace parte del semiplano. Por lo tanto la región de todos los puntos que cumplen la restricción 4X1 + 8X2 ¿ 800; es el triángulo OAB que aparece rayado en la figura 3.2. (¿Sabe porque se toman únicamente los puntos del primer cuadrante?)

Para determinar el semiplano correspondiente a la restricción de corte : 4X1 + 3X2 ¿ 600 , se procede de forma similar, así:

Cuando X1 = 0 entonces X2 = 200 punto ECuando X2 = 0 entonces X1 = 150 punto CChequeando con el punto (0,0) hallamos que: 4(0) + 3(0) = 0¿ 600 lo cual indica que el semiplano correspondiente es el indicado por las flechas de la figura 3.3. La frontera de este semiplano es la recta que pasa por los intersectos previamente determinados.

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Recuérdese que los valores de X1 y X2 deben cumplir simultáneamente todas las restricciones, por lo cual se deben considerar en conjunto las restricciones de formado y de corte. En la figura resultante, se observa que los puntos que satisfacen ambas condiciones son los que corresponden a la intersección de los dos semiplanos, la cual es el polígono OCDB rayado en la figura 3.3. Como puede observarse, la restricción del tiempo en el ensamble, tiene como frontera la recta 6X1 + 2X2 = 600, cuyos intersectos son los puntos I (0,300) y F (100,0), generando un semiplano que incluye el origen, puesto que el punto (0,0) cumple la desigualdad.

En la figura 3.4, se adiciona la tercera restricción a la figura 3.3, con lo cual se deduce que la región de puntos que cumplen simultáneamente las tres restricciones y la condición de no negatividad, es el polígono OFGB rayado. Esta área que como discutiremos luego siempre es un polígono convexo, se llamará polígono de factibilidad o región de soluciones factibles.

Determinando la solución optima

El polígono de factibilidad consta de infinitos puntos, lo cual significa que el modelo tiene un número infinito de soluciones factibles. Entre todas ellas estamos interesados en conocer cual es la que conduce al máximo valor de la función Z = 10X1 + 6X2. Naturalmente para determinar la solución óptima no podemos calcular el valor de la función objetivo en cada uno del infinito número de soluciones posibles.

¿Qué haremos entonces?

Representemos gráficamente la función del objetivo, para que descubramos algunas características importantes que permiten determinar la solución óptima sin realizar una evaluación exhaustiva de las soluciones factibles.

Si en la función Z = 10X1 + 6X2, suponemos un valor para Z, la recta queda completamente definida al hallar los intersectos en forma similar a la utilizada para dibujar las restricciones tecnológicas.

Para comodidad en los cálculos podemos escoger para Z un valor que sea múltiplo entero de los coeficientes de X1 y X2 y que además arroje para los intersectos valores comprendidos en el rango utilizado por las restricciones tecnológicas, con lo cual la recta particular de la función objetivo quedará sobre la región de factibilidad previamente determinada.Supongamos el valor Z = 600, con lo cual la ecuación queda: 600 = 10X1 + 6X2, y sus intersectos son los puntos (0,100) y (60,0).

Si graficamos la recta sobre la figura 3.4, obtenemos la figura 3.5. Aquí observamos que cualquier punto sobre la recta Z = 600 10 X1 + 6 X2, que pertenezca a la región factible, es

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una solución posible del modelo que corresponde a un valor de 600 para la función del objetivo.

Por contener puntos que conducen a igual valor de la función objetivo, esta recta se conoce como Isocuanta o recta de isovalores (en este caso isoutilidades).Pero la recta correspondiente a Z = 600 no es la única que puede dibujarse, ya que es posible trazar innumerable rectas, asignando diferentes valores a Z. Como en este problema en particular estamos buscando la solución que maximice el valor de la función objetivo, examinemos la recta que corresponderá a un valor de Z mayor que 600. Por ejemplo, tomemos Z = 900.

Calculando los intersectos para la recta Z = 900 = 10X1 + 6X2, obtenemos los puntos (0,150) y (90,0). La recta resultante se dibujó también en la 3.5. Todos los puntos sobre ella que además pertenezcan a la región de factibilidad, son soluciones factibles del modelo, que implican un valor de 900 para la función objetivo.

Observemos en la misma figura que la recta de Z = 900 está mas arriba que la de Z = 600 y es paralela a ella. Si dibujáramos, por ejemplo la Isocuanta de Z = 1500, encontraríamos que también es paralela a las isocuantas anteriores y que está aún más arriba; en cambio la isocuanta Z = 300 aparecería por debajo de la Z = 600, siendo igualmente paralela a las otras rectas.

Este conocimiento nos permite concluir que la recta genérica Z = 10X1 + 6X2, corresponde a una familia de rectas paralelas isocuantas y que si logramos determinar en qué dirección debe moverse para que la función objetivo se haga cada vez mejor(mayor para un problema de maximización o menor para un problema de minimización), basta con mover una isocuanta en la “dirección de mejoría” en forma paralela a sí misma, para encontrar rectas cuyos puntos representen valores cada vez mejores para la función objetivo, hasta encontrar el que corresponda al valor máximo o al valor mínimo factible.

En nuestro problema concluimos que moviendo aun más la isocuanta hacia arriba, en forma paralela, obtenemos valores cada vez mayores. Pero el movimiento hacia arriba no es ilimitado, pues llegará un punto a partir del cual nos salgamos de la región de factibilidad.Efectivamente, como se puede observar en la recta de Z = 1500 en la figura 3.5, todos los puntos pertenecientes a la recta están por fuera de la región de factibilidad. Estos puntos representan entonces soluciones infactibles, por lo cual no los consideraremos como alternativas para determinar la solución óptima.

Debemos encontrar una isocuanta que toque por “última vez” la región factible. Esta es la recta que pasa por el punto G del polígono de factibilidad OFGB. Cualquier isocuanta que esté por debajo de ella, contiene soluciones factibles pero con valores de Z menores, mientras que cualquier isocuanta, por encima de ella, representa soluciones con mayor valor de Z, pero que son infactibles.

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De esta manera hemos encontrado que la solución óptima del modelo, se halla en el vértice G del polígono de factibilidad. Para conocer las coordenadas del punto G, se resuelven simultáneamente las ecuaciones de las dos rectas que pasan por ese punto. Estas son las rectas de troquelado y de esmaltado. Veamos:

4X1 + 8X2 = 800 (1) + -24X1 - 8X2 = -2400 -4 x (2)

-20X1 = -1600 (3)

de (3) se concluye que X1 = 80 y de (2) que X2 = (600 – 6(80))/2 ó sea X2 = 60

Entonces el punto G(80,60) es el punto óptimo de la región factible, por ser el punto que da el mayor valor de la función objetivo.Ese valor se calcula reemplazando los valores X1= 80 y X2 = 60 en la función objetivo, así:

Z = 10(80) + 6(60) = 1160

Vectorialmente escribiremos la solución óptima en la siguiente forma:

X1* 80 X* = = ; Z* = 1160 X2* 60

El asterisco como superíndice se usa para denotar optimalidad.

Debe tenerse en cuenta que la solución óptima esta indicada por el vector de valores de las variables de decisión, mientras el valor de Z* es la medida de eficiencia de esa solución.

Interpretación de la solución óptima

Como se recuerda, el modelo para el cual acabamos de obtener la solución óptima, se refiere a la “mezcla de producción” de dos artículos que se fabrican mediante tres procesos: formado, corte y ensamble. Para la construcción del modelo, definimos dos variables que cuantificaran las unidades de cada tipo del artículo que se debían elaborar.

Por lo tanto se interpreta la solución obtenida, diciendo que con las utilidades unitarias dadas y considerando las limitaciones en los recursos, la mejor combinación de actividades es producir 80 pares de zapatos para dama y 60 pares de zapatos para caballero, obteniendo de esta manera una utilidad total de 1160 pesos, que es la máxima posible.

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Holguras (slack)

Pero nos hace falta un análisis importante, que se refiere a la contabilidad del uso de los recursos en la situación prescrita por la solución óptima. Efectivamente, si reemplazamos los valores de las variables en cada una de las restricciones, nos daremos cuenta de cómo se está “consumiendo” el recurso al que se refiere la restricción; si total o parcialmente.

En nuestro problema, los recursos se consumen en la siguiente forma:

Formado: La restricción es 4X1 + 8X2 ¿ 800 minutos/día . Como 4(80) + 8(60) = 800 concluimos que se está consumiendo todo el recurso disponible.

Corte: La restricción es 4X1 + 3X2 ¿ 600 minutos/día. Como 4(80) + 3(60) = 500, notamos que sólo se consumirían 500 minutos en la operación de corte, la cual tiene capacidad para 600 minutos. De esta forma, conocemos que en la situación óptima, tendríamos un sobrante o capacidad no utilizada de 100 minutos en la operación de corte. Esta cantidad es una “holgura” en el recurso, la cual está ociosa, mientras no dispongamos de cantidades adicionales de los otros recursos, que sí estén agotados, lo cual nos permitirá producir más artículos.

Ensamble: La restricción es 6X1 + 2X2 ¿ 600 minutos/día. Se obtiene que 6(80) + 2(60) = 600; o sea que en el óptimo también estaríamos consumiendo totalmente los minutos de la operación de ensamble.

Hemos identificado de esta manera una información adicional muy importante: Hay dos recursos que se están utilizando totalmente, mientras en el otro hay un sobrante. Discutiremos un poco más adelante, cómo aquellos recursos que se agotan en la situación óptima, juegan un papel de gran importancia en el análisis económico de la solución, ya que adquirir unidades adicionales de ellos nos permitirá aumentar el valor de la función objetivo en cierta cantidad que llamaremos utilidad marginal (diferente para cada recurso).

Basta decir por ahora que las limitaciones del tiempo de formado y ensamble son las que norman o definen el punto óptimo, siendo por lo tanto restricciones de gran importancia en el modelo. Como se dijo antes, si pudiéramos disponer de más tiempo en alguna o en todas esas operaciones, utilizaríamos la holgura del corte, con lo cual obtendríamos más utilidad, como fruto del aumento en el número de artículos producidos.

Restricciones activas y pasivasCuando una restricción realmente "restringe" o sea que el recurso se consume totalmente en el punto óptimo, se denomina restricción activa. Aquella restricción que no restringe, pues hay holgura u ocio en el recurso correspondiente, se conoce como restricción pasiva.

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Para nuestro ejemplo encontramos ya que las restricciones de formado y ensamble son activas, mientras la de corte es pasiva. En forma gráfica podemos identificar a las restricciones activas como aquellas que pasan por el punto óptimo y a las pasivas como aquellas que no pasan por el óptimo.

Las restricciones pasivas pueden ser: necesarias o redundantes.Geométricamente identificamos a las restricciones pasivas necesarias, como aquellas que aunque no forman el punto óptimo sí forman alguno de los lados del polígono de factibilidad.Las pasivas redundantes no forman parte de la región de factibilidad, lo cual indica que no serian necesarias en el modelo del problema, motivo por el cual podrían eliminarse. La redundancia puede ser de tipo geométrico o de tipo analítico. Una restricción pasiva es redundante geométricamente cuando no toca la región factible, estando alejada de ella, lo cual equivale a tener siempre una holgura asociada. En cambio la restricción pasiva redundante analíticamente es aquella que toca el polígono en uno de sus vértices, indicando esto que la restricción se puede expresar como una combinación lineal de otras restricciones del modelo.

Obsérvese que la determinación de una restricción como activa o pasiva se hace en referencia a la solución óptima, mientras que el criterio para decir si es necesaria o redundante es la consideración de toda la región factible. Cuando estemos estudiando los métodos analíticos de solución de los métodos de P.L., aprenderemos a identificar las restricciones redundantes y decidir cuando pueden eliminarse.

Ejemplo de clasificación de las restricciones:

Consideremos el siguiente modelo de P.L.:

Max: Z = 30X1 + 20X2

Sujeta a: 3X1 + 4X2 ¿ 18 (1) -4X1 + 2X2 ¿ 4 (2) 3X1 - 2X2 ¿ 6 (3) 8X1+3X2 ¿ 24 (4) - 10X1 + 10X2 ¿ 25 (5)

-1X1 + 2X2 ¿ 8-14X1 +12X2 ¿ 29

con X1, X2 ¿ 0

En la figura 3.6 aparece su solución gráfica. El punto óptimo se halla en el vértice B, en el cual, se cortan las rectas de las restricciones (1) y (4):

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X1* 1.83 X* = = ; Z* = 117.39 X2* 3.13

Figura 3.6

La grafica muestra que las restricciones (1) y (4) son activas y las demás pasivas. Pero las restriccines (2), (3) y (5) son pasivas necesarias, mientras la (6) y la (7) son pasivas redundantes, siendo redundante geométricamente la número (6) y analíticamente la número (7).

Efectivamente, se puede obtener la restricción (7), sumando las restricciones (2) y (5).

Problema ejemplo No 2: Un problema de minimización

Con el fin de que conozcamos otros aspectos del método gráfico, vamos a resolver enseguida un modelo cuyo objetivo es minimizar el valor de la función Consideremos el siguiente modelo:

Minimizar: Z = -4X1 - 2X2

s.a. -1X1 + 1X2 ¿ 10 (1) 6X1 +10X2 ¿ 120 (2) 3X1 - 5X2 ¿ 30 (3)

con X1, X2 ¿ 0

La solución gráfica aparece en la figura 3.7, construida tomando nuevamente a X1 en el eje horizontal y X2 en el eje vertical. Los intersectos de las restricciones y de la función objetivo, se han registrado en las dos tablas siguientes:

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Rest (1) (2) (3)X1 0 -10 0 20 0 10X2 10 0 12 0 -6 0Intersectos de las restricciones

Z -12 -24X1 0 3 0 6X2 6 0 12 0Intersectos de la función objetivo

Se nota que el semiplano correspondiente a la tercera restricción es el que está por encima de ella, a pesar de que esta es del tipo menor o igual. Lo anterior nos aclara la creencia errónea de que el semiplano generado por una restricción del tipo menor o igual es el que está por debajo de la recta y el generado por una restricción del tipo mayor o igual es el que se halla por encima de la recta. El criterio que siempre usaremos (excepto en una recta que pase por el origen) es el de chequear si el origen pertenece o no al semiplano.

Observamos que la región factible es el polígono OABCD formado por las tres rectas y los dos ejes.

Para determinar el punto óptimo, trazamos la isocuanta para Z = -12 y luego para Z = -24, encontrando que la segunda está más arriba que la primera. Como se desea hallar el mínimo valor de Z, debemos movernos hacia la derecha, hasta que la isocuanta se salga de la región factible. Esto ocurre en el vértice B del polígono, en el cual estará el mínimo valor para la función del objetivo. Debe tenerse en cuenta que el movimiento de la isocuanta no siempre es hacia abajo para minimización y hacia arriba para maximización, ya que ello depende del análisis correspondiente a la dirección de mejoría de la función objetivo.

EL TEOREMA DEL PUNTO EXTREMO-SOLUCIÓN ÓPTIMA

Habíamos mencionado que el principal objetivo al estudiar el método gráfico en actividades, era la facilidad que nos ofrece para conocer intuitivamente dos de los temas claves de la P.L., que son: el teorema del punto extremo-solución óptima y el método simplex.

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Como hemos podido observar en los dos ejemplos resueltos, la región de soluciones posibles de un modelo con dos variables es un polígono, mas exactamente un polígono convexo. Puede demostrarse (acá lo hemos comprobado con dos ejemplos particulares), que lo anterior es una característica general para los problemas de P.L. En efecto, la región de factibilidad de todo problema de P.L., en más de dos dimensiones, es un poliedro convexo. Mas adelante veremos que, como casos especiales, algunos problemas presentan regiones de factibilidad no acotadas en algún sentido y otros tienen conjunto vacío de soluciones posibles

Cada vértice del polígono (o poliedro) de factibilidad se llama punto extremo y los puntos que pertenecen a las líneas que forman los lados se conocen como puntos frontera. Dos puntos extremo son adyacentes si la recta que los une es una frontera o lado del espacio de soluciones.

Hemos observado también en los dos ejemplos considerados, que la solución óptima se encuentra en uno de los puntos extremo. Es lógico que así fuera, puesto que el movimiento de la isocuanta en la dirección de mejoría, se efectúa lo máximo posible hasta que toque un último punto de la región factible; y ese punto deberá ser un vértice. Sin embargo, en algunas ocasiones lo último que se toca no es un punto, sino toda una recta o lado del polígono, situación que analizaremos en forma detallada más adelante (Piense en cuales situaciones se presenta esto).

Apoyados en los conceptos descritos y en el conocimiento adquirido al solucionar los dos problemas, podemos ya formular el siguiente teorema, cuya demostración presentaremos en el apéndice.

Teorema: Si un problema de P.L. tiene solución óptima, esta se encuentra en uno de los puntos extremo o en una de las líneas que una dos puntos extremo adyacentes de la región de factibilidad.

Podemos utilizar este teorema para determinar la solución óptima del modelo de los dos problemas previamente resueltos. Para ello, calculamos las coordenadas de todos los puntos extremo y su respectivo valor de Z, comparando estos valores para determinar el valor óptimo y la correspondiente solución óptima.

Para el primer problema, tabulamos enseguida los puntos extremo de la región de factibilidad y su correspondiente valor de la función objetivo. Las coordenadas se obtienen resolviendo simultáneamente las ecuaciones de las rectas que forman el punto.

Punto extremo Coordenadas(solución factible)

Valor de la función objetivo

OF

(0,0)(100,0)

01000

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G*B

(80,60)(0,100)

1160600

Verificamos que efectivamente el máximo valor de la función objetivo se obtiene en el punto G(80,60).

De la misma manera, podemos listar los puntos extremo de la región de factibilidad del problema de minimización, en donde también verificamos que la solución óptima es la dada por el vértice B, cuyas coordenadas son (3,1)

Punto extremo Coordenadas (solución factible)

Valor de la función objetivo

OAB*CD

(0,0)(10,0)(15,3)(1.25,11.25)(0,10)

0-40-66-27.5-20

Como lo pudimos comprobar, este teorema nos permite obtener la solución óptima de un problema de P.L., de una manera relativamente rápida y sencilla, puesto que en lugar de estudiar el infinito número de soluciones posibles, basta con buscarla entre el número finito de puntos extremo.

En la discusión efectuada hasta el momento hemos listado todos los puntos extremo y los hemos comparado para determinar el óptimo. En capítulos siguientes conoceremos el algoritmo del método símplex, en el cual no es necesario evaluar todos los puntos extremo pues el algoritmo es un proceso repetitivo que va comparando un punto extremo únicamente con sus adyacentes para determinar cual de los dos conduce a un mejor valor de la función objetivo. El que resulte con mejor valor se toma como el punto extremo de referencia para comparar de nuevo con sus adyacentes. El proceso se inicia tomando cierto punto extremo como solución inicial mejor y efectuando repetidamente como se acaba de decir, la comparación del mejor punto hasta el momento con sus puntos extremos adyacentes, hasta el momento en que no sea posible hallar un punto que tenga mejor valor de la función objetivo, que el obtenido con el punto actual. En este punto que no puede mejorarse se halla la solución óptima del modelo.

TIPO DE LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL

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Como se dijo al iniciar el tema del método gráfico, una de sus ventajas es la de permitirnos conocer en forma sencilla, los diferentes tipos de solución que podemos encontrar al resolver un modelo de programación lineal.

Aprenderemos a reconocer cuándo la solución de un modelo es de alguno de los posibles tipos que pueden presentarse, a saber : óptima única, óptima múltiple, óptima infinita o ilimitada, infactible , inexistente.

1. Solución óptima única:

Una solución es óptima única, cuando tanto las variables como la función del objetivo toman valores finitos, existiendo una sola combinación de valores de las variables que optimiza el valor de la función objetivo.

Los dos modelos resueltos en este capítulo tienen solución óptima única. Este es el tipo de solución que generalmente se presenta en los problemas reales de Programación Lineal.

El siguiente modelo tiene solución óptima única:

Maximizar: Z = 3X1 + 4X2

Sujeta a: 4X1 + 2X2 ¿ 4 (1) 1X1 + 3X2 ¿ 9 (2) 7X1 + 2X2 ¿ 28 (3)

con X1, X2 ¿ 0

figura 3.8

(1) (2) (3)X1 0 1 0 9 0 4X2 2 0 3 0 14 0

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La solución gráfica del modelo aparece en la figura 3.8, en donde, se ha determinado que C es el punto óptimo, mediante la enumeración y comparación de los puntos extremo. Nótese también que la recta genérica de la función objetivo se desplaza hasta tocar como último punto al punto óptimo C.

Punto Coordenadas (X1,X2) Función objetivoABC*DE

(1,0)(4,0)(3.47,1.84)(0,3)(0,2)

31217.8128

Puntos extremo

2. Solución óptima múltiple:

Cuando al mover la isocuanta en su dirección de mejoría, su ultimo contacto con la región de factibilidad no es un punto, sino toda una línea, ó sea uno de los lados del polígono (poliedro); entonces todos los puntos que están sobre la recta son soluciones optimas del modelo. Como una recta tiene un numero infinito de puntos, hemos encontrado un numero infinito de soluciones optimas equivalentes. De otra manera se dice que el modelo tiene soluciones óptimas alternativas

La solución óptima múltiple no es tan frecuente en la práctica como la solución optima única. Si realmente encontramos este tipo de solución, tendríamos una gran flexibilidad para tomar la decisión, puesto que con diferentes valores de las variables, podemos obtener el mismo valor de la función objetivo, pudiendo de esta manera “escoger la solución” que más nos convenga en un momento determinado, en consideración a otros factores no cualitativos del problema.

Como ilustración, consideremos el siguiente modelo:

Maximizar: Z = 14X1 + 6X2

s.a. 3X1 + 5X2 ¿ 15 (1) 8X1 - 12X2 ¿ 12 (2) 7X1 + 3X2 ¿ 14 (3)

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con X1, X2 ¿ 0

como se observa en la grafica, al desplazar la isocuanta, el último contacto con la región factible es la recta BC. Esto indica que la solución óptima es múltiple ya que todos los puntos sobre la recta dan el mismo valor de la función objetivo, que es el máximo posible. Nótese que igualmente al elaborar la tabla de los puntos extremo, hallamos que los puntos adyacentes B y C presentan el mismo valor de la función objetivo.

Figura 3.9

(1) (2) (3)X1 0 5 0 1.5 0 2X2 3 0 -1 0 4.66 0

Punto Coordenadas (X1,X2) Función objetivoOAB*C*D

(0,0)(1.5,0)(1.89,0.26)

(0,3)

02128*

18Puntos extremos

Vectorialmente podemos demostrar que cualquier combinación lineal convexa de los puntos B y C, será un punto de la recta BC y representará también una solución óptima. El número infinito de soluciones óptimas se expresa como:

X1* 8 6 X* = = α + (1-α ) ; Z* = 60 X2* 3 6

Con 0 ¿ α ¿ 1

Adviértase que la función objetivo es paralela a la primera restricción. Efectivamente, una condición necesaria, pero no suficiente para que se presente solución optima posible, es que

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la función objetivo sea paralela a una de las restricciones o a una combinación lineal de las mismas.

3. Solución ilimitada:

Se presenta solución ilimitadamente óptima, o simplemente solución ilimitada, cuando una o más variables y la función objetivo toman un valor ilimitado, cumpliendo con las restricciones estructurales. Cuando se obtiene solución ilimitada, es debido a una de las siguientes causas:

a. Omisión de una o más restricciones.b. Fallas en la formulación.c. Errores en el valor de los parámetros.

De manera que ningún problema real de programación lineal tiene este tipo de solución y cuando se presenta es porque se ha cometido alguno de los errores descritos.

Consideremos el siguiente modelo:

Maximizar: Z = 10X1 + 5X2

s.a. -3X1 + 4X2 ¿ 12 (1) X1 - 2X2 ¿ 2 (2) X1 + 2X2 ¿ 8 (3)

con X1, X2 ¿ 0

Cuya gráfica aparece en la figura.

Nótese que la grafica de la región factible es abierta por encima, y como la dirección de mejoría de la función objetivo es hacia arriba, se concluye que esta crecerá indefinidamente, pues no encuentra un tope en su crecimiento. De esta manera, las variables X1 y X2, así como la función objetivo tendrán un valor infinito.

Figura 3.10

(1) (2) (3) (4)X1 0 2 0 -2/3 0 -3 0 2X2 2 0 2 0 3 0 -2 0

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La existencia de una región ilimitada es condición necesaria pero no suficiente para que tengamos solución ilimitada, ya que la dirección de mejoría de la función objetivo puede ser en el sentido contrario a aquel en donde esta abierta la región de factibilidad.

4. Solución infactible:

Consideremos el siguiente modelo:

Maximizar: Z = 2X1 + 3 X2

s.a. 1X1 - 4X2 ¿ 4 (1) 1X1 - 1 X2 ¿ 3 (2) 1X1 + 1 X2 ¿ 1 (3) con X1, X2 ¿ 0

En la grafica observamos que la región de puntos que cumplen todas las restricciones no cumplen la condición de no negatividad de las variables. En este caso se puede decir que el modelo tiene solución matemática, pero no tiene una solución real ya que los puntos que cumplen las restricciones, tienen una o más componentes negativas. Figura 3.11

(1) (2) (3)X1 0 -1 0 -4 0 3X2 -1 0 -2 0 -4 0

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Se dice que un problema de programación lineal tiene solución infactible, cuando no pueden encontrarse soluciones que además de cumplir con las restricciones estructurales, cumplan con la condición de no negatividad de las variables. Geométricamente, esto implica que la región de los puntos que cumplen todas las restricciones se halla fuera del primer cuadrante (primer ortante para más de dos dimensiones).

Al igual que la solución ilimitada, no es normal que un problema real de P.L., tenga este tipo de solución. Su aparición se debe a errores tales como:

a. Hay restricciones en conflicto, ó sea que ellas no pueden satisfacerse simultáneamente.

b. Fallas en la modelación.

c. Errores en los valores de los parámetros.

5. Inexistencia de una solución:

La última situación que puede presentarse, durante la solución de un problema, es que este no tenga ninguna solución. Se presenta el caso cuando no pueden hallarse puntos que cumplan las restricciones tecnológicas.

Cuando se tiene esta solución, puede ser debido a alguna de las siguientes causas:

a. Fallas en la formulación.b. Errores en los parámetros.c. Hay restricciones en conflicto.

Consideremos el siguiente modelo:

Maximizar: Z = 4X1 + 7X2

s.a. -2X1 + 3X2 ¿ 6 (1) 3X1 + 2X2 ¿ 9 (2) -5X1 + 1X2 ¿ 5 (3)

con X1, X2 ¿ 0

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Su representación se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.12

(1) (2) (3)X1 0 2 0 4 0 1X2 2 0 4 0 -1 0

Se observa que la región de factibilidad es un espacio vacío, pues ningún punto cumple simultáneamente con las restricciones estructurales.

A veces se denomina tanto a la solución infactible como a la inexistente con el nombre genérico de solución inconsistente. Cuando estudiemos los métodos analíticos para solucionar el problema de P.L., aprenderemos como identificar a cada uno de estos tipos de solución, y enfatizaremos algunas diferencias conceptuales entre ellos.

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