Universidad Nacional Experimental

“Antonio José de Sucre”

Vicerrectorado Puerto Ordaz

Departamento de Ingeniería Industrial

Investigación de Operaciones I

Prof.: Alumnos:

Jairo Pico Aguilarte Yulan

Dehomar Flores

Eliannys Maurera

Gabriela Millán

CIUDAD GUAYANA, JULIO DEL 2012.

UNEXPO

INTRODUCCION

La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta, es decir, también se tiene una función objetivo que optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programación lineal, para obtener la solución puede aplicarse el MÉTODO SIMPLEX modificado solo para tomar en cuenta las prioridades.

La Investigación de Operaciones aspira determinar la mejor solución (optima) para un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. En la Investigación de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten tomar una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la necesidad.

Los modelos de programación lineal se basan en la optimización de una sola función objetivo. Hay casos en donde lo más adecuado es tener varios objetivos (posiblemente opuestos).

Veremos la técnica de programación de metas, para resolver modelos con varios objetivos. La idea principal es convertir los diversos objetivos originales en una sola meta. El modelo resultante produce lo que se suele llamar solución eficiente, porque podrá no ser óptima con respecto a todos los objetivos.

También veremos programación entera, se han creado varios algoritmos y ninguno de ellos totalmente confiable desde el punto de vista del cálculo; sobre todo cuando el número de entero se incrementa. Un medio viable para resolver es hacerlo como un problema lineal continuo y luego redondear la solución optima a los valores enteros factibles más cercanos.

PROGRAMACIÓN DE METAS.

La formulación de un modelo de Programación de Metas es similar al modelo de Programación Lineal. El Primer paso es definir las variables de decisión, después se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Así, una característica de la Programación de Metas es que proporciona solución para los problemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración.

La Programación de Metas es capaz de manejar problemas de decisión con una sola meta o con metas múltiples. En tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de decisiones son logradas únicamente con el sacrificio de otras metas.

La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples.

Las características que distinguen la programación de metas es que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, las metas que deben clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas secuencialmente por el algoritmo de solución. Las metas con prioridad baja se consideran solamente después de que las metas de prioridad alta se han cumplido. La Programación meta es un proceso de satisfacción, en el sentido de que el tomador de decisiones tratará de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado posible para un solo objetivo.

En la programación de Metas, en vez de intentar minimizar o maximizar la Función Objetivo directamente, como en la programación lineal, se minimizan las desviaciones entre las metas y los límites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los recursos. Estas variables de desviación, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en programación lineal toman un nuevo significado en la Programación de Metas.

METAS Y VARIABLES DE DESVIACION

Forma inicial de la meta Forma de la meta transformada

Variable de desviación no deseada (a minimizar)

Fi(x) ti fi(x) ni pi = ti ni

Fi(x) ti fi(x) ni pi = ti pi

Fi(x)=ti fi(x) ni pi = ti ni pi

FORMULACION DE LA FUNCION OBJETIVO

La función objetivo para un problema de programación por meta siempre es minimizar alguna combinación de variables de desviación. Desde un punto de vista de toma de decisiones administrativa, esto significa que se está buscando la combinación de variables reales por ejemplo (mesas y sillas) que cumplan mejor con todos los objetivos. Esto podría llamarse optimizar un conjunto de objetivos "satisfactorios" o satisfacer.

La forma exacta de la función objetivo varía según la respuesta a estas dos preguntas:

¿Son conmensurables o proporcionales los objetivos?

¿Cuál es la importancia relativa de cada objetivo?

Objetivos conmensurables de igual importancia: este es el caso más sencillo, aunque muy pocas veces se encuentra en la práctica. Aquí los objetivos se miden en una escala común (conmensurables y tienen la misma importancia.

Ponderación preferente de los objetivos: las ponderaciones de preferencia pueden aplicarse a cualquier grupo de objetivos conmensurables. Las ponderaciones deben reflejar la utilidad o el valor de los objetivos.

Rango de prioridad de los objetivos: ¿qué pasa cuando los objetivos no son conmensurables, cuando no hay una escala común para comparar las desviaciones de los diferentes objetivos? Este es un caso importante, al que se enfrentan con frecuencia los administradores. Si el administrador puede ordenar o dar un rango para sus metas entonces la solución es posible.

Quizás no sea una tarea fácil dar un rango a los objetivos de acuerdo con su importancia pero es algo que la mayoría de las personas entienden y pueden lograr. En la programación por objetivos se le asigna la prioridad P1al objetivo más importante, siguiendo P2 a una prioridad más baja. No existe límite en el número de niveles de prioridad pero debe asignarse una prioridad para cada variable de desviación. Se permiten empates o prioridades iguales.

Los problemas de programación por meta se resuelven en orden de prioridad. Es decir, se prueba la optimización en el nivel de prioridad más alto ignorando las prioridades más bajas hasta optimizar este nivel.

FORMULACIÓN DEL MODELO.

Restricciones de meta

-Por cada meta

FORMULACION

Componentes en la F.O. (minimizar suma de desviaciones con respecto a las metas)

-Restricciones Estructurales (no tienen que ver con las metas)

Las suposiciones básicas que caracterizan el modelo de programación lineal se aplican igualmente al modelo de programación meta. La diferencia principal en la estructura es que la programación meta no intenta minimizar o maximizar la función objetivo como lo hace el modelo de programación lineal. En vez de ello, busca minimizar las desviaciones entre las metas deseadas y los resultados reales de acuerdo a las prioridades asignadas. El objetivo de un modelo de programación meta es expresado en términos de las desviaciones de las metas a que se apunta. Esto es las desviaciones de las metas se colocan en la función objetivo y deben minimizarse. El modelo general de la programación meta puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

m

min Z = wi(di+ + di

-)

i=1

S.a.

n

aijxj+di- - di

+ = bi para toda i

j=1

xj,di-,di

+ 0 para toda j

Donde:

w = Ponderación de las desviaciones con respecto a la meta.

di- = Desviación déficit

di+ = Desviación excedente

EJEMPLO: SATISFACCIÓN DE UNA SOLA META.Una división de Schwim Manufacturing Company produce dos tipos de bicicletas: (1) una bicicleta de 3 velocidades y (2) una de 10 velocidades. La división obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la bicicleta de 3 velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el período de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todas las unidades de estas dos bicicletas que produzca. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. Estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamblado y terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la tabla siguiente:

Hrs. requeridas para procesar cada bicicleta

Tipo de bicicleta En el Depto. de ensamble

En el depto. de terminación

Contribución a la utilidad unitaria

3 velocidades 1 1 15

10 velocidades 3 1 25

Hrs. disponibles en cada depto.

60 40

La división durante este período de planeación se enfrenta a cambios grandes de organización y cree que el maximizar la utilidad no es un objetivo realista. Sin embargo, desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este período de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de $600 debería satisfacerse y desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de producción, la mezcla de producto, que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades.

Formula un modelo de programación meta que satisfaga estos requerimientos

Definición de variables:

x1 = Número de bicicletas de 3 velocidades producidas por día

x2 = Número de bicicletas de 10 velocidades producidas por día

d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida

d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida

Minimizar Z = d1- + d1

+

S.a.

x1 +3x2 60 (horas de ensamble).

Restricciones estructurales

x1 + x2 40 ( (horas de terminación)

15x1 +25x2 +d1- - d1

+ = 600 (Utilidad perseguida) Restricción meta

X1, x2, d1-, d1+ 0

Nota: Puesto que tanto d1-, d1+ aparecen en la función objetivo y a ambas se les asigna

pesos iguales, esto indica que la administración desea lograr la utilidad meta exactamente.

PROGRAMACION ENTERA.

Programación entera es programación lineal con la restricción adicional de que los valores de las variables de decisión sean enteros. Programación Entera es un término general para los modelos de programación matemática que presentan condiciones de integridad (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros). Los modelos de programación lineal entera son modelos de programación lineal que tienen la característica adicional de que algunas de las variables de decisión deben tener valores enteros. Existen diversas clasificaciones de esta categoría de modelos.

P.E pura: Todas las variables de decisión tienen valores enteros. P.E mixta (PEM): Algunas de las variables de decisión tienen valores enteros.

Las demás cumplen con la suposición de divisibilidad. P.E. binaria (PEB) : Utiliza variables binarias

Sólo tiene 2 alternativas posibles

1 si la decisión j es si.

Xj=

0 si la decisión j es no.

Las Xj son variables de decisión restringidas a tomar valores 0,1.

Ejemplo de formulación.

La CALIFORNIA MANUFACTURING CO. , Está analizando la posibilidad de expansión.

Fábrica: Construcción de una fábrica en Los Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas ciudades

Almacén: Construcción de un almacén a lo sumo, pero la decisión está restringida a que si hay almacén en ese sitio tiene que haber fábrica.

# DE DECISION

PREGUNTA SI O NO

VARIABLE DE

DECISIONVNP

BENEFICIOCAPITAL

REQUERIDO

1

2

3

4

¿Construir fábrica en Los Angeles?¿Construir fábrica en San Francisco?¿Construir almacén en Los Angeles?¿Construir almacén en San Francisco?

X1

X2

X3

X4

$9 mill

$5 mill

$6 mill

$4 mill

$6 mill

$3 mill

$5mill

$2mil

Capital disponible : $10 mill

Formulemos entonces el problema:

1. Variables de decisiónLa variable de decisión Xj es tal que:

1 se construye.

Xj=

0 no se construye.

j= 1, 2, 3,4.

2. Función objetivo.

Max Z = 9 X1+ 5 X2 + 6 X3+ 4 X4

Como las variables de decisión son a dimensionales, Z tiene unidades de [$ millones]

3. Restricciones.

X3 + X4 ≤ 1 Alternativas mutuamente excluyente

X3 ≤ X1

Se construye la fábrica solo si se construye el almacén

X4 ≤ X2

6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 ≤ 10 Capital disponible

Xj € [0,1] para j= 1, 2, 3,4.

El problema completo será:

Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4

S.A X3 + X4 ≤ 1

-X1 + X3 ≤ 0

-X2 + X4 ≤ 0

6X1+ 3X2 +5X3+2X4 ≤10

Xj € [0,1] para j= 1, 2, 3,4.

Es ocasiones es necesario utilizar variables para expresar relaciones combinatorias dentro de la formulación de los problemas.

Para esto, además de las variables originales Xj, se hace necesario el uso de variables auxiliares yi del tipo binario, introducidas en la reformulación.

TIPOS ESPECIALES DE MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA

En estos apartados se presentan algunos problemas clásicos de Programación Entera. La importancia de estos problemas radica en el hecho de que los problemas complejos se suelen poder reducir a combinaciones de éstos.

El problema de la mochila: Un problema de PE con una única restricción se denomina “Problema de Mochila”. El problema de la mochila se da pocas veces de modo independiente (selección de proyectos o decisión de inversión). El problema de la mochila es, comparativamente, fácil de resolver. El mejor modo de resolverlo es programación dinámica, y no ramificación y corte que explora de manera demasiado amplia.

Problemas de cubrimiento: Estos problemas derivan de un tipo de problema abstracto que puede ser enunciado del siguiente modo: “Dado un conjunto S de objetos que podemos numerar S=(1,2,...,m) y dada una clase T de subconjuntos de S, teniendo cada clase un coste el problema es cubrir todos los miembros de S utilizando miembros de T”. Sea S=(1,2,3,4,5,6) sea T=((1,2),(1,3,4),(5,6),(4,6),(3,4,5)). Se produciría cubrimiento con ((1,2),(1,3,4),(5,6)) o con ((1,2),(5,6),(3,4,5)). Este problema de cubrimiento tiene 3 propiedades básicas. Propiedad 1: El problema es de minimización y las restricciones son ≥1. Propiedad 2: Todos los coeficientes RHS son 1. Propiedad 3: Todos los demás coeficientes de la matriz son 0 o 1. Si se relaja la propiedad 2 (se obliga a que algunos elementos de S sean cubiertos en un mayor número de ocasiones) se

tiene un tipo de problema de cubrimiento ponderado. Y si además se permite que los demás coeficientes de la matriz puedan valer 0 y ±1 (propiedad 3) tenemos lo que se denomina un problema de cubrimiento generalizado.

Problemas de empaquetado: Otro tipo clásico de problemas son los de empaquetado, que se pueden enunciar así: “Dado un conjunto S de objetos que podemos enumerar S= (1,2,..., m) y dada una clase T de subconjuntos de S, teniendo cada subconjunto un valor asociado, se trata de relacionar miembros de T que maximicen el valor pero que no se superpongan”. Con el conjunto S y la clase T del ejemplo anterior el problema queda (incorporando un valor vi 1 a cada miembro de T). Las mismas generalizaciones de los problemas de cubrimiento se pueden aplicar en los problemas de empaquetado dando lugar al problema de empaquetado ponderado y al problema de empaquetado generalizado.

El Problema del viajante de comercio: Éste problema es un problema muy habitual y de simple formulación aunque de resolución muy complicada en circunstancias reales. El problema consiste en establecer un circuito que recorra todos los destinos pasando una solo vez por cada uno de ellos. Existen muchas situaciones reales asociadas a este problema de rutas, con diferentes variantes, e incluso se da en otras situaciones como por ejemplo en la reducción de costes de cambio de partida. En cualquier caso hay que destacar el elevadísimo coste computacional de la resolución de este problema mediante PEM, cuando las dimensiones no son pequeñas por ello lo habitual es plantear mecanismos de resolución especiales.

El problema de asignación cuadrática: Esta es una generalización del problema de asignación descrita en un capítulo anterior. Aunque el problema de asignación es un problema de Programación Lineal fácil de resolver, el problema de asignación cuadrática es un problema de PE y generalmente muy difícil de resolver. El problema consiste en: “Dado un conjunto S con n elementos y un conjunto T con el mismo número de elementos, el problema consiste en asignar exactamente un elemento de S a T y viceversa”. Este problema se puede abordar como un problema de PE clásico con n4 variables binarias. También existen procedimientos específicos de resolución.

CONCLUSION

Mucha gente sitúa el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de la mitad del siglo XX, y debemos estar de acuerdo con esta afirmación si tenemos en cuenta que su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. Se han escrito decenas de libros de texto sobre la materia y los artículos publicados que describen aplicaciones importantes se cuentan ahora por cientos. De hecho, una proporción importante de todo el cálculo científico que se lleva a cabo en computadoras se dedica al uso de la programación lineal y a técnicas íntimamente relacionadas. (Esta proporción se estimó en un 25%, en un estudio de la IBM).

Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles. En todos los problemas de Programación, el objetivo es la maximización o minimización de alguna cantidad.

La programación lineal entera se ocupa básicamente de programas lineales en los que algunas o todas las variables suponen valores enteros o discretos. Se dice que la PLE es mixta o pura si alguna o todas las variables están restringidas a tomar sólo valores enteros.

Aunque se han creado varios algoritmos para la programación entera, ninguno de ellos es totalmente confiable desde el punto de vista del cálculo, sobre todo, cuando el número de variables enteras se incrementa. La dificultad de cálculo con los algoritmos disponibles para la programación entera ha conducido a los usuarios a buscar otros medios para resolver el problema. Uno de tales medios es resolver el modelo como un problema lineal continuo y luego redondear la solución óptima a los valores enteros factibles más cercanos. Sin embargo, en este caso no hay garantía de que la solución redondeada satisfaga las restricciones. Esto es siempre cierto si la programación entera original tiene una o más restricciones de igualdad. 

Según la teoría de programación lineal, una solución redondeada en este caso no puede ser factible, ya que significa que la misma base   (con todas las variables básicas a nivel cero) puede generar dos soluciones distintas.  La infactibilidad creada por redondeo puede tolerarse ya que, en general, los parámetros de los problemas no son exactos. Pero existen restricciones de igualdad características en los problemas enteros donde los parámetros son exactos. 

BIBLIOGRAFIA

www. investigaciondeoperaciones .net/ programacion _ entera .htm

www. investigacion - operaciones .com/Curso_inv-Oper.../Clase17.pdf

www.slideshare.net/josekh89/programacin-lineal- entera