INVESTIGACION OPERATIVAProblema 1Una planta recicladora de papel procesa papel de cajas, papel tissue, papel de impresin y papel para libros y produce pulpa para tres tipos de papel reciclado. Los precios por tonelada y los contenidos de pulpa de cada materia prima se muestran en la tabla. Para transformar la materia prima en pulpa, se pueden usar dos mtodos, de-inking y dispersin asfltica. Cuesta $20 el proceso de de-inking por tonelada de cualquier materia prima. El proceso de de-inking saca el 10% de la pulpa de la materia prima, dejando el 90% de la pulpa original. Cuesta $15 aplicar el proceso de dispersin asfltica a una tonelada de materia prima. Este proceso saca el 20% de la pulpa. A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante dispersin asfltica o el proceso de-inking. El papel reciclado de tipo 1, slo se puede producir a partir de la pulpa de papel de impresin o de papel para libros; el de tipo 2, slo a partir de papel para libros, papel tissue o papel de cajas; el de tipo 3, slo con papel de impresin, papel tissue o papel de cajas. Para satisfacer la demanda actual, la compaa necesita 500 toneladas de pulpa para el papel tipo 1, 500 toneladas de pulpa para7 el papel tipo 2 y 60 toneladas para el papel tipo 3. Formular un LP que minimice los costos de satisfacer la demanda de pulpa.CostoContenido de pulpa

papel de cajas$515%

papel tissue$620%

papel de impresin$830%

papel para libros$1040%

Variables de decisin:

x1: n de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de-inkingy1: n de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de impresin asfltica

x2: n de toneladas de papel tissue sometido al proceso de-inkingy2: n de toneladas de papel tissue sometido al proceso de impresin asfltica

x3: n de toneladas de papel de impresin sometido al proceso de-inkingy3: n de toneladas de papel de impresin sometido al proceso de impresin asfltica

x4: n de toneladas de papel para libros sometido al proceso de-inkingy4: n de toneladas de papel para libros sometido al proceso de impresin asfltica

Funcin objetivo: Minimizar los costos de produccin: Costos de materia prima 5(x1 + y1) + 6(x2 + y2) + 8(x3 + y3) + 10(x4 + y4) = 5x1 + 6x2 + 8x3 + 10x4 + 5y1 + 6y2 + 8y3 + 10y4 Costos para transformar la materia prima en pulpa 20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 15y1 + 15y2 + 15y3 + 15y4 Obtenemos la funcin objetivo de minimizacin sumando ambos costos: Min: Z = 25x1 + 26x2 + 28x3 + 30x4 + 20y1 + 21y2 + 23y3 + 25y4 Restricciones:

A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante el proceso de-inking

x1 + x2 + x3 + x4 3000A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante el proceso de impresin asfltica

y1 + y2 + y3 + y4 3000

Demanda de pulpa para el papel de tipo 1 [pulpa obtenida del papel de impresin] + [pulpa obtenida del papel de libro] 500 [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y3)] + [0,1(0,4x4) + 0,2(0,4y4)] 500

0,03x3 + 0,04x4+ 0,06y3 + 0,08y4 500

Demanda de pulpa para el papel de tipo 2

[pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de libros] 500

[0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,4x4) + 0,2(0,4y4)] 500

0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,04x4 + 0,08y4 500Demanda de pulpa para el papel de tipo 3

[pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de impresion] 500

[0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y3)] 60

0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 60

Demanda de pulpa para el papel de tipo 4

[pulpa del papel de cajas] + [pulpa del papel de tissue] + [pulpa del papel de impresion] 500

[0,1(0,15x1) + 0,2(0,15y1)] + [0,1(0,2x2) + 0,2(0,2y2)] + [0,1(0,3x3) + 0,2(0,3y3)] 500

0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 500Restricciones de no negatividad x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

y1 0, y2 0, y3 0, y4 0

Modelo matemtico de Programacin LinealVariables de decisin:

x1: n de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de-inkingy1: n de toneladas de papel de cajas sometido al proceso de impresin asfltica

x2: n de toneladas de papel tissue sometido al proceso de-inkingy2: n de toneladas de papel tissue sometido al proceso de impresin asfltica

x3: n de toneladas de papel de impresin sometido al proceso de-inkingy3: n de toneladas de papel de impresin sometido al proceso de impresin asfltica

x4: n de toneladas de papel para libros sometido al proceso de-inkingy4: n de toneladas de papel para libros sometido al proceso de impresin asfltica

Funcin objetivo: Min: Z = 25x1 + 26x2 + 28x3 + 30x4 + 20y1 + 21y2 + 23y3 + 25y4

Restricciones:

x1 + x2 + x3 + x4 3000

y1 + y2 + y3 + y4 3000

0,03x3 + 0,04x4+ 0,06y3 + 0,08y4 = 500

0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,04x4 + 0,08y4 = 500 0,015x1 + 0,03y1 + 0,02x2 + 0,04y2 + 0,03x3 + 0,06y3 = 60

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0

y1 0, y2 0, y3 0, y4 0

Problema 2Resolver el siguiente programa por el mtodo simplex, tomando en cuenta que los valores A, B, C y D de la funcin Objetivo son los 4 ltimos dgitos de su cdigo de la universidad. a) Muestre las tablas y los clculos realizados en Excel. (4 puntos)

b) Hallar el programa dual, y los valores de las variables duales a travs de la ltima tabla del primal (2 puntos)

a)Mi cdigo de alumno universitario es: 2012102810, entonces A = 2, B = 8, C = 1 y D = 0Modelo de PL

Maximizar: Z = 2x1 + 8x2 + x3

Sujeto a: -x1 + 2x2 + 3x3 + x4 21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 124 x1 + x2 - x3 + x4 = 20 x1, x2, x3, x4 0

Convertimos las restricciones a la forma x1 - 2x2 - 3x3 - x4 -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 124 x1 + x2 - x3 + x4 20 x1 + x2 - x3 + x4 20 -> -x1 - x2 + x3 - x4 -20

Obteniendo:

x1 - 2x2 - 3x3 - x4 -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 124 x1 + x2 - x3 + x4 20 -x1 - x2 + x3 - x4 -20

Estandarizamos el modelo, agregamos las variables de holgura

Maximizar:

Z - 2x1 - 8x2 - x3 = 0

Sujeto a:

x1 - 2x2 - 3x3 - x4 + x5 = -21 3x1 + 5x2 + 7x3 + x4 + x6 = 124 x1 + x2 - x3 + x4 + x7 = 20 -x1 - x2 + x3 - x4 + x8 = -20

Aplicacin del mtodo simplex

Tabla 1 (inicial)

Var. Bas.ZX1X2X3X4X5X6X7X8RHSdiv

Z1-2-8-1000000

X501-2-3-11000-2110,5

X603571010012424,8

X7011-1100102020

X80-1-11-10001-2020

Entra en la base:X2

Sale de la base:X7

Pivote:1

Tabla 2

Var. Bas.ZX1X2X3X4X5X6X7X8RHSdiv

Z160-980080160

X5030-51102019-3,8

X60-2012-401-50242

x2011-11001020-20

X80000000110inf.

Entra en la base:X3

Sale de la base:X6

Pivote:12

Tabla 3 (final)

Var. Bas.ZX1X2X3X4X5X6X7X8RHS

Z14,500500,754,250178

X502,16700-0,66710,417-0,083029

x30-0,16701-0,33300,083-0,41702

x200,833100,66700,0830,583022

X80000000110

Soluciones:

x1 = 0 x2 = 22

x3 = 2F. objetivo: Z = 178b) Obtencin del modelo Dual a partir del primalModelo Dual:

Min: C = -21y1+124y2 + 20y3 - 20y4 Sujeto a:

y1 + 3y2 + y3 y4 2 -2y1 + 5y2 + y3 y4 8 -3y1 + 7y2 - y3 + y4 1 -y1 + y2 + y3 y4 0Soluciones del modelo Dual a partir de la ltima tabla de la solucin Primal

Tabla final del modelo primal

Var. Bas.ZX1X2X3X4X5X6X7X8RHS

Z14,500500,754,250178

X502,16700-0,66710,417-0,083029

x30-0,16701-0,33300,083-0,41702

x200,833100,66700,0830,583022

X80000000110

Solucin dual:y1 = 0

y2 = 0,75

y3 = 4.25

F. Objetivo: C = 178

Problema 3

Una dieta ideal debera satisfacer los requerimientos nutricionales bsicos, econmicos, ser variado y ser agradable al paladar.

Asumiendo que la lista de alimentos disponibles es la siguiente, cul es la dieta ideal?:

AlimentoCantidad(dosis)Energa(kcal)Protenas(g)Calcio(mg)Precio(soles/dosis)Lmites(dosis/da)

Cereales28 g110420.304

Pollo100 g20532122.403

Huevos2 grandes16013541.302

Leche237 cc.16082850.908

Dulces170 g.4204222.002

Carne260 g.26014801.902

De acuerdo con los nutricionistas, una dieta satisfactoria debe tener al menos 2000 kcal de energa, 55 g de protenas, y 800 mg de calcio (las vitaminas y hierro sern aportadas a travs de pastillas). Se han impuesto restricciones sobre el total de dietas por da de cada alimento, para atender el requerimiento de variedad.

Cul es la mejor dieta que cumple con el criterio de mnimo costo?

Variables de decisin:

x1: n de dosis de cereales para una dieta ideal

x2: n de dosis de pollo para una dieta ideal

x3: n de dosis de huevos para una dieta ideal

x4: n de dosis de leche para una dieta ideal

x4: n de dosis de dulces para una dieta ideal

x6: n de dosis de carne para una dieta ideal

Funcin objetivo:

Minimizar los costos:

Min: Z = 0,30x1 + 2,40x2 + 1,30x3 + 0,90x4 + 2x5 + 1,90x6Restricciones:

Requerimiento de energa 110x1+ 205x2 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 2000 Requerimiento de protenas

4x1+ 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 55

Requerimiento de calcio

2x1+ 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 800 Restricciones de lmites de dosis diaria x1 4

x2 3

x3 2

x4 8

x5 2

x6 2

Restricciones de no negatividad

x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0

Modelo matemtico de Programacin Lineal

Variables de decisin:

x1: n de dosis de cereales para una dieta ideal

x2: n de dosis de pollo para una dieta ideal

x3: n de dosis de huevos para una dieta ideal

x4: n de dosis de leche para una dieta ideal

x4: n de dosis de dulces para una dieta ideal

x6: n de dosis de carne para una dieta ideal

Funcin objetivo: Min: Z = 0,30x1 + 2,40x2 + 1,30x3 + 0,90x4 + 2x5 + 1,90x6Sujeto a:

110x1+ 205x2 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 2000 4x1+ 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 55 2x1+ 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 800 0 x1 4

0 x2 3

0 x3 2

0 x4 8

0 x5 2

0 x6 2

Cul es la mejor dieta que cumple con el criterio de mnimo costo?

4 dosis de cereales, 4,5 dosis de leche y 2 dosis de dulces

Microsoft Excel 9.0 Informe de sensibilidad

Hoja de clculo: [Dieta AS.xls]Hoja1

Informe creado: 21/11/04 16:42:08

Celdas cambiantes

ValorGradienteCoeficienteAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualreducidoobjetivopermisiblePermisible

$B$5Dosis de producto Cereales400,30,318751E+30

$C$5Dosis de producto Pollo01,2468752,41E+301,246875

$D$5Dosis de producto Huevos00,41,31E+300,4

$E$5Dosis de producto Leche4,500,90,2692307690,138095238

$F$5Dosis de producto Dulces2020,36251E+30

$G$5Dosis de producto Carne00,43751,91E+300,4375

Restricciones

ValorSombraRestriccinAumentoDisminucin

CeldaNombreIgualpreciolado derechopermisiblePermisible

$H$7Energa20000,0056252000560100

$H$8Protenas (en gas)6005551E+30

$H$9Calcio (mg)1334,50800534,51E+30

$H$10Mxima dosis cereales4-0,3187542,7560425394

$H$11Mxima dosis pollo0031E+303

$H$12Mxima dosis huevos0021E+302

$H$13Mxima dosis leche4,5081E+303,5

$H$14Mxima dosis dulces2-0,362520,2941176471,333333333

$H$15Mxima dosis carne0021E+302

Sobre la base de los resultados obtenidos del problema con SOLVER, responder cada pregunta en forma independiente:a) En qu consiste la dieta ptima?

La dieta ptima consiste en:

4 dosis de cereales, 4,5 dosis de leche y 2 dosis de dulces

b) Si el costo de los cereales se duplicara hasta 0.60 cntimos por dosis. Deber ser removida de la dieta?

No, ya que al duplicarse su costo su aumento sera de 0,3 soles sin embargo el aumento permisible en el costo de los cereales para permanecer en la dieta es de 0,31875 soles

c) Si el costo del pollo bajara a la mitad del costo actual, debera ser incorporado a la dieta?

An no. Si el costo de pollo baja a la mitad su precio estara disminuyendo 1,2 soles sin embargo para que sea incorporado a la dieta debe bajar al menos en 1,246875 1,25 soles, es decir su precio debera bajar a 1,15 soles o menos.d) A partir de qu precio los huevos entraran en la dieta?

A partir de: 1,30 0,40 = 0,90 solese) Dentro de que intervalo podra variar el precio de la leche (redondear a 0.01 cntimos) para que la dieta perfecta siguiera mantenindose como la ptima?

Mxima reduccin permisible = 0,138095238 ( 0,13 Mxima aumento permisible = 0,269230769 ( 0,26

0,90 0,13 = 0,77

0,90 + 0,26 = 1,16

Entonces la leche puede variar de 0,77 soles a 1,16 soles sin que se altere la dieta.

f) Durante los perodos de preparacin de las Revisiones, se necesitara incrementar el contenido en energa de 2000 kcal a 2200 kcal por da. Cul sera el costo adicional que resulta de esta modificacin?

Costo adicional = (2200 - 2000)(sombra precio) = 200(0,005625) = 1,125 soles

g) El mdico del servicio de bienestar universitario recomienda que usted incremente el contenido de calcio en su dieta de 800 mg a 1200 mg. Cul es el impacto de esto en el costo total?

Costo adicional = (1200 800)(sombra precio) = 400(0) = 0, entonces:Con este aumento no hay impacto alguno, el coste total permanece invariable.

h) Las papas cuestan 1.20 soles/dosis y disponen de un contenido de energa de 300 kcal, pero no contienen protenas, ni calcio. Debera ser parte de la dieta?

No, con los datos dados no formara parte de la dieta

EMBED Equation.3

11

_1436973737.unknown