Investigacion de Operaciones - Material

ASIGNATURA

INVESTIGACIÓN DEOPERACIONES(TEXTO UNIVERSITARIO)

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Asignatura: Investigación de Operaciones

Universidad Continental de Ciencias e IngenieríaMaterial publicado con fines de estudioPrimera ediciónHuancayo, 2011

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PRESENTACIÓN

El desarrollo del material de la asignatura, se hace considerando la Investigación deOperaciones como una ciencia administrativa basada en el enfoque científico, para resolverproblemas y proporcionar ayuda para la toma de decisiones. Planear, programar, organizar,dirigir, dotar de personal, controlar, son actividades que el alumno en su ejercicio profesionalpuede desempeñar, y la Investigación de Operaciones le sirve de ayuda con su métodoanalítico y sistemático. Con base en este enfoque gerencial es que se plantea en el presentemanual el estudio de esta ciencia.

La primera Unidad Didáctica, es una puerta de entrada al estudio de las diversas técnicas ylos respectivos modelos que conforman la asignatura. Se hace énfasis en el análisiscuantitativo que es la base del enfoque científico, punto de partida del proceso quedeterminará la toma de una decisión.

La segunda Unidad Didáctica, se inicia en las técnicas a estudiar, siendo la primera,Programación Lineal. Esta es una de las técnicas más empleadas y se aplica en sistemas conrelaciones lineales, para usar los recursos escasos de la mejor manera posible. Se estudiatambién sus aplicaciones especiales como programación lineal el método de transporte y deasignación

La tercera Unidad Didáctica contiene el estudio de técnicas utilizadas para el manejo deproyectos que son: PERT y CPM. Ambas técnicas tienen el objetivo de ahorrar el mayortiempo posible en la ejecución de proyectos. Didácticamente, su estudio ha sido dividido entres fases: Planeamiento, Programación y Control.

La última Unidad está dedicada al estudio de la Teoría de Colas, con especial mención delmodelo M/M/1, llamado así según la notación de Kendall. La Teoría es un estudio de lossistemas de espera y de los diferentes modelos que provee la Investigación de Operacionespara ayudar en la toma de decisiones en este campo. En su parte inicial se incluye la teoríabásica para definir los sistemas de espera a través de sus aspectos, las causas que losoriginan, así como también la clasificación de modelos, formas de solución de los mismos yutilización de los resultados para tomar decisiones que mejoren su forma de operar.

El presente material es una guía para el desarrollo del curso y debe ser complementada por elestudiante a través de la investigación y búsqueda de información en diversas fuentes comobiblioteca e internet así como con el desarrollo de las clases presenciales.

Por otro lado se reconoce el aporte de los Ing. Javier Romero Meneses, Ing. Wilfredo GálvezCarrasco en el desarrollo del presente texto.

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PRESENTACIÓN 3INDICE 4

PRIMERA UNIDAD 8Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS 81.1 Los modelos 81.1.1 Clasificación de modelos 81.1.2 Principios de los modelos 91.2 Orígenes de la investigación de operaciones 91.3 Naturaleza de la investigación de operaciones 111.4 ¿Qué es la investigación de operaciones? 121.5 Enfoque de la Investigación de Operaciones: 141.6 Los principales campos de aplicación de la I.O. 14

Tema Nº 2: METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES 152.1 Definición del problema y recolección de datos 152.2 Formulación de un modelo matemático 162.3 Obtención de una solución a partir del modelo 172.4 Prueba del modelo 172.5 Establecimiento de controles sobre la solución 182.6 Implantación de la solución 18

SEGUNDA UNIDAD 19Tema Nº 3: PROGRAMACIÓN LINEAL 193.1 Introducción. 193.2 Expresión matemática 193.3 Modelo de Programación Lineal 203.4 Forma estándar del modelo 213.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal 213.5.1 Proporcionalidad 213.5.2 Actividad 223.5.3 Aditividad 223.5.4 Divisibilidad 223.6 Limitaciones del modelo de programación lineal 223.6.1 Modelo determinístico 223.6.2 Modelo estático 22

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3.6.3 Modelo que no suboptimiza 223.7 Impacto de la Investigación de Operaciones 223.8 Riesgo al aplicar la Investigación de Operaciones 233.9 Modelos matemáticos 233.10 Formulación de modelos de programación lineal 243.10.1 Pasos a seguir 243.10.2 Casos de formulación 25

Tema Nº 4: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL 314.1 Método gráfico 314.1.1 Criterios a considerar 324.1.2 Casos de aplicación 324.1.3 Situaciones especiales 384.2 El Método Simplex 46

TERCERA UNIDAD 53Tema Nº 5: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD 535.1 Análisis de Dualidad 535.2 Definición de Problema dual 545.3 Análisis de sensibilidad 56

CUARTA UNIDAD 59Tema Nº 6: MODELO DE TRANSPORTE 596.1 Problema de Transporte 596.2 Modelo general del problema de transporte 606.3. Métodos para encontrar soluciones factibles 626.4 Método de la esquina noroeste 626.5 Método de aproximación de Vogel 626.6 Modelos Balanceados y no balanceados 64

Tema Nº 7: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS 727.1 Problemas de asignación de recursos 727.2 El método Húngaro 73

UNIDAD V 78Tema Nº 8: PROGRAMACION DE PROYECTOS PERT/CPM 788.1 Introducción 788.2 Procedimiento para trazar un modelo de red 798.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del CPM 81

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8.4 Utilidad de las técnicas PERT y CPM 828.5 Programación de proyectos 838.6 Ventajas del PERT y CPM 838.7 Pasos en el método PERT (program evaluation and review technique) 848.8 Asignación de tiempos 85

UNIDAD VI 92Tema Nº 9: ADMINISTRACION DE INVENTARIOS 929.1 Introducción 929.2 Gestión logística 929.3 Utilidad de la logística en una empresa 939.4 Planeando la logística de la empresa 939.5 Los desafíos de la revolución tecnológica: e – Logistic 94

Tema N°10: LOS INVENTARIOS 9410.1 Modelos de inventarios 9410.2 Características de los inventarios 9510.3. Costos de los inventarios 9610.3.1Los costos de los inventarios y su tamaño 9710.4 Tipos de sistemas y modelos de inventarios 9710.5 Logística de producción-cadena de abastecimiento 10010.5.1Cadena de abastecimiento 10010.5.2 Objetivo de la Cadena de Abastecimiento 100

Tema Nº 11: DISEÑO DE CADENA DE SUMINISTRO 10111.1 Redes y cadena de suministro 10111.2 Redes Verticales 10111.3 Redes Horizontales 10111.4 Inventarios gerenciados por los proveedores 102

Tema Nº 12: OPERACIÓN DEL SISTEMA PRODUCTIVO DE EMPRESAPROVEEDORA 10412.1 Gestión de pedidos y pronósticos 10412.2 Los sistemas MRP 10412.2.1 Plan Maestro de Producción PMP, MPS (Master production schedule) 10612.2.2 Lista de Materiales, BOM (Bill of Materials) 10712.2.3 Beneficios obtenidos de la aplicación del MRP 107

UNIDAD VII 111Tema Nº 13: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA 11113.1 Teoría de colas o líneas de espera 111

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Tema Nº 14: TEORÍA DE DECISIONES 12014.1 Introducción 12014.2 Toma de decisiones bajo incertidumbre 12014.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbre 127

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 129ANEXO 130

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PRIMERA UNIDAD

Tema Nº 1: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y EL USO DE MODELOS

1.1 Los modelosUn modelo es una representación ideal de un sistema y la forma en que este opera. Elobjetivo es analizar el comportamiento del sistema o bien predecir su comportamiento futuro.Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera quese hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones másrelevantes del mismo. Claramente no habría ventaja alguna de utilizar modelos si estos nosimplificaran la situación real. En muchos casos podemos utilizar modelos matemáticos que,mediante letras, números y operaciones, representan variables, magnitudes y susrelaciones.

1.1.1 Clasificación de modelosSe podría decir que un modelo de las ciencias físicas es una traducción de la realidad físicade un sistema en términos matemáticos, es decir, una forma de representar cada uno de lostipos entidades que intervienen en un cierto proceso físico mediante objetos matemáticos.Las relaciones matemáticas formales entre los objetos del modelo, deben representar dealguna manera las relaciones reales existentes entre las diferentes entidades o aspectos delsistema u objeto real. Así una vez "traducido" o "representado" cierto problema en forma demodelo matemático, se pueden aplicar el cálculo, el álgebra y otras herramientasmatemáticas para deducir el comportamiento del sistema bajo estudio. Un modelo físicorequerirá por tanto que se pueda seguir el camino inverso al modelado, permitiendoreinterpretar en la realidad las predicciones del modelo. Los modelos matemáticos puedenclasificarse de la siguiente manera:

Determinista. Se conoce de manera puntual la forma del resultado ya que no hayincertidumbre. Además, los datos utilizados para alimentar el modelo soncompletamente conocidos y determinados.

Estocástico. Probabilístico, que no se conoce el resultado esperado, sino suprobabilidad y existe por tanto incertidumbre.

Además con respecto a la función del origen de la información utilizada para construirlos losmodelos pueden clasificarse de otras formas, se distinguen modelos heurísticos y modelosempíricos:

Modelos heurísticos (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que estánbasados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que danlugar al fenómeno estudiado.

Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la 'experienia'). Son los queutilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómenoestudiado.

Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversasaplicaciones. A continuación veremos algunos tipos en los que se puede adecuar algúnmodelo matemático de interés. Según su campo de aplicación los modelos:

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Modelos conceptuales. Son los que reproducen mediante fórmulas y algoritmosmatemáticos más o menos complejos los procesos físicos que se producen en lanaturaleza

Modelo matemático de optimización. Los modelos matemáticos de optimizaciónson ampliamente utilizados en diversas ramas de la ingeniería para resolverproblemas que por su naturaleza son indeterminados, es decir presentan más deuna solución posible.

Categorías por su aplicación suelen utilizarse en las siguientes tres áreas, sin embargoexisten muchas otras como la de finanzas, ciencias etc.

Simulación. De situaciones medibles de manera precisa o aleatoria, por ejemplocon aspectos de programación líneal cuando es de manera precisa, y probabilísticao heurística cuando es aleatorio.

Optimización. Para determinar el punto exacto para resolver alguna problemáticaadministrativa, de producción, o cualquier otra situación. Cuando la optimización esentera o no lineal, combinada, se refiere a modelos matemáticos poco predecibles,pero que pueden acoplarse a alguna alternativa existente y aproximada en sucuantificación.

Control. Para saber con precisión como está algo en una organización,investigación, área de operación, etc.

1.1.2 Principios de los modelos"Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones, sólo auxiliarlos"

A continuación se presenta una lista, no exhaustiva, de los principios generales demodelación.

No debe elaborarse un modelo complicado cuando uno simple es suficiente. El problema no debe ajustarse al modelo o método de solución. La fase deductiva de la modelación debe realizarse rigurosamente. Los modelos deben validarse antes de su implantación. Nunca debe pensarse que el modelo es el sistema real. Un modelo debe criticarse por algo para lo que no fue hecho. No venda un modelo como la perfección máxima. Uno de los primeros beneficios de la modelación reside en el desarrollo del modelo. Un modelo es tan bueno o tan malo como la información con la que trabaja. Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones. Los modelos de Investigación de Operaciones, conducen a mejores decisiones y no

a simplificar la toma de éstas.

1.2 Orígenes de la investigación de operacionesLa toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa unproblema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular unobjetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución yevaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo ocuantitativo.

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidadesnecesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. Enmuchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoquecuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientasmatemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de

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decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similareso cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisisexhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.

La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones basescuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad parahacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodostradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que losresponsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan asituaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativasy prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga unconocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas parapoder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones yrecomendaciones que se le presenten.

En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine lasherramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar susdecisiones.

Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de uncrecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Lospequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles demillones de UM. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento enla división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas enestas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con losbeneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas queocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas son las tendenciasde muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperiosrelativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo conesto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda laorganización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, demanera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problemarelacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, sevuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de lamanera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y lanecesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambienteadecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).

Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando sehicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración deuna empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones,casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segundaguerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignarrecursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cadaoperación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana einglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el métodocientífico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió quehicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueronlos primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevoradar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de susinvestigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y deprotección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del AtlánticoNorte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.

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Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividadesbélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como laexplosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en lacomplejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primerplano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a losconsultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante laguerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por lamilicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estosindividuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, losnegocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.

Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante enel desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el granprogreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en estaárea. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos deIO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscarresultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Unejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programaciónlineal, desarrollada en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientascaracterísticas de la investigación de operaciones, como programación lineal,programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladascasi por completo antes del término de la década de 1950.

Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de lascomputadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentesa esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a caboa mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadoraelectrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vezmillones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para lainvestigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con eldesarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado debuenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas alalcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuostienen acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama ecomputadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas deinvestigación de operaciones.

1.3 Naturaleza de la investigación de operacionesComo su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigaciónsobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemasque se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro deuna organización. La naturaleza de la organización es esencialmente inmaterial y, dehecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tandiversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, laplaneación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, pornombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usaun enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los camposcientíficos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar elproblema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de laadministración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el procesocomienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo larecolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelocientífico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real.

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En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación losuficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para quelas conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real.Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis,modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso seconoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación deoperaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentalesde las operaciones. Sin embargo, existe más que esto. En particular, la IO se ocupatambién de la administración práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberátambién proporcionar conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisionescuando las necesite.

Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de vista.Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vistaorganizacional. De esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre lascomponentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para laorganización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema debaconsiderar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los objetivosque se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.

Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta encontrar unamejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración. (Decimosuna mejor solución y no la mejor solución porque pueden existir muchas soluciones queempaten como la mejor.) En lugar de contentarse con mejorar el estado de las cosas, lameta es identificar el mejor curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse contodo cuidado en términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsquedade la optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.

Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente que nopuede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo múltiples aspectos deltrabajo de investigación de operaciones o de los problemas que se estudian; se requiereun grupo de individuos con diversos antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se vaa emprender un estudio de investigación de operaciones completo de un nuevoproblema, por lo general es necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluirindividuos con antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría deprobabilidades, al igual que en economía, administración de empresas, ciencias de lacomputación, ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, enlas técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita tenerla experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración adecuada detodas las ramificaciones del problema a través de la organización.

1.4 ¿Qué es la investigación de operaciones?Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionandono sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan losdiferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas,algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos delas mas aceptadas y representativas.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios,del método científico a problemas relacionados con el control de lasorganizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcansoluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

Churchman, Ackoff y Arnoff

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De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:

1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan,unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.

2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre lascomponentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. Tambiéndentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generaninteracciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficienciacon que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo deautocorrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de losobjetivos establecidos.

3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya noencajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido enmultidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren gruposcompuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que lograncomunicarse con un lenguaje común.

4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica através modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego pararesolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de laGran Bretaña es la siguiente:

5. La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a loscomplejos problemas que surgen en la dirección y en la administración degrandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, enlos negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste endesarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones defactores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen losresultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es elde ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

En relación a ésta definición deben destacarse los siguientes aspectos:

i. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a lasempresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más amplio,es algo que utiliza hombres, máquinas, materiales y dinero con un propósitoespecífico; desde éste punto de vista, se considera como empresa desde unauniversidad hasta una armadora de automóviles.

ii. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico deberepresentarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todoslos rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A estarepresentación formal se le llama modelo.

iii. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir elfuturo, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que sepuede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo quepermite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema sepueden tomar cursos de acción agrupados en tres categorías:

a. Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta;

b. Realizar un plan de toma de decisiones;

c. Instalar estrategias que generen decisiones.

Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nosayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto.

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iv. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador dedecisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudioscientíficamente fundamentados.

1.5 Enfoque de la Investigación de Operaciones:La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de suscreadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergia generada alcombinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.

1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistemainteractúan normalmente un gran número de variables.

2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema,llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido delsistema real.

3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando ysimplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilización defunciones matemáticas.

4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o más delas técnicas desarrolladas por la IO.

5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problemareal obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o nocuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta losdetalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.

6. Se implanta la solución en el sistema real.

La I.O. es considerada simplemente una "teoría de la decisión aplicada": "la investigaciónoperacional utiliza cualquier método científico, matemático o lógico, para hacer frente alos problemas que se presentan cuando el ejecutivo busca un raciocinio eficaz paraenfrentar sus problemas de decisión". En su sentido más amplio, la I.O. puede sercaracterizada como la aplicación de métodos científicos, técnicas científicas einstrumentos científicos a problemas que involucran operaciones de sistemas, de modoque provean a los ejecutivos responsables de las operaciones, soluciones óptimas paralos problemas".

La investigación operacional es "la aplicación de métodos, técnicas e instrumentoscientíficos a los problemas que envuelven las operaciones de un sistema, de modo queproporcione, a los que controlan el sistema, soluciones óptimas para el problemaobservado". Esta se "ocupa generalmente de operaciones de un sistema existente...",esto es, "materiales, energías, personas y máquinas ya existentes". "El objetivo de lainvestigación operacional es capacitar la administración para resolver problemas y tomardecisiones".

1.6 Los principales campos de aplicación de la I.O. son:

a. Relativa a personas:

Organización y gerencia.

Ausentismo y relaciones de trabajo.

Economía.

Decisiones individuales.

Investigaciones de mercado.

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b. Relativa a personas y máquinas:

Eficiencia y productividad.

Organización de flujos en fábricas.

Métodos de control de calidad, inspección y muestreo.

Prevención de accidentes.

Organización de cambios tecnológicos.

c. Relativa a movimientos:

Transporte.

Almacenamiento, distribución y manipulación.

Comunicaciones. "

1. Debata acerca de la importancia tienen los modelos.

2. Elabore un mapa conceptual de la lección N° 1.

Tema Nº 2: METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

2.1 Definición del problema y recolección de datos

La mayor parte de los problemas prácticos con los que se enfrenta el equipo IO están descritosinicialmente de una manera vaga. Por consiguiente, la primera actividad que se debe realizar es elestudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va aanalizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puedehacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentescursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso dedefinir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de lasconclusiones del estudio. ¡Es difícil extraer una respuesta "correcta" a partir de un problema"equivocado"!

Por su naturaleza, la investigación de operaciones se encarga del bienestar de toda laorganización, no sólo de algunos de sus componentes. Un estudio de IO busca soluciones óptimasglobales y no soluciones subóptimas aunque sean lo mejor para uno de los componente.Entonces, idealmente, los objetivos que se formulan deben coincidir con los de toda laorganización. Sin embargo, esto no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan nadamás a una parte de la organización, de manera que el análisis sería innecesariamente besado silos objetivos fueran muy generales y si se prestara atención especial a todos los efectossecundarios sobre el resto de la organización. En lugar de ello, los objetivos usados en un estudiodeben ser tan específicos como sea posible, siempre y cuando contemplen las metas principalesdel tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de consistencia con los objetivos de losaltos niveles.

Las condiciones fundamentales para que exista un problema es que se establezca una diferenciaentre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u objetivo) y además existacuando menos una forma de eliminar o disminuir esa diferencia. Los componentes de un problemason: a) el tomador de decisiones o ejecutivo; b) los objetivos de la organización; c) el sistema oambiente en el que se sitúa el problema; d) Los cursos de acción alternativos que se puedentomar para resolverlo.

Actividad

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Para formular un problema se requiere; a) identificar las componentes y variables controlables y nocontrolables del sistema; b) identificar los posibles cursos de acción, determinados por lascomponentes controlables; c) definir el marco de referencia dado por las componentes nocontrolables; d) definir los objetivos que se busca alcanzar y clasificarlos por orden deimportancia; e) identificar las interpelaciones importantes entre las diferentes partes del sistema yencontrar las restricciones que existen.

2.2 Formulación de un modelo matemático

Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste enreformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que lainvestigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que representela esencia del problema.

El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y desigualdades)establecidas en términos de variables, que representa la esencia el problema que se pretendesolucionar.

Para construir un modelo es necesario primero definir las variables en función de las cuales seráestablecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos partes queconstituyen un modelo: a) la medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de losobjetivos y generalmente es una función (ecuación) llamada función objetivo; b) las limitantes delproblema llamadas restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades queconstituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximaciónabstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable elproblema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. Unaventaja obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa.Esto tiende a hacer que toda la estructura del problema sea más comprensible y ayude a revelarlas relaciones importantes entre causa y efecto. De esta manera, indica con más claridad quedatos adicionales son importantes para el análisis. También facilita simultáneamente el manejo delproblema en su totalidad y el estudio de todas sus interpelaciones. Por último, un modelomatemático forma un puente para poder emplear técnicas matemáticas y computadoras de altopoder, para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes desoftware para muchos tipos de modelos matemáticos, para micro y minicomputadoras.

Por otro lado, existen obstáculos que deben evitarse al usar modelos matemáticos. Un modelo es,necesariamente, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requierenaproximaciones y suposiciones de simplificación si se quiere que el modelo sea manejable(susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempreuna representación válida del problema. El criterio apropiado para juzgar la validez de un modeloes el hecho de si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursosde acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. En consecuencia, no es necesarioincluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobretodas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de efectividadsea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos(es decir, las diferencias entre sus valores) sean bastante preciso. Entonces, todo lo que serequiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vidareal. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable depruebas del modelo y las modificaciones consecuentes. Aunque esta fase de pruebas se hayacolocado después en el orden del libro, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva acabo durante la etapa de construcción para que sirva de guía en la obtención del modelomatemático.

2.3 Obtención de una solución a partir del modelo

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas alas componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando

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menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijanlos objetivos y las restricciones del problema.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Losprocedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizanprocesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan enbase a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan alsistema real, en base a un modelo.

Muchos de los procedimientos de solución tienen la característica de ser iterativos, es decirbuscan la solución en base a la repetición de la misma regla analítica hasta llegar a ella, si la hay,o cuando menos a una aproximación.

2.4 Prueba del modelo

El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de unprograma de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable quecontenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar deencontrar y corregir tantos problemas como sea posible. Eventualmente, después de una largaserie de programas mejorados, el programador (o equipo de programación) concluye que el actualda, en general, resultados razonablemente válidos. Aunque sin duda quedarán algunas fallasocultas en el programa (y quizá nunca se detecten, se habrán eliminado suficientes problemasimportantes como para que sea confiable utilizarlo.

De manera similar, es inevitable que la primera versión de un modelo matemático grande tengamuchas fallas. Sin duda, algunos factores o interpelaciones relevantes no se incorporaron almodelo y algunos parámetros no se estimaron correctamente. Esto no se puede eludir dada ladificultad de la comunicación y la compresión de todos los aspectos y sutilezas de un problemaoperacional complejo, así como la dificultad de recolectar datos confiables. Por lo tanto, antes deusar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallasque se pueda. Con el tiempo, después de una larga serie de modelos mejorados, el equipo de IOconcluye que el modelo actual produce resultados razonablemente válidos. Aunque sin dudaquedarán algunos problemas menores ocultos en el modelo (y quizá nunca se detecten), las fallasimportantes se habrán eliminado de manera que ahora es confiable usar el modelo. Este procesode prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validacióndel modelo.

Debido a que el equipo de IO puede pasar meses desarrollando todas las piezas detalladas delmodelo, es sencillo "no ver el bosque por buscar los árboles". Entonces, después de completar losdetalles ("los árboles") de la versión inicial del modelo, una buena manera de comenzar laspruebas es observarlo en forma global ("el bosque") para verificar los errores u omisiones obvias.El grupo que hace esta revisión debe, de preferencia, incluir por lo menos a una persona que nohaya participado en la formulación. Al examinar de nuevo la formulación del problema y comprarlacon el modelo pueden descubrirse este tipo de errores. También es útil asegurarse de que todaslas expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores delos parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados delmodelo se comporten de una manera factible. Con frecuencia, esto es especialmente reveladorcuando se asignan a los parámetros o a las variables valores extremos cercanos a su máximo o asu mínimo.

Un enfoque más sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva.Cuando es aplicable, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinarsi el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. Lacomparación de la efectividad de este desempeño hipotético con lo que en realidad ocurrió, indicasi el uso del modelo tiende a dar mejoras significativas sobre la práctica actual. Puede tambiénindicar áreas en las que el modelo tiene fallas y requiere modificaciones. Lo que es más, elemplear las alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se puedenreunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentescursos de acción.

Cuando se determina que el modelo y la solución no son válidos, es necesario iniciar nuevamenteel proceso revisando cada una de las fases de la metodología de la investigación de operaciones.

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2.5 Establecimiento de controles sobre la solución

Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal siempre y cuandolas condiciones del problema tales como: las variables no controlables, los parámetros, lasrelaciones, etc., no cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuandoalgunos de los parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesariogenerar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en losparámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocaspalabras, esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de loscuales no cambia la solución del problema.

2.6 Implantación de la solución

El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo delproceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones. Una vez superado éste obstáculo, se debetraducir la solución encontrada a instrucciones y operaciones comprensibles para los individuosque intervienen en la operación y administración del sistema. La etapa de implantación de unasolución se simplifica en gran medida cuando se ha propiciado la participación de todos losinvolucrados en el problema en cada fase de la metodología. Preparación para la aplicación delmodelo

Esta etapa es crítica, ya que es aquí, y sólo aquí, donde se cosecharán los beneficios del estudio.Por lo tanto, es importante que el equipo de IO participe, tanto para asegurar que las solucionesdel modelo se traduzcan con exactitud a un procedimiento operativo, como para corregir cualquierdefecto en la solución que salga a la luz en este momento.

El éxito de la puesta en práctica depende en gran parte del apoyo que proporcionen tanto la altaadministración como la gerencia operativa. La buena comunicación ayuda a asegurar que elestudio logre lo que la administración quiere y por lo tanto merezca llevarse a la práctica. Tambiénproporciona a la administración el sentimiento de que el estudio es suyo y esto facilita el apoyopara la implantación.

La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de investigación de operacionesde una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptary su relación con la realidad operativa. En seguida, estos dos grupos comparten la responsabilidadde desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerenciaoperativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y seinicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá empleardurante algunos años. Con esto en mente, el equipo de IO supervisa la experiencia inicial con laacción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.

A la culminación del estudio, es apropiado que el equipo de investigación de operacionesdocumento su metodología con suficiente claridad y detalle para que el trabajo sea reproducible.Poder obtener una réplica debe ser parte del código de ética profesional del investigador deoperaciones. Esta condición es crucial especialmente cuando se estudian políticasgubernamentales en controversia.

1. Investigue en fuentes secundarias de las diversas aplicaciones de la Investigación deOperaciones en empresas peruanas, presente como monografía.

Actividad

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SEGUNDA UNIDAD

Tema Nº 3: PROGRAMACIÓN LINEAL

3.1 Introducción.

Se considera al desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los avances científicosmás importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad es una herramienta comúnque ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios, incluyendoindustrias medianas y pequeñas en distintos países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza deesta notable herramienta y qué tipo de problemas puede manejar? Expresadobrevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignarrecursos limitados entre las distintas actividades de la mejor manera posible (es decir, enforma óptima). La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción essin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a losproductos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país.No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignarrecursos a las actividades.

La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. Eladjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber serfunciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programaciónen computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación linealtrata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, elresultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entretodas las alternativas de solución.

Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, laprogramación lineal tiene muchas otras posibilidades, de hecho, cualquier problema cuyomodelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es unproblema de programación lineal. Aún más, se dispone de un procedimiento de soluciónextraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas,incluso los de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de laprogramación lineal en las últimas décadas.

3.2 Expresión matemática

La Función Objetivo del Modelo Lineal es la formulación matemática de unameta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Esuna función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente formageneral:

Optimizar C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn

Xj, simboliza matemáticamente a las variables de decisión. Son los valoresnuméricos que se determinan con la solución del modelo y representan oestán relacionadas con una actividad o acción a tomar. Son los únicos valoresdesconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1hasta n variables. Es decir, j varía desde 1 hasta n.

Cj, matemáticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en laFunción Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya

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conocidos. En la Función Objetivo representan la cantidad con la cualcontribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.

Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funcioneslineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor delas variables de decisión a valores permisibles. Representan recursos,condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del ModeloLineal general tienen la forma siguiente:

a11 X1 + a12 X 2 + a13 X 3 + a14 X 4 + … + a1nXn <= b1

a21 X1 + a22 X 2 + a23 X 3 + a24 X 4 + … + a2n Xn <= b2

a31 X1 + a32 X 2 + a33 X 3 + a34 X 4 + … + a3n Xn <= b3

.

.

.

am1 X1 + a m2 X 2 + am3 X 3 + am4 X 4 +… amn Xn <= bm

aij, matemáticamente simboliza el coeficiente, en la restricción i, de las variable j.

El subíndice i indica el recurso, requerimiento o condición cuya limitación se estáexpresando; j indica la variable correspondiente. Cuando la limitación es de unrecurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i,que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitación es de unrequerimiento o condición i, representan la cantidad del requerimiento ocondición i limitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento ocondición total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que loscoeficientes de las variables en la Función Objetivo.

bi, matemáticamente constituye el lado derecho de la restricción i.Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad totalde un requerimiento o condición i establecida. Puede existir cualquier cantidad derestricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.

Xj >= 0 es una restricción de no negatividad de las j variables, la cual se leconsidera siempre presente como una condición natural en el Modelo LinealGeneral.

3.3 Modelo de Programación LinealLos términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintostipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajoconsideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales demaquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversiónen proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes decierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede serque todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), yentonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicasdentro de esta categoría general.

El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación derecursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, deforma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignaciónincluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de lamedida global de efectividad.

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Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintascomponentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran acontinuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación derecursos a actividades.

Z = valor de la medida global de efectividad

xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)

cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j

El modelo establece el problema en términos de tomar decisiones sobre los niveles de lasactividades, por lo que x1,x2,....,xn se llaman variables de decisión. Los valores de cj, bi yaij (para i = 1,2,....,m y j = 1,2,....,n) son las constantes de entrada al modelo. Las cj, bi yaij también se conocen como parámetros del modelo.

3.4 Forma estándar del modeloAhora se puede formular al modelo matemático para este problema general deasignación de recursos a actividades. En Datos necesarios para un modelo deprogramación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, estemodelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para:

optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +....+ cnxn,

sujeta a las restricciones:

a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1

a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2

.

.

.

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bm

X1 0, X2 0, ..., Xn 0.

3.5 Suposiciones del Modelo de Programación Lineal

3.5.1 Proporcionalidad

La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivelde actividad xj, como lo representa el término cjxj en la función objetivo. De manerasimilar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional esproporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término aijxj enla restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o lafunción en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo deprogramación lineal.

3.5.2 Actividad

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Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades,deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no loscrean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la funciónobjetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales.Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo deotras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular.

3.5.3 Aditividad

Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el ladoizquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individualesde las actividades respectivas.

3.5.4 Divisibilidad

Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquiervalor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de nonegatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cadavariable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que lasactividades se pueden realizar a niveles fracciónales.

3.6 Limitaciones del modelo de programación lineal3.6.1 Modelo determinístico

El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: Cj, aij y bi; de ahí susencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe serconocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo oincertidumbre, pude utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica,o realizarse un análisis de sensibilidad.

3.6.2 Modelo estático

En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuacionesdiferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirseque la PL utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucraformalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de PL,puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables.

3.6.3 Modelo que no suboptimiza

Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima odeclara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debeobtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denominaprogramación lineal por metas.

3.7 Impacto de la Investigación de OperacionesLa investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramientode la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, lainvestigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de laproductividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países queson miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS),en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.

Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Porejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que laIO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento paralos estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005.

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Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando comoanalistas de investigación de operaciones.

3.8 Riesgo al aplicar la Investigación de OperacionesAl aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre elriesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentestécnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscarresolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, esdecir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejorassoluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender lametodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas desolución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

Limitaciones de la Investigación de Operaciones1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder

manipularlo y detener una solución.

2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en lasorganizaciones se tienen objetivos múltiples.

3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problemapráctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicaciónde esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones deíndole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista eingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.

4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de solucionesdefinidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se vansuperados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

3.9 Modelos matemáticosExisten muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar deminimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Unfabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómocumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, losinventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con éxito a estosy otros muchos problemas. Para ello emplea modelos matemáticos.

Un modelo matemático consta al menos de tres conjuntos básicos de elementos:

a) Variables de decisión y parámetros

Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de lasolución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema obien que se pueden controlar.

b) Restricciones

Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes quedan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo siuna de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, esevidente que el valor de esa variable no puede ser negativa.

c) Función Objetivo

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La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión,parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Porejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la funciónobjetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.

La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para unconjunto de valores factibles de las variables.

Es decir hay que determinar las variables x1, x2, ..., xn que optimicen el valor de Z =f(x1, x2, ..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2, ..., xn) b.

Donde x1, x2, ..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es unafunción matemática.

3.10 Formulación de modelos de programación linealComo su nombre lo indica, la formulación estriba en pasar directamente del sistemaasumido al modelo de PL. Para tal efecto, se propone el siguiente orden: definir el objetivo,definir las variables de decisión, enseguida las restricciones estructurales y finalmenteestablecer las condiciones técnicas

3.10.1 Pasos a seguira) Definir el Objetivo: Consiste en definir un criterio de optimización el cual puede serMaximización o Minimización dependiendo del problema que se desee resolver, el cual esuna función lineal de las diferentes actividades del problema. Bajo el criterio de optimizacióndefinido se pretende medir la contribución de las soluciones factibles que puedan obtenersey determinar la óptima.

b) Definir las variables de decisión: Son las incógnitas del problema básicamenteconsisten en los niveles de todas las Actividades que pueden llevarse a cabo en el problemaa formular, estas pueden ser de tantos tipos diferentes como sea necesario, e incluir tantossubíndices como sea requerido.

c) Definir las restricciones: Son los diferentes requisitos que debe cumplir cualquiersolución para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valoresde los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones más comunes sonde seis tipos, las cuales se listan a continuación:

Restricción de capacidad: limitan el valor de las variables debido a la disponibilidadde horas-hombre, horas-máquina, espacio, etc.

Restricción de mercado: Surge de los valores máximos y mínimos en las ventas o eluso del producto o actividad a realizar.

Restricción de entradas: Son limitantes debido a la escasees de materias primas,mano de obra, dinero, etc.

Restricción de calidad: Son las restricciones que limitan las mezclas de ingredientes,definiendo usualmente la calidad de los artículos a manufacturar.

Restricciones de balance de material: Estas son las restricciones que definen lassalidas de un proceso en función de las entradas, tomando en cuenta generalmentecierto porcentaje de merma o desperdicio.

Restricciones Internas: Son las que definen a una variable dada, en la formulacióninterna del problema, un ejemplo tipo, es el de inventario.

Condiciones Técnicas: En este apartado se establece que todas las variables debentomar valores no negativos.

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3.10.2 Casos de formulaciónEn cada uno de los enunciados de problemas dados a continuación, se debe trasladarla información del sistema a un modelo que lo represente, es decir, formular yconstruir el Modelo Lineal respectivo.

CASO 1.Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a lossiguientes precios: A, S / . 700.00, cada unidad; B, S / . 3 500; C, S / 7 000.Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidadesde materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas deacabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C necesita 3 horas detrabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este período deplanificación están disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600unidades de materia prima.

Con base en la teoría señalada, para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente.

X1: unidades a producir de producto A

X2: unidades a producir de producto B Estos son insumos controlables

X3: unidades a producir de producto C

b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de venta

Max S/. 700 por unidad * X1 unidades de A + 3.500 X2 + 7.000 X3

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sustérminos. Este término presenta la información específica de lo que contiene ypermite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello esconsecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso,ingreso en Nuevos soles.

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.

Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.

1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3≤100 horas de trabajoUnidad de A

Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:

2X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 ≤200 horas de acabadoUnidad de B

Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:

3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. materia prima X3 (unid. de prod. B) ≤600 Unid de Materia

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primaUnidad de B

De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca encada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Estoconfirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo dellado derecho de la ecuación.

Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, seresume así el modelo:

Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Sujeto a:

1X1 + 2 X2 + 3 X3≤ 100

2X1 + 3 X2 + 1 X3≤ 200

3X1 + 2.5 X2 + 4 X3≤600

X1, X2, X3≥ 0

CASO 2.La Cámara de Industriales de la región periódicamente promueve servicios públicos,seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año estánen marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y laaudiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima deunidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran acontinuación.

Restricciones Televisión Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100.000 18.000 40.000Costo por unidad de publicidad $ 2.000 $ 300 $ 600Uso máximo del medio 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad deunidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. Elpresupuesto total para promociones se ha limitado a $18.500.

Utilizando el mismo proceso teórico, se tiene lo siguiente:

Variables de decisión:

X1: unidades de publicidad a contratar en televisión.

X2: unidades de publicidad a contratar en radio.

X3: unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo: Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que ven la publicidad

Max 100.000 personas X1 Unid en t.v + 18.000 X2 + 40.000 X3

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Unid en t.v

Restricción 1: Disponibilidad limitada de presupuesto para la publicidad:

2.000 X1 + 300 X2 + 600 X3 ≤ 18.500

Restricciones 2, 3 y 4: Uso máximo de medios para la publicidad:

X1 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en t.v

X2 ≤ 20 unidades de publicidad a contratar en radio

X3 ≤ 10 unidades de publicidad a contratar en prensa

Restricción 5: Publicidad limitada a un máximo de 50% en radio, con relación al total deunidades a contratar:

X2 ≤ 0.5 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así:

- 0.5 X1 + 0.5 X2 - 0.5 X3 ≤ 0

Restricción 6: La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10%del total autorizado

X1 ≥ 0.10 (X1+ X2+ X3)

Finalmente quedará expresada así: 0.9 X1 – 0.1 X2 - 0.1 X3 ≥ 0

Posteriormente puede resumir el modelo agregándole la restricción de no-negatividad delas variables

CASO 3.El Banco Internacional abre de lunes a viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experienciaspasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros señalados en la tabla dada.Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los cincodías, excepto la hora que utilizan para almorzar. El Banco determina cuándo debealmorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12m y la 1 p.m. o entre la 1 p.m. y las 2p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga Bs.1.800 la hora (incluida la horade almorzar). También hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajarexactamente 3 horas consecutivas cada día y se le paga Bs. 1.100 la hora, sin ningúnotro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un máximo de5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los costos de empleadoscontratados.

Período de tiempo 8-9 am 9-10am 10-11am 11am-12m 12m-1pm 1-2pm 2-3pm3-4pm Cajeros requeridos 4 3 4 6 56 8 8

a) Variables de decisión:

X1: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 12m- 1pm

X2: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 1pm-2pm

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X3: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 8am




X7: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 12m

X8: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1pm

Empleados a tiempo parcial que trabajan desde la 1pm hasta que cierre y por lo tantono se necesitan empleados a tiempo parcial que empiecen a las 2 pm o las 3 p.m.

b) Objetivo: Minimizar Costos de contratación

Min 14.400 (X1+ X2 ) + 3.300( X3+ X4 + X5 + X6 + X7 + X8)

c) Restricciones de requerimientos de empleados totales en los ocho horarios señalados (8 restricciones)

Restricción de empleados en el horario de 8 am - 9 a..m.

X1 + X2 + X3 ≥ 4

Restricción de empleados en el horario de 9 a.m. - 10 a..m.

X1 + X2 + X3 + X4 ≥ 3


X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 4


X1 + X2 + X4 + X5 + X6 ≥ 6

Restricción de empleados en el horario de 12m - 1 p..m.

X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 5

Restricción de empleados en el horario de 1 p.m. - 2 p.m.

X1 + X6 + X7 + X8 ≥ 6


X1 + X2 + X7 + X8 ≥ 8


X1 + X2 + X8 ≥ 8

Restricción de cantidad máxima de 5 cajeros contratados a tiempo parcial:

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ≤ 5

Restricción de no negatividad de las variables: Todas las variables no negativas

NOTA: Para obtener las restricciones puede elaborar un cuadro de doble entrada: Unaentrada conteniendo cada Tipo de trabajador y la otra con las horas durante las cualesexisten requerimientos específicos; esta última se dividirá en 8 columnas de 8 horarios,al final de las cuales está el total de empleados requeridos en cada uno de ellos.

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Caso 3:Sean x1 y x2 la cantidad a producirse de dos productos 1 y 2 respectivamente, los costosde producción de ambos productos, S/. 3 para el producto 1 y S/. 5 para el producto 2. Siel tiempo total de producción esta restringido a 500 horas y el tiempo de producción sonde 8 horas por unidad para el producto 1 y de 7 horas por unidad para el producto 2,entonces podemos representar el modelo como:

C = 3x1 + 5x2 (Costo total de Producción)

Sujeto a:

8x1 + 7x2 500

x1 0 y x2 0

Caso 4:Un fabricante de dos productos sillas y mesas y dispone de 6 pies de madera y 28 horaspara su ensamblaje, luna silla requiere 2 pies de madera y 7 horas de ensamblaje, unamesa requiere 1 pie de madera y 8 horas de ensamblaje, los precios de los productos sonS/. 120 y S/. 80 respectivamente. ¿Cuantas sillas y cuantas mesas se deben fabricar paramaximizar su ingreso?

Sea x1 y x2 la cantidad de sillas y mesas a producir respectivamente

El objetivo se expresa como: Maximizar z = 120x1 + 80x2

El fabricante está sujeto a dos restricciones:

- De Material : 2x1 + x2 6

- De Horas : 7x1 + 8x2 28

- De no negatividad x1 0 y x2 0

- Además no se venden productos no terminados por lo tanto las variablesx1 y x2 deben ser enteras.

Recomendaciones finales.

Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse afirmaciones lógicasen términos matemáticos. Esto se realiza cuando se resuelven “problemas hablados” alestudiar un curso de álgebra. Algo muy parecido sucede aquí al formular lasrestricciones. Por ejemplo, considérese la siguiente afirmación: Para fabricar el productoA se emplea 3 horas por unidad y para B se emplea 2 horas por unidad. Si deben usarsetodas las 100 horas- hombre, disponibles, la restricción será:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es obligatorio que seusen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra). Más bien la limitación esque se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible. Para este caso, la afirmaciónanterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B 100

Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de variables conexponente 1. Además, la forma estándar para una restricción pone a todas las variablesdel lado izquierdo y sólo una constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede

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requerir algún reacomodo de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debeser por los menos el doble de B, esto puede escribirse como:

A 2B ó A - 2B 0

La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o cero, es decir, nonegativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se querría una solución quediga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense menos cuatro personas.

Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede tener unproblema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del objetivo se llamafunción objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar alguna medida numérica.Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la contribución marginal o los contactoscon los clientes. Podría ser minimizar el costo, el número de empleados o el material dedesperdicio. Con frecuencia el objetivo es evidente al observar el problema.

Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve el problema, seusa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá, entonces, la forma:

Maximizar Z = 3A + 2B ó

Minimizar Z = 3x1 + 2x2

Formular los modelos de programación lineal.

PROBLEMA N° 01Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseoy de montaña que quiere vender, respectivamente a 2.000 y 1.500 Euros cada una parasacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs dealuminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo yde montaña venderá?

PROBLEMA N° 02Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y ano fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y alfumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg.¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con lafinalidad de optimizara el beneficio?

PROBLEMA N° 03A una persona le tocan 10 millones de euros en una lotería y le aconsejan que las inviertaen dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen unbeneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual.Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la comprade acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decideque lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir10 millones para que le beneficio anual sea máximo?

PROBLEMA N° 04

Actividad

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Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. Laempresa A le paga 5 euros por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos másgrandes, le paga 7 euros por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para losimpresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Hacalculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que sepregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para quesu beneficio diario sea máximo?

Tema Nº 4: METODOS DE SOLUCION DE PROBLEMAS DE PL

4.1 Método gráficoEn el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal pararesolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.

La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por lasrestricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus puntosextremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al menos,dos rectas.

El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra elconjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s)extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo. Permite conocer la base matemáticade la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar gráficamentesituaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda a lacomprensión de la Programación Lineal.

El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes:

a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el áreacorrespondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente.

b) Determinar el área común a todas las restricciones.

c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de solucionesposibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor,determinarán la solución del modelo.

d) Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, paraobtener la solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar laFunción Objetivo con un valor arbitrario dentro de la región solución. Luego sedesplaza paralelamente en la dirección que incremente su valor (si estámaximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El punto o los puntosextremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de laregión de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo.

4.1.1 Criterios a considerar

Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porquetodos los untos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo.

Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variablesproporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque unúnico punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremolimita el valor de la recta objetivo.

Un modelo tiene soluciones óptimas ALTERNAS cuando más de una combinaciónde variables proporciona el óptimo valor del objetivo. Se reconoce en el gráfico

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porque más de un punto extremo proporciona el óptimo valor del objetivo o más deun punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarsedentro de la región solución cae paralelamente sobre alguna restricción antes desalir totalmente de la región solución. Un modelo NO TIENE SOLUCIÓN POSIBLEcuando no hay alguna combinación de variables que satisfaga todas lasrestricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo.Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna región común para todas lasrestricciones.

Un modelo tiene SOLUCIÓN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones devariables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay algunacombinación que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a laomisión de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restriccioneslimitarían las variables de decisión a valores factibles. Se reconocen en el gráficoporque el espacio de solución es abierto, no acotado, no limitado y la FunciónObjetivo puede moverse dentro de esa región hasta el infinito sin que un puntoextremo, con valor finito, limite su valor.

Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DEVALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinitoal objetivo pero existe al menos una combinación de variables que le proporciona unvalor finito. Se reconocen en el gráfico porque la región de soluciones posibles esabierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor delobjetivo.

Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones devariables que tienen más de la cantidad normal (una por cada restricción) devariables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantesen el modelo. Más de la cantidad normal de variables (una por cada restricción delmodelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones enel punto óptimo. Se reconocen en el gráfico porque más de dos restricciones cruzansobre el punto extremo óptimo.

Una restricción redundante puede ser removida sin afectar la región solución.Cuando la restricción redundante está sobre el punto extremo óptimo, la solución esDegenerada.

Los modelos lineales que son formulados en sistemas cuya solución tiene valorinfinito y los que no presentan solución posible son casos que no deben existir en elmundo real. En los modelos con solución degenerada, una restricción redundanteen un período de planificación dentro de ese sistema, puede no serlo en otroperíodo posterior, por lo tanto es recomendable tener en cuenta esa consideración.

4.1.2 Casos de aplicaciónCASO 1.a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:

031

3

xyxy

y

b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistemaanterior.

Solución:

pág. 33


xyxyxyxy

y

30311

3rectaslasmosRepresentaa)

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles sonlos puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones delsistema, pero (1, 2) sí lo es.

CASO 2.Maximiza la función z = x y, sujeta a las siguientes restricciones:

00

28324434

263

yx

yxyx

yx

Solución:

32282832

34444434

326263

rectaslasmosRepresenta

xyyx

xyyx

xyyx

Se halla la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta

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que: x 0 ey

Representamos la dirección de las rectas z = x y, dibujando la que pasapor el origen de coordenadas: x y = 0

aproporcionqueeles,4,8decir,es28324434

deónintersecci,puntoEl

Myxyx

M

el máximo, que vale: z = 8

CASO 3.En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo seencuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de Ay cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. Elprecio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con uncoste mínimo?

Solución:Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran detipo II.

Resumamos los datos en una tabla:

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Las restricciones son:

00

155155

yx

yxyx

La función que nos da el coste es z = 10x y = 10(x y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x y) = 0

x y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x y).

2,5).(2,5;endecir,es;155155

deóninterseccidepuntoelenalcanzasemínimoElyxyx

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II. El precio en este caso seráde z = 10(2,5

CASO 4.Disponemos de 210 000 soles para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos deacciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimosinvertir un máximo de 130 000 soles en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 soles en lasde tipo B. además, la inversión en las del tipo A debe ser menor o igual que el doble de lainversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener máximo interés anual?

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Solución:Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos enlas de tipo B. Resumimos los datos en una tabla:

Las restricciones son:

002

0006000130

000210

yx

yxyx

yx

La función que nos da el rendimiento total es:

.4550145

1002810

100108,01,0 yxyxyxyxz

Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.

Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)

rectaslasdedirecciónladanosque,045045501rectalay yxyx

.45501 yxz

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El máximo se alcanza en el punto (13, 8).

Por tanto, debemos invertir 130 000 soles en acciones del tipo A y 80 000 soles enlas de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de

.euros400190008040001305501

z

CASO 5.a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:

00

8293

yx

yxyx

b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.

Solución:

00

28823

993

rectaslasmosRepresentaa)

yx

xyyx

xyyx

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles sonlos puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).

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4.1.3 Situaciones especialesa) Modelos con soluciones óptimas alternas o múltiples.

Max 6X1+ 2X2 (Beneficio) Sujetos a:

3 X1 + X2 4 8 horas de trabajo

3 X1 + 4 X2 120 unidades de materia Prima

3 X1 + X2 36 horas de supervisión.

X1, X2 0

El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de unidadesde producto 1 ( X1) y producto 2 (X2) a fabricar para satisfacer el objetivo establecido demaximizar el beneficio. El monto total disponible de horas de trabajo para este período esde 48. La disponibilidad de materia prima es de 120 unidades y la cantidad mínima dehoras disponibles para supervisión es de 36 horas.

Graficar las restricciones y obtener el espacio de solución se efectúa en forma similar alproceso efectuado en el caso 1 y por lo tanto no se repetirán las instrucciones.

Los puntos extremos del conjunto convexo son: A(16,0), B(8,24), C(8/3,28) y D(12,0).

Dos puntos extremos proporcionan el máximo valor del objetivo, los puntos A y B.Esto permite afirmar que existen soluciones óptimas Alternas para este modelo. Sonóptimos todos los puntos sobre el segmento de línea AB que limita el conjuntoconvexo de solución y corresponden a la primera restricción.

Si utiliza el método de graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario, 48 porejemplo, podrá observar que la línea es completamente paralela a la primera ytercera restricción. Al desplazarla paralelamente hacia su optimización, haciaarriba porque se está maximizando, finalmente caerá completamente sobre laprimera restricción, de horas de trabajo, antes de salir totalmente fuera de la regiónsolución. Dos puntos extremos estarían limitando el crecimiento del objetivo, el puntoB y el punto A.

“Cualquier recta que tenga ratio de coeficientes igual al de otra recta, es paralela aesa otra recta”

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La ventaja que presentan los modelos con este Tipo de solución es que sepuede elegir cualquiera de las soluciones óptimas, porque todas presentan elmismo valor óptimo para el objetivo. Por ejemplo, si una de las soluciones tienevalores fraccionales para las variables y no puede trabajarse con valoresfraccionales, el que toma la decisión seleccionará una solución con valores enteros.

Es una solución óptima alterna porque existe más de una combinación de productos1 y 2 a producir, que proporcionan el mismo valor óptimo para el beneficio.

Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo limita el valoróptimo del objetivo o proporciona su valor óptimo, los puntos: A (16,0) y punto B(8,24). Por lo tanto, todos los puntos sobre la recta AB son también óptimos. Debeseleccionar una de todas las soluciones. Suponga que elige la del punto extremo B(8, 24). En este caso la decisión sería: Producir 8 unidades de producto1 y 24unidades del producto 2 para maximizar el beneficio en 96 unidades monetarias: 6(8) + 2 (24) = 96. Este valor para la Función Objetivo también se obtendría en elotro punto extremo A (16, 0) y en cualquier punto sobre la recta AB en la regiónsolución.

Considerando las restricciones:

Restricción 1: 3 (8) + 1 ( 24) 48 48 = 48

Se observa que se cumple como igualdad. Esto indica que con esa decisión óptimase utiliza totalmente el monto máximo de horas de trabajo disponible para laproducción.

Restricción 2: 3 (8) + 4 ( 24) = 120

Cumple exactamente, es decir como una igualdad, indica que con esa decisiónóptima se utilizará totalmente el monto máximo disponible de Materia Prima.

Restricción 3: 3 (8) + 1(24) 36 48 > 36

Cumple como una desigualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utilizan12 horas sobre el monto mínimo disponible de horas de supervisión. Se utilizan 48horas.

b) Modelos sin solución posible.No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución posible paratomar alguna decisión.

Max 40 X1 + 30 X2

Sujeto a:

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 201/5 X2 ≤ 5

3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21X1 ≥ 30

X2 ≥ 15X1, X2 ≥ 0

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Puede observarse en el, que mientras las 3 primeras restricciones delimitan unespacio en común, las 2 últimas delimitan otro espacio común para ellas. Por lotanto, no hay una región de puntos comunes que satisfagan ambos conjuntos derestricciones y el modelo no tendrá solución posible. En estos casos esnecesario determinar cuáles son las restricciones inconsistentes para el modelo. Esdecir, cuáles son realmente válidas para el modelo.

Observe que si las variables X1 y X2 toman el valor mínimo que pueden tomar enlas dos últimas restricciones, es decir X1 = 30 y X2 = 15 entonces la tercerarestricción no se cumpliría. Esto es una inconsistencia.

Estos modelos no deben existir en el mundo real. Si el sistema es real , entoncesel modelo debe representarlo de tal manera que permita obtener una soluciónposible.

c) Modelos que presentan solución con valor infinitoMax X1+ 2X2

Sujeto a:

-4 X1 + 3 X2 ≤ 3

X1 - X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0

No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución paratomar alguna decisión.

En el gráfico, el conjunto convexo llamado región solución, que contiene todas lassoluciones posibles, es un espacio abierto.

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Tiene tres puntos extremos A, B y C, pero ninguno delimita el crecimiento delobjetivo. Esta función puede tomar valores infinitos ya que las variablesconforman puntos con valores infinitos dentro de la región factible y ningunoproporciona un valor finito óptimo. Por tanto, no es lógico encontrar un objetivo devalor infinito.

En estos casos debe buscarse dentro del sistema, la restricción o lasrestricciones que se omitieron modelo y que limitarían las variables de decisión avalores factibles.

d) modelos con espacio de solución no acotado y solución de valor finito.Min 0.06 X1+ 0.05 X2 ( costos)

Sujeto a:

0.30 X1 + 0.20 X2 ≥ 500 Proteína

0.15 X1 + 0.30 X2 ≥ 300 Grasa

X1, X2 ≥ 0

El modelo es formulado para una guardería de perros que se destaca por dar unaalimentación balanceada a las mascotas. El alimento lo elabora mezclando 2marcas conocidas de alimentos que llamaremos X1 y X2. Se desea determinar lacantidad de gramos de X1 y X2 a mezclar en el alimento, con el objetivoestablecido de minimizar los costos de la mezcla. Esta, debe contener al menos 500gramos de proteínas y al menos 300 gramos de grasa por día. Los porcentajes decontenido de grasa y proteína de cada gramo de X1 y X2 se conocen y son usadosen el modelo.

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El espacio de solución obtenido se muestra en el gráfico. Se observa una regiónabierta con las soluciones posibles y puntos extremos A, B, C. Esto indica quepueden existir combinaciones de cantidad de gramos de alimento X1 y X2 convalor infinito, en este caso los costos serían infinitos. Esto es posible porque no seestá limitando directamente la cantidad de X1 y X2 en alguna restricción específicay las restricciones existentes son todas de Tipo “que”.

Pero, mientras exista al menos una combinación con valor finito, en algún puntoextremo que limite el valor del objetivo, a esa combinación se le considerará óptima.En los casos de región abierta de soluciones posibles, es conveniente entoncesencontrar el valor óptimo con el procedimiento de graficar la Función Objetivo.

Al graficar la Función Objetivo, con un valor arbitrario de 120, se observa que aldesplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia abajo porque se estáminimizando, la línea cae sobre el punto B, antes de salir completamente de laregión solución. A este punto se le considerará punto extremo óptimo.

La solución óptima es Única con los valores: X1 = 1.500, X2 = 250 F.O. = 102.5

e) Modelos con solución degeneradaMin 2500 X + 2200 Y( costos)

Sujeto a:

X + Y ≤ 10 Empleados temporales

300 X + 400 Y ≥ 3.400 cartas

80 X + 50 Y ≥ 680 paquetes

X, Y ≥ 0

El modelo es formulado por una oficina de correos que puede contratar hasta 10empleados para manejar el correo. La oficina conoce que un empleado (hombre)puede manejar 300 cartas y 80 paquetes por día y una empleada (mujer) puedemanejar 400 cartas y 50 paquetes en un día. No menos de 3.400 cartas y de 680paquetes se esperan por día. A cada empleado hombre (X), se le paga Bs. 2.500 pordía y a una empleada mujer ( Y) se le paga Bs. 2.200 por día.

Se quiere determinar la cantidad de hombres (X) y mujeres (Y) que se deben

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contratar para satisfacer las restricciones y lograr el objetivo establecido de minimizarlos costos de la nómina.

Siguiendo el procedimiento el gráfico obtenido es:

Se observa una región de soluciones posibles de un solo punto común para todas lasrestricciones y por lo tanto un único punto extremo A.

Esto indica que existe una única combinación posible y además óptima, de cantidadde empleados X y Y que satisface las restricciones y optimiza el objetivo.

Conociendo la definición del modelo, se plantean las siguientes consultas:

a) ¿Qué representa el coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo y en lasegunda restricción?

b) ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en elgráfico?

c) ¿Cuál es la solución y la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?

d) Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que seobtiene.

e) ¿Qué efecto tendría, sobre la solución óptima encontrada, un cambio en el númerode cartas esperadas. Suponga que cambia a 2.400. Explique y muestre sobre elgráfico.

Respuestas:a) El coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo representa lo que se le paga

diariamente a cada trabajadora (mujer), es decir, el costo de contratar una

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trabajadora al día es de Bs. 2.200. En la segunda restricción representa la cantidadde cartas que puede manejar al día cada mujer contratada, es decir, 400 cartas aldía puede manejar cada mujer contratada.

b) Única y Degenerada. Normalmente la solución de un modelo contiene una variable(Estructural o de holgura) con valor mayor que cero por cada restricción del modelo.En este caso, más variables de las normales toman valor cero, para podersatisfacer mayor numero de restricciones, en el punto óptimo. Hay entonces menorcantidad de variables con valor mayor que cero con relación al número derestricciones. Por eso se le llama Solución Degenerada en contraposición a laSolución Normal. Además es única porque una sola combinación de empleados,hombres y mujeres, proporciona el mínimo costo. Se debe a la presencia derestricciones redundantes en el modelo y se reconoce en el gráfico porque más dedos restricciones cruzan sobre el punto óptimo. Del total de restricciones que cruzanel punto óptimo, sólo dos son necesarias para calcular sus coordenadas. En estecaso sólo hay una restricción redundante, por ello la Solución es Degenerada. Sereconoce que es única porque hay un solo punto extremo que proporciona el valoróptimo del objetivo.

c) La solución es X = 6, Y = 4, F.O. = 23800. La decisión sería contratar 6empleados hombres y 4 mujeres para minimizar los costos diarios decontratación en 23.800 unidades monetarias: 2500(6) + 2200 (4).

d)

Rest r icc ión 1

X + Y ≤10

6 + 4 = 10 De esta manera se contrata e l máximo de empleadosque se estaba d ispuesto a cont ratar .

Rest r icc ión 2

300 X + 400 Y ≥ 3400

300(6) + 400(4) = 3400 Así se manejará e l mín imo de car tas.

Rest r icc ión 3

80 X + 50 Y ≥ 680

80(6) + 50 (4) = 680 Se manejará e l mín imo de paquetes.

e) Se rea l i za e l análisis de sens ib i l idad .

Sobre el gráfico está graficada la nueva restricción

300X + 400 Y ≥ 2400

pág. 45


Se observa que no cambia el espacio de soluciones posibles y por lo tanto lasolución óptima seguirá siendo la misma.

En general, disminuir la cantidad del lado derecho de una restricción Tipo ≥,es relajar la restricción y hacerla más fácil de satisfacer.

Esto puede expandir el conjunto convexo o dejarlo igual. En este caso quedóigual. Esto se estudia más detalladamente en Análisis de Sensibilidad.

Solucionar mediante el Método Gráfico los siguientes programas lineales

a) Halla el mínimo de la función z = 3x + 2y con las siguientes restricciones:

00

2231243

yx

yxyx

Actividad

pág. 46


b) Dibuja el recinto definido por:

422232

yxyxyx

Halla los vértices del recinto anterior.

Halla el máximo de la función z = 4y - x, sujeta a las restricciones propuestas.

¿En qué punto del recinto alcanza dicho máximo?

c) Hallar la solución:

1020

1002003

yx

yxyx

Maximizar las ganancias equivale a maximizar los ingresos.

La función que nos da los ingresos es z = 30x y = 10(3x y). Debemos

obtener el máximo de esta función sujeta a las restricciones anteriores.

4.2 El Método SIMPLEXLos problemas reales de programación lineal generalmente tienen variables de decisión ymuchas restricciones. Tales problemas no pueden ser resueltos gráficamente. Se usanalgoritmos tales como el simplex. El método simplex es un procedimiento iterativo queprogresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas deprogramación lineal. Existen numerosos programas tanto para computadoras centralescomo para personales. Aunque el método simplex es especialmente útil en problemas degran escala (resueltos con una computadora).

Procedimiento general del simplex

1. Establézcase la tabla inicial de simples. Formular la función objetivo y lasrestricciones e introducir las variables de decisión, variable en la solución, valor ensolución (LD), C (contribución de la variable), Z (costo de introducir la variable), C– Z (contribución neta de la variable).

2. Selecciónese la columna pivote. Ésta es la columna con el número positivo másgrande en el renglón inferior (C - Z). Esta se convierte en la nueva variable de lasolución.

3. Selecciónese el renglón pivote. Éste es el renglón con la razón más pequeña delvalor LD dividido por el valor de la columna pivote. Úsense sólo númerospositivos. Esto identifica la variable que deja la solución.

4. Enciérrese en un círculo el elemento pivote. Ésta es la intersección del renglón yla columna pivotes.

5. Conviértase al elemento pivote en un 1. Hágase esto dividiendo cada valor delrenglón pivote entre el valor pivote. Métase este renglón en una tabla nueva.

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6. Genérense los demás renglones de la nueva tabla con ceros en la columnapivote. Esto se hace multiplicando el nuevo renglón (del paso 5) por el negativodel elemento en la columna pivote. El resultado será sumado al antiguo renglón.Introdúzcase este renglón revisado en la nueva tabla, y continúese esteprocedimiento en cada renglón de la sección central de la tabla.

7. Prueba de optimización. Calcúlense los valores de Z y C – Z. Los valores de Z decada columna son (elementos de la columna) ( C ). Si todos los valores de C – Zson ≤ 0, la solución es óptima. Léanse los valores de las variables en la soluciónde la columna de LD y el valor de la función objetivo del renglón de Z en lacolumna de LD. Si la solución no es óptima, regrese al paso 2.

Variables de holgura- El método simplex empieza con el planteamiento de unafunción objetivo y ecuaciones de restricción. Las rutinas computarizadas de programaciónlineal (PL) automáticamente arreglarán esos datos iniciales, pero tratándose desoluciones manuales, debe construirse en cada paso la tabla de simples. Esto requiereque las restricciones sean establecidas como igualdades. En los problemas demaximización se logra esto añadiendo variables de holgura (s) a cada restricción. Laholgura representa una cantidad no utilizada, o la diferencia entre lo que es usado y ellímite de lo que puede usarse.

Caso de aplicaciónLa metodología de solución de los problemas de maximización hace necesarioseleccionar una columna y un renglón pivotes y revisar los valores de la tabla hasta queen el renglón inferior sean menores o iguales que cero.

C 10 30 0 0 Valores desoluciónVariables de

la soluciónVariables de decisiónX Y S1 S2 (LD)

0 S1 4 6 1 0 120 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0C-Z 10 30 0 0 0

1. Seleccionar una columna y un renglón pivotesa) La columna pivote es la que tiene el número positivo más grande en el renglón

inferiorC-Z 10 30 0 0 0

En este ejercicio es 30.

b) El renglón pivote es el que tiene la razón más pequeña, del renglón pivote

26

12 (mínimo) 4

4

16



0 S1 4 6 1 0 120 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0C-Z 10 30 0 0 0

Por lo tanto el renglón 1 es el renglón pivote.

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c) El elemento pivote es encerrado en un círculo 6



0 S1 4 6 1 0 120 S2 8 4 0 1 16

Z 0 0 0 0 0C-Z 10 30 0 0 0

2. Divídase cada valor del renglón pivote 1 entre el elemento pivote (6) y colóquense losvalores en una nueva tabla.


la soluciónVariables de decisión

X Y S1 S2 (LD)0 Y 2/3 1 1/6 0 2

a) Genérense los otros renglones para la siguiente tabla, de tal manera que loselementos de la columna pivote sean iguales a cero.Se empieza con el renglón S2, el cual tiene 4 en la columna de Y. Se multiplica elnuevo renglón (del paso 2) por el negativo del valor que se desea convertir (-4), yse suma al anterior renglón de S2. Se multiplica el nuevo renglón por -4. elresultado se muestra en la siguiente tabla.

X Y S1 S2 (LD)El renglón del paso 2 semultiplica por -4

-4(2/3) -4(1) -4(1/6) -4(0) -4(2)

Obtener el resultado -8/3 -4 -2/3 0 -8Sumarlo al renglón de S2 8 4 0 1 16Para obtener el nuevorenglón

16/3 0 .2/3 1 8

El renglón obtenido se introduce a la nueva tabla del paso 2.



X Y S1 S2 (LD)30 Y 2/3 1 1/6 0 20 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z

Si hay más renglones que convertir, debe repetirse este paso en el siguienterenglón. Dado que ahí no hay más, puede calcularse el renglón Z y C-Z.Los valores en el renglón Z son ∑ (elementos de la columna) (C) Elementos delrenglón Z:

Para X: Z = 2/3(30) + 16/3(0) = 20Para Y: Z = 1(30) + 0(0) = 30Para S1: Z = 1/6(30) – 2/3(30) = 5Para S2: Z = 0(30) + 1(0) = 0Para LD: 2(30) + 8(0) = 60

Después de que se introducen éste y los valores de C-Z en la siguiente matriz, setiene:

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X Y S1 S2 (LD)30 Y 2/3 1 1/6 0 20 S2 16/3 0 .2/3 1 8

Z 20 30 5 0 60C - Z -10 0 -5 0

Repetir los pasos anteriores hasta que todos los valores del renglón inferior sean≤ 0. Dado que todos los valores son ≤ 0, ha sido alcanzada la solución óptima. Lasvariables en la solución son identificadas por las columnas en la parte central de latabla que tienen un 1, y el resto de los valores son cero. Los valores solución sondatos en la columna del lado derecho, como se ve en la siguiente tabla.

X Y S1 S2 (LD)- 1 - 0 2- 0 - 1 8

Z - - - - 60

Por tanto,X = no está en la soluciónY = 2 unidadesZ = $60

Note que la variable de holgura asociada con la restricción 2 también tiene un 1 y ceros,lo cual significa que tiene holgura en la solución y que la restricción no se agotó.Entonces hay sólo una variable de decisión (no holgura) en la solución (Y) y unarestricción agotada (número 1). Esto concuerda con el teorema fundamental deprogramación lineal, que establece que el número de variables de decisión (no holgura)de la solución siempre será igual a número de restricciones que son agotadas.

Resolver mediante el método simplex los siguientes casos:

1. Textil Donnell, produce dos modelos, Chompas y Sacones. El beneficio que arrojacada chompa es de 40 S/. y cada sacón de 60 S/. El mercado puede adquirir hasta400 chompas/semana y hasta 300 sacones/semana y en total la planta solo puedefabricar 600 unidades/semana.

a. ¿Cuántas unidades de cada modelo debe producir la fábrica Textil, paraobtener el máximo de ingresos?

2. Un fabricante produce dos artículos, A y B cada uno de los cuales requiere de dostipos de máquinas y los tiempos respectivos tal como se indica en el siguientecuadro:

Máq / Prod A B

Máquina 1 2 4

Máquina 2 3 1

Actividad

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Utilidad S/. 2.5 3.5

Si el número de horas disponibles en las máquinas al mes son de 200 y 150respectivamente,

a. ¿Determine cuantas unidades de cada producto debe producirse al mes, a finde maximizar la utilidad total?

b. ¿Cual es esa utilidad total?

3. Un camión distribuidora Central SA. puede transportar como máximo 9 TM. porviaje. En un viaje debe transportar al menos 4 TM. de la mercancía A y un peso dela mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A.Sabiendo que cobra 30 S/. / kilo de A y 20 S/. / kilo de B.

a. ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima?

4. Un comerciante acude al mercado mayorista a comprar naranjas con S/. 5 000. Leofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo Valencia a 5 S/. el kg. y las de tipoHuando a 8 S/. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio paratransportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. denaranjas tipo Valencia a 8 S/. y el kg. de tipo Huando a 12 S/.

a. ¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtenermáximo beneficio?

b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

5. La empresa Bembo’s vende hamburguesas de dos tipos: de un cuarto de libra yhamburguesas bembonas. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza¼ de libra de carne y la hamburguesa bembona, sólo utiliza 0,2 libras de carne. Elrestaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es lasiguiente: 2.00 $ por cada hamburguesa de cuarto de libra y 1.50 $ por cadahamburguesa normal. El gerente estima además que no venderá más de 900hamburguesas en total.

Aplicando el método gráfico, determine la máxima utilidad que obtiene Bembo’s.

6. Un carpintero fabrica dos productos: sillas y mesas. Su producción está limitada porlas disponibilidades en listones de madera (36 semanales) y por las horas de manode obra contratada (48 semanales). Cada silla requiere 4 listones de madera y 3horas de mano de obra. Cada mesa requiere 4 listones y 6 horas hombre. Elcarpintero obtiene S/. 30 y S/. 20 de utilidades por cada silla y mesarespectivamente.

Halle por medios gráficos el programa de fabricación que haga máximas lasutilidades.

7. Un estudiante del ISTPC dedica parte de su tiempo al reparto de propagandapublicitaria. La empresa A le paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa B,con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas:una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la quecaben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos comomáximo.

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¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada tipo para que su beneficio diario seamáximo?

8. Un agricultor tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz.El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial delverano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados en elcuadro. ¿

Disp. / Prod maíz trigo

Horas de trabajo por hectárea 2 4

Utilidad S/. 40 30

a. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?

b. ¿Cuál es ésta utilidad máxima?

9. La cervecería Andina S.A. produce cerveza Premium y la de tipo Light. La cervezaPremium se vende a 5 dólares el barril, y la Light a 2 dólares el barril. La producciónde un barril de cerveza Premium requiere de 5 kilos de cebada y 2 kilos de lúpulo.La producción de un barril de Light requiere de 2 kilos de cebada y 1 kilo de lúpulo.Se dispone de 60 kilos de cebada y de 25 kilos de lúpulo.

a. ¿Cuántos barriles de cada tipo de cerveza debe producir para maximizar susingresos?

b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

10. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 plantas-talleres. En eltaller A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, parafabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En el taller B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano deobra y maquinaria, el taller A dispone de 300 días-operario, y el taller B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil soles y de3 mil soles por cada auto.

¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

11. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 mildólares y el costo de una casa de tipo A es de 13 mil y 8 mil una de tipo B. Elnúmero de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 mil y cada una de tipo Ben 9 mil dólares respectivamente.

¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?

12. Una fábrica produce camisas y pantalones los produce con dos tipos de máquinas(de cortar, coser). Fabricar una camisa representa emplear la máquina de cortaruna hora y la de coser tres horas; fabricar un pantalón representa usar la máquinade cortar una hora, la de coser una hora. La máquina de coser se puede usar hastadoce y la de cortar hasta 7 horas al día, sino se recalienta. Todo lo que se fabrica esvendido y se obtiene un beneficio de ocho soles por cada camisa y de cinco solespor cada pantalón.

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¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

13. Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos ypolvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas un día debido a una escasez devehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventasestablece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido arestricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa decemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Unabolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 15 minutos/bolsa y laplanta opera 8 horas al día . Su ganancia es S/.4 por la bolsa de cemento granuladoy S/ 3 por la bolsa de cemento en polvo.

a. Cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar susingresos.

14. En Justicia Paz y Vida de El Tambo, se van a construir casas de dos tipos: A y B. Laempresa constructora dispone para ello de un máximo de 1,8 millones de soles,siendo el costo de cada tipo de casa de 30 y 20 mil soles respectivamente. ElMinisterio de Vivienda, por la normatividad de paisajismo y urbanismo exige que elnúmero total de casas no sea superior a 80. Sabiendo que el beneficio obtenido porla venta de una casa de tipo A es 4 mil soles y de 3 mil soles por una de tipo B.

a. ¿La constructora cuántas casas debe construir de cada tipo para obtenerel máximo beneficio?

b. ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

15. Doe Run SRL. produce Cobre y Zinc. Por el momento es capaz de vender todo elmineral producido. La ganancia por tonelada de Cobre y Zinc vendida es de 4 y 3mil dólares respectivamente. El proceso de cada tonelada de Cobre requiere 3horas de trabajo en el horno y otras 4 horas de lavado. Para cada tonelada de Zincse requieren 4 horas de horneado y 2 horas de lavado. Las horas diariasdisponibles en el horno y el lavado son 35 y 30, respectivamente. Además sesupone que al menos se deben producir diariamente 4 toneladas de Zinc.

¿Cuantas toneladas de Cobre y cuantas de Zinc deben producir a fin de maximizarsus ingresos.

16. Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radioy televisión locales. Su presupuesto limita los gastos en publicidad a $1000 pormes. Cada minuto de anuncio en la radio cuesta $5 y cada minuto de publicidad entelevisión cuesta $100. La compañía desearía utilizar la radio cuando menos dosveces más que la televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto depublicidad por televisión generará en términos generales 25 veces más ventas quecada minuto de publicidad por la radio. Determine la asignación óptima delpresupuesto mensual para anuncios por radio y televisión.

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TERCERA UNIDADTema Nº 5: ANALISIS DE DUALIDAD Y SENSIBILIDAD

5.1 Análisis de DualidadHemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad deproblemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Lasvariables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir,la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían serasignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) paraobtener un objetivo establecido.

En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problemade programación lineal, llamado el problema de programación dual. La solución óptima delproblema de programación dual, proporciona la siguiente información respecto del problema deprogramación original:

La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o losbeneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.

La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original yviceversa.

Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programaciónprimal. Es el concepto clave que permite resolver un problema a partir de otro, y se deriva de lasrelaciones primo-dual, en el valor de la función objetivo

Formulación del problema dual.

El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y sistemáticamente a partirdel modelo de PL original o primal.

El problema de programación lineal vienen dado por:

Maximizar Z = C’X

sujeto a: AX B

X 0

Su dual asociado es el problema de PL dado por:

Minimizar Z’ = B’W

sujeto a: AW C

W 0

De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglassiguientes:

a. Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser loscoeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dualtiene tantas variables como restricciones hay en el primal.

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b. Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a ser loscoeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema dual tiene tantasrestricciones como variables hay en el primal.

c. Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientesdel segundo miembro de las restricciones en el problema dual.

d. Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan aser los coeficientes de la función objetivo del dual.

Primal

Ejemplo: Maximizar : Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3

sujeto a: 8X1 + 6X2 + X3 48

4X1 + 2X2 + 1.5X3 20

2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 8

" X1, X2, X3 0

Dual:

Minimizar Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3

sujeto a: 8W1 + 4W2 + 2W3 60

6W1 + 2W2 + 1.5W3 30

W1 + 1.5W2 + 0.5W3 20

" W1, W2, W3 0

5.2 Definición de Problema dual

El desarrollo de la programación lineal se ha visto reforzado por el descubrimiento de que todoproblema de programación lineal tiene asociado otro problema llamado dual.

El problema original se llama primal, ambos problemas están relacionados de tal manera que lael valor de la función objetivo en el optimo es igual para ambos problemas, y la solución de unoconduce automáticamente a la del otro.

Las relaciones entre ambos problemas facilitan el análisis de sensibilidad de un problema.

El dual es un problema de programación lineal se obtiene matemáticamente de un problemaprimal.

La forma del problema dual es única y se define en base a la forma estándar general del problemaprimal:

Optimizar (Max o Min) z = S j =1..ncjxj

Sujeto a S j =1..naijxj = bi

xj ³ 0 con i = 1..m, j = 1..n

Donde las n variables xj incluyen los excesos y las holguras.

El problema dual se construye simétricamente del primal de acuerdo a las siguientes reglas.

1. Para cada restricción primal (m restricciones) existe una variable dual yi (m variables), lafunción objetivo se construye con los valores libres bi como coeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (n variables) existe una restricción dual (n restricciones), larestricción se construye con los m coeficientes de las restricciones primales de esavariable. Los valores libres son los n coeficientes cj.

3. Si la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una Minimización y

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las restricciones son ³ . (y a la inversa Minimización primal, Maximización dual,restricciones ).

El siguiente diagrama muestra la construcción del dual:

x1 x2 .. xj .. xn

Objetivo primal c1 c2 .. c1 .. c1

Valores libres derestriccionesduales

Variables duales

l

v

Coeficientesrestricciones duales a11 a12 .. a1j .. a1n b1 y1

a21 a22 .. a2j .. a2n b2 y2

am1 a22 .. a2j .. a2n bm ym

Restr.

dual jFunción Objetivo dual

Nota: si consideramos los excesos y holguras las variables duales (yi) no tienen restricciones designo, en caso contrario en ambos problemas se considera variables ³ 0. Por lo que las variablesduales correspondientes a restricciones del tipo = deben ser sin restricciones de signo,recíprocamente cuando una variable en el primal no tiene restricción de signo, la restriccióncorrespondiente en el dual debe ser del tipo =.

Ejemplo

Sea Max z = 3x1 + 5x2

x1 + 10x2 < 80

2x1 + 3x2 < 45

4x1 - 2x2 < 25

3x2 <60

x1, x2 > 0

Aplicando las reglas y la nota:

1. Para cada restricción primal (4 restricciones) existe una variable dual yi (4 variables) y1 y2y3 y4, la función objetivo se construye con los valores libres bi (80,45,25,60) comocoeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura) existeuna restricción dual (2 restricciones), la restricción se construye con los 4 coeficientes delas restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2 coeficientes cj (3, 5).

3. la optimización primal es una Maximización, el problema dual es una Minimización y lasrestricciones son ³ .

Nota: No hemos considerado las variables de excesos ni holguras las variables duales porlo que en ambos problemas se considera variables ³ 0, no existen restricciones de =.

Problema dual:

Min Y = 80y1 + 45y2 + 25y3 + 60y4

Sujeto a:

Y1 + 2y2 + 4y3 > 3

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10y1 + 3y2 - 2y3 + 3y4 > 5

y1, y2, y3, y4 > 0

2. Max Z = 3x1 + 7x2

Sujeto a:

2x1 + 5x2 = 15

x1 + 8x2 < 30

x1, x2 > 0

1. Para cada restricción primal (2 restricciones) existe una variable dual yi (2 variables)y1 y2, la función objetivo se construye con los valores libres bi (15, 30) comocoeficientes de las variables yi.

2. Para cada variable primal xj (2 variables sin considerar las variables de holgura)existe una restricción dual (2 restricciones), la restricción se construye con los 2coeficientes de las restricciones primales de esa variable. Los valores libres son los 2coeficientes cj (3, 7).

Aplicando las reglas y la nota:

Nota: Para la segunda restricción no hemos considerado las variables de excesos niholguras las variables duales por lo que en el dual y2 ³ 0, la primera restricción es deigualdad por lo que la primera variable no tiene restricción de signo.

Problema dual:

Min Y= 15y1 + 30y2

Sujeto a:

2y1 + y2 > 3

5y1 + 8y2 > 7

y1 sin restricción de signo (irrestricta)

y2 > 0.

5.3 Análisis de sensibilidad

Una vez obtenida la solución de un problema de programación lineal, es deseable investigarcómo cambia la solución del problema al cambiar los parámetros del modelo.

Por ejemplo si una restricción de un problema es 4x1 + 6x2 < 80 donde 80 representa lacantidad de recurso disponible. Es natural preguntarse ¿que pasa con la solución delproblema si la cantidad de recurso (por ejemplo Horas) disminuye a 60? Otras veces podemospreguntarnos que pasa si cambiamos algunos coeficientes de la función objetivo? O bien siagregamos una restricción o una variable. El estudio de la variación de un problema deprogramación lineal debido a cambios de los parámetros del mismo, se llama análisis desensibilidad.

Una forma de responder estas preguntas sería resolver cada vez un nuevo problema. Sinembargo esto es computacionalmente ineficiente.

Para esto es preferible hacer uso de las propiedades del método Simplex y de los problemasprimal y dual.

Recordemos que una vez que en un problema lineal se conoce B, CB y XB, la tabla simplex sepuede calcular utilizando B-1 y los datos originales del problema.

El efecto de los cambios en los parámetros del problema del análisis de sensibilidad (postóptimo) se puede dividir en tres categorías:

1. Cambios en los coeficientes C de la función objetivo, solo afecta la optimalidad.

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2. Cambios en el segundo miembro b solo pueden afectar la factibilidad.

3. Cambios simultáneos en C y b pueden afectar la optimalidad y la factibilidad.

Ejercicio 1

CIDEMETAL SRL, produce mesas y sillas para venta en el país. Se requieren dos tipos básicos demano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas deensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una sillarequiere 1 hora de acabado y se vende con una ganancia de $18. Actualmente, la compañía disponede 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado.

La formulación a este problema es:

Maximizar: X0 = 30X1 + 18X2

Sujeta a: 3X1 + X2 200 (ensamblado)

2X1 + X2 160 (acabado)

X1, X2 0

Y la solución óptima la siguiente

¡Error! Noseencuentrael origende lareferencia.Base

X0 X1 X2 X3 X4 Solución

X0 1 6 0 0 18 2880

X3

X2

0

0

1

2

0

1

1

0

-1

1

40

160

La compañía desea consejo en los siguientes planteamientos:

a. ¿Cuánto es lo máximo que pueden reducirse las horas-hombre disponibles en ensambladosin que la factibilidad de la mezcla actual cambie?

b. ¿Cuál es el rango de variación de la utilidad unitaria de las sillas en donde la inmejorabilidadde la mezcla óptima se mantiene?

c. ¿En cuál departamento recomendaría usted contratar tiempo extra?

d. Si se comprara una máquina que redujera el tiempo de ensamblado en las mesas, de 3 a 1/2,¿recomendaría usted una inversión de dicha máquina?

e. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se programan 15 horas-hombre extraen la operación de acabado?

f. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución óptima y elobjetivo?

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g. Si los obreros que llevan a cabo la operación de acabado ofrecen trabajar horas extras arazón de $12/hora ¿Recomendaría usted contratar tiempo extra? Si lo recomienda, ¿quétanto tiempo extra puede programarse sin cambiar la optimidad de la mezcla actual?

Ejercicio 2

GRANDE PERU SAC, se especializa en la fabricación de camas (colchones). La compañía fabricatres clases de colchones: matrimonial, "King-size" e individual. Los tres tipos de colchones se fabricanen dos plantas diferentes que son propiedad absoluta de la compañía. En un día hábil normal de 8horas, la planta No. 1 fabrica 50 colchones matrimoniales, 80 colchones "King-size" y 100individuales. La planta No.2 fabrica 60 colchones matrimoniales, 60 "King-size" y 200 individuales. Elgerente de mercadotecnia de la GRANDE ha proyectado la demanda mensual para los tres tipos decolchones y calcula será de 2500, 3000 y 7000 unidades, respectivamente. Los contadores de lacompañía indican que el costo diario de operación de la planta No. 1 es de $3500 diarios. A losadministradores les gustaría determinar el número óptimo de días de operación por mes en las dosdiferentes plantas con el objeto de minimizar el costo total de producción, al mismo tiempo que sesatisface la demanda.

Utilizando

y1 = número de días de operación por mes de la planta No.1

y2 = número de días de operación por mes de la planta No.2

Entonces el planteamiento puede expresarse de la siguiente manera:

Minimizar: Z = 2500Y1 + 3500Y2

Sujeto a: 50Y1 + 60Y2 2500

80Y1 + 60Y2 3000

100Y1 + 200Y2 7000

Y1, Y2 0

Es fácil observar que el problema se encuentra en forma del problema dual estándar.

a. Plantee el problema primario para el problema dual que se dio antes.

b. ¿Cuáles son las unidades de medición de las variables primarias?

c. Resuelva el problema utilizando el método simplex. ¿Por qué fue más sencillo resolver elproblema primario que el dual?

d. Utilizando el problema primario óptima, determine el valor óptimo para las variables duales dedecisión para el problema de la GRANDE.

e. ¿Qué significado tienen las variables primarias en el problema de la GRANDE?

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CUARTA UNIDADTema Nº 6: MODELO DE TRANSPORTE

6.1 Problema de Transporte

En esta unidad presentaremos dos aplicaciones importantes de la programación lineal que son elmodelo de transportes y el de asignación de recursos. Aún cuando la solución de estosmodelos puede obtenerse aplicando el método simplex, se estudian algoritmos especiales para lasolución de estos problemas.

Debido a su estructura especial, hace posible hace posible métodos de solución más eficientes entérminos del cálculo.

La programación lineal es un campo tan amplio que se extiende a subclases de problemas paralos cuales existen métodos de solución especiales. Una de estas subclases se conoce comoproblemas de transporte. El método símplex de programación lineal, puede servir para resolverestos problemas. Pero se han desarrollado métodos más sencillos que aprovechan ciertascaracterísticas de los problemas. Entonces, el método del transporte son sólo técnicas especialespara resolver ciertos tipos de problemas de programación lineal.

El transporte desempeña un papel importante en la economía y en las decisiones administrativas.Con frecuencia la disponibilidad de transporte económico es crítica para la sobre-vivencia de unaempresa.

¿Qué significa problema de transporte? Supóngase que un fabricante tiene tres plantas queproducen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes.Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes, pero el costo de transporte varía conlas diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandara cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte.

La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura

“de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia elfuturo, de aquí hacia allá. Al enfrentar este tipo de problemas, la intuición dice que debe haber unamanera de obtener una solución. Se conocen las fuentes y los destinos, las capacidades ydemandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber una combinación óptima que minimice elcosto (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en el gran número de combinaciones posibles.

Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación lineal yaplicarse el método símplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienencaracterísticas matemáticas únicas. Para visualizar esto, considérese el siguiente ejemplo:

El problema

Suponga que una compañía tiene m plantas de producción (i), de capacidad ai (i = 1..m) y nalmacenes de distribución (j), con demanda bj (j=1..n). El costo de transporte entre la planta i y elalmacén es conocido como cij.

El problema es determinar la cantidad (xij) que debe suministrar la planta i al almacén j, de talmanera que el costo de transporte total sea mínimo. Las consideraciones de costos de produccióne inventario se pueden incorporar al modelo básico.

El modelo típico tiene cuatro componentes:

- Un conjunto de m fuentes

pág. 60


- Un conjunto de n destinos

- Costos de transporte entre las fuentes y los destinos

- Cantidades de producto para enviar entre las fuentes y los destinos.

-

El modelo general que representa el modelo de transporte es:

Min z = S iS j cijxij

Sujeto a:

S j xij = ai (fuentes i = 1..m)

S i xij = bj (destinos j = 1..n)

xij ³ 0

6.2 Modelo general del problema de transporte.

Cualquier problema de programación lineal que se ajuste a esta formulación especial es del tipode problemas de transporte, sin importar su contexto físico. De hecho, se han realizadonumerosas aplicaciones no relacionadas con el transporte que se ajustan a esta estructuraespecial. Ésta es una de las razones por las que el problema de transporte se suele considerarcomo uno de los tipos especiales de problemas de programación lineal más importantes.

Además de los datos de entrada (los valores de cij, si y dj), la única información que necesita elmétodo símplex de transporte es la solución básica factible actual, los valores actuales de u i y vj ylos valores resultantes de cijuivj para las variables no básicas xij. Cuando se resuelve unproblema a mano es conveniente registrar esta información en una tabla símplex de transporte,como la que se muestra enseguida:

pág. 61


En los casos en que la sumatoria de todo lo que se produce en todos los orígenes esmayor que la sumatoria de todo lo que se demanda en todos los destino o viceversa, entonces sedice que el problema no está balanceado. En estos casos lo primero que se debe hacer antes deintentar resolver el problema es balancearlo.

Para el caso de SOBREPRODUCCIÓN (si

i

m

1 dj

j

n

1 )

Si el caso es que se dispone de mayor producción de la que se demanda, entonces parabalancear el problema se agrega un destino imaginario o artificial (llamado también destino ficticio)el cual tendrá como demanda dicha sobreproducción. En cuanto a los costos asociados a estenuevo destino los estableceremos a cero (¿por qué?). El siguiente dibujo muestra lo que se debehacer:

pág. 62


6.3. Métodos para encontrar soluciones factibles.

Al iniciar, todos los renglones de los orígenes y las columnas de destinos de la tabla símplexde transporte se toman en cuenta para proporcionar una variable básica (asignación).

1. Se selecciona la siguiente variable básica (asignación) entre los renglones y columnasen que todavía se puede hacer una asignación de acuerdo a algún criterio.

2. Se hace una asignación lo suficientemente grande como para que use el resto de losrecursos en ese renglón o la demanda restante en esa columna (cualquiera que sea lacantidad más pequeña).

3. Se elimina ese renglón o columna (la que tenía la cantidad más pequeña en los recursoso demanda restantes) para las nuevas asignaciones. (Si el renglón y la columna tiene lamisma cantidad de recursos y demanda restante, entonces arbitrariamente se elimina elrenglón. La columna se usará después para proporcionar una variable básicadegenerada, es decir, una asignación con cero unidades.)

4. Si sólo queda un renglón o una columna dentro de las posibilidades, entonces elprocedimiento termina eligiendo como básicas cada una de las variables restantes (esdecir, aquellas variables que no se han elegido ni se han eliminado al quitar su renglón ocolumna) asociadas con ese renglón o columna que tiene la única asignación posible. Deotra manera se regresa al paso 1.

6.4 Método de la esquina noroeste.

1. Regla de la esquina noroeste: la primera elección es x11 (es decir, se comienza en laesquina noroeste de la tabla símplex de transporte). De ahí en adelante, si x ij fue laúltima variable básica seleccionada, la siguiente elección es xi,j+1 (es decir, se mueve unacolumna a la derecha) si quedan recursos en el origen i. De otra manera, se elige xi+1,j(es decir, se mueve un renglón hacia abajo).

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizandola regla de la esquina noroeste en el siguiente ejemplo:

Recursos

5

2

3

Demanda 3 4 2 1

10

10

Lo primero que debemos hacer al resolver cualquier problema de transporte es comprobarque esté balanceado, si no lo estuviera, agregamos un origen o un destino artificial según sea elcaso para conseguir que el problema quede balanceado y podamos comenzar a resolverlo. Ennuestro ejemplo, la sumatoria de los recursos de los tres orígenes es de 10 unidades que es iguala la sumatoria de las demandas de los destinos, por lo que nuestro problema está balanceado ypodemos iniciar con la resolución.

6.5 Método de aproximación de VogelMétodo de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo

consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entreel costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o

473 6

232 4

34 8 5

pág. 63


columna. (Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de unrenglón o columna, entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que tiene lamayor diferencia se elige la variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Losempates para la mayor de estas diferencias se pueden romper de manera arbitraria).

Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. Delas diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta serpara la tercera columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y enesa celda realizamos la primera asignación:

Recursos DIF.

5 1

22 0 0

3 1

Demanda 3 4 2 0 1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

Nota: Marcar la mayor de las diferencias seleccionadas encerrándola en un círculoy escribiendo como superíndice el número que le corresponda en la secuencia deselección.

Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglónya que la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variablebásica degenerada. Continuando con la aplicación del método, tenemos que calcularnuevamente las diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un renglón y éstopuede ocasionar que las diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y elque le sigue ya no sean las mismas:

Recursos DIF.

5 1

2

2 0 0

33 0 1

Demanda 3 4 1 2 0 1

10

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

3 6 47

2 4

3

23

54 8

3 6 47

2 4

3

23

54 8

pág. 64


Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas,pero ya que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significaque solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar queninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía bajoconsideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo menor y elque le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan comenzandocon la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.

Recursos DIF.

3 1 0 15 2 1 0 1

2

2 0 0

3

3 0 1

Demanda 3 0 4 1 0 2 0 1 010

10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básicadegenerada), x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera“Política de Transporte” factible es de:

x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32

Costo = 3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35 unidades

Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema, esnecesario aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puedeexistir una mejor “política de transporte” que minimice todavía más el costo total.

6.6 Modelos Balanceados y no balanceados

Un modelo de transporte se llama balanceado cuando:

S i ai = S j b

Esto significa que la suma de los suministros de todas las plantas debe ser igual a la suma de lasdemandas de todos los almacenes.

Sin embargo en problemas de la vida real, esta igualdad rara vez se satisface.

Lo que se hace entonces es balancear el problema.

Si los requerimientos exceden a los suministros, se agrega una planta ficticia, que suministrarála diferencia.

El costo de transporte desde la planta ficticia hacia cualquier almacén es cero.

Recíprocamente, si los suministros exceden a los requerimientos, se agrega un almacén ficticioque absorberá el exceso.

El costo unitario de transporte desde las plantas al almacén ficticio es cero.

3 6 47

2 4

3

23

54 8

pág. 65


Problemas para resolver por el método de transporte

El siguiente cuadro indica el costo de transporte unitario en nuevos soles, desde los orígenes a losdestinos y sus respectivas ofertas y demandas. Empleando el método de costo mínimo determine lacantidad a transportar de cada origen a cada destino y determine también el costo mínimo en que seincurre.

a.Destino Oferta

TMA B C

Origen I 3 6 9 200

Origen II 1 4 5 300

Origen III 3 2 1 400

Demanda TM 150 250 500

b.Destino Oferta

Kg.A B C

Origen 1 4 6 8 50

Origen 2 1 3 5 200

Origen 3 2 4 5 250

Demanda Kg. 200 150 150

c.

Destino Oferta

m3W X Y Z

Origen P 6 10 6 8 200

Origen Q 7 9 6 11 300

Origen R 8 10 14 6 450

Demanda m3 100 150 400 300

d. Caso I: Cuando la oferta es igual a la demanda (O = D )

Destino Oferta

TMX Y Z

Origen I 3 6 4 1000

Origen II 2 3 1 2000


Demanda TM 2000 1500 1000

e. Caso II: Cuando la oferta es mayor que la demanda (O D)

Actividad

pág. 66


Destino Oferta

TMX Y Z

Origen I 4 3 5 600

Origen II 2 1 3 120


Demanda TM 100 150 60

f. Caso III: Cuando la oferta es menor que la demanda (O < D)

Destino Oferta

TMX Y Z

Origen I 2 4 6 25

Origen II 1 3 5 35

Origen III 4 2 3 50

Demanda TM 40 30 60

1. INTELL Co. una empresa dedicada a la fabricación de componentes de computadoras tiene dosfábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de sertransportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costosde transporte, en nuevos soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debeorganizarse el transporte para que el costo sea mínimo?

2. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad Lima. Elalmacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en sutotalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que eltercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte desde cada almacén a cada mercadoviene dado por el siguiente cuadro:

Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

Almacén A 10 15 20

Almacén B 15 10 10

Utilizando el método matriz mínima, determine el transporte para que el costo sea mínimo.

3. Una compañía tiene tres Plantas (A, B y C) para fabricar bebidas gaseosas BIG KOLA, y disponede tres distribuidores mayoristas para la venta (D, E y F). Las cantidades producidas por A, B y Cson 1.000, 5.000 y 4.000 litros por día respectivamente. La máxima cantidad que puede vender elalmacén D es 3000 litros/día, E es 6000 litros/día y F es 7000 litros/día. Los costos de transportede cada fábrica a cada distribuidor mayorista están dados en la siguiente tabla:

Demanda

D E F

Tienda A Tienda B Tienda C

Fábrica I 3 7 1

Fábrica II 2 2 6

pág. 67


Planta A 1 4 2

Planta B 3 1 2

Planta C 4 5 2

Determine la cantidad a transportar desde los orígenes a los destinos para que el costo seamínimo.

4. SEDAM Huancayo SA. tiene que distribuir el agua de tres pozos entre tres localidades. La tablade costos de distribución de cada m3 es la siguiente:

LOCALIDADES OFERTA

(m3/día)A B C

Pozo I 7 8 10 40

Pozo II 5 12 4 30

Pozo III 9 7 8 45

DEMANDA (m3/día) 55 40 60

Determine la distribución del agua para cada una de las localidades de modo que el costo sea elmínimo.

5. Una empresa de electricidad ElectroSURMEDIO SA. tiene 4 plantas termoeléctricas que sonabastecidas por 3 minas de carbón. La oferta total de carbón de las minas es igual a losrequerimientos totales de las plantas termoeléctricas. Existe un costo de transporte de una unidaddesde cada mina a cada planta. En la tabla que se muestra a continuación se indican la ofertadisponible, los requerimientos y los costos de transporte por unidad.

PLANTAOferta

M N O P

Mina X 2 3 4 5 14

Mina Y 5 4 3 1 15

Mina Z 1 3 3 2 17

Demanda 6 11 17 12

La empresa de electricidad quiere determinar cuántas unidades debe transportar desde la mina acada planta para minimizar el costo de transporte.

Problemas de Programación Lineal

1. Una empresa KINGTEX S.A. produce 120 unidades del producto A y 360 unidades del producto Bcada día. Estos productos han de someterse a control de calidad, siendo la capacidad de controlde 200 unidades al día. El producto A se vende en el mercado a un precio 4 veces superior alprecio del producto B. Determínese la producción de la empresa que hace posible maximizar elbeneficio.

2. CEPER PIRELLI SA. fabrica cable eléctrico de alta calidad usando dos tipos de aleacionesmetálicas, M y N. La aleación M contiene un 80% de cobre y un 20% de aluminio, mientras que laN incluye un 68% de cobre y un 32% de aluminio. La aleación M tiene un precio de 80 euros por

Actividad

pág. 68


tonelada, y la N, 60 euros por tonelada. Cuales son las cantidades que Pedro Pérez debe usar decada aleación para producir una tonelada de cable que contenga al menos un 20% de aluminio ycuyo costo de producción sea el menor posible?

3. SAN FERNANDO S.A. posee 200 cerdos que consumen 90 lb. de comida especial todos los días.El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientescomposiciones:

Libras por libra de alimento

Alimento Calcio Proteína Fibra Costo ($/lb)

Maíz

Harina de soya

0.001

0.002

0.09

0.60

0.02

0.06

0.20

0.60

Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son:

i. Cuando menos 1% de calcio

ii. Por lo menos 30% de proteína

iii. Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de costo por día.

4. CATALINA HUANCA SAC fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 gde plata, vendiéndolas a 40 euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g deoro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno delos metales.

¿Cuántas joyas se han de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo?

5. PIER’S SAC. desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,lanzan dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que sevenden a 30 nuevos soles; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que sevende a 50 nuevos soles. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10de la B.

¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

6. POLAR EIRL. fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1 000 kilos. La fabricación deun kilo de A cuesta 1,8 euros y uno de B, 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B debenfabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 700 euros /día y que un kilo de A deja un margenigual al 90% del que deja un kilo de B.

7. SOL DE PIURA EIRL. elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo requieredos veces más tiempo de mano de obra que un producto del segundo tipo. Si todos los sombrerosson exclusivamente del segundo tipo, la compañía puede producir un total de 500 unidades al día.El mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200 unidades. Supóngaseque la ganancia que se obtiene por producto es $8 para el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine elnúmero de sombreros de cada tipo que deben elaborarse para maximizar la ganancia.

8. NACIÓN WANKA SRL. ha decidido manufacturar algunos o todos de cinco productos nuevos entres de sus fábricas que tienen capacidades productivas sobrantes. Los productos se venden porpeso y suponga que una unidad de ese producto equivale a la cantidad de ese producto. Elesfuerzo productivo para hacer cada producto es igual. Las capacidades disponibles a cadafabrica se ven a continuación:

FABRICA CAPACIDAD DISPONIBLE

I 40 unidades

II 60 unidades

III 90 unidades

pág. 69


La investigación de mercados indica que las ventas potenciales son así:

PRODUCTOS VENTAS POTENCIALES(Unidades)

1 30

2 40

3 70

4 40

5 60

Los costos variables de producción (miles $) de cada producto en cada fábrica son:

Producto

Fabrica1 2 3 4 5

I 20 19 14 21 16

II 15 20 13 19 16

III 18 15 18 20 X

La X quiere decir que la fabrica 3 no puede producir el producto 5.

¿Qué cantidad de cada producto debe fabricarse en cada fábrica? y ¿Cuál es el costo Total deProducción?

9. SCORZA SAC. dedicada a la fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas,escritorios y estantes debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizandos tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros MDF y 1000 deMELAMINE. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta asícomo los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30 escritoriosy como máximo 10 estantes. Cada mesa, silla, escritorio y estantes necesita 5, 1, 9, y 12 tableros,respectivamente, de MDF y 2, 3, 4, y 1 tableros de MELAMINE. Una mesa requiere 3 horas detrabajo; una silla, 2; un escritorio, 5; y un estante 10. La compañía obtiene un beneficio de 12dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15 dólares en un escritorio, y 10 dólares en unestante. Planteé el modelo de programación lineal para maximizar los beneficios totales.

10. PEPE DIAZ SRL. produce tres modelos (I, II y III) de cierto producto. El utiliza dos tipos de materiaprima (A y B), de los cuales se dispone de 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requisitosde materias primas por unidad de los tres modelos son:

Requisitos por unidaddel modelo dado

Materia prima I II III

A

B

2

4

3

2

5

7

El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor que el del modelo IIy tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza de trabajo de la fábrica puede producir elequivalente de 1500 unidades del modelo I. Un estudio del mercado indica que la demandamínima de los tres modelos es 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, lasrazones del número de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Supóngase que laganancia por unidad de los modelos I, II y III es $30, $20 y $50, respectivamente. Formule el

pág. 70


problema como un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cadaproducto que maximizarán la ganancia.

11. TANS PERÚ SAC. Posee un avión de carga que tiene tres compartimientos para almacenar:delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en pesocomo en espacio. Los datos se resumen en seguida:

Compartimiento Capacidad de peso(toneladas)

Capacidad de espacio(pies cúbicos)

Delantero

Central

Trasero

12

18

10

7000

9000

5000

Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debeser proporcional a su capacidad.Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga Peso(toneladas)

Volumen(pies cúbicos/tonelada)

Ganancia($/tonelada)

1

2

3

4

20

16

25

13

500

700

600

400

320

400

360

290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad decada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos paramaximizar la ganancia del vuelo. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

12. KONDA MOTOR’S SA. es especialista en el ensamble de vehículos. En los siguientes cuadros sedan las ofertas, demandas y costos (semanales):

ENSAMBLADORA OFERTA DEMOTOS CIUDAD DEMANDA DE

MOTOS

Bogotá 35 Cartagena 30

Medellín 60 Cali 45

Barranquilla 25 Montería 25

Pasto 20

A

DECartagena Cali Montería Pasto

Bogotá 50 30 60 70

Medellín 20 80 10 90

Barranquilla 100 40 80 30

Determinar el PLAN ÓPTIMO de distribución con su Costo Total.

13. PUNTA SAL SAC. es una fábrica que produce sombreros en tres diferentes modelos. Sucapacidad de producción mensual, es como sigue:

pág. 71


Modelo Capacidad de producción (sombreros/mes)

Norteño

Lona

Articela

650

900

700

La producción mensual es repartida en tres distribuidoras que se localizan en el áreametropolitana de la ciudad. Los costos de transporte unitarios se muestran más bajo, para cadamodelo y para cada distribuidora.

Distribuidora

Modelo Zona Norte Zona Rosa Zona Sur

Norteño

Lona

Articela

$3.0

2.5

2.0

$5.0

4.8

3.4

$7.0

5.8

5.2

Los requerimientos por mes de cada distribuidora son los siguientes:

Distribuidora Demanda (sombreros/mes)

Zona Norte

Zona Rosa

Zona Sur

750

900

600

Formular un modelo de PL que minimice los costos de transporte.

pág. 72


Tema Nº 7: MODELO DE ASIGNACION DE RECURSOS

7.1 Problemas de asignación de recursos

Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dosdiferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas encada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. El problema de asignacióndebe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos (o trabajos a máquinas),con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendráasignada una persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tengasolución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a lasdemandas totales. El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Trabajadores,Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas, Vendedores a regiones, productos a fabricar,etc.

Transporte Asignación

Unidades de un bien

m orígenes m recursos

n destinos n actividades

si recursos en el origen i

Demanda dj en el destino j

Costo cij por unidad distribuida

desde el origen i al destino j

Ganancia Z Medida global de la efectividad Z

Así, por lo general, el origen i (i = 1, 2, ..., m) dispone de si unidades para distribuir a los destinos yel destino j (j = 1, 2, ..., n) tiene una demanda de dj unidades que recibe desde los orígenes. Unasuposición básica es que el costo de distribución de unidades desde el origen i al destino j esdirectamente proporcional la distancia, donde cij denota el costo por unidad distribuida. Igual quepara el ejemplo prototipo, estos datos de entrada se pueden resumir en forma muy conveniente enla tabla de costos y requerimientos que se muestra enseguida:

Costo por unidad distribuida consumo derecursos por unida de actividad

Cantidad derecursosdisponibles

Destino Actividad

1 2 . . . n Recursos

1 c11 c12 . . . c1n s1

Origen 2 c21 c22 . . . c2n s2

Recurso . . . . .

. . . . .

m cm1 cm2 . . . cmn sm

pág. 73


Demanda

Contribución aZ por unidad deactividad

d1 d2 . . . dn

7.2 El método HúngaroEste algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más

eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado dedegeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para laaplicación del método Húngaro son:

Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz decostos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costomínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cadacolumna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matrizde costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste entrazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamentede esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz decostos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tieneuna solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menosde m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. Elnúmero de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones quehasta ese momento se pueden realizar.

Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz decostos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; acontinuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costosreducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubiertopor dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2.

Notas:

Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar lafunción objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (-1) yresolver el problema como uno de minimización.

Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, elproblema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puedeproporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido alo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación(añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el métodoHúngaro.

En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filasnecesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puededemostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces sepueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; estoexplica porqué termina cuando se necesitan m líneas.

Mediante el siguiente ejemplo vamos a ilustrar la manera de aplicar el método Húngaro ala solución de un problema de asignación de minimización:

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Una factoría tiene cuatro operarios, los cuales deben ser asignados al manejo de cuatromáquinas; las horas requeridas para cada trabajador en cada máquina se dan en la tablaadjunta; el tiempo a laborar por cada operario en cada una de las máquinas se pretendeque sea mínimo, para lo cual se busca la asignación óptima posible.

OPERARIOS MAQUINAS

1 2 3 4

Antonio 10 14 16 13

Bernardo 12 13 15 12

Carlos 9 12 12 11

Diego 14 13 18 16

Planteamiento del Modelo Primal:MIN W = 10 X11+ 14 X12+ 16 X13+ 13 X14+ 12 X21+ 13 X22+ 15 X23+ 12 X24+ + 9X31+ 12 X32+ 12 X33+ 11 X34+ 14 X41+ 16 X42+ 18 X43+ 16 X44

sujeto a las siguientes restricciones:

Aplicando el método Húngaro tenemos:

1 2 3 4

A 10 14 16 13

B 12 13 15 12

C 9 12 12 11

D 14 16 18 16

Restamos 10, 12, 9 y 14 (costos mínimos de cada fila) de cada elemento en cada una de las filas

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correspondientes:

1 2 3 4

A 0 3 6 3

B 0 1 3 0

C 0 3 3 2

D 0 2 4 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros(Método de Flood):

1 2 3 4

A 0 3 3 3

B 0 0 0 0

C 0 2 0 2

D 0 1 1 2

En la matriz anterior trazamos el menor número de líneas (3), de manera tal que cubran todos los ceros(Método de Flood):

1 2 3 4

A 0 2 3 2

B 1 0 1 0

C 0 1 0 1

D 0 0 1 1

Solución Optima Unica:A-1, B-4, C-3 y D-2.Lo anterior quiere decir que Antonio va a laborar en la máquina1 (10 horas), Bernardo en la máquina 4 (12 horas), Carlos va a trabajar en la máquina 3 (12 horas) yDiego en la máquina 2 (16 horas).

La combinación óptima de los recursos para este problema de minimización de asignación es de 50 horas,resultantes de adicionar las asignadas a cada uno de los operarios en cada una de las máquinas. Dichovalor corresponde al valor óptimo de la función objetivo.

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1. Una fábrica dispone de cuatro obreros para completar cuatro trabajos. Cada obrero sólo puedehacer uno de los trabajos. El tiempo que requiere cada obrero para completar cada trabajo se da acontinuación:

La fábrica desea minimizar el tiempo total dedicado a los cuatro trabajos.

a) Formular un modelo que determine la mejor asignación de los obreros.

2. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entregaal mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personasen jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, yel tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período.

Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por horade trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicossin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debeentregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene comopolítica el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.

Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado.

Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir undispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puedeensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado.

Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrerono calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal quepermita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo demaximizar las utilidades?

3. El gestor de un hospital debe planificar el horario de los trabajadores del mismo. Determínese elcoste mínimo de personal para el hospital sabiendo quea. La jornada laboral consta de 3 turnos.b. En cada turno ha de haber al menos 1 medico, 3 enfermeras y 3 auxiliares de clínica.c. El número máximo de empleados que se requiere en cada turno es 10.d. Los salarios son los siguientes: 50 dólares/turno para un medico, 20 dólares/turno para un

enfermero, y 10 dólares/turno para un auxiliar de clínica.e. El número total de empleados es: 15 médicos, 36 enfermeras, y 49 auxiliares de clínica.f. Cada empleado debe descansar al menos dos turnos consecutivos.

4. Una empresa tiene un trabajo compuesto de 5 módulos para ser desarrollado por 5programadores, se desea que cada módulo sea desarrollado por un solo programador y que cadaprogramador desarrolle un solo módulo. Debido a los diferentes grados de dificultad de losmódulos y a las diferencias individuales de los programadores, el tiempo (en días) que ellosemplean es diferente y se da en la siguiente tabla:

Tiempo requeridopor obreros

Trabajo 1 Trabajo 2 Trabajo 3 Trabajo 4

Obrero 1 14 5 8 7

Obrero 2 2 12 6 5

Obrero 3 7 8 3 9

Obrero 4 2 4 6 10

Actividad

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MODULOS PROGRAMADORES

A B C D E

Modulo 1 2 4 4 3 6

Modulo 2 2 6 5 4 6

Modulo 3 5 6 5 3 7

Modulo 4 3 5 7 2 4

Modulo 5 8 5 6 2 1

a) Determine la asignación óptima de modo de minimizar el tiempo total

b) Para cuándo debe comprometerse a entregar el trabajo

c) Cómo sería la formulación si un programador puede desarrollar más de un módulo?

a) Cuál es la opción que más le conviene hacer a la empresa?

a. Si la utilidad unitaria de las sillas disminuye a $16, ¿Cómo se afecta a la solución óptima y elobjetivo?

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UNIDAD V

Tema Nº 8: PROGRAMACION DE PROYECTOS PERT/CPM

8.1 Introducción

En muchas situaciones los administradores son responsables de planear, programar y controlarproyectos compuestos de numerosas actividades, tareas, y complejos procesos. Estos puedenvariar en un rango de menor a mayor complejidad en relación directa al monto de la inversión, enesta última se hace difícil coordinar la duración, su presupuesto, la precedencia todas lasactividades.

La existencia de métodos cuantitativos muy relacionados entre si como el PERT y el CPM asisteneficazmente al administrador de proyectos. En esa oportunidad la variedad de las utilidades deestas dos técnicas solo se estudiaran aquellas orientados a la mercadotecnia como:

- Investigación y desarrollo de nuevos productos- Conducción de una campaña publicitaria- Capacitación a la fuerza de ventas- Asesoría y consultoría en marketing- Diseñar o modificar procesos productivos complejos

El origen de estas técnicas se debió a la complejidad de las tareas y actividades a desarrollar enmega proyectos donde decenas, centenas y millares de actividades en el campo militar erannecesarias planear, programa y controlar. Un factor que complica el término a una fechadeterminada de tales actividades es la interdependencia de las mismas, por ejemplo: Algunasactividades dependen de la terminación de otras antes de que puedan iniciarse. Los proyectospueden llegar a varios miles de tareas o actividades por lo que los administradores de proyectosbuscan procedimientos a responder a algunas interrogantes como:

1. De que modo puede desplegarse el proyecto en forma grafica para visualizar mejor el flujode actividades

2. ¿Cual es el tiempo total para terminar el proyecto?3. ¿Cuales son las fechas programadas de inicio y término para cada una de las

actividades?4. ¿Cuales son las actividades cuello de botella denominadas actividades criticas?, donde

deben evitarse los retrasos5. Dada la incertidumbre al estimar con precisión las duraciones de las actividades ¿Cuál es

la probabilidad de terminar el proyecto a la fecha programada?6. Si se gasta dinero adicional para acelerar el proyecto o para evitar penalidades por la

demora en la entrega o finalización del proyecto. ¿Cuál es la forma menos costosa deintentar cumplir con el tiempo programado?

En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de lo que se va aejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles, capacidad financiera, etc. Esta etapaaunque esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método. Es una etapa previaque se debe desarrollar separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método delCamino Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y disponibles.

De modo que el PERT CPM, es un instrumento de dirección válido para obtener la seguridad en laplanificación y control y es aplicable en todos los niveles de complejidad, desde los problemassimples y de corto plazo, hasta el más complicado y de largo alcance.

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8.2 Procedimiento para trazar un modelo de redPara aplicar CPM o PERT se requiere conocer la lista de actividades que incluye unproyecto. Se considera que el proyecto está terminado cuando todas las actividades hansido completadas. Para cada actividad, puede existir un conjunto de actividadespredecesoras que deben ser completadas antes de que comience la nueva actividad. Seconstruye una malla o red del proyecto para graficar las relaciones de precedencia entrelas actividades. En dicha representación grafica, cada actividad es representada como unarco y cada nodo ilustra la culminación de una o varias actividades.Consideremos un proyecto que consta de solo dos actividades A y B. Supongamos que laactividad A es predecesora de la actividad B. La representación grafica de este proyectose muestra en la figura. Así, el nodo 2 representa la culminación de la actividad A y elcomienzo de la actividad B.

Si suponemos ahora que las actividades A y B deben ser terminadas antes que unaactividad C pueda comenzar, la malla del proyecto queda como se muestra en la figura2.En este caso, el nodo representa que las actividades A y B se han terminado, además delinicio de la actividad C. Si la actividad A fuera predecesora de las actividades B y C, lared quedara como se muestra.

Proyecto de tres actividades

Dado un conjunto de actividades y sus relaciones de predecesoras, se puede construiruna representación grafica de acuerdo a las siguientes reglas:

El nodo 1 representa el inicio del proyecto. Por lo tanto, las actividades que partendel nodo 1 no pueden tener predecesoras.

El nodo Terminal o final del proyecto debe representar el término de todas lasactividades incluidas en la red.

Una actividad no puede ser representada por más de un arco en la red. Dos nodos deben estar conectados por a lo mas un arco.

Para no violar las reglas 3 y 4, a veces es necesario introducir una actividad artificial odummy que posee tiempo de duración nulo. Por ejemplo, supongamos que lasactividades A y B son predecesoras de la actividad C y además comienzan al mismotiempo. En este caso, una primera representación podría ser la indicada en la figura 2.4.Sin embargo, la red de la figura 3 viola la regla 4. Para corregir este problema, seintroduce una actividad artificial indicada con un arco segmentado en la figuraLa red de la figura 4 refleja el hecho de que la actividad C tiene como predecesoras a A yB, pero sin violar la regla 4. En otros casos, se deben agregar actividades artificiales parano violar la regla 3.

A y B predecesoras de C

A

C

B

1 2

A B1 2 3

A

B

C

1

1

1

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Razones para usar actividades ficticias:a) Para evitar que dos o más actividades tengan el mismo Evento inicial y final yb) Para representar relaciones de precedencia que de otra manera no pueden ser

representadas. Una red bien debe contener el mínimo necesario de este tipo deactividades.

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8.3 Pasos en el planeamiento del proyecto del cpma) Especifique las actividades individualesDe la estructura de la interrupción del trabajo, un listado se puede hacer de todas lasactividades en el proyecto. Este listado se puede utilizar como la base para agregar lainformación de la secuencia y de la duración en pasos más últimos.b) Determine la secuencia de las actividadesAlgunas actividades son dependientes en la terminación de otras. Un listado de losprecursores inmediatos de cada actividad es útil para construir el diagrama de la red delCPM.c) Dibuje el diagrama de la redUna vez que se hayan definido las actividades y el su ordenar, el diagrama del CPMpuede ser dibujado. El CPM fue desarrollado originalmente como actividad en red delnodo (AON), pero algunos planificadores del proyecto prefieren especificar lasactividades en los arcos.d) Estime la época de la terminación para cada actividadEl tiempo requerido para terminar cada actividad se puede estimar usando experienciaprevia o las estimaciones de personas bien informadas. El CPM es un modelodeterminista que no considera la variación en el tiempo de la terminación, tan solamenteun número se utiliza para la estimación del tiempo de una actividad.e) Identifique la trayectoria crítica (la trayectoria más larga a través de la red)La trayectoria crítica es la trayectoria de la largo-duracio'n a través de la red. Lasignificación de la trayectoria crítica es que las actividades que mienten en ella no sepueden retrasar sin delaying el proyecto. Debido a su impacto en el proyecto entero, elanálisis de trayectoria crítica es un aspecto Importante del planeamiento del proyecto.Latrayectoria crítica puede ser identificada determinando los cuatro parámetros siguientespara cada actividad:

ES, Principio temprano. EF, principio tardío. LS, terminación temprana. LF, terminación tardía.

La época floja para una actividad es el tiempo entre su hora de salida más temprana ymás última, o entre su tiempo más temprano y más último del final. La holgura es lacantidad de tiempo que una actividad se puede retrasar más allá de su comienzo mástemprano o final más temprano sin delaying el proyecto.La trayectoria crítica es la trayectoria a través de la red del proyecto en la cual ningunasde las actividades tienen holgura, es decir, la trayectoria para la cual ES=LS y EF=LFpara todas las actividades en la trayectoria. Retrasa en la trayectoria crítica retrasa elproyecto. Semejantemente, acelere el proyecto que es necesario reducir el tiempo totalrequerido para las actividades en la trayectoria crítica.f) Ponga al día el diagrama del CPMPues progresa el proyecto, los tiempos reales de la terminación de la tarea serán sabidosy el diagrama de la red se puede poner al día para incluir esta información. Unatrayectoria crítica nueva puede emerger, y los cambios estructurales se pueden realizaren la red si los requisitos del proyecto cambian.g) Limitaciones del CPMEl CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios conincertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menosproyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y límitesde esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa alCPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gamade duraciones sea especificada para cada actividad.

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Ejemplo: Construcción de un Complejo DeportivoLa universidad del Estado está considerando construir un complejo atlético de susmúltiples dentro de su campo. El complejo proveerá un gimnasio para juegos inter-universidades, espacio de oficinas, salones de clases y todos los servicios necesariosdentro de él. Las actividades que serán emprendidas antes de su construcción semuestran, con la información necesaria, a continuación:

Actividad Descripción ActividadesPrecedentes Duración

A Estudios del sitio para la construcción ------ 6B Desarrollo del diseño inicial ------ 8C Obtener aprobación de las instancias

superioresA,B 12

D Seleccionar al arquitecto C 4E Establecer el presupuesto C 6F Finalizar el diseño D,E 15G Obtener financiamiento E 12H Contratar al constructor F,G 8

8.4 Utilidad de las técnicas PERT y CPM

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para losadministradores del proyecto.

a) Expone la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duracióndel proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, lasactividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de laruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad. Lasactividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es,pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga enprograma.

b) Identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

c) Considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos,las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil.

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d) Identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y deacuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades nocríticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.

e) Proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cadaactividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto semanifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica,permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que laterminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas semanipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

Simplemente hablando, el PERT-CPM es una técnica de planificación y un instrumento de controlde la dirección que utiliza la teoría de la “Red”. Una vez definidas las varias actividades quecomponen el proyecto, se forma con ellos la “Red”, mostrando la sucesión de las actividades ensecuencia lógica y el grado de interdependencia entre ellas. Se estima el tiempo de duraciónasociado a cada actividad, y se determinan las partes críticas del proyecto La “Red” es el mapa, larepresentación gráfica de la organización interna del proyecto.

8.5 Programación de proyectos

Una vez elaborado el diagrama queda clara la secuencia de actividades y se puede pasar a laprogramación de las mismas. Para ello, es necesario conocer las duraciones de las distintasactividades. Generalmente, éstas no se pueden fijar con exactitud, ya que son muchos los factoresde carácter aleatorio que están relacionados con ellas. Sirva de ejemplo la actividad «escribir uninforme»: ¿nos podría decir qué tiempo tardada usted? Suponemos que la respuesta sería algoparecido a «depende». El PERT aborda este problema evaluando la duración de una actividad apartir de tres estimaciones:

a) Duración optimista: que representa el tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad sitodo marchara excepcionalmente bien, no produciéndose ningún contratiempo durante lafase de ejecución. Se considera que la probabilidad de poder finalizar la actividad en estaduración no es Superior al 1 por 100.

b) Duración más probable, o estimación modal, que es el tiempo que, normalmente, se emplearáen ejecutar la actividad; en el caso de que dicha tarea se hubiera realizado varias veces, seriala duración con mayor frecuencia de aparición.

c) Duración pesimista, que representa el tiempo máximo en que se podría ejecutar la actividadsi todas las circunstancias que influyen en su duración fueran totalmente desfavorables suprobabilidad se considera, como máximo, del 1 por 100.

8.6 Ventajas del PERT y CPM

a) Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa detallado de largoalcance.

b) Proporciona una metodología estándar de comunicar los planes del proyecto mediante uncuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).

c) Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que problemas potencialespuedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto.

d) Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o situacionesimprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en relación a los plazos decumplimiento de los programas.

e) Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.

En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el progreso del proyecto,reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de acción.

El administrador de proyectos no tiene por que saber el manejo matemático de las herramientasde planeación que muchas veces es complicado, pero es fundamental saber los conceptos, el

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¿Por qué? y ¿Cuándo? usar cada técnica, y como sacar provecho de los resultados de las mismaspara la toma de decisiones

Las técnicas de planificación por redes son únicas en su forma, especialmente por lo querespecta a los conceptos de la ruta crítica. Los conceptos relativos a nivelación de cargas, costomínimo y programación de recursos limitados han aportado una base racional a una dirección deproyectos que se apoya en planes amplios cuidadosamente tratados. Se puede decir que losplanes se derivan del análisis de diversas alternativas sobresalientes. Estando basados en lacomputadora, se pueden aplicar a sistemas muy grandes. Son flexibles, de manera que se puedenmodificar cuando así lo aconseje la experiencia.

Una vez establecidas la red de actividades, la ruta crítica y los datos estadísticos del programase tiene un plan de proyecto. De la información se puede extraer datos adicionales con respecto ala demanda de recursos del programa inicial; es posible la formulación de programas alternativos,con el fin de nivelar las cargas. La distribución del tiempo que se supone para la actividad sedefine por tres estimados, (estimado de tiempo probable, tiempo optimista, tiempo pesimista)tomado en cuenta que el tiempo de terminación del proyecto es la suma de todos los tiemposesperados de las actividades sobre la ruta crítica, de ese modo se sabe que las distribuciones delos tiempos de las actividades son independientes y la varianza del proyecto es la es la suma delas varianzas de las actividades en la ruta crítica.

Mientras que el CPM y PERT son esencialmente lo mismo, sus matices hacen cada uno aplicablemás que el otro en situaciones diferentes. En ambos métodos la información esencial deseada esla ruta crítica y las holguras. Estas, le permiten al director del proyecto hacer decisiones con basea información, basado en el principio de administración por excepción, sobre los planes yproyectos del trabajo actual y monitorear el progreso del proyecto.

8.7 Pasos en el método pert (program evaluation and review technique)En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza.Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es válido. PERT intenta corregir esteerror suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria. Para cadaactivad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más favorablesb = Tiempo Pesimista. Duración de la actividad bajo las condiciones másdesfavorablesm = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad.

La forma de la distribución se muestra en la figura, tiempo más probable es el tiemporequerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistasy pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad,incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en losmateriales y otros factores.

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8.8 Asignación de tiempos

Es necesario estimar los tiempos de las tareas incluidas en la red. Para ello se podrá disponer desistemas de estudio y medición del trabajo, de estadísticas históricas o de datos de ejecución detareas iguales, similares o comparables.

Cuando mencionamos las diferencias entre CPM y PERT, dijimos que para el primero, ladeterminación de tiempo de cada una de las tareas es estimada mientras que para el segundo ladeterminación es probabilística. Es decir, la técnica PERT hace un uso explícito de la teoría de laprobabilidad mientras que en el CPM es intuitivo.

Sintetizando, el método PERT utiliza tres distintas estimaciones de tiempo, que se aplican al casode planes desarrollados para aplicaciones no tradicionales, en que existe un desconocimiento totalde la duración de una actividad:

- Estimaciones optimistas (to): duración mínima en que la tarea puede ser finalizada.

- Estimación pesimista (tp): duración máxima en que la tarea puede ser totalizada.

- Estimación más probable (tm): representa el valor más probable, es decir el de mayorfrecuencia, o sea, la moda.

Con estos tiempos, podemos obtener el tiempo esperado (te) bajo la siguiente fórmula:

te = to + 4tm + tp6

La ventaja de tener tres estimaciones de los tiempos de cada actividad es que puede calcularse ladispersión de los tiempos y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de queel proyecto se termine de acuerdo con el programa.

Cálculos básicos:

La siguiente parte del proceso, que es la determinación de los tiempos en cada actividad.

Lo primero que tendríamos que hacer es calcular el tiempo más temprano de iniciación de cadaactividad (ES), que esta determinado por el tiempo de terminación de las actividades predecesorasa esta.

El tiempo más temprano de terminación de una actividad (EF) es igual al tiempo más temprano deinicio de dicha actividad (ES) más el tiempo esperado de la actividad (t), es decir:

EF = ES + t

Regla de tiempo de ES El tiempo más temprano de inicio de una actividad

(ES) es igual al más tardío de los tiempos más

tempranos de terminación de las actividades

predecesoras

Por otro lado, el ES de una actividad sin predecesores es 0.

Una vez terminado este proceso (conocido como “proceso hacia adelante”), haremos el “procesohacia atrás”, el cual nos servirá para determinar los tiempos más tardíos de inicio y terminación decada una de las actividades.

Como su nombre lo dice, esta parte del proceso es “hacia atrás” ya que iniciamos calculando eltiempo más tardío de terminación (LF) de la última actividad, que es igual al tiempo más tempranode terminación (EF) de esta misma actividad (que es el mismo del proyecto).

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El tiempo más tardío de inicio (LS) de cada actividad es igual al tiempo más tardío de terminación(LF) menos el tiempo esperado de la actividad (t), esto es:

LS = LF – t

Regla de tiempo para LF El tiempo más tardío de terminación (LF) para

una actividad es igual al menor de los tiempos

más tardíos de inicio (LS) de sus actividades

sucesoras

Una vez terminada esta actividad, ya podemos definir la ruta crítica, que es la formada por lasactividades críticas de la red. Las actividades críticas son aquellas que tienen un tiempo deholgura igual a cero.

Tiempo de holgura = LS – ES = LF – EF

Resumen del procedimiento de diagramación de red:

1. Identificar todas las actividades relacionadas con el proyecto

2. Determinar las relaciones de precedencia entre las actividades

3. Estimar el tiempo de terminación de cada actividad

4. Elaborar la red del proyecto, mostrando las relaciones de precedencia

5. Con el proceso “hacia delante” calcular el tiempo más temprano de inicio (ES) y el tiempomás temprano de terminación (EF) de cada actividad

6. Con el proceso “hacia atrás” calcular el tiempo mas tardío de terminación (LF) y el tiempomás tardío de inicio (LS) de cada actividad

7. Calcular el tiempo de holgura de cada actividad

8. Identificar la ruta crítica del proyecto

Una de las características de este modelo es el poder manejar la incertidumbre en los pronósticosde tiempo para terminar las tareas

CONSIDERACIÓN DE LOS INTERCAMBIOS DE TIEMPO Y COSTO

Los desarrolladores originales de CPM dieron al administrador del proyecto la posibilidad deagregar recursos a actividades seleccionadas para reducir el tiempo de terminación del proyecto.Los recursos añadidos (como más trabajadores, tiempo extra y otros) generalmente incrementanlos costos del proyecto, por lo que la decisión de reducir los tiempos de las actividades debe tomaren consideración el costo adicional involucrado. En efecto, el administrador del proyecto tiene quetomar una decisión que implica negociar un tiempo más reducido de actividad contra un costoadicional del proyecto.

La tabla siguiente define un proyecto de mantenimiento de dos máquinas que involucra cincoactividades. Dado que la administración ha tenido gran experiencia con proyectos similares, seconsidera que los tiempos para las actividades de mantenimiento son conocidos; por lo que se dauna sola estimación de tiempo para cada actividad.

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El procedimiento para efectuar cálculos de camino crítico para la red del proyecto demantenimiento es el mismo que utilizamos para determinar el camino crítico en las redes tantopara el proyecto de expansión del Western Hills Shopping Center como para el proyecto Porta-Vac. Efectuando los cálculos de pase hacia adelante y pase hacia atrás de la red obtuvimos elprograma de actividades que aparece en la tabla.

Los tiempos de holgura cero, y por lo tanto el camino crítico, quedaron asociados con lasactividades A-B-E. La duración del camino crítico, y por lo tanto el tiempo total requerido parafinalizar el proyecto, es de 12 días.

Tiempos de actividades apresuradas

Ahora suponga que los niveles actuales de producción hacen imperativo terminar el proyecto demantenimiento en diez días. Observando la duración del camino crítico de la red (12 días) nosdamos cuenta de que es imposible cumplir con el tiempo deseado de finalización del proyecto amenos que podamos reducir algunos tiempos seleccionados de actividad. Esta reducción de lostiempos de actividad, que por lo general se puede conseguir agregando recursos, se conocencomo apresurar. Sin embargo, los recursos añadidos asociados con tiempos de actividad deapresuramiento generalmente dan como resultado costos agregados del proyecto, por lo querequeriremos identificar las actividades cuyo apresuramiento cuesta menos y a continuaciónapresurar esas actividades únicamente lo necesario para cumplir con el tiempo deseado definalización del proyecto.

Para determinar simplemente dónde y cuánto apresurar los tiempos de actividad, necesitamosinformación sobre cuánto se puede apresurar cada una de las actividades y cuánto cuesta esteproceso de apresuramiento, por lo que debemos solicitar la siguiente información:

1. Costo de la actividad bajo el tiempo de actividad normal o esperado

2. Tiempo para finalizar la actividad bajo un apresuramiento máximo (es decir, el tiempo deactividad más corto posible)

3. Costo de la actividad bajo apresuramiento máximo.

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PROBLEMAS PROPUESTOS DE PROGRAMACIÓN DE PROYECTOS

1. Corporación de Alimentos S.A. fabrica y distribuye diversos productos alimenticios que sevenden a través de tiendas de abarrotes y supermercados. La empresa recibe pedidosdirectamente de cada una de las tiendas individuales: un pedido típico solicita la entrega devarias cajas de bienes que abarcan entre 20 a 50 productos diferentes, Bajo la operación actualdel almacén de la empresa, los almaceneros despachan personalmente seleccionando lospedidos llevándolos al área de embarque. Debido a los elevados costos de la mano de obra y ala relativa baja productividad de la selección manual de pedidos, la administración ha decididoautomatizar la operación del almacén instalando un sistema de selección de pedidos controladopor computadora, junto con un sistema de banda o faja transportadora para mover los productosdel área de almacenaje a la área de embarque.

El gerente de logística de la Corporación fue designado administrador del proyecto encargadodel sistema automatizado. Después de consultar con el área de ingeniería y de administraciónse ha realizado una listado actividades y los tiempos de las mismas, las que son:

Actividad Descripción Precedente

Tiempoesperado

A Determinar necesidades del equipo - 4

B Obtener cotizaciones de los proveedores - 6

C Seleccionar proveedor A, B 2

D Diseñar el sistema de pedidos C 8

E Diseñar nueva disposición física del almacén C 7

F Acondicionar el almacén E 4

G Diseñar interface con la computadora C 4

H Realizar el interface de la computadora D, F, G 4

I Instalar sistema D, F 4

J Capacitar a los operadores del sistema H 3

K Probar el sistema I, J 2

Se desea conocer: El grafico del proyecto indicando su duración y el / los caminos critico/s

2. Un empresario que se dedica a la venta de cueros y suelas ha decidido incursionar en lafabricación de calzados y propone para la puesta en marcha de su proyecto de inversión, lassiguientes actividades hasta el inicio de sus operaciones fabriles y le ha dado un plazo de 6semanas para terminar la implementación.

(Emplea a su sobrino para administrar –implementar y ejecutar- el proyecto ya que no deseatener desavenencias con clientes de su tienda de cueros y suelas que son fabricantes decalzados)

Actividad Precedente Duración(días)

Actividad

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A E 4

B - 10

C D, E, F 3

D A, B 16

E - 5

F H 10

G H 12

H A, B 15

I C, G 7

Se desea conocer:

a. Gráfico de las actividades

b. Las actividades críticas (camino crítico)

c. ¿Puede asegurarse en las condiciones actuales terminar el proyecto en 42 días?

d. A su criterio ¿que debería realizarse para cumplir con el plazo previsto?

3. En un proyecto de inversión las actividades que se desarrollaran son las siguientes:

Actividad Descripción Precedente Duración(días)

A Acondicionar los puntos de venta - 12

B Contratar vendedoras A 6

C Instruir vendedoras B 13

D Seleccionar agencia de publicidad A 3

E Planear campaña de publicidad D 7

F Dirigir campaña de publicidad E 17

G Diseñar etiqueta (de especificaciones) - 3

H Fabricar etiqueta G 14

I Colocar etiqueta a stocks iniciales H, J 8

J Especificar lotes al fabricante - 15

K Seleccionar distribuidores A 13

L Vender a los distribuidores C, K 11

M Enviar mercadería a los distribuidores I, L 9

Se desea conocer:

a. ¿Cual es el menor número de días, necesarios para introducir al mercado el nuevoproducto?

b. Si se contratara vendedoras con experiencia y se elimina la actividad de instrucción¿Qué sucedería con el plazo mínimo de terminación del proyecto?

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4. Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se deben realizar todas las actividadesque se muestran en la tabla (todos los tiempos están en semanas).

Actividad Descripción Predecesores a b m

A Diseño del producto - 2 6 10

B Estudio de mercado - 4 6 5

C Emitir ordenes de materiales A 2 4 3

D Recibir materiales C 1 3 2

E Construir prototipo A, D 1 5 3

F Desarrollo y promoción B 3 5 4

G Producción masiva E 2 6 4

H Distribuir producto PDV G, F 0 4 2

Dibuje la malla del proyecto y determine la ruta crítica. Interprete sus resultados. Realice unmodelo de programación lineal que permita determinar la duración mínima del proyecto.

5. Una empresa de micro finanzas de la ciudad de Huancayo desea abrir otra sucursal en laciudad de Ayacucho, la junta de accionistas ha puesto un plazo inflexible de 24 semanas para laapertura. El grupo “analistas de sistemas y operaciones” esta a cargo de la planeación,programación y control de este proceso, cuidando de que todo se desarrolle de acuerdo a loplaneado y que se cumpla con el plazo previsto.

La nueva sucursal es casi difícil aunque hay relativa experiencia en apertura de otrassucursales, esta es sui géneris ya que se prevé darle mayor autonomía para tratar de sercentro de operaciones de otras sucursales que también planean abrir en Andahuaylas,Puno y Cuzco.

Se debe elegir entre:

- Acondicionar un local céntrico de la ciudad

- Construir un nuevo local previamente derrumbar la construcción antigua o

- Alquilar un piso de un edificio céntrico

- Determinar cuantos empleados de la sede central Huancayo se mudaran aAyacucho, cuantos se contratan y cuantos de ellos deben ser capacitados

El grupo de sistemas y la oficina de planeamiento deben organizar e instrumentar losprocedimientos operativos y los desembolsos a seguir en cada actividad de la apertura de lanueva sede.

Los arquitectos tienen que diseñar el espacio interior, el estilo de la tienda y contar con lasuperficie suficiente, previamente el estudio de mercado ha determinado que gradualmentese incrementara la cantidad de clientes.

Un segundo motivo de complicación es que hay interdependencia de actividades como porejemplo:

- No se puede amoblar las oficinas, no sin antes haberlas acabado y previamentehaberlas diseñado.

- Tampoco puede contratarse nuevos empleados mientras no se hayadeterminado el requerimiento de personal.

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Pasos a seguir:

Debe efectuarse un listado de actividades (no tareas) necesarias del proyecto, estableciendola relaciones de precedencia correspondiente.

Actividad Descripción Precedente Tiempo

(semanas)

A Crear el plan financiero y de organización - 3

B Elegir ubicación de la sede - 5

C Determinar requerimiento d personal B 3

D Diseñar ambientes del local A, C 4

E Construir – acondicionar el local D 8

F Determinar personal a trasladar de sede C 2

G Contratar nuevos empelados F 4

H Trasladar sistemas y personal clave F 2

I Probar sistemas y hacer ajustes financieros con central B 5

J Entrenar nuevo personal H, E, G 3

K Apertura de nueva sede J 1

Se desea conocer: El gráfico del proyecto indicando su duración y el / los caminos critico/s

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UNIDAD VI

Tema Nº 9: ADMINISTRACION DE INVENTARIOS

9.1 Introducción

Todo sistema productivo, para asegurarse su funcionamiento, necesita obtener del exterior unaserie de insumos y materiales a partir de los cuales se realizarán los procesos de transformación.La función de abastecimiento es la encargada de suministrar estos recursos y adquiere unaimportancia fundamental en el desempeño de una organización, condicionando los costosproductivos y la capacidad de respuesta al consumidor.

Dado que los materiales representan un porcentaje elevado del costo de los artículos finales encasi todo tipo de manufactura, no es de extrañar la relevancia que ha tenido y tiene en laactualidad la gestión de aprovisionamiento. Es éste uno de los motivos por los cuales laadministración de la cadena de abastecimiento se ha convertido en un arma competitiva clavepara las empresas.

La gestión de aprovisionamiento es un área muy poco atendida en muchas empresas y por lotanto presenta un gran potencial de mejora. Muchas compañías que han comprendido el valorestratégico del abastecimiento no sólo han reestructurado esta función, sino que han comenzado areplantearse las formas tradicionales de las compras y su relación con los proveedores, dandolugar a una visión más integradora de la cadena de abastecimiento. A través del establecimientode relaciones de colaboración entre sus distintos actores, implementando mejoras conjuntas, yredefiniendo roles a lo largo de la cadena, estas empresas han podido generar un valor superior yposicionarse de manera más competitiva en los mercados.

9.2 Gestión logística

La nueva realidad competitiva presenta un campo de batalla en donde la flexibilidad, la velocidadde llegada al mercado y la productividad serán las variables claves que determinarán lapermanencia de las empresas en los mercados. Y es aquí donde la logística juega un papelcrucial, a partir del manejo eficiente del flujo de bienes y servicios hacia el consumidor final.

Logística es un término que frecuentemente se asocia con la distribución y transporte de productosterminados; sin embargo, ésa es una apreciación parcial de la misma, ya que la logística serelaciona con la administración del flujo de bienes y servicios, desde la adquisición de las materiasprimas e insumos en su punto de origen, hasta la entrega del producto terminado en el punto deconsumo.

De esta forma, todas aquellas actividades que involucran el movimiento de materias primas,materiales y otros insumos forman parte de los procesos logísticos, al igual que todas aquellastareas que ofrecen un soporte adecuado para la transformación de dichos elementos en productosterminados: las compras, el almacenamiento, la administración de los inventarios, elmantenimiento de las instalaciones y maquinarias, la seguridad y los servicios de planta(suministros de agua, gas, electricidad, combustibles, aire comprimido, vapor, etc.).

Las actividades logísticas deben coordinarse entre sí para lograr mayor eficiencia en todo elsistema productivo. Por dicha razón, la logística no debe verse como una función aislada, sinocomo un proceso global de generación de valor para el cliente, esto es, un proceso integrado detareas que ofrezca una mayor velocidad de respuesta al mercado, con costos mínimos.

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El objetivo de la Logística es planear y coordinar todas las actividades necesarias para alcanzarlos niveles deseados de servicio y calidad; es decir es el enlace entre los mercados y lasoperaciones de las empresas.

Como es sabido, la producción es un subsistema dinámico de la organización, que transforma losrecursos a medida que fluyen a través de las distintas etapas del proceso:

a) En una compañía manufacturera, las materias primas, materiales e insumos sonadquiridos a proveedores, almacenándose hasta el momento de su utilización en elproceso productivo. Los materiales fluyen a lo largo de este proceso, hasta sertransformados en productos finales que serán almacenados en un depósito hasta suposterior distribución en el mercado.

b) En una empresa de servicios, pueden existir diferentes tipos de flujos: de materiales, dedocumentos y/o de personas. Los servicios de reparación, en general, son ejemplos endonde los flujos de materiales son los que prevalecen (servicios de reparación deautomóviles, de televisores, de zapatos, etc.). Un estudio jurídico, un estudio contable ouna oficina de rentas realizan actividades principalmente relacionadas con documentos,por lo que el flujo de documentación es el preponderante en estos casos. Las ventanillasde atención al público de un banco, las universidades, los cines, son ejemploscaracterísticos del fluir de personas a lo largo de los procesos de prestación de servicios.

9.3 Utilidad de la logística en una empresa

A través del manejo adecuado de la logística en una empresa se puede apreciar lossiguientes resultados:

a) Reducción de inventarios.

b) Mínimo de variaciones en los materiales e insumos.

c) Desempeño controlado de servicio al cliente. (Información adecuada de avancesque solicita el cliente).

d) Minimizar los costos de operación y adquisiciones de materiales.

e) Control de calidad del producto.

Como puede apreciar los beneficios son múltiples, pero para realizar esta actividadeficientemente se requiere ser ordenado y manejar una adecuada gestión para lascompras.

9.4 Planeando la logística de la empresa

Las actividades logísticas deben ser planificadas cuidadosamente, ya que, como se havisto, afectan de manera especial la operatoria normal de una organización y constituyenuna de las bases más importantes de creación de valor.

Espacios insuficientes, lugares inadecuados de descarga de materiales, flujosdesordenados de procesos, grandes distancias a recorrer, equipos no aptos para elmovimiento interno de materiales, elevados stocks, transportes antieconómicos, sonalgunas de las ineficiencias que genera la ausencia de un planeamiento del procesologístico.

¿Qué se debe tener en cuenta para diseñar un plan logístico? Como parte de del procesode planeación debemos preguntarnos, por ejemplo, si las ventajas comerciales derivadasde la producción de una línea completa de artículos compensan los costos de fabricaciónde dicha línea, así como también si la diferenciación a partir de un nivel de serviciosuperior para los clientes compensa los costos de almacenamiento y transporte que ellosignifica.

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9.5 Los desafíos de la revolución tecnológica: e – Logistic

Internet está afectando de manera dramática la forma en que los productos y servicios sonadquiridos. La red permite a los consumidores seleccionar y solicitar artículos por víaelectrónica, examinar en cualquier momento cada faceta del producto o servicio quedesean comprar, y todo ello cómodamente, sin moverse de sus hogares. Las compañíastambién han entrado en el mundo de Internet para adquirir sus materias primas, materialesy servicios de una manera más rápida y con menores costos administrativos.

La explosiva difusión de la web como medio de intercambio comercial requiere respuestasrenovadas desde la logística. Con el auge del B2C y el B2B, se generan otrasnecesidades en cuanto a exigencias de tiempo, almacenamiento y transportes, y enrelación a la coordinación de actividades y evaluación de costos logísticos. Comprender elalcance de estos cambios se torna esencial para cualquier organización que pretendaganar nuevos mercados a partir del intercambio electrónico.

El marketing y la publicidad parecieran ser las fuerzas impulsoras para las empresas quequieren estar presentes en la red. Tener una página en la web parece ser esencial parallegar a nuevas zonas geográficas, nuevos clientes o nuevos proveedores, sin embargo, laventa de productos a través de la vía electrónica enfrenta grandes desafíos relacionados,básicamente, con los costos de atención del mercado.

Internet elimina las distancias, pero para muchas compañías el secreto sigue siendo lalocalización.

Varios estudios en los E.E.U.U. (donde el comercio electrónico está muy desarrollado enrelación a otros países) han indicado que los principales problemas relacionados con lascompras on line efectuadas por consumidores finales han sido los faltantes de artículos,las demoras en las entregas y los costos de despacho y envío. Comprar un libro a travésde amazon.com, por ejemplo desde el Perú, implica, en muchos casos, pagar más por loscostos de envío que por la mercancía en sí misma.

Tema N°10: LOS INVENTARIOSTodos los medios, elementos y recursos productivos de que dispone una empresa son“inventariables”, es decir, pueden registrarse contablemente y físicamente en los almacenes. Sonlos medios que se transforman en el proceso productivo desde la materia prima hasta el productoterminado.

10.1 Modelos de inventarios

Si hubiera un genio para producir lo que se deseara, en el momento y lugar que se deseara, nohabría inventarios. Desafortunadamente los genios están escasos, de manera que se usan losinventarios como amortiguador entre la oferta y la demanda. Esto ocurre ya sea que se piense enmateria prima para un proceso de producción o en bienes terminados almacenados por elfabricante, el distribuidor o el comerciante.

Normalmente la demanda es una variable no controlable, pero la magnitud y la frecuencia delabastecimiento es controlable.

La cantidad de inventario que se tiene se comporta de manera cíclica. Comienza en un nivel alto yla cantidad se reduce conforme se sacan las unidades. Cuando el nivel baja se coloca una orden,la cual al recibirse eleva de nuevo el nivel de inventario y el ciclo se repite. La cantidad deinventario se controla con el tiempo y la cantidad de cada orden Los inventarios pueden definirsecomo la cantidad de artículos, mercancías y otros recursos económicos que son almacenados ose mantienen inactivos en un instante de tiempo dado.

Decisiones básicas de los Inventarios.

Estas son las siguientes:

a) ¿Qué cantidad se debe pedir?

b) ¿Cuándo se debe pedir?

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c) A quien comprar

10.2 Características de los inventarios

El principal objetivo de los inventarios es actuar como reguladores entre los ritmos de sus entradasy las cadencias de sus salidas, lo que puede comprenderse como:

a) Reducción del riesgo. Generalmente no se conoce con certeza la demanda de productosterminados que habrá en el próximo período.

Para evitar que un repentino aumento de la demanda produzca un desabastecimientode productos terminados.

Para evitar una detención del proceso de producción por agotamiento del almacén deprimeras materias.

b) Abaratar las adquisiciones y la producción.

En ocasiones, la forma óptima de producción es hacerlo «por lotes», es decir, fabricarun gran lote de unidades durante un periodo de tiempo corto y no volver a fabricarhasta que ese lote se encuentre casi agotado.

En las adquisiciones de materia prima también puede ser económico comprar porgrandes lotes, para aprovechar los descuentos por tamaño del pedido, repartir entremayor número de unidades los costes de transporte, etc.

c) Anticipar las variaciones previstas de la oferta y la demanda.

Existen ocasiones en las que pueden preverse las variaciones de la oferta y de lademanda.

Puede preverse que una amplia campaña de promoción de uno de los productos va aelevar la demanda del a mismo. Para anticiparse a ella, la empresa acumulaproductos terminados en sus almacenes.

Otro tanto ocurre cuando la materia prima (por ejemplo, productos agrícolas) o losproductos terminados (por ejemplo, helados y ventiladores) están sometidos avariaciones estacionales

d) Facilitar el transporte y la distribución del producto.

Aunque la demanda de los consumidores finales sea perfectamente previsible,generalmente los productos han de ser transportados desde los lugares de fabricaciónhasta los de consumo, y el transporte no puede efectuarse de forma continua. Porello, la producción se almacena para ser transportada en lotes.

Otro tanto sucede en el proceso de elaboración de algunos productos que se vancompletando en sucesivas fases realizadas en puntos más o menos distantes entre sí.

I. Objetivos básicos de la administración de los inventarios.

1. Minimizar los costos y riesgos de tener inventarios.

2. Minimizar costos y riesgos de adquirir inventarios.

3. Maximizar el rendimiento sobre la inversión.

4. Optimizar el nivel de producción.

5. Coordinación entre producción y compras.

6. Coordinación entre producción y ventas.

II. Factores que afectan el nivel de inventarios.

1. Tamaño y frecuencia de los pedidos

2. Tiempo de entrega

3. Descuento por volumen

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4. Pronósticos y presupuestos

5. Transportación

6. Riesgo de obsolescencia

7. Mezcla de productos

8. Inventario de seguridad

9. Capacidad instalada

10.3. Costos de los inventarios.

Los inventarios representan una inversión cuantiosa para muchas compañías, en especial losfabricantes, los distribuidores, y las tiendas. Por lo que es importante minimizar sus costos y el retopara el administrador precisamente es alcanzar el nivel deseado de servicio al cliente a un costomínimo.

Los costos de inventario pueden analizarse desde tres aspectos diferentes:

i. Costos de almacenamiento: que incluyen los costos del alquiler o amortizacióndel almacén, los seguros de la mercancía, las mermas y roturas, los costes delpersonal y los costos financieros.

ii. Costos de renovación del stock: que incluyen los costos administrativos ycomerciales que ocasiona la gestión de los pedidos, y los costes de transportey distribución de la mercancía.

iii. Costos de ruptura de pedido: ocasionados por la interrupción del procesoproductivo o por la falta de suministro a los clientes.

La mayor o menor importancia de cada uno de estos costos determina la política a seguirpor la empresa. Frente a la política de reducción de stocks pueden existir razones que, deforma circunstancial, aconsejen seguir la política contraria, por ejemplo:

Los proveedores ofrecen importantes descuentos por alcanzar un determinado volumende compras.

- Se espera una fuerte subida de precios.

- Hay una previsión de incremento de la demanda de nuestros productos.

De esta manera desaparecen los almacenes de productos intermedios en las grandesempresas y se consigue involucrar a los proveedores en el suministro a tiempo y en losprocesos de montaje de sus componentes.

La función de aprovisionamiento está compuesta por aquellas actividades que se ocupande seleccionar, adquirir y almacenar las materias primas necesarias en el procesoproductivo, y del almacenamiento de los productos fabricados por la empresa.

Al volumen de mercancías que existe, en un momento determinado, en el almacén sedenomina stock o inventario. Pueden existir:

- stock de productos terminados.

- stock de productos en proceso.

- stock de materias primas.

La gestión del stock supone necesitar áreas de almacenamiento apropiadas, soportarriesgos de deterioros físicos, mermas, vigilancia y destinar cuantiosos recursoseconómicos para su financiación.

De toda esta suma de factores se deriva que actualmente las empresas traten de reducirsus niveles de stock, garantizando la continuidad del proceso productivo y el cumplimientode los acuerdos con los clientes.

De la misma forma la empresa comercial ha ido reduciendo sus almacenes y ampliando lasala de venta al público, contratando con sus proveedores un suministro continuo de

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mercancía, que impida la caducidad de los productos, las mermas y la inmovilización derecursos financieros.

10.3.1 Los costos de los inventarios y su tamaño

Teniendo en cuenta sus costos, se podría afirmar que:

A. En general, interesará mantener grandes inventarios cuando:

- Los costos de realización de pedidos son elevados.

- Los costos de almacenamiento son bajos.

- Realizando grandes pedidos es posible obtener importantes descuentos de losproveedores.

- Se espera un crecimiento sustancial de la demanda.

- Se esperan fuertes subidas de precios.

B. Complementariamente, se mantendrán bajos niveles de inventarios cuando:

- Los costos de almacenamiento son altos y los de realización de pedidos sonbajos.

- La demanda de la empresa es estable, siendo improbable un crecimiento súbito.

- Los proveedores son de confianza y no existen dificultades dereaprovisionamiento.

- No es posible aplazar el pago a los proveedores y existen dificultades definanciación de las existencias.

- Se esperan importantes disminuciones de precios.

10.4 Tipos de sistemas y modelos de inventarios

Un sistema de inventarios está integrado por una estructura organizativa y por unconjunto de reglas, políticas y procedimientos de mantenimiento y control de los bienesinventariados.

Al sistema le corresponde:

– La ordenación de pedidos y su recepción

– Determinar el tamaño de cada pedido y el momento en el que ha de enviarse laorden.

– Mantener información actualizada de qué se ha pedido, cuánto se ha pedido, y aquién se ha pedido.

Existen dos tipos básicos de sistemas de inventarios que dan lugar a dos tipos demodelos. Son los siguientes:

– El sistema de volumen de pedido constante (sistema Q), al que también se sueledenominar sistema de volumen económico de pedido. En él todos los pedidostienen el mismo tamaño y se realizan cuando se comprueba que es necesario, locual puede suceder en cualquier momento, dado el nivel de existencias delalmacén y la demanda prevista.

– El sistema de periodo constante (sistema P), que también recibe otrasdenominaciones, como sistema periódico, sistema de revisión periódica, osistema de intervalo fijo de pedido. En él se establece un periodo constanteentre cada par de pedidos. Estos se efectúan cuando ha transcurrido eseperiodo, y su tamaño es variable dependiendo del nivel que tenga el inventario alllegar ese momento y de la demanda prevista.

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En la práctica, se utilizan los dos tipos de sistemas:

– El sistema P, por requerir mayores inventarios, se aplica en los inventarios deproductos de poco valor.

– Por el contrario, el sistema Q se utiliza mucho para artículos caros en los que loque se gana teniendo una inmovilización de recursos financieros más baja,compensa los gastos derivados del elevado nivel de control que requiere.

Los distintos sistemas de inventarios conducen a diferentes modelos.

Pero los distintos tipos de modelos también se pueden diferenciar según el nivel deinformación existente.

Se distinguen:

– Modelos deterministas, en los que la demanda se supone conocida con certeza.

– Modelos probabilísticos o aleatorios, en los que la demanda sólo se conoce entérminos de probabilidades.

Modelos deterministas de gestión de inventarios

En 1915, F. W. Harris desarrolló el modelo de volumen económico de pedido, que es elmás conocido y utilizado de los modelos deterministas.

Esa popularidad del modelo se debe a los esfuerzos de un consultor y asesor deempresas denominado Wilson. Por ello también se le suele denominar modelo deWilson aunque fue desarrollado por Harris.

Los supuestos en los que se basa este modelo son los siguientes:

La demanda del producto es constante, uniforme y conocida. Dicho de otromodo, cada día sale del almacén la misma cantidad.

El tiempo transcurrido desde la solicitud del pedido hasta su recepción (plazo deentrega) es constante.

El precio de cada unidad de producto es constante e independiente del nivel delinventario y del tamaño del pedido, por lo que no es una variable que debaincorporarse en el modelo. Esto incluye el supuesto de que no existendescuentos por tamaño del pedido.

El coste de mantenimiento o almacenamiento depende del nivel medio delinventario.

Las entradas en el almacén se realizan por lotes o pedidos constantes y el costede realización de cada pedido es también constante e independiente de sutamaño.

No se permiten rupturas de stocks, sino que ha de satisfacerse toda la demanda.

El bien almacenado es un producto individual que no tiene relación con otrosproductos.

Cuando se cumplen estos supuestos, la evolución temporal del inventario, en unidadesfísicas, se ajusta a una forma de «dientes de sierra».

La forma que tienen estos dientes (vertical a la izquierda e inclinada a la derecha) seexplica por el supuesto de que las entradas se efectúan por lotes y de que las salidas(demanda) se producen de forma constante y continua.

En la figura resulta:

Q : Tamaño del lote o pedido

L : Plazo de entrega

R : Numero de unidades físicas que hay en el almacén en el momento de realizar elpedido además del stock de seguridad

Ss: Stock de seguridad

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Cuadro Nº 3: Modelo de inventarios EOQ

El tamaño del pedido Q, influye en la frecuencia con la que se tendrán que realizar lospedidos y en el nivel de inventario.

– Cuanto menor es el tamaño del pedido, mayor es la frecuencia con la que hayque renovar el almacén (lo que hace que el coste anual de realización depedidos se eleve) y menor es el nivel medio del almacén (con lo que tambiénresulta menor el coste de mantenimiento).

– Si el tamaño del pedido es grande, también lo será el nivel medio del almacén yel coste de mantenimiento, pero el número de pedidos al año y el coste derealización de pedidos serán pequeños. El modelo de Wilson permitedeterminar el tamaño del pedido para el cual es mínimo el coste total.

El modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en inglés) es aplicable cuando lademanda de un elemento tiene una tasa constante o prácticamente constante o cuando latotalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un momento en el tiempo. La hipótesis de latasa de demanda constante significa que en cada periodo de tiempo se extrae del inventario unmismo número de unidades

RESUMEN DE LAS HIPÓTESIS DEL MODELO EOQ

1. La demanda D es determinística y ocurre a tasa constante.

2. La cantidad a pedir Q es la misma para cada uno de los pedidos. El nivel de inventarios seincrementa en Q unidades cada vez que se recibe un pedido.

3. El costo por pedido CO es constante y no depende de la cantidad pedida.

4. El costo de pedir por unidad C es constante y no depende de la cantidad pedida.

5. El costo de posesión del inventario unitario por periodo de tiempo Ch es constante. Elcosto de posesión del inventario total depende tanto de Ch como del tamaño delinventario.

6. No se permiten rupturas o faltantes de inventario, como cero existencias o pedidospendientes de surtir.

7. El tiempo de entrega de un pedido es constante.

8. La posición del inventario se vigila continuamente. Como resultado, se coloca un pedidotan pronto como la posición del inventario llega al punto de pedido.

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1.5 Logística de producción-cadena de abastecimiento

La Cadena de Abastecimiento, incluye todas las actividades relacionadas con el flujo ytransformación de bienes y productos, desde la etapa de materia prima hasta el consumo por elusuario final.

Para que el flujo de recursos sea óptimo debe fluir información en toda la cadena de valor y,lógicamente, para que todos los integrantes que la forman generen valor y ganancias, debefinalmente fluir el dinero, todo ello a la mayor velocidad posible y satisfaciendo al cliente final.

10.5.1 Cadena de abastecimiento

Con una visión amplia de las empresas la vemos como eslabones de una cadena deabastecimiento debe quedar claro el objetivo que persigue este concepto: generar valoreconómico y flujo permanente de bienes, información y dinero. Por consiguiente la situación idealpara toda empresa es que los elementos mencionados fluyan permanentemente, que estén enmovimiento generando ganancia y competitividad.

Por consiguiente, toda detención del flujo es una pérdida; si se detiene el flujo de productos(incremento de inventarios) se generan pérdidas por capital inmovilizado y/o pérdida de ventas; sise detiene el flujo de dinero y la rotación del mismo no es eficiente, no sólo se dejan de generarganancias sino que, adicionalmente, se debe recurrir a fuentes externas de financiamiento, lo queincrementa el costo. Y, finalmente, si la información se detiene, es posible satisfacer elrequerimiento de los clientes y tomar decisiones adecuadas al respecto a los productos y al dinero.

10.5.2 Objetivo de la Cadena de Abastecimiento

Independientemente de la definición, de lo grande o pequeño del departamento de logísticapertenecer a una MyPE, mediana o gran empresa, pertenecientes a cualquier sector industrial,hay un objetivo sencillo, pero preciso, para dicho departamento y la cadena de abastecimiento:abastecer los materiales necesarios en la cantidad, calidad y tiempos requeridos al menor costoposible para con ello dar un mejor servicio al cliente.

En la correcta definición y entendimiento de esta cadena por parte de todos los integrantes de laempresa asegurará el buen desempeño de la cadena de abastecimiento de las empresas queaspiran a diferenciarse y permanecer. Se describen:

a) Cantidad: Por ejemplo si el cliente requiere 500 Kg. de acero y solo tenemos 200 Kg. y esun cliente con el que tengo un compromiso, le estaré afectando su abastecimiento, y/o ledaré la oportunidad a mi competencia de que mi cliente lo conozca. Si mi cliente requiere500 Kg. y tengo 1,000 Kg. Entonces tengo excedentes de inventarios lo que aumentará micosto financiero, mis gastos en administración de inventarios y, además, tendré capitalinvertido en un material que no ocupo y que posiblemente este capital lo necesite paracomprar otro material que si utilice.

b) Calidad: Si el material tiene una calidad inferior a la que estoy ofreciendo y a quien se lovendo es un cliente con el que tengo un compromiso, entonces le estaré afectando suabastecimiento, y/o en un corto plazo le daré la oportunidad a mi competencia de que micliente lo conozca. Si el material tiene una calidad superior a lo que el mercado estadispuesto a pagar seguramente no desplazaré el material o mi utilidad será baja.

c) Tiempo: Si el material llega después de lo requerido por el cliente con el cual tengo uncompromiso, le estaré afectando su abastecimiento, y/o le daré la oportunidad a micompetencia de que mi cliente lo conozca. Si el material llega antes de lo requerido tendréexcedentes de inventario lo que aumenta mi costo financiero, mis gastos en administraciónde inventarios y tendré capital invertido en un material que no ocupo y que posiblementenecesite este capital para comprar otro material que si utilice.

d) Costo: Llamaremos costo al costo total integrado de los materiales o productosterminados en el punto de venta. El tener un costo alto automáticamente me elimina delmercado y más en un mundo globalizado donde todos tenemos acceso a proveedoresde todas partes del mundo. Si el costo es bajo habrá que considerar los otros tres

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requisitos ya que de nada sirve tener un bajo costo si no tengo el producto en tiempo ycantidad (En alguna ocasión un proveedor me preguntó ¿por qué no le compraba sí éltenia el precio más bajo del mercado? Y le conteste “me podrás regalar el material perosi no lo tengo aquí no me sirve”). Con la calidad es lo mismo, el que el producto no tengala calidad requerida es como no tenerlo.

e) Las empresas debemos aprender a integrar la tecnología de información y lasherramientas tecnológicas en nuestros procesos de toma de decisiones tanto operativascomo estratégicas. Las herramientas son instrumentos diseñados para facilitarnos eltrabajo. El desempeño de estas depende tanto de la capacidad de la herramienta comode la capacidad del usuario para su utilización. Un ejemplo es la aplicación Excel, notodos aprovechamos todas las virtudes de este paquete. La correcta utilización de laherramienta es tanto obligación del usuario al mostrar interés y compromiso en su uso,como de la empresa al capacitar al usuario en dicha aplicación.

Tema Nº 11: DISEÑO DE CADENA DE SUMINISTROEl objetivo de su manejo (administración) es reducir la incertidumbre y los riesgos de la misma,afectando positivamente los niveles de inventarios, los tiempos de los ciclos, los procesos y losniveles de servicio al cliente final.

11.1 Redes y cadena de suministro

Las redes son un mecanismo de cooperación entre agentes, los cuales mantienenindependencia jurídica y autonomía gerencial. La afiliación a la red es voluntaria y susmiembros obtienen beneficios individuales mediante una acción conjunta.

En este sentido, la cadena de suministro es concebida como una red de organizaciones através de las cuales fluyen materiales, información y servicios que relacionan a losproveedores, a la empresa y a sus clientes. La gestión de la cadena de suministro se refiere ala planificación y control de los flujos de materiales e información, así como a las actividadeslogísticas realizadas dentro de la empresa y entre empresas de la cadena.

11.2 Redes Verticales

Las redes verticales son aquellas modalidades de cooperación entre empresas que se sitúanen posiciones distintas y consecutivas de la cadena productiva y se asocian para alcanzarventajas competitivas que no podrían obtener de forma individual. El ejemplo más típico es eldel establecimiento de una relación de aprovisionamiento estratégico y estable entre una ovarias empresas clientes y sus redes de micro, pequeñas y medianas subcontratistas.

De esta manera, las primeras pueden dedicarse a aquellas actividades que les resultan másrentables y disponen de mayor flexibilidad organizacional, en tanto que las segundas puedenasegurar un mercado que les permitirá sostenerse en el corto plazo y crecer en el largo plazo.

11.3 Redes Horizontales

Las redes horizontales son una alianza entre un grupo de empresas que ofrecen el mismoproducto o servicio, cooperando entre sí en algunas actividades, pero compiten entre sí en unmismo mercado. Un ejemplo de este tipo red podría ser el agrupamiento de pequeñasempresas del sector de confecciones, las cuales conservan su individualidad y atienden a susmercados individuales; sin embargo, a través de la red, cooperan entre sí para

la compra de insumos y/o para surtir un pedido que exceda las capacidades individuales decada una de las empresas. Las redes formadas exclusivamente por PYMEs se denominanhorizontales para distinguirlas de aquellas en las que participan una o más empresas grandes,que son las de tipo vertical. Sean horizontales o verticales, las redes pueden establecersedentro de conglomerados de empresas o independientemente de ellas.

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Conglomerados

La Organización de Naciones Unidas para el Desarrollo Industrial (ONUDI) define a losconglomerados como “concentraciones sectoriales y geográficas de empresas que producen yvenden una serie de artículos similares entre sí o complementarios y, por tanto, se enfrentancon problemas y oportunidades comunes. Esas concentraciones pueden dar lugar aeconomías externas, por ejemplo surgen proveedores especializados de materias primas ycomponentes o se crea un acervo de recursos humanos especializados en el sector, ypromover el desarrollo de servicios especializados en asuntos técnicos, gerenciales yfinancieros”.

CONGLOMERADOS INDUSTRIALES

Los casos del Complejo Industrial de Gamarra y el Parque Industrial de Villa El Salvador sonclaros ejemplos de la importancia que tiene la creación de los conglomerados empresarialescomo una estrategia de desarrollo. Poco a poco, los empresarios de ambas zonas fuerondescubriendo que mejor les va cuando instalan sus puestos junto a otros, porque de esaforma proporcionan al consumidor mayores oportunidades de elegir y comprar lo que más legusta.

Asimismo, pueden organizarse más fácilmente, hacer campañas de marketingconjuntamente o programas a favor de la seguridad de los vendedores y clientes. Convocartambién, con mayor efectividad, cursos de capacitación o asistencia técnica en cooperacióncon instituciones públicas, privadas o con organismos internacionales. Sin embargo, lasMYPEs aún no aprovechan todos los beneficios que pueden obtener de los conglomeradosindustriales, como economías de escala gracias a compras conjuntas, transferencia detecnología, etc.

La formación de redes es un instrumento para el desarrollo de conglomerados como alternativapara promover el desarrollo local. Así, las redes de empresas que cooperan en un proyectoconjunto contribuyen al desarrollo complementándose entre sí, especializándose para superar losproblemas comunes, consiguiendo eficacia colectiva y obteniendo una penetración de mercadomayor que la lograda por sí solas.

11.4 Inventarios gerenciados por los proveedores

Una creciente metodología de administración de inventarios es el gerenciamiento de los mismos através de los proveedores, denominada también “stocks en consignación”. Bajo esta modalidad,el cliente asigna un espacio físico del almacén a los proveedores, el que será utilizadoexclusivamente para el manejo de los materiales de su propiedad. El proveedor administrará susinventarios de acuerdo a las cantidades máximas y mínimas a mantener establecidas de comúnacuerdo, y facturará solamente las mercaderías consumidas en el período establecido por elsector Compras.

Para la empresa que posee los materiales en consignación, las ventajas son obvias: menorerogación de capital (se paga sólo lo que se consume), menores costos de mantenimiento (acargo del proveedor) y mayor adecuación a variaciones en los programas de producción (cualquiermodificación del programa puede atenderse con stocks que ya están en planta, sin costosadicionales de reservas de seguridad) Pero… ¿Cuáles son los beneficios que logran losproveedores al trabajar bajo esta modalidad? En principio, al trabajar conjuntamente con el cliente,la planificación y programación de la producción se torna más realista, evitando producir losmateriales que no se requerirán (enfoque pull); por otra parte, al administrar los inventarios ellosmismos, los proveedores pueden establecer políticas adecuadas en cuanto a la frecuencia yformas de entrega (empaques, utilización de vehículos, horarios de envío, etc.), minimizando lanecesidad de realizar cambios abruptos en su sistema logístico con motivo de pedidos del clienteno programados

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GESTIÓN INTEGRADA DE INVENTARIOS

La identificación del inventario y la exactitud de los registros están revolucionando el control deinventarios. Por ejemplo, Wal-Mart, la mayor empresa de venta al por menor del mundo, hainvertido 50000 millones de dólares anuales durante los últimos tres años en la automatización dela gestión de inventario. El objetivo es tener la mercadería adecuada en el sitio apropiado en elmomento necesario.

Mediante unidades de almacenamiento de inventario (SKU) se registran los artículos a su llegadaa la tienda y en el momento de su venta. Con una simple lectura del código de barras en el puntode compra, el número de SKU, el nombre del producto, el precio de venta y el costo se registranen las bases de datos de Wal-Mart y en las del fabricante de “Listerine”, Warner Lambert.

- Si el hipermercado prevé la escasez de algún artículo, sus empleados o directivos puedenusar el programa de localización de artículos de Wal-Mart con una palm para encontrarinventario en otros lugares. Después se hace una llamada telefónica para pedir el SKU.

- La base de datos está conectada con 2500 de los 10000 proveedores de Wal-Mart, incluidoWarner Lambert. Para ayudar a Wal-Mart y a sus proveedores a ajustarse a las fluctuacionesde la demanda, se mantiene una base de datos correspondientes a 65 semanas de ventas decada producto.

- Para mejorar la coordinación entre Wal-Mart y sus suministradores, se ajustan las previsionespara poder hacer frente a las tendencias estacionales. En algunos casos, se ha reducido elinventario a la mitad.

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Tema Nº 12: OPERACIÓN DEL SISTEMA PRODUCTIVO DE EMPRESAPROVEEDORALa operación del sistema productivo de la empresa proveedora involucra decisiones de corto y demediano plazo relacionadas con los ciclos continuos de planificación, programación y control delas operaciones de la empresa. El límite de desempeño que se puede alcanzar como resultado deestas decisiones está condicionado por las decisiones de diseño del sistema productivo. Porejemplo, un límite de capacidad dado por recursos cuello de botella no podrá ser superado sininversiones en ampliación de capacidad y la operación del sistema estará condicionada por eselímite.

12.1 Gestión de pedidos y pronósticos

En todo sistema productivo, la determinación de la cantidad a producir es fundamental paradefinir el programa de producción que marca el ciclo de operación del sistema. Las grandesempresas que fabrican productos estandarizados definen sus planes de venta en función apronósticos y reuniones de gerencia donde se evalúan las distintas perspectivas delmercado y las restricciones de la empresa.

Por otro lado, en los talleres, la adecuada relación con los clientes para negociar, cotizar,proporcionar plazos de entrega y atender los pedidos es fundamental para generar uncliente satisfecho que retorne nuevamente. En este contexto, el nivel de servicio de órdenesatendidas en el plazo indicado es un buen indicador de la gestión de operaciones en laempresa. El contar con le permite a la pequeña empresa enfrentar pedidos urgentes o envolúmenes que no podría atender por sí sola.

En este sentido, puede ser relevante para las pequeñas empresas asociarse con otrasempresas similares y desarrollar una central de pedidos o un consorcio que les permitaganar escala en sus adquisiciones, consolidando las compras y los pedidos de clientes engrandes volúmenes.

Desde el punto de vista de la empresa cliente, puede ser conveniente que la red o consorciode pequeñas empresas se divida el trabajo, asignando a cada una de ellas una parte delproceso productivo, lo cual le garantiza una mayor estandarización del producto. Estadivisión permite también obtener mayores beneficios por las economías involucradas en elproceso.

12.2 Los sistemas MRP

Las técnicas MRP (Materials Requirement Planning, Planificación de las necesidades deMateriales) son una solución relativamente nueva a un problema clásico en producción: el decontrolar y coordinar los materiales para que se hallen a punto cuando son precisos y al propiotiempo sin necesidad de tener un excesivo inventario.

La gran cantidad de datos que hay que manejar y la enorme complejidad de las interrelacionesentre los distintos componentes trajeron consigo que, antes de los años sesenta, no existieraforma satisfactoria de resolver el problema mencionado, lo que propició que las empresassiguiesen, utilizando los stocks de seguridad y las técnicas clásicas, así como métodos informales,con el objeto de intentar evitar en lo posible problemas en el cumplimiento de la programacióndebido a falta de stocks, por desgracia, no siempre conseguían sus objetivos, aunque casi siempreincurrían en elevados costos de posesión.

Cabe señalar que los sistemas MRP no constituyen un cuerpo de conocimientos cerrado, sino quehan estado evolucionando en forma continua. Inicialmente se usaba el MRP para programarinventarios y producción (Sistemas MRP I) luego se fue incluyendo la planificación de capacidadde recursos (Sistemas MRP II), y por último una vez desarrollado los otros sistemas, se amplía elsistema a la planificación y control de otros departamentos de la empresa (Sistemas MRP III).

MRP I

El MRP I o Planificación de necesidades de Materiales, es un sistema de planificación dela producción y de gestión de stocks que responde a las preguntas:

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¿QUÉ?

¿CUÁNTO?

¿CUÁNDO?

Se debe fabricar y/o aprovisionar.

El Objetivo del MRP (al MRP I le llama también simplemente MRP) es brindar un enfoquemas efectivo, sensible y disciplinado a determinar los requerimientos de materiales de laempresa.

Las técnicas clásicas y el MRP

Técnicas Clásicas M.R.P

- Tipo de demanda Independiente (aleatoria). Dependencia (predeterminada).

- Determinación de lademanda.

Previsión estadística en base ala demanda histórica.

Explosión de las necesidades enbase al Plan Maestro de Producción.

- Tipo de artículos Finales y piezas de repuesto. Partes y componentes.

- Base de los pedidos Reposición Necesidades

- Stocks de seguridad Necesario para paliar laaleatoriedad de la demanda.

Tiende a desaparecer salvo en losproductos finales.

- Objetivos directos Satisfacción del cliente. Satisfacción de las necesidades deproducción.

El procedimiento del MRP está basado en dos ideas esenciales:

A. La demanda de la mayoría de los artículos no es independiente, únicamente lo es lademanda de los productos terminados.

B. Las necesidades de cada artículo y el momento en que deben ser satisfechas estasnecesidades, se pueden calcular a partir de unos datos bastantes sencillos:

q Las demandas independientes

q La estructura del producto

Así pues, MRP I consiste esencialmente en un cálculo de necesidades netas de los artículos (productos terminados, subconjuntos, componentes, materia prima, etc.) introduciendo unfactor nuevo, no considerado en los métodos tradicionales de gestión de stocks, que es elplazo de fabricación o compra de cada uno de los artículos, lo que en definitiva conduce amodular a lo largo del tiempo las necesidades, ya que indica la oportunidad de fabricar ( oaprovisionar) los componentes con la debida planificación respecto a su utilización en la fasesiguiente de fabricación.

En la base del nacimiento de los sistemas MRP está la distinción entre demandaindependiente y demanda dependiente.

A. Demanda Independiente

Se entiende por demanda independiente aquella que se genera a partir dedecisiones ajenas a la empresa, por ejemplo la demanda de productos terminadosacostumbra a ser externa a la empresa en el sentido en que las decisiones de losclientes no son controlables por la empresa (aunque sí pueden ser influidas).También se clasificaría como demanda independiente la correspondiente a piezasde recambio.

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B. Demanda Dependiente

Es la que se genera a partir de decisiones tomadas por la propia empresa, porejemplo aún si se pronostica una demanda de 100 coches para el mes próximo(demanda independiente) la Dirección puede determinar fabricar 120 este mes,para lo que se precisaran 120 carburadores , 120 volantes, 600 ruedas,.... ,etc. Lademanda de carburadores, volantes, ruedas es una demanda dependiente de ladecisión tomada por la propia empresa de fabricar 120 coches. Los inventarios defabricación se convierten en productos terminados, por lo que la cantidad que senecesite dependerá de la demanda de los productos terminados a los que sevayan a incorporar. Una vez conocida la demanda del producto terminado, sepodrá determinar la demanda de las materias primas, piezas y sub-ensambles quelo componen.

Dado que la demanda de los inventarios de fabricación depende de la del productofinal, los modelos de demanda independiente de la parte anterior no deberánutilizarse para administrar inventarios de fabricación. En vez de ello, deberánutilizarse técnicas aplicables a demandas dependientes.

Es importante esta distinción, porque los métodos a usar en la gestión de stocks de unproducto variarán completamente según éste se halle sujeto a demanda dependiente oindependiente. Cuando la demanda es independiente se aplican métodos estadísticos deprevisión de esta demanda, generalmente basados en modelos que suponen unademanda continua, pero cuando la demanda es dependiente se utiliza un sistema MRPgenerado por una demanda discreta. El aplicar las técnicas clásicas de control deinventarios a productos con demanda dependiente (como se hacia antes del MRP) generaciertos inconvenientes.

EL SISTEMA MRP

El sistema MRP comprende la información obtenida de al menos tres fuentes o ficheros deInformación principales que a su vez suelen ser generados por otros subsistemas específicos,pudiendo concebirse como un proceso cuyas entradas son:

A. El plan maestro de producción, el cual contiene las cantidades y fechas en que han deestar disponibles los productos de la planta que están sometidos a demanda externa(productos finales fundamentalmente y, posiblemente, piezas de repuesto).

B. El estado del inventario, que recoge las cantidades de cada una de las referencias de laplanta que están disponibles o en curso de fabricación. En este último caso ha deconocerse la fecha de recepción de las mismas.

C. La lista de materiales, que representa la estructura de fabricación en la empresa. Enconcreto, ha de conocerse el árbol de fabricación de cada una de las referencias queaparecen en el Plan Maestro de Producción.

En cuanto a las características del sistema, se podrían resumir en:

1. Esta orientado a los productos, dado que, a partir de las necesidades de estos, planificalas de componentes necesarios.

2. Es prospectivo, pues la planificación se basa en las necesidades futuras de los productos.

3. No tiene en cuenta las restricciones de capacidad. por lo que no asegura que el plan depedidos sea viable.

4. Es una base de datos integrada que debe ser empleada por las diferentes áreas de laempresa.

12.2.1 Plan Maestro de Producción PMP, MPS (Master production schedule)

Plan maestro detallado de producción, que nos dice en base a los pedidos de los clientesy los pronósticos de demanda, qué productos finales hay que fabricar y en qué plazosdebe tenerse terminados. El cual contiene las cantidades y fechas en que han de estardisponibles los productos de la planta que están sometidos a demanda externa (productosfinales fundamentalmente y, posiblemente, piezas de repuesto).

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Gestión de Stock

El estado del inventario, que recoge las cantidades de cada una de las referencias de laplanta que están disponibles o en curso de fabricación. En este último caso ha deconocerse la fecha de recepción de las mismas.

Para el cálculo de las necesidades de materiales que genera la realización del programamaestro de producción se necesitan evaluar las cantidades y fechas en que han de estardisponibles los materiales y componentes que intervienen, según especifican las listas demateriales. Estas necesidades se comparan con las existencias de dichos elementos enstock, derivándose las necesidades netas de cada uno de ellos.

12.2.2 Lista de Materiales, BOM (Bill of Materials)

El despiece de cualquier conjunto complejo que se produzca es un instrumento básico delos departamentos de ingeniería de diseño para la realización de su cometido. Tanto parala especificación de las características de los elementos que componen el conjunto comopara los estudios de mejora de diseños y de métodos en producción. Desde el punto devista del control de la producción interesa la especificación detallada de las componentesque intervienen en el conjunto final, mostrando las sucesivas etapas de la fabricación. Laestructura de fabricación es la lista precisa y completa de todos los materiales ycomponentes que se requieren para la fabricación o montaje del producto final, reflejandoel modo en que la misma se realiza.

12.2.3 Beneficios obtenidos de la aplicación del MRP

Lógicamente los beneficios derivados de la utilización de un sistema MRP variarán encada empresa y dependerán de la calidad del sistema antiguo en comparación con elnuevo en la cual incluirá de forma decisiva en el grado de cumplimiento de los factoresmencionados.

De las aplicaciones realizadas con éxito se deducen, entre otras las siguientes ventajas:

Disminución en los stocks, que ha llegado en algunos casos al 50% aunquenormalmente es de menor entidad.

Mejora del nivel de servicio al cliente, o incrementos hasta el 40%

Reducción de horas extras, tiempos ociosos y contratación temporal. Ello sederiva de una mejor planificación productiva

Disminución de la subcontratación.

Reducción substancial en el tiempo de obtención de la producción final.

Incremento de la productividad.

Menores costos.

Aumento significativo en los beneficios.

Mayor rapidez en la entrega y en general mejora respuesta a la demanda delmercado.

Posibilidad de modificar rápidamente el programa maestro de producción antecambios no previstos en la demanda.

Mayor coordinación en la programación de producción e inventarios.

Mayor rapidez de reprogramación en base a los posibles cambios y en función delas distintas prioridades establecidas y actualizadas previamente.

Guía y ayuda en la planificación de la capacidad de los distintos recursos.

Rapidez en la detección de dificultades en cumplimiento de la programación.

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Posibilidad de conocer rápidamente las consecuencias financieras de nuestraplanificación.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS

1. Corporación Textil SAC. adquiere 8 000 Kg de hilado cada año para emplearlos en la confecciónde chompas. El costo unitario por cada Kg de hilo es de 10 $, y el costo individual de manejarlosen el inventario durante un año es de 3 $. Cada orden cuesta 30 $. Hallar :

a. Cuál es la cantidad optima de la orden,

b. el número esperado de ordenes colocadas durante el año y

c. el tiempo esperado entre las ordenes (La textil opera un año laboral de 200 días)

2. Tiendas EFE S.A. dedicada a la distribución de electrodomésticos, adquiere y luego vende unmodelo de lavadora marca General Electric, de la que anualmente distribuye 100 unidades. Elcosto de tener una lavadora almacenada 1 año es de 20 S/., en las que se incluye el costefinanciero de la inmovilización de recursos. Con cada pedido de lavadoras el fabricante incurre enun coste de 10 S/.. Para evitar un retraso del fabricante en el servicio del pedido se mantiene uninventario mínimo de 10 lavadoras. Se desea saber:

a. cuántas lavadoras se deben solicitar en cada pedido,

b. cuantos pedidos se debe realizar al año,

c. el nivel medio de almacén y el costo anual total de inventario.

3. El Hotel DELSOL consume anualmente 2000 Gln. de fuel–oil para la calefacción y refrigeración desus instalaciones, fuel que adquiere al precio unitario de 4.50 $/Gln. El gasto inherente a cadapedido de combustible, incluyendo el transporte del mismo, la limpieza del depósito, el control derecepción, emisión administrativa del pedido, etc., es de 185 $/pedido. El costo de mantenimientodel fuel almacenado se estima, debido a mermas por evaporación, filtraciones posibles, etc., enuna cantidad equivalente al 8% del consumo anual. Sabiendo que el plazo de entrega es de 10días y que el costo de capital de la citada empresa se cifra en el 15%, se pide:

a. El lote económico de pedido.

b. El plazo de aprovisionamiento.

c. El punto de pedido.

4. Carolina González es la encargada de compras de Central Motors SRL que vende válvulasindustriales y dispositivos de control de fluidos. Una de las válvulas más populares es la marcaWestern, que tiene una demanda anual de 4000 unidades. El costo de cada válvula es de $ 150, yel costo de almacenamiento de inventario se estima en un 10% del costo de la válvula. Se hahecho un estudio de los costos de lanzamiento de una orden de compra de cualquiera de lasválvulas que Central Motors SRL almacena, y ha concluido que el costo promedio es de $25. Porotro lado, un pedido tarda 8 días en llegar de su proveedor. La demanda semanal actual de lasválvulas es aproximadamente de 80. Se pregunta:

a. ¿Cuál es la cantidad económica del pedido?

b. ¿Cuál es el número óptimo de pedidos por año?

Actividad

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5. La demanda por inventarios de una empresa es 3.600 u, El costo de mantenimiento expresadocomo % del precio es 25%, Precio de compra por unidad $40, Costo variable de ordenamiento$125, Costos fijos de ordenamiento $5.400

a. ¿cuál es la cantidad óptima de pedido?

b. ¿Cual es el costo total de inventarios?

6. El jabón Glicel se fabrica en una línea de producción que tiene una capacidad anual de 60,000cajas. Se estima que la demanda anual es de 26,000 cajas y esta tasa de demanda es constantetodo el año. La limpieza, el acondicionamiento y preparación de la línea de producción cuestaaproximadamente $ 135.00. El costo de fabricación por caja es de $ 4.50, y el costo anual deconservación, mantenimiento o tenencia de inventario representa el 24 % del costo de fabricaciónpor caja al año.

¿ Cual es el tamaño del lote de producción que se recomienda, el costo total anual de fabricacióno de producción de inventario, considerando que esta empresa trabaja 300 días hábiles al año,cuantas corridas de producción se realizaran al año, cada que tanto tiempo se harán éstascorridas de producción?.

7. Una empresa que se dedica a la venta de bebidas gaseosas que tiene una demanda anual de3600 cajas, Una caja de bebidas le cuesta a la empresa $3.00, los costos de los pedidos son de $20.00 por pedido, y los costos de mantenimiento se consideran de 25 % de los costos por unidadpor año, Existen 250 días hábiles al año, y el tiempo de adelanto es 5 días . Calcule lo siguiente:

a. Cantidad económica de pedido.

b. Punto de renovación del pedido.

c. Número de pedidos anuales.

d. Tiempo entre cada pedido.

e. Costo Total anual del Inventario

8. FARMABEN Una empresa dedicada a la comercialización de agujas hipodérmicas indoloras en loscentros de salud y puestos de salud del MINSA, desea reducir sus costos de inventario mediantela determinación del numero de agujas hipodérmicas que debe tener cada orden. La demandaanual es de 1000 unidades; el costo de preparación o de ordenar es de 10 dólares por orden; y elcosto de manejo por unidad por año es de 50 centavos de dólar. Utilizando estos datos, se puedecalcular el número óptimo de unidades por orden. Si un año laboral tiene 250 días, halle el numerode ordenes y el tiempo trascurrido entre las ordenes

9. Suponga que R&B Beverage Company tiene un refresco que tiene una tasa de demanda anualconstante de 3600 cajas. Una caja del refresco le cuesta a R&B 3 dólares. Los costos de pedir son20 dólares por pedido y los costos de posesión son de 5% del valor del inventario. R&B tiene 250días laborables por año y el tiempo de entrega es de 5 días. Identifique los aspectos siguientes dela política de inventarios.

a. Cantidad económica a pedir c. Tiempo del ciclo

b. Punto de pedido d. Costo anual total

10. Una propiedad general del modelo de inventarios EOQ es que los costos totales de posesión delinventario y de pedido son iguales en la solución óptima. Utilice los datos del problema 1 parademostrar que este resultado es cierto, siempre que se utilice Q*.

11. El punto de pedido se define como la demanda durante el plazo de entrega de un elemento. En elcaso de plazos de entrega largos, la demanda durante el plazo de entrega, y por lo tanto el puntode pedido, pudiera exceder la cantidad económica a pedir Q*. En estos casos, la posición delinventario al colocar un pedido no será igual al inventario a la mano y el punto de pedido se puedeexpresar en función de la posición del inventario o del inventario a la mano. Considere un modelode cantidad económica a pedir con D = 5000, CO = $32, Ch = $2 y 250 días laborables por año.

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Identifique el punto de pedido en función la posición del inventario y en función del inventario a lamano para cada uno de los siguientes plazos de entrega.

a. 5 días c. 25 días

b. 15 días d. 45 días

12. Tele-Reco es una nueva tienda de especialidades que vende televisores, grabadoras de cinta,juegos de video y otros productos relacionados con la televisión. Una nueva grabadora de videofabricada en Japón cuesta a Tele-Reco 600 dólares por unidad. La tasa del costo anual deposesión de Tele-Reco es de 22%. Los costos de pedir se estiman en 70 dólares por pedido.

a. Si la demanda de la nueva grabadora de videocinta se espera constante a una tasa de 20unidades por mes, ¿cuál es la cantidad recomendada de pedido para la grabadora de cinta?

b. ¿Cuáles son los costos estimados anuales de inventarios, de posesión y de pedir asociadoscon este producto?

c. ¿Cuántos pedidos se colocarán al año?

d. Con 250 días laborables por año, ¿cuál es el tiempo del ciclo de este producto?

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UNIDAD VII

Tema Nº 13: SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA

13.1 TEORÍA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA

En la teoría de colas se estudian los procesos de llegada, tiempo en cola que pasa el cliente,tiempo de servicio así como número de clientes que se encuentran. El proceso de entrada seconoce por lo general como proceso de llegada, la llegada de los clientes. Los modelos en los quelas llegadas se toman de una población pequeña se llaman modelos de origen finito. Ha servidoresen paralelo como por ejemplo los cajeros de un banco que están organizados generalmente enparalelo, el otro es servidores en serie en los cuales se debe de pasar por varios de ellos antes decompletar el servicio un ejemplo de esto son la líneas de ensamble.

La disciplina de cola es el método que se usa para determinar el orden en que se sirve a losclientes. La disciplina más común es la disciplina PLPS (primero en llegar primero en ser servido),ULPS (ultimo en llegar primero en ser servido) este se puede ejemplificar cuando alguien es elultimo en subirse a un elevador lleno y el primero que se baja, o sea el primero en ser servido.Disciplina SEOA (servicio en orden aleatorio), DG disciplina general en la cola.

Existe un sistema de notación para el sistema de colas establecido por KENDALL-LEE, la cualrepresenta seis características las que son:

1. Naturaleza del proceso de llegada

2. Naturaleza de tiempos de servicio

3. Número de servidores en Paralelo

4. Disciplina de la cola

5. Número máximo de clientes en el sistema, incluyendo los que esperan y los que están enventanilla.

6. Tamaño de la población de la cual se toman los clientes.

Donde:

1 puede ser M: exponencial, D: tiempos de llegada son idénticamente determinística. Ek: lostiempos entre llegadas son con distribución de Erlang con parámetro de forma k. GI: los tiemposde llegadas son idénticamente determinísticos y están gobernados por alguna distribución general.

2: M, D, Ek, G: los tiempos de servicio son idénticamente determinísticas y siguen algunadistribución general.

3: PLPS, ULPS, SEOA, DG.

EJEMPLO 1

M/M/8/PLPS/10/ puede representar una clínica con 8 doctores (8) con tiempos exponenciales dellegada y servicio (M/M/), la disciplina en la cola es el primero que llega es el primero en serservido (PLPS), y una capacidad de 10 pacientes (10) con una población infinita ().

SSIISSTTEEMMAA DDEE CCOOLLAASS MM//MM//11//DDGG////

En este sistema la tasa de llegada y servicio son exponenciales con 1 servidor, disciplina generalen la cola con infinitos clientes en el sistema, que se obtienen de una población infinita.

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= número promedio de llegas que entran por unidad de tiempo

= número de clientes que se atienden por unidad de tiempo

Lq = número promedio de clientes que esperan en la cola

Ls = número promedio de clientes en el sistema

Wq = tiempo promedio que pasa un cliente en la cola

Ws = tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema

= factor de utilización

En estas definiciones, todos los promedios son para estado estable donde = / <1, si >1 esfácil ver porqué no puede existir distribución de estado estable. Supongamos =6 clientes por horay que = 4 clientes por hora. Aun si el despachador estuviera trabajando todo el tiempo, sólopodría atender a 4 clientes por hora. Así, el número promedio de clientes en el sistema crecería almenos en 6 – 4 =2 clientes por hora. Esto significa que después de mucho tiempo, el número declientes que hay “explotaría” y no podría existir distribución de estado estable. Entonces paracualquier sistema de colas en el que exista una distribución de estado estable, se cumplen lassiguientes ecuaciones

L= W; Lq = W q; Ls = Ws

EJEMPLO 2

A un cajero para automovilistas, sólo llega un promedio de 10 vehículos por hora. Supongaque el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiemposentre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cajero se encuentre vacío?

b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que esperan en la cola su turno?, seconsidera que un vehículo que está ocupando el cajero, no está en la cola esperando.

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco,incluyendo el tiempo en el servicio?

d) En promedio, ¿Cuántos clientes por hora serán atendidos por el cajero automático?

Solución:

Identificamos el modelo M/M/1/DG//, ya que no especifica la cantidad de clientes en el sistemani la población asumimos infinito, y se coloca una disciplina general.

Identificamos = 10 vehículos/hora y =4 minutos/hora, lo primero que hay que fijarse es que noestán en las misma unidades entonces la colocamos en vehículos por hora si atiende 1 vehículoen 4 minutos entonces atenderá 15 en una hora por lo tanto =15 vehículos/hora. RECORDARSESIEMPRE EN LAS MISMA UNIDADES.

a. La probabilidad de que el cajero se encuentre vació es Po = 1- ;

= /=10/15 =2/3 =0.667, entonces Po =1-0.667 = 0.33, por lo tanto el cajero estará vació el33% del tiempo.

b. Lq=2/ (1-)= .6672 /(1-.667) = 1.33 clientes

c. Ahora buscamos W que es el tiempo total de todo el sistema.

L= / (1/)= 0.667/ (1-0.667) =2 clientes.

W = L/ = 2/10 = 1/5 hora = 12 minutos.

d. Si el cajero estuviera ocupado siempre, podría atender 15 clientes por hora. Pero sabemosque solo se esta ocupado 0.67 del tiempo. Así que durante cada hora llegaran 0.67(15)=10 clientes. El valor de 0.67 se obtiene de 1-Po, que es el tiempo que esta ocupado.

EJEMPLO 3.

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Supongamos que todos los propietarios de automóviles llenan sus tanques de gasolina cuandoestán exactamente a la mitad, En la actualidad, llega un promedio de 7.5 clientes por hora a unagasolinera que tiene una sola bomba surtidora. Se necesita un promedio de 4 minutos paraatender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de servicioson exponenciales.

a) Para el caso actual, calcule L y W

b) Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Paramodelar este fenómeno, suponga que todos los propietarios de automóvil comprangasolina cuando sus tanques les falta exactamente ¾ partes. Como cada conductor ponemenos gasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga que el tiempopromedio de servicio se ha reducido a 3.33 minutos ¿Cómo afecto la compra de pánico aL y a W?

Solución:

a) Al identificar el sistema observamos que es M/M/1/DG// con =7.5 vehículos /hora y=15 vehículos por hora. Primero encontramos =7.5/15=0.50, nótese que aquí se haceconversión porque tiene diferentes unidades. Teniendo logramos obtener L=/(1/) =0.50/(1-0.5)=1, luego obtenemos W=L/=1/7.5=0.13 horas. Con estos resultados podemosobservar que todo está bajo control y son improbables las largas colas.

b) Con la segunda opción tenemos el mismo sistema M/M/1/DG// con =2(7.5)=15vehículos por hora, se preguntar porque por 2 y es dado que el cliente llenará con doblede frecuencia su tanque porque ahora no estar a la mitad sino que ¾, y visitara lagasolinera cada vez que se haya gastado ¼ de tanque. Y es igual a 60/3.33 = 18vehículos por hora donde =15/18=5/6.

Con los datos utilizamos las ecuaciones: L= (5/6) /(1-5/6) =5 automóviles y

W = 5/15 =1/3 horas = 20minutos.

Ya comparando se ve que las compras de pánico han originado colas mas largas ytiempos más largos en el sistema.

EJEMPLO 4.

En una aerolínea se debe revisar cada pasajero, así como su equipaje, para ve si traearmas. Suponga que al aeropuerto Internacional La Aurora llega un promedio de 10pasajeros/minuto. Los tiempos entre llegas son exponenciales. Para revisar a lospasajeros, el aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector demetales y una máquina de rayos X para el equipaje. Cuando está trabajando laestación se necesitan dos empleados. Una estación puede revisar un promedio de 12pasajeros/min. Con la hipótesis que el aeropuerto sólo tiene una estación deverificación, responda las siguientes preguntas.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser revisado?

b. En promedio, ¿Cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la estación?

c. En promedio, ¿Cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de verificación.

Solución:

Primero identificamos el modelo M/M/1/DG// donde existe un servidor, en elproblema puede confundirse pensando que son dos servidores porque hay dosempleados trabajando, pero NO es así ya que un servidor aquí se considera unaestación independientemente que se realice en ella y cuantos la atiendan.

a. =10 pasajeros/minuto =12 pasajeros/minuto

=/=10/12=0.833 Po=1-0.833=0.17 (probabilidad de que este vació)

Entonces estar ocupado 1-0.17= 0.833 = 83.33% del tiempo esto es igual a .

b. Lq= Wq=2/((-)) = 102/(12(12-10))= 4.17 personas en la cola.

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c. Ws=1/(-)=1/(12-10)= 0.5 minutos.

MMOODDEELLOO MM//MM//11//DDGG//mm//

Este sistema es parecido al anterior con la variante que tiene una capacidad total de“m” clientes, y cuando existen estos “m” clientes, todas las llegadas se regresan y elsistema las pierde para siempre. Este número máximo de clientes es una constante yvaria según el libro que se utiliza c,m, etc. En este modelo de capacidad finita, llegaun promedio de Pm, de esas llegadas encuentran al sistema lleno a toda capacidad yse van. Por lo tanto, en realidad entrará al sistema un promedio de =(1-Pm)llegadas por unidad de tiempo. En este modelo existirá estado estable aún si > Estose debe que aun cuando >, la capacidad finita de “m” en el sistema evita que“explote” el número de gentes en la cola.

EJEMPLO 5

En una peluquería hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegadatienen distribución exponencial, y llega un promedio de 20 clientes posibles por hora.Los que llegan cuando la peluquería esta llena no entran. El peluquero tarda unpromedio e 12 minutos en atender a cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienendistribución exponencial.

a) En promedio ¿Cuántos cortes de pelo hará el peluquero?

b) En promedio ¿Cuánto tiempo pasará un cliente en la peluquería, cuando entra?

Solución

Identificación del modelo M/M/1/DG/10/

a) Una fracción de P10 de las llegas encuentra que la peluquería esta llena. Por lo tanto,entrará a ella un promedio de (1-P10) por hora. Todos los clientes que desean que se lescorte el cabello, y por lo tanto, el peluquero hará un promedio de (1-P10) cortes por hora.

m=10, =20 clientes por hora y =5 clientes/hora. Entonces =20/5=4

nm

Pn

11

1Donde n=1,2,....m

Sustituyendo datos P10=0.75

Así, los cortes de pelo son en promedio 20(1-0.75) = 5 cortes/hora.

b) Para calcular W=L/((1-Pm))

clientes

mmL

m

mm

67.94141

410411014

11

11110

11010

1

1

W=9.67/(20(1-0.75))=1.93 horas.

EJERCICIOS RESUELTOS

PPrroobblleemmaa 11 MM//MM//11//

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidadpromedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la

pág. 115


ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadassiguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial.Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco.

Solución:

=10 clientes/hora =7 clientes/hora k=1

=/=7/10=0.7

Po=1-0.7=0.3

33.23

7

710

7

Ls

63.1)710(10

7

)(

22

Lq

33.03

1

710

11

Ws

233.0)710(10

7

)(

Wq

Según los datos obtenidos el sistema esta ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30%en promedio hay 2.33 unidades en el sistema y 1.63 en la cola con un tiempo en elsistema de 1/3 hora = 20 minutos y un tiempo en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.

PPrroobblleemmaa 22. MM//MM//KK//

Suponga que se coloca un segundo cajero bancario en el problema antes descrito.¿Qué tanto se mejorará el servicio?. De sus conclusiones y recomendaciones para elBanco.

Solución:

S=k=2 número de servidores =7 clientes/hora =10 clientes/hora

35.0)10(2

7

k

48148.03769.07.01

1

7)2(10

)2(10

!210

7

!110

7

!010

7

1210

Po

7977.010/7)48148.0()7)10(2()!12(

)10/7)(10(72

2

Ls

Lq = 0.7977 – 7/10 = 0.0977

Ws =Ls/ = 0.7977/7 =0.11396 Wq = Lq / = 0.0977/7 = 0.01396

pág. 116


Con dos cajeros las estadísticas de los clientes mejoraran dramáticamente. Ahora se tiene unpromedio de solamente 0.0977 clientes en la línea y el cliente promedio esperara solamente0.0139 horas para recibir el servicio (menos de un minuto). El costo de este buen servicio esque los prestadores de este solamente están ocupados durante el 35% de su tiempo. A menosque se desee un servicio extraordinariamente bueno el banco no deseara incurrir en el gastode un segundo cajero. Puede tomarse en consideración en las horas pico.

PPrroobblleemmaa 33. MM//MM//KK//

En un restaurante se vende comida para llevar y tratan de determinar cuantosservidores o colas deben trabajar el turno del almuerzo. Durante cada hora, llegan enpromedio 100 clientes al restaurante. Cada cola puede manejar en promedio 50clientes por hora. Un servidor cuesta Q 5 /hora y se carga un costo de Q 20 por cadacliente que espere en la cola durante 1 hora. Calcule el número de colas que minimiceel costo.

Solución:

=100 clientes/hora =50 clientes / hora 1 servidor ------- Q 5/hora

k servidores ------ 5k

Q 20 por cada cliente que espera en la cola por hora 20Wq

Costo total = 5k + 20Wq quetzales / hora

K=?

150

100

k 1

2

kk 2 2 , 3, 4....

=100/2(50)=1 pero 1

Aunque se realice el cálculo con k=2 los datos generados serian incoherentes.

Se deja al estudiante que lo compruebe.

Con K=3

=100/3(50) =2/3 =0.667

BAPo

1

2

0

210

5221!2

)50/100(

!1

)50/100(

!0

)50/100(

n

A

4100)3(50

)3(50

!3

)50/100( 3

B

111.09

1

45

1

Po

89.29

26)50/100()9/1(

)100)50(3(!13

)50/100)(50)(100(2

3

Ls

Lq = 2.89 – 100/50 = 0.89

Ws = 2.89/100 = 0.0289 horas = 1.73 minutos

pág. 117


Wq = Lq / = 0.89/100=0.0089 horas

CT = 5(3) + 20(0.0089) =Q15.18 / hora

Al utilizar k>3 servidores el costo se aumenta por lo tanto se deben tener 3 Servidores.

PPrroobblleemmaa 44. MM//MM//11//mm

Hay un promedio de 40 automóviles por hora, con tiempos exponenciales entrellegadas, que desean que se les atienda en la ventanilla de “servicio en su auto” dePizza Hut. Si hay una cola de más de 4 coches, incluyendo el de la ventanilla, el cocheque llegue se va. En promedio toman cuatro minutos en servir a un automóvil.

(a) Cuál es el número promedio de automóviles esperado en la cola, sin incluir al queestá frente a la ventanilla?

(b) En promedio ¿a cuántos automóviles se atiende en cada hora?

(c) Acabo de formarme en la cola. En promedio ¿Cuánto tiempo pasará para quellegue a la ventanilla?

Solución:

=40 autos/ hora =4 minutos/ hora = 15 autos / hora m=4

Lq = ? Ls =? Wq =?

= 40/15 =2.67

012398.067.21

67.21

1

151

mPo

63011.0)67.2(67.21

67.21 4144

P

438.367.21

)67.2)(14(

67.21

67.2

1

)1(

1 14

14

1

1

m

mmLs

Ls =3.438 autos / hora

Lq = Ls - (1- Po)= 3.438 - (1 - 0.012398)=2.45

= (1-Pm) = 40 (1-0.63011) =14.80 = 14.80

Wq = Lq/ Wq = 2.45 /14.80 = 0.1655 Wq =0.1655 horas = 9.9 minutos

a) El número promedio de autos en la cola es Lq=2.45 autos

b) El número promedio de autos atendidos cada hora es Ls=3.438 autos/hora

c) En llegar a la ventanilla me tardo Wq=0.1655 horas = 9.9 minutos

Actividad

pág. 118


PROBLEMAS PROPUESTOS DE TEORIA DE COLAS

1. MexiCars de la Av. J.C. Mariátegui tiene un empleado que se encarga de instalar sistemas dealarma a carros y lo hace a una tasa promedio de 3 por hora; cerca de 1 cada 20 minutos. Losclientes que solicitan este servicio llegan en promedio de 2 por hora. Los aspectos del sistemaM/M/1 se encuentran aquí presentes. ¿Cómo es el comportamiento de este sistema?

2. Grupo Hinostroza SAC. división llantas, la gerencia está considerando contratar un nuevomecánico para manejar todos los cambios de llantas para los clientes que ordenan nuevos juegosde llantas. Dos mecánicos han solicitado el trabajo. Uno de ellos tiene experiencia limitada ypuede ser contratado pagándole 5.00 S/. la hora. Se espera que este mecánico pueda atender unpromedio de 3 clientes por hora. El otro mecánico tiene varios años de experiencia, puede servirun promedio de 4 clientes por hora y se le pagaría 10.00 S/. la hora. Asuma que los clientesarriban a una tasa de 2 por hora.

En el sistema es aplicable el modelo M/M/1.

a. Calcule las características Operacionales con cada mecánico.

b. Si el taller asigna un costo de espera a cada cliente de 15.00 S/. por hora, ¿Cuálmecánico proporciona el menor costo de operación?

3. Una franquicia de comida rápida, está pensando abrir operaciones de servicio por ventanilla a losclientes, desde su vehículo. Los clientes que llegan al intercomunicador a colocar órdenes y luegomanejan hasta la ventanilla para pagar y recibir sus órdenes lo hacen a una tasa de 24 por hora.En el sistema es aplicable el modelo M/M1. Se está considerando las alternativas siguientes:

A. Realizar la operación con un solo empleado que llene la orden y reciba el dinero delcliente. En esta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 2 minutos.

B. Realizar la operación con un empleado y un ayudante que tome el dinero del cliente. Enesta alternativa, el tiempo promedio de servicio es de 1.25 minutos.

En ambos caso es un sistema de una sola ventanilla, por lo que se mantiene el sistema de un soloservidor, modelo M/M/1. Se le pide:

a. Calcule las Características Operacionales para cada alternativa y Tome unadecisión.

b. Si dispone de información del costo de espera de 25.00 S/. por hora, pues esconsiderado alto este costo en los servicios de comida rápida y el costo de cadaempleado es de 8.00 S/. por hora, siendo además cargado 20.00 S/. por equipos yespacio. ¿Cuál sería la alternativa de menor costo para el servicio?

4. Sam Lawer Medico Veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en laclínica municipal. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perrosllegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de unperro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que lostiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente.

Datos

l = 1 / 6 = 0.167 perros/min

m = 1 / 3 = 0.34 perros/min

Determinar:

a. La probabilidad de que Sam este de ocioso

b. La proporción de tiempo en que Sam está ocupado.

pág. 119


c. El número total de perros que están siendo vacunados

d. El número promedio de perros que esperan a ser vacunados

5. Las llamadas llegan ala central telefónica de la OEC a una tasa de dos por minuto, él tiempopromedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay unaoperadora de la central. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes enesta situación.

Datos

l = 2 llamadas/minutos

m = (1 / 20 seg.)(60 seg.) = 3 llamadas/minuto

Determine:

a. La probabilidad de que la operadora este ocupada

b. El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por laoperadora

c. El número de llamadas que esperan ser contestadas

6. Al principio de la temporada de fútbol, la ventanilla de boletos se ocupa mucho el día anterior alprimer juego. Los clientes llegan a una tasa de cuatro llegadas cada 10 minutos y el tiempopromedio para realizar la transacción es de dos minutos.

Datos

l = (4 / 10) = 0.4 c/min

m = (1 /2 ) = 0.5 c/min

Determine:

a. El número promedio de aficionaos en línea de espera

b. El tiempo promedio que una persona pasaría en la oficina de boletos

c. La proporción de tiempo que el servidor está ocupado

7. Una empleada administra un gran complejo de cines “Cinemark Comas” I, II, III y IV. Cada uno delos cuatro auditorios proyecta una película diferente, el programa se estableció de tal forma quelas horas de las funciones se encuentren escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían silos cuatro cines comenzarán a la misma hora. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puedemantener una tasa de promedio de servicio de 280 clientes por hora. Se supone que los tiemposde servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día son distribución dePoisson y promedian 210 por hora.

Determine:

a. El número promedio de cinéfilos esperando en la línea para adquirir un boleto

b. Que porcentaje del tiempo esta ocupado el cajero.

c. Cual es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.

d. Cual es el tiempo promedio que pasa esperando en la línea para llegar a la taquilla.

e. Cual es la probabilidad de que haya más de dos personas en la cola.

pág. 120


Tema Nº 14: TEORÍA DE DECISIONES

14.1 IntroducciónLa teoría de decisiones proporciona una manera útil de clasificar modelos para la toma dedecisiones. Se supondrá que se ha definido el problema, que se tienen todos los datos yque se han identificado los cursos de acción alternativos. La tarea es entoncesseleccionar la mejor alternativa. la teoría de decisiones dice que esta tarea de hacer unaselección caerá en una de las cuatro categorías generales dependiendo de la habilidadpersonal para predecir las consecuencias de cada alternativa.

Categorías Consecuencias

Certidumbre Deterministas

Riesgo Probabilísticas

Incertidumbre Desconocidas

Conflicto Influidas por un oponente

14.2 Toma de decisiones bajo incertidumbreEn los procesos de decisión bajo incertidumbre, el decisor conoce cuáles son los posiblesestados de la naturaleza, aunque no dispone de información alguna sobre cuál de ellosocurrirá. No sólo es incapaz de predecir el estado real que se presentará, sino queademás no puede cuantificar de ninguna forma esta incertidumbre. En particular, estoexcluye el conocimiento de información de tipo probabilístico sobre las posibilidades deocurrencia de cada estado.

Reglas de decisiónA continuación se describen las diferentes reglas de decisión en ambiente deincertidumbre, y que serán sucesivamente aplicadas al ejemplo de construcción del hotel.

Criterio de Wald Criterio Maximax Criterio de Hurwicz Criterio de Savage Criterio de Laplace

Para trabajar con los criterios utilizaremos la siguiente matriz:

Estados de la Naturaleza

Alternativas e1 e2 . . . en

a1 x11 x12 . . . x1n

a2 x21 x22 . . . x2n

. . . . . . . . . . . . . . .

am xm1 xm2 . . . xmn

pág. 121


a) Criterio de LaplaceEste criterio, propuesto por Laplace en 1825, está basado en el principio de razóninsuficiente: como a priori no existe ninguna razón para suponer que un estado se puedepresentar antes que los demás, podemos considerar que todos los estados tienen lamisma probabilidad de ocurrencia, es decir, la ausencia de conocimiento sobre el estadode la naturaleza equivale a afirmar que todos los estados son equiprobables. Así, para unproblema de decisión con n posibles estados de la naturaleza, asignaríamos probabilidad1/n a cada uno de ellos.

La regla de Laplace selecciona como alternativa óptima aquella que proporciona unmayor resultado esperado:

n

jjii eax

namáx

1

,1

_

EJEMPLOPartiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra los resultadosesperados para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terrenocomprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B Resultado esperado

A 13 -12 0.5

B -8 11 1.5

A y B 5 -1 2

Ninguno 0 0 0

En este caso, cada estado de la naturaleza tendría probabilidad ocurrencia 1/2. Elresultado esperado máximo se obtiene para la tercera alternativa, por lo que la decisiónóptima según el criterio de Laplace sería comprar ambas parcelas.

CRÍTICALa objeción que se suele hacer al criterio de Laplace es la siguiente: ante una mismarealidad, pueden tenerse distintas probabilidades, según los casos que se consideren.Por ejemplo, una partícula puede moverse o no moverse, por lo que la probabilidad de nomoverse es 1/2. En cambio, también puede considerarse de la siguiente forma: unapartícula puede moverse a la derecha, moverse a la izquierda o no moverse, por lo que laprobabilidad de no moverse es 1/3.

Desde un punto de vista práctico, la dificultad de aplicación de este criterio reside en lanecesidad de elaboración de una lista exhaustiva y mutuamente excluyente de todos losposibles estados de la naturaleza.

Por otra parte, al ser un criterio basado en el concepto de valor esperado, sufuncionamiento debe ser correcto tras sucesivas repeticiones del proceso de toma dedecisiones. Sin embargo, en aquellos casos en que la elección sólo va a realizarse unavez, puede conducir a decisiones poco acertadas si la distribución de resultados presentauna gran dispersión, como se muestra en la siguiente tabla:

pág. 122



Alternativas e1 e2 Resultadoesperado

a1 15000 -5000 5000

a2 5000 4000 4500

Este criterio seleccionaría la alternativa a1, que puede ser poco conveniente si la toma dedecisiones se realiza una única vez, ya que podría conducirnos a una pérdida elevada

b) Criterio de WaldEste es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor de las peorescondiciones posibles. esto es, si el resultado x(ai, ej) representa pérdida para el decisor,entonces, para ai la peor pérdida independientemente de lo que ej pueda ser, es máx ej {x(ai, ej) }. El criterio minimax elige entonces la acción ai asociada a :

),(_ jieai eaxmáxmínaElegirji

En una forma similar, si x(ai, ej) representa la ganancia, el criterio elige la acción aiasociada a :

),(_ jieai eaxmínmáxaElegirji

Este criterio recibe el nombre de criterio maximin, y corresponde a un pensamientopesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al decisor cuando elige unaalternativa.

EJEMPLOPartiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra lasrecompensas obtenidas junto con los niveles de seguridad de las diferentes alternativas:

Alternativas

Terrenocomprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B si

A 13 - 12 -12

B - 8 11 -8

A y B 5 - 1 -1

Ninguno 0 0 0

pág. 123


La alternativa óptima según el criterio de Wald sería no comprar ninguno de los terrenos,pues proporciona el mayor de los niveles de seguridad.

CRÍTICAEn ocasiones, el criterio de Wald puede conducir a decisiones poco adecuadas. Porejemplo, consideremos la siguiente tabla de decisión, en la que se muestran los nivelesde seguridad de las diferentes alternativas.

Estados de laNaturaleza

Alternativas e1 e2 si

a1 1000 99 99

a2 100 100 100

El criterio de Wald seleccionaría la alternativa a2, aunque lo más razonable parece serelegir la alternativa a1, ya que en el caso más favorable proporciona una recompensamucho mayor, mientras que en el caso más desfavorable la recompensa es similar.

c) Criterio de HurwiczEste criterio representa un intervalo de actitudes desde la más optimista hasta la máspesimista. En las condiciones más optimistas se elegiría la acción que proporcione el máxai máx ej { x(ai, ej) }. Se supone que x(ai, ej), representa la ganancia o beneficio. De igualmanera, en las condiciones más pesimistas, la acción elegida corresponde a máx ai mínej { x(ai, ej) }. El criterio de Hurwicz da un balance entre el optimismo extremo y elpesimismo extremo ponderando las dos condiciones anteriores por los pesos respectivos y (1- ), donde 0 ≤ ≤ 1. Esto es, si x(ai, ej) representa beneficio, seleccione la acciónque proporcione:

),()1(),( jiejiea eaxmíneaxmáxmáxjji

Para el caso donde x(ai, ej) representa un costo, el criterio selecciona la acción queproporciona:

),()1(),( jiejiea eaxmáxeaxmínmínjji

El parámetro se conoce como índice de optimismo: cuando = 1, el criterio esdemasiado optimista; cuando = 0, es demasiado pesimista . Un valor de entre cero yuno puede ser seleccionado dependiendo de si el decisor tiende hacia el pesimismo o aloptimismo. En ausencia de una sensación fuerte de una circunstancia u otra, un valor de = 1/2 parece ser una selección razonable.

pág. 124


EJEMPLOPartiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra lasrecompensas obtenidas junto con la media ponderada de los niveles de optimismo ypesimismo de las diferentes alternativas para un valor a = 0.4:

Alternativas

Terrenocomprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B mínei máxei S(ai)

A 13 -12 -12 13 -2

B -8 11 -8 11 -0.4

A y B 5 -1 -1 5 1.4

Ninguno 0 0 0 0 0

La alternativa óptima según el criterio de Hurwicz sería comprar las parcelas A y B, puesproporciona la mayor de las medias ponderadas para el valor de a seleccionado.

d) Criterio de SavageEn 1951 Savage argumenta que al utilizar los valores xij para realizar la elección, eldecisor compara el resultado de una alternativa bajo un estado de la naturaleza con todoslos demás resultados, independientemente del estado de la naturaleza bajo el queocurran. Sin embargo, el estado de la naturaleza no es controlable por el decisor, por loque el resultado de una alternativa sólo debería ser comparado con los resultados de lasdemás alternativas bajo el mismo estado de la naturaleza.

Con este propósito Savage define el concepto de pérdida relativa o pérdida deoportunidad rij asociada a un resultado xij como la diferencia entre el resultado de lamejor alternativa dado que ej es el verdadero estado de la naturaleza y el resultado de laalternativa ai bajo el estado ej:

Así, si el verdadero estado en que se presenta la naturaleza es ej y el decisor elige laalternativa ai que proporciona el máximo resultado xij, entonces no ha dejado de ganarnada, pero si elige otra alternativa cualquiera ar , entonces obtendría como ganancia xrj ydejaría de ganar xij-xrj.

Savage propone seleccionar la alternativa que proporcione la menor de las mayorespérdidas relativas, es decir, si se define ri como la mayor pérdida que puede obtenerse alseleccionar la alternativa ai,

el criterio de Savage resulta ser el siguiente:

pág. 125


Conviene destacar que, como paso previo a la aplicación de este criterio, se debecalcular la matriz de pérdidas relativas, formada por los elementos rij. Cada columna deesta matriz se obtiene calculando la diferencia entre el valor máximo de esa columna ycada uno de los valores que aparecen en ella.

Observe que si x(ai, ej) es una función de beneficio o de pérdida, la matriz de pérdidasrelativas, formada por los elementos rij representa en ambos casos pérdidas. Porconsiguiente, únicamente el criterio minimax ( y no el maximin) puede ser aplicadoa la matriz de deploración r.

EJEMPLOPartiendo del ejemplo de construcción del hotel, la siguiente tabla muestra la matriz depérdidas relativas y el mínimo de éstas para cada una de las alternativas.

Alternativas

Terrenocomprado


Aeropuerto en A Aeropuerto en B ri

A 0 23 23

B 21 0 21

A y B 8 12 12

Ninguno 13 11 13

El mayor resultado situado en la columna 1 de la tabla de decisión original es 13; al restara esta cantidad cada uno de los valores de esa columna se obtienen las pérdidasrelativas bajo el estado de la naturaleza Aeropuerto en A. De la misma forma, el máximode la columna 2 en la tabla original es 11; restando a esta cantidad cada uno de losvalores de esa columna se obtienen los elementos rij correspondientes al estado de lanaturaleza Aeropuerto en B. Como puede observarse, el valor ri menor se obtiene para latercera alternativa, por lo que la decisión óptima según el criterio de Savage seríacomprar ambas parcelas.

CRÍTICAEl criterio de Savage puede dar lugar en ocasiones a decisiones poco razonables. Paracomprobarlo, consideremos la siguiente tabla de resultados:


Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

pág. 126


La tabla de pérdidas relativas correspondiente a esta tabla de resultados es la siguiente:


Alternativas e1 e2 ri

a1 0 4 4

a2 5 0 5

La alternativa óptima es a1. Supongamos ahora que se añade una alternativa, dandolugar a la siguiente tabla de resultados:


Alternativas e1 e2

a1 9 2

a2 4 6

a3 3 9

La nueva tabla de pérdidas relativas sería:


Alternativas e1 e2 ri

a1 0 7 7

a2 5 3 5

a3 6 0 6

El criterio de Savage selecciona ahora como alternativa óptima a2, cuando antesseleccionó a1. Este cambio de alternativa resulta un poco paradójico: supongamos que auna persona se le da a elegir entre peras y manzanas, y prefiere peras. Si posteriormentese la da a elegir entre peras, manzanas y naranjas, ¡esto equivaldría a decir que ahoraprefiere manzanas.

pág. 127


14.3 Caso de aplicación: Criterios de decisión en incertidumbreUna instalación recreativa debe decidir acerca del nivel de abastecimiento que debealmacenar para satisfacer las necesidades de sus clientes durante uno de los días defiesta. El número exacto de clientes no se conoce, pero se espera que esté en una decuatro categorías: 200,250, 300 o 350 clientes. Se sugieren, por consiguiente, cuatroniveles de abastecimiento, siendo el nivel i el ideal (desde el punto de vita de costos) si elnúmero de clientes cae en la categoría i. La desviación respecto de niveles idealesresulta en costos adicionales, ya sea porque se tenga un abastecimiento extra sinnecesidad o porque la demanda no puede satisfacerse. La tabla que sigue proporcionaestos costos en miles de unidades monetarias.

Nivel deabastecimiento

e1(200) e2(250) e3(300) e4(350)

a1(200) 5 10 18 25

a2(250) 8 7 8 23

a3(300) 21 18 12 21

a4(350 30 22 19 15

Determine cuál es el nivel de aprovisionamiento óptimo, utilizando los criterios explicados.

RESULTADOS

A) LAPLACE:El principio de Laplace establece que e1, e2, e3, e4 tienen la misma probabilidad desuceder. Por consiguiente las probabilidades asociadas son P(x)=1/4 y los costosesperados para las acciones son:

E(a1) = (1/4)(5+10+18+25) = 14.5

E(a2) = (1/4)(8+7+8+23) = 11.5E(a3) = (1/4)(21+18+12+21) = 18.0

E(a4) = (1/4)(30+22+19+15) = 21.5

Por lo tanto, el mejor nivel de inventario de acuerdo con el criterio de Laplace estáespecificado por a2.

B) WALDYa que x(ai, ej) representa costo, el criterio minimax es aplicable. Los cálculos seresumen en la matriz que sigue. La estrategia minimax es a3:


e1(200) e2(250) e3(300) e4(350)

a1(200) 5 10 18 25 25

a2(250) 8 7 8 23 23

a3(300) 21 18 12 21 21(valor minimax)

a4(350 30 22 19 15 30

pág. 128


C) HURWICZSupongamos =1/2. Los cálculos necesarios se muestran enseguida. La solución óptimaestá dada por a1 ó a2.

a1

5 25 15 (mín)

a2

7 23 15 (mín)

a3

12 21 16.5

a4

15 30 22.5

D) SAVAGESe obtiene primero la matriz rij restando 5, 7, 8 y 15 de las columnas 1, 2, 3 y 4respectivamente.


e1(200) e2(250) e3(300) e4(350)

a1(200) 5 10 18 25 10

a2(250) 8 7 8 23 8(valor minimax)

a3(300) 21 18 12 21 16

a4(350 30 22 19 15 25

pág. 129


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. TAHA, H. 1998 Investigación de Operaciones. 6ª edición. México, PrenticeHall,

2. EPPEN G D y Otros, 2000 Investigación de operaciones en la cienciaadministrativa 5ª edición México Editorial Prentice Hall

3. HILLIER F y LIEBERMAN G. 1991 Introducción a la investigación deoperaciones 5ª edición México Editorial McGraw-Hill

4. ANDERSON y WILLIAMS, 2004 Métodos Cuantitativos Para los Negocios, 9ªEdición, México, Editorial IThomson Learning

5. GALEAS A. RUBÉN, Investigación de operaciones I, separata, UniversidadContinental de Ciencias e Ingeniería 2007.

pág. 130


ANEXO

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD NORMAL ESTANDAR

normal 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0.5 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.5279 0.53188 0.53586

0.1 0.53983 0.5438 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.575350.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.614090.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.6293 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.651730.4 0.65542 0.6591 0.66276 0.6664 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.687930.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.7054 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.72240.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.75490.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.7673 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.7823 0.785240.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.813270.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.838911 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.86214

1.1 0.86433 0.8665 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.879 0.881 0.882981.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.901471.3 0.9032 0.9049 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91308 0.91466 0.91621 0.917741.4 0.91924 0.92073 0.9222 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.931891.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.944081.6 0.9452 0.9463 0.94738 0.94845 0.9495 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.954491.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.9608 0.96164 0.96246 0.963271.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.970621.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.9732 0.97381 0.97441 0.975 0.97558 0.97615 0.97672 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.9803 0.98077 0.98124 0.98169

2.1 0.98214 0.98257 0.983 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.985 0.98537 0.985742.2 0.9861 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.9884 0.9887 0.988992.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.9901 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.991582.4 0.9918 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.993612.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.9943 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.99522.6 0.99534 0.99547 0.9956 0.99573 0.99585 0.99598 0.99609 0.99621 0.99632 0.996432.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.9972 0.99728 0.997362.8 0.99744 0.99752 0.9976 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.998072.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.998613 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99896 0.999

3.1 0.99903 0.99906 0.9991 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.999293.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.9994 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.99953.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.9996 0.99961 0.99962 0.99964 0.999653.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.9997 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.999763.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.9998 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.999833.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.999893.7 0.99989 0.9999 0.9999 0.9999 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.999923.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.999953.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.999974 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998

Investigacion de Operaciones - Material

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