Involutometr y Nomenclatura de Engranes a Rectos.Jos Mar Rico Mart e a nez Departamento de Ingenier Mecnica. a a Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E. Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista. CP 36730, Salamanca, Gto., Mxico e Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400. E-mail: jrico@salamanca.ugto.mxEstas notas tienen como objetivo analizar las relaciones trigonomtricas de e los engranes con perl de involuta, el estudio de estas relaciones se conoce como involutometr a.

1

El ngulo de presin de la involuta y la funcin a o o involuta del ngulo de presin de la involuta. a o

Considere la gura 1, que muestra el perl de involuta de un c rculo. El radio del c rculo base est representado por Rb , la gura considera adems dos puntos a a en el perl de la involuta denominados por A y B, los radios de los c rculos, a concntricos con el c e rculo base estn denotados por RA y RB , adems la gura 1 a muestra los ngulos de presin de la involuta en esos dos puntos, que se denotan a o por A y B . De la gura 1, se tiene la relacin o Rb = RA Cos A = RB Cos B . Por lo tanto, se tiene que RA = RB Cos B Cos A o Cos A = RB Cos B . RA (2) (1)

Es importante notar que para cada uno de los puntos A y B, el ngulo a comprendido desde el punto de inicio del perl de involuta, denominado D, al centro del c rculo base y al punto correspondiente se denominan las involutas a del ngulo correspondiente y se denotan por inv A y inv B . Estos ngulos a estn dados por a

1

D

OAOB

Figure 1: El perl de involuta de un c rculo.

DOA = inv A = similarmente DOB = inv B =

OA D OA A A = A = tan A A , Rb Rb OB D OB B B = B = tan B B . Rb Rb

(3)

(4)

2

Espesor del diente.

Considere ahora la gura 2 que muestra el diente, completo, de engrane de perl de involuta y muestra el espesor, medido a lo largo de dos c rculos concentricos al c rculo base, que pasan por los puntos A y B del perl del diente. Los espesores a del diente, se denominan tA y tB respectivamente. Note adems que unicamente es necesario emplear la mitad de los espesores respectivos. La ecuacin que o relaciona los espesores resulta de evaluar el ngulo DOE, de dos maneras a diferentes tA tB DOE = inv A + = inv B + 2 RA 2 RB Por lo tanto, es posible escribir la siguiente ecuacin o inv A + tA tB = inv B + . 2 RA 2 RB 2 (5)

Figure 2: El espesor del diente de un engrane de involuta. o en otra forma tA = 2 RA tB + inv B inv A . 2 RB (6)

Estas ecuaciones permiten relacionar los radios del perl de involuta, con los ngulos de presin de la involuta y los espesores del diente en los radios a o respectivos.

3

Transmisin de movimiento entre engranes reco tos y radios de paso.

Despus de estudiar las caracter e sticas de los perles de involuta de dos engranes rectos, en esta seccin se analizar la transmisin del movimiento entre dos o a o engranes rectos, este anlisis llevar a la denicin de los radios de paso de los a a o engranes. Considere los engranes mostrados en la gura 3, trace una l nea recta vertical y dibuje los radios base, Rb1 y Rb2 , de los dos engranes y suponga que estos engranes estn en contacto directo mediante perles de involuta. Por las a propiedades del perl de involuta, se sabe que 1. La normal en cualquier punto del perl de involuta del engrane 1, es la tangente al c rculo base que pasa por el punto E1 . 3

Figure 3: Radios base y de paso de un par de engranes rectos. 2. La normal en cualquier punto del perl de involuta del engrane 2, es la tangente al c rculo base que pasa por el punto E2 . Por lo tanto, la normal comn a los perles de involuta que estn en contacto u a es siempre la l nea tangente a ambos c rculos base, es decir la linea E1 E2 . De manera que estos dos engranes satisfacen la ley fundamental del engranaje, pues la normal com n siempre intersecta la l u nea de centros en el punto P que se conoce como el punto de paso. Este punto de paso, determina los c rculos de paso, Rp1 y Rp2 de los engranes, y es al mismo tiempo el centro instantaneo relativo de ls pareja de engranes. Por lo tanto, considerando exclusivamente la magnitud de su velocidad, se tiene que | vP 1 |= 1 Rp1 = 2 Rp2 =| vP 2 | (7)

La conclusin es que los engranes se comportan, desde el punto de vista o cinemtico, como dos discos de radios iguales a sus radios de paso que ruedan a sin deslizar.

4

Nomenclatura de engranes rectos.

La gura 4 muestra una seccin transversal de un diente de engrane y de una o cremallera. Una cremallera es un diente de engrane de radio innito, por lo que 4

la curva involuta de un c rculo se conviente en una l nea recta. Debe notarse que el c rculo de paso, y el radio de paso Rp , divide el perl del diente en dos partes. La parte del perl del diente por arriba del c rculo de paso se denomina Cara y la parte del perl del diente por debajo del c rculo de paso se denomina anco.

Figure 4: Nomenclatura de engranes rectos. El c rculo mas grande que puede inscribirse en el engrane se conoce como rculo c rculo de adendo, y su radio de denomina radio de adendo, Ro , el c mas grande que puede inscribirse sin que toque parte alguna del perl del diente, se denomina c rculo de dedendo y su radio se denomina radio de dedendo, Rd . La diferencia entre los radios de adendo y de paso, se denomina adendo, y se denota por a. Por lo tanto a = Ro Rp (8)

De manera semejante, la diferencia entre los radios de paso y dedendo, se denomina dedendo, y se denota por b. Por lo tanto b = Rp Rd (9)

El dedendo, b, es siempre mayor que el adendo, a, y la diferencia se le denomina holgura clearance y se denota por c. Por lo tanto c = b a. (10)

La distancia medida sobre el radio de paso entre puntos correspondientes de dientes de engrane sucesivos se denomina paso circular y se denota por pc . Si 5

un engrane tiene N dientes, donde N es un n mero natural, y un radio de paso u Rp el paso circular est dado por a pc = 2 Rp . N (11)

De manera semejante, la distancia medida sobre el radio base entre puntos correspondientes de dientes de engrane sucesivos se denomina paso base y se u denota por pb . Si un engrane tiene N dientes, donde N es un n mero natural, a y un radio base Rb el paso base est dado por pb = 2 Rb . N (12)

6