INYECCIÓN DE GRANDES GRIETAS CON RESINA EPOXI
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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE ESCUELA TÉCNICA SUPERIO
DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS
INYECCIÓN DE GRANDES GRIETAS CON RESINA EPOXI
UNiVtRSlDíD FOLIT CN!GA DE MADRID ETS. ING.:M!ERO.Í .r. CAV.iNOS
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SiGNATURA M..Í....<C. .2^:3^.-..^
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ADEL MOHAMED FATHY^ ABI^ELAZIZ
INGENffiRO CIVIL FACULTAD DE INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE AIN SHAMS
EL CAIRO, EGIPTO
DIRECTOR DE TESIS
JAIME PLANAS ROSSELLO
DOCTOR INGENIERO DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS
1996
TRIBUNAL ENCARGADO DE JUZGAR LA TESIS
Presidente : fJa ^ ^ tlic^^ Gu
Vocales: \\or)p C V v f ^ ^ ^ ( l reÍh '
^j^í^^--=^
Vocal Secretario : Q^ ^ ^ T W O V , 6 J ) €^VN3
CALIFICACIÓN: M^TO O ü M L ^ O O ^ 1>D^ ü /O^ í J lMlb?^
AGRADECIMIENTOS
Mi agradecimiento, en primer lugar, a RODIO, Cimentaciones Especiales S. A., que no sólo
financió una buena parte de la investigación sino que propuso las líneas generales del tema de
estudio. Gracias especialmente a D. José Luis Rojo que alentó e impulsó el proyecto desde
sus inicios, a D. Pietro de Porcellinis cuyo asesoramiento en el manejo y propiedades del
material ha sido fiíndamental en mi trabajo, y a D. Juan Secadas, que aportó su experiencia
en obra para concretar los problemas reales y circunscribir el análisis a lo prácticamente
realizable.
Deseo también agradecer al Catedrático Dr. D. Manuel Ellees Calafat la constante
ayuda que de él he recibido para superar las dificultades de todo tipo surgidas durarnte la
realización de este trabajo. Es para mí un ejemplo por su continua lucha para mantener su
departamento en primera línea investigadora.
Igualmente agradezco a todos los miembros del equipo científico, personal docente y no
docente, del Departamento de Ciencia de Materiales de esta Escuela la inestimable ayuda y
amistad recibida sin la cual hubiera sido muy difícil realizar este trabajo. En especial deseo
hacer mención de los Sres. Dr. D. José Ygnacio Pastor, D. Tomás Beleña Parrilla, D. José
Miguel Martínez, D. David Culebras (exjefe del taller mecánico), D. Juan Serrano , D.
Pascual Colas y D. Francisco Gálvez, por su colaboración en diversas partes de este proyecto.
También deseo agradecer a la Agencia Española de Cooperación Internacional y al
Ministerio de Educación Egipcio por la beca que me ha permitido desarrollar este trabajo.
Finalmente, deseo expresar mi más profundo agradecimiento al estimado Catedrático
Dr. D. Jaime Planas Rosselló por su constante apoyo, orientación, estímulo y noble exigencia
durante la realización de esta Tesis. Me siento orgulloso por haber sido uno de los muchos
alumnos que han tenido el privilegio de haber aprendido, gracias a un gran profesor como él,
a analizar y resolver un problema científico.
Madrid, mayo de 1996.
A MIS PADRES, A MI MUJER HALA
Y A MIS HIJOS OMAR Y OLA.
ÍNDICE
Resumen 1
1 Introducción y antecedentes 5
1.1 Introducción 5
1.2 Objetivo general del estudio 6
1.3 Planteamiento general del problema . 10
1.3.1 Grietas estables 12
1.3.2- Grietas cerradas 12
1.3.3 Grietas activas 13
1.3.4 Acoplamiento con el problema de mecánica de fluidos . . 14
1.4 El comportamiento reológico de la resina 14
1.4.1 Ecuaciones constitutivas para fluidos 15
1.4.2 Influencia de la temperatura en las propiedades reológicas:
Equivalencia t -T 21
1.4.3 Influencia de la presión 25
1.4.4 Influencia del tiempo de curado 26
1.5 El flujo de la resina en la grieta 31
1.5.1 Flujo de fluidos newtonianos en una grieta lisa 32
1.5.2 Flujo de fluidos newtonianos en grietas rugosas abiertas 34
1.5.3 Flujo de fluidos newtonianos en grietas comprimidas . . . 40
1.6 Objetivos concretos de la tesis 44
i
2 Análisis teórico 47
2.1 Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 48
2.1.1 Fundamentos de la aproximación 48
2.1.2 Fundamentos de mecánica de fractura elástica y lineal . . 49
2.1.3 Extensión de la zona abierta por la inyección 51
2.1.4 Inyección axisimétrica puntual . 53
2.1.5 Inyección axisimétrica con presión de inyección constante 55
2.1.6 El caso axisimétrico general 56
2.1.7 Fundamento del cálculo de la apertura de fisura 58
2.1.8 Distribución de aperturas para un proceso de inyección . . 60
2.2 Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 60
2.2.1 Ecuación de continuidad 61
2.2.2 Ecuación de Darcy generalizada 62
2.2.3 Ecuación de avance del frente de inyección 63
2.2.4 Ecuaciones de contomo 64
2.3 Inyección de grietas de caras paralelas con fluidos newtonianos . 67
2.3.1 Inyección de una grieta de caras paralelas y estáticas . . . 68
2.3.2 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles 70
2.4 Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano . . 72
2.4.1 Análisis cualitativo del proceso de inyección 72
2.4.2 Ecuaciones generales 74
2.4.3 Modelo simplificado 7^
2ÁÁ Análisis por el método de elerriientos finitos 77
2.5 Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales . . . 85
2.5.1 Ley de Darcy generalizada 85
2.5.2 Flujo radial 86
2.5.3 Inyección de ima grieta de caras paralelas y estáticas . . . 87
2.5.4 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles 88
2.5.5 Inyección de un macizo deformable: modelo simplificado 89
ii
3 Estudio experimental 91
3.1 Descripción general de la experimentación 91
3.2 Ensayos de viscosimetría de placa y cono 93
3.2.1 Principio de funcionamiento 93
3.2.2 Equipo experimental 94
3.2.3 Ejecución de los ensayos 101
3.2.4 Proceso de datos y presentación de resultados 102
3.2.5 Resultados básicos de la experimentación 105
3.3 Ensayos de viscosimetría de flujo radial 108
3.3.1 Principio de ftmcionamiento 109
3.3.2 Equipo experimental 110
3.3.3 Ejecución de los ensayos 117
3.3.4 Proceso de datos y presentación de resultados 120
3.4 Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 124
3.4.1 Principio de funcionamiento 124
3.4.2 Equipo experimental 126
3.4.3 Fabricación de las plaquetas de mortero 127
3.4.4 Montaje de las losetas en la máquina 133
3.4.5 Ejecución de los ensayos 135
3.4.6 Proceso de datos y presentación de resultados 136
4 Análisis y discusión de resultados 139
4.1 Reología de la resina 139
4.1.1 Resina sin endurecedor 140
4.1.2 Extensión de la equivalencia t-T 141
4.1.3 Influencia de la temperatura y del tiempo en la resina con
endurecedor 143
4.2 Flujo radial de la resina 148
4.2.1 Análisis de los ensayos de viscosimetría radial 148
4.2.2 Resultados de los ensayos de flujo entre placas rugosas . . 156
iii
4.3 Análisis del modelo de inyección 163
4.3.1 Análisis por el método de los elementos finitos 163
4.3.2 Comparación con el modelo simplificado newtoniano . . . 165
4.3.3 Análisis dimensional del modelo simplificado potencial. . 167
4.3.4 Estudio paramétrico 168
5 Conclusiones y trabajo futuro 175
5.1 Conclusiones 175
5.2 Trabajo futuro 177
Bibliografía 179
APÉNDICES
A Detalles analíticos 191
A.l Determinación de la apertura de grieta 191
A. 1.1 Principios de cálculo de la apertura de grieta 191
A. 1.2 Expresión de la apertura para fisura axisimétrica 194
A. 1.3 Determinación de la apertura para inyección con presión
uniforme 195
B Ensayos de viscosimetría de placa y cono 197
C Ensayos de viscosimetría de flujo radial 249
D Ensayos de flujo radial en placas rugosas _ 271
IV
RESUMEN
Una grieta en una presa o en otra gran estructura, incluyendo macizos rocosos,
supone un riesgo para la seguridad y la funcionalidad. En muchos casos una
solución del problema consiste en inyectar con resina epoxi, que fluye en la grieta
y luego endurece y la sella, adhiriendo las dos caras de la fisura.
Para conseguir una buena adherencia, es preciso ua buen contacto entre la
resina y las caras de la grieta. Esto puede cor\seguirse usando una resina muy
viscosa inyectada a gran presión sobre áreas muy pequeñas. La elevada presión
abre ligeramente la grieta, la limpia y fuerza a un contacto muy íntimo entre
la resina y el hormigón o la roca. Si el tamaño de la zona que se presuriza es
pequeño comparado con las dimensiones de la estructura, el procedimiento es
completamente seguro aunque las presiones locales sean elevadas.
Este trabajo trata de este tipo de inyecciones, y busca un método general para
cuantificar la evolución de las variables involucradas en el proceso. Para ello se
necesitan ecuaciones que describan el flujo de la resina en la grieta y la apertura
producida por la presión de inyección, así como métodos para resolverlas.
Las propiedades de la resina, como ingrediente básico del proceso, han sido
investigadas teórica y experimentalmente. Específicamente, se han realizado
ensayos viscométricos para encontrar una ecuación constitutiva adecuada para
la resina, que incluya el efecto de la velocidad de deformación, de la temperatura
y del tiempo de curado. El resultado más importante en este campo es que la
resina no es newtoniana y puede ser aproximada por im fluido viscoso potencial
para todas las temperaturas y estados de curado investigados.
El flujo de la resina en la grieta se ha investigado también teórica y experi
mentalmente. Se han hecho experimentos de flujo radial en grietas tanto lisas
como rugosas. Los resultados muestran que las ecuaciones teóricas describen
consistentemente las observaciones experimentales para fisuras de caras lisas y
permiten proponer una fórmula que incorpora las modificaciones inducidas en
el coeficiente de flujo por la rugosidad de la grieta.
La solución del problema completo de inyección de grandes grietas se ha
abordado mediante el método de los elementos finitos y modelos simplificados
en el caso idealizado de ima gran grieta en un medio elástico. El componente
esencial del método consiste en la aplicación de técnicas y conceptos de mecánica
de la fractura para desarrollar ima fórmula que permita calcular la apertura de la;
grieta cuando se conoce la distribución de presiones de inyección. Esta relación,
junto con las ecuaciones de flujo, determina completamente el problema.
El sistema resultante de ecuaciones integro-diferenciales, definido sobre un
dominio cuyo contomo es móvil, ha sido resuelto numéricamente para varios
casos usando un programa de elementos finitos especialmente desarrollado para
ello. En paralelo, se ha creado una técnica semi-analítica que reduce el problema
a un sistema de 5 ecuaciones diferenciales no lineales, con lo que se ha conseguido
un método simplificado y muy rápido para analizar el proceso de inyección que
da resultados razonablemerite próximos a los conseguidos mediante el método
de elementos finitos.
Uno de los resultados esenciales del análisis es que, cuando se inyecta a cau
dal constante, la presión aumenta primero rápidamente, alcanza un máximo y
después decrece lentamente. Esto significa que la parte de la estructura que
descansa sobre la grieta actúa como una válvula de seguridad sin que ello im
plique desplazamientos globales de la estructura. Muy al contario, la reducción
de presión es debida exclusivamente a deformaciones locales y la estructura es
siempre perfectamente estable.
El modelo simplificado se ha utilizado para realizar un análisis paramétrico
de los factores que influyen^n la presión de pico, y se han creado abacos de
diseño que relacionan la presión máxima con los parámetros de la inyección.
ABSTRACT
Cracks in dams and other huge structures, including rock foimdatioris, may be of
a major safety concern. In many cases a good solution of the problem is grouting
with epoxy resins that flow into the crack and then harden, bonding the two
faces of the crack.
In order to achieve a good bonding, an intímate contact between the crack
faces and the resin is needed. This can be achieved by using a highly viscous resin
at high pressures over small crack áreas. The high pressure slightly and locally
opens the crack, cleans the zone and makes the resin to get into very intímate
contact with the concrete or rock on both sides of the crack. If the extensión of
the pressurized zone is kept small compared to the overall structure dimensions,
the procedure is completely safe even though the local pressures are high.
This work deals with this kind of grouting, seeking a general procedure to
quantify the evolution of the various variables involved in the process. To this
end, equations are needed to describe the flow of the resin in the crack, and the
crack opening produced by the grouting pressure.
The properties of the resin as the basic ingredient of the process have been
investigated both theoretically and experimentally. Specifically, viscometric tests
have been performed to ascertain a suitable constítutive equation for the resin
including the effect of velocity gradient, temperature, and gelation time. The
most important results in this field is that the resin is non newtonian and can be
approximated by a power law viscous fluid over the range of temperatures and
gelation times investigated.
The flow of the resin in the crack has also been investigated both theoretically
and experimentally. Experiments of radial flow within smooth as well as rough
slits have been performed. The results show that the proposed flow equations
describe consistently all the experimental results for smooth crack faces, and a
formula taking into account the modification of the flow coefficient induced by
crack roughness is proposed.
The grouting process in an ideal situation, namely, a very large crack in an
elastic médium, has been investigated using fínite elements and simplified mod-
els. The essential ingredient of the approach consists in using fracture mechanics
concepts to develop a formula delivering the crack opening as a function of the
grouting pressure.
This, together with the flow equations, completely determines the problem.
The resulting set of integrodifferential equations defined over a región with mov-
ing boundaries has been numerically solved for a numbered of cases using a
specially developed finite element program. Simultaneously, a semi-analytical
procedure has been devised that reduces the problem to a set of 5 nonlinear
differential equations, thus providing a simplified and very fast procedure to
analyze the grouting problem that has been shown to give results reasonably
cióse to those delivered by the finite element method.
One of the essential results of the analysis is that during grouting at constant
flow rate the pressure first increases sharply, goes through a peak and then
decreases slowly. This means that the part of the structure lying on the crack
acts as a relief valve; however, this relief is produced by local deformations, not
by overall displacements; therefore the structure is always perfectly stable.
The factors goveming the pressure peak have been parametrically investi
gated by means of the simplified model and a series of design plots are given
that relate the peak pressure to the grouting parameters.
Capítulo 1
Introducción y antecedentes
1.1 Introducción
En esta tesis se aborda el problema ingenieril de la inyección de grandes grietas
con resinas epoxi. Este tipo de inyecciones involucra a tres componentes que in-
teraccionan dando lugar a un comportamiento conjunto relativamente complejo.
Estos componentes son
1. La resina: Es el componente base cuyo objetivo es rellenar y sellar la grieta.
Es un componente "vivo" que se inyecta en estado fluido y debe distribuirse
adecuadamente en el interior de la grieta para luego endurecer sirviendo
de puente entre las dos caras de la grieta.
2. La grieta: Es el componente cuyos efectos negativos se quieren eliminar me
diante la inyección. Sus dimensiones y topología, en particular su apertura
y su rugosidad, y las condiciones en que se encuentra (limpia, inundada,
drenada, etc.) condicionan totalmente el movimiento de la resina en su
seno.
3. La estructura: Es, a la postre, el destinatario final de la inyección, que
pretende devolverle funcionalidad o seguridad o ambas cosas a la vez, y
responde a la presión de la resina con deformaciones que pueden, depen
diendo de su magnitud, ser beneficiosas o peligrosas.
6 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Estos tres componentes del sistema interaccionan de forma dinámica durante
la inyección, al menos en el tipo de inyecciones que en este trabajo consideramos,
ya que se producen a presiones suficientes como para que la grieta se abra lo-
calmente debido a la deformación provocada por la presión de la resina. La
abertura local modifica los parámetros de la grieta que a su vez modifica la
condiciones de flujo de la resina. Todo ello da lugar a un sistema de ecuaciones
acopladas altamente no lineales cuyo estudio abordamos, para casos sencillos
pero representativos, en este trabajo.
En este capítulo pretendemos delimitar el objeto de esta tesis, y acotar, en
base a otros trabajos y experiencias previas los objetivos concretos del estudio
teórico que se desarrolla en el Capítulo 2 y de la experimentación que se presenta
en el Capítulo 3. En el Capítulo 4 se discuten los resultados, tanto teóricos como
experimentales, y en el Capítulo 5 se resumen las conclusiones fundamentales y
se dibujan las posibilidades de futuros trabajos.
1.2 Objetivo general del estudio
En esta tesis consideramos la inyección de grandes grietas: grietas de decenas o
centenares de metros en dimensiones lineales y de centenares de metros cuadra
dos de superficie. Son grietas que se dan en grandes presas o en macizos rocosos,
no las que se dan en estructuras más habituales como las de edificación o las de
puentes o pasos elevados.
Por sus dimensiones, su sellado requiere cantidades de resina que se miden
en toneladas y es prácticamente imposible efectuar la inyección en una sola
operación tal como puede hacerse con una grieta de unos pocos decímetros o
metros cuadrados.
Aunque es teóricamente posible hacer la inyección con resina de gran fluidez
que puede rellenar grietas ordinarias por simple gravedad o por inyección a muy
baja presión, ésta resulta una técnica poco fiable en el caso de grandes grietas
por muchos motivos, entre los que pueden destacarse los siguientes:
1.2. Objetivo general del estudio 7
1. Para hacer vina inyección a baja presión con resina muy fluida y asegu
rar que la resina llena completamente la grieta es preciso garantizar que
la resina no puede escaparse de la grieta antes de endurecer. Esto exige
sellar todos los posibles caminos de escape de la resina, lo que en una gran
grieta es muy difícil, ya que en muchos casos no se conocen en detalle
las ramificaciones y conexiones en zonas profundas: la grieta puede, por
ejemplo, atravesar un dren a profundidad tal que esa vía de escape pase
desapercibida hasta que es demasiado tarde.
2. Para este tipo de inyecciones es preciso también que se efectúe una in
yección ascendente para que la resina desaloje el aire o agua que haya en
la grieta, y hay que disponer purgas en los puntos en que la grieta-forme
un sifón. Sin embargo, ésto es muy difícil porque en una grieta de gran
tamaño la topología no suele ser conocida con detalle.
3. La colada de resina fluida puede rellenar adecuadamente una grieta pe
queña, limpia y abierta, adheriendo convenientemente las dos caras de
la grieta. Pero si hay polvo, barro, agua, o la grieta está cerrada a trozos,
como puede suceder en una presa a bajo nivel de embalse, en el que la grieta
está comprimida por el peso propio, es difícil que una resina inyectada en
grandes superficies a baja presiónpueda eliminar los residuos o penetrar
en las zonas comprimidas y establecer un contacto íntimo con el hormigón
o roca sano en ambas caras de la grieta.
Es posible que existan soluciones a algunos de los problemas anteriores, como
efectuar una limpieza previa de la grieta con agua a presión. Pero el proceso es
complejo, caro y difícil de garantizar. Y ciertamente los problemas se multiplican
si la grieta está sumergida y el agua circula por ella, como es muy habitual: la
resina fluida es inmediatamente "lavada" por la corriente de agua, antes de que
pueda efectuar el sellado, a menos que se corte previamente, con otra técnica, la
corriente de agua.
Una alternativa que, bien usada, resuelve todos estos problemas es la realiza-
Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Figura 1.2.1: Esquema de inyección de una grieta desde galería con múltiples puntos de in
yección.
Figura 1.2.2: Esquema de inyección de una grieta desde superficie. Desde cada taladro de
inyección se inyecta una superficie relativamente pequeña.
ción de inyecciones de resina muy viscosa —casi pastosa— a presiones elevadas y
secuencialmente en muchos puntos. La inyección puede efectuarse desde galería
tal como esquematiza la Fig. 1.2.1 o desde superficie, como indica la Fig. 1.2.2.
El punto clave de este tipo de inyecciones es que conjugan alta viscosidad y
alta presión con poca superficie inyectada de una sola vez, del orden de unas
decenas de metros cuadrados. Al ser la presión elevada —superior en general
a la presión de tierras y ciertamente superior a la presión del agua que pueda
haber en la grieta— se desaloja con facilidad la suciedad y el aire y se consigue
im buen contacto de la resina con la roca sana. Si además la presión es suficiente,
se abre localmente la grieta y se baña en resina toda la superficie de la misma.
1.2. Objetivo general del estudio
Figura 1.2.3: Esquema tridimensional de la inyeccón de una grieta en un punto
incluyendo zonas que en inyecciones a baja presión estarían en contacto y no
quedarían bien selladas.
Aunque la presión es elevada, si la inyección se diseña adecuadamente la
estabilidad de la estructura no se ve amenazada. Esto es debido a que la superficie
activamente inyectada (i.e., bajo presión) es muy pequeña comparada con el
tamaño de la estructura. Debe subrrayarse que aunque esquemas bidimensio-
nales como los de las figuras anteriores ayudan a hacerse una idea del método,
el proceso de inyección es realmente tridimensional tal y como se esquematiza
en la Fig. 1.2.3, por lo que si las dimensiones lineales de la zona inyectada son
del orden de, por ejemplo, 10 veces inferiores a las dimensiones lineales de la
estructura, la relación de áreas es de 1 a 100.
Esta diferencia de escala implica que aunque la presión de inyección sea
relativamente elevada, la fuerza resultante de esta presión es muy inferior a las
fuerzas involucradas en el equilibrio de la estructura (peso propio y empuje de
aguas, por ejemplo). "Además, aunque las deformaciones locales pueden ser
elevadas (veremos que la grieta puede durante la inyección abrirse del orden de
un milímetro), los corrimientos se anulan con la distancia r como P^lr^, donde
R es el radio de la zona bajo presión, por lo que a tres o cuatro veces el radio de
inyección prácticamente no se dejan sentir.
Resulta pues que las inyecciones de resina viscosa a alta presión son una
técnica adecuada para el tratamiento de grandes grietas, como cualitativamente
10 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
hemos expuesto. Sin embargo, se carece de tina metodología de análisis cuan
titativo de este proceso. El objetivo general de esta tesis es iniciar el camino
para el establecimiento de análisis cuantitativos de este tipo de inyecciones. Más
concretamente, el objetivo es buscar las relaciones que permiten cuantificar cómo
avanzará la resina en la grieta y cómo se deformará la estructura cuando se haga
una inyección de una forma determinada (por ejemplo, a caudal constante).
Para este análisis es obviamente preciso conocer las propiedades relevantes
de la resina, particularmente su ecuación constitutiva, conocer las leyes de flujo
de la resina en la grieta, y conocer cómo se deforma la estructura por efecto de
la presión.
Ninguno de estos aspectos a conocer es trivial y en una primera aproximación
hay que simplificar y acotar debidamente los objetivos de la investigación. Esto
es lo que se hace en los apartados siguientes de este Capítulo. En primer lugar
centramos un poco más el problema en cuanto a la grieta y la deformación de la
estructura; a continuación analizamos las teorías disponibles para la descripción
del comportamiento reológico de la resina y para la descripción del flujo de la
resina en la grieta; finalmente concretamos los objetivos a cubrir en el trabajo.
1.3 Planteamiento general del problema
De acuerdo con lo expuesto en la sección anterior, se pretende estudiar procesos
de inyección a alta presión, efectuados secuencialmente en zonas de pequeña ex
tensión. La presión de inyección produce deformaciones que es preciso calcular.
En una primera aproximación parece lógico hacer un análisis simple suponiendo
un comportamiento elástico lineal del material de la estructura.
Supongamos entonces que del análisis de mecánica de fluidos conocemos
la distribución de presiones en las caras de la grieta. Se trata de determinar
las deformaciones de la estructura en elasticidad lineal. Sin embargo aunque
supongamos que el comportamiento del material es elástico, el comportamiento
estructural será no lineal, en general. El que esto sea así depende de cada caso
1.3. Planteamiento general del problema 11
particular, pero muy especialmerite del tipo de grieta que tengamos y de la
localizacióri de la inyeccióri. Desde este pimto de vista, podemos clasificar las
grietas en tres tipos básicos:
1. Grietas activas. Son aquellas generadas por causas permanentes que están
todavía en acción de forma que la grieta está todavía creciendo o en estado
crítico (creciendo-a velocidad muy pequeña). Un ejemplo típico son las
grietas generadas por deformaciones diferenciales (expansión química, re
tracción, entumecimiento, asientos diferidos) que han estado aumentando
hasta el momento del estudio.
2. Grietas estables. Son aquellas generadas por causas que han finalizado
su acción dejando la grieta abierta. Es el caso límite del caso anterior y los
ejemplos son los mismos con la condición de que cesaran con suficiente
antelación al estudio.
3. Grietas cerradas. Son aquellas que se abrieron por acciones extraordinarias
y luego volvieron a cerrarse debido a las cargas permanentes, teniendo en el
momento del estudio sus caras comprimidas. Es el caso de grietas creadas
por accidentes de todo tipo, en particular grietas horizontales producidas
durante un terremoto.
Desgraciadamente la clasificación no es independiente de las condiciones de
contomo, y una misma grieta puede pasar de una a otra situación al modifi
car esas condiciones. Por ejemplo, una grieta en una presa puede ser activa
a embalse lleno, estar estabilizada cuando el nivel se encuentra entre el 50 y
el 90% del máximo, y estar cerrada cuando el nivel desciende por debajo del
50%. Obviamente en la práctica puede resultar difícil saber en qué situación
nos encontramos, y uno de los objetivos a largo plazo es ver qué ensayos de
campo pueden realizarse para detectar la situación. La pertenencia a ima de las
tres clases es fundamental para el estudio de la inyección, como vamos a ver a
continuación, y permite hacer una definición más operativa de las clases anterio
res. Lo importante aquí es ver que el comportamiento para las fisuras estables
12 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
es el único realmente lineal, siendo los otros dos no lineales. Por esto vamos a
comenzar la exposición por este tipo de grietas.
1.3.1 Grietas estables
Desde el punto de vista de la inyección, la grieta es estable si la inyección no
va a provocar el crecimiento de la grieta. Eñ esta situación, pueden admitirse
como fijas todas las cargas menos las presiones de inyección. Puesto que no hay
cambios de geometría porque, por definición, en este caso ni crece la grieta ni
se cambian las condiciones de contacto-no contacto entre las caras de la grieta,
la deformación provocada por la presión de inyección es lineal, y uno puede
escribir
IÍ ;(X)=IÍ;O+ / G^(x,xXx')dA (1.3.1) JSi
donde WQ es la apertura inicial de la fisura debida a las cargas permanentes,
G„(x, x') es la apertura en el punto x provocada por una fuerza unidad en el
punto x', p(x') es la presión en el punto x' y la integral está extendida a la zona
de inyección. Por supuesto la función de Green Gtü(x, x') es fija para un proble
ma dado (no cambia con el proceso de inyección). La superficie de inyección se
obtiene como parte de la solución del problema completo. Para este caso par
ticular, todo el problema en su aspecto estructural consiste en obtener (calcular)
la función de Green Gyj{^, x'), un problema que abordaremos como parte de la
tesis en el Capítulo 2.
1.3.2 Grietas cerradas
Cuando la grieta está cerrada (en sentido mecánico, no hidráulico), la variación
de presión de contacto debe tenerse en cuenta y el problema deja de ser lineal
porque el contacto es siempre no lineal ya que no permite tracciones. En este
caso todo sucede como si la inyección estuviera produciendo una grieta, puesto
que el fluido separa los dos labios que estaban en contacto sobre un área que
debe determinarse como parte de la solución del problema (Fig. 1.3.1). Si ad-
1.3. Planteamiento general del problema 13
'' ;; ;' Po
-J Po
Figura 1.3.1: Grieta inicialmente cerrada por una presión po abierta por efecto de la presión de
resina. Sa es el área en que se ha perdido el contacto y Si el área donde actúa la presión de la
inyección.
mitimos que, aunque la grieta esté mecánicamente cerrada al principio, el fluido
tiene una cierta capacidad de penetración debido al espacio que queda entre
asperezas, tendremos una cierta apertura media inicial WQ. Sea po la presión que
se ejerce entre las caras de la fisura antes de iniciarse la inyección (Fig. 1.3.1). Es
posible demostrar (Capítulo 2) que la apertura de fisura debe venir dada por una
ecuación del tipo
w (x) = WQ+ I G(x, x'; SM-^)dA - f G{x, x', Sa)po{^')dA (1.3.2) JSi JSa
donde Sa es el área sobre la cual se ha perdido el contacto, y ahora la función
de Green G(x, x', Sa) depende de este área y por tanto se pierde totalmente la
linealidad. Veremos en el Capítulo 2 que para determinar el área sobre la que se
ha perdido el contacto, una nueva incógnita, se puede hacer uso, con ventaja, de
los conceptos de mecánica de la fractura.
1.3.3 Grietas activas
Cuando la grieta es activa, la inyección hará que esa grieta crezca. Incluso en
la hipótesis simplificada de que el crecimiento de la grieta puede describirse
m.ediante la teoría de fractura elástica lineal, la apertura de la grieta resulta no
14 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
lineal. La posición del nuevo frente de grieta debe determinarse como parte de
la solución y, debido al tipo de inyección que estamos considerando, es evidente
que el tratamiento tiene que ser tridimensional.
Obviamente este último caso es extremadamente complejo y está relacionado
con problemas de hidrofracturación. Pero es incluso más complicado porque
requiere la modelización detallada de toda la estructura. En particular, exige
conocer la geometría de toda la fisura con cierto detalle y las condiciones de
contorno reales, lo que en la práctica es extremadamente difícil. Dejaremos el
estudio de situaciones como ésta fuera de un primer análisis de los procesos de
inyección, ya que no permiten simplificaciones apreciables ni son susceptibles
de generalización.
1.3.4 Acoplamiento con el problema de mecánica de fluidos
Como acabamos de ver, un dato básico para la determinación del efecto estruc
tural es la distribución de presiones de la resina, que debe obtenerse del análisis
de mecánica de fluidos de la resina en la grieta. El resultado depende de la
reología de la resina y de las características de la grieta, particularmente de su
apertura, y también de las condiciones de bombeo de la resina. Por consiguiente
es preciso buscar modelos para la resina y para la grieta antes de poder com
pletar el análisis. En las dos secciones siguientes resumimos los conocimientos
disponibles sobre estos temas antes de concretar los objetivos de la investigación.
1.4 El comportamiento reológico de la resina
Antes de poder acotar los objetivos de la tesis, es preciso tener una idea del tipo de
conocimiento que necesitamos acerca del comportamiento de la resina. La resina
es un fluido polimérico que puede presentar un comportamiento no newtoniano
y su respuesta reológica es muy dependiente de la temperatura. Además es
un material que gelifica —endurece— y debemos ser capaces de predecir el
cambio en su respuesta a medida que pasa el tiempo. En esta sección revisamos
1.4. El comportamiento teológico de la resina 15
someramente los modelos disponibles para describir la respuesta mecárüca de
la resina, y su dependencia respecto de la temperatura y del tiempo.
El énfasis está puesto en buscar información sobre la estructura matemática
de las ecuaciones, no en la búsqueda de valores aplicables a una resina o familia
de resinas concretas, fundamentalmente porque la reología de la resina puede
cambiar en varios órdenes de magnitud usando los aditivos apropiados. Se parte
pues de la base que los valores concretos de los parámetros que aparezcan en las
ecuaciones deberán ser determinados experimentalmente para cada resina.
1.4.1 Ecuaciones constitutivas para fluidos
Consideremos en primer lugar aquellas ecuaciones en las que la temperatura
no aparece explícitamente: se trata formalmente de fluidos atérmicos, pero en
términos físicos corresponden a fluidos que evolucionan en condiciones isoter
mas o casi isotermas. Aún con esta simplificación existen multitud de ecuaciones
constitutivas para fluidos, más específicamente líquidos, desde la más simple de
líquido newtoniano incompresible (véase por ejemplo Malvern, 1969) hasta la
más sofisticada formulación de funcionales con memoria (Coleman y Noli 1961,
1963; Truesdell 1978; Tanner 1985; Bird, Armstrong y Hassager 1987; Larson
1988; Utracki 1990)
Sería ciertamente ideal que las resinas de alta viscosidad utilizadas en el tipo
de inyecciones que estamos analizando tuvieran un comportamiento newtonia
no. Desgraciadamente ésto no es así. Como ejemplo, la Fig. 1.4.1 muestra la
dependencia de la viscosidad con la velocidad de deformación para una resina
viscosa típica (la curva ha sido determinada y suministrada por el fabricante de
la resina). Se observa claramente que la viscosidad decrece notablemente cuando
la velocidad de deformación aumenta, lo que indica que el modelo newtoniano
no es aplicable a esta resina. Los resultados experimentales que nosotros hemos
obtenido para un intervalo más amplio de velocidades de deformación (Capítulo
3) corroboran este hecho.
16 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
«o
{ = •
tí
JO
o o 00
velocidad de deformación (s )
Figura 1.4.1: Reograma de una resina de alta viscosidad. En ordenadas la viscosidad está
referida a la viscosidad a una velocidad de deformación tangencial de 5 s~ .
Una vez aceptado que el modelo a utilizar no es newtoniano, debemos bus
car un modelo más sofisticado que permita describir el comportamiento de la
resina. La Tabla 1.4.1 es una traducción simplificada de la que Bird, Armstrong
y Hassager (1987) incluyen en su obra, que tiene la particularidad poco usual de
incluir las aplicaciones principales de los distintos modelos.
Como puede observarse, Bird, Armstrong y Hassager clasifican los mode
los en 5 grandes grupos, ordenados de arriba hacia abajo por orden de com
plejidad. El primer grupo es el de los fluidos newtonianos generalizados, cuya
propiedad fiíndamental es que no tienen memoria de forma: Su estado tensional
depende sólo de su velocidad de deformación en el instante considerado. Todos
los demás modelos incorporan fenómenos de memoria, desde los viscoelásticos
en pequeñas deformaciones (que no es aplicable a nuestro caso por esta misma
limitación) hasta los integrales, que tienen memoria de largo alcance, pasando
por los diferenciales que dependen de las derivadas sucesivas del tensor de de
formación.
1.4. El comportamiento teológico de la resina 17
Tabla 1.4.1: Modelos para fluidos no newtonianos
Modelo
Fluidos
newtonianos
generalizados
Fluidos
Viscoelásticos
Fluidos de
Rivlin-Ericksen
polinómicos
Fluidos de
Rivlin-Ericksen
(diferenciales)
Modelos
integrales
Ejemplos
Modelo potencial
Modelo de Bingham
Modelo de Carreau
Modelo de Maxwell
Modelo de Jeffreys
Maxwell gralizado.
Fluido 2° orden
Fluido Ser. orden
Maxwell convect.
Jeffreys convect.
White-Metzner
Oldroyd
Giesekus
Líquido de Lodge
Rivlin-Sawyers
Fluido de K-BKZ
Condición
Flujo
estacionario
Pequeñas
deformaciones
Pequeñas
velocidades
deformación
Cualquier
flujo
Cualquier
flujo
Aplicaciones
Presión-caudal
Fuerza-velocidad
Cálculos ingeiüeriles
Estructura-propiedad
Caracterización
Control de calidad
Mov. gotas y burbujas
Partículas en suspensión
Flujos secundarios
Análisis de estabilidad
Simulación de flujos
viscoelásticos
Modelización procesado
ínter-relación de datos
Simulación de flujos
viscoelásticos
18 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Como se deduce de la columna 'Aplicaciones', la familia a elegir para estudiar
la relación entre presión aplicada y caudal es la de los materiales newtonianos
generalizados. Las otras familias de modelos son demasiado complejas para ser
utilizadas en im problema como el que nos ocupa, por lo menos en una primera
aproximación.
Las magnitudes que intervienen en la definición de un fluido newtoniano
generalizado son el tensor de tensiones de Cauchy cr y el tensor de velocidad de
deformación D. El tensor D se define a partir del campo de velocidades v como
la parte simétrica del tensor gradiente de velocidad:
1 1 D = - [grad v + (grad v)^] , A,- = :^ivij + Vj,i) (1.4.1)
donde la segunda expresión es la definición en componentes, en la que A j y
Vi son las componentes cartesianas de D y v y la coma en el subíndice indica
derivación parcial:
. . . . ^ (1.4.2,
donde {xi, X2, X3) son las coordenadas cartesianas de un punto. Para un fluido
incompresible se verifica que la traza o primer invariante del tensor de defor
mación es nula:
trD = Da = VÍ^Í = div v = O , para un fluido incompresible. (1.4.3)
donde las igualdades intermedias son expresiones equivalentes del mismo con
cepto.
Un fluido en el'que la tensión depende linealmente de la velocidad de defor
mación se llama newtoniano. Para líquidos incompresibles, la ecuación corres
pondiente es
a = -pl + 2r]T) (1-4.4)
donde p es la presión hidrostática, 1 el tensor unidad, y 77 es la viscosidad, que
es constante. Como la presión no está determinada por la velocidad de defor
mación, sino por las ecuaciones de equilibrio, es conveniente utilizar el desviador
1.4. El comportamiento Teológico de la resina 19
de tensiones a' definido por
(T' = a+pl (1.4.5)
con lo que queda
a' = 2r/D (1.4.6)
Un fluido en el que la viscosidad se deja depender del segiindo invariante
del tensor de velocidad dr-deformación es un fluido newtoniano generalizado.
Conviene definir una velocidad de deformación equivalente 7, relacionada con
el segundo invariante por:
7 = 2 / Ü D = \/2trD2 (1.4.7)
donde J /D = \ trD^ es el segundo invariante de D. Con esta definición el líquido
newtoniano generalizado queda definido por
a' = 27y(7)D (1.4.8)
donde mantenemos la denominación de r; para la viscosidad, que ahora depende
de la velocidad de deformación equivalente. Por otra parte, es conveniente
definir también, como en plasticidad, ima tensión tangencial equivalente, que
llamamos r, definida por
r=y^^tror'2 (1.4.9)
Elevando al cuadrado (1.4.8) y tomando trazas, resulta ima relación entre la
tensión y velocidad de deformación equivalentes:
r = 77(7) 7 = ^(7) (1.4.10)-
donde se ha definido la f imción ij) que da la relación entre la tensión y la velocidad
de deformación equivalente. Evidentemente las propiedades viscosas del fluido
quedan totalmente caracterizadas por la función •^(7) a la que denominaremos
en general relación T-7.
Es de notar que las definiciones de r y 7 coinciden en módulo con la tensión
tangencial y la velocidad de deformación tangencial (ingenieril) clásicas en un
20 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
-»• 1 . F Vo X.
í-7 ^ Figura 1.4.2: Esquema de un flujo tangencial puro en que vi = voxz/h y t;2 = Í;3 = 0.
flujo tangencial puro, como el de la figura 1.4.2. En dicho caso
r = 0-12 = — , 7 = 2Di2 = fi,2 = -r (1.4.11)
donde, como ilustra la figura, F es la fiierza aplicada a la placa móvil, Ay voel
área y velocidad de dicha placa, y hel espesor de la capa de líquido.
Existen en la literatura varias ecuaciones particulares de fluidos newtonianos
generalizados. Una de las más generales es la dada por Utracki (1990) y Elbirly
yShaw(1985):
r = 77oc7 + ( 0 - í7oo) [1 + (¿07)"^]^""' ^"^ 7 (1-4.12)
donde r]oo,Vo,to,'iT^y i^ son coristantes del material. Nótese que el material de
pende de 5 constantes independientes, demasiadas probablemente para que sea
útil en nuestro problema. Una ecuación de complejidad intermedia es la usada
por Williams (1966) y por Carreau (1972), idéntica a la (1.4.12) con m = 2:
r = VooÍ+ ivo - ^oo) [l + (ío7)'J 7 (1-4.13)
Esta ecuación, llamada de Carreau, tiene 4 parámetros, lo cual sigue siendo
excesivo. Cuando ío7^ es grande frente a uno, puede aproximarse por la ley de
tres parámetros
T = ?7o7 + c7" (1.4.14)
que es la suma de una ley lineal y una ley de potencia. Cuando la parte lineal es
despreciable se obtiene la ley potencial
r = c7" (1.4.15)
Esta ley sólo tiene 2 parámetros y ajusta razonablemente bien los resultados
experimentales para muchos fluidos en intervalos grandes de velocidades de
1.4. El comportamiento teológico de la resina 21
deformación. Tiene muchas ventajas de tipo matemático que no tienen las otras.
Como veremos en el Capítulo 2, la ventaja más importante está en que las leyes
de semejariza o escala son muy simples. Por ejemplo, es fácil demostrar que la
relación entre la diferencia de presión y el caudal que circula por un dispositivo
es siempre del tipo Ap a Q, cualquiera que sea la forma y dimensiones del
dispositivo.
Los fluidos potenciales en los cuales n < 1 se denominan, en general, seu-
doplástícos, y se caracterizan por disminuir su viscosidad al aumentar la ve
locidad de deformación. Los fluidos poliméricos se ajustan bien a este tipo de
comportamiento (véase la Fig. 1.4.1). Los fluidos cuya viscosidad aumenta con
la velocidad de deformación se denominan dilatantes. Los fluidos poliméricos
normales no son dilatantes. Solamente cuando hay sólidos en suspensión con
concentraciones elevadas se presenta este tipo de comportamiento.
La tesis se ha desarrollado en la hipótesis de que, en primera aproximación,
la resina se comporta como un fluido newtoniano generalizado potencial con
n < 1, lo que, como veremos en los Capítulos 3 y 4, se ha podido comprobar
experimentalmente.
1.4.2 Influencia de la temperatura en las propiedades reológicas:
Equivalencia t-T
En todos los tratados sobre polímeros se subraya la gran influencia que la tem
peratura tiene en las propiedades reológicas de estos materiales (Bueche 1962;
Lee y Neville 1967; Ferry 1970; Chang 1975; Larson 1988; Riande 1985a, 1985b;
Tanner 1988; Keimings 1990; Utracki 1990). La mayoría de los análisis existentes
se refieren a la influencia de la temperatura en la viscosidad, lo que supone que
o bien se considera un material newtoniano, o se refieren a condiciones estándar,
normalmente extrapolaciones a velocidad de deformación nula basadas en un
modelo de Utracki o de Carrean, Ees. (1.4.12) y (1.4.13) respectivamente.
22 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Una aproximación directa y puramente fenomenológica para el caso de un
fluido newtoniano generalizado sería escribir que la función r-7 que caracteriza al
fluido, depende explícitamente de la temperatura. Esto significa que la ecuación
(1.4.10) se rescribiría como
T = '0(7,T) (1.4.16)
donde T es la temperatura.
Aunque esta formulación es posible, es difícil de manejar en la práctica,
porque supone la determinación empírica de una función de dos variables es
calares, que es bastante compleja. Afortunadamente la experiencia indica que la
estructura matemática de la dependencia es, para muchos polímeros, mucho más
simple —al menos en tina primera aproximación— y permite la determinación
experimental con mucho menos esfuerzo.
La forma, relativamente general, de abordar el problema es utilizar una equi
valencia temperatura-tiempo que establece simplemente que a igualdad de solic
itación los procesos ocurren más rápido cuanto mayor es la temperatura. De
las equivalencias temperatura-tiempo la más conocida es la semi-empírica de
Williams, Landel y Ferry (WLF), que relaciona la viscosidad 77 a la temperatura
T con la viscosidad TJQ a la temperatura TQ mediante la relación
77 = 770 e x p Ci(r-ro)
C2 + (T- ro ) (1.4.17)
donde C\ y C2 son constantes (que dependen, en general, de la temperatura de
referencia TQ).
Aunque ésta es la expresión más habitual de la equivalencia temperatura-
tiempo, no es directamente aplicable a resinas epoxi que sean no newtonianas.
Para poder generalizar la equivalencia a cualquier ecuación constitutiva, es pre
ciso generalizar la relación anterior a fluidos no newtonianos. Una forma ele
gante de hacer la generalización es la inicialmente propuesta por Morland y
Lee (1960) (véase Tanner 1985) que consiste, muy en el espíritu de las teorías
endocrónicas de la viscoelasticidad y viscoplasticidad (Valanis 1968, 1971), en
1.4. El comportamiento teológico de la resina 23
definir un tiempo intrínseco ^ relacionado con el tiempo real por la ecuación
d^ = ^ (1-4.18)
donde ÜTÍT) es el factor de equivalencia temperatura-tiempo.
Para que esta ecuación sea unívoca es preciso definir la escala del tiempo
intrínseco, lo que se hace de forma convencional estableciendo que los tiempos
intrínseco y ordinario coinciden para una cierta temperatura de referencia TQ, lo
que significa que, por convenio,
aT{To) = l (1.4.19)
Una vez establecido el concepto de tiempo intrínseco, la generalización de
una ecuación constitutiva se hace estableciendo que si la ecuación constitutiva
se formula en términos del tiempo intrínseco, entonces la ecuación constitutiva
no depende explícitamente de la temperatura. Los materiales que cumplen esta
condición se denominan termorreológicamente simples.
Para los fluidos newtonianos generalizados, todo el problema se reduce a
definir velocidades respecto del tiempo intrínseco y así definiríamos una ve
locidad intrínseca como v* = dx/d^ y a partir de este campo definiríamos una
velocidad de deformación intrínseca D* y una velocidad de deformación equiva-*
lente intrínseca 7, de forma que la tensión tangencial equivalente estaría definida
por una ecuación del tipo
r = V(7) (1.4.20)
donde ahora la función tjj no depende de la temperatura^
Evidentemente, pasar del tiempo intrínseco al tiempo real es inmediato a
partir del cambio de variables definido en (1.4.18) con el resultado
* dt 7= 7 ^ = ariT) 7 (1.4.21)
con lo que la ecuación constitutiva queda reducida a
r = ^[aT(r)7] (1.4.22)
24 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
lo que desde el punto de vista experimental requiere la determinación de dos
funciones de una variable: V y C'T', un problema mucho menos complejo que el
de determinar una función de dos variables.
Nota: Para ser más preciso, además de la modificación de la escala temporal implicada por
(1.4.18) debería incluirse también im cambio de escala en teiisiones relacionada con el cambio
de densidad del material (Tanner 1985); esto se hace definiendo ima "tensión intrínseca" S,
relacionada con la tensión real a por
a = - ^ S (1.4.23) PoTo
donde p es la densidad en el estado real y po es la densidad en el estado de referencia. En general
esta corrección es muy pequeña y se desprecia.
En el caso newtoniano la función V'(-) es lineal, por definición, y se obtiene,
por tanto
r = r/oaT(r)7 (1.4.24)
donde evidentemente el producto 770 es la viscosidad para el estado de referencia
y la viscosidad se escribe entonces
V = VoaT{T) (1.4.25)
que es la forma más habitual en que aparece expresada la viscosidad en función
de la temperatura.
De forma análoga, la ecuación r-7 para el fluido con ley potencial es
T = co [aT(T)7]" (1.4.26)
donde coy n son constantes independientes de la temperatura y de la presión.
Nótese que de acuerdo con la equivalencia t — T, los exponentes de las leyes
potenciales no cambian. La experiencia indica que aunque pequeña, la variación
de los exponentes es mensurable, por lo que las ecuaciones anteriores deben
tomarse sólo como aproximadas.
En general a^ depende exponencialmente de la temperatura. La forma semi-
empírica de William, Landel y Ferry se deduce inmediatamente comparando
1.4. El comportamiento teológico de la resina 25
(1.4.17) con (1.4.25); el resultado es
ariT) = exp Ci(T-To)
C2 + {T-%)
Otros autores utilizan la forma más simple de Arrhenius
(1.4.27)
ariT) = exp (1.4.28)
donde H es la energía de activación aparente (constante del material) y i? la
constante universal de los gases ideales. Nótese que la formula de Arrhenius
se puede escribir como la de la ecuación de WLF con Ci = H/RTQ y C2 = TQ.
La forma de WLF (con C2 distinto de TQ) es aplicable a temperaturas relativa
mente próximas a la temperatura de transición vitrea (hasta 100 °C por encima);
para temperaturas superiores la forma de Arrhenius suele ser suficientemente
aproximada (Tarmer 1985).
1.4.3 Influencia de la presión
La presión a la que se encuentra sometido el líquido influye también en la vis
cosidad. La teoría del volumen libre, que se desarrolla en el Tanner (1985) y
es originada por Batchinsky, permite llegar a la conclusión de que a presiones
pequeñas comparadas con el módulo de compresibilidad del fluido, la viscosi
dad puede escribirse como
77 = 7/0 exp (p//i) (1.4.29)
donde 770 es la viscosidad a presión atmosférica (y a la temperatura considerada),
fj, es una constante con dimensiones de presión, y;? es la presión manométrica.
Aunque no hemos conseguido en la literatura datos concretos para resinas epoxi,
los datos para otros polímeros indican que // varía entre 30 y 80 MPa aproximada
mente.
El concepto de fluido termo-reológicamente simple puede extenderse para
incluir el efecto de la presión. El desarrollo es análogo al del apartado anterior
y el resultado final es que —^para este tipo de materiales— puede definirse un
26 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
factor de equivalencia tiempo-temperatura-presión orp análogo a ax, pero que
depende también de la presión.
Una ecuación muy general para axp es (Utracki 1990)
C i ( r - T o - ^ p ) o^Tp = exp (1.4.30)
C2 + {T-TQ-ep)
donde 6p es una función de la presión que en general puede aproximarse por
(Utracki 1990):
, ^ . C 3 l n l ± ^ + a i n i ^ (1.4.31) 1 + C4P0 1 + CePo
Nótese, en primer lugar, que la expresión del factor de equivalencia T — p — t
es idéntico al de William, Landel y Ferry (1.4.27) con la temperatura reducida en
6p. Por tanto, el efecto de la presión es equivalente a un enfriamiento. Por otra
parte, la ecuación para 6p es relativamente compleja y está destinada a describir
el comportamiento a presiones muy elevadas (de varios miles de atmósferas, o
varios centenares de MPa). Para presiones relativamente pequeñas (del orden de
decenas de MPa) puede adoptarse una aproximación lineal en la que, tomando
Po — 1 atm = 0.1 MPa, y tomando p com^o presión manométrica resulta
OpP^Cip (1.4.32)
donde la constante C3 es del orden de imas décimas de grado por MPa.
1.4.4 Influencia de l t i e m p o d e curado
Las ecuaciones anteriores son útiles para polímeros estables, cuyas propiedades a
temperatura constante no cambian —o cambian lentamente— con el tiempo. Las
resinas epoxi endurecen con relativa velocidad y su viscosidad cambia en pocos
minutos u horas desde valores relativamente bajos hasta valores prácticamente
infinitos, cuando se convierte en un sólido.
El estudio del aumento de la viscosidad con el tiempo en resinas epoxi ha
sido estudiado fvmdamentalmente en condiciones isotermas (Hollands y Kalnin
1970; Mussatti y Macosco 1973; Roller 1975; Dusi et al. 1987; Yan et al. 1990).
1.4. El comportamiento Teológico de la resina 27
La ecuación más simple y extendida para describir la evolución de la vis
cosidad de resinas epoxi con el tiempo en condiciones isotermas, es la simple
exponencial (HoUands y Kalnin 1970; Roller 1975):
V = VOT e'^' (1.4.33)
donde rjor es la viscosidad inicial a la temperatura T a la que se hace el ensayo y
kr una constante cinética también a la temperatura correspondiente.
De acuerdo con ésto, el gráfico 77-í en un diagrama semilogarítmico debe
ser lineal. Pero la experimentación demuestra que la curva no se ajusta a este
esquema más que en la fase inicial, de forma que el crecimiento de la viscosidad
con el tiempo es más que exponencial; basten para muestra los dos ejemplos que
siguen.
Como primer ejemplo, la Fig. 1.4.3 recoge los resultados de Roller (1975) para
una resina epoxi erisayada a 170 °C. Como puede verse la curva log 77-í es cóncava
hacia arriba, lo que indica un crecimiento más rápido que el exponencial. Roller
resuelve el problema usando dos exponenciales, una para tiempos cortos y otra
para estadios más avanzados de la reacción, como indican las líneas de trazos,
una solución a todas luces insatisfactoria desde el punto de vista científico.
El segundo ejemplo corresponde a los resultados de Dusi et al. (1987) que en
sayaron una resina a varias temperaturas, entre 140 y 170 °C. Las correspondien
tes curvas 77-í en un diagrama semilogarítmico son las mostradas en la Fig. 1.4.4.
De nuevo se aprecia una variación sobre-exponencial de la viscosidad con la
temperatura.
Volviendo a la exponencial (1.4.33), es preciso definir la dependencia con
la temperatura de las dos constantes que allí aparecen. La forma más usual es
suponer que tanto 77or como hp siguen una forma de Arrhenius (HoUand y Kalnin
1970; Roller 1975). De esta manera la ecuación de variación de la viscosidad con
la temperatura y el tiempo (en condiciones isotermas) queda
77 = 770 e x p H 1 1
'Rf~Th e""", kT = k^exp(^] (1.4.34)
28 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
«2
CU ^^ T 3 «i
J2 o o cfl
">
100
10
1
'
•^. o. , , 1
170 °C X /
/ ^
o/-yf
¡?>/
o ^ / ^^ J3
0.5 1 1.5
t (min)
2.5
Figura 1.4.3: Aumento de la viscosidad de una resina epoxi con el tiempo cuando se cura en
condiciones isotermas a 170 °C (Roller 1975).
100
10
.•2 1 O O
0.1
0.01 O 10 20 30 40 50 60 70 80
tiempo (min)
Figura 1.4.4: Aumento de la viscosidad de una resina epoxi con el tiempo de curado para varias
temperaturas (Dusi et al. 1987).
1.4. El comportamiento reológico de la resina 29
donde 770 es la viscosidad inicial a la temperatura TQ, yH,H'y koo son coiistantes;
R es la constante tiniversal de los gases ideales.
Esta teoría es sólo válida para procesos isotermos. Para procesos anisotermos,
RoUer (1985) propuso cambiar el factor exponencial e' * de (1.4.33) y (1.4.34) por
una exponencial e^ donde
X=fkTdt (1.4.35)
con kr dado por la segunda ecuación de (1.4.34).
En formulaciones más recientes la variable x de la ecuación anterior ha sido
sustituida por una magnitud con un sentido físico directo: el grado de curado
a. El grado de curado mide la fracción de resina que ha gelificado y su de
terminación analítica está relacionada con la ecuación que rige la cinética de la
reacción; su determinación experimental se hace mediante calorimetría de bar
rido. El grado de curado viene dado por la integral:
a = /* h{T)^ dt (1.4.36)
donde h(T) es una función de la temperatura, característica del material, y /?
es la derivada temporal de ¡3, el grado de reacción isoterma , cuya evolución
(velocidad de reacción) está determinada por una ecuación diferencial del tipo
P = kp{p,T) (1.4.37)
donde la función k0{-) caracteriza la cinética de la reacción.
El caso más sencillo es aquel en que la velocidad de reacción a temperatura
constante es también constante (en este caso se dice que la reacción es de orden
cero). En dicho caso el grado de curado a tiene una expresión muy sencilla:
a= ¡\{T)kB{T)dt (1.4.38) JO
La semejanza de esta ecuación con la (1.4.35) es patente.
Lee, Loos y Springer (1982) y Dusi et al. (1987) proponen que la evolución de
la viscosidad con el tiempo esté relacionada con la temperatura y con el grado
de curado por la ecuación
El. _ J_ 'Rf~¥o
77 = 770 e x p e^"" (1.4.39)
30 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
donde K es una constante (independiente de la temperatura).
Evidentemente, para una reacción de orden cero y condiciones isotermas, esta
ecuación jimto con la (1.4.38) lleva a la expresión exponencial (1.4.34) si se toma
kr = Kh{t)kp{T). Si el proceso es anisotermo se obtiene la expresión integral de
RoUer, Ec. (1.4.35).
Dusi et al. utilizan, para describir la evolución de su resina, una cinética de
reacción de orden superior:
/¿=(A;l + A;2/?"^)(l-/5)^ ki = Aiexp{-Hi/RT) {i = 1,1.) (1.4.40)
donde Ai,A2,Hi,H2,myq son constantes que se determinan a partir de ensayos
de calorimetría diferencial. Combinando esta ecuación con la (1.4.36) en la que
h{T) —determinada por calorimetría diferencial de barrido— es una función
lineal en T para temperaturas inferiores a 480 °K, Dusi et al. pueden calcular
la evolución de a a lo largo del tiempo y representar la evolución de la viscosi
dad frente a dicha variable. La Fig. 1.4.5 muestra la curva resultante para una
temperatura de 140 °C. Como puede verse, la condición de que la viscosidad
evolucione de forma exponencial con a no es aproximada más que para valores
de a por debajo de 0.15 aproximadamente.
De acuerdo con ésto, puede decirse que aunque la idea de relacionar la vis
cosidad con el grado de curado, más que con el tiempo, es muy atractiva y
científicamente más correcta, la dependencia exponencial supuesta por los au
tores no es válida más que para los instantes iniciales.
Por otra parte, no se ha encontrado en la literatura ningtin análisis que con
sidere resinas con comportamiento no newtoniano. Por ello, en el Capítulo 2 ex
tenderemos la idea de los materiales termo-reológicamente simples para incluir
de forma sistemática el efecto de la gelificación en materiales no newtonianos,
atinque lo restringiremos al caso isotermo.
1.5. El flujo de la resina en la grieta 31
100
0.01 0.05 0.1 0.15 0.2
grado de curado, a
0.25 0.3
Figura 1.4.5: Alimento de la viscosidad de una resina epoxi con el grado de curado para 140 °C
(Dusietal. 1987).
1.5 El flujo de la resina en la grieta
En esta sección revisamos los conocimientos disponibles sobre las ecuaciones
que gobiernan, o pueden gobernar, el flujo de la resina en tina grieta, desde un
punto de vista macroscópico. Esto significa que las ecuaciones deben ser capaces
de representar aproximadamente el flujo sin requerir la modelización explícita
de los detalles microscópicos de la grieta.
Esta última condición es necesaria porque no parece razonable ni posible
hacer una modelización de una estructura de gran tamaño, con una zona inyec
tada del orden de metros, que requiera afinar detalles geométricos del orden de
centésimas de milímetro, como sería necesario para representar adecuadamente
la rugosidad de la grieta.
Con esta premisa en mente, se ha encontrado que de las distintas metodo
logías de investigación de procesos de inyección de la bibliografía, el grupo de
investigaciones sobre moldeado bajo presión, generalmente de polímeros, no
32 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
aporta métodos aplicables a nuestro caso, porque un aspecto fundamental en
los problemas de moldeo es la complejidad geométrica del molde, que debe
describirse pormenorizadamente (White y Dee 1974; Wu, Huang y Gogos 1974).
Otro grupo de investigadores importante analiza el flujo de fluidos de tipo
newtoniano entre placas paralelas desde el punto de vista de la estabilidad del
flujo (Couder 1988; Deustcher 1988; Hinch 1988; Vicsek 1988a, 1988b). En parti
cular analizan el flujo radial entre placas paralelas de un fluido que se inyecta en
otro fluido de mayor viscosidad (célula de Hele-Shaw, véase p.ej. Vicsek 1988a).
En dicho caso se observa que se producen inestabilidades y la inyección pierde
la simetría de revolución adoptando una estructura en pétalos ramificados. Sin
embargo, éste no es el problema que se nos plantea a nosotros porque de haber
algún fluido en la grieta, éste sería agua, y la resina tiene una viscosidad va
rios órdenes de magnitud superior a la del agua, por lo que el problema de la
inestabilidad no nos afecta.
El tercer grupo está formado por investigaciones sobre circulación de agua o
suspensiones acuosas (lechada de cemento) en grietas, juntas o diaclasas, natu
rales o artificiales, en rocas y hormigón. Aunque los resultados cuantitativos no
pueden ser aplicados a nuestro caso, las investigaciones de este grupo contienen
conceptos que son de interés para nuestro problema y vamos a describirlos con
cierto detalle.
Por cuestión metodológica comenzaremos por describir el flujo de un líquido
newtoniano en ima grieta lisa (es decir, entre placas de caras paralelas) y pasare
mos luego a estudiar la influencia de la rugosidad.
1.5.1 Flujo de fluidos newtonianos en una grieta lisa
Consideremos en primer lugar el caso de flujo rectilíneo (y laminar) entre placas
paralelas horizontales, tal como esquematiza la Fig. 1.5.1, en la que suponemos
que la distancia entre placas w es mucho menor que las dimensiones en el plano
de las mismas. Este problema es clásico y está resuelto en la mayoría de libros
de mecánica de fluidos (ver por ejemplo Hughes y Brighton 1967).
1.5. El flujo de la resina en la grieta 33
(a)
w/2
w/2
(b)
I-Figura 1.5.1: Flujo rectilíneo entre placas paralelas o en fisura lisa (a) y ejes asociados a la fisura
(b).
La solución es que el perfil de velocidades es parabólico y que el gradiente de
presión en la dirección de la corriente está relacionada con la velocidad media
por
(1.5.1) dp 12r)_
donde 77 es la viscosidad, w la separación entre placas y vi la velocidad media
(promediada en el espesor de la capa de fluido):
1 f^n
-•wjl
Cuando se despeja la velocidad media, el resultado es una ecuación similar
a la ecuación de Darcy para el flujo en materiales porosos:
1 /•^"/2 Vi^ — Vi{x3)dX3
W J-w/2 (1.5.2)
Vi = k / dp
k' = w (1.5.3) dxi ' •" 1277
donde k' es un coeficiente de conductividad.
Es conveniente definir la densidad media de corriente por vmidad de ancho
de placas, que, en este caso, viene dada por
-wjl Qi
rw/2 = Wf l = / Vi(x3)dX3
J-w/2 (1.5.4)
Con esta definición, la ecuación de Darcy se rescribe como
Qi = k-— , k = 7 ^ ^ = ke (1.5.5) 'dxi ' •• 1277
donde k es el coeficiente de transmisividad, o transmisividad de la grieta, que
como veremos es tm concepto más general, y definimos ke como el valor para
grieta de caras lisas y paralelas.
34 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Nótese que en la mayoría de los trabajos que hacen refencia a flujo de agua,
se utiliza el gradiente hidráulico en lugar del gradiente de presión. La única
modificación es un factor pg, donde p es la derisidad del fluido y ^ la aceleración
de la gravedad.
Las ecuaciones anteriores, que se han escrito para un flujo paralelo al eje xi
pueden generalizarse tomando dos ejes cartesianos x\ y X2 en el plano medio de
la fisura (Fig. 1.5.1b). En este caso se tiene
w qi = kp^i, ^ = T2~ i = 1,2 (1.5.6)
donde los subíndices se refieren a los dos ejes contenidos en el plano de la fisura
y hemos abreviado escribiendo dp/dxi = p_i.
La ecuación de flujo (1.5.6) se denomina muchas veces la ley cúbica debido a
que la transmisividad k varía con el cubo de la apertura w de la grieta.
1.5.2 Flujo de fluidos n e w t o n i a n o s en grietas rugosas abiertas
Varios autores han intentado adaptar la ley cúbica anterior, válida sólo para
régimen laminar y placas lisas, a grietas rugosas y a flujo turbulento. En nuestro
caso, en que la viscosidad de la resina es enorme, las condiciones son siempre de
régimen laminar, por lo que ignoraremos los desarrollos para flujo turbulento,
aunque sí recogeremos los límites en el que el flujo permanece laminar.
De acuerdo con Amadei e lUangasekare (1992) hay tres fiíentes de modifi
cación en la ley cúbica: La micro-rugosidad debida a las imperfecciones superfi
ciales en pequeña escala, la tnacro-rugosidad debida a las ondulaciones grandes
de la superficie, y el zigzagueo de la corriente debido a zonas de contacto y / u
oclusión.
Para grietas abiertas, Louis (1969) basándose en un trabajo previo de Lomize
(1951), realizó una extensa investigación experimental de flujo, tanto laminar
como turbulento, en fracturas producidas en hormigón. El gráfico de la Fig. 1.5.2
muestra la zona en la que el régimen es laminar, definida en términos del número
1.5. El flujo de la resina en la grieta 35
0.1 >
T3 ni
."2 O 0.01
0.001
•N
laminar ley cúbica modificada
\ \
\
100
\
laminar ley cúbica
X
turbulento
1000 Re = 2300
numero de Reynolds
10
Figura 1.5.2: Zonas de flujo laminar (segiin Louis 1969, simplificado)
(1.5.7)
de Reyriolds Re y de la rugosidad relativa e, definidas como
2pg h -ríe — , £ — TT-
rj 2w
donde p es la densidad del fluido, q el caudal por unidad de anchura antes
definido y 77 su viscosidad; h es la rugosidad absoluta o valor medio de la altura
de las asperezas y IÜ es la apertura de la grieta.
Para régimen laminar, Louis (1969) obtuvo que para pequeñas rugosidades
relativas (e < 1/30) la ley cúbica es suficientemente aproximada. Para mayo
res rugosidades relativas la ley de flujo sigue siendo lineal en qi y p^i, pero la
transmisividad se reduce según la ley
k^ w^ (1.5.8) 1277 l + 8.8£i-5
Una ley similar pero con un valor diferente del factor 8.8 fue previamente
obtenida por Lomize (1951) para fracturas en roca y ha sido posteriormente
confirmada por Amadei e lUangasekare (1992) usando rugosidad artificial con
seguida pegando granos de arena a dos placas planas, tal como esquematiza la
Fig. 1.5.3.
36 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
Figura 1.5.3: Esquema de la simulación de la micro-rugosidad mediante pegado de granos de
arena a placas lisas (según Amadei e lUangasekare 1992)
La ecuación correspondiente para la transmisividad en régimen laminar es
,.3 1 k = w (1.5.9)
1277 1+At& -
donde // = 17 para los ensayos de Lomize (1951), /x = 8.8 para los ensayos de
Louis (1969) y /í = 42 para los ensayos de Amadei e lUangasekare (1992). Según
estos últimos autores, las diferencias entre unos y otros coeficientes pueden es
tribar en la diferente forma de simular la rugosidad en los distintos experimentos.
Basándose en sus propios experimentos, Amadei e lUangasekare proponen
otra expresión que tiene una forma muy similar a la anterior y puede ser analí
ticamente conveniente. Dicha expresión es la siguiente:
{w - l.lhf k = w (1 - l.leY (1.5.10)
1277 12?7
La ventaja de esta ecuación estriba en que la forma matemática es idéntica a
la de la fisura lisa sin más que un cambio de origen en la apertura de grieta.
La Fig. 1.5.4 ilustra la tendencia de las curvas anteriores comparados con los
resultados experimentales de Amadei e lUangasekare (1992).
Los resultados anteriores se refieren a grietas planas en promedio y de caras
paralelas, y la rugosidad debee entenderse como micro-rugosidad, es decir, ru
gosidades de tamaño inferior al de la apertura de la grieta. A pesar de ello algunos
autores sugieren que la fórmula de Louis puede tener en cuenta simultáneamente
los efectos de la micro-rugosidad, de la macro-rugosidad u ondulación y de los
contactos locales (Schrauf y Evans 1986).
1.5. El flujo de la resina en la grieta 37
1.0
0.8
0.6
^ \ \ 0.4
0.2
0.0
"x -- - cbov \ >
\ ) \ - \
\ " - ^ V \ \ vv ° ""
D ^ ^ v \ \
o V A A "^
k i^=( l -2 .2e )^ w
h (mm) o 0.292 D 0.579 A 1.21
^ / fx = 8.8 (Louis) ^ i/
^ C /11 = 17 (Lomize) - / - -
^y ^-^ ^ ^ ~~" -• " - . ^
Sw "^^
V ^ A A ^ ^ A - ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = 42 Amadei e /^"•^-^^^^ ~"
lUangasekare ^ —
0.0 0.1
rugosidad relativa e =
0.2 _h_ 2w
0.3
Figura 1.5.4: Curvas de variación de la transmisividad con la rugosidad. Las curvas de trazos
corresponden a la ecuación (1.5.9) y la curva continua a la (1.5.10). Datos experimentales de
Amadei e lUangasekare (1992).
Sin embargo, Louis (1969) y Amadei e lUangasekare (1992) indican que las
ondulaciones de la grieta alargan el camino recorrido por el fluido y, en conse
cuencia, disminuyen la transmisividad aparente. La diferencia entre la micro- y
la macro-rugosidad puede verse en la Fig. 1.5.5. Louis propuso que el ángulo 9
puede ser un cuantificador de la macro-rugosidad. Tsang y Witherspooñ (1983)
llegaron a proponer que la macro-rugosidad y el desplazamiento tangencial re
lativo de las caras de la grieta son en realidad los que controlan el flujo, y que la
micro-rugosidad sólo produce ruido de fondo.
Sharp (1970) representó la macro-rugosidad como una distribución de dientes
de sierra como los mostrados en la Fig. 1.5.6a. Para este modelo, si se desprecian
las pérdidas de carga localizadas en los codos, la transmisividad disminuye en
un factor igual a la cuarta potencia del coseno del ángulo que forman los dientes
con la dirección media de la grieta:
k = 12^
cos^^ (1.5.11)
38 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
H: macro-rugosidad h: micrcr-rugosidad
Figura 1.5.5: Esquema de la micro y macro rugosidad de ima grieta en roca (según Louis 1969).
( ^ ) ^ ^ (b)0¿\
Figura 1.5.6: Perfiles idealizados para la macro-rugosidad de la grieta: (a) perfil en diente de
sierra (Sharp 1970); (b) perfil ondulado suave.
Elsworth (1984) extendió el análisis de Sharp a perfiles de forma senoidal
como el de la Fig. 1.5.6b, y analizó la influencia de los desplazamientos tan
genciales por métodos analíticos. Amadei e lUangasekare (1992) ensayaron pla
cas corrugadas de forma senoidal y propusieron una forma modificada de la
ecuación de Sharp dada por
w 12í7
(1.5.12)
Sin embargo, es de notar que esta ecuación se ajustó con dos valores de 6 muy
próximos (25 y 27 °) y que la longitud de onda de las ondulaciones correspon
dientes (32 y 70 mm, respectivamente) era muy superior a la apertura de la grieta
(inferior a 8.1 mm).
1.5. El flujo de la resina en la grieta 39
Todas las fórmulas anteriores suponeri que la grieta está completamente
abierta con una apertura constante o variando muy poco alrededor de su valor
medio. En la práctica puede haber casos en que existan zonas de contacto entre
las caras o, más generalmente, zonas impermeabilizadas por depósito de ma
teriales varios. En estos casos el flujo se reduce sustancialmente y es preciso
modificar la transmisividad mediante im factor de reducción. Podemos escribir
esto poniendo que la transmisividad total es igual a
/c = A;oCc (1-5.13)
donde ko es la transmisividad en ausencia de contactos y (c el factor de reducción
por contacto.
Louis (1969) simplemente propuso que el factor de reducción fuera la fracción
de grieta abierta, igual a uno menos la fracción de área en contacto c:
Cc = l - c (1.5.14)
Iwai (1976) realizó modelizaciones numéricas y también ensayos sobre grietas
planas lisas de caras paralelas hechas en granito en las que distribuía obstáculos
de bronce para simular las zonas de contacto. Los resultados experimentales
resultaban algo menores que los numéricos, y había tina importante dispersión
en los resultados. A pesar de todo, obtuvo un ajuste aceptable de los mismos
con la ley hiperólica siguiente para el factor de reducción:
Cc = ^ (1.5.15)
Otros autores han buscado el factor de reducción basado en la analogía
eléctrica con un medio conductor bidimensional con inclusiones aislantes (Walsh
1981; Tsang 1985; Chen et ül. 1989). Los resultados pueden resumirse en la
fórmula hiperbólica
<o = l ^ (1.5.16,
donde el coeficiente P depende de la forma de las zonas de contacto. Para
contactos circulares, /? = 1, se obtiene la fórmula propuesta por Walsh (1981), y
40 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
para contactos elípticos
P = ^ ^ (1.5.17)
donde a es el cociente entre las longitudes de los ejes menor y mayor de las elipses.
Amadei e lUangasekare (1992) realizaron recientemente ensayos usando placas
lisas de hormigón con discos de neopreno para simular las áreas de contacto. Sus
resultados indican que la fórmula de Iwai {13-15) describe razonablemente bien
los resultados, sobre todo para áreas de contacto por debajo del 25% del total.
Para resumir, podemos decir que la formulación más general que se deduce
de la literatura es que la transmisividad de una grieta abierta (con posibles zonas
de oclusión) puede expresarse por la ley cúbica afectada de tres factores de
reducción:
^ = ^ C O C c (1.5.18)
donde Ce es el coeficiente de reducción por micro-rugosidad, (0 el factor de cor
rección debido a la macro-rugosidad u ondulación y Ce el factor que toma en
cuenta la fracción de la grieta que está ocluida (por contacto entre las caras o por
colmatación).
1.5.3 Flujo de fluidos newtonianos en grietas comprimidas
Aunque, como ya se ha indicado, en la inyección de resinas muy viscosas a alta
presión la grieta está abierta en la zona en que se produce el flujo, comentamos
en este apartado brevemente el problema de las grietas sometidas a presión, para
tener una panorámica completa de los trabajos sobre circulación de fluidos en
grietas de geomateriales.
Cuando se rompe un bloque de un material como el hormigón, mortero o roca
(Fig. 1.5.7a) se forma una grieta en la que sus dos caras tienen formas geométricas
que encajan una en la otra. Diremos para abreviar que la grieta es congruente.
En principio pueden aproximarse de nuevo las dos partes del bloque hasta en
cajar perfectamente. Sin embargo, aunque se tomen todas las precauciones para
conseguir que una parte encaje en la otra, el ajuste nunca es perfecto y quedan
1.5. El flujo de la resina en la grieta
a
41
+a +a
+AL - +w
Figura 1.5.7: (a) Fractura congruente de un bloque, (b) Fractura sometida a compresión, (c) Cur
vas presión-acortamiento total, (d) Curva carga-cierre de grieta.
holguras: la grieta queda parcialmente abierta.
Esta abertura puede disminuirse a base de aplicar una compresión a la grieta
como ilustra la Fig. 1.5.7b. Si se registra el acortamiento de la probeta con la
presión se obtiene una curva con el aspecto de la Fig. 1.5.7c, en la que se indica
que si a continuación se descarga, se observa un acortamiento remanente. Si
se sustrae del acortamiento total el acortamiento elástico del material fuera de
la grieta, queda una curva como la mostrada en la Fig. 1.5.7d que representa el
cierre de la grieta, en la que se esquematiza también el cierre permanente, debido
al aplastamiento de asperezas y al encaje forzado por la presión.
Para las grietas congruentes, diversos autores han propuesto relaciones la ten
sión y el cierre de grieta de tipo hiperbólico (Goodman 1976; Bandis, Lumsden
y Barton 1983):
a = So-Aw
(1.5.19) WQO + Aw
donde a es la tensión normal (positiva en tracción), Aw la variación aparente
de apertura de grieta (positiva si aumenta), 5o un módulo de rigidez inicial y
WQO el máximo cierre de grieta. 5*0 y WQ se obtienen de ajuste de resultados ex
perimentales, aunque Bandis, Lumsden y Barton (1983) han propuesto fórmulas
empíricas para determinarlos a partir del coeficiente de rugosidad de la grieta
(JRC), resistencia a compresión de la grieta (JCS) y resistencia a compresión de
la zona sana (fe). Véase la referencia citada para más detalles.
42 Capítulo i. Introducción y antecedentes
Para grietas en que las superficies de sus caras no encajan — que llamamos
incongruentes— el fenómeno del cierre de grieta bajo presión es todavía más
acusado. Para éstas no existe un máximo cierre de grieta y las ecuaciones pro
puestas son de tipo logarítmico (Bandis, Lumsden y Barton 1983; Swan 1983) o
potencial (Swan 1983; Gangi 1978):
_ _ - Aiü = ao + ai In( -a) para cr < O (1.5.20),
- A w = bai-af para cr < O (1.5.21)
Mención aparte merece el modelo de Lombardi (1987ab, 1988,1989) que con
sidera un macizo rocoso con im sistema de fisuras incongruentes paralelas. El
modelo supone que las grietas tienen ondulaciones de altura WQQ que pueden
aplastarse completamente por aplicación de la compresión adecuada — (JOO- El
modelo supone que al alcanzar este nivel de compresión el macizo se comporta
de forma totalmente elástica, que a compresiones inferiores la respuesta global
del macizo es de tipo potencial y que la transición se produce con derivada
continua. Esto lleva a que si el espaciamiento de las grietas es L, la relación entre
la tensión y la apertura de las grietas individuales venga dada por:
A«; = - ^ o o f — ) ' ' - ^ , N = ^ p a r a a < 0 (1.5.22)
donde E es el módulo de elasticidad de la roca sana. Esta ecuación está diseñada
para llegar a tina curva tensión-deformación de tipo potencial para macizos con
distribuciones uniformes de grietas, y no es aplicable a una grieta aislada (nótese
que si L se hace muy grande la ecuación degenera en un escalón). Por otra parte
no parece que exista comprobación experimental directa para una grieta aislada.
Puesto que el grado de compresión de la grieta modifica su apertura, debe
modificar también su permeabilidad. Los modelos relacionan la permeabilidad
de las grietas comprimidas con el rüvel de compresión. El modelo de Walsh
(1981) relaciona la raíz cúbica de la transmisividad con la tensión de compresión
a través de una ley logarítmica:
\koJ wo ao
1.5. El flujo de la resina en la grieta 43
donde A;o es la transmisividad a la tensión de referencia CTQ, hRMS el valor cuadrá-
tico medio de la altura de las asperezas y WQ la apertura a la tensión de referencia.
Esta ecuación ha sido rescrita por Amadei e Illangasekare (1992) como
k^l^ = k\'^-M\n\a\ (1.5.24)
donde se aprecia que la ecuación tiene solamente dos parámetros libres: La
transmisividad ki a una tensión de 1 MPa y el coeficiente M, valores que pueden
ajustarse con facilidad a partir de resultados experimentales. Nótese sin embargo
que la ecuación logarítmica no puede ser válida por debajo de ciertos valores de
la compresión, porque la transmisividad se haría infinita para tensión nula, lo
que no es admisible.
Otra ecuación utilizada para representar la influencia de la tensión es la de
sarrollada por Gangi (1978) que da la transmisividad en la forma
[ff^-^-iSÍ donde A;o es la transmisividad a compresión nula y PQ y "^ son constantes. PQ es
del orden de la décima a la centésima parte del módulo de compresibilidad del
material de las asperezas, y m está relacionado con la distribución de la rugosi
dad. Nótese que en este modelo sí se puede producir una transición continua de
fisura comprimida a fisura abierta.
Lombardi (1988,1989) describe la variación de permeabilidad para sistemas
de grietas comprimidas en función del cierre de la grieta respecto del estado
sin comprimir. Su modelo está basado en suponer que los contactos son islotes
con simetría hexagonal entre los que circula el fluido. A partir del estudio de
la corriente en los canales entre islotes puede deducir las ecuaciones de flujo
promedio. Su método requiere vin cálculo específico para cada topología de
grieta supuesta y no da lugar a ima expresión cerrada.
44 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
1.6 Objetivos concretos de la tesis
A la vista de los resultados de la revisión bibliográfica es evidente que no existen
en la literatura ecuaciones directamente aplicables a la resina que nos ocupa, ni
en cuanto a sus propiedades Teológicas ni en cuanto al flujo en una grieta, puesto
que sólo se han encontrado ecuaciones semi-empíricas para fluidos newtonianos.
Por ello pareció razonable, al-plantear la investigación, dedicar una parte im
portante al estudio experimental del comportamiento reológico de la resina y al
flujo de la resina en la grieta, al tiempo que se intentaba avanzar en el modelo de
inyección seleccionando una geometría sencilla y usando un hipotético fluido
newtoniano, para el que sí se dispone de ecuaciones suficientemente aproxi
madas. Una vez caracterizada la resina y desarrollados los modelos básicos
para describir su comportamiento, estaríamos en condiciones de desarrollar el
modelo de inyección de resina.
Como ya se ha indicado, el hecho de que la inyección se produzca en una
zona pequeña tridimensionalmente es esencial en el proceso estudiado, por lo
que se eligió como geometría la de una inyección axisimétrica de una grieta
horizontal cerrada por acción gravitatoria, cuyo tratamiento analítico y numérico
es razonablemente sencillo.
El diagrama de bloques temáticos desarrollados en la tesis se esquematiza
en la Fig 1.6.1, en la que los recuadros sombreados corresponden a experimen
tación. Como puede verse en dicho diagrama, la tesis se articula en dos ramas
principales, una esencialmente teórica (a la izquierda en el gráfico) y otra basada
en la experimentación, que finalmente confluyen en el problema central de la
inyección. Ambas ramas se han desarrollado prácticamente en paralelo.
La rama teórica se centra en los siguientes objetivos:
1. Determinar las ecuaciones que relacionan las deformaciones de la estruc
tura, particularmente las aperturas de la fisura, con la distribución de pre
siones de inyección.
2. Desarrollar las ecuaciones que gobiernan la circulación de un fluido new-
1.6. Objetivos concretos de la tesis 45
deformación estructural
flujo fluido newtoniano
inyeccióri fluido newtoniano
modelo reológico resina
riH)mol riel ilcísiCil
roomi'lnn fliij(> riidi.ll
ri.'om(.'ln\i en i;t"K'tii
modelo flujo de resina
myeccion de resina
Figura 1.6.1: Esquema de objetivos y desarrollo de la tesis.
toniano en una grieta partiendo de un taladro de inyección.
3. Acoplar los dos grupos de ecuaciones para estudiar un proceso de inyección
con circulación del fluido y deformación simultánea de la estructura.
4. Desarrollar las herramientas numéricas necesarias para tratar el problema.
Por otro lado, como sabemos desde un principio que la resina es no new-
toniana, pero no tenemos datos que permitan seleccionar un modelo, la rama
experimental debe cubrir los siguientes objetivos:
5. Determinar ima ecuación constitutiva para la resina que permita describir
adecuadamente la reología de la misma, incluyendo el efecto de la tempe
ratura y del tiempo de curado.
6. Ensayar el flujo radial de la resina en una grieta de caras lisas y paralelas y
verificar la aplicabilidad de las ecuaciones de flujo deducidas de la ecuación
constitutiva y las ecuaciones de la mecánica de fluidos.
46 Capítulo 1. Introducción y antecedentes
7. Ensayar el flujo radial de la resina en una grieta rugosa para extender el
modelo a este tipo de grietas.
Finalmente, las dos ramas se unen para cubrir el objetivo central:
8. Implementar las ecuaciones de flujo de la resina en las ecuaciones de in
yección de macizos deformables y modificar las herramientas numéricas
para tratar el problema.
Capítulo 2
Análisis teórico
En este capítulo presentamos los desarrollos teóricos que sustentan la propuesta
de un método novedoso y prometedor para el análisis de inyecciones de grandes
grietas con resinas muy viscosas a alta presión.
Empezamos por establecer las bases del cálculo de deformaciones, muy par
ticularmente del cálculo de la abertura de la fisura provocada por las presiones de
inyección (§2.1). A continuación se van introduciendo las ecuaciones necesarias
para describir el flujo del líquido en la grieta; las ecuaciones generales primero
(§2.2), seguidas de algunos casos particulares de interés, especialmente grietas
de caras paralelas inyectadas con fluidos newtonianos (§2.3), para culminar con
la inyección de un macizo deformable con un líquido newtoniano (§2.4) y con un
líquido newtoniano generalizado de tipo potencial (§2.5). En estas dos últimas
secciones se describen brevemente los métodos de cálculo desarrollados para el
análisis numérico del sistema de ecuaciones integro-diferenciales que rigen el
fenómeno, cuyos resultados se discutirán en el Capítulo 4.
47
48 Capítulo 2. Análisis teórico
Elástico
Figura 2.1.1: Estructura fisurada sometida a tensión.
2.1 Aplicación de la mecánica de la fractura a proble
mas de inyección
2.1.1 Fundamentos de la aproximación.
Usualmente la mecánica de fractura se aplica a cuerpos que contienen una fisura,
tal como se esquematiza en la Fig. 2.1.1 para determinar para qué carga (o com
binación de cargas) la fisura crecerá, dada la resistencia del material al avance
de la grieta. Sin embargo existen aplicaciones más avanzadas de la mecánica de
la fractura como son (1) la determinación del tamaño que una grieta alcanzará,
una vez iniciado su crecimiento, bajo cargas dadas, y (2) la determinación de las
deformaciones de la estructura fisurada.
El caso que aquí interesa es el de una estructura con una grieta preexistente
muy larga y precomprimida, que se abre localmente debido a las fuerzas de
presión, tal como indica la Fig. 2.1.2. El objetivo es, primero, determinar la zona
Sa en la que se ha perdido el contacto debido a la presión de inyección, y, segundo,
determinar la apertura de grieta en todo pvinto.
Supongamos en primer lugar que la grieta preexistente fuera perfectamente
congruente, es decir, que sus caras encajaran perfectamente en todos sus pun
tos. En estas circunstancias el efecto de la grieta es mecánicamente inapreciable
siempre que esté comprimida y que las tensiones de corte que aplicadas sobre
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 49
(a)
JLP
Po
Po
(b)
^
- s , - »
Po
í I iPo
Figura 2.1.2: (a) Esquema de vina grieta comprimida que se abre cuando se inyecta. La zona
abierta Sa debido a la presión de inyección debe determinarse como parte del problema, (b) En
las zonas comprimidas es como si la grieta no existiera.
ella sean pequeñas (para que no haya deslizamiento). Es decir, desde el punto de
vista de las deformaciones del cuerpo es como si en las zonas comprimidas la grieta
no existiera. El resultado es que podemos tratar el problema de la inyección
esquematizado en la Fig. 2.1.2 como tm problema clásico de fractura con una
grieta real extendida a ¿"a en un medio aparentemente continuo. Que el medio
no es en realidad continuo, sino que ya está agrietado se nota solamente porque
la resistencia (aparente) del material al avance de la grieta es nula, puesto que
en realidad el material ya está roto.
2.1.2 Fundamentos de mecánica de fractura elástica y lineal
En mecánica de fractura elástica lineal hay dos aproximaciones equivalentes: La
global, que hace uso de conceptos energéticos, y la local, que hace uso de conceptos
tensionales (véase, por ejemplo, Elices 1995).
En la aproximación local se analiza el campo tensional en el entorno de la
punta de la fisura para establecer un criterio que permita establecer cuando
la fisura se extenderá, y es el que describiremos de forma muy simplificada a
continuación.
50 Capítulo 2. Análisis teórico
Figura 2.1.3: Coordenadas en el aitomo del extremo de la grieta.
Consideremos por simplicidad casos, como el de la Fig. 2.1.1 por ejemplo, en
que existe simetría geométrica y de carga respecto del plano de la grieta. Esto
implica que el desplazamiento relativo de las caras de la grieta es perpendicular
al plano de la grieta y que, por tanto, no hay deslizamiento. Se dice entonces
que la grieta está sometida a un modo de apertura pura o que está solicitada en
modo I.
Un análisis elástico relativamente sofisticado (véanse por ejemplo: Kanninen
y Popelar 1985; Broek 1986; Anderson 1991) lleva a la conclusión de que el estado
tensional en las proximidades de la punta de la grieta tiene siempre la misma
forma matemática y está totalmente determinado por un único parámetro, de
nominado factor de intensidad de tensiones Kj. En concreto, el estado tensional
respecto de unos ejes como los de la Fig. 2.1.3 tiene la forma:
\/2TTr ^Pij{e) (2.1.1)
donde ^ij{6) son funciones universales, es decir independientes de la geometría
y carga concreta de que se trate.
De acuerdo con lo anterior, si en una probeta de un material dado ima
fisura crece cuando Ki toma un cierto valor crítico Kic, cualquier otra grieta
en cualquier otra estructura del mismo material debe crecer para ese mismo
valor de Kj, puesto que el estado tensional local (en la punta de la grieta) es el
mismo. Por lo tanto, el criterio local de fractura establece que la grieta crece
cuando
Ki - Ki, (2.1.2)
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 51
En esta ecuación Ki es un parámetro mecánico que se calcula mediante análisis
elástico lineal y depende de la geometría y de la carga, y Kjc es la tenacidad de
fractura para el material dado, parámetro de resistencia que debe medirse.
El cálculo directo de Kj es en general complicado y se recurre siempre que
es posible a soluciones calculadas por especialistas que se encuentran recogidas
en manuales (e.g: Tada, Paris e Irwin 1985).
Típicamente, las expresiones de Ki para casos bidimensionales (placas) com
binan la fuerza aplicada, las dimensiones de la grieta y el tamaño de la estructura
en la forma
Ki = J^^Y{a/D) (2.1.3)
donde F es la carga aplicada, B el espesor de la placa, D una dimensión carac
terística de la estructura en el plano de la placa, o el tamaño de la grieta; Y{a/D)
es un factor adimensional que depende del tamaño relativo de la grieta. En los
manuales se tabula la función Y{a/D) para los distintos casos de carga.
En ciertas tipologías es más conveniente expresar el nivel de carga en términos
de una tensión a o una presión p. En dichos casos la forma del factor de intensidad
de tensiones es
Ki = a^p¡^Y{alD) , Ki = py/^Y{a/D) (2.1.4)
Los tres ejemplos que se esquematizan en la Fig. 2.1.4 son clásicos, y corresponden
a una grieta de longitud 2a en ima placa infinita (entiéndase mucho mayor que
el tamaño de la grieta). Vamos a utilizarlas en el próximo apartado para ilustrar
cómo puede usarse la fractura elástica lineal en los problemas de inyección.
2.1.3 Extensión de la zona abierta por la inyección
Consideremos ahora el problema de la inyección ilustrado en la Fig. 2.1.2. Supon
gamos que la presión de inyección es tal que la fisura (la zona abierta) está pro
gresando. De acuerdo con la condición de fractura elástica lineal debe cumplirse
que Kj = Kjc. Pero puesto que hay una grieta preexistente el material ya está
-52 Capítulo 2. Análisis teórico
(b) (c) (a)
íítííítítíííttíííta
r- 2a-
I i I
Uíumiuiíuui
I i —
¡ ; 1^ I - 2a
a ' ^
I
Ki = a y/im Ki=p ^pña Ki = B ypKa
Figura 2.1.4: Ecuaciones para el factor de intensidad de tensiones para una fisura central en
una placa infinita: (a) Para tensión remota infinita; (b) para presión interior constante; (c) Para
ñierzas concentradas en el centro de la grieta.
roto y por lo tanto tenemos Kic = 0. Por lo tanto, a lo largo del proceso de
apertura de la fisura debe cumplirse la condición
Ki = ^ (2.1.5)
Dadas la presión de cierre de la grieta po y la distribución de presiones de
inyección, esta ecuación permite determinar la zona en la que la grieta está
abierta.
Para ver cómo se maneja esta ecuación en un caso simple, consideremos ima
simulación bidimensional como la representada en al Fig. 2.1.5a, en la que se
supone que la zona inyectada es muy pequeña y se simula la distribución de
presiones de inyección mediante ima carga puntual en el punto de inyección (en
realidad sería una carga en línea a través del espesor de la placa). Como se trata
de un problema elástico, descomponemos el problema original en los mostrados
en las figuras 2.1.5b, c y d (nótese que hay que restar el caso á para que la fisura
quede libre de tensiones).
El caso (b) corresponde a una placa sin grieta, y su factor de intensidad de
tensiones es cero; el caso (c) corresponde a la carga puntual de la Fig. 2.1.4c; y el
caso (d) corresponde al de la Fig. 2.1.4b. Igualando a cero el factor de intensidad
de tensiones resultante tenemos:
Kf + Kf - Kf = - 4 = -VoV^ = Q (2.1.6)
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 53
'(b) (a)
fíífííff Po fflmfííftmííífpo
(c)
1= i T
U I —
Po
K (<=) B y/im
K id) • Po vna
Figura 2.1.5: Caso teórico de grieta inyectada con carga puntual: Esquema de superposición
de casos con solución conocida.
ecuación que se resuelve irunediatamerite para el tamaño de la zona abierta:
F a = TrBpo
(2.1.7)
que muestra que el tamaño de la zona abierta es directamente proporcional a la
fuerza aplicada (fuerza de inyección).Es evidente que este es un problema muy
simple, pero ilustra perfectamente el procedimiento que debemos utilizar.
A partir de aquí buscaremos soluciones a casos axisimétricos que, a tenor de
lo expuesto en §1.2 simulan mucho mejor un proceso de inyección del tipo que
nos interesa.
2.1.4 Inyecc ión axisimétrica puntual
Consideremos una inyección axisimétrica en un macizo indefinido. En este caso
la zona de pérdida de contacto tiene forma circular, tal como ilustra la Fig. 2.1.6.
Para esta geometría se conocen también los factores de intensidad de tensiones
correspondientes a un buen número de formas de carga (véase el manual de Tada,
Paris e Irwin 1985). La Fig. 2.1.7 recoge tres casos típicos que vamos a utilizar a
continuación. Nótese que en esa figura se dibuja sólo una sección meridional.
En el caso axisimétrico con carga de inyección pimtual, el procedimiento de
cálculo es idéntico al del apartado anterior. En particular, la descomposición es
la misma que aparece en la Fig. 2.1.5, excepto que hay simetría de revolución y
que las expresiones de Kj son las de la Fig. 2.1.7. La condición Kj = Ose escribe
54 Capítulo 2. Análisis teórico
A
fZ r--i 1
/ ' i <=:^ I
Figura 2.1.6: Fisura circular en un medio indefinido
(a)
; T P
Kj = —'P^/T^ TT
(b) C j 3
II F |
a -I
Kj -yfim
(c)
h :i
Ki = —p^fña l-^-L-ib/af
Figura 2.1.7: Ecuaciones para el factor de intensidad de tensiones para una fisura circular en
una macizo infinito para: (a) Presión interior constante; (b) fuerzas concentradas en el eje; (c)
zona circular central con presión constante.
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 55
entonces
Kf^ + Kf - Kf) = ^ v ^ - -po V ^ = O (2.1.8) TT^a?- TT"
ecuación que se resuelve inmediatamente para el tamaño de la zona abierta:
""fe ("•'> En este caso el tamaño de la zona abierta crece con la raíz cuadrada de la fuerza,
en lugar de linealmente como en el caso plano. Sin embargo si se considera el
área, en lugar de la dimensión lineal, resulta que su tamaño es en ambos casos
proporcional a la fuerza:
IF Aa = 2aB = para el caso plano (2.1.10)
Trpo Aa = na^ — -— para el caso axisimétrico (2.1.11)
2po donde Aa es el área de la zona abierta.
2.1.5 Inyección axisimétrica con presión de inyección constante
Los ejemplos anteriores son muy sencillos, y corresponden a inyecciones hechas
a muy alta presión en donde la zona inyectada muy pequeña. Un caso también
simplificado, pero más realista, es aquel en que se tiene una presión finita en una
zona de radio b (que se supone conocido). El esquema de superposición es ahora
el de la Fig. 2.1.8, y la ecuación correspondiente es
j^ib) ^ ^(c) _ j^id) ^^p^/^\i_ ^1 _ (i,/a)2l -^p^^^ = o (2.1.12) TT TT
Despejando a de esta ecuación se obtiene
a = 6 ^ (2-^ - 1 1 (2.1.13) Po \ Po J
Esta ecuación sólo es válida para p > po, puesto que en caso contrario la fisura
no se abre. Para comparar con las aproximaciones anteriores, podemos calcular
el área abierta en función de la fuerza de inyección {F = irtí^p). El resultado es
Aa = :f- :r^^- (2.1.14) 2po 2p - Po
^^ Capítulo 2. Análisis teórico
4^ 4^ c]3 4^ MiüÍiíiiMl|Po üiiilUljiiiiilHPo I ' (O ! !(d) Ka). I
(h)
l - ¿ W i l P y '
ffímmfífíTfffíPo íííííTfíTfíffíftTíP,
- i - -
H,4;-vj ¡ ' " """""'^ I ÍÍOTmUp¿
Figura 2.1.8: Caso teórico de grieta iriyectada con presión constante sobre un disco de radio h: Es
quema de superposición de casos con solución conocida. En el caso (c) Y{b/a) = 1 — A/1 — {b/ay.
que es igual a la (2.1.11) multiplicada por el factor 2p/{lp — po), factor que vale
2 para p = Po y disminuye monótonamente, aproximándose a 1 para valores
elevados de la presión de inyección. Para p > 5po la diferencia entre las dos
ecuaciones se ha reducido a un 10% aproximadamente.
Estos resultados permiten esperar que la fórmula (2.1.11) dé correctamente
el orden de magnitud de la zona abierta para la mayoría de casos prácticos de
inyecciones a alta presión.
2.1.6 El caso axis imétrico general
El caso axisimétrico general es similar, conceptualmente, a los anteriores. Lo
único que necesitamos es saber detenninar el factor de intensidad de tensiones
para una distribución arbitraria de tensiones. Para obtener dicho factor de in
tensidad de tensiones nos basanios en la solución elástica para la fisura circular
sometida a una fuerza uniformemente distribuida sobre una circunferencia de
radio arbitrario r, como la mostrada en la Fig. 2.1.9. La solución, debida a Sned-
don (1946, 1951), puede encontrarse en el manual Tada, Paris e Irwin (1985) y
viene dada por:
If r Kj = - ^ (2.1.15)
\fTTa y/a^ — T^
donde / es la fuerza por unidad de longitud a lo largo de la circunferencia de
carga.
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 57
Figura 2.1.9: Fisura circular con uiia carga uniformemente distribuida en una circunferencia
sobre cada cara.
Para obtener el factor de intensidad de tensiones creado por una distribución
de presiones p(r) arbitraria, basta dividir el área de la grieta en coronas circulares
de ancho infinitesimal dr. La fuerza por unidad de longitud en la corona de
radio r es entonces df = p{r)dr y produce un factor de intensidad de tensiones
infinitesimal dado por
dKi = lp{r)
dr (2.1.16) Tra y/a? — r^
Integrando esta ecuación sobre toda la fisura, resulta el factor de intensidad
de tensiones: f" p(r) r pr ^ ^ _ r p[r)r
y/ña Jo JcP- — dr (2,1.17)
\/ña Jo y/a^ — r"-
Una vez determinado el factor de intensidad de tensiones para una dis
tribución arbitraria de presiones, descomponemos el caso real en la forma mos
trada en la fig. 2.1.10 y escribimos que el Ki resultante es cero:
K?-^Kf^-Kf--
que puede reordenarse para dar
2 /•" p{r)r . 2
7ra Jo y/aP- — r ^ dr po \pña = O 2 n
(2.1.18)
Jo o y/a^ — r^ dr — apo = O (2.1.19)
ecuación que permite, dada la distribución de presiones de inyección p{r), de
terminar la extensión de la zona de fisura abierta.
58 Capítulo 2. Análisis teórico
4^ c> ÜMüMlJüi|Po MiUÍiiliiliiiPo
ffímmfímfíTfPo mttttttttffíftTtPo ü:f)^o
+
ÜTf)
4^ -h
+TTTTTlTTt+TTP(jj
2 r_p( V^ Jo Va-
" p{r)r r(d) dr Kf> = -p^/^
Figura 2.1.10: Grieta inyectada con presión arbitraria: Esquema de superposición de casos con
solución conocida.
2.1.7 F u n d a m e n t o del cálculo de la apertura de fisura
Como acabamos de ver, la solución del problema de la inyección puede reducirse
a la superposición de una serie de casos elásticos lineales en los cuales se aplican
presiones a las caras de la fisura. Por lo tanto, los corrimientos, y también las
aperturas de fisura, pueden determinarse por superposición de las soluciones
elásticas correspondientes. Supongamos, en particular, que conocemos la dis
tribución de aperturas producidas por ima carga en circunferencia como la de la
Fig. 2.1.9. Por tratarse de im problema lineal podemos escribir:
w{r) = Gyj(r,r',a)fr' (2.1.20)
donde w{r) es la apertura a la distancia r, r' el radio de la circunferencia de
carga, y f^' la carga por unidad de longitud aplicada sobre dicha circunferencia;
Gyj{r, r', a) es la función de Creen que corresponde al problema planteado y no
es sino la distribución de aperturas para fr' = 1.
Para ima distribución de presiones arbitraria (pero axisimétrica), descom
ponemos la distribución de presiones en coronas infinitesimales de radio r' y
espesor dr', con lo que cada elemento infinitesimal contribuye a la deformación
con dw{r) = Gw{r, r', a)p{r')dr'. La apertura total se escribe entonces como
w{r) = G^{r,r\a)p{r')dr' (2.1.21)
Aunque en los manuales existen funciones de Creen para tin buen número de
casos, no hemos podido localizar la función que corresponde a nuestro problema.
2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 59
Figura 2.1.11: Dominio de integración para el calculo de la apertura
por lo que hemos tenido que calcularla. Las bases y detalles del cálculo se dan
en el Apéndice A. El resultado es que la función de Green viene dada por
8 G^{r, r', a) = —-r' I{r, r', a)
TTE' (2.1.22)
donde
I{r,r',a) = f du (2.1.23)
Desgraciadamente la integral que aparece es elíptica y no puede integrarse
analíticamente. Sin embargo, es posible transformar la expresión para w{r) en
una integral doble que puede tratarse bastante bien numéricamente e integrarse
con sencillez en casos particulares. En efecto, sustituyendo (2.1.23) en (2.2.22) y
el resultado en (2.2.21), obtenemos la siguiente expresión integral:
8 r \ [" du •KE' JO Jmax(r,r') y/v?- - T^^Jlp- - r'2
r' p{r')dr' (2.1.24)
La doble integración que aparece puede interpretarse como una integral de su
perficie en el plano r'-u extendida al dominio trapecial Q definido por la zona
sombreada de la Fig. 2.1.11. Podemos, por tanto, rescribir la ecuación en la forma
^ ' nE'JJa r' p{r')dudr'
(2.1.25)
60 Capítulo 2. Análisis teórico
2.1.8 Distribución de aperturas para un proceso de inyección
En el caso de la inyección, podemos seguir usando la descomposición mostrada
en la Fig. 2.1.10. Como el caso (b) no contribuye a la apertura de la fisura, quedan
sólo los casos (c) y (d). Como ambos corresponden a distribuciones de presión
sobre las caras de la grieta, podemos aplicar (2.1.25) para obtener
La integral que contiene el término Í»O puede resolverse analíticamente integrando
primero en r' y después en u; con ello la expresión anterior se transforma en
r\ 8 /•/• r'p(r')dudr' 8po rz r /^ ^ r,x
Esta ecuación, jimto con la (2.1.19) que permite calcular la extensión de la zona
abierta por la inyección, son las ecuaciones que relacionan las deformaciones
locales de la estructura con la presión de inyección. Para el estudio completo del
proceso de inyección es preciso completar estas ecuaciones con las que definen
el flujo de la resina en la grieta.
En la próxima sección desarrollamos los aspectos básicos del flujo axisimétrico
de fluidos newtonianos, para formular a continuación las ecuaciones globales de
un proceso de inyección de este tipo de fluidos
2.2 Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas
En esta sección describimos las ecuaciones que gobiernan el flujo de un líquido
que se inyecta en una grieta con simetría axial, que son siete:
1. Ecuación de continuidad.
2. Ecuación de Darcy generalizada.
3. Ecuación de avance del frente de inyección.
4. Ecuación de presión en el frente de inyección.
2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétrícas 61
5. Ecuación de presión en el taladro de inyección.
6. Ecuación de caudal en el taladro de inyección.
7. Ecuación de bombeo.
Las dos primeras son ecuaciones diferenciales en el espacio, la tercera una ecua
ción diferencial en=el tiempo y las cuatro últimas son ecuaciones algebraicas que
imponen condiciones en el contorno.
En lo que sigue corisideramos la inyección de un líquido incompresible en una
grieta de perfil axisimétrico a partir de un taladro de radio RQ, tal como indica
la Fig. 2.2.1. En general la apertura de la grieta podrá variar tanto en el espacio
como en el tiempo, un hecho primordial en la inyección en un medio deformable.
Llamaremos QB al caudal suministrado por la bomba de inyección
2.2.1 Ecuación de cont inuidad
Puesto que el fluido es incompresible, la ecuación de continuidad establece
simplemente la conservación de volumen del fluido. Para este caso de simetría
cilindrica basta considerar un volumen infinitesimal de control formado por un
toro de radio interior r, radio exterior r + dr y altura w como el mostrado en la
Fig. 2.2.1 y escribir que el caudal neto de fluido que entra en él debe ser igual a la
velocidad de aumento de volumen del toro. El caudal neto es Q{r) — Q(r + dr),
donde Q(r) es el caudal a través de una superficie cilindrica de radio r y la ve
locidad de aumento de volumen es Inr dr w donde ti) es la velocidad de aumento
de la apertura de grieta; en consecuencia la conservación de volumen exige que
Q{r) - Q{r + dr) = lirr dr w (2.2.1)
y poniendo Q{r + dr) = Q{r) + dQ/dr dr obtenemos la ecuación de continuidad
dO ^ + 27rr?i; = 0 (2.2.2) dr
62 Capítulo 2. Análisis teórico
IQB
Q i i + i l i ) - .()ir)
w(r)
Q(r) •>• VQ(r+dr)
TT r + dr
Figura 2.2.1: Flujo axisimétrico en una grieta y volumen de control para establecer la con
tinuidad.
2.2.2 Ecuación de Darcy generalizada
Como vimos en la sección 1.5 el flujo de un fluido newtoniano en una grieta (lisa
o rugosa) cumple la ley de Darcy
-kp,i (2.2.3)
donde k es la transmisividad, QÍ las componentes del caudal específico definidas
por (1.5.6) y p^i las componentes del gradiente de presión en el plano de la grieta
movimiento (Fig. 1.5.1). La transmisividad k depende de la viscosidad del fluido
y de la apertura y topografía de la grieta.
Aunque la anterior es la forma habitual de escribir la ecuación de Darcy, es
más intuitivo escribir la ecuación en la forma
P,i--j^<li = 0 (2.2.4)
El primer término tiene el sentido de resultante de las fuerzas de presión (en
valor medio) sobre la unidad de volumen del fluido; el segundo término es la
fuerza promedio que las paredes de la grieta ejercen sobre esta misma unidad
de volumen. La ecuación establece que en el tipo de flujo que consideramos las
fuerzas de inercia son despreciables (flujo reptante o de Stokes) y por tanto la
suma de fuerzas es nula.
De lo anterior se deduce que la ecuación de Darcy se limita a establecer que
para fluidos newtonianos las fuerzas de fricción viscosa son proporcionales a la
velocidad y de sentido contrario.
2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 63
La extensión de esta idea a fluidos no newtonianos generalizados parece ob
via: Puesto que en un fluido newtoniano generalizado la tensión sigue siendo
proporcional a la velocidad de deformación, mientras que el coeficiente (la vis
cosidad) depende de la propia velocidad de deformación, podemos generalizar
la ecuación de Darcy dejando que la fuerza de rozamiento viscoso siga teniendo
la misma dirección y sentido opuesto al del movimiento, pero haciendo que la
transmisividad dependa de la velocidad de flujo. Esto significa que la ecuación
de Darcy generalizada mantiene la misma forma que la ley de Darcy lineal, pero
k depende del caudal específico q.
Para el caso de flujo axisimétrico, la única componente no nula del caudal
específico y del gradiente de presión tienen es la componente radial; además el
caudal específico q viene dado en función del caudal total Q por
Q , = ¿ (2.2.5)
con lo cual podemos escribir la ecuación de Darcy generalizada como
dp 1 Q dr k Inr
k = k{w,Q/2TrR) (2.2.6)
donde la segunda ecuación recuerda explícitamente que la transmisividad es
función tanto de la apertura como del caudal.
La ecuación de Darcy generalizada, junto con la de continuidad permiten,
junto con las adecuadas condiciones de contomo, determinar las distribuciones
de caudales y presiones si la apertura de fisura es conocida en cada punto e
instante.
2.2.3 Ecuación de avance del frente de inyecc ión
Al producirse la inyección, la resina avanzará por la grieta y llenará ;in disco de
radio R (Fig. 2.2.2). Denominamos frente de inyección al borde de este disco, que
constituye uno de los contomos del fluido que se analiza. La ecuación de avance
del frente de inyección establece simplemente que la derivada de R respecto del
64 Capítulo 2. Análisis teórico
i R ^ Q(R)
Figura 2.2.2: Frente de inyección
tiempo no es sino la velocidad media de las partículas que se encuentran en el
frente de inyección, es decir:
donde R = dR/dt y Q{R) y w(R) son, respectivamente, el caudal y la apertura a
la distancia R en el instante considerado (Fig. 2.2.2).
2.2.4 Ecuaciones de contorno
Ecuación de presión en el frente de inyección
Cuando la resina inyectada avanza tiene que desalojar el fluido que previamente
ocupaba la grieta, normalmente aire o agua. Supondremos que la viscosidad de
ese fluido es muy pequeña comparada con la de la resina y que la grieta está
bien drenada, por lo que la presión en el frente de inyección es igual a la presión
hidrostática en la grieta ph antes de iniciarse la inyección. Ciertamente existen
fenómenos de tensión superficial en la superficie de separación entre la resina
y el agua o aire. Sin embargo, como el radio de curvatura del menisco que se
forma debe ser mayor que iü/2, resulta que la diferencia de presiones debida a
la tensión superficial es
Ap<— (2.2.8) w
donde a es la tensión superficial de la inferíase. Como el valor de a para líquidos
es a lo sumo de unas décimas de N / m y to es del orden de 1 mm, la diferencia de
2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 65
presión es como mucho de algunas décimas de kPa, muy inferior a las presiones
involucradas en la inyección (miles de kPa). Por lo tanto, despreciamos los
efectos de tensión superficial y escribimos que
p{R)-Ph (2.2.9)
donde p{R) indica la presión en la resina a la distancia R.
Como en todo lo que sigue ph permanece constante, podemos sin pérdida de
generalidad redefinir el origen de presiones y llamar pala sobrepresión, es decir
ap — ph con lo cual la ecuación anterior se reduce a
p{R) = O (2.2.10)
Ecuación de presión en taladro de inyección
Para hacer el problema manejable supondremos que la presión en el taladro de
inyección (en las proxiniidades de la boca de la grieta) es esencialmente constante
e igual a la presión suministrada por la bomba PB (corregida por posibles pérdidas
de carga en las conducciones). Si despreciamos las pérdidas de carga localizadas
en la embocadura de la grieta, podemos escribir que la presión de bombeo es
igual a la presión en la grieta en r = RQ, por lo que la condición de contomo
queda:
pm=PB (2.2.11)
Ecuación de caudal en taladro de inyección
Llamando QB al caudal suministrado por la bomba de-inyección, tenemos que
relacionar éste con el caudal en la boca de la grieta. Para ello imponemos la
condición de continuidad al cilindro mostrado en la Fig. 2.2.3, de radio RQ y
altura w{Ro). La ecuación de continuidad expresa en este caso que el caudal que
entra por la base superior menos el que sale por la boca de la grieta es igual a la
velocidad de aumento del volumen:
QB - QiRo) = vrfíg w{Ro) (2.2.12)
(>(> Capítulo 2. Análisis teórico
I.
y(Ro) ^ ¡ :
Figura 2.2.3: Continuidad en la embocadura
donde w{Ro) es la velocidad de apertura en la boca de la grieta. La condición de
contorno en la boca de la grieta queda pues, en función del caudal de bombeo
como
QW = QB- nR¡w{R^) (2.2.13)
Nótese que en la práctica el segimdo término del segundo miembro es muy
pequeño (para i?o = 25 mm y W{RQ) = 1 mm/min este término resulta del orden
de las milésimas de litro por minuto, frente a caudales de inyección que son del
orden de litros por minuto.)
Ecuación de bombeo
La última ecuación necesaria para resolver el problema es la que define las condi
ciones de bombeo. La ecuación de bombeo establece simplemente cómo se rela
cionan las presiones y caudales en el taladro de inyección a lo largo del tiempo
y en general tiene la forma:
B{pB,QB,t) = 0 (2.2.14)
Aunque en lo que sigue consideraremos condiciones de bombeo constantes,
es decir, situaciones en las que B{-) no depende explícitamente del tiempo, en
general estas condiciones podrán ser manipuladas por el operario o el sistema
que controla la bomba, por lo que la dependencia explícita del tiempo es muy
posible.
2.3. Inyección de grietas de caras paralelas confluidos newtonianos 67
Para condiciones de bombeo constantes, consideraremos los casos típicos
de presión constante y caudal constante. Eventualmente usaremos una curva
característica de tipo potencial:
B{pB,QB,t) = ^^+{^\ -1 = 0 (2.2.15) VBM \ WBM J
dondePBM y QBM los valores máximos de la presión y el caudal, respectivamente,
y m es un exponente constante.
2.3 Inyección de grietas de caras paralelas con fluidos
newtonianos
En esta sección consideramos algunos casos de interés teórico y práctico en el
que las ecuaciones establecidas en la sección anterior pueden resolverse analíti
camente.
Las grietas de caras paralelas corresponden a situaciones ideales que pueden
darse en laboratorio (viscosimetría de flujo radial) o como aproximaciones a
situaciones estructurales reales. La ventaja de este tipo de geometría es que,
para cierto tipo de fluidos, permite obtener la solución exacta. Además de su
aplicación directa a casos prácticos, son de gran interés para la comprobación
del buen funcionamiento de los programas de cálculo numérico.
En esta sección limitamos el análisis al caso del fluido newtoniano por su
interés teórico y de referencia. Veremos en primer lugar el caso de grietas en
las que no cambia la distancia entre sus caras, y luego la modificación en las
ecuaciones introducida por la posibilidad de movimiento relativo entre sus caras,
problema que servirá de base para el modelo simplificado que se presentará en
la próxima sección.
68 Capítulo 2. Análisis teórico
2.3.1 Inyecc ión de una grieta de caras paralelas y estáticas
Si la grieta es de caras estáticas, la apertura no varía yw = 0. En estas condiciones
la ecuación de continuidad (2.2.2) se reduce a
^ = 0 (2-3.1)
que se integra con respecto a r para dar
Q = Ci (2.3.2)
donde Ci es una "constante" de integración (constante respecto de r, no de t).
Esta constante se relaciona con el caudal de bombeo por (2.2.13) que en este caso
da directamente Ci = QB y por tanto tenemos que el caudal es igual en todo
punto al caudal de la bomba:
Q = QB (2.3.3)
Pasando ahora a la ecuación de Darcy (2.2.6) vemos que como tanto el caudal
como la apertura son uniformes (independientes de r) y, puesto que considera
mos fluidos newtonianos, la transmisividad k no varía (suponemos que otros
factores que pueden modificar k, como la temperatura, son también uniformes).
Por tanto podemos en este caso integrar directamente la ecuación de Darcy res
pecto de r y obtener
P = - ^ l n r + C2 (2.3.4)
donde C2 es otra constante de integración que en general dependerá del tiempo.
Imponemos ahora la condición (2.2.10), despejamos C2 y sustituimos el re
sultado en (2.3.4), con lo que la distribución de presiones queda
' p = ^ l n í (2.3.5) 2-irk r
Esta ecuación relaciona las presiones con el caudal QB y con la posición R del
frente de inyección.
La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de (2.2.11),
resultando
P- = ñ^W (2.3.6)
2.3. Inyección de grietas de caras paralelas confluidos newtonianos 69
Debemos observar que existen relaciones interesantes que no dependen de la
ecuación de bombeo particular. Por ejemplo, la distribución de presiones tiene
una forma fija y puede determinarse totalmente en ftmción de PB J R- En efecto,
despejando QB de (2.3.6) y sustituyendo en (2.3.5) resulta
que como se ve no depende de las características del fluido ni de las de la grieta.
A su vez, esta ecuación puede integrarse para obtener la fuerza F que el fluido
ejerce sobre una de las caras de la grieta:
F = pBnI^+ í iTvrpdr (2.3.8) jRo
que después de una integración por partes resulta
ecuación que demuestra que la fuerza está totalmente determinada por la presión
de bombeo y el radio alcanzado por la inyección. Nótese, en particular, que expre
sada de esta manera la fuerza no depende del fluido inyectado (de la viscosidad),
ni de la apertura de grieta, ni de la forma de efectuar la inyección.
Estas características entran en juego cuando se analiza el proceso de avance
de la inyección. Para estudiar dicho proceso es imprescindible especificar la
ecuación de bombeo. Examinamos a continuación la evolución temporal del
frente de inyección para dos casos particulares sencillos: presión constante y
caudal constante. "
Bomba de presión constante
En este caso tomamos el origen de tiempos en el momento en que el fluido alcanza
la boca de la grieta y la ecuación de bombeo se reduce a
PB = PBO (2.3.10)
70 Capítulo 2. Análisis teórico
donde PBO es constante. Sustituyendo en (2.3.6), se despeja QB- De (2.3.3) se
obtiene Q que sustituida en (2.2.7) permite llegar a la ecuación diferencial
w R ]n{R/I^)— = kpBo (2.3.11)
ecuación de variables separadas que se integra para obtener el tiempo necesario
para alcanzar un radio de inyección determinado:
111 Tfi t = Í21n(i?/i?o) + {Ih/R? - l] (2.3.12)
4:KPBO ^ J
Con esta ecuación se completa la descripción de la inyección.
Bomba de caudal constante
En este caso la ecuación de bombeo se reduce a
QB = QBO (2.3.13)
donde QBO es constante. Por sustitución directa obtenemos PB de (2.3.6) y Q de
(2.3.3), de donde (2.2.7) lleva a la ecuación diferencial
dR 2'ITWR— = QBO (2.3.14)
at
que se integra inmediatamente para obtener:
í = ^ [1 - WRf] (2.3.15)
2.3.2 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles
Suponganios_ ahora que las caras de la grieta permai\ecen paralelas pero que
pueden moverse tina respecto de otra. Esto significa que la apertura w es varia
ble con el tiempo y su velocidad w es distinta de cero. Por supuesto, en estas
condiciones también k variará con el tiempo (pero será uniforme en el espacio).
La obtención de la solución es en este caso paralela a la anterior. En estas
condiciones la ecuación de continuidad (2.2.2) se reduce a
^ = -2nrw (2.3.16) or
2.3. Inyección de grietas de caras paralelas confluidos newtonianos 71
que se integra con respecto a r para dar
g = Ci - nr^w (2.3.17)
donde C\ es una "constante" de integración (constante respecto de r, no de t).
Esta constante se relaciona con el caudal de bombeo por (2.2.13) que en este caso
da directamente C\ = QBJ por tanto el caudal disminuye cuadráticamente con
la distancia:
Q = QB- nr^w (2.3.18)
Pasando ahora a la ecuación de Darcy (2.2.6), sustituyendo la anterior ex
presión para el caudal, integrando e imponiendo la condición (2.2.10) resulta la
distribución de presiones
Esta ecuación relaciona la distribución de presiones con el caudal Q B y con la
posición R del frente de inyección.
La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de nuevo de
(2.2.11):
La fuerza se obtiene integrando la distribución de presiones, igual que en el
caso anterior, con el resultado
F = ^{R'- Í^) [2QB -7r{R^ + B¡) w] . . (2.3.21)
Como antes, las ecuaciones precedentes relacionan presiones y caudales con
la posición del frente de inyección. Para determinar la evolución temporal es
preciso integrar (2.2.7) que ahora se escribe, después de sustituir (2.3.18) con
r = R, como
2-KRRW + TTR^ W = QB (2.3.22)
Al ser el primer miembro una derivada total, esta ecuación puede reducirse a
-Í'KR^W)^QB (2.3.23) at
72 Capítulo 2. Análisis teórico
resultado esperado ya que el primer miembro no es más que la derivada del
volumen de resina que hay entre las caras de la grieta (incluido el taladro central
hasta la altura de la cara superior).
Como en el caso anterior, la evolución temporal depende de la ecuación de
bombeo. Para presión constante es preciso especificar previamente cómo varía la
apertura de grieta para poder determinar el tiempo de inyección necesario para
alcanzar un radio de inyección determinado. Para caudal constante existe una
forma cerrada, porque entonces (2.3.23) es directamente integrable; el tiempo
desde que el fluido alcanza la boca de la grieta hasta que alcanza la distancia R
es simplemente
t = -R'^--^>o (2.3.24) QBQ
Con esta ecuación cerramos la sección dedicada a las grietas de caras paralelas
inyectadas con fluidos newtonianos, y pasamos a analizar la inyección de grietas
en macizos deformables, aunque manteniendo la misma limitación por lo que al
fluido se refiere.
2.4 Inyección de un macizo def ormable con un fluido
newtoniano
2.4.1 Análisis cualitativo del proceso de inyección
Consideremos, para fijar ideas, la inyección de una grieta horizontal profianda
en un gran macizo rocoso o de hormigón que se inyecta desde la superficie o
desde ima galería. Suponemos que la grieta está cerrada por el peso propio del
material con tma presión po igual a la presión de tierras. Nótese que si la grieta
está inundada y bajo presión de agua, po debe entenderse como presión efectiva,
es decir, la de tierras menos la presión hidrostátíca (presión intersticial). Esto
es consistente con la condición establecida al pasar de (2.2.9) a (2.2.10) diciendo
que la presión del fluido inyectado se mide tomando como origen la presión
hidrostátíca del agua en la grieta.
2.4. Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano 73
O,
caudal, Qg QBM
Figura 2.4.1: Descripción de tin proceso de inyección.
En lo que sigue admitiremos que, que atinque la grieta parezca cerrada a
efectos mecánicos, la rugosidad de sus caras (la falta de congruencia) hace que a
efectos hidráulicos la grieta tenga una apertura inicial no nula, WQ.
Supongamos entonces que inyectamos con una bomba cuya curva carac
terística reducida a la boca de la grieta (es decir, descontando las pérdidas de
carga en los conductos) es conocida y tiene el aspecto de la Fig. 2.4.1. El instante
inicial corresponde al momento en el que la resina ha rellenado completamente
el conducto de inyección y alcanza la boca de la grieta (punto A en la figura). En
este momento el caudal es máximo y la presión nula. A partir de este momento
la resina penetra entre los labios de la grieta preexistente (banda sombreada) al
tiempo que aumenta la presión. Mientras la presión permanece inferior a po la
grieta permanece cerrada y la resina fluye por la grieta con su apertura inicial
WQ constante (punto B en la figura), por lo que si el fluido es newtoniano son
aplicables las ecuaciones de la sección anterior.
Si la bomba puede entregar una presión superior a po/ que es lo que suponemos
en este trabajo, llegará un momento en que la presión superará a la presión de
cierre y en ese momento la grieta empezará a abrirse (punto C). A partir de aquí
74 Capítulo 2. Análisis teórico
la inyección evoluciona hacia la situación mostrada en el esquema D, en el que
la grieta se está abriendo por delante de la resina.
Para poder analizar cuantitativamente el proceso, necesitamos establecer las
ecuaciones que acoplan el flujo de la resina en la grieta con la apertura de la
grieta debido a la presión de inyección.
2.4.2 Ecuaciones generales
Las ecuaciones que gobiernan el flujo de la resina son las que se analizaron en la
sección 2.2 y que recordamos aquí:
1. Ecuación de continuidad (2.2.2).
2. Ecuación de Darcy generalizada (2.2.6).
3. Ecuación de avance del frente de inyección (2.2.7).
4. Ecuación de presión en el frente de inyección (2.2.10).
5. Ecuación de presión en el taladro de inyección (2.2.11).
6. Ecuación de caudal en el taladro de inyección (2.2.13).
7. Ecuación de bombeo (2.2.14).
Estas ecuaciones resuelven completamente el problema si se conoce la va
riación en el tiempo de la apertura de la grieta en todo punto. Como esto no
es así es preciso unir a éstas las ecuaciones que dan la apertura de la fisura
debida a las presiones de inyección que fueron establecidas en la sección 2.1,
pero aumentando en WQ la apertura que allí se calculó y que ahora debemos
interpretar como la variación de apertura debida a la presión. La ecuación (2.1.27)
se rescribirá pues como
/N 8 /•/• r'p{r')dudr' 8po n> ^ /o ^-.x
y las ecuaciones a añadir a las de mecánica de fluidos son
2.4. Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano 75
8. Ecuación de extensión de pérdida de contacto (2.1.19).
9. Ecuación de apertura de grieta (2.4.1)
Con este conjunto de ecuaciones el problema que debemos resolver puede
establecerse como sigue: Dada la ecuación de bombeo, la transmisividad y los
datos iniciales (PQ,ROY WQ), hay que determinar la evolución a lo largo del tiempo
de las presiones en la grieta p{r, t), las aperturas de grieta "i<;(r, í), los caudales
a lo largo de la grieta Q{r, t), el tamaño de la zona inyectada R{t), el tamaño
de la zona de pérdida de contacto a{t) y la presión y caudal en el conducto de
inyección, PB{t)yQB{t)-
El estudio del problema se ha abordado a dos niveles: (1) En un primer nivel
se ha usado un método aproximado, pero de cálculo muy rápido, para poder
obtener soluciones aproximadas de un gran número de casos; (2) en el segundo
nivel se ha usado el método de los elementos finitos para buscar una solución
numérica más ajustada y estiniar la fiabilidad del método aproximado.
2.4.3 Modelo simplificado
El método aproximado consiste en sustituir la distribución real de aperturas por
una apertura uniforme variable en el tiempo. Con ésto, el problema del flujo
puede resolverse analíticamente tal como hemos visto en la sección anterior.
Para poder resolver completamente el problema es preciso determinar cómo
varía la apertura media w con la presión de inyección. Para ello hemos buscado
una aproximación al problema de las deformaciones consistente en sustituir la
distribución de presiones real por una distribución de presión uniforme sobre
un disco de radio Re tal como muestra la Fig. 2.4.2, y aproximar la apertura por
la que correspondería, en el macizo deformable, al punto A de la figura en que
r = Re. Para obtener w primero se calcula el radio a de la zona de contacto que
viene dada por (2.1.13) y a continuación se aplica (2.4.1) con r = Rg. El resultado,
cuya obtención se detalla en el Apéndice A, es el siguiente:
8 W^WQ + —^Re PB - SJPOÍ^PB-PQ) para PB > Po (2.4.2)
7b Capítulo 2. Análisis teórico
PB p
Re—^
distribución / aproximada
\^ distribución
A ^ ^
- R —^ r
Figura 2.4.2: Sustitución de la distribución real de tensiones por una distribución uniforme.
Para que el problema esté determinado es preciso determinar Re- Para ello
impondremos la condición de que las fuerzas resultantes de las distribuciones
real y aproximada sean iguales ya que, como vimos en la sección 2.1, la respuesta
de la grieta está controlada en primera aproximación por la fuerza resultante.
Esta condición se impone, igualando la fuerza resultante de la presión uniforme
TTRIPB a la resultante del problema de flujo aproximado (2.3.21):
TTRIPB = ¿ (^ ' - ^ ) [^QB - TT (i?2 + /22j ^j (2.4.3)
Las dos ecuaciones anteriores, junto con las (2.3.20) y (2.3.23) y la ecuación de
bombeo, determinan completamente el modelo aproximado.
El modelo se ha aplicado a casos sencillos para ver su capacidad de aproxi
mación. Los casos más complejos han sido desarrollados para fluidos no new-
tonianos y se presentarán más adelante. Para fluidos newtonianos hemos estu
diado el caso de una ley cúbica para la transmisividad k y caudal constante:
„3
k = w Í2í7 '
QB = QBO = constante (2.4.4)
En este caso la ecuación (2.3.23) se usa en su versión integrada (2.3.24). Queda
así reducido el sistema a 4 ecuaciones: (2.3.20), (2.4.3), (2.4.2) y (2.3.24), de las
cuales las dos primeras dependen de w.
La solución del sistema se ha abordado numéricamente tomando como va
riable independiente R y determinando paso a paso Re,pB,w y t. Para ello se
2 A. Inyección de un macizo defonnable con un fluido newtoniano 77
redactó un programa en BASIC que funciona de la siguiente manera: Primero se
busca el momento en el que la presión PB alcanza el valor po usando la solución
analítica de la sección anterior y se calculan los valores de todas las variables en
este instante, valores que son los iniciales para la segimda-parte. A continuación
se establece un proceso incremental e iterativo. En cada incremento se aumenta
el valor de i? y se calculan los incrementos de las demás variables usando el
método iterativo de Newton-Raphson para las variables principales, mientras
que se aproxima w mediante un esquema de diferencias finitas centrales (Owen
y Hinton 1980).
Es de notar que se intentaron otros métodos más simples de iteración, par
ticularmente la iteración directa, que no alcanzaban la convergencia. La razón
parece estribar en la fuerte dependencia inversa entre p y w en la ley de Darcy,
que en este modelo aparece en la ecuación (2.3.20).
La Fig. 2.4.3 muestra los resultados para un caso típico, comparando la
evolución de presiones y tamaños de inyección en el caso de que el medio se
considerara indeformable con los que se obtienen cuando se tiene en cuenta la
deformabilidad del medio. Puede apreciarse, por un lado, que la diferencia en
los niveles de presión alcanzados es tremenda y, por otro, que la presión en el
medio deformable pasa por un máximo y después decrece suavemente, por lo
que parece que el terreno que descansa sobre la grieta actúa como una válvula
de seguridad que no permite sobrepasar ciertos niveles de presión.
2.4.4 Análisis por el método de elementos finitos
Para poder tener una idea de la capacidad predictiva real del modelo simplifi
cado, y para tener soluciones más aproximadas, se abordó la solución del sistema
general de ecuaciones, descrito al principio de esta sección, por el método de los
elementos finitos.
Contemplado desde el punto de vista de los métodos numéricos que se de
scriben en los textos clásicos de elementos finitos, el problema que hay que
resolver aparece como un sistema de ecuaciones integro-diferenciales con con-
78 Capítulo 2. Análisis teórico
40
35
30
newtoniano, modelo aproximado
p^ = 0.5 MPa
: 1.0 mm:
indeformable deformable
datos inyección
caudal constante
21/min
5 10
tiempo (min)
Figura 2.4.3: Comparación de la evolución de la presión y el radio de la zona inyectada para la
hipótesis de medio indeformable (apertura de grieta constante) y medio deformable analizado
con el modelo simplificado. En ambos casos el bombeo se realiza a caudal constante.
tornos móviles no típico, por lo que las técnicas más habituales no le son aplica
bles. En particular, no son utilizables los programas comerciales de elementos
finitos.
Selección de variables independientes
La primera decisión que había que tomar era la selección de variables incógnita.
La técnica usual cuando uno maneja la ecuación de Darcy clásica (lineal y de
transmisividad constante) es despejar el caudal de dicha ecuación y sustituir en
la ecuación de continuidad, con lo que se elimina el caudal como incógnita y se
aumenta el orden de la ecuación diferencial, quedando una ecuación de segundo
orden en la presión, que se resuelve usando una formulación débil, como por
ejemplo el método de Galerkin (Hinton y Owen 1979, Zienkiewicz y Taylor 1989,
1991)
Existe sin embargo la posibilidad de utilizar un método mixto en el que tanto
las presiones como los caudales se dejan como incógnitas independientes y se
2.4. Inyección de un macizo deformahle con un fluido newtoniano 79
mantiene el orden de las ecuaciones diferenciales (Zienkiewicz y Taylor 1989,
Capítulo 12). Nosotros optamos a priori por éste procedimiento, pensando en
una futura extensión del procedimiento a fluidos no newtonianos en los que
no fuera posible despejar el caudal en forma cerrada de la ecuación de Darcy
generalizada. Para ser consistentes decidimos también mantener las aperturas
como incógnitas, más que nada para facilitar el álgebra de resolución de las
ecuaciones.
Tipo de malla
La segunda decisión que hubo que tomar fué el tipo de malla espacial más
conveniente. Las opciones extremas eran la de usar una malla fija en el espacio
a través de la cual se mueve el fluido (formulación euleriana) y otra en que la
malla se mueve con el fluido (formulación lagrangiana). En nuestro problema,
en que estudiamos un sistema abierto, los dos tipos de mallas tienen problemas.
En la primera hay momentos en los que un elemento está parcialmente relleno
de fluido y necesita un tratamiento especial. El segundo procedimiento requiere
que se vaya aumentando el número de elementos a medida que entra más fluido.
Además, en flujo radial la malla se va refinando donde menos falta hace, en
puntos alejados del taladro de inyección. La solución adoptada fue la de una
malla con un número de elementos fijo distribuidos de forma prefijada sobre la
zona inyectada, que se va expandiendo con el frente de inyección.
Para implementar esta malla se introdujo en las ecuaciones el cambio de
variable lineal
- ^ •
con lo que el intervalo RQ < r < R se transforma en el segmento [0,1] en la
variable x. Como R depende del tiempo es preciso transformar las ecuaciones
con un cierto cuidado. En particular, las derivadas temporales deben incluir un
término de convección. Para comprender el porqué, consideremos una variable
cualquiera, por ejemplo (/), que puede expresarse en función de r y í o de o; y
t. Cuando escribimos ^ entendemos que nos referimos a la derivada respecto
80 Capítulo 2. Análisis teórico
del tiempo a r constante. Al usar la malla fija en x la variación temporal de
los valores nodales será a x constante, y debemos buscar la relación entre 0 y
{d(t)/dt)x, donde el subíndice especifica que es la x la que se mantiene constante.
La regla de derivación en cadena conduce inmediatamente a la relación entre los
operadores diferenciales en xma y otra representación:
d(f) d4>[x{r,t),t] d4>dx 1 d4>
dr dr d(l>[x{r,t),t]
0 dt
dx dr R — RQ dx
dx
(2.4.6)
dx dt +
d^ dt
d(j)
dt X
^ ^ R ^ (2.4.7) R-R^ dx ^ '
Con este tipo de formulación se consigue, en principio, un error relativo bastante
homogéneo, incluso en los instantes iniciales, mientras que con las formulaciones
clásicas en las que el número de elementos aumenta con el tiempo, el error relativo
inicial es más elevado (en el primer paso el fluido ocupa un sólo elemento).
Sin embargo, el método tiene im inconveniente relativamente costoso: el
tiempo de cálculo. En el cálculo numérico de las integrales que aparecen en la
ecuación (2.4.1) para w, los límites de integración que corresponden a cada ele
mento cambian, lo que significa que en cada iteración hay que recalcular todos los
puntos de Gauss y el valor del integrando en ellos, lo que alarga sustancialmente
el cálculo.
Tipo de elementos y formulación
Para todas las variables con distribución espacial ip.Qy w) se ha efectuado una
discretización en elementos lineales en el espacio y el tiempo. Para el resto de
variables que sólo tienen variación temporal se ha usado una aproximación por
elementos lineales en el tiempo.
Para conseguir las ecuaciones discretizadas, se ha utilizado una formulación
de residuos ponderados con distintas funciones de ponderación en el espacio y
en el tiempo. Para las ecuaciones que incluyen derivadas espaciales se han usado
funciones de peso lineales en el espacio (método de Galerkin). Para la ecuación
integral (2.4.1) se ha utilizado colocación en los puntos nodales (evaluación di
recta de la ecuación en los nodos). En cuanto a la integración en el tiempo.
2.4. Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano 81
se ha utilizado colocación en los puntos medios de cada intervalo (método de V
Crank-Nicholson, véase Zienkievicz y Taylor 1991, Capítulo 10).
En general la integración de las integrales de ponderación se hizo analítica
mente. En los casos en que ello no fué posible (como en la ecuación de Darcy)
se usó integración gaussiana con 10 puntos de Gauss (quizás algo excesivo,"pero
convergente para garantizar ima buena precisión en la integración del inverso
de la ley cúbica para la transmisividad k).
Para la ejecución de las integrales dobles de la ecuación (2.4.1) hubo que re
currir a técnicas especiales debido a que el núcleo presenta singularidades. La
técnica seguida fue realizar integraciones por partes para eliminar las singulari
dades y luego usar integración numérica con 10 puntos de Gauss con subdivisión
automática del intervalo hasta conseguir una precisión relativa de un 0.1 por mil
(siguiendo las rutinas de Press et al. 1992). La técnica de refinamiento resultó
necesaria porque las funciones que se integran no se aproximan bien por poli
nomios de pequeño grado, por lo que la integración gaussiana con pocos puntos
de Gauss no es suficientemente precisa en muchos casos.
Método de cálculo
Como se describió cualitativamente al principio de esta sección, el proceso de
inyección tiene dos partes bien diferenciadas. En la primera la presión es inferior
a la presión de las tierras po y la grieta no se abre; por lo tanto sólo se utilizan
las 7 ecuaciones que corresponden a la descripción del flujo. Aunque podría
recurrirse a un cálculo analítico hasta el momento en que se alcanza la presión po
(como hacemos de hecho en el método aproximado) se prefirió programar esta
parte numéricamente para tener un elemento de valoración de las prestaciones
del cálculo, ya que podemos comparar los resultados numéricos con los exactos.
En la segimda parte, una vez que PB > po las ecuaciones se complican y la
técnica de iteración es crucial. Inicialmente se intentó una técnica de iteración
con dos bucles; uno interno que calculaba el problema de fluidos a partir de una
distribución supuesta de aperturas, y uno externo que calculaba las aperturas
82
(a)
grieta K - - ^ k+1
r.J
'k+r
Capítulo 2. Análisis teórico
(c) o, <1), k+l
a k+l
Figura 2.4.4: Elemento limitado por los nudos A; A; + 1 que contiene la punta de la fisura (a).
Gráficos de las fijnciones de forma (penun. elemento normal (b) y en un elemento que contiene
la punta de la fisura (c).
a partir de la distribución de presiones calculada en el bucle interno. Pero esta
técnica, cuya ventaja estriba en su limpieza, resultó no converger, creemos que
debido a la fuerte dependencia inversa entre la presión y la apertura. Finalmente
hubo que adoptar un método de Newton-Raphson con linealización de todas las
ecuaciones respecto de todas las variables y resolución en un solo bucle. Con esta
técnica, si los pasos son suficientemente pequeños, el método converge, aunque
en el entorno del máximo de presión la convergencia puede ser muy lenta.
Un comentario aparte merece el paso de fisura cerrada a fisura completa
mente abierta: Existe un intervalo de tiempo, usualmente muy corto, en el que
la grieta está abierta, pero a < R. En este caso la pimta de la grieta estará, en
general, entre dos nodos y la función de forma lineal entre nodos para w no
aproxima bien el perfil de la grieta, dando lugar a problemas de.convergencia
(en particular se producen soluciones oscilantes en las que la punta de la grieta
salta de un elemento al siguiente y vuelta atrás). Para resolver el problema cabía
la posibilidad de inercalar un nodo, pero ésto modifica la topología y complica
mucho el problema. Se adoptó la solución de cambiar las funciones de forma
para w en el elemento que contiene el nodo, tal como esquematiza la Fig. 2.4.4.
Con esta medida desapareció el comportamiento oscilante en todos los casos
analizados.
2.4. Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano 83
Verificación del programa
El programa se ha redactado er\ C++ para Macintosh y se ha verificado en lo posi
ble para casos con solución analítica conocida. En particular se han comprobado
las soluciones límite que corresponden a. PQ ^ oo y E' —^ oo cuyas soluciones
deben coincidir entre sí y con la de la grieta de caras paralelas estáticas.
El programa incorpora una ecuación de bombeo lineal—ecuación (2.2.15)
con n = 1— y puede simular caudal constante dando un valor muy elevado (10^
MPa por ejemplo) a la máxima presión de la bomba.
La Fig. 2.4.5 muestra las aproximaciones conseguidas para una grieta lisa de
paredes estáticas usando distinto número de elementos. Las curvas correspon
den a la evolución de la presión, que son las que presentan convergencia más
lenta. La figura superior es para caudal constante y la inferior para una bomba
con una curva característica lineal.
Aunque en el segundo caso el error es menor a igualdad de número de ele
mentos, en para ambos procesos se encuentra que la convergencia es lineal, por
lo que es preciso utilizar un número relativamente elevado de elementos, del
orden de 15 o 30 según los casos.
Nótese que todos los resultados mostrados corresponden a un número impar
de elementos, que convergen a la solución por arriba. Si se usa un número par
de elementos se encuentra que la convergencia tiene características similares,
pero se aproxima a la solución exacta desde abajo. Esto se atribuye al uso de la
formulación mixta en caudales y presiones, combinada con el tipo de condiciones
de contorno que se imponen: en presiones en un extremo y mixtas en el otro.
84 Capítulo 2. Análisis teórico
60
50
:newtoniano, elementos finitos 1 n°de
elementos ..5—
10 -
_ 1 I I ' • —I I i _
datos inyección
w^ = 1.0 m m
R = 2 5 m m o
Ti = 120Pas
caudal constante QB0 = 21 /nün
5 10
Tiempo (min)
15
10 newtoniano, elementos finitos i
. , . - - - - - - • • • " " • • • i
exacto '
\ n °de elementos
O,
:2 4 1/3
<u O,
datos inyección
w = 1.0 mm
R = 2 5 m m o
ri = 120 Pa s
bombeo lineal QBM = 21/mir
PBM = 1 2 M P ^
5 10
Tiempo (min)
15
Figura 2.4.5: Comparación de los resultados de elementos finitos con la solución exacta para
fisura lisa de caras paralelas estáticas, con bombeo a caudal constante (arriba) y con bomba de
curva característica lineal (abajo)
2.5. Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales 85
2.5 Inyección de fluidos newtonianos generalizados
potenciales
En esta sección resumimos la extensión del análisis realizado previamente para
un fluido newtoniano a casos de fluidos newtonianos generalizados. En partic
ular consideramos fluidos en lqs_que la curva r-7 (1.4.10) es de tipo potencial:
r = cy"" (2.5.1)
donde cyn son constantes.
La razón para considerar este tipo de ecuación es doble: (1) Es conveniente
desde el punto de vista analítico, y (2) es una aproximación muy aceptable para
las resinas de alta viscosidad, como se deduce de los resultados experimentales
(véase el Capítulo 3).
2.5.1 Ley de Darcy generalizada
La aproximación usual al análisis del flujo de fluidos potenciales en grietas lisas es
la de hacer el cálculo de la transmisividad para flujo paralelo y luego generalizar
a cualquier tipo de flujo. Es de notar que la ecuación de Darcy generalizada que
así se obtiene es sólo exacta cuando las líneas de corriente son paralelas .(Bird,
Hassager y Armstrong 1987). Sin embargo es aceptablemente aproximada para
flujos radiales siempre que la apertura de la grieta sea muy inferior a la distancia
al eje, condición generalmente válida en los procesos de inyección.
La ecuación de Darcy generalizada para paredes lisas y paralelas puede es
cribirse como (Bird, Hassager y Armstrong 1987)
P,i = - < ^ 9 " - (2.5.2)
donde QÍ son las componentes del caudal específico, q su módulo y 0 un coefi
ciente cuya expresión en ftinción de la apertura w y las características del fluido
viene dada por: , 2a" c 2(2n + l)
86 Capítulo 2. Análisis teórico
Nótese que para n = 1 se recupera la solución newtoniana.
Comparando la expresión anterior con la clásica de Darcy generalizada (2.2.6),
resulta que la transmisividad viene dada por
k{w,q) = \q^7^ (2.5.4)
En lo que sigue utilizaremos la forma (2.5.2) para la ecuación, porque la ex
presión de k se vuelve matemáticamente mal condicionada cuando n se aproxima
a la unidad.
Cuando las grietas son de caras rugosas, es necesario corregir el coeficiente
de flujo (¡) para tener en cuenta el efecto de la rugosidad y la tortuosidad, igual
que se hace en el caso de fluidos newtonianos (§1.5). El coeficiente (j) se escribirá
en general como
<l>=^.^^^e, (2.5.5)
donde Ag y A son factores adimerisionales que dependen de la rugosidad rela
tiva £ y de la tortuosidad O (§1.5). La diferencia fundamental con los factores
con análoga función definidos para flujos newtonianos es que para fluidos po
tenciales los coeficientes de corrección dependen también del exponente n de la
ley potencial.
En lo que sigue desarrollamos la teoría de la inyección de fluidos de tipo
potencial para coeficientes de flujo 4> arbitrarios, que se particularizarán después
de acuerdo con los resultados experimentales descritos en el Capítulo 3.
2.5.2 Flujo radial
Para casos de flujo radial axisimétrico la única componente no nula de QÍ y p,i es
la radial; además, de acuerdo con (2.2.5) Qr = q — Q/lirr, por lo que la ecuación
de Darcy generalizada queda reducida a
Esta ecuación sustituye a la (2.2.6) en el análisis de la inyección realizada en
2.5. Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales 87
las secciones 2.3 y 2.4, mientras que todas las demás ecuaciones permanecen sin
canibios.
A continuación se buscan las soluciones particulares que permiten construir,
como en el caso newtoniano, un modelo simplificado razonableniente aproxi
mado.
2.5.3 Inyección de una grieta de caras paralelas y estáticas
La obtención de la solución en este caso es completamente similar a la de la
sección 2.3.1, en particular, las ecuaciones (2.3.1)-(2.3.3) permanecen inalteradas.
Sustituimos la última de estas ecuaciones en la (2.5.6), integramos la ecuación
resultante e imponemos la condición de contorno (2.2.10), con lo que determi
namos la distribución de presiones:
La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de imponer la
condición (2.2.11) a la expresión anterior, de lo que resulta
, ^ / QB V 1 - (i^o/fi)^-"
Para obtener la fuerza usamos (2.3.8), con la distribución (2.5.7) y resulta:
Las ecuaciones anteriores definen relaciones entre caudal, presión, fuerza y
radio de la zona inyectada que son independientes de cómo se haga la inyección
(de la ecuación de bombeo). Esta ecuación es sólo necesaria cuando se necesita
especificar la evolución de la inyección en el tiempo.
El caso particular más simple es el de inyección a caudal constante, que da
como resultado una ecuación idéntica a la obtenida para el fluido newtoniano:
la (2.3.15). La evolución a presión constante es más laboriosa de obtener, pero no
plantea problema conceptual ninguno. Como no va a ser de posterior utilidad,
omitiremos aquí su obtención.
88 Capítulo 2. Análisis teórico
2.5.4 Inyecc ión de una grieta de caras paralelas m ó v i l e s
Para el caso de caras paralelas móviles, las ecuaciones (2.3.16) a (2.3.18) del
caso newtorüano no cambian, ya que derivan directamente de la ecuación de
continuidad.
Sustituyendo (2.3.18) en (2.5.6), obtenemos la ecuación diferencial para la
distribución de presiones: ^ -
dp dr <l£)(^-m
Multiplicando por dr e integrando entre ry R, con la condición (2.2.10), p{R) = O,
obtenemos la distribución de presiones expresada como una cuadratura:
La integral no puede resolverse analíticamente, y es preciso recurrir a métodos
numéricos para resolverla. Imponiendo ahora la condición (2.2.11), determi
namos la presión de bombeo:
La obtención de una expresión razonablemente sencilla para la fuerza es xm
poco más complicada porque aparece una integral doble. En efecto, sustituyendo
(2.5.11) en (2.3.8) resulta
Invirtiendo el orden de integración en el segundo término resulta
con lo que la integral interna es inmediata. Después de sustituir la expresión
para PB, reordenar y cambiar r'por r, queda finalmente la expresión
que iacluye de nuevo vina cuadratura que hay que resolver numéricamente.
dr (2.5.13)
dr' (2.5.14)
2.5. Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales 89
2.5.5 Inyección de un macizo def ormable: modelo simplificado
El modelo simplificado que se utiliza para el fluido potencial es análogo al des
crito para el fluido newtoniano; en particular la aproximación de la presión real
por lina distribución urüforme es idéntica, igual que la condición impuesta de
que las resultantes de las presiones sean iguales. En este caso se ha impuesto
una ecuación de bombeo del tipo (2.2.15). Como el sistema de ecuaciones va
a ser analizado en el Capítulo 4 con cierto detalle, vamos a listarlo completo a
continuación:
PB ^¡?-« - - <^'{tn^
RQ \27rr
Q
QB = ^Á^R'w) at
1 ^— dr QB J
Q dr
B
PB - y/poi^-PB - Po)
1 = PB
+ Qi
(2.5.16)
(2.5.17)
(2.5.18)
(2.5.19)
(2.5.20) PBM \QBMJ
donde se sobreentiende que la tercera ecuación es válida cuando ps sobrepasa
el valor de po; en caso contrario w = woy estamos en el caso de paredes estáticas
que se resuelve analíticamente.
La solución del sistema se ha abordado numéricamente tomando como va
riable independiente R y determinando paso a paso PB,QB, Re,wyt. Para ello
se redactó un programa en C++ sobre plataforma Macintosh que funciona de la
siguiente manera: Primero busca el momento en que la presión PB alcanza el
valor Po usando la solución analítica del caso de paredes estáticas y calcula los
valores de todas las variables en este instante, valores que son los iniciales para
la segunda parte. A continuación establece un proceso incremental e iterativo.
En cada incremento se aumenta el valor de i? y se calculan los incrementos de
las demás variables usando el método iterativo de Newton-Raphson para las
variables principales, mientras que se aproxima w mediante tm esquema de
diferencias finitas centrales. La ecuación (2.5.19) se discretiza también usando
90 Capítulo 2. Análisis teórico
un esquema de diferencias finitas centrales.
Las integrales que aparecen en las dos primeras ecuaciones se resuelven usan
do subdivisión en intervalos e integración gaussiana con 10 puntos de Gauss en
cada intervalo. Se realiza una subdivisión automática hasta que el error se reduce
por debajo de un límite preestablecido.
Con este modelo se ha analizado la influencia de los principales parámetros
en el proceso de inyección, análisis que se discute con detalle en el Capítulo 4,
después de que, en el próximo capítulo, se presente la experimentación realizada
sobre la resina.
Capítulo 3
Estudio experimental
En este capítulo se presenta la investigación experimental realizada, cuyo obje
tivo es doble: (1) Desarrollar una metodología experimental capaz de definir con
adecuada precisión las características de la resina que influyen directamente en
los procesos de inyección; y (2) aplicar dicha metodología para determinar las
propiedades de una familia de resinas que puede considerarse una representante
típica de las resinas empleadas en inyecciones de grandes grietas.
3.1 Descripción general de la experimentación
Toda la investigación experimental se ha realizado sobre una resina epoxídica
de dos componentes con distinta proporción de carga inerte para modificar la
viscosidad. El fabricante suministró cantidades apropiadas de resina pura —que
llamaremos resina fluida (F)—, resina de alta viscosidad obtenida por adición de
carga inerte —qug llamaremos resina viscosa (V)—, y endurecedor (E).
Mezclando adecuadamente resina viscosa y fluida se pueden conseguir re
sinas de viscosidad intermedia variable. Las mezclas de este tipo se han iden
tificado con las siglas VFXX, donde XX indica el porcentaje de resina fluida en
la mezcla. Estas mezclas se han estudiado sin adición de endurecedor, con la
finalidad de poder realizar ensayos de larga duración sin que la resina endurezca
e inutilice los equipos experimentales.
91
92 Capítulo 3. Estudio experimental
Por otro lado, mezclando resma viscosa con endurecedor en las proporciones
indicadas por el fabricante, se consigue un producto usado en inyecciones reales,
que se ha indentificado con las siglas VE, y cuyas propiedades reológicas se han
investigado en función de la temperatura y del tiempo.
Además, la temperatura influye mucho, tanto en las propiedades reológicas,
como en la velocidad de gelificación, por ello jel código de las muestras incluye
también la temperatura nominal de ensayo. Así las siglas VF50-25-A identifica a
la muestra A de mezcla de resina viscosa con el 50% d eresina fluidad ensayada a
25°C. Análogamente, VE-31-B nota la muestra B de una mezcla con endurecedor
ensayada a 31°C.
La investigación se ha dividió en tres partes fundamentales: (1) viscosimetría
de placa y cono, (2) viscosimetría de flujo radial y (3) flujo entre placas rugosas.
En la primera parte se han investigado las propiedades reológicas de la resina,
que eran desconocidas a priori (salvo datos puntuales de viscosidad en condi
ciones estándar). Para ello se ha puesto a punto una técnica experimental basada
en un viscosímetro de placa y cono, cuya principal virtud es que la velocidad
de deformación es uniforme en toda la masa del fluido. Debido a la extremada
viscosidad de la resina y las altas velocidades de deformación investigadas, el
viscosímetro no ha podido ser de tipo comercial y ha tenido que construirse ex
profeso. Mediante esta técnica se ha investigado la influencia de la composición
de la resina (mezclas VF) y de la temperatura y tiempo de curado (mezclas VE).
La segunda parte ha consistido en poner a punto y calibrar un viscosímetro
de flujo radial que permita verificar la validez del modelo reológico deducido
de la viscosimetría de placa y cono en situaciones más próximas a la que se tiene
en inyecciones de grietas reales. Para ello se ha construido un viscosímetro de
placas planas, lisas y paralelas con simetría cilindrica en el que la resina fluye
radialmente.
El viscosímetro se ha diseñado de forma que simule (excepto por la falta de
rugosidad de la grieta) la inyección real de ima grieta a escala 1:10 aproximada
mente. En particular, el taladro de inyección, que es de irnos 45 mm de diámetro
3.2. Ensayos de viscositnetría de placa y cono 93
en inyecciones reales, se ha reducido a 4.5 mm y se han usado platos de 20 cm
de diámetro, que corresponde a una zona de inyección de 2 m de diámetro. Se
ha reducido la apertura de la grieta en la misma proporción (de unos pocos mm
en la realidad a unas pocas décimas de mm en el ensayo). Con esta reducción de
escala, la presión de inyección es la misma que a escala real y el caudal se reduce
a la milésima parte (de 1/min a cm^/min).
Debido a la complejidad de los erxsayos este dispositivo sólo permite ensayar
resina sin endurecedor, porque la resina con endurecedor gelificaría antes de
completar el experimento. Por ello sólo se ha utilizado ima mezcla VF cuyas
proporciones se han seleccionado para que sus propiedades reológicas sean sim
ilares a las de las mezclas VE en los primeros estadios.
La tercera parte ha consistido en estudiar el flujo radial de la resina entre
placas rugosas con el objetivo de determinar la influencia de la viscosidad en el
flujo de la resina dentro de la gieta. Se ha investigado el mismo tipo de mezcla que
en caso anterior y las placas rugosas se han fabricado con mortero, manteniendo
la filosofía de simular inyecciones reales a escala 1:10 aproximadamente.
3.2 Ensayos de viscosimetría de placa y cono
3.2.1 Principio de funcionamiento
Un viscosímetro de placa y cono consiste en dos platos circulares coaxiales y
paralelos uno de los cuales es perfectamente plano (la placa) y el otro tiene una
superficie cónica de revolución con el vértice coincidente con el centro de la placa
(Fig. 3.2.1a). Los parámetros geométricaoss que caracterizan al viscosímetro son
el radio R de las placas y el ángulo 6 que forman las generatrices del cono con la
placa (Fig. 3.2.1a).
El fluido a caracterizar se introduce en el espacio entre ambos discos y uno
de los dos se hace rotar a velocidad angular constante u mientras se mide el
momento torsor transmitido por el fluido al otro plato. Es fácil ver que en estas
94 Capítulo 3. Estudio experimental
(b)
Figura 3.2.1: (a) Viscosímetro de placa y cono, (b) Distribución de tensiones tangenciales a lo
largo de un radio.
condiciones la velocidad tangencial 7 en el fluido es uniforme, y vale:
7 1 (3.2.1)
Para un fluido newtoniano generalizado en que el tensor de tensiones es
colineal con el tensor de deformaciones, la tensión tangencial resulta tener la
dirección circunferencial (Fig. 3.2.1b) y su módulo r es uniforme porque también
lo es la velocidad de deformación. El momento torsor transmitido es pues:
Mn /•« 2 2 ,
— TÍ Inr dr = -ITR r Jo 3
(3.2.2)
de forma que si se mide el momento torsor la ter\sión tangencial viene dada por
3MT T =
27ri?3 (3.2.3)
Debido a la uniformidad en los campos de tensiones y deformaciones, con este
dispositivo pueden determinarse las curvas r-j sin hipótesis especiales sobre el
tipo de ecuación constitutiva, y por ello se seleccionó para determinar el tipo de
respuesta de la familia de resinas estudiada.
3.2.2 E q u i p o exper imental
Antes de iniciar el diseño de la experimentación, se investigó.la posibilidad de
utilizar viscosímetros comerciales con dispositivo de placa y cono y resultó que.
3.2. Ensayos de visco simetría de placa y cono 95
con la resina más viscosa a investigar, no podían alcanzarse velocidades de corte
superiores a 5-10 s~ , cuando en las inyecciones reales se alcanzan velocidades
de deformación del orden de 1500 s~ en los puntos más solicitados, con valores
medios del orden de 150 s~K Por ello se decidió diseñar un dispositivo basado
en una máquina imiversal de ensayos INSTRON1115 con capacidad de realizar
ensayos de torsión.
Como la máxima velocidad de rotación de la máquina es de 50 rpm (5.236
rad/s), se tomó el ángulo 6 de forma que la velocidad máxima alcanzable fuera
de 1500 s-^:
e = - ^ = 0.00349 rad = 0.200° (3.2.4) Tmax
El radio de los platos se seleccionó de forma que se pudiera medir la máxima
tensión tangencial esperada con una adecuada precisión utilizando la célula de
carga disponible, de 200 Nm de capacidad; el radio resultante fue de 15 cm
aproximadamente. Finalmente se fabricaron los platos de 14.6 cm de radio (se
partió de im redondo de 30 cm de diámetro, que quedó en 29.2 cm después del
mecanizado).
Como ya se ha indicado, la placa y el cono se diseñaron para ser montados en
una máquina INSTRON 1115. La placa se situó en posición inferior, solidaria con
la plataforma giratoria de la máquina, y el cono en posición superior, solidaria
con la célula de carga de la máquina (Fig. 3.2.2). La placa se acopla a la plataforma
a través de unos dispositivos de alineación que permiten ajusfar la coaxialidad
adecuadamente.
Además, el dispositivo está dotado de un mecanismo para facilitar la colo
cación de la resina en el viscosímetro y su limpieza posterior. Dicho mecanismo
consta, por una parte, de un sistema de leva mediante el cual el plato puede
descender 1 cm respecto de su posición de trabajo y volver a su posición original
sin descentrarse; por otra parte, el cono puede desacoplarse y deslizar fuera del
eje de la máquina en unos carriles dispuestos al efecto (Fig. 3.2.3). De esta manera
las superficies de los platos quedan perfectamente expuestas para su limpieza y
posterior reutilización.
96 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.2.2: Viscosímelro de placa y cono colocado en la máquina de ensayos. La placa es el
disco situado en posición inferior y el cono el disco superior. El par transnrxitido al cono se mide
con la célula de carga (cilindro negro y plata en la zona central de la foto). La estructura con dos
carriles en L que sobresale hacia el observador permite deslizar el cono fuera de su eje para la
limpieza y la colocación de la resina.
3.2. Ensayos de viscosimetrta de placa y cono 97
í
Figura 3.2.3: Detalle de la zona de ensayo con la placa en su posición inferior y el cono d e
splazado sobre los raíles en L.
98 Capítulo 3. Estudio experimental
La medida de cargas se realiza con una célula de carga INSTRON 200 Nm de
capacidad, con una precisión de un 0.5%. La máquina permite realizar ensayos
a velocidad de rotación controlada entre 0.05 y 50 r.p.m. (5.236 10~^ - 5.236
rad/s). De acuerdo con la Ec. (3.2.1), esto equivale a velocidades de deformación
tangencial de 1.5 a 1500 s~^ Sin embargo, las velocidades más altas no pueden
utilizarse con las resinas más viscosas porque se excede la capacidad de carga de
la máquina. Más adelante se detallan las velocidades empleadas para cada una
de las mezclas.
Debido a la extrema sensibilidad de la viscosidad a la temperatura, la máquina
se instaló en un recinto aislado con acondicionamiento de aire, que permite con
trolar la temperatura de todo el sistema y mantenerla estable durante el ensayo
con una variación de ± 1°C, como se comprobó mediante la instalación de tres
termopares, dos en el cono (fijo) del viscosímetro y uno en un bloque de latón de
130 g en contacto con el aire. El recinto, de 3 x 3 x 3 m aproximadamente, se aisló
mediante planchas de poliestireno expandido de 40 mm de espesor montados
en un bastidor de perfiles ligeros de aluminio (Fig. 3.2.4).
El acondicionamiento del ambiente se conseguía mediante la combinación de
un aparato refrigerador (aire acondicionado) y im calefactor que pueden verse en
la (Fig. 3.2.5). Para mejorar la estabilidad y facilitar la consecución del equilibrio
térmico, la circulación de aire producida por los ventiladores del refrigerador y
del calefactor se aumentaba mediante un tercer ventilador próximo a la máquina
de ensayos.
Las lecturas de los termopares y de la célula de carga durante el ensayo se
registran con un sistema de toma de datos National Instruments controlado por
im ordenador Macintosh vx (Fig. 3.2.4). La tarjeta de toma de datos, modelo
MI016X de 16 bits de resolución, está gobernada por un programa de toma de
datos desarrollado en con el paquete de software LabView 2.
3.2. Ensayos de viscosimetna de placa y cono 99
Figura 3.2.4; Vista de conjunto del sislen:\a experimental. Los acondicionadores y calefactores
de aire se ven parcialmente en segundo plano a la izquierda. En primer plano a la izquierda el
ordenador que controla el sistema de adquisición de datos. En primer plano en el centro y a la
derecha, la máquina de ensayos con el viscosímetro. Las dos barras verticales que aparecen en
primer plano son los montantes que soportan las placas de aislante térmico que cierran el recinto
acondicionado (estas placas se han desmontado para realizar la foto),
100 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.2.5: Equipos de acondicionamiento de aire y de calefacción utilizados. Además se ha
dispuesto un ventilador adicional para incrementar la circulación de aire.
3.2. Ensayos de visco simetría de placa y cono 101
3.2.3 Ejecución de los ensayos
Para garantizar la uniformidad de temperatura de la resina, ambos componentes
—resina viscosa y resina fluida o resina viscosa y endurecedor— se mantienen
en el recinto climatizado a temperatura estable durante 48 horas antes de cada
ensayo. Llegado el momento de realizar el ensayo, se pesan los dos componentes
en una balanza con una sensibilidad de 0.1 g. Se unen los componentes en
un recipiente, en cuyo instante el ordenador empieza a contar el tiempo, y se
mezclan con un mezclador rotativo durante 2 minutos. A continuación se coloca
la cantidad de resina requerida (25 mi) en el plato inferior y seguidamente se
coloca el cono en su posición de trabajo y se elimina el exceso de resina que
rebose; llegado a este punto se está en condiciones de iniciar el ensayo.
Es importante destacar el cuidado con que debe colocarse la resina en el
viscosímetro. En la serie de ensayos de puesta a punto (serie 0), la resina se
distribuía manualmente sobre la placa inferior en una capa lo más honiogénea
posible. A pesar de ello los resultados fueron relativamente dispersos porque
debido al pequeñísimo ángulo del cono, era fácil dejar atrapadas burbujas de
aire. Después de dicha serie se modificó la técnica de colocación de la resina que
ha pasado a hacerse de la siguiente forma: en lugar de distribuirse sobre toda la
placa la resina se coloca concentrada en el centro y a continuación se eleva la placa
de forma progresiva y lenta de manera que se produce un desplazamiento radial
de la resina que no deja burbujas; para facilitar el flujo y mantener la simetría
se hace girar lentamente el plato al tiempo que asciende. Con esta técnica se
consigue una repetitividad mucho mayor.
Durante el ensayo se van modificando periódicamente las velocidades de
rotación del viscosímetro, con lo que se obtienen los momentos torsores para
distintos tiempos y velocidades de rotación. En las mezclas sin endurecedor
(código VF-) el proceso se repite varias veces para tener varias determinaciones
sobre la misma muestra. En las mezclas con endurecedor (código VE-) el ensayo
se prolonga hasta que la resina tiene un nivel de gelificación tan elevado que
la máquina está al límite de su capacidad, y al mismo tiempo la reacción no
102 Capítulo 3. Estudio experimental
Proporciones %(V/X)
Temperatura nominal
Muestras
Temperatura media
real
Código
Velocidad de deformación
(s-l)
, •_-.-—4 .^,,-.nn=prrr^ Vis
Serie 0 Mezcla de resina viscosa
100/00
A
U O tfi
S
t A >
B
O Q O
A O
^
1.5,3,6 15,30,60 150,300
y fluida (F)
75/25 50/50
25 °C
A
U o C2
t r/ ^
B
U O i - H
S
s fíl ,A (N
> 1.5,3,6
15,30,60 150,300
600,1500
A
U 0 iri
í A ^
B
y tM
S
A !" ^
30,60 150,300
600,1500
icosimetría de placa y cono
(V)
25/75
A
U o m
1 ,k >
B
U O t^
a
,k t^ >
60 150,300 600,1500
Serie 1 Mezcla de resina viscosa (V)
y endurecedor (E)
91.8/8.2
25 "C
A
y C O
Í 7 >
B
U in
s 7 H >
32 °C
A
U O
- en
t 7 >
B
y «5 Cf> CTJ
CQ
'\' ^
37 °C
A
U r-t 00 «5
Í 7 H >
B
U O tx
s 'V w >
Serie 2 Mezcla de resina viscosa (V)
y fluida (F)
100/00 1 95/5
25 °C
A2
"^ lo
CM
i 5
B2
U O o ñ
1 >
A
U O T - (
ID CM
1 ,h Pb >
B
U 0 ^O
ñ
A o >
1.5,3,6,15, 30,60,150
90/10
A
U O t^
ID
3 Vi
>
Figura 3.2.6: Cuadro resumen de los ensayos de viscosimetría de placa y cono.
ha llegado tan lejos que no sea posible limpiar el viscosímetro mediante acción
mecánica y disolvente.
Durante el ensayo, el ordenador toma lecturas del momento torsor y del
tiempo cada segundo y de la temperatura cada minuto. Las velocidades de
rotación se seleccionan manualmente. Para marcar claramente los cambios de
velocidad, se suministra una señal eléctrica extema justo cuando se hace el cam
bio. Después se mantiene la velocidad durante 10 s, aproximadamente, y se
pasa a la siguiente velocidad. La secuencia de velocidades de corte utilizada
para cada muestra se resume en la última fila del cuadro de la Fig. 3.2.6.
3.2.4 Proceso de datos y presentación de resultados
El archivo generado por el sistema de adquisición de datos durante un ensayo
contiene (aparte del registro de temperatura que tiene simples efectos de con
trol) las lecturas de la célula de carga (en Voltios) y los instantes en que se han
efectuado. La representación gráfica de las lecturas frente al tiempo muestra los
escalones correspondientes a las diversas velocidades de rotación. La Fig. 3.2.7
muestra un fragmento de uno de esos registros. Como puede verse, el momento
3.2. Ensayos de viscosimetría de placa y cono 103
1.2
1.0
g O . 8
^ 0 . 6 u
^ 0.4
0.2 \-
lectura de momento torsor; ensayo a 31 °C
: o i 0.0 ínasmíí)
1;^-
! I -
3.0
6,0.1
Y. (s-')
flÍ5-
30
escala L I i i í N m / W i
60 i
150 i
:rJ^, a •20iNm/V-
o J , I , L J , I , I , I , I , L J , L
13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.
Tiempo (min)
15 15.2
Figura 3.2.7: Segmento de un registro lectura-tiempo, resultado directo de un ensayo.
torsor es muy uniforme en cada escalón, por lo que los efectos viscoelásticos
pueden despreciarse. Nótese que la escala vertical está en Voltios, que es la
lectura directa realizada por el sistema de adquisición de datos; la escala corre
spondiente se indica en el gráfico. En el tramo mostrado hay un cambio de escala
en el entorno de 14.6 minutos, necesario porque el límite de respuesta lineal del
amplificador de la máquiíia es de 1.25 V.
A partir del archivo inicial en voltios, se construyen los registros momento
torsor-tiempo, que se almacenan en forma gráfica y digital. Los registros de los
ensayos individuales, se han incluido en el Apéndice B.
Con los valores de estos registros se determinan en primer lugar los valores
medios de MT y del tiempo t para cada escalón (cada velocidad), y seguidamente
se calcula la tensión tangencial r a partir de la ecuación (3.2.2). Con esto se
obtienen tablas de valores r-t para cada velocidad de deformación 7 (y cada
temperatura T) a partir de las cuales se construyen los reogramas.
Para mezclas sin endurecedor (código VF-) el resultado no depende del
tiempo y esta variable se elimina sin más que dibujar todos los valores de r
frente a los correspondientes 7 sin tener en cuenta el instante correspondiente.
104 Capítulo 3. Estudio experimental
03 O-,
tí -o
o»
0.1 -
1 10 100
velocidad de deformación (s~ )
Figura 3.2.8: Ejemplo de los reogramas que se obtienen para mezclas sin endurecedor (código
VF), a lina temperatura dada.
Se obtiene así un reograma simple o curva r - 7 para cada temperatura, como la
representada en la Fig. 3.2.8 que incluye los experimentos de dos muestras. Los
resultados para cada par de muestras ensayadas a la misma temperatura se han
recogido en el Apéndice B.
Para las mezclas con endurecedor (código VE-) el proceso de gelificación hace
que la viscosidad aumente con el tiempo, por lo que el resultado directo de los
ensayos son curvas r-t para distintos valores de 7 como las que se muestran en
la Fig. 3.2.9. Para obtener las curvas r - 7 (reogramas) en diferentes instantes,
se interpolan puntos en las curvas a intervalos regulares de tiempo (2.5 min.
aproximadamente) de manera que se pueda dibujar la tensión tangencial para
las distintas velocidades en el mismo instante. El conjunto de los resultados
experimentales se analiza en los siguientes apartados.
3.2. Ensayos de visco simetría de placa y cono 105
10.0
u C o»
c -o
C/3 C O)
1.0
0.1
Serie 1 muestra VE-25-A T=25
' • I I I 1 I L
velocidad de deformación
(s")
-1.5 •3 6 15 30 60 150
10 20 30 40 50
tiempo (min) 60 70
Figura 3.2.9: Ejemplo de las curvas r-t para distintos valores de 7 que se obtienen para mezclas
con endurecedor (código VE-), a una temperatura dada.
3.2.5 Resu l tados bás icos de la exper imentac ión
Resultados de la Serie 0: mezclas sin endurecedor
La figura 3.2.10 recoge los resultados experimentales de la Serie O en la forma
de curvas r ^ en un diagrama bilogarítmico para varias proporciones de mezcla
de resinas viscosa y fluida. Como se ha indicado en el apartado anterior, estos
ensayos son los primeros que se realizaron y sus resultados no son lo repetitivos
que cabría esperar debido al aire ocluido en la resina que provoca diferencias del
orden del 20% entre las muestras Ay B. Con todo, estos resultados permiten
obtener conclusiones útiles para diseñar las series siguientes y para comprender
el comportamiento de la resina, y se discuten conjuntamente con los de la Serie
2 en el Capítulo 4.
Resultados de la Serie 1: Mezclas con endurecedor
La figuras 3.2.11,3.2.12 y 3.2.13 recogen los resultados experimentales represen
tados como curvas r ^ en diagrama bilogarítniico para las tres temperaturas
106 Capítulo 3. Estudio experimental
10.0
«3 O H ,
'Ü a> bO C tc
^ - t C
'•O • i -H
c
1.0
0.1
contenido resina fluida
L
newtoniano 50% A 75%
1 10 100 1000
velocidad de deformación (s~ )
Figura 3.2.10: Reogramas a temperatura de 25°C y varias proporciones de mezcla.
estudiadas y varios tiempos de gelificación. En este punto basta notar que los
los resultados yacen sobre curvas aproximadamente rectas y paralelas entre sí,
por lo que podrán aproximarse por expresiones potenciales. El análisis global
de todos estos resultados se hace en el Capítulo 4.
Resultados de la Serie 2: Mezclas de alta viscosidad sin endurecedor
Esta serie tiene como objetivo seleccionar una mezcla VF (mezclas sin endure
cedor) que tenga propiedades reológicas similares a la resina con endurecedor
a los 25 minutos de efectuada la mezcla. El motivo para tal selección es que los
ensayos de flujo radial que se presentarán en las siguientes secciones son excesi
vamente largos que resulta imposible utilizar resina con endurecedor, por lo que
se utilizó una mezcla sin endurecedor para efectuar todos los ensayos.
Los resultados de la Serie O ponen de manifiesto que la adición de resina fluida
(resina pura) a la resina viscosa disminuye mucho la viscosidad para mezclas
con contenidos superiores al 25% de resina pura. Por ello en la Serie 2 se han
efectuado ensayos para contenidos menores de resina pura —del O, 5 y 10%—
tal como se indica en el cuadro de la Fig. 3.2.6. Los ensayos se realizaron a 25°C
3.2. Ensayos de visco simetría de placa y cono 107
1 10 100 velocidad de deformación (s" )
Figura 3.2.11: Reogramas a temperatura de 25°C y varios tiempos de gelifícacióri para mezclas
con endurecedor.
10000
PH,
1—(
'ü cu
re +-'
-o •^
C/3 tí (U
1000
100
10 100
velocidad de deformación (s )
Figura 3.2.12: Reogramas a temperatura de 32°C y varios tiempos de geÜficación para mezclas
con endurecedor.
108 Capítulo 3. Estudio experimental
1 10 100 velocidad de deformación (s~ )
Figura 3.2.13: Reogramas a temperatura de 25°C y varios tiempos de gelificación para mezclas
coii endurecedor.
de temperatura nominal.
Los resultados individuales de los ensayos se recogen en el Apéndice B. La
Fig 3.2.14 muestra los resultados de conjunto comparados con los de la mezcla
VE a la misma temperatura y a los 25 minutos de efectuada la mezcla. Como
puede verse los puntos de esta última mezcla prácticamente se superpone a la
de la mezcla VF con un 5% de resina fluida, que es la que se seleccionó para los
ensayos de flujo radial.
3.3 Ensayos de viscosimetría de flujo radial
El objetivo fundamental de los ensayos de viscosimetría de flujo radial es verificar
que las fórmulas deducidas para dicho tipo de flujo son válidas para el caso
más simple de flujo entre placas completamente lisas. En particular, quiere
comprobarse que la relación entre el caudal, las presiones y la fuerza son descritas
adecuadamente por las ecuaciones teóricas.
3.3. Ensayos de viscosimetría de flujo radial 109
10.0
nS
tí O)
bo C
-O
tí 01
1.0
0.1
o G O +
-
: 8
B +
: o
0% fluida 5% fluida
10% fluida
• Serie 2: T =
con endurecedor (25 min) 0
0
= 0
D + O
o
0 ffl
W 0
o
, 1 , , .
25° 0
ú
o
0
o
10
a-rYÍs'^)
100
Figura 3.2.14: Resultados de la Serie 2: El reograma para resina con endurecedor a 25°C y a los
25 minutos de efectuar la mezcla es muy próximo al de la mezcla de resinas con un 5% de resina
pura.
3.3.1 Principio d e func ionamiento
El viscosímetro de flujo radial que consta de dos discos circulares paralelos entre
los cuales fluye radialmente el líquido que se ensaya (Fig. 3.3.1). Llamamos w a
la separación entre las caras (lisas) de los dos discos, R al radio de los mismos y
i?o al radio del orificio de inyección
Para el caso de que sea válida una ley de potencia del tipo (2.4.1), las ecua
ciones que, para régimen estacionario, relacionan el caudal Q con la presión de
inyección pi con el caudal, la presión a distancia r del eje de los platos y la fuerza
resultante F que ejerce el fluido son idénticas a las obtenidas en el Capítulo 2 para
la inyección entre placas lisas (§2.5) salvo que R es independiente del tiempo.
Las ecuaciones pueden reescribirse de la forma siguiente:
p(r) = 2 « " c ^ n o l - n l
w 2n+l Q^'R'
(r/R) l - n
F = ? ! [^gn i?3-n l - n
1 - {R^lRf-'' w
2n+l n
(3.3.1)
(3.3.2)
lio Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.3.1: Esquema de un viscosímetro de flujo radial; en negro el líquido con el sentido del
flujo sobreimpreso en blanco.
donde
a = 2n + l
nn (3.3.3)
donde se ha suprimido, por comodidad, el subíndice de QB porque en este caso
el caudal es uniforme.
En principio, la presión en el taladro de inyecciones es la presión a la entrada
de la ranura, es decir
PB^P{RO) (3.3.4)
sin embargo esto es sólo una aproximación porque para que esto se cumpliera
exactamente tendría que medirse la presión dentro del canal de flujo radial, no
dentro del taladro de inyección. Si la presión de inyección se mide en el centro
del conducto de inyección, es de esperar que sea algo superior a la teórica dada
por (3.3.4) ya que existirán pérdidas de carga, aunque pequeñas entre el eje y los
puntos situados a la distancia RQ. Como veremos más adelante, los resultados
experimentales confirman esta hipótesis.
3.3.2 E q u i p o experimental
Como ya se ha indicado en la descripción general de la experimentación, los
ensayos de flujo radial se han diseñado de manera que corresponden, aproxi
madamente, a ensayos a escala 1:10 respecto de las dimensiones utilizadas en
3.3. Ensayos de visco simetría de flujo radial 111
casos reales. De acuerdo con esto, el diámetro del taladro de myección se ha
tomado de 4.5 mm {RQ — 2.25 mm) y se ha seleccionado un diámetro de plato de
200 mm {R = 100 mm).
La Fig. 3.3.2a muestra el esquema del montaje del viscosímetro. El plato
superior (n° 1 en el esquema) incluye el conducto de inyección y los dispositivos
de purgado del circuito (no mostrados en el esquema). El plato inferior tiene 5
taladros de 1 mm de diámetro para toma de presión dispuestos como se muestra
en la Fig. 3.3.2b. Los platos se montan en una máquina hidráulica de ensayos
INSTRON 1275 para permitir el control de la separación entre los platos y la
medida de fuerza resultante. Para ello el plato superior (n° 1 en el esquema) se une
a una rótula esférica (n° 4 en el esquema) que permite ajusfar el paralelismo entre
los platos con gran precisión, y ésta se une a la célula de carga (n° 5) que a su vez
está sujeta al bastidor de la máquina (no mostrado). Por su parte, el plato inferior
(n° 2) va conectado al pistón hidráulico de la máquina (n° 6) a través de un bloque
metálico que aloja los 5 transductores de presión (n° 7). La separación entre los
platos se mide con 3 transductores inductivos de desplazamiento situados en
la periferia denlos platos (n° 8). La temperatura se mide siempre mediante 3
termopares conectados al plato superior (n° 9).
Para la inyección de la resina y la medida del caudal se diseñó el disposi
tivo de inyección que se esquematiza en la Fig. 3.3.3. El elemento básico del
sistema es un cartucho de plástico con émbolo —que denominamos cartucho de
inyección— de los utilizados en las aplicaciones de silicona y que contiene la
resina (n° 1 en la figura). El cartucho se aloja en un cilindro de acero que se llena
de aceite (n° 2). La presión del aceite empuja el émbolo y , simultáneamente,
confina las paredes cilindricas de 1 cartucho. Nótese que es esencial que el aceite
rodee completamente al cartucho ya que así el plástico que la forma se encuentra
en un estado de presión hidrostática; de otra manera las paredes del cartucho
reventarían a causa de las presiones que se aplican (de hasta 100 bares). El uso
del cartucho evita la contaminación de la resina y del aceite.
Para inyectar la resina y medir adecuadamente su volumen, el aceite que
112 Capítulo 3. Estudio experimental
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Plato superior con conducto de inyección.
Plato inferior con tomas de presión.
Línea de inyección.
Rótula.
Célula de Carga.
Pistón hidráulico.
Transductores de presión (x 5).
Transductores de desplazamiento (x 3).
Termopares (x 3).
Línea de toma de datos.
Taladro #1 #2 #3 #4 #5
Distancia al eje (mm) 0.0 24.4 34.5 49.7 67.0
Figura 3.3.2: (a) Esquema del viscosímetro de flujo radial, (b) Disposición de los conductos de
los transductores de presión.
3.3. Ensayos de visco simetría de flujo radial 113
^ ^ ^ ^ l i ^ i ^ ^ - ^ - » ^
Figura 3.3.3: Esquema del dispositivo de inyección.
empuja la resina se impulsa mediante un cilindro hidráulico de doble efecto
cuyo funcionamiento es como sigue: La presión hidráulica (n° 3) proverúente
de la máquina (más concretamente del sistem.a de mordazas hidráulicas de la
máquina INSTRON1275) ataca ima parte del pistón de doble efecto y se transmite
a la otra parte del cilindro (n° 4); a medida que la resina fluye, el pistón se desplaza
y su desplazamiento se mide con un transductor de tipo inductivo (n° 5). El
volumen inyectado se obtiene multiplicando el desplazamiento del pistón por
la sección del cilindro, que es conocida.
Para controlar adecuadamente la temperatura del ensayo se construyó im
recinto aislado con paredes de poliestireno expandido de 40 mm de espesor, con
un control de temperatura idéntico al utilizado en los ensayos de viscometría
de placa y cono. En este caso el recinto no incluye totalmente la máquina de
ensayos, sino que acondiciona sólo la zona de ensayo tal como puede verse
en la foto superior de la Fig. 3.3.4. En dicha foto se aprecia a la derecha el
bastidor de la máquina con sus cuatro columnas en la zona superior de la máquina
puede verse la célula de carga, de 1000 kN de capacidad. Todo el resto del
dispositivo experimental, incluido el sistema de inyección, está contenido en el
recinto acondicionado.
114 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.3.4: Foto superior: Vista exterior de recinto climatizado; a la derecha el bastidor de
la máquina INSTRON 1275 con la célula de carga en su parte superior. Foto inferior: Vista del
dispositivo experimental.
3.3. Ensayos de visco simetría de flujo radial 115
La foto inferior de la Fig. 3.3.4 muestra el dispositivo experimental montado,
a falta sólo de conectar las mangueras que suministran la presión de inyección.
El cilindro horizontal plateado de la izquierda es el que contiene el cartucho
de inyección y el cilindro verde el pistón de doble efecto. El elemento rojo es
el soporte del transductor de desplazamiento utilizado para medir el volumen
inyectado.
La Fig. 3.3.5 muestra dos detalles del montaje de los trar^ductores de presión.
En ella se ve en primer lugar (parte superior) el bloque que corresponde al n° 7
de la Fig. 3.3.2, con los alojamientos de los transductores de presión y los trans
ductores preparados para ser montados. En la parte inferior de la figura se ve
cómo los transductores se conectan a los conductos de toma de presión del plato
inferior (en la fase del montaje mostrado en la foto el plato inferior está sujeto al
plato superior mediante un gato).
Durante el ensayo se mide la temperatura en 3 puntos, las posiciones relativas
de los platos mediante 3 captadores inductivos, las presiones de la resina en 5
puntos, la fuerza resultante, el volumen inyectado y el tiempo transcurrido.
Las temperaturas se miden mediante termopares de tipo K. La posicición re
lativa de los platos se mide mediante dos transductores inductivos HBM W2ATK
de ±2 mm de recorrido y im tercer trarisductor inductivo tipo LVDT (transfor
mador lineal diferencial variable) de ±5 mm de recorrido.
Para la medida de presiones se utilizan 5 trarisductores de la casa HBM.
Uno de ellos, modelo F9V5/100, tiene amplificador interno y viene calibrado de
fábrica. Es un transductor de presiones absolutas, con una salida analógica de 5
V a la presión de fondo de escala (100 kPa) y una precisión del 0.5%. Los otros
cuatro transductores son modelo P8A, tres de 200 kPa y uno de 100 kPa. Los
transductores de 200 kPa se colocan en las posiciones más próximas al punto de
inyección (taladros 1, 2 y 3 en la Fig. 3.3.2b). Los dos transductores de 100 kPa
se colocan en las posiciones más alejadas (taladros 4 y 5).
Los transductores del modelo P8A se conectan a un amplificador y acondicio
nador de señal Vishay 2100 y se calibran tomando como referencia el trar\sductor
116 Capitulo 3. Estudio experimental
Figura 3.3.5: Foto superior: Vista de detalle del bloque de alojamiento de los transductores de
presión ( pieza n" 7 de la Fig. 3.3.2). Foto inferior: Acoplamiento de los transductores de presión
al plato inferior (sujeto al plato superior en esta fase del montaje).
3.3. Ensayos de viscosintetría de flujo radial 117
P9V5/100 calibrado en fábrica. Una vez calibrados se dispone de una salida
analógica de 10 V a fondo de escala, con una precisión de ±1%.
La fuerza resultante se mide mediante la célula de carga INSTRON de la
máquina 1275, de 1000 kN de capacidad, y precisión del 0.5%.
El volumen inyectado o, más exactamente, el desplazamiento del émbolo del
pistón se mide mediante un transductor inductivo HBM W20 de ± 20 mm de
recorrido con una precisión del 0.4%.
3.3.3 Ejecución de los ensayos
Como ya se ha indicado, en estos eiisayos se utilizó una mezcla de resina viscosa
con un 5% de resina pura que se ensayó a 25°C.
En las primeras pruebas se utilizó una técnica de mezclado ordinaria, consis
tente en el pesado de las muestras a mezclar, batido y carga en los cartuchos de
inyección, todo ello a la temperatura ambiente. Sin embargo, los primeros ensa
yos mostraron que el aire incorporado durante el batido en forma de pequeñas
burbujas permanecía en la mezcla durante mucho tiempo debido a la extrema
viscosidad de la resina. El aire ocluido perturbaba el flujo y la niedida del vol
umen de la resina inyectada (debido a la compresibilidad introducida por el
aire).
En vista de lo anterior se desarrolló im procedimiento especial basado en
favorecer el desaireado de la resina por disminución de la viscosidad, lo que se
consigue aumentando la temperatura. Primero se pesan los componentes en pro
porciones adecuadas (típicamente 185 g de resina pura y 3515 g de resina viscosa)
y se colocan en un contenedor de plástico que se introduce en un baño de agua
a 50-60 °C durante dos horas aproximadamente. A continuación, manteniendo
esta temperatura, se efectúa la mezcla con un mezclador mecánico. Hecha la
mezcla, se rellenan con ella los cartuchos de inyección que, una vez colocado el
émbolo y convenientemente purgados, se sitúan en el baño termostático a 50 °C
con su embocadura hacia arriba, como puede verse en la foto de la Fig. 3.3.6. Los
cartuchos se mantienen en ésta situación al menos un día y hasta el momento
118 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.3.6: Fotografía del baño termostático con los cartuchos de inyección desaireándose.
del ensayo. Durante este tiempo las burbujas de aire ascienden por flotación a
la embocadura del cartucho y son purgadas expulsando unos pocos centímetros
cúbicos accionando el émbolo.
Cuando llega el momento del ensayo el cartucho se coloca en el cilindro de
inyección, y se rellena y purga el circuito de aceite hidráulico. A continuación
se purga (con la resina todavía caliente) la parte del circuito de resina con los
purgadores dispuestos al efecto. Una vez terminadas estas operaciones se espera
un mínimo de 6 horas para que la resina alcance el equilibrio térmico con el
ambiente.
La preparación de la parte mecánica del ensayo se inicia justo antes de la
colocación del cartucho de resina. La primera operación consiste en montar todas
las piezas del conjunto y rellenar de aceite de silicona los capilares que conectan
los captadores de presión con la resina. Esto es necesario para evitar formación
de burbujas de aire y para conseguir que la presión se transmita al diafragma
del captador con poquísimo aporte de resina. Para rellenar el conducto, que sólo
tiene 1 mm de diámetro, sin dejar burbujas se emplea una aguja hipodérmica
3.3. Ensayos de viscosimetría de flujo radial 119
larga que se introduce hasta el fondo para hacer que el aceite llene el tubo de
abajo hacia arriba.
La segunda operación consiste en la colocación de los platos de forma que
queden paralelos. Para ello se libera la rótula esférica, se comprime un plato
contra otro bajo una carga de 80 a 100 kN y se bloquea la rótula con los 4 tornillos
destinados al efecto. Debe notarse que el bloqueo debe ser efectuado con un
cuidado exquisito para que las cargas aplicadas a cada uno de los tornillos sea
idéntica, porque en caso contrario se produce ima pequeña rotación al separar
los platos, con lo que se pierde el paralelismo. Una vez bloqueada la rótula, pero
manteniendo la carga, se ajustan á cero las lecturas de los captadores inductivos
que miden el desplazamiento relativo de los platos.
Finalmente, se separan los platos, se ponen a cero las lecturas de los captadores
de presión y de la célula de carga, se cierra la cámara isotérmica, y se espera un
mínimo de 6 horas para que las distintas componentes del equipo alcancen el
equilibrio térmico con el ambiente. Alcanzada la estabilización se procede a la
experimentación propiamente dicha.
Con cada cartucho de resina se hacen en realidad múltiples determinaciones,
correspondientes a diferentes aperturas (distancia entre caras de los platos, w)
y varias presiones de inyección. La apertura de fisura se ajusta operando la
máquina en control, de desplazamiento. En esta modalidad la máquina lee la
señal de uno de los captadores inductivos que miden la separación entre platos y
su servocontrol regula el pistón de modo que dicha lectura se mantiene constante.
La separación deseada se introduce por el teclado de la consola de control de la
máquina. Una vez ajustada ésta, se procede a aplicar varios escalones de presión
mediante un manorreductor de acción manual.
A lo largo de todo el ensayo, se tomaron lecturas mediante el sistema de
adquisición de datos de todas las variables del ensayo: Temperatura (3 termo-
pares), separación entre platos (3 transductores), presiones (5 transductores),
fuerza, y desplazamiento del pistón de inyección. Una vez terminada la resina
del cartucho se daba por terminado el ensayo y se procedía a desmontar y limpiar
120
j. iiU-.-,-....,. 1 f
1
Resina
Temperatura nominal
Muestras
Temperatura media real
Código
-' Apertura nommal (nrun)
Apertura media real (mm)
Presión nominal en el centro
(MPa)
Capítulo 3. Estudio experimental
\ Viscosimetría de flujo radial
Mezcla de resina viscosa (V) y fluida (F) con proporciones de 95% de resina V y 5% de resina F
25.0 °C
A
23.4 °C
VF05-25-A
0.2
0.21
2.0, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.0, 7.0, 8.0.
0.3
0.31
2.5, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.4
0.41
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.5.
0.3-
0.31
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 8.0.
B
23.4 "C
VF05-25-B
02
0.21
2.0, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.3
0.31
0.4
0.41
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.2
0.21
2.5, 4.0, 5.5, 7.0, 7.5, 8.0.
0.3
0.31
2.0, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5.
c 23.7 "C
VF05-25-C
0.2
0.20
2.0, 3.5, 4.5, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.3
0.30
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.4
0.40
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 7.5.
0.3
0.30
2.0, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5.
0.2
0.20
2.0, 4.0, 5.0, 6.0, 6.5, 7.5.
0.4
0.40
2.0, 2,5, 3.0, 4.0.
D
23.3 °C
VF05-25-D
0.2
0.22
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.
0.3
0 3?
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.5, 7.0, 8.5.
0.4
0.42
2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0.
0.3
0 37
2.5, 3.5, 5.0, 6.0, 6.5, 7.0.
0.4
0.42
2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5.
Figura 3.3.7: Cuadro resumen de los ensayos de viscosimetría de flujo radial.
todo el dispositivo y a procesar los datos del ensayo.
El cuadro de la Fig. 3.3.7 se resumeri los er\sayos realizados. Cada muestra
corresponde a un cartucho de inyección. Para cada muestra se realizaron varias
series de medidas a aperturas de 0.2,0.3 y 0.4 mm con presiones en el rango de
2 a 8 MPa. Para cada muestra se realizaron tantas series como fue posible hasta
el agotamiento de la resina. Nótese que aunque se incluye en el cuadro y los
registros correspondientes se dan en el apéndice de resultados experimentales,
las medidas de la muestra B resultaron muy dispersas debido a un problema
de control de la máquina que mantenía la separación entre las placas constante
en media, pero con oscilaciones de tipo senoidal que generaron grandes oscila
ciones en la presión y en el caudal. Esta muestra no se incluirá en el análisis de
resultados.
3.3.4 Proceso de datos y presentación de resultados
Los resultados del ensayo son tablas en las que, para cada instante, se registran
los valores de las distintas variables. Después de convertir los datos brutos
(expresados en voltios) a unidades físicas, se dispone de varios tipos de gráficos
3.3. Ensayos de viscositnetría de flujo radial 121
0.6
0.5
5 0.3 u OH
0.2
0.0
Muestra: VF05-25-C temperatura
.s.-Í.... . . . . '
OO O ooo
captador n°
o 1 • 2 o 3
30
25
20 O
5 10 15
tiempo (min)
Figura 3.3.8: Evolución de la apertura de fisura y temperatura media a lo largo del ensayo para
una de las muestras.
que presentan la evolución de las distintas variables y sus relaciones mutuas.
En un tipo de gráficos, como el ilustrado en la Fig. 3.3.8, se representa la
evolución de las lecturas de los captadores inductivos que miden la separación
relativa entre los platos y de la temperatura en función del tiempo. En este gráfico
se dibuja también el valor medio de la separación entre los platos. Como puede
verse, para ésta^ muestra se efectuaron 6 escalones de apertura, 2 para cada una
de las aperturas nominales (0.2,0.3 y 0.4 mm). Registros similares a éste se han
incluido para todas las muestras en el Apéndice C.
La Fig. 3.3.9 muestra otro gráfico característico en el que aparece iin segmento
de la evolución de la apertura media y la evolución de la medida de otro captador,
en este caso del transductor de presión n° 1 (el central). A la escala mostrada
apenas se notan los escalones de presión.
La Fig. 3.3.10 muestra un detalle de la evolución de la apertura media y de la
presión en el captador n° 1 para un escalón de apertura de fisura. A esta escala
se aprecian ya perfectamente los escalones de presión."
Dentro de cada escalón de presión se comprueba primero que todas las lee-
122 Capítulo 3. Estudio experimental
„ Muestra: VF05-25-C 0.41- , apertura media
--v 0.2
^ 0.0 )-l O)
-0.2
-0.4 -
pres ión (MPa)
12
10
1-1
6 3
4 S
20 O
5 10 15
tiempo (min)
Figura 3.3.9: Evolución de la apertura media de la grieta y de la presión en el taladro de
inyección para una de las muestras.
0.40
0.38
a 0.36
^ 0.34
0.32 -
0.30 9.5
_ ^^apertura media
presión (MPa)
Muestra: VF05-25-C
en
13
O 11.0 10.0 10.5
tiempo (min)
Figura 3.3.10: Evolución de la presión a lo largo de un escalón de apertura.
3.3. Ensayos de visco simetría de flujo radial 123
-13.0
§ -13.5
:3 -14.0 O O,
•14.5
Muestra: VF05-25-C
0.234 ± 0.001 m m / s
I I . . . I
384 385 386 387 388 389 390 391
t(s)
Figura 3.3.11: Determinación del caudal en un escalón a presión y apertura constante
turas —excepto la del desplazamiento del pistón de inyección— permanecen
sensiblemente constantes y se determina el valor medio de cada una de las va
riables a lo largo del escalón de presión.
Mención aparte merece la determinación del caudal de inyección. Para de
terminarlo se toman las lecturas del captador que mide el desplazamiento del
pistón de inyección y se representan en función del tiempo, tal como muestra la
Fig. 3.3.11 (que incluye también la lectura de la presión en el centro del plato).
Como puede verse, la curva desplazamiento-tiempo es sensiblemente lineal,
como corresponde a un caudal constante. Para determinar el caudal, se ajusta
una recta por mínimos cuadrados cuya pendiente es la velocidad media de des
plazamiento del pistón durante este escalón (en el caso considerado el resultado
es de 0.234 mm/s, tal como se indica en la figura). Multiplicando la velocidad
por la sección del pistón se obtiene el caudal.. Éste método tiene la ventaja de que
el procedimiento de regresión lineal permite determinar la desviación estándar
en la determinación de la velocidad (0.001 mm/s en el caso de la figura) y de ella
la desviación estándar del caudal.
El resultado de todo el proceso de resultados son curvas como las de la
124 Capítulo 3. Estudio experimental
7.0
5.0
3<0
•2 ro-Si 0.8 Cu
0.6
0.4
0.2
. Muestra:
.
- ^ - - • "
•co-
"cP <p
. A -
)
VF05-
transductor
.•» ..--°""
. . - • D "
V
n° - 1 -
..2-
- 3 -
.4-
-5-
25-
..•-Cr
. -O
...-A-
. . - ^ •
C
.--O''
- A -
- V -
.o--.•cr
-O-
-D-
-O-
-A"'
- V
apertura =
. . 0 - 0 - -
. . D O - -
.-OO'-
..S7-V-'
0.30
.o .o-o
.o-°-°
.o-o-^ A.-A
. - V - V - '
mm
9 10 20 30 40 50
caudal (cm /min)
Figura 3.3.12: Ejemplo de las curvas presiór\-caudal para una muestra y apertura de grieta.
Fig. 3.3.12 que para una apertura dada representa las presiones de los captadores
en función del caudal y las de la Fig. 3.3.13 que para cada apertura representa
la fuerza en función del caudal. El Apéndice C incluye estas curvas para cada
una de las muestras y aperturas de fisura. El análisis de los resultados y sus
implicaciones se detallan en el Capítulo 4.
3.4 Ensayos de flujo radial en grieta rugosa
El objetivo de los ensayos de flujo radial en grieta rugosa es determinar cómo
se modifican las ecuaciones de flujo en^l caso de que el fluido circule por una
grieta rugosa.
3.4.1 Principio de funcionamiento
Para el estudio del flujo en grieta rugosa se utiliza el viscosímetro de flujo radial
descrito en la sección anterior, cambiando las placas lisas de acero por placas
rugosas de mortero. En este caso, admitido que el fluido es de tipo potencial.
3A. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 125
_
z bo
u
40.0
30.0
20.0
10.0 9.0 8.0
Muestra:
•
VF05-25-C r? ^ .O
d ^•' ó apertura (mm) p F
0.20
p¿ /
/ .'
/ - d
d o
o' 0.30/ - - ..o
o"' 0.40 <>''' . ^
p' m *
O . , 1 . . . 1
10 100 caudal (cm /min)
Figura 3.3.13: Ejemplo de las curvas presión-caudal para uria muestra y varias aperturas.
resulta del estudio efectuado en el capítulo anterior (§2.5) que la ley de flujo (ley
de Darcy generalizada) para la grieta puede escribirse como
. n i V,i -<t>q'' (3.4.1)
donde p^i = dp/dxi {i = 1,1) son las componentes del gradiente de presión {xi y
X2 son ejes contenidos en el plano de la fisura); QÍ son las componentes del caudal
por tmidad de longitud de fisura, q su módulo y ó es el coeficiente de flujo.
El coeficiente de flujo (f) depende de la apertura de la fisura w, de los paráme
tros del fluido (coeficiente c y exponente n de la ley de potencia) y de la rugosidad
de la grieta, y es el parámetro cuya estructura se quiere analizar. En particular
se quiere estudiar cómo la rugosidad modifica el coeficiente de flujo.
Aplicando la ecuación anterior al flujo radial entre placas de radio R a partir
de un taladro de inyección de radio RQ, se obtuvo la distribución de presiones y
la fiierza resultante, que pueden expresarse en la forma
Q \ " 1 - (r/i?)!-" p{r)
F
(j)R 1-KRJ 1-n
1 - {Ro/Rf-"" ^ < ^ ) ' n
(3.4.2)
(3.4.3)
126 Capítulo 3. Estudio experimental
la Ib
2a 2b
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
. Placa superior metálica ). Plaqueta superior de mortero
. Placa inferior metálica
. Plaqueta inferior de mortero
Línea de inyección.
Rótula.
Célula de Carga.
Pistón hidráulico.
Transductores de presión (x 5).
Transductores de desplazamiento (x 3).
Termopares (x 3).
Línea de toma de datos.
Figura 3.4.1: Esquema del viscosímetro modificado para utilizar placas rugosas
de donde se deduce que la medida de presiones y fuerzas en función del caudal
permiten determinar el coeficiente de flujo (j).
3.4.2 E q u i p o exper imenta l
Como ya se ha indicado anteriormente, en esta fase de la experiementación
se utilizó el viscosímetro radial descrito en §3.3.2 con las placas lisas de acero
sustituidas por plaquetas de mortero, tal como indica el esquema de la Fig. 3.4.1
La fotografía de la Fig. 3.4.2 muestra las plaquetas de mortero montadas en
el viscosímetro en un momento avanzado de un ensayo; nótese que la plaqueta
inferior está cubierta por la resina. Los detalles de la fabricación y montaje de
las plaquetas se detallan en el apartado siguiente.
3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 127
Figura 3.4.2: Fotografía del viscosímetro con placas de mortero al final del errsayo; detalle de
la zona central
3.4.3 Fabricación d e las plaquetas de mortero
Las ideas básicas en la fabricación del sistema de plaquetas rugosas son las si
guientes: (1) Hormigonar las plaquetas sobre unas placas metálicas que son las
que luego se unen a la máquina de ensayos mediante tornillos y las que montan
los transductores; (2) Conseguir una superficie rugosa por lavado del mortero
fresco (24 horas) de forma que se elimina la pasta de cemento y sobresalen los gra
nos. (3) Simular una grieta de fractura hormigonando un plato sobre la superficie
rugosa del otro con interposición de una capa muy fina de desencofrante.
La fotografía de la Fig. 3.4.3 muestra el "sandwich" resultante una vez curado
y antes de iniciar su colocación en la máquina, en posición invertida. La placa
que aparece encima en la fotografía es la placa inferior y los 5 racores roscados
son las conexiones a los transductores de presión. El taladro roscado en el centro
de la placa que aparece debajo en la foto (placa superior en el montaje real) es
el punto de entrada de la resina. Gracias a los cambios de tonalidad producidos
128 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4.3: Conjunto de dos losetas una vez curadas. En la fotografía aparece arriba la placa
inferior con ios cinco racores para los transductotes de presión. En el centro puede apreciarse, por
un ligero cambio de tonalidad, la junta de hormigonado entre las dos losetas. La placa metálica
que aparece debajo presenta en su centro el taladro para inyección de resina.
por la humedad puede apreciarse la linea de separación entre las dos losetas.
Aunque la fabricación era conceptúaImente simple, se encontraron gran nú
mero de dificultades a la hora de llevarla a la práctica. Entre ellas cabe destacar
dos : falta de adherencia entre las placas metálicas y el mortero, y exceso de
porosidad en el mortero.
La primera dificultad apareció en las primeras pruebas cuando la adherencia
entre las placas de acero y el mortero resultó ser inferior a la adherencia en la
junta de hormigonado, por lo que al intentar separar las dos losetas éstas se
desprendían de su base. Después de múltiples pruebas, el problema se resolvió
con un tratamiento superficial de las placas (desengrasado y lijado grueso) y
utilizando una lechada de cemento con látex en la zona de unión.
La segunda dificultad es que los morteros resultaban excesivamente porosos,
3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 129
Tabla 3.4.1: Dosificación del mortero, en kg/m .
cemento
500
agua
150
arena
extrafina
343
arena
chinilla
859
arena
media
258
arena
gruesa
258
super-
fluidificante
15
por lo que se temía una elevada permeabilidad a la resina. Se hicieron varias
amasadas de prueba con distintas relaciones agua/cemento y se seleccionó la
dosificación que daba menos porosidad. Se trata de una dosificación con muy
baja relación agua/cemento (0.3) y adición de superfluidificante. La dosificación
del mortero finalmente seleccionado se resume en la Tabla 3.4.1 y se fabricó con
arena natural silícea de 5 mm de tamaño máximo.
Una vez seleccionado el mortero, se hormigonaron 4 pares de losetas. En
primer lugar se hormigona la loseta inferior en un molde cilindrico en cuyo
fondo se coloca la correspondiente placa soporte tal como puede verse en la
Fig. 3.4.4. Nótense los conos metálicos, en cuyos ejes están los conductos (de 1
mm de diámetro) que comunican con los transductores de presión; durante el
hormigonado se insertan en los conductos alambres del diámetro adecuado para
moldear en el mortero el conducto de toma de presión.
El hormigonado se efectúa en dos tongadas, vibrándose el conjunto en una
mesa vibratoria después de cada tongada. Después de la segunda tongada, se
introduce el molde en una campana de vacío y se vibra bajo vacío para facilitar
la expulsión del aire y la disminución de porosidad (Fig. 3.4.5).
Una vez hormigonada la placa inferior, se mantiene en cámara húmeda 24
horas, después de las cuales se limpia la superficie con un cepillo por vía húmeda
hasta eliminar la pasta de cemento y dejar la superficie con el árido limpio, tal
como puede apreciarse en la Fig. 3.4.6. Se reintroducen los platos inferiores en
cámara húmeda y a la semana se hormigonan las losetas superiores. Para ello
se disponen las losetas inferiores en el fondo del molde cilindrico tal como se ve
en la Fig. 3.4.6, se da una fina capa de desencofrante y se hormigona la loseta en
130 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4.4: Fotografía de los moldes cilindricos con la placa metálica que monta los transduc
tores de presión en su fondo, Los conos tienen el conducto de toma de presión en su eje.
Figura 3,4.5: Vibrado en campana de vacío.
3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 131
Figura 3.4.6: Aspecto de la superficie de las losetas inferiores posicionadas en los moldes para
recibir el mortero de la loseta superior.
dos tongadas (bajo vacío en la primera).
Una vez vertido el hormigón fresco, es preciso colocar la placa metálica supe
rior que Incorpora el conducto de inyección. Para ello se amontona ligeramente el
mortero formando un cono y se adiciona pasta de cemento con látex, colocándose
a continuación la placa metálica. Para cor\seguir que la placa quede paralela a
las bases se utiliza el dispositivo mostrado en la Fig. 3.4.7, consistente en un
mecanismo de taladrar modificado en el que el plato metálico desciende guiado
por una barra vertical impulsado por una palanca que se acciona manualmente.
Todo el conjunto se dispone sobre la mesa vibratoria y se vibra ligeramente mien
tras se comprime firmemente el plato contra el mortero y la lechada de unión.
Una vez endurecido el mortero en cámara húmeda, se dispone todo el con-
jimto en un baño de agua en el que se mantiene un mínimo de 28 días antes de
ensayar. Se pretende con ello mantener el mortero saturado para minimizar la
T
132 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4.7; Mecanismo para la colocación de la placa metálica superior
3.4, Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 133
#< ^^^'
Figura 3.4.8: Conexión de los transductores de presión a la placa inferior
absorción de resina por el hormigón. El resultado de la fabricación es el "san-
widch" antes mostrado (Fig. 3.4.3).
3.4.4 Montaje de las losetas en la m á q u i n a
Para montar las losetas en la máquina, se conectan en primer lugar los transduc
tores de presión a la placa inferior, tal como muestra la fotografía de la Fig. 3.4.8;
a continuación se atornilla dicha placa al bloque de alojamiento de los transduc
tores —que aparece a la izquierda en la foto— y éste al pistón de la máquina,
quedando en la posición mostrada en la Fig. 3.4.9,
Seguidamente sebaja el cabezal de la máquina, se suelta la rótula, y se atornilla
la placa superior a la parte inferior de la rótula. A continuación se centra la
rótula bajo carga y se bloquea, con lo que que el dispositivo queda en la posición
mostrada en la Fig. 3.4.10.
El paso siguiente consiste en despegar las dos plaquetas, lo que se consigue
aplicando una ligera tracción con la máquina, tras lo cual la fisura rugosa queda
134 Capítulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4.9: Losetas conectadas al pistón de la máquina.
Figura 3.4.10: Losetas completamente unidas a la máquina antes de su separación.
3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 135
Figura 3.4.11: Losetas en la máquian una vez separadas.
abierta (Fig 3.4.11). Sin embargo, antes de empezar el ensayo es preciso rellenar
con aceite de silicona los conductos de toma de presión. Para ello se sube el
cabezal de la máquina y se introduce el aceite de silicona en los conductos usando
agujas hipodérmicas, tal como ilustra la Fig. 3.4.12.
Una vez finalizada esta operación, se vuelve a bajar el cabezal y se está en
disposición de comenzar el ensayo.
3.4.5 Ejecución de los ensayos
Una vez montadas y acondicionadas las losetas se procedió a efectuar los en
sayos siguiendo en todos los aspectos el método descrito para los ensayos de
viscosimetría radial de placas lisas (§3.3.3).
La mezcla de resina y su preparación fue idéntica a la utilizada anteriormente
en los ensayos con placa lisa. De los cuatro pares de losetas hormigonadas
(denominadas Rl, R2, R3 y R4) sólo 3 fueron ensayadas completamente, ya que
el par R2 se dañó durante el montaje y no pudo mantenerse el paralelismo de las
136 Capitulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4,12: Rellenado de los conductos de medida de presión con aceite de silicona.
plaquetas. Con cada plaqueta se ensayaron 3 o 4 muestras (cartuchos) de resina.
El resumen de los ensayos realizados puede verse en el cuadro de la Fig. 3.4.13.
La única diferencia con los ensayos en placas lisas es que una vez terminado el
ensayo se separan las losetas tal como puede verse en la Fig. 3.4.14 y se examinan
sus superficies, que aparecen uniformemente bañadas en resina^ como se aprecia
en la Fig. 3.4.15. Después las losetas se rompen transversalmente para examinar
si ha habido penetración apreciable de la resina en el mortero. En la Fig. 3.4.16
puede observarse que la penetración es mínima y no se detectan poros grandes
rellenos de resina.
3.4.6 Proceso d e datos y presentac ión d e resul tados
El proceso de datos es en todo análogo al realizado para las placas lisas (§3.3.4).
Los resultados básicos se dan en el Apéndice D, expresados como registros
apertura-temperatura-tiempo^ curvas carga-caudal, y curvas presión-caudal aná
logas a las que se describieron en la sección anterior.
3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 137
Flujo entre placas rugosas
Resina Mezcla de resina viscosa (V) y fluida (F) con proporciones de 95% resina (V) y 5% resina (F)
Temperatura nominal 25.0 X
Loseta Rl R3 R4
Muestra
Temperatura media real 25-9 "C 26.3 °C 26.0'X: 25,1 "C 25.3 "C 26.9 °C 26.7 =C 26.3 °C 27.4 "C 27.8 •'C 27.2 "C
Código
i ^ oí
J. ¿
Apertura nommal (mm)
0,3, 0,4 y 0.5 0.10,0.15, 0.20, 0.25,0.30 y 0.35 |en los (VF05-25-B-R3), {VF05-25-C-R4) y (VF05-25-D-R4) se utilizó además 0.40|
Presión (M Pa) [en et centro) De 1.0 a 5.0 De 1.0 a 5.0
Figura 3.4.13: Cuadro resumen de los ensayos de ñujo radial entre placas rugosas.
Figura 3.4.14: Separación de las losetas al final del ensayo.
138 Capitulo 3. Estudio experimental
Figura 3.4.15: Aspecto de la superficie de las losetas una vez finalizado el ensayo.
Figura 3.4.16: Aspecto de la fractura de las losetas perpendicular a su plano mostrando que ia
resina no ha penetrado en profundidad.
Capítulo 4
Análisis y discusión de resultados
En este capítulo se analizan los resultados experimentales y teóricos presenta
dos en los capítulos anteriores. En primer lugar se estudia la reología de la
resina a partir de los ensayos de viscosimetría de placa y cono y de una teoría
fenomenológica básica. A continuación se analizan los resultados de los ensa
yos de flujo radial de la resina, que confirman la validez del modelo potencial y
permiten proponer una ecuación para el flujo de la resina en una grieta rugosa. Fi
nalmente, se discuten y comparan los resultados de las simulaciones numéricas
de inyecciones en macizos deformables realizadas mediante el método de los
elementos finitos y mediante los modelos aproximados.
4.1 Reología de la resina
La_experimentación realizada sobre la resina con el viscosímetro de placa y cono
permite establecer tma serie de evidencias importantes acerca de sU compor
tamiento reológico básico. En esta sección analizamos primero los resultados
que se refieren a la reología de las resinas sin endurecedor; después presentamos
una extensión formal de la teoría de la equivalencia temperatura-tiempo a casos
no newtonianos; finalmente aplicamos dicha teoría al análisis de mezclas con
endurecedor, que son las que se aplican en obra. La conclusión final es que ni las
variaciones de temperatura ni la gelificación modifica la estructura matemática
139
140 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
10.0
(«
tí
S 10
é
contenido resina fluida
0.1
10 100
velocidad de deformación (s"^)
1000
Figura 4.1.1: Reogramas a temperatura de 25°C y varias proporciones de mezcla.
de la ecuación que describe la reelegía de la resina, lo cual es esencial a efectos
del análisis matemático y numérico de los procesos de inyección.
4.1.1 Res ina s i n endurecedor
A partir de los resultados de las Series O y 2 se obtiene una idea clara de cómo
la proporción de material inerte modifica la reología de la resina. La Fig. 4.1.1
resume los resultados de las dos series en forma de gráficos bilogarítmicos r-
7. Como puede verse, los resultados son sensiblemente lineales para todas las
proporciones de mezcla, por lo que, en primera aproximación, todos los casos
pueden ser descritos por una ley potencial del tipo
T — Cy (4.1.1)
donde cyn son constantes que dependen de la proporción de mezcla.
Por supuesto la viscosidad (entendida en sentido amplio) aumenta cuando
se aumenta el porcentaje de resina de alta viscosidad, que es la que aporta todos
los aditivos. Nótese que mezclando la resiaa de alta viscosidad con la resina
4.1. Reología de la resina 141
pura puede modificarse en dos órder\es de magnitud la respuesta de la resina a
una velocidad dada.
Por otra parte, se nota un cam.bio en la pendiente de las rectas desde un valor
unidad para la resina más fluida (véase el esquema en la esquina inferior derecha
de la Fig. 4.1.1), hasta valores claramente inferiores a la imidad para la resina más
viscosa. Esto significa que la resinapura tiene un comportamiento newtoniano y
que la adición de material inerte modifica el comportamiento para transformarlo
en claramente no newtoniano para la resina más viscosa.
Visto que la resina sin endurecedor presenta siempre un comportamiento
aproximadamente potencial, al menos a la temperatura estudiada, pasamos a
analizar el comportamiento de la resina con endurecedor. Pero previamente, pre
sentamos ima formalización de la teoría de los materiales termo-reológicamente
simples que se revisó en el primer capítulo.
4.1.2 Extensión de la equivalencia t-T
En la sección 1.4 se resumieron los modelos disponibles para el tratamiento de la
influencia de la temperatura y de la gelificación en el comportamiento reológico.
Así como casi todas las fuentes bibliográficas analizan con cierta generafidad
la influencia de la temperatura ( y de la presión) la inclusión de la gelificación
se hace de manera más bien empírica. Aquí presentamos una formalización del
problema basada en el concepto de variable interna introducido en años recientes
en el campo de la termomecánica de los medios continuos (véase, por ejemplo,
Lemaitre y Chaboche 1985), manteniendo el nivel teórico tan elemental como es
posible para llegar a resultados útiles.
Consideramos entonces que para un fluido newtoniano generalizado que
gelifica, la función r-7 sólo depende explícitamente de la temperatura y de una
variable interna x que representa, en valor medio, los cambios de estructura del
material:
r = V(7,r,x) (4.1.2)
142 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
La variable x está relacionada de alguna manera con el grado de curado a
usado por Lee, Loos y Springer (1982) y Dusi et al. (1987) para establecer la
correlación con la viscosidad; pero no tiene por qué ser idéntico a él.
Para que la ecuación anterior pueda utilizarse es preciso especificar la evolu
ción de X- La forma más sencilla de hacerlo es a través de una ecuación cinética
en la que se supone que la velocidad de aumento de x depende de la temperatura
y del valor de x en el instante considerado:
X = Z{x,T) (4.1.3)
donde la función Z{x, T) es característica del material en cuestión. Por descon
tado, pueden imaginarse relaciones más complejas, como las (1.4.36) y (1.4.37)que
gobiernan la evolución del grado de curado a. Sin embargo una relación tan sim
ple como la (4.1.3) es suficiente para concretar nuestro razonamiento.
Las dos ecuaciones anteriores, junto con la condición x = O para í = O (donde
se supone que el instante inicial corresponde al momento de efectuar la mezcla de
la resina con el endurecedor) son suficientes para determinar la evolución de la
tensión para una historia arbitraria de temperatura y velocidad de deforn\ación.
Sin embargo, la relación (4.1.2) es todavía demasiado general para resultar
útil en muchos casos prácticos. Por lo tanto vamos a extender el concepto de
material termo-reológicamente simple resumido en la Sección 1.4 y definir tm
tiempo intrínseco ^ como
d^=^m (4.1.4) a\T, x)
donde a{T,x) es un factor de escala completamente análogo al definido en (1.4.18), pero que ahora depende de x además de la temperatura. Como en el caso de la equivalencia clásica tiempo-temperatura, suponemos que la función
^(7, T, x) no depende ni de T ni de x cuando se escribe en función del tiempo
intrínseco. El resultado es idéntico al clásico, a saber:
r = ^[a(T,x)7] (4-1.5)
De acuerdo con lo anterior, son necesarias dos funciones de dos variables para
definir completamente este material: (1) la fimción Z{x, T) que define la cinética
4.1. Reologta de la resina 143
de la variable Xi Y (2) la función de escala a{T, x). El problema se simplifica sin
embargo si se consideran procesos isotermos. En efecto, en este caso podemos
integrar (4.1.3) para cada temperatura y obtener la evolución de :\; a temperatura
constante, que podrá escribirse
X = X T ( Í ; T ) (4.1.6)
donde el subíndice T indica condiciones isotermas, y debe entenderse que T
aparece como parámetro, no como variable.
Este resultado puede ahora sustituirse en (4.1.5), con lo que se obtiene la
ecuación
T = iP[aT{t}T)j] (4.1.7)
donde ar es el factor de escala en condiciones isotermas y, de nuevo, T aparece
como parámetro.
Como los ensayos que hemos realizado son isotermos, y cabe esperar que
las inyecciones de grietas en grandes macizos de roca u hormigón tengan lugar
en condiciones esencialmente isotermas, esta teoría restringida es todo lo que
necesitamos para interpretar los ensayos y diseñar inyecciones.
4.1.3 Influencia d e la temperatura y de l t i e m p o e n la res ina c o n
endurecedor
Como puede observarse en las figuras 3.2.11,3.2.12 y 3.2.13, la dependencia de la
tensión tangencial con respecto a la velocidad de deformación es sensiblemente
lineal en un diagrama doblemente logarítmico. Esto significa que la dependencia
puede considerarse de tipo potencial. Además, la pendiente de las rectas es
aproximadamente igual para todos los tiempos y temperaturas (especialmente a
altas velocidades de deformación). Por lo tanto, parece que puede aproximarse la
ecuación (4.1.2) por una ecuación de tipo potencial que, si la teoría que acabamos
de presentar es suficientemente aproximada, podrá escribirse en la forma
r = coiar 7)" (4.1.8)
144 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
donde el exponente n y el coeficiente CQ son constantes y a^ depende del tiempo
y —^paramétricamente— de la temperatura.
Los resultados experimentales se ajustan bien a la ecuación anterior si se
toma un exponente n = 0.85. Por otra parte, el coeficiente CQ es arbitrario. Se
obtiene un valor particular si se fija a^ = 1 para ima temperatura y tiempo de
gelificación particular. Se ha tomado un valor de 87 Pa^°-^, que resulta dar un
valor de OT = 1 a los 25 min (aproximadamente) de efectuada la mezcla a todas
las temperaturas estudiadas. La variación a^ con la temperatura y el tiempo de
gelificación se obtiene de (4.1.8):
ax l/n I
A partir de esta ecuación y de los datos experimentales para r y 7 se han
obtenido las curvas medias ay-tiempo para cada temperatura de ensayo que se
han representado en la Fig. 4.1.2. En esta figura los símbolos representan valores
experimentales medios, y las curvas corresponden a ecuaciones analíticas que
describimos más adelante. Las curvas ay-í miden, en cierta forma, la evolución
de la viscosidad. Como es lógico, la viscosidad a tiempos cortos es más baja
cuanto mayor es la temperatura; pero, como la resina gelifica más rápido cuando
la temperatura es más alta, esta situación se invierte al cabo de aproximadamente
25 minutos, y la resina a más temperatura se convierte en más viscosa. Estos
resultados están perfectamente de acuerdo, entre otros, con los resultados de
Dusi et al. (1987).
- La Fig. 4.1.3 representa la curva a^-í en un diagrama semilogarítmico. Como
puede verse las curvas tienen la concavidad hacia arriba, lo que indica que como
en los resultados de Roller (1975) y de Dusi et al. (1987) revisados en el primer
capítulo, üT crece con el tiempo más rápido que una exponencial. De hecho
una curva doblemente exponencial en el tiempo ajusta razonablemente bien los
resultados experimentales. La curva utilizada ha sido la siguiente:
OT = do exp [AT exp (Brt)] (4.1.10)
4.1. Reologta de la resina 145
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0 -
0.0
Serie 1
•
-
. . . i TrV^
j> 37 °C
/ 32 °C
1 . . . . 1 . .
25 °C
O 10 20 30 40 50 60 70 •
t (min)
Figura 4.1.2: Evolución con el tiempo del factor de escala de velocidades de deformación para
las temperaturas ensayadas. Los símbolos corresponden a resultados exp_erimentales medios.
Las líneas corresponden a ajustes por tma expresión doblemente exponencial.
10.0
m 1.0
Serie 1
25 °C
J I 1 I 1 L.
O 10 20 70 30 40 50 60
t (min)
Figura 4.1.3: Diagrama semilogarítmico de la evolución con el tiempodel factor de escala de
velocidades de deformación para las temperaturas ensayadas.
146 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
Tabla 4.1.1: Valores de los parámetros de la curva a^-í
Temperatura (°C) ÜQ AT 1000 x BT (min-^)
25
32
37
0.015
0.015
0.015
3.42 ± 0.02
2.61 ± 0.02
2.04 ± 0.03
8.46 ± 0.07
18.9 ±0.2
28.8 ± 0.4
donde ÜQ es una constante (independiente de la temperatura) y AT y BT son
constantes que dependen de la temperatura.
Como puede observarse en las Figs. 4.1.2 y (4.1.3) el ajuste (curvas de línea
continua) es bueno; los valores de las constantes AT y BT para las distintas
temperaturas se dan en la tabla 4.1.1.
Aunque esta curva es puramente experimental, parece tener aplicabilidad
más allá de la resina aquí investigada. En efecto, tanto los resultados de Roller
(1975) como los de Dusi et al. (1987) pueden describirse de forma asombrosa
mente precisa con la doble exponencial, como muestran las Figs. 4.1.4 y 4.1.5 en
las que los símbolos representan los datos experimentales y las líneas continuas
son ajustes mediante la ecuación
rjT = Vo exp [AT exp (BTÍ)] (4.1.11)
Nótese que en caso de fluidos newtonianos r/r oc oy, por lo que el ajuste es
equivalente al anterior. La bondad del ajuste es realmente sorprendente si se
tiene en cuenta que 770, igual que OQ, es independiente de la temperatura.
Volviendo a nuestros resultados, la Fig. 4.1.6 muestra el resumen de todos
ellos cuando se representa la tensión tangencial r frente al producto ar7. Si el
encaje fuera perfecto, todos los puntos deberían situarse sobre la misma curva;
aunque existe dispersión, los resultados se agrupan muy bien sobre la curva
dada por la ecuación (4.1.8), por lo que podemos concluir que la hipótesis de
fluido potencial termo-reológicamente simple es razonablemente precisa para la
4.1. Reologta de la resina U7
100.0
Figura 4.1.4: Ajuste de los resultados experimentales de Roller (1975) para la evolución de la
viscosidad (símbolos) mediante la curva doblemente exponencial de la ecuación (4.1.11).
1000.0
100.0
é 10.0
O u en
0.0
170 160
_1 I I L _ -J I I 1_
Dusi et al (1987)
I . . . . I j I I I I i_ I • I I r I
O 10 20 30 40 50 60 70
t (min)
80
Figura 4.1.5: Ajuste de los resultados experimentales de Dusi et al. (1987) para la evolución de
la viscosidad (símbolos) mediante la curva doblemente exponencial de la ecuación (4.1.11).
148 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
100000
'm' P i
,_) (« • í H O « 01
C (Tí
•*->
C -o • iH
tí cu
10000
lOÜÜ
100
10
Serie 1
0.1
puntos experimentales (todos tiempos y temperaturas)
-teoría: a = 87(a y) 0.85
10
a_Y(s"^) 100 1000
Figura 4.1.6: Resumen de resultados experimentales para mezclas con endurecedor. El valor
de ax está dado por las curvas de la Fig. 4.1.2.
resina investigada, y que en condiciones isotermas, cualquiera que sea el estado
de gelificación, podemos usar para la resina una ecuación del tipo
T = cy 0.85 (4.1.12)
donde c depende del tiempo y la temperatura según la ecuación
c = coa°T^^ (4.1.13)
con üT dada por (4.1.10)
4.2 Flujo radial de la resina
4.2.1 Análisis de los ensayos de viscosimetría radial
La viscosimetría de flujo radial tiene como objetivo determinar si las ecuacio
nes teóricas son suficientemente aproximadas para describir el proceso de in
yección. Como se dispone de medidas de muchas variables, el sistema está
4.2. Flujo radial de la resina 149
sobre-determinado y es preciso comprobar que las medidas son consistentes
entre sí y con la viscosimetría de placa y cono.
El análisis de resultados se basa en transformar las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2)
en ima forma única. Esto se consigue definiendo vina velocidad de deformación
equivalente % como
^. = P» + 1)Q (4.2.1)
y definiendo tensiones tangenciales equivalentes basadas en la presión {T^P) y en
la fuerza (TCF) definidas por
Tp ( 1 — n)W , . , . r^ r>-.
Cuando estas expresiones se sustituyen en (3.3.1) y (3.3.2) resulta una única
expresión:
Tep-r,F = cre (4-2.4)
que coincide con la ley de potencia r — 7 para la resina.
Consecuentemente, si a partir de las curvas prQ (donde i indica el número de
transductor de presión) y F-Q presentadas en el capítulo anterior construimos
las curvas re-7e y las representamos en un diagrama doblemente logarítmico,
todos los resultados experimentales deberían situarse sobre la recta logre =
logc + nlog7e, con n y c coincidentes con los valores determinados para esta
resina en los ensayos de placa y cono.
Cuando se llevaron a cabo los prirneros análisis se encontró que la repre
sentación lineal en escala doblemente logarítmica se cumplía muy bien para
cada una de las variables (5 presiones y la fuerza) y para cada apertura. Se vio
que todas las rectas tenían la misma pendiente y eran prácticamente idénticas
para los sensores de presión 2 a 5 y para la fuerza, pero los puntos correspondi
entes a la presión en el taladro de inyección quedaban sensiblemente por encima
de los demás. Como veremos, este efecto es debido a una hipótesis simplificada
del modelo que supone que la presión en el taladro central es uniforme, y puede
150 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
justificarse adecuadamente. El aspecto más preocupante era que, en contra de lo
que indica la ecuación (4.2.4), las curvas Te-^e parecían depender de la apertura
de la fisura, problema que discutimos seguidamente.
Después de un análisis exhaustivo de las posibles ftientes de error en los datos
experimentales, se llegó a la conclusión de que el problema estaba localizado en
la medida de la distancia entre las caras de las dos placas. Todo indica que la
medida diferencial tiene un desplazamiento sistemático del cero que es preciso
corregir. Este desplazamiento está originado por la combinación de los tres
elementos siguientes: (1) la separación entre las placas se mide en la periferia de
las mismas, (2) el origen de desplazamiento se toma cuando las dos placas están
comprimidas una contra otra con 80 kN de carga (por lo que se pueden producir
deformaciones apreciables) y (3) las placas no son perfectas, por lo que incluso
con 80 kN el contacto no es total.
Atmque trata de un error de cero pequeño en valor absoluto (44 pm), su reper
cusión en los resultados es muy apreciable porque las aperturas son pequeñas y
aparecen en las ecuaciones elevadas a una potencia próxima a 3.
La determinación de este error a partir de los resultados experimentales es
posible gracias la extremada sobredeterminación de las ecuaciones, y se ha visto
que considerando una apertura real w igual a la medida Wm más una desviación
sistemática S, se explican correctamente todos los resultados para todas las mues
tras. En todo lo que sigue tomamos pues
w^Wm + S, (5 = 0.044mm (4.2.5)
Aclarado este pimto fundamental, pasemos a analizar los resultados. La
Fig. 4.2.1 muestra dos conjimtos de resultados expresados como curvas r - 7 para
una muestra y una apertura de fisura. La curva superior es la deducida a través
de (4.2.2) de las medidas de presión en el taladro central, mientras que la curva
inferior corresponde a la obtenida mediante (4.2.3) a partir de las medidas de la
fuerza resultante. Como puede verse, los resultados experimentales derivados
de las lecturas de presión en el eje del taladro de inyección están alrededor de un
4.2. Flujo radial de la resina 151
Muestra: VF05-25-C
presión central
apertura nominal 0.20 mm w = 0.24 mm
20 30
t(s-')
Figura 4.2.1: Comparación de las curvas tensión equivalente-velocidad de deformación equi
valente deducidas de las medidas de presión en el taladro central y de la fuerza resultante.
10 % por encima de las predichas por el modelo, que coinciden con las obtenidas
a partir de la fuerza.
Por el contrario, las curvas obtenidas mediante (4.2.2) a partir de la presión
medida por los sensores 2-5 coincide, dentro de la dispersión experimental, con
la determinada a partir de la fuerza, tal como puede verse en la Fig. 4.2.2. De
hecho, las rectas de regresión para ambos grupos de medidas difieren en menos
de un 0.2%.
Antes de mostrar los resultados globales —^para todos los datos experimen
tales— conviene discutir el por qué las medidas del sensor central de presión se
desvían del comportamiento teórico. La razón es que el modelo describe bien el
flujo entre las placas en pimtos situados relativamente lejos de la embocadura,
donde la hipótesis de flujo paralelo es razonablemente precisa. Sin embargo, en
la formulación sencilla del capítulo anterior se ha supuesto, simplemente, que
la presión es uniforme dentro del taladro, lo que es ima simplificación excesiva.
Veamos cómo puede explicarse en términos gráficos.
152 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
^ 2.0
Muestra: VF05-25-C
-e—fuerza H—presión sensores 2-5
apertura nominal 0.20 mm w = 0.24 mm
20 30 40
Figura 4.2.2: Resultados tensión equivalente-velocidad de deformación equivalente deducidas
de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la fuerza resultante.
k\\\\\\\V\\\\\\\\\\\\\\\\Vi'
Figura 4.2.3: Esquema de la distribución de presiones a lo largo de un radio de la placa inferior.
La parte inferior del dibujo reperesenta una sección meridional de las placas, con un esquema
de las líneas de corriente. (La figura no está a escala.)
4.2. Flujo radial de la resina 153
10.0
8.0
6.0 ft
10.0
8.0
A" \ 6.0
A'
2.0
^ A Muestra VF05-25-C
w =0.30mm, Q = 27.3cmVmin ^ m ; 1 1 A \
R
B
" ^ ^ — ^ ^ _
40 60 80
distancia al eje, r (mm)
Figura 4.2.4: Ejemplo de la distribución teórica de presiones y de los valores experimentales.
Si se representa la presión frente a la distancia al eje del taladro de inyección,
la ecuación (3.3.1) queda representada por la la curva ABCD en la Fig. 4.2.3. Sin
embargo, esta expresión es válida sólo para los plintos situados entre las placas,
es decir para el arco BCD. En el interior del taladro la distribución de presiones
no es conocida con detalle (aunque podría deducirse de un cálculo por elementos
finitos) y en el modelo manejado en el capítulo anterior se ha supuesto que la
presión era uniforme en el interior del taladro, lo que en el gráfico se traduce en
el segmento A'B. Debido a que el flujo es laminar las líneas de corriente deben
ser continuas como se indica en la parte inferior de la figura, por lo que debe
haber una pérdida de carga apreciable entre el eje del taladro y la embocadura
de la grieta; por lo tanto, la distribución de presiones real en la placa de fondo
debe ser como la representada por el arco A"B, con una presión en el eje superior
a la supuesta, lo que explica la observación experimental. En efecto, la Fig. 4.2.4
muestra la curva teórica y los valores experimentales para el caso de la muestra
de las Figs. 4.2.1 y 4.2.2, para un caudal y apertura de fisura intermedios (tomados
al azar) .
Como puede verse, el ajuste de la curva teórica a los puntos experimentales
154 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
para los sensores 2-5 es excelente, y la presión en el centro sigue la tendencia
antes descrita (punto A" en la figura interior, que muestra una ampliación de la
zona del origen).
Siendo así que el modelo teórico subestima la presión en el taladro de in
yección, surge la cuestión de cuánto afecta la simplificación a la predicción de la
fiíerza. Afortunadamente la influencia relativa de la distribución de presiones
en el interior del taladro en la fuerza total es muy pequeña. En efecto: Se puede
demostrar que si el perfil de presiones fuera elABCD en la Fig 4.2.3, la fuerza
correspondiente vendría dada por (3.3.2) con Ro = 0:
^0 = ^ ^ ' ^ ^ ' - " T - ^ (4.2.6) 10^"+^ 3 — n
Por otro lado, la fuerza estimada en el modelo simplificado (perfil A'BCD) viene
dada por (3.3.2), y es evidente que la fuerza real (perfil A"BCD) debe estar
comprendida entre ambas, por lo que puede escribirse
F - Fr.., ^ FQ - fieai ^ íB^\'-'' ^^2.7) F F \RJ
Sustituyendo en esta fórmula los valores correspondientes a nuestros ensayos
{RQ = 2.25 mm, R = 100 mm y n = 0.85) se obtiene un error relativo en la fuerza
inducido por la simplificación teórica inferior al 0.04%, totalmente despreciable.
Visto que la simplificación adoptada en el modelo sólo afecta apreciablemente
a las predicciones de la presión en el eje de inyección, contrastaremos el modelo
utilizando el resto de las medidas, es decir, las presiones en los sensores 2 a 5
y la fuerza. Las Figs. 4.2.5-4.2.7 muestran los gráficos correspondientes para la
muestras A, C y D (como ya se indicó, en la muestra B falló el servocontrol de la
máquina y los resultados son demasiado dispersos para resultar útiles). Como
puede observarse, los resultados se ajustan muy bien a las predicciones teóricas;
nótese que las gráficas incluyen todas las medidas (i.e., las determinaciones para
todas las aperturas de fisura y escalones de presión analizados, unos 133 puntos
por muestra aproximadamente)
Cuando se consideran las tres muestras simultáneamente la dispersión au
menta de forma apreciable como puede verse en la Fig. 4.2.8. A pesar de todo.
4.2. Flujo radial de la resina 155
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
Muestra: VF05-25-A
-e— fuerza + pesión sensores 2-5
todas aperturas
100
tis-') Figura 4.2.5: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor
mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la medida de
fuerza resultante (muestra A).
es
S2
5.0
4.0
.3.0
2.0
Muestra: VF05-25-C
^ o fuerza + presión sensores 2-5
y^'^ "
s ^ ^
todas aperturas
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
10 100
Figura 4.2.6: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor
mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la medida de
fuerza resultante (muestra C).
156 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
5.0
4.0
Muestra: VF05-25-D
-e—fuerza + presión sensores 2-5
todas aperturas
10 100
Figura 4.2.7: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor
mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la naedida de
fuerza resultante (muestra D).
el ajuste es muy bueno en media y da un valor medio de c de 130 Pa s°- ^ con
tm error cuadrático medio del 0.5%, mientras que los puntos experimentales se
agrupan alrededor de la curva teórica con una desviación típica del 10%.
4.2.2 Resu l tados d e l o s e n s a y o s de flujo entre placas rugosas
El análisis de resultados busca fundamentalmente determinar el coeficiente de
flujo (j) definido en la ecuación (3.4.1). Para ello se han usado las ecuaciones
(3.4.2) y (3.4.3) reescritas definiendo un caudal específico equivalente qe como
y definiendo a continuación gradientes equivalentes g^ a partir de las presiones
{9ep) y de la carga {g^F)--
1 — n p{r) 9ep —
9eF =
1 - {r/ny-'' R 3-n F
1 - {Ro/Rf-'' 7rñ3
(4.2.9)
(4.2.10)
4.2. Flujo radial de la resina 157
5.0
4.0
Muestras A, C y D
todas aperturas
10 100
Figura 4.2.8: Resumen de resultados para todas las muestras y medidas. Curva media tensión
equivalente-velocidad de deformación equivalente deducida de las medidas de presión en los
sensores'2-5 y de la medida de fuerza resultante.
Con estas definiciones, las ecuaciones (3.4.2) y (3.4.3) quedan reducidas a la
misma forma, similar, excepto por el signo, a la (3.4.1):
9ep = geF = <t> (Ü ' (4.2.11)
De acuerdo con esto, podemos trabajar como en el apartado anterior: si a
partir de las curvas pr<5 (donde i indica el número del transductor de presión) y
F-Q construimos las curvas g^-qe y las representamos en un diagrama doblemente
logarítmico, los resultados deben situarse sobre la recta log g^ = log (f) + n log qg,
donde n — 0.85 de acuerdo con los resultados anteriores. Efectuando la regresión
de los datos experimentales, podemos determinar 4> para cada apertura de fisura.
Nótese que de acuerdo con lo anterior, los diagramas de los ggp deducidos
de los sensores de presión 2 a 5 (eliminamos del análisis el sensor central, el
n° 1, por lo indicado en la sección anterior) deberían coincidir unos con otros y
con el diagrama deducido de la fuerza. Desgraciadamente las cosas no son tan
simples como parecen. La Fig 4.2.9 muestra im caso particular con las curvas
correspondientes a los cuatro sensores de presión mencionados y a la fuerza.
158 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
40.0
30.0
Muestra: VF05-25-C-R3 apertura 0.32 mm
Fuerza o— sensor 2 o— sensor 3 A— sensor 4 V— sensor 5
0.6 0.7 0.8 0.9 1 2
q (mmVs)
Figura 4.2.9: Curvas ge-Qe calculadas a partir de las lecturas de los captadores de presión y de
la fuerza.
Como puede verse, las curvas experimentales son sensiblemente lineales, pero
están lejos de superponerse.
Aunque no se ha podido obtener una verificación directa, se cree que el
fenómeno (que aparece en todas la determinaciones) es ocasionado por la irregu
laridad que la rugosidad produce en el flujo. Debido a ello se producen caminos
de flujo rápido —"channeling"— que llevan a \ina distribución de presiones irre
gular, sólo simétrica en media. Con este tipo de flujo, la medida de presión en tin
punto, tal como nosotros hemos hecho, puede diferir mucho de la presión media
a la distancia correspondiente. La verificación de que el flujo es irregular se tiene
en la observación de las olas de resina que se forman a la salida de la grieta.
Tanto en la Fig. 3.4.3 como en la 3.4.14 se aprecian irregularidades en las sucesi
vas coladas de resina que corresponden a los escalones de presión. Más acusada
todavía es la irregularidad del flujo en la foto de la Fig. 4.2.10 que corresponde a
un estadio temprano del ensayo.
Se deduce de ello que las medidas puntuales de presión sólo pueden ser
válidas si se toman muchas medidas a lo largo de una circimferencia y se prome-
4.2. Flujo radial de la resina 159
Figura 4.2.10: En esta imagen puede con:\probarse la irregularidad del flujo entre placas rugosas.
dian, cosa que en nuestra experimentación no es posible. En cambio, la fuerza
resultante sí da un valor que es promediante por definición; nótese que en la
fórmula (4.2.10) Fj-^B? no es sino la presión media en el fluido.
Por lo tanto, hemos hecho la determinación del coeficiente de flujo medio a
partir de las curvas Qep-Q, exclusivamente. Las Figs. 4.2.11 a 4.2.13 muestran los
resultados para cada uno de los pares de losetas ensayados. Como puede verse,
excepto por dos puntos anómalos en la muestra A de las losetas R4, todos los
experimentos siguen la misma tendencia. El resumen de todos los resultados
se muestra en la Fig. 4.2.14 que indica que, considerados en su conjunto, los
resultados son razonablemente consistentes. Se ha encontrado que la siguiente
curva de interpolación representa bien los resultados en media:
0 = (4.2.12)
donde vj^n es el desplazamiento medido, y Ky w\ son constantes; de un ajuste
por mínimos cuadrados resultan los valores de w^ = 0.102 ± 0.009 mm, y /í =
1.52 ± 0.16 kPas^'^.
160 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
i / ^
as
10.0
1.0
O.O90.1
placas rugosas Rl
--o--muestra A - - • - -muestra B - -O- -muestra C
<9R-
x?= ..
'^
0.2 0.3
w (mm)
0.4 0.5
Figura 4.2.11: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas Rl
i 6 ^ 00
o !>.
's
-e-
10.0
.
o ^ ^ ° í
^
"
1
V
- s ^ Ü ^
^ ^ ^ < ^ ^ ^ .
placas ---
°n ^^
rugosas R3 -o-- ü -
-o-A
' o
- muestra A - muestra B - muestra C muestra D
•
^ D
•
•
1.0
0.090.1 0.4 0.5 0.2 0.3
w (mm)
Figura 4.2.12: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas R3
4.2. Flujo radial de la resina 161
i/r^
OH
H
10.0
1.0
A
X
1
\^
N
A^
ca
placas rugosas R4
- - 0 - - muestra A - -•--muestra B --O--muestra C "
^ --A--muestra D • "a — „- -A ~ =
A
0.090.1 0.2 0.3 0.4 0.5
w (mm)
Figura 4.2.13: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas R4
10.0
en
1.0
resumen placas rugosas
.<[) = K (W +W) m 1
K = 1.52 kPas°-^^ Wj = 0.102 mm
0.090.1 0.2 0.3 0.4 0.5
w (trun)
Figura 4.2.14: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para todo el conjunto
de ensayos de flujo radial soble placa rugosa.
162 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
Como vimos en el apartado anterior, nuestros ensayos tienen un desplaza
miento sistemático 6 del origen de la medida de la apertura w debido a la forma
de tomar el cero de desplazamientos, que se corrige mediante la fórmula (4.2.5).
Es preciso hacer esta corrección también en el caso de las placas rugosas, por lo
que la expresión anterior queda
<f> = 7 "^-^ •- (4.2.13)
donde ahora WQ = wi — <5 = 0.058 mm.
Comparando ahora esta expresión con la (2.4.5) —con c = 130 Pa s°- ^ de
acuerdo con la conclusión del apartado anterior— podemos determinar el pro
ducto de los coeficientes de corrección debidos a la rugosidad y tortuosidad:
K \ A \\Q = . ., ^. = , •• _ , , A - 1.3 ±0.1 (4.2.14)
2a" c (1 -I- IÍ;O/IÍ;)2"+I (1 + IÍ;O/IÜ)2"+I ^ ^
Este, que es un resultado particular, lleva a pensar que es posible escribir la
ecuación del coeficiente de flujo en la forma general
donde se aprecia que el segimdo factor es idéntico al que corresponde a fisura de
paredes lisas, excepto por un cambio de origen en la medida de aperturas, que
puede interpretarse diciendo que w es la apertura mecánica, y W+IÜQ es la apertura
hidráulica y que aunque la grieta parezca cerrada siempre está hidráulicamente
abierta (excepto, probablemente, para compresiones muy elevadas que no afec
tan al problema aquí analizado).
El primer factor A > 1 es un coeficiente de mayoración de la fricción que
depende probablemente de la ondulación de la grieta. El término de apertura
inicial wo es probablemente dependiente de la rugosidad absoluta, que debe ser
aproximadamente proporcional al tamaño del árido del hormigón, y, por tanto,
del orden de la centésima parte del tamaño máximo de árido (en nuestro caso
wo ~ 0.06 mm y dmax = 5 mm).
Adoptaremos la (4.2.15) como ima aproximación razonable del flujo de la
resina en la grieta, a expensas de que investigaciones futuras correlacionen los
parámetros Xy WQ con la rugosidad y topología de la grieta.
4.3. Análisis del modelo de inyección 163
14
12
10
Cu
^ 6 en cu {X 4
O
newtoniano, elementos finitos
O O
H &> O. O
n n
?=3
?
datos inyección
p„ = 0.5 MPa
w =1.0min
E' = 20 GPa R =25mm
0 ri = 120Pas
caudal constante Q3^ = 21/min
15 5 10
tiempo (min)
Figura 4.3.1: Evolución de la presión de inyección y del radio de la zona inyectada calculado
por el método de los elementos finitos para distinto número de elementos.
4.3 Análisis del modelo de inyección
4.3.1 Análisis por el método de los elementos finitos
En el apartado 2.4.4 se presentaron algunos resultados de cálculos realizados
por el método de los elementos finitos para casos con solución analítica cono
cida, encaminados a comprobar la capacidad de cálculo del método (Fig. 2.4.5).
Aquí corisideramos algunos aspectos básicos de la simulación de inyecciones en
medios deformables que el cálculo por elementos finitos ayuda a concretar.
La Fig. 4.3.1 muestra los resultados para una inyección a caudal constante de
21/min de una grieta en un macizo de hormigón con un módulo de elasticidad
20 GPa. La grieta tiene una apertura hidráulica inicial de fisura de 1 mm, está
situada a una profiíndidad de unos 20 m (po = 0.5 MPa), y se inyecta con un
fluido newtoniano de 120 Pa s de viscosidad a través de un taladro de 25 mm de
radio.
Los cálculos se han realizado con 1,11, 21 y 51 elementos y en los últimos
tres casos las diferencias son ya muy pequeñas. Nótese que los resultados para
164 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
(C
O)
rs u
•2 1
O
newtoniano, elementos finitos
O j I I ' ' I t_ O
ni O
rt> o O-13 >Cl
1
datos inyección
p„ = 0.5 MPa
w =1.0inin
E' = 20 GPa R =25mm
0
TI = 120 Fas
caudal constante Q„ =21/min
15 5 10
tiempo (min)
Figura 4.3.2: Radios de las zonas inyectada i? y de pérdida de contacto a calculadas por el
método de los elementos finitos.
diverso número de elementos están mucho más agrupados que en el caso de que
el medio es indeformable (Fig. 2.4.5). La razón parece ser que en el caso de medio
indeformable y caudal constante, la respuesta presión-caudal es infinitamente
rígida, mientras que cuando el medio es deformable o la ecuación característica
de la bomba es lineal (Fig. 2.4.5) la respuesta es más flexible y el número de
elementos menos crítico.
Un resultado importante del cálculo es que confirma cuantitativamente que la
zona alcanzada por la inyección (definida por el radio R) es claramente inferior
a la zona de pérdida de contacto (definida por el radio o). Esto se pone de
manifiesto en la Fig. 4.3.2 donde se representa la evolución de a y de R; a es
siempre mayor que R excepto en las primeras centésimas de segundo. De hecho
en el cálculo hay sólo un pimto en que a < R que corresponde al primer escalón
y que es inapreciable a la escala del dibujo.
La Fig. 4.3.3 muestra de otra forma este mismo resultado, dibujando la re
lación a/R frente al tiempo. En los primerísimos instantes (que no se aprecian
en el dibujo) la relación a/R baja por debajo de 1, pero aumenta inmediata-
4.3. Análisis del modelo de inyección 165
2.0
Oí ^ fC
•I-I
o; M
1.0
0.5
" 2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
0.0
newtoniano, elementos finitos
1.0 O 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
2.0
1.5
1.0
0.5
O 15 0.0
datos inyección
Pp = 0.5 MPa
w = 1.0 m m
E' = 20 GPa Rp = 25 m m
TI = 120 F a s
caudal constante Q3„ = 21/min
5 10 tiempo (min)
Figura 4.3.3: Relación entre los radios de la zona de pérdida de contacto y de la zona inyectada
en función del tiempo. El recuadro interior muestra la evolución en los primeros 6 segimdos.
mente muy rápido hasta alcanzar un valor del orden de 1.8 a los 0.9 s (0.015 min,
véase el recuadro interior de la figura) para luego empezar a disminuir primero
rápidamente y luego muy suavemente hasta valores de 1.3 para tiempos relati
vamente grandes (15 min).
En consecuencia, concluimos que los cálculos de elementos finitos confirman
cuantitativamente la descripción cualitativa de los apartados 1.3.2 y 2.4.1 que
sugería que al superarse la presión de cierre de grieta el fi-ente de apertura de
grieta se sitúa por delante del frente de inyección.
4.3.2 Comparación con el modelo simplificado newtoniano
Los resultados que acabamos de mostrar, calculados por el método de los ele
mentos finitos, son cualitativamente similares a los mostrados previamente en
el apartado 2.4.3 calculado con el modelo simplificado (Fig. 2.4.3). De hecho, la
semejanza es mucho más que cualitativa, como muestra la Fig. 4.3.4, en la que
se comparan los resultados de los dos métodos.
Parece claro que el modelo simplificado aproxima muy bien la solución real
166 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
á •-o • l -H
O)
l-í
o
• | -
n
?
datos inyección
p„ = 0.5 MPa
w =1.0min
E' = 20 GPa R =25mm
0 Ti = 120Pas
caudal constante QBo = 21/min
5 10 tiempo (min)
Figura 4.3.4: Comparación de los resultados calculados mediata el método de los elementos
finitos (con 51 elementos) y utilizando el modelo simplificado del apartado 2.4.3
para lo simple y rápido que es. Si, además, se tiene en cuenta la grado de
incertidumbre con que se pueden conocer los datos de una obra real —^módulo de
elasticidad, apertura inicial de grieta, coeficientes de flujo, por ejemplo — parece
que el modelo aproximado puede competir con ventaja en hacer estimaciones
rápidas de procesos de inyección, sabiendo que las imprecisiones de cálculo
pueden ser del orden del 20% en general (aunque son mucho menores para un
dato esencial como es la presión máxima alcanzada durante la inyección).
Como consecuencia de éstas consideraciones, adoptamos el modelo aproxi
mado como referencia básica y lo analizamos en el resto de esta sección en su
versión para fluidos potenciales, que, como hemos visto, son los que mejor rep
resentan el comportamiento de la resina. Empezamos por efectuar un análisis
dimensional de las ecuaciones del modelo para descubrir los parámetros que
controlan el proceso de inyección.
4.3. Análisis del modelo de inyección 167
4.3.3 A n á l i s i s d i m e n s i o n a l de l m o d e l o s impli f icado potencia l
Antes d e intentar u n estudio paramétr ico del modelo aproximado descrito en
el apa r t ado 2.5.5, es conveniente adimensionalizar las ecuaciones pa ra p o d e r
identificar los parámet ros independientes que controlan el proceso. Para ello
in t roducimos las variables adimensionales siguientes:
Po ^ QgM Jk (4.3.1)
Ro RQ wo
donde recordamos que po es la presión de cierre de grieta, QBM el máximo caudal
que puede entregar la bomba, y i?o el radio del taladro de inyección; WQ es
la apertura hidráulica inicial y w se interpreta en este contexto como apertura
hidráulica (i.e., como apertura mecánica más WQ).
De acuerdo con esto y con la ecuación propuesta para el flujo en una grieta
rugosa, Ec. (4.2.15), el coeficiente de flujo podrá escribirse como
< ^ = - É ñ . ^ ° ^ <« = ^ ^ (4.3.2)
Sustituyendo estas definiciones en las ecuaciones (2.5.16)-(2.5.20) y operando,
resulta que las ecuaciones se transforman en las siguientes:
yj2n+l
- ^
donde
xb — \-\- flRe p
Q = | ( ^ ^ ^ )
1 = l + Q'"
t = - , con r = - ^ y
Po \2TTRO) ' -KE'WQ ' Po
dr
n
df
j-r _ PBM
(4.3.3)
(4.3.4)
(4.3.5)
(4.3.6)
(4.3.7)
(4.3.8)
(4.3.9)
168 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
Nótese que hay una escala temporal que surge naturalmente y está determinada
por T, que no es otro que el tiempo que tardaría la bomba a pleno caudal en
llenar un cilindro de radio RQ y altura WQ.
Tomando a t como variable independiente, las variables dependientes son
p,Q,R,Rey'WY como se deduce de las ecuaciones, los únicos parámetros que
condicionan el problema son $, fi y n , tres números adimensionales que es
tablecen las condiciones de fimcionamiento. Por lo tanto cualquier problema de
inyección tiene básicamente 3 grados de libertad (si suponemos que ny m son
exponentes fijos)
De acuerdo con las definiciones de la ecuación (4.3.9), $ está directamente
relacionada con las propiedades del flujo de la resina en la grieta; fl está rela
cionado con la deformabilidad del macizo, particularmente con el módulo de
elasticidad; y 11 está relacionada con la máxima presión de inyección. En el caso
de caudal constante 11 = oo y el problema tiene sólo 2 grados de libertad.
4.3.4 Estudio paramétrico
En lo que sigue consideramos una resina con un exponente n = 0.85, y una
bomba con m = n. El primer caso que hemos analizado, porque tiene sólo dos
grados de libertad, es el de caudal constante, que se simula poniendo H = oo (en
realidad un valor muy grande, del orden de 10^ , pero finito).
Se ha calculado la curva de evolución de la presión para un buen número
de casos y se ha estudiado, como valor característico de la inyección, la presión
máxima alcanzada. Los intervalos analizados para $ y íü abarcan un orden de
magnitud hacia arriba y otro hacia abajo de los valores correspondientes al caso
analizado en el apartado anterior {QBM = 2 1/min, po = 0.5 MPa, WQ = 1 mm,
i?o = 25 mm y £; = 20 GPa) con una resina para la que A c = 100 Pa s°-^ .
La Fig. 4.3.5 muestra los resultados para la presión máxima en fiínción de
<í» para distintos valores de Cl. Como puede verse la presión máxima aumenta
con ambos parámetros, pero en mucha menos medida de lo que aumentan los
parámetros niismos.
4.3. Análisis del modelo de inyección 169
(X
140
120
100
80
e ^ 60
40
20 L
O O
-0.016 -0.010 -0.0064 - 0.0040
^0.0025 -0 .0016
-^i—0.0010 » -0.00064 ^^— 0.00040 -• -0.00025 -Hfr-0.00016
1 10'' 2 10 3 10* O
4 10' 5 lO'*
Figura 4.3.5: Presión máxima en función de los parámetros $ y íí para bomba de cuadal
constante.
La Fig. 4.3.6 muestra los resultados para la evolución en el tiempo del radio
de inyección, o más exactamente, el tiempo requerido para alcalizar un radio de
inyección dado. Las curvas se dan para varios valores de $ y un único valor de
Q,, correspondiente al centro del intervalo antes definido. Como puede verse, el
haz de curvas está bastante agrupado, de forma que los tiempos de inyección
para un radio dado difieren en menos de tm 20%.
El siguiente grupo de análisis que se ha llevado a cabo ha sido para bomba
de caudal variable (con m = 0.85) cuya característica está determinada por el
parámetro H, que se ha hecho variar entre 6.25 y 100.
Igual que antes, la primera variable estudiada ha sido la presión máxima. La
Figs. 4.3.7 a 4.3.11 muestran la variación de la presión máxima con $ y Q para
distintos valores de 11. Es de notar que las curvas teñen casi la misma forma y
que n repercute sólo en xm. cambio de escalas vertical y horizontal. La Fig. 4.3.12
muestra la variación de la presión máxima en función de $ para varios valores de
n y Í2 igual al valor central del intervalo estudiado. Como es lógico, la solicitación
más intensa es para la bomba de caudal constante.
170 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
2.5 10^
^ 2.0 10^
O
1 1.5 lO'' T3
g, 1.0 10'
5.0 10^
0.0
•
• — o -
_ ..-.y.-
O
- 4 5 7 - A -
-823 - ^ -
- 1 4 8 4 -••••
in-^fr^. . 1
-2675 -4821
- 8690
.-.
-J-^'í^í^*^
. , 1 , . ,
,•
f^ / . • ' / • ' /
' f^ • '~^y^''X
'^'y^^^
a = 0.0016 1 . . . 1 , , ,
O 20 40 60 80 100 radio adrmensional
120
Figura 4.3.6: Tiempo requerido para alcanzar tm radio de inyección detenninado en función
del parámetro $ para íí = 0.0016.
Í2 J _
-•—0.0016 -o-0.0032 -•— 0.0064 •A -0.0128 - T ^ 0.0256
n = 6.25-
1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10
Figura 4.3.7: Presión máxima en función de $ y íí para 11 = 6.25.
4.3. Análisis del modelo de inyección 171
&,
af
Figura 4.3.8: Presión máxima en función de $ y f2 para 11 = 12.5.
Figura 4.3.9: Presión máxima en función de $ y Í2 para n = 25.
172 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
o*
i 20
5 10
Figura 4.3.10: Presión máxima en función de $ y Q para 11 = 50.
2 10'* 4 IC^ 6 10" 8 10" 1 10= O
Figura 4.3.11: Presión máxima en función de $ y íí para 11 = 100.
4.3. Análisis del modelo de inyección 173
60
50
40 cS
I 30
20
10
O
n : - o - 6 . 2 5 - - o - 1 2 . 5 : - o - 2 5
--A—50 - - v - 100
• -oo
-
.
•
•
. O-y*"^ - . ' • ' • - • - ' - •y ' - ' - - - • • •O
Vv'.-
' . . O ' '
. . - • D
. . 1
/ y j
/ y / •'' ^
' .^
..o
Q. = 0.0016
10' 10 10 10 o
Figura 4.3.12: Presión máxima en función de $ y 11 para ft = 0.0016.
Finalmente, la Fig 4.3.13 recoge el tiempo adimensional requerido para al
canzar el radio de inyección requerido para varias combinaciones de $ y n y
n = 0.0016.
Aunque no cubren todas las posibilidades, se espera que las curvas aquí pre
sentadas ayuden a diseñar problemas de inyección para distintos casos prácticos.
Para los casos no cubiertos por las curvas siempre es posible acudir al programa
de cálculo que es rápido y fácil de manejar.
174 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados
7.0 10'
6.0 10'
§ 5.0 10' en
a» I
I 4.0 10'
o 3.0 10'
r •^ 2.0 10'
1.0 10-
0.0 o
(n,<D) -o- (2 ,2675) -»-(4,2675)
-^- (8 ,2675)
(2,4821) -o- (2,8690) (4,4821) • - •• (4,8690) (8,4821) -o- (8,8690)
40 60 80 radio adimensional
120
Figura 4.3.13: Tiempo requerido para alcanzar un radio de inyección determinado para varias
combinaciones de los parámetros $ y ü, y íí = 0.0016.
Capítulo 5
Conclusiones y trabajo futuro
5.1 Conclusiones
Como resultado de las investigaciones desarrolladas en la presnte tesis doctoral,
cabe destacar las conclusiones que a continuación se enumeran:
1. Se ha considerado por primera vez el estudio cuantitativo de inyecciones
de resina de alta viscosidad a altas presiones en zonas pequeñas, de cuyo
estudio se deduce que la técnica, bien aplicada, es eficiente y segura.
2. Se ha demostrado por primera vez que cuando este tipo de inyecciones se
aplica a grietas cerradas se produce una laminación de la presión debido a
las deformaciones locales de la estructura, que se traducen en que la grieta
se abre localmente, manteniéndose cerrada a distancias de unas pocas veces
el radio de la zona inyectada.
3. Se han aplicado por primera vez técnicas de mecánica de la fractura para
estudiar el proceso de apertura de la grieta bajo la presión de inyección,
y se han obtenido las funciones de Green correspondientes que permiten
formular el problema reduciéndolo a un sistema de ecuaciones integro-
diferenciales sobre el disco inyectado, lo que supone un ahorro considerable
en esfuerzo de cálculo sobre otros métodos tradicionales que modelizan
toda la estructura.
175
176 Capítulos. Conclusiones y trabajo futuro
4. Se ha propuesto por primera vez un modelo aproximado muy eficierite en
cuanto a velocidad de cálculo, cuyos resultados contrastan muy bien con
resultados de cálculos más complejos usando el método de los elem^entos
finitos.
5. Se han realizado por primera vez ensayos de viscosimetría a velocidades
tangenciales "elevadas sobre una resina epoxi con carga inerte que le con
fiere elevada viscosidad. De dichos ensayos se deduce que la resina es
newtoniana en estado puro y no newtoniana cuando la carga inerte es ele
vada, pudiéndose modificar la viscosidad en dos órdenes de magnitud con
una adecuada dosificación.
6. Se ha establecido que el comportamiento de la resina de alta viscosidad se
puede aproximar por un modelo newtoniano generalizado con ley poten
cial, incluso durante el proceso de gelificación.
7. Se ha encontardo una teoría fenomenológica original que describe nuy
bien la evolución de la reología de la resina durante el endurecimiento en
condiciones isotermas. El modelo resulta también satisfactorio para resinas
de muy diversa naturaleza ensayadas por otros autores.
8. Por primera vez se ha estudiado el flujo de vn fluido no newtoniano poten
cial en una grieta rugosa tanto a nivel teórico como experimental. Como
resultado del estudio se ha propuesto una fórmula que tiene en cuenta
adecuadamente la naturaleza de la resina y la rugosidad de la grieta.
9. Se ha realizado por primera vez un estudio dimensional basado en la
fórmula anteriormente citada que demuestra que el proceso está gober
nado por tres parámetros adimensionales: El primero está directamente
relacionado con las propiedades del flujo de la resina en la grieta, el se
gundo depende de la deformabilidad de la estructura y el tercero de la
máxima presión que puede suministrar la bomba de inyección.
5.2. Trabajo futuro 177
10. Se ha realizado un estudio paramétrico a partir del cual se han construido
abacos que permiten calcular para un amplio abanico de casos los aspec
tos más sobresalientes de una inyección dada, y analizar rápidamente la
influencia de la modificación de los parámetros de la inyección.
5.2 Trabajo futuro
Esta tesis no es sino una exploración inicial de im campo que se descubre ri
quísimo en posibilidades de investigación, varias por cada aspecto de la experi
mentación. Las más evidentes son las siguientes:
1. Completar el estudio de la reología de la resina, tanto a nivel teórico como
experimental. Sería interesante investigar el efecto de la presión, del aire
ocluido, extender el intervalo de temperaturas de estudio y extender el
modelo fenomenológico a procesos anisotermos. Desde el punto de vista
teórico sería de mucho interés justificar la evolución doblemente exponen
cial de la viscosidad con el tiempo durante el curado.
2. Extender el estudio del flujo de la resina en grietas rugosas, tanto experi-
mentalmente como a nivel teórico, buscando correlacionar el coeficiente de
flujo con las características topográficas de la grieta.
3. Mejorar el modelo aproximado incluyendo otros grados de libertad en la
distribución aproximada de presiones y en la distribución aproximada de
aperturas.
4. Mejorar la eficiencia de la resolución de las ecuaciones por el método de
los elementos finitos, buscando mallados alternativos y formulaciones de
convergencia más rápida.
5. Diseñar, basándose en los modelos aquí propuestos, ensayos de campo
que permitan determinar los parámetros de cálculo adecuados a una obra
particular.
178 Capítulos. Conclusiones y trabajo futuro
6. Desarrollar sistemas de control, basados en la respuesta esperada para una
obra segura, que permitan realizar las inyecciones de forma óptima: lo más
rápido que se pueda manteniendo la seguridad de la estructura.
7. Extender los modelos a casos sin simetría axial, empezando por pequeñas
desviaciones de simetría que pueden tratarse mediante teoría de perturba
ciones. Los siguentes casos son de interés: (1) Grieta de caras convergentes;
(2) gradiente de presiones hidrostáticas en la zona de inyección, (3) grieta
inclinada con fuerte buzamiento.
8. Finalmente, abordar el problema que se ha dejado fuera de éste estudio:
El caso de grietas activas, en el que, si no se toman medidas especiales, la
inyección puede hacer crecer la grieta y afectar la estabilidad estructural.
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Apéndice A
Detalles analíticos
A.l Determinación de la apertura de grieta
A. l . l Principios de cálculo de la apertura de grieta
Para determinar las aperturas de grieta —en general los desplazamientos— es
posible utilizar las relaciones entre la aproximación global y la aproximación local
a la fractura y obtener expresiones que dan los desplazamientos en función de los
factores de intensidad de tensiones. Este método, de uso muy extendido, se aplica
normalmente a problemas planos, pero puede extenderse a casos axisimétricos.
En la aproximación global (véase por ejemplo Elices 1995), se define una
magnitud G cuyo significado físico es la de la energía disponible para romper
una unidad de área de fisura. Se demuestra (Irwin 1957; véase e.g. Anderson
1991) que en elasticidad lineal en modo I existe una relación biunívoca entre G y
Ki, llamada relación de Irwin:
G=-^ (A.1.1)
donde E' = E = módulo de elasticidad para tensión plana y E' = E/{1 - u^)
para deformación plana y fisuras axisimétricas; u es el coeficiente de Poisson.
Por otra parte, la energía específica disponible puede escribirse en fimción de
la flexibilidad elástica del cuerpo fisurado. Para un cuerpo con una sola fuerza
aplicada el desplazaminento u de la fuerza F en la dirección de la fuerza puede
191
192 Apéndice A. Detalles analíticos
l fF. ' Ju,
L
(a)
Ju,
^
(b)
Figura A.1.1: (a) Grieta solicitada por dos fuerzas, (b) Grieta solicitada por dos pares de fuerzas
sobre sus caras.
escribirse como
u^CF (A.1.2)
donde C es la flexibilidad que, lógicamente, depende del tamaño de la grieta.
Estableciendo el balance energético entre la energía aportada (trabajo de la
fuerza) y la almacenada (energía elástica) es posible deducir una expresión ge
neral para G en términos de variación de la flexibilidad respecto del tamaño de
la grieta:
donde Aa es el área de la grieta. Esta expresión puede generalizarse a cuerpos
solicitados por sistemas de fuerzas múltiples. Consideremos para concretar un
caso con dos fuerzas Fi y F2 como el mostrado en la Fig. A. 1.1a. Los desplaza
mientos vendrán dados por ecuaciones lineales en las fuerzas:
1,2 (A.1.4)
doñee C^ es la matriz de flexibilidades que, de acuerdo con el principio de
reciprocidad, es simétrica.
En este caso el balance energético lleva a que la expresión para G puede
escribirse como (Elices 1995)
1 2 2 j(~,
'dA„ (A.1.5)
A.I. Determinación de la apertura de grieta 193
Por otra parte, los factores de intensidad de tensiones son aditivos, por lo que
el factor de intensidad de tensiones correspondiente a la acción simultánea de
las fuerzas es
Ki = J2Kii (A.1.6) t=i
donde Ka es el factor de intensidad de tensiones creado por la fuerza z-ésima.
Sustituiendo ahora las dos últimas ecuaciones en la relación dejrwin (A.1.1)
y operando, resulta:
ttlF^P/^^-tt^K.K, (A.1.7)
Puesto que esta relación es absolutamente general, debe satisfacerse para cual
quier combinación de valores de las fuerzas (en particular cuando todas menos
una son cero). De esta condición se deduce entonces que las sumas indicadas
deben ser iguales término a término y de aquí que
dCij_ ^ T^KuKij^ dAa E' Fi Fj ^ • • ^
donde debe apreciarse que, como las expresiones de Ka son proporcionales a Fi,
las fracciones Ka/Fi y Kjj/Fj son independientes de las cargas aplicadas, lo que
implica que en la ecuación anterior intervienen factores puramente geométricos.
Consideremos ahora el sistema de fuerzas de la Fig. A. 1.1b formados por
dos pares que actúan sobre las caras de la grieta en posiciones x y x'; llamemos
Fx = Fi Y Fx' = -p2- Los desplazaminetos asociados correspondientes a cada
par no son sino las aperturas de grieta en x y x' y por tanto tenemos Wx = ui y
Wx> = «2- Por lo tanto, la apertura en x provocada por la fuerza en x' es
Wx = Cxx'Fx' (A. 1.9)
y Cxx' = Ci2 del caso genérico es la flexibilidad cruzada, que, de acuerdo con
(A. 1.8) cumple dCxx' _ 2 Kix Kix' r A i i m dA^ - E' Fx Fx> ^^-^-^"^
Esta ecuación diferencial puede integrarse sin problema para obtener la flexi
bilidad, con la condición obvia de que la flexibilidad es cero para Aa = Q (cuando
194 Apéndice A. Detalles analíticos
no hay grieta). Tenemos entonces que para una fisura de área Af la flexibilidad
es
Esta es una ecuación general para la determinación de la apertura de grieta
debido a cargas aplicadas simétricamente en sus caras. Sólo hay que tener en
cuenta que la expresión de Aa depende de forma distinta de la dimensión li
neal de la fisura para los casos planos y axisimétricos. Vamos a especializar a
continuación la expresión para el caso axisimétrico.
A.1.2 Expresión de la apertura para fisura axisimétrica
En una fisura circular con carga axisimétrica tenemos las dos particularidades
siguientes: (1) El área viene dada por Aa = TTO y por tanto dAa = 27ro da; (2) la
carga puntual antes analizada correponde en realidad a una carga en circunfer
encia como la de la Fig. 2.1.9. Por lo tanto, debemos considerar la acción de dos
circunferencias de carga, una a la distancia r y otra a la distancia r' (r y r' susti
tuyen a X y x', respectivamente), con fuerzas por unidad de longitud fr y fr'- Las
correspondientes expresiones para Kj se deducen de la ecuación (2.1.15), pero es
preciso tener explícitamente en cuenta, através de los límites de integración que
el factor de intensidad de terisiones Kir = O sia < r porque en este caso el par
de fuerzas correspondiente no actúan sobre la grieta. Análogamente Kjj.i = O si
a <r' Con estas consideraciones (A. 1.11) queda
C.r' = -4^ r , , f , , ,, (A.1.12)
donde a/ es el tamaño de la fisura (a es sólo un avariable de integración) y se ha
tenido en cuenta que las fuerzas se relacionan con las fuerzas vienen dadas por
Fr = 2-Krfr , Fr' = 2nr'fr' (A.1.13)
Cambiando ahora a/ por a en el límite superior y a por u en el integrando,
y usando la expresión (A. 1.9), con x sustituido por r y Fr' dado por (A.1.13),
A.l. Determinación de la apertura de grieta 195
resulta la siguiente expresión para la apertura a la distancia r provocada por una
carga en circunferencia de radio r' y densidad lineal fr':
Wr = -^I{ry,a)fr-, I{r,r\a) = r' (A.1.14)
~ La primera expresión puede escribirse como
o
Wr ^--G^{r, r', a)fr> , Gy,{r, r', a) = ^ - ^ ( ^ , r', a) (A.1.15)
donde (7w(r, r', a) es la función de Green para la apertura, cuyo significado es el
de la apertura provocada por una solicitación unidad (fr' = 1).
A.1.3 Determinación de la apertura para inyección con presión
uniforme
Considermos una inyección con presión uniforme en un disco de radio b < a
en una grieta precomprimida a presión po (Fig- 2.1.8). Calcularemos la apertura
a la distancia r = b utilizando la expresión (2.1.27). El primer término de la
expresión se calcula teniendo en cuenta que p(r') = O para r' > b, de forma que
el dominio de integración Í2 se reduce al rectángulo 6 < M < a y O < r ' < 6 , por
lo que la integral puede resolverse integrando primero en r' y luego en u:
La integral interior es inmediata y vale u - \¡v?- - t/, de donde se obtiene
que se integra inmediatamente y resulta
^ "• ^ 5 ^ ( " ^ " \ / ^ ^ ^ ) - ^ \ / « ^ ^ (A-1.18)
Sustituyendo la expresión de a de (2.1.13) y operando se obtiene finalmente
(2.4.2).
Apéndice B
Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 198
100
80
§ 6 0
O
CU 40
20
50
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s' )
o 1.5 3
D •
6 15
o •
30 60
A 150 300
AA
100 150 200 250
Tiempo (s)
Serie O Muestra: VF00-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
-Momento
Temperatura
4h
300 350 400
30
28
H
26 B
r-t-
24
o
n 22
'20
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 199
100
80
§ 6 0
O
S 40
20
80
Viscosimetría de placa y cono
o
Velocidad de deformación (s" )
1.5 3
D 6 15
o •
30 60
A 150 300
160 240 320 400
Tiempo (s)
Serie O Muestra: VF00-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.8 °C
-Momento
Temperatura
480 560 640
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 200
11.0 10.0
os PH
t í •1—1
u
bO
• T H
CU
H
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VFOO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.0 °C
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 201
Velocidad de deformación (s'^)
o 300 • 600
Viscosimetría de placa y cono
A 1500
Serie O Muestra: VF25-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.0 °C
100
Q - r O - ^ ' _ ^ H 3
-Momento
Temperatura
200 300
Tiempo (s)
%
n < ¡ v ^
TI BH
400
30
28
26 B
P3
24 g
o
n 22
^ 2 0
500
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 202
100
80
z § 6 0 u O
S 40
20
Viscosimetría de placa y cono
o
Velocidad de deformación (s )
15 30
D 60 150
o •
300 600
A 1500
\
i I
iffx^":*"^ , ^
Serie O Muestra: VF25-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
-Momento
Temperatura
n-. . # ^ 1 . . r ^ - . » - ^ ^
%
fa
80 160 240 320
Tiempo (s) 400 480 560
30
28
H O)
26
24
su r-t-
SD
O
n 22
20
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 203
03
03 • I—I
u QJ 60 tí 03
tí
tí CU
H
^u.u
10.0
1.0
1
annnrmnn^r^...., ...r.rTTnTínnnniíií» V i s c o s i m e t r í a d e p l a c a v COTÍ o
ü Ensayo A o Ensayo B
i
2 :
3 :
Serie 0 Muestra: VF25-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
O:
sz
TL
2Z
0.1
5 'í
10 100 1000 2000
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 204
50
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
100 150 200 250 300 350 400
Tiempo (s) 450
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 205
50
40
O
O
CD
30
20
10
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.2 °C
Velocidad de deformación (s'^)
o 30 60
D 150 300
o •
600 1500
-Momento
Temperatura
100 200 300 400 500
Tiempo (s) 600
30
28
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 206
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.8 °C
2000
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 207
25
20
o
O
cu
15
10
400
Velocidad de deformación (s )
o 60 150
D 300 600
o 1500
< ¡ ^
500 600
Tiempo (s)
Serie O Muestra: VF75-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
-Momento
Temperatura
700 800
30
28
H
26 3
SU
24 03
n 22
20
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 208
25
20
g Z u O u o
O)
o
15
10
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF75-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C
Velocidad de deformación (s'^)
o 60 150
n 300 600
A
1500
-Momento
Temperatura
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200 300 400
Tiempo (s) 500 600
30
28
H
26 3
O)
P3 24
n 22
20
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 209
3.00
03
•I—I
u O)
• I—I
O)
1.00-
Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF75-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.0 °C
1000 2000
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 210
50
40
u O en u
o
30
20
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
D 6 15
o •
30 60
150
Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
Momento
Temperatura
Hoja 1/4
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12 14 16 18
Tiempo (min) 20 22
m*
30
28
H
26 3
24
o
n 22
20
24
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 211
70
60
^ 5 0
O ^ 4 0 O
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O "S 30 O)
20
10
24
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
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n 6 15
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30 60
150
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Temperatura
Hoja 2/4
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Tiempo (min) 34
30
28
H
26 3
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n 22
'20
36
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 212
100
80
§ 6 0 u O
S 40
O
20
36
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
• 6 • 15
^ ^
o 30 • 60
S*
A 150
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-Momento
Temperatura
Hoja 3/4 30
28
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24
o
n 22
20
38 40 42
Tiempo (min) 44 46 48
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 213
180
160
-0140
^-120 }-^
O c/i glOO
80
60
40
20
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
4
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D 6 15
o •
30 60
A 150
-Momento
Temperatura
Hoja 4/4 30
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Tiempo (min)
28
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24
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n 22
'20
64
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 214
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura r\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C
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deformación
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A 150
10 20 30 40 50 60
Tiempo (min)
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 215
50
40
O u O
o;
30
20
10
10
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
D 6 15
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30
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n 22
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24
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 216
70
60
g^50 ;H O ^ 40 O
O C 30 O)
o ^ 20
10
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 n 6 • 3 " 1 5
o 30 • 60
A 150
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36
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosintetrta de placa y cono 217
100
80
g 60
O
§ 40
O
20
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
o 1.5 • 3
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Velocidad de deformación (s'^)
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30
28
H
26 3
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n 22
20
48
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 218
160
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O
o
O)
80
40
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
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A 150
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Tiempo (min)
Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura riominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
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Temperatura
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Hoja 4/4
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60
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28
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24 3 o
n 22
20
62
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 219
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C
30.00
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Tiempo (min)
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 220
25
20
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10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
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Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 11\
50
40
6
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O
§ 20
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
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Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura nominal: 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C
-Momento
Temperatura
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Hoja 2/4
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26
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 222
120
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O
O 60
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20
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s ) o 1.5 n 6 o 30 A 150 • 3 • 15 • 60
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Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura nominal: 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C
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36
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 113
120
100
80
O
O 60
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20
37
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 n 6 o 30 • 3 • 15 • 60
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Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura iiominal: 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C
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25
45
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 224
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura nominal : 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C
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Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 115
25
20
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15
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s' )
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D 6 15
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Serie 1 Muestra: VE-32-B Temperatura nominal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C
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Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 226
60
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20
10
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 lyiuestra: VE-32-B Temperatura! nominal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C
Velocidad de deformación (s' )
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26
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Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 227
120
100
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80
60
40
20
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
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26
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 228
100
80
I 60 u O
S 40 g O
20
37
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-32-B Temperatura nommal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C
Velocidad de deformación (s' )
o 1.5 3
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26
43
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 229
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-32-B Temperatura nominal : 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C
30.00
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Tiempo (min)
35 40 '45
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 230
25
20
O en O
O)
15
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
D 6 15
o •
30 60
A 150
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10 12 14
Tiempo (min)
Serie 1 Muestra: VE-37-A Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 38.1 °C
-Momento
Temperatura
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16 18
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 231
60
50
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40
30
O)
20
19
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-37-A Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 38.1 °C
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
D 6 15
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26
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 232
27
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s ) .n....6. • 15 •
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Serie 1 Muestra: VE-37-A Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 38.1 °C
-Momento
Temperatura
Hoja 3/4
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Tiempo (min)
40
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34
o
n 32
30
33
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 233
120
100
s 80
O en u
o
O)
60
40
20
32
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-37-A Temperatura nommal: 37.0 °C Temperatura media : 38.1 °C
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 3
D 6 15
o 30 60
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30
38
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 234
30.00
10.00 -
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Tiempo (min)
35 40 45
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 235
25
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Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
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n 32
30
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 236
60
50
40 u O en u O
30
20
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
D 6 15
o •
30 60
A 150
4%
r:^^^^. .
Serie 1 Muestra: VE-37-B Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 36.7 °C
-Momento Hoja 2/4
Tempera|:ura
; #
(TíS'W^ . . .
19 20 21 22 23
Tiempo (min) 24 25 26
40
38
H
36 3
34 PJ
n 32
30
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 237
26
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-37-B Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 36.7 °C
28 30 32 34
Tiempo (min)
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 238
120
100
z 80
u O en u o
O)
60
40
20
34
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s" )
o 1.5 3
D
A
(^r@
6 15
o •
30 60
• #
<3Cí^
_ ^
ta
<ff1^
P ^
36
Serie 1 Muestra: VE-37-B Temperatura nominal: 37.0 °C Temperatura media : 36.7 °C
-Momento
Temperatura
Hoja 4/4
Mf'
^iM
^1
38 40
Tiempo (min) 42
40
38
H
36 3
34
n 32
30
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 239
Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-37-B Temperatura nominal : 37.0 °C Temperatura media : 36.7 °C
30.00
10.00
03 •1—I
u
^ . 0 0 os
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tí
O)
H 0.10
0.03
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=0= í í
O JT: Xn 3 t
í í Ht ^
xr 5:
H 5 xc
H :5 s
:5:
5 ^ 1 ^. ^. 5 s
Velocidad de
deformación
J , L- J L.
O 1.5
• 3
• 6
• 15
O 30
• 60
A 150
10 15 20 25 30
Tiempo (min)
35 40 45
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 240
80
70
60
u O f-i O
50
40
30
20
10
r 950
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
o 1.5 • 3
. -« - • -
D 6 • 15
o 30 • 60
A 150
JAIH^
f^i^"
Serie 2 Muestra: VF00-25-A2 Temperatura nominaL- 25.0 °C Temperatura media : 25.5 °C
• Momento
Temperatura
^VWAA
. ^ J I—^-./-^v,.—^'••^B
1000 1050
Tiempo (s) 1100
30
28
H ro
26 3
24 ^
n 22
20
1150
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscositnetría de placa y cono 241
80
70
g 60
z g50 o •^ 40 O
^ 30
20
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s )
o 1.5 3
D 6 • 15
o •
30 60
A 150
fkfé
•VíU' i
• '
50 100 150
Tiempo (s)
Serie 2 Muestra: VF00-25-B2 Temperatura nominal 25.0 °C Temperatura media : 25.0 °C
- Momento
Temperatura
200
HVW^ r | |
250
i
30
28
H
26 3
SU
24 3
n 22
20
300
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 242
10.0
as
03 • I—I
u O) bJD
• i -H
H
Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VFOO-25-2 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 243
50
40
^ 30 u O
S 20 S O
10
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s' )
o 1.5 3
D 6 15
o •
30 60
A 150
Serie 2 Muestra: VF05-25-A Temperatura riominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
• Momento '
Temperatura
50 100 150
Tiempo (s) 200
30
250
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 244
Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VF05-25-B Temperatura nominaL 25.0 °C Temperatura media' : 25.6 °C
100 150
Tiempo (s)
Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 245
fin
tí •1—1
U tí o; os
tí • I—I t/5
tí O)
H
Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VF05-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
200
Velocidad de deformación
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 246
30
Viscosimetría de placa y cono
Velocidad de deformación (s'^)
50 100 150
Tiempo (s)
Serie 2 Muestra: VFlO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.7 °C
Momento
Temperatura
200
30
28
H 26 3
24
o
n 22
20
250
Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 247
es
•T-i
u
cu tí
•4-»
tí • 1—1 (/) tí O)
H
Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VFlO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :24.7°C
200
Velocidad de deformación
Apéndice C ,1
Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 250
0.5
0.4
ce 5 0.3
-4-»
u O) OH
<
0.2
0.1
Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media Temperatura
• • • - • ' m\: m '• • ' •
D ^ C b f ? ) * RD
10
D (f] (m
DnO o • CD
12 14 16 18
• •
g¡ o
20 22
30
28
H 26 g
r-h
24 ^
O
n 22
20
Tiempo (min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 251
10.0
S 1.0 PLH
0.2
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Apertura ]
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media : 0.206 mm
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radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
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Sensor de presión
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1
4 5 6 7
Q (cm3/min)
8 9 10 15
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 252
10.0
i.:.....:. Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
0.2
Apertura media : 0.307 mm
a PH
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20 30 40'
Sensor de presión
• - - - 0 - - 1
• - - - D - - 2
• --o---3
• • - -A- - - - 4
• • - - V - - - - 5
50
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 253
1 n n iU.U
03
C
CU 1 . 0
0.2
j.-.:.,..:.-....-i.•••••••••••••••••......; V i s c o s i m e t r í a d e f l u j o r a d i a l 1
Apertura media : 0.409 mm
. . -A--. . . - - - < " " "
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Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Tempeptura media : 23.4 °C
1
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Sensor de presión
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• • - D - - - 2
• • - o - - - 3
• - -A- -4
•---V----5
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1
10 20 30 40
Q (cm3/min)
50 60 70 80
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscositnetría de flujo radial 254
Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
z os
u
u
50
40
30
20
10 [-
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Apertura media (mm)
----o---0.206
••-o---0.307
-••-o---0.409
6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 255
0.5
0.4
5 0.3 u
<
0.2
0.1 . 5
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media Temperatura
Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :23.4°C
10 15 20 25 30 35 40
30
28
26
H
24
O
n 22
20
Tiempo (min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 256
10.0
I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
n3
• 1—1
en QJ 1.0
0.2
Apertura media : 0.211 mm
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Sensor de presión
- a - l
•--D--2
-o---3
---A---4
•--V---5
4 5 6
Q (cm3/min)
10 12
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 257
10.0
I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
(ti
• i -H
O) 1.0 u
0.2
Apertura media : 0.312 mm
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Sensor de presión
- o - l
- D - - - 2
- ^ - - 3
- A — 4
-V----5
8 9 10 20 30 40
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 258
10.0
Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
• I—I
CD 1.0 u
0.2
Apertura media : 0.413 mm
10
^ •
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M:^
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20 30 40
Q (cm3/inin)
50 60
. - - ^
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Sensor de presión
• - - a - - - l
• - - o - - - 2
• • - - ^ - - - 3
• - -A-- - -4
• - -V- - - -5
70 80
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 259
I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C
OS
ce
u
50
40
30
20
10
9
8
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^ -
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^
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Apertura media (mm)
6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80
•--0-0.211
-0--0.312
-o---0.413
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 260
0.5
0.4
5 0.3 u O) OH
<
0.2
0.1
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media Temperatura
o o o
• •
10
Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :23.7°C
o o o
15 20
30
28
26 H 3 1-1
24 H{
o
n 22
20
Tiempo (min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 261
10.0 ^ ^ Viscosimetría de flujo radial
Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C
• 1—1
O) 1.0
PH
0.2
Apertura media : 0.196 mm
M-
M-
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6 7 8 9 10
Q (cm3/min)
Sensor de presión
20
. . . .0---1
• - - - D - - - 2
• - - o - - - 3
• - - -A-- - -4
- - - V - - - - 5
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 262
10.0
03
1 1.0 u
PLH
0.2
1
Apertura
.
•m-""""
-!fjf^-"""'
- ^
:rf+
1
1 Viscosimetria de fluio radial Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal Temperatura media
media : 0.298 mm , ..-ó-
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- # - " • • + - * • ' " " * '
- # - " " • • " '
: 25.0 °C : 23.7 °C
Sensor de presión
-o--- 1
---D-2
- - - ^ - • - 3
---A---4
---V---5
2 1 3 \ -m-m- -m- - -h-
*4 /
1
10 20 30 40 50
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 263
10.0
Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media :23.7°C
03 OH
• I — I
en CU 1.0 u
PH
0.2
Apertura media : 0.399 mm
^ -
20
-^-
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- *
-3t
30 40 50 60
Q (cm3/min)
70 80 90 100
Sensor de presión
•--0--1
•--D---2
- o -3
-•A----4
- V — 5
120
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 264
<p Viscosimetría de flujo radial
Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C
u ce
U
50
40
30
20
10
9
8
7
• #
^ ^
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^
' ' •
10 100
Apertura media (mm)
--•-o-0.196
•••Q--0.298
•--O---0.399
150
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 265
0.5
0.4
ce 5 0.3 5H O)
<
0.2
0.1
Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media Temperatura
OOCSSQOQDQSDQ®
rinmi rrnin
30
28
26 H B
24 H-i
o
n 22
20 10 15
Tiempo (min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial lee
10.0
I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C
03
S 1.0 P-<
0.2
Apertura media : 0.217 mm
M-
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• #
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. - * • •
6 7 8 9 10
Q (cm3/min)
Sensor de presión
• - a - l
• - - - D - - 2
• • o - 3
•---A---- 4
• - • V - - - 5
20
Apéndice C. Resultados experímentales: Visco simetría de flujo radial 267
10.0
• iH
a; 1.0
0.2
J:.:.................... ^ • • • - • • • • • • '
Apertura
• M - - " " "
• N - ' " "
1
i
media
-H--
"% T* • * ^ 1 á"t • 1 • 1
^ Viscosimetna de flujo radial
0.320 mm
. . - - - - - • • 4 í - ^ . * ^
..4f -fr-" _ .......-----fr
Muestra: VF05-2f )-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C
Sensor de presión
- • - 0 - - 1
• - - - D - - 2
• - - o - 3
--A---4
• • • - V - - 5
1
1 2 1 3 \ - • - « - - • - - - H
1
9 10 20 30 40 50 60
Q (cm3/min)
Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 268
10.0
i :•:•:•:•x•:..:J.b;:;:; V i s c o s i m e t r í a d e f l u j o r a d i a l Muestra: VF05-25-D Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C
OS
S 1.0
0.2
Apertura media : 0.423 mm
20
-fr-- ^ • -
- ^ •
i
. . - ^ -• ^ • •
. • ^ • < ^ -
. # • 4
30 40 50 60
Q (cm3/min)
70 80 90 100
Sensor de presión
- o - 1
- -D- - -2
- 0 - - 3
--•A---4
• - • V - - - 5
I
120
Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 269
I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C
ce
U
50
40
30
20
10
9
8
7
n
^
*
#
^
3: ^
10
* • - *
#
S *
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^
T
#
,5
=<¿
100
Apertura media (mm)
150
•o-0.217
•o -0 .320
--•-•-0.423
Q (cm3/min)
Apéndice D
Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 272
0.6
0.5
S
cu Cl.0.3
0.2
Flujo entre placas rugosas
0.1
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media
Temperatura
DiiinilujiulijiniD
Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C
C® (3D O ®
rm rmmnrTminTi - 22
30
28
H O)
26 g
r-h
24 g
o
n
20 10
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 173
03
• I—I
O) u
PH
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
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1
Apertura media : 0.283 mtn
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entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C
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1
10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 274
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura riommal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C
CÜ OH
S c ^0
• I—1 C/5 0)
i.n 0.9 0.8 0.7 0.6
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0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.384 mm
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Sensor de presión
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•--A----5
20 30 40 50 60 70 80 90 100 150
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 275
5.0
4.0
3.0
2.0
S 1.0 ^ ^ 0.9 C 0.8
^O 0.7 I 0-6 ^ 05
0.4
0.3
0.2
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C
Apertura media : 0.485 mm
í-
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Sensor de presión
• a---1
---D---2
-o --3
--A--5
20 30 40 50 60 70 80 90 100 200
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 276
i;;sm ;;g J| ^ Flujo ciitre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C
z os
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50
40
30
20
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10
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100
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Apertura media (mm)
- o - 0.283
• o - - - 0.384
- • - - o - 0.485
200
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 277
s
0.8
0.7
0.6
0.5 OS u
+->
a; 0.4
<
0.3
0.2
0.1
Flujo entre placas rugosas
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media
Temperatura
'«f-»^
Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
30
28
H 26 g
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i-S
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24 g
o
n 22
20
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 278
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
• I—I
O) u
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.294 mm
# -
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Sensor de presión
• o - i
•-D---2
-o---3
--A--5
15 20 30 40 50
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 279
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.386 mm
cü PLH
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1,0 0.9 08 0,7 0.6
0.5
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Sensor de presión
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•-D---2
-o---3
•-A----5
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 280
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media :26.3°C
a PLH
2 ^-^
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1 0 0.9 0.8 0.7 0 6 OS
0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.497 mm
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Sensor de presión
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-D--2
o---3
-A----5
20 30 40 50 60 70 80 90 100 200
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 281
40
30
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10
9
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Muestra: vrUo—zc>—D-IM Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
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1
Apertura media (mm)
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- o - 0.497
15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 282
0.6
0.5
u 4-»
O) P^O.3
<
0.2
0.1
Flujo entre placas rugosas
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 D Apertíira extensometro 3
Apertura media
Temperatura
Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.0 °C
30
28
26 H O)
3 &3
24 3
frmn
o
n 22
20 10
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 283
fC PLH
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PLH
5.0
4.0
3.0
2.0
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Apertura media
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^ Flujo entre placas rugosas
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Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media : 26.0 °C
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Sensor de presión
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1
10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 284
^ p
s c o •I—1
0) u PH
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 n c:
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.0 °C
0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.376 mm
20
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30
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40 50 60
Q (cm3/min)
70 80 90 100
Sensor de presión
- 0 - - 1
• - - D - - 2
• - - o - - 3
• - - A - - - 5
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 285
5.0
4.0
3.0
2.0
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Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media :26.0°C
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Sensor de presión
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1
30 40 50 60 70 80 90 100 200
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 286
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.0 °C
40
30
20
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20 30 40 50 60 70 80 90 100
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Apertura media (mm)
200
- o -• 0.277
•o--0.376
- o - 0.478
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 287
0.4
0.3
5 0.2 +-> ?-i OJ P H
<
0.1
Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media
Temperatura
• • • • • • •
0.0
• • • « •
""BW^ n o
30
28
H 26 g
24 3 o
n 22
20 10 15 20 25
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 288
5.0
4.0
3.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
• I—I
u
2.0
1.0
0.9
0.8
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Apertura media : 0.110 mm
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Sensor de presión
8 9 10
- o - l
• • - - D - - - 2
• • • - A - - - 4
• • - V - - - - 5
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 289
5.0
4.0
3.0 \
P 2.0
• i H
O) 5-1
^ 1.0 0.9 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura noniinal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
Apertura media : 0.161 mm
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Sensor de presión
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• • - - D - - 2 .
- - 0 - - 3
• • - •A- - - -4
• - - •V - - - -5
10
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 290
5.0
4.0
3.0
PH 2.0
• 1—1
O)
PH 1.0 0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
Apertura media : 0.211 mm
O-
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u
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• ^ •
- ^ •
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-3r
Sensor de presión
10 20
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 291
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
• i H
O) u 1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
Apertura media : 0.260 mm
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-0---1
•-D---2
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-V---5
10 20 30 35
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 292
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
OH
tí • 1—1
O) u
1.0 0.9 0.8 0.7
0.6
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0.4
0.3
Apertura media : 0.309 mm
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1
1
Sensor de presión
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...-o... 3
----A---4
- • • - V - - - - 5
10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 293
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
Apertura media : 0.360 mm
OS
• I - I
O) u
PH
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
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- ^
- ^
Sensor de presión
- - - 0 - - 1
•---D---2
• - -o- - -3
--A----4
• - • - V - - - - 5
10 20 30 40
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 294
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C
60
50
40
30
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10 9 8 7
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-O---0.161
•--o---0.211
----A--- 0.260
•---V---- 0.309
• - -«- - 0.360
7 8 9 10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 295
0.5
0.4
os u
•+->
u O) PH
<
0.3
0.2
0.1
Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2
Apertura extensometro 3 Apertura media Temperatura
D
• • • •
o 00 o DDD n\^ D
30
28
H 26 g
24 g
n 22
20 10 12 14 16
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 296
5.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
4.0
3.0
• 1—1
CU
OH
2.0
Apertura media : 0.126 mm Sensor de presión
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 297
5.0
4.0
3.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
os
CU
u
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
Apertura media : 0.167 mm
^ -
-#-
..^0-
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• ^ ^ • •
. - = < ^ Sensor de presión
• o - - - 1
--D---2
- 0 - - 3
--A---4
••V--- 5
10 20
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experímentales: Flujo entre placas rugosas 298
5.0
4.0
3.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
OS pin
o; u
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
Apertura media : 0.225 mm
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10
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30
Sensor de presión
35
• o - l
• - - D - - - 2
- - • - ^ - - 3
--A----4
• - V - - 5
I
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 299
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestfa: VF05-25-B-R3 Temperatura i\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
a QH
Apertura media : 0.274 mm
' ^ •
1.0 0.9 0.8 0.7
0.6
0.5
0.4
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Sensor de presión
• • • - o - - 1
- - -D-- -2
• - - 0 - 3
•---A---4
----V---5
10 20 30 40 50 55
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 300
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
OS
• 1—1
O) 5-1
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
Apertura media : 0.324 mm
^ • " '
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Sensor de presión
• o - 1
---D--2
•--o---3
•---A---4
•---V----5
10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 301
5.0
4.0
3.0
PH 2.0
• I—(
O) u
P^ 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
0.4
Apertura media : 0.374 mm
* • ' "
* •
+•
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- ^ •
- < - •
...-<^-
. . - ^ -
- • < > • -
•4=-"
. .<>
-I
Sensor de presión
••-0---1
----D---2
• ---^---3
- - -A- -4
- • • - V - - - - 5
20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 302
3.0
2.0
1.0 0.9 0.8 (/)
CU
£ 0.7 0.6
0.5.
0.4
0.3
Apertura
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Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
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Sensor de presión
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• - - o - - - 3
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1
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20 30 40 50 55
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 303
60
50
40
30
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10 9 8
7
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Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C
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Apertura media (mm)
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7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 304
0.4
0.3.
ce 3 0.2
•4-» u (1)
0.1
Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3
Apertura media
Temperatura
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30
28
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20 10 12 14 16 18
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 305
5.0
4.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
^ 3.0
Ü3 2 0 u
OH
1.0
Apertura media : 0.120 mm
o
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. - * Sensor de presión
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-D---2
^ — 3
-A---4
10
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 306
6.0
5.0
4.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
Apertura media : 0.170 mm
1c 3.0
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Sensor de presión
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•-D---2
-o--3
•A----4
-•V----5
30
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 307
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
a; u 1.0 0.9 0.8 0.7
0.6
0.5
0.4
Apertura media : 0.220 mm
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Sensor de presión
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•--A---4
•--V--5
10 20 30 40 50
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 308
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura riominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
P
Apertura media : 0.269 mm
1.0 0.9 0.8 0.7
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•--V----5
9 10 20 30 40 50 60 70
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 309
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
ce
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1.0 0.9 0.8 0.7
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Apertura media : 0.318 mm
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Sensor de presión
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•---V----5
20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 310
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
Apertura media : 0.369 mm
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Sensor de presión
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•-V---5
20 30 40 50
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 311
60
50
40
. ^ 30
z ^ 20 U
10
9
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Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C
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•---0-- 0.220
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-v---- 0.318
---«---0.369
8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 312
0.4
0.3
OS
g 0.2 4->
QJ O H
0.1
Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
o Apertura extensometro 1 Apertura extensometro 2 Apertura extensometro 3 Apertura media
Temperatura
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30
28
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26 g
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n - 22
20 10 12 14 16
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 313
5.0
4.0
3.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
03
:: 2.0 en CU
PH
Apertura media : 0.118 rmn
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Sensor de presión
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- V — 5
10 15
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 314
tí • I—I
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 315
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
OS
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PH 1.0 0.9 0.8 0.7
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Apertura media : 0.218 mm
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10 20 30 40 45
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: flujo entre placas rugosas 316
6.0
5.0
4.0
3.0
03 ^ 2.0
tí -O
£ 0.9 0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
Apertura media : 0.267 mm
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Sensor de presión
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Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 317
5.0
4.0
3.0 \
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^ 10 u 0.9
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Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
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Apertura media : 0.316 mxn
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- ^ Sensor de presión
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10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 318
3.0
2.0
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Muestra: vrUa-zo-L'-is.o Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
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30 40 50 60
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 319
60
50
40
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Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura r\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C
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Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 320
0.5
0.4
03
5 0.3 u
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0.2
0.1
Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
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20
30
28
10 12
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 321
5.0
4.0
3.0
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2.0
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0.9
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Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
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10 15
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 322
5.0
4.0
3.0
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1
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10 20 25
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 323
OH
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2.0
1.0 0.9
ü.o 0.7
0.6
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Muestra: VrUo—2o—/\—is. Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
1
1
Sensor de presión
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•---D---2
• - • ^ - - - 3
• - • - A - - - 4
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1
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- • - • - - • - - - H-
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1
10 20 30
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 324
5.0
4.0
3.0
^ 2.0 PH
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ÍÍH 0.9 «^ 0.8
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^ Flujo entre placas rugosas
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Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
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• - • - V - - - - 5
1
/ 2 1 3 \ - • • « - - « - - • H
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1
50 60 , 70
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 325
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2.0
1.0 0.9 0.8 0.7 0.6
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^ Flujo entre placas
0.330 mm
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Sensor de presión
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1
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 326
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
3.0
2.0
C 1-0 '2 0.9 'S 0-8 £ 0.7
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0.5
0.4
0.3
Apertura media : 0.382 mm
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ML
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30 40
Q (cmS/min)
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Sensor de presión
-a---i
-D---2
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50 60
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 327
60
50
40
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10
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13
^ Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C
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5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 328
0.4
0.3
03
3 0.2
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0.1
0.0
Muestra: VF05-25-B-R4 Temperatuifa nominal: 25.0 °C Temperatura media : 27.4 °C
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30
28
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26 g
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n 22
20 10 15
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 329
5.0
4.0
3.0
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10
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 330
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.4 °C
5.0
4.0
3.0
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Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 331
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1.0 0.9 0.8 0.7
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Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 332
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4.0
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10 20 30 40 50 60 65
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 333
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.4 °C
5.0
4.0
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10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 334
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.4 °C
5.0
4.0
3.0
2.0
Apertura media : 0.3Í55 mm
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Q (cm3/min)
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Sensor de presión
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• • - - ^ - - 3
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90 100110
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 335
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Muestra: VF05-25-B-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.4 °C
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-•--V---- 0.300
••-«•-- 0.355
10 100
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 336
0.5
0.4
S. 0.3 tC
u
O) OH 0.2
0.1
Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
o
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Apertura extensometro 1 Apertura extensometro 2 Apertura extensometro 3 Apertura media
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30
28
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n 22
20 12 16 20
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 337
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
ce
4.0
3.0
2.0
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I
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 338
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
PH
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Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 339
5.0
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1
10 20 30 40
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 340
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
5.0
4.0
3.0
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9 10 20 30 40 50 60
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 341
5.0 4.0
3.0
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S 1.0 :2 0.9 S 0.8 u 0.7
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15 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 342
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
5.0
4.0
3.0
2.0
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Q (cm3/min)
Sensor de presión
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• - - - D -
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• • - - V -
1
2
3
4
5
I
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 343
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.8 °C
2.0
CU U
PH
1.0 0.9
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0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.406 mm
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Sensor de presión
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20 30 40 50
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 344
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50
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10
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-••V--- 0.301
•--ffi-- 0.353
- s - - 0.406
1.5 10 100 120
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 345
0.5
0.4
u
+->
u
<
0.1
0.0
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 D Apertura extensometro 3
Apertura media Temperatura
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n 22
20 10 12 14 16 18
Tiempo (min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 346
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
03
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PH
5.0
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Apertura media : 0.099 mm
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Sensor de presión
- o - i
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---A—4
--V---5
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 347
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6.0
5.0
4.0
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2.0
1.0 0.9 0.8 0.7
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Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
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Sensor de presión
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1
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\ *^ / 1
10 20
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 348
6.0
5.0
4.0
3.0
03
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• I—I
^ 1.0 £ 0.9
0.8 0.7 0.6
0.5
0.4
0.3
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
Apertura media : 0.202 mm
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Sensor de presión
- o - 1
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- o - 3
• - A - - - 4
•---V----5
10 20 30
Q (cmS/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 349
5.0
4.0
3.0
2.0 i ce
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PH
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Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
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Q (cra3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 350
4.0
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C3
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Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura' nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
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Sensor de presión
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1
10 20 30 40 50
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 351
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura iiominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
5.0 4.0
3.0
2.0
0.3
0.2
Apertura media : 0.368 mm
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1.0 0.9 OS 0.7 0.6
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Sensor de presión
15 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Q (cm3/min)
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 352
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C
4.0
3.0
2.0
re
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U
1.0 0.9 0.8 0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Apertura media : 0.410 mm
15 20
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30 40 50
Q (cm3/min)
60 70
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Sensor de presión
80 90 100
- o - l
---D---2
---0---3
•--A---- 4
---V----5
Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 353
Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Teniperatura media : 27.2 °C
60
50
40
30
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10 9 8
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Apertura media (mm)
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••--< --- 0.202
----A--- 0.254
•-•-V---0.306
-•-«---0.368
---S--0.410
10 100
Q (cmS/min)
En relación con mi Tesis Doctoral (1):
H M «-^gcclo^ c ^ ^rcu^ápA (DV\étci~s cov^ i4?-.^iurv ^ b o x v
mediante el presente escrito autorizo su (2):
jfxj Consulta en Biblioteca. ( ) Reproducción parcial por fotocopia de las páginas/Capítulos ( ):
^ Reproducción total mediante fotocopia,
con las dos condiciones que seguidamente se indican:
1. Que, ppr parte de la Dirección de la Biblioteca se me comunique a la dirección que indico al pie del presente escrito, el uso que a tenor de
cuanto queda autorizado en este escrito, haya sido objeto la mencionada Tesis Doctoral.
2. Que, en el caso de que alguna parte de su contenido sea, utilizado en alguna publicación o trabsijo de carácter científico o técnico, se
cite el origen de la información.
Madrid, 2. de C] j l í O ' de 1 .91^ .
AUTOR DE LA TESIS:
Nombre: D O m iCiliO Jn. t^Cx7ÁDy,.r^ '^T. -T ° \ - ^ ^
C. Postal ? y , ^ > ^ ^ Ciudad ^(xÁ^iA Telf.: ^ =
(1) Indicar el título de la Tesis Doctoral. (2) Indicar con una "X" lo que proceda. (3) Indicar el número de los Capítulos o páginas que procedan.