Io 2da programacion lineal

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

UNIVERSIDAD NACIONAL

“SAN AGUSTIN” - AREQUIPA

Augusto JAVES SANCHEZ

Lic. Administración

Maestría en Gestión Estratégica de Organizaciones

Doctorado en Administración

EXPOSITOR

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http://cursosparaemprendedores.blogspot.com/p/tesis.html

2

PROGRAMACIÓN LINEAL

Formulación matemática del problema

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TEXTO BASE: 2. IO - Programación Lineal

Programación Lineal

Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto de restricciones lineales.

Un modelo de programación lineal esta compuesto de lo siguiente:

* Un conjunto de variables de decisión

* Una función objetivo

* Un conjunto de restricciones


Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre actividades que compiten, de la forma mas óptima posible.

Supuestos de la P.L.

• Proporcionalidad

• Aditividad

• Divisibilidad

• Certidumbre

• Objetivo único

• No negatividad


FORMULACION MATEMATICA

METODO GRAFICO METODO ALGEBRAICO

(SIMPLEX)

PROBLEMA GENERAL

PROBLEMAS DE TRANSPORTE PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN

PROBLEMAS ESPECIALES

PROGRAMACION LINEAL

La importancia de la programación lineal:

• Ciertos problemas se describen fácilmente a través de la programación lineal.

• Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.

• La salida generada por el programa que resuelve el modelo de programación lineal entrega información útil para responder nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

Formulación matemática básica

en un problema de I.O. (PL)

Ejemplo: Una multinacional minera extrae un tipo de mineral de dos

minas diferentes, el cuales es sometido a un proceso de trituración,

con tres grados: alto , medio y bajo. La compañía han firmado un

contrato para proveer de mineral a una planta de fundición, cada

semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado

medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las minas tiene

diferentes procesos de fabricación.

Mina Costo por día (miles de Euros) Producción(toneladas/día)

Alto Medio Bajo

X 180 6 3 4

Y 160 1 1 6

¿Cuántos días a la semana debería operar cada mina para cumplir el

contrato con la planta de fundición con el que se comprometió la

multinacional?

Es necesario buscar una solución que minimice el costo de

producción global de la empresa, sujeta a las restricciones

impuestas por los proceso productivos asociados a cada mina así

como el contrato con la planta de fundición.

Traducción del problema en términos matemáticos

1. definir las variables

2. las restricciones

3. el objetivo



Variables

Representan las decisiones que

puede tomar la empresa:

Dx = número de días a la semana

que la mina X produce

Dy= número de días a la semana

que la mina Y produce

Notar que Dx0 y Dy0

Restricciones

Se recomienda primero plantear

las restricciones con palabras

antes de pasar a su formulación

matemática.

Restricción 1. refleja el balance

entre las limitaciones productivas

de la fábrica y el contrato con la

plante de fundición

Grado

Alto 6Dx+1Dy12

Medio 3Dx+1Dy8

Bajo 4Dx+6Dy24

Restricción 2. días de trabajo

disponibles a la semana

Dx5 y Dy5

Objetivo

Como objetivo buscamos

minimizar el costo

180Dx+160Dy



La representación completa del problema tomaría la siguiente

forma:

Minimizar 180Dx+160Dy

s.a.

6Dx+1Dy12

3Dx+1Dy8

4Dx+6Dy24

Dx5, Dy5

Dx0, Dy0




Construcción de modelos

PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS

Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos:

transistores y bobinas.

Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de

ensamble, dos minutos de tiempo en el departamento de Control de

Calidad y un minuto de tiempo en empaque.

Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de

tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque.

Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y

400 minutos en Empaque disponibles cada día.

Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la

utilidad.

La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que

maximice la utilidad total.



Solución:

Formulación

Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar

Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}

Paso 2: Identificar las variables de decisión que se desea determinar

X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}

Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}

Paso 3: Identificar las restricciones del modelo

R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.

R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.

R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.

R4) No Negatividad.



Paso 4: Construcción del modelo matemático

F.Objetivo

MAX { U = X + Y }

Sujeto a :

R1) X + 2Y 300

R2) 2X + Y 400

R3) X + 2Y 400

R4) X , Y 0

8

Métodos de Resolución

Método Gráfico Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el modelo.

Método Algebraico (SIMPLEX) Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a funcionar.

Problemas típicos

• Problema del transporte

• Problema de flujo con coste mínimo en red

• Problema de asignación

• Problema de la mochila (knapsack)

• Problema del emparejamiento (matching)

• Problema del recubrimiento (set-covering)

• Problema del empaquetado (set-packing)

• Problema de partición (set-partitioning)

• Problema del coste fijo (fixed-charge)

• Problema del viajante (TSP)

• Problema de rutas óptimas

Algunas reflexiones

• Hemos pasado de la definición del problema a su formulación

matemática.

• Error de especificación, el error más frecuente consiste en

descuidar las limitaciones (restricciones, características de las

variables, etc,)

En el ejemplo anterior:

a) Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de día)

b) Existe un único objetivo (minimizar los costes)

c) El objetivo y las restricciones son lineales

Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que

denominamos un problema de Programación Lineal PL

Algunas reflexiones

El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIÓN

Se ha tomado una situación real y se ha construido su equivalente

matemático MODELO MATEMÁTICO

Durante la formulación del modelo matemático se considera el método

cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitirá resolver el modelo

numéricamente ALGORITMO

El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera

gradual producen una solución numérica

Otra definición de I.O.

Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos

matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener

una solución numérica a los mismos

Dificultades

Dificultades de este tipo de enfoques:

•Identificación del problema (debemos ignorar partes o tratar el

problema entero).

•Elección del modelo matemático adecuado así como el algoritmo

adecuado para resolverlo (validación del algoritmo).

•Dificultades en la implementación.

•Velocidad (costes) que supone llegar a una solución.

•Calidad de la solución.

•Consistencia de la solución.

Cada muñeco:

• Produce un beneficio neto de 3 €.

• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.

Cada tren:

• Produce un beneficio neto de 2 €.

• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.

Ejemplo desarrollado

Gepetto S.L., manufactura muñecos y trenes de madera.

Cada semana Gepetto puede disponer de: • Todo el material que necesite. • Solamente 100 horas de acabado. • Solamente 80 horas de carpinteria. También: • La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite). • La demanda de muñecos es como mucho 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.

¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

Variables de

Decisión

x = nº de muñecos

producidos a la

semana

y = nº de trenes

producidos a la

semana

Función Objetivo. En cualquier

PPL, la decisión a tomar es

como maximizar (normalmente el

beneficio) o minimizar (el coste)

de alguna función de las

variables de decisión. Esta

función a maximizar o minimizar

se llama función objetivo.

Max z = 3x + 2y

El objetivo de Gepetto es

elegir valores de x e y para

maximizar 3x + 2y. Usaremos

la variable z para denotar el

valor de la función objetivo. La

función objetivo de Gepetto es:

Este problema es un ejemplo típico de un problema de programación lineal (PPL).

Restricciones

Son desigualdades que

limitan los posibles

valores de las variables

de decisión.

En este problema las

restricciones vienen

dadas por la

disponibilidad de horas

de acabado y carpintería

y por la demanda de

muñecos.

También suele haber

restricciones de signo o

no negatividad:

x ≥ 0

y ≥ 0

Restricción 1: no más de 100 horas de tiempo de acabado pueden ser usadas.

Restricción 2: no más de 80 horas de tiempo de carpinteria pueden ser usadas.

Restricción 3: limitación de demanda, no deben fabricarse más de 40 muñecos.

Estas tres restricciones pueden expresarse matematicamente

por las siguientes desigualdades:

Restricción 1: 2 x + y ≤ 100

Restricción 2: x + y ≤ 80

Restricción 3: x ≤ 40

Cuando x e y crecen, la función objetivo de Gepetto también crece.

Pero no puede crecer indefinidamente porque, para Gepetto, los

valores de x e y están limitados por las siguientes tres restricciones:

Restricciones

Además, tenemos las restricciones de signo: x ≥ 0 e y ≥ 0

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Muñeco Tren

Beneficio 3 2

Acabado 2 1 ≤ 100

Carpintería 1 1 ≤ 80

Demanda ≤ 40

Formulación matemática del PPL

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

2 x + y ≤ 100 (acabado)

x + y ≤ 80 (carpinteria)

x ≤ 40 (demanda muñecos)

Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana

y = nº de trenes producidos a la semana

Max z = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a (s.a:)

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)

x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)



Para el problema de Gepetto, combinando las restricciones de

signo x ≥ 0 e y ≥ 0 con la función objetivo y las restricciones,

tenemos el siguiente modelo de optimización:

Formulación matemática del PPL

Región factible

x = 40 e y = 20 está en la región

factible porque satisfacen todas

las restricciones de Gepetto.

Sin embargo, x = 15, y = 70 no

está en la región factible porque

este punto no satisface la

restricción de carpinteria

[15 + 70 > 80].

Restricciones de Gepetto

2x + y ≤ 100 (restricción finalizado)

x + y ≤ 80 (restricción carpintería)

x ≤ 40 (restricción demanda)

x ≥ 0 (restricción signo)

y ≥ 0 (restricción signo)

La región factible de un PPL es el conjunto de todos los puntos

que satisfacen todas las restricciones. Es la región del plano

delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.

Solución óptima

La mayoría de PPL tienen solamente una solución

óptima. Sin embargo, algunos PPL no tienen

solución óptima, y otros PPL tienen un número

infinito de soluciones.

Más adelante veremos que la solución del PPL de

Gepetto es x = 20 e y = 60. Esta solución da un

valor de la función objetivo de: z = 3x + 2y = 3·20 + 2·60 = 180 €

Cuando decimos que x = 20 e y = 60 es la solución óptima,

estamos diciendo que, en ningún punto en la región factible, la

función objetivo tiene un valor (beneficio) superior a 180.

Para un problema de maximización, una solución

óptima es un punto en la región factible en el cual

la función objetivo tiene un valor máximo. Para un

problema de minimización, una solución óptima es

un punto en la región factible en el cual la función

objetivo tiene un valor mínimo.

Se puede demostrar

que la solución

óptima de un PPL

está siempre en la

frontera de la región

factible, en un

vértice (si la

solución es única) o

en un segmento

entre dos vértices

contiguos (si hay

infinitas soluciones)

Representación Gráfica de las

restricciones

2x + y = 100

Cualquier PPL con sólo dos

variables puede resolverse

gráficamente.

Por ejemplo, para representar

gráficamente la primera

restricción, 2x + y ≤ 100 :

Dibujamos la recta 2x + y = 100

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Elegimos el semiplano que

cumple la desigualdad: el

punto (0, 0) la cumple

(2·0 + 0 ≤ 100),

así que tomamos el

semiplano que lo contiene.

Dibujar la región factible

Puesto que el PPL de Gepetto tiene dos variables, se puede resolver

gráficamente. La región factible es el conjunto de todos los puntos

que satisfacen las restricciones:

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpintería)

x ≤ 40 (restricción de demanda)



Vamos a dibujar la región factible que satisface estas restricciones.

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100 2x + y = 100

Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


Teniendo en

cuenta las

restricciones de

signo (x ≥ 0, y ≥ 0),

nos queda:

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x + y = 80

Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x = 40 Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0


Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100 2x + y = 100

x + y = 80

x = 40

La intersección

de todos estos

semiplanos

(restricciones)

nos da la región

factible

Región

Factible


Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100 2x + y = 100

x + y = 80

x = 40

Región

Factible

La región factible (al

estar limitada por

rectas) es un polígono.

En esta caso, el

polígono ABCDE.

A

B

C

D

E Como la solución

óptima está en alguno

de los vértices (A, B, C,

D o E) de la región

factible, calculamos

esos vértices.

Vértices de la región factible

Restricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

Región

Factible

E(0, 80)

(20, 60)

C(40, 20)

B(40, 0)

A(0, 0)

Vértices de la región factible

Los vértices de la región factible

son intersecciones de dos

rectas. El punto D es la

intersección de las rectas

2x + y = 100

x + y = 80

La solución del sistema x = 20,

y = 60 nos da el punto D.

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

D

B es solución de

x = 40

y = 0

2x + y = 100

x = 40

x + y = 80

C es solución de

x = 40

2x + y = 100

E es solución de

x + y = 80

x = 0

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 100 z = 180

Para hallar la solución óptima, dibujamos las rectas en las cuales los puntos tienen el mismo valor de z.

La figura muestra estas lineas para

z = 0, z = 100, y z = 180

Resolución gráfica

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

z = 0 z = 100 z = 180

La última recta de z que interseca (toca) la región factible indica la solución óptima para el PPL. Para el problema de Gepetto, esto ocurre en el punto D (x = 20, y = 60, z = 180).

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Resolución gráfica

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max z = 3x + 2y

También podemos encontrar la solución óptima calculando el valor de z en los vértices de la región factible.

Vértice z = 3x + 2y

(0, 0) z = 3·0+2·0 = 0

(40, 0) z = 3·40+2·0 = 120

(40, 20) z = 3·40+2·20 = 160

(20, 60) z = 3·20+2·60 = 180

(0, 80) z = 3·0+2·80 = 160 20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

La solución óptima es:

x = 20 muñecos

y = 60 trenes

z = 180 € de beneficio

Resolución analítica

Hemos identificado la región factible para

el problema de Gepetto y buscado la

solución óptima, la cual era el punto en la

región factible con el mayor valor posible

de z.

Recuerda que: • La región factible en cualquier PPL está

limitada por segmentos (es un polígono, acotado o no).

• La región factible de cualquier PPL tiene solamente un número finito de vértices.

• Cualquier PPL que tenga solución óptima tiene un vértice que es óptimo.

Un problema de minimización

Dorian Auto fabrica y vende coches y

furgonetas.La empresa quiere emprender

una campaña publicitaria en TV y tiene

que decidir comprar los tiempos de

anuncios en dos tipos de programas: del corazón y fútbol.

• Cada anuncio del programa del corazón es visto por 6 millones de mujeres

y 2 millones de hombres.

• Cada partido de fútbol es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de

hombres.

• Un anuncio en el programa de corazón cuesta 50.000 € y un anuncio del

fútbol cuesta 100.000 €.

• Dorian Auto quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30

millones de mujeres y 24 millones de hombres.

Dorian Auto quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada tipo de

programa para que el coste de la campaña publicitaria sea mínimo.

• Cada anuncio del programa del

corazón es visto por 6 millones de

mujeres y 2 millones de hombres.

• Cada partido de fútbol es visto por 3

millones de mujeres y 8 millones de

hombres.

• Un anuncio en el programa de

corazón cuesta 50.000 € y un

anuncio del fútbol cuesta 100.000 €.

• Dorian Auto quisiera que los

anuncios sean vistos por por lo

menos 30 millones de mujeres y 24

millones de hombres.

• Dorian Auto quiere saber cuántos

anuncios debe contratar en cada

tipo de programa para que el coste

de la campaña publicitaria sea

mínimo.

Corazón

(x)

Fútbol

(y)

mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30

hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24

Coste

1.000€ 50 100 50x +100y

Formulación del problema:

Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón

y = nº de anuncios en fútbol

Min z = 50x + 100y (función objetivo en 1.000 €)

s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)

2x + 8y ≥ 24 (hombres)

x, y ≥ 0 (no negatividad)

Formulación del problema:

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Dibujamos la región factible.

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

La región factible

no está acotada

Región

Factible

Calculamos los vértices de la

región factible:

A

B

C

El vértice A es solución del

sistema

6x + 3y = 30

x = 0

Por tanto, A(0, 10)

El vértice B es solución de

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2)

El vértice C es solución de

2x + 8y = 24

y = 0

Por tanto, C(12, 0)

Región

Factible

Resolvemos por el método analítico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Vértice z = 50x + 100y

A(0, 10) z = 50·0 + 100·10 =

= 0+10000 = 10 000

B(4, 2) z = 50·4 + 100·2 =

= 200+200 = 400

C(12, 0) z = 50·12 + 100·0 =

= 6000+0 = 6 000

El coste mínimo se obtiene en B.

Solución:

x = 4 anuncios en pr. corazón

y = 2 anuncios en futbol

Coste z = 400 (mil €)

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

Región

Factible

Resolvemos por el método gráfico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

El coste mínimo

se obtiene en el

punto B.

Solución:

x = 4 anuncios en pr. corazón

y = 2 anuncios en futbol

Coste z = 400 (mil €)

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

Z = 600

Z = 400

Número de Soluciones de un PPL

• Algunos PPL tienen un número infinito de

soluciones óptimas (alternativas o múltiples

soluciones óptimas).

• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no

tienen región factible).

• Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en

la región factible con valores de z arbitrariamente

grandes (en un problema de maximización).

Los dos ejemplos anteriores, Gepetto y Dorian Auto,

tienen, cada uno, una única solución óptima.

No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar

también las siguientes posibilidades:

Veamos un ejemplo de cada caso.

Número infinito de soluciones óptimas

max z = 3x + 2y

s.a:

Cualquier punto (solución)

situado en el segmento AB

puede ser una solución óptima

de z =120.

Consideremos el siguiente problema:

3x + 2y ≤ 120

x + y ≤ 50

x , y ≥ 0

10

10 20 30 40

20

30

40

50

50

60

Y

X

z = 60

z = 100

z = 120

A

B

C

Región

Factible

Sin soluciones factibles

s.a:

max z = 3x1 + 2x2

No existe región factible

Consideremos el siguiente problema:

3x + 2y ≤ 120

x + y ≤ 50

x ≥ 30

y ≥ 30

x , y ≥ 0

10

10 20 30 40

20

30

40

50

50

60

Y

X

No existe

Región Factible

y ≥ 30

x ≥ 30

x + y ≤ 50

3x + 2y ≤ 120

PPL no acotado

max z = 2x – y

s.a: x – y ≤ 1

2x + y ≥ 6

x, y ≥ 0

La región factible es no

acotada. Se muestran en el

gráfico las rectas de nivel

para z = 4 y z = 6. Pero

podemos desplazar las

rectas de nivel hacia la

derecha indefinidamente sin

abandonar la región factible.

Por tanto, el valor de z

puede crecer

indefinidamente.

1

1 2 3 4

2

3

4

5

5

6

Y

X

z = 4

z = 6

Región Factible

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