UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍNFACULTAD DE ADMINISTRACIÓN

ESCUELA PROFESIONAL DE MARKETING

PROBLEMAS PARA FORMULACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DEL MODELO LINEAL

DOCENTE: LICENCIADO JORGE NÚÑEZ BACA

CURSO: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ALUMNA: TANIA LLERENA MENA

Arequipa –Perú

2013

PROBLEMAS PARA FORMULACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DEL MODELO LINEAL

PROBLEMA 3

La Cámara de comercio de Arequipa periódicamente promueve servicios públicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicación así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestra a continuación.

RESTRICCIONES TELEVISIÓN RADIO PRENSA

AUDENCIA POR UNIDAD DE PUBLICIDAD

100 000 18 000 40 000

COSTO POR UNIDAD DE PUBLICIDAD S/2 000 S/300 S/600USO MÁXIMO DEL MEDIO 10 20 10

Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a 18,500.

Solución:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: número de unidades de publicidad a contratar en televisión X2: número de unidades de publicidad a contratar en radioX3: número de unidades de publicidad a contratar en prensa

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Maximizar la AudienciaMax (Z) = 100 000X1 + 18 000X2 + 40 000X3

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 2 000X1 + 300X2 + 600X3 ≤ 18 5002. X1 ≤ 103. X2 ≤ 204. X3 ≤ 105. X2 ≤ 0.50(X1 + X2 + X3)

6. X1 ≥ 0.10(X1 + X2 + X3)

RESTRICCION No negatividad: X1, X2, X3 ≥ 0

PROBLEMA 9

El propietario de una granja, está realizando ensayos para determinar la mezcla correcta de dos clases de alimentos para conejos. Ambos contienen diversos porcentajes de cuatro ingredientes esenciales. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo? a continuación se da la tabla 2.4 de dato para el problema.

TABLA 2-4

INGREDIENTES

% POR KILO DE ALIMENTO REQUERIMIENTO

MÍNIMO (KG)ALIMENTO 1

ALIMENTO 2

1 40 20 42 10 30 23 20 40 34 30 10 6

costo $/ kilo 0.5 0.3

Solución:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: cantidad de kilos de alimento1X2: cantidad de kilos de alimento2

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Mezcla de alimentos al costo mínimo Min (Z) = 0,5 X1+0,3 X2 ≤ 10

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 0,4 X1 + 0,2 X2 ≥ 4 2. 0,1 X1 + 0,2 X2 ≥ 23. 0,2 X1 + 0,4 X2 ≥ 34. 0,3 X1 + 0,1 X2 ≥ 6

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≤ 10

PROBLEMA 15

Supóngase que el banco de crédito el agricultor, tiene dos planes de inversión: el primero en el programa de tierras de riego y el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30% de la inversión anual, mientras que el segundo plan regresa en 65% de la inversión, pero al termino de 2 años, los interés recibidos de ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule u construya un programa lineal que le permita al Banco maximizar la inversión total en un sexenio (6 años), si la inversión anual es de 100 millones de soles.

Solución:

CANTIDAD A INVERTIR A INICIO DEL PERIODO

CANTIDAD AL FINAL DEL PERIODO

100 000,0001.30 X A1 X A2 + X B2

1.30 X A1 + 1.65 X B1 X A3 + X B31.30 X A3 + 1.65 X B2 X A4 + X B41.30 X A4 + 1.65 X B3 X A5 + X B51.30 X A5 + 1.65 X B4 X A61.30 X A6 + 1.65 X B5

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:XIJ: Cantidad a invertir en el plan i (i = A, B) en el periodo j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Maximizar la Inversión en sexenioMax (Z) = 1.30 XA6 + 1.65XB5

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:

1. X A1 + X B1 ≤ 100 000 0002. X A2 + X B2 ≤ 1.30 X A1 3. X A3 + X B3 ≤ 1.30 X A2 + 1.65 X B1

4. X A4 + X B4 ≤ 1.30 X A3 + 1.65 X B25. X A5 + X B5 ≤ 1.30 X A4 + 1.65 X B36. X A6 ≤ 1.30 X A5 + 1.65 X B4

RESTRICCION No negatividad: XIJ ≥ 0, DONDE i (i = A, B) y j (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6)

PROBLEMA 16

Una Cía. XYZ produce tornillos y clavos especiales. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2.00 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento # 1 y tres horas en el departamento # 2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento # 1 y dos horas en el departamento # 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2.00. Si ambos productos se venden a S/. 18.00, y el número de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las unidades.

Solución:

MATERIA PRIMADEPARTAMENTO

PRECIO1 2

TORNILLO 2,00 4 hr 2 hr S/. 18CLAVO 2,50 2 hr 3 hr S/. 18JORNAL S/. 2 x hr S/. 2 x hr

DISPONIBILIDAD

160 hr 180 hr

Costo de 1 clavo:MP + MO2.5 + 10 = 12.50Utilidades = 18 - 12.50 = 5.50

Costo de 1 tornillo:MP + MO2.0 + 12 = 14Utilidades = 18 -14 = 4

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X2: cantidad a producir clavosX1: cantidad a producir tornillos

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:

Objetivo: Maximizar las utilidadesMax (Z) = 5.50 X1 + 4 X2

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 4 X1 + 2X2 ≤ 1602. 2 X1 + 3 X2 ≤ 180

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≥ 0

PROBLEMA 17

Una papelería quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello se hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A están formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por 2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0.9 E y el de cada lote B es de 1.0 E. ¿Cuántos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos?

Solución:

A BCANTIDAD

X1 X2PAPEL

RECICLADO1 2 78

PAPEL NORMAL 3 2 138PRECIO DE

VENTA0.9 1.0

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: número de lotes A X2: número de lotes B

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal: Objetivo: Maximizar ingresos Max (Z) = 0,9 X1 + 1,0 X2

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 1 X1 + 2 X2 = 782. 3 X1 + 2 X2 = 138

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≥ 0

PROBLEMA 23

Se hace un pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho, y 1000 de 50 pulgadas. Si la papelería tienen solamente rollos de 108 ¿Cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel, sabiendo que el máximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulgadas.

Solución:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: cortes para 30 pulgadasX2: cortes para 45 pulgadasX3: cortes para 50 pulgadas

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Minimizar papel en desperdicio Min (Z) = X1 + X2 + X3

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 108 – 30 X1 ≤ 222. 108 – 30 X2 ≤ 223. 108 – 30 X3 ≤ 22

RESTRICCION No negatividad: X1, X2, X3≤ 108

PROBLEMA 26

Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. Las capacidades límites son:

BODEGA TONELAJE PIES-CUBICOS

proa 2,000 100,000popa 1,500 30,000

centro 3,000 135,000

Se ha recibido ofertas de carga, las que se pueden aceptar total o parcialmente.

CARGA CANTIDAD PIES CUBICOS/TONELADAS

GANANCIAS: ($/TONELADA)

A 6,000 60 6B 4,000 50 8C 2,000 25 9

¿Cómo se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, sin la preservación del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas?

Solución:

BODEGA CARGA PROA POPA CENTRO CANTIDAD

GANANCIAS: ($/TONELADA)

PIES CUBICOS/TONELADAS

A X11 X12 X13 6,000 6 60B X21 X22 X23 4,000 8 50C X31 X32 X33 2,000 9 25

TONELAJE 2,000 1,500 3,000PIES-CUBICOS 100,000 30,000 135,000

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:XIJ: cantidad a cargar en toneladas de tipo i (i=A, B, C) en el almacén j (j=proa, popa, centro)

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Maximizar las gananciasMax (Z) = 6(X11 + X12 + X13) + 8(X21 + X22 + X23) + 9(X31 + X32 + X33)

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. X11 + X12 + X13 ≤ 6,0002. X21 + X22 + X23 ≤ 4,0003. X31 + X32 + X33 ≤ 2,0004. X11 + X21 + X31 ≤ 2,0005. X12 + X22 + X32 ≤ 1,5006. X13 + X23 + X33 ≤ 3,0007. 60 X11 + 50 X21 + 25 X31 ≤ 100,0008. 60 X12 + 50 X22 + 25 X32 ≤ 30,0009. 60 X13 + 50 X23 + 25 X33 ≤ 35,00010. X11 + X21 + X31/2,000 = X12 + X22 + X32/1,500 = X13 + X23 + X33/3,000

RESTRICCION No negatividad: XIJ ≥ 0

PROBLEMA 35

Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 de nécoras, y 20 de percebes. Dos mayoristas A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades pero solo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía a cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras, y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210000 pesetas, mientras que los de B cuestan 300000 pesetas cada uno, ¿Cuántos contenedores deben de pedir para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

Solución:

MAYORISTA CANTIDAD DE CAJASA B

LANGOSTINOS

8 2 16

NÉCORAS 1 1 5PERCEBES 2 7 20

PRECIO 210.000 300.000

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: número de contenedores de AX2: número de contenedores de B

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Minimizar cotos Min (Z) = X1(210.000) + X2(300.000)

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 8 X1 + 2 X2 ≥ 162. X1 + X2 ≥ 53. 2 X1 + 7 X2 ≥ 20

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≤ 210.000

PROBLEMA 37

Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabores a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gr. De un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gr de ese mismo producto. Se dispone de 9 kg. de ese producto para fermentación el coste de producción de un yogur de frese es el doble que el de un yogur de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

Solución:

YOGURT FERMENTACION

COSTO DE PRODUCTO

CANTIDAD

LIMON 0,5 gr AFRESA 0,2 gr 2A

DISPONIBILIDAD

30 000

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: cantidad de yogurt de limón a producirX2: cantidad de yogurt de fresa a producir

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Minimizar el costo por campañaMin (Z) = X1(a) + X2(2a)

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. 0.5gr X1 + 0.2grX2 ≤ 9,000gr2. X1 X2 ≥ 30,000

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≥ 0

PROBLEMA 44

El grupo ANTAR, S.A está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se fijado en $100,000 000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la industria petrolera, siderúrgica y en CETES (certificados de la tesorería). Específicamente, el

director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasa de rendimiento esperando de las mismas. Dicha información se da a continuación:

OPCIONES DE INVERSIÓN

TASA DE RENDIMIENTO

(%)PETRÓLEO Y

DERIVADOS S.A 50INDUSTRIA

PETROLERA S.A 75PETRÓLEOS DEL

NORTE S.A 40ACEROS MONDOVA

S.A 70SIDERÚRGICA NACIONAL S.A 45

HIERROS Y ACERO S.A 55CETES 60

Solución:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: cantidad a invertir en PETRÓLEO Y DERIVADOS S.AX2: cantidad a invertir en INDUSTRIA PETROLERA S.AX3: cantidad a invertir en PETRÓLEOS DEL NORTE S.AX4: cantidad a invertir en ACEROS MONDOVA S.AX5: cantidad a invertir en SIDERÚRGICA NACIONAL S.AX6: cantidad a invertir en HIERROS Y ACERO S.AX7: cantidad a invertir en CETES

b) Debe definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Maximizar el rendimientoMax (Z) = 0.50X1 + 0.75X2 + 0.40X3 + 0.70X4 + 0.45X5 + 0.55X6 + 0.60X7

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≤ 100 000 0002. X1 + X2 + X3 ≤ 0.50(X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7)3. X4 + X5 + X6 ≤ 0.50(X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7)4. X7 ≥ 0.25(X4 + X5 + X6)5. X2 ≤ 0.50(X1 + X2 + X3)6. X4 + X5 + X6 ≥ X1 + X2 + X3

RESTRICCION No negatividad: X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0

PROBLEMA 53

A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones A y B. las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. además, decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. formular el problema de programación lineal.

Solución:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente:X1: número de acciones de AX2: número de acciones de B

b) Debe definirse claramente objetivo y expresarse como función lineal:Objetivo: Maximizar la inversión Max (Z) = X1 A + X2 B

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales:1. X1 A ≤ 62. X1 B ≥ 23. X1 A = X2 B

RESTRICCION No negatividad: X1, X2 ≤ 10 millones