Lander INTXAUSTI

Santiago LARRAÑAGA

MATEMATIKA1DBH Irakaslearen gidaliburua

erein

Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza Sailak onetsia (2018-VI-7)

Azala eta liburuaren diseinua:IturriMaketazioa:EreinAzaleko irudia eta ilustrazioak:Iván Landa© Lander Intxausti, Santiago Larrañaga© EREIN. Donostia 2018ISBN: 978-84-9109-280-3L.G.: SS-820/2018EREIN Argitaletxea. Tolosa Etorbidea 10720018 DonostiaT 943 218 300 F 943 218 311e-mail: erein@erein.euswww.erein.eusInprimatzailea: GertuZubillaga industrialdea 920560 OñatiT 943 78 33 09 F 943 78 31 33e-mail: gertu@gertu.net

Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikaziopubliko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, le-geak aurrez ikusitako salbuespenezko kasuetan salbu. Obra honenzatiren bat fotokopiatu edo eskaneatu nahi baduzu, joCedrora (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org91 702 19 70 / 93 272 04 47).

Aurkibidea

Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. unitatea: Zenbakikuntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262. unitatea: Zatigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383. unitatea: Geometria planoan eta espazioan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504. unitatea: Zenbaki arrazionalak: zatikiak, zenbaki hamartarraketa ehunekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685. unitatea: Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak . . . . . . . . . . . 876. unitatea: Estatistika deskribatzailea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027. unitatea: Aljebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148. unitatea: Funtzioak eta grafikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309. unitatea: Probabilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Aurkezpena

Matematika DBH1 ikasmateriala DBHko lehenengo mailan Matematikarako konpetentzia lantzekodago diseinatuta. Ikasmaterial hau Sigma proiektuaren parte da, hain zuzen ere, DBHko etapa osoanzehar Matematikarako konpetentzia mailaz maila eta modu progresiboan eskuratzeko diseinatutakoikasmaterialen proiektuaren parte. Horrenbestez, lau mailen artean lotura koherentea duen plantea-mendua aurkezten dugu; problemen ebazpena hartzen du oinarri eta Matematikarako konpetentzialantzeko indarrean den legediaren araberako curriculumean proposatutako lau edukimultzo nagusiakgaratzen ditu, modu progresibo eta osagarrian (zenbakikuntza eta aljebra, funtzioak eta grafikoak, es-tatistika eta probabilitatea eta geometria eta neurria). Gainerako diziplina konpetentzien garapen-mailarekin bateratuta dago (etengabeko loturak ezarriz) eta zehar-konpetentziei egiten zaien ekarpenaere hartzen da kontuan.Problemen ebazpena hartzen du oinarri ikasmaterial honek, izan ere, problemen ebazpenean gauzatzenbaita Matematikarako konpetentzia bere osotasunean. Arazo bati konponbide egokia emateko mobili-zatu eta egituratzen dira beharrezko jakintzak eta abileziak, eta horrela sortu eta aplikatzen dira ideiaberriak. Problemen ebazpenak ahalbidetzen du diziplinartekotasuna, proiektuen bidez lan egitea, iker-keta proposamenak egitea eta konpetentzietan oinarritutako ikasketa esanguratsua lantzea, bakarkazein taldean.Xedea eta helburuakHonako hau da DBH etaparako sortutako ikasmaterial honen xedea:Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzako ikasleek, herritar diren aldetik izan ditzaketen eguneroko be-harrizanei erantzun ahal izateko, sortzen zaizkien arazoak ulertzea, deskribatzea eta horiei ebazpideegokia emateko oinarrizko jakintza matematikoa eta alor horren baliabideak modu eraginkorreanerabiltzea.Xede nagusi hori honako alderdi hauetan zehazten da:• Eduki matematikoa duten problema-egoerak identifikatzea eta estrategia egokien bidez ebaztea.• Jakintzamatematikoak eskaintzen dituen baliabideak aplikatzea, bai egunerokotasunean bai hala es-katzen duten beste jakintza-esparruetan.• Jakintza eta prozedura matematikoak ezagutzea, erlazionatzea, integratzea eta balioestea, errealita-tea eta norbere testuingurua ulertzeko, deskribatzeko, interpretatzeko eta komunikatzeko.• Gogoeta eta arrazoinamendua garatzea, nork bere ondorioak eta horietara iristeko prozesua justifi-katzeko, eta gainerako pertsonek aurkeztutako hausnarketak, emaitzak eta ondorioak modu kriti-koan aztertzea.

5

SARRERA

Matematika DBH1 ikasmateriala, DBHko etapa osorako ikasmaterialen Sigma proiektuaren zatiadenez, bereak egiten ditu indarrean den 236/2015 dekretuak proposatutako curriculumak etapa ho-netarako Matematikaren arloan proposatzen dituen helburuekin:1. Banaka edo taldean, eguneroko bizitzatik ateratako problemak, beste zientzia batzuetakoak edoMatematikakoak planteatzea eta ebaztea, eta zenbait estrategia aukeratzea eta erabiltzea, ebaz-pen-prozesua justifikatzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizarteanmodueraginkorragoan jardun ahal izateko.2. Matematikako ezagutza aplikatzea eguneroko bizitzako gertaerei eta egoerei buruzko informa-zioak eta mezuak ulertzeko, balioesteko eta sortzeko, eta beste ezagutza-arlo batzuetan erabilga-rriak direla jakitea.3. Elementuen, erlazioen eta propietateen ezagutza erabiliz, natura- eta kultura-inguruneko formageometrikoak identifikatzea, errealitatea deskribatzeko, eta ezagutza geometrikoak aplikatzea in-guruan dugun mundu fisikoa ulertzeko eta analizatzeko, eta hari buruzko problemak ebazteko.4. Kalkuluak eta iritzirako kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, etab.) segurtasunez eta konfiantzazegitea, egoera bakoitzerako prozedura egokienak (buruzko kalkulua, idatzia, kalkulagailua...) era-biliz, bizitzako egoerak interpretatzeko eta balioesteko, eta emaitzak sistematikoki berrikustea.5. Beren adinerako egokiak diren eta emaitzak eta ondorioak argi eta garbi eta koherentziaz justi-fikatzeko eta aurkezteko norberaren pentsamendua adieraztea errazten duten hizkuntza arrun-teko eta hizkuntza matematikoko elementuak (zenbakiak, taulak, grafikoak, irudiak) erabiliz,arrazoitzea eta argudiatzea.6. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak (kalkulagailuak, ordenagailuak, etab.) behar be-zala erabiltzea, kalkuluak egiteko, denetariko informazioak bilatzeko, tratatzeko eta adierazteko,baita Matematika ikasten laguntzeko ere.7. Matematika kulturaren parte dela balioestea, hura erabiliz gozatzea, Matematikako jarduerarenmoduen eta jarreren balioa bereiztea eta eskuratutako Matematikako konpetentziak aplikatzea,zenbait fenomeno sozial analizatzeko eta balioesteko; esate baterako, kultura-aniztasuna, ingu-rumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa, genero-berdintasuna edo bizikidetza baketsua.Indarrean den curriculumarekiko lotura

Matematika DBH1 ikasmateriala, jakintza arlo honetarako Sigma proiektuaren baitan etapa osorakogaratzen ari garen ikasmaterialekin batera, Heziberri 2020 hezkuntza-proiektuan dago oinarrituta etabertan planteatutako erronkei aurre egiteko dago diseinatuta. Oinarrizko derrigorrezko hezkuntzarenamaieran, ikasleak izan behar duen profilera begira, Matematikari dagokion diziplina-konpetentziaegoki garatzea bilatzeaz gain, konpetentzietan oinarritutako hezkuntza-sistema batean, gainerako di-ziplina-konpetentziak garatzea ahalbidetzeko loturak planteatzen ditu, Matematika diziplinak berez-koak dituen elementuen bidez, eta horrek gainerako diziplina-konpetentzietan beharrezkoak direnbaliabide intelektualak eskaintzen ditu eta horien garapena sakontzen lagundu. Horrekin batera, Ma-tematikarako konpetentzia garatzeko ere etengabe jotzen da gainerako diziplina-konpetentzietara etazehar-konpetentzietara, ikaslearen eguneroko errealitatearen esperientzian oinarritutako plantea-mendu praktikoaren bitartez.6

Sarrera

Horrenbestez, ikasmaterial hau, indarrean dagoen 236/2015 dekretuak bere baitan jasotzen duen cu-rriculum orientatzailetik abiatuta, Matematikarako diziplina-konpetentziaren garapenean trebatzekodago osatuta, eta hainbat alderditan lotura zuzena du dekretuak berak jasotzen dituen Matematika-rako konpetentziaren ezaugarriekin:• Problemen ebazpenean dago oinarrituta, eta horietatik abiatuta eraikitzen da ikasketa-prozesu osoa.• Problema-egoera horiek Ikaslearen esperientzia eta testuinguru hurbila erabiltzen dute jarduera-itu-rri moduan.• Osagai intuitibotik abiatuta abstrakzio- eta formalizazio-prozesuak finkatzen ditu ikasketa- eta haus-narketa-prozesuan.• Matematikaren izaera instrumentalak zuzenean egiten du bat hizkuntzaren erabilera zehatz eta ar-giarekin, eta beste jakintza arloetarako beharrezko tresna bihurtzeaz gain, errealitatea ulertu, des-kribatu eta komunikatzeko oinarrizko baliabidea bihurtzen da, baita ideien garapenerako etahausnarketarako baliabidea ere.• Matematikarako konpetentzia garatzeko baliabide teknologikoak erabili behar dira, eta prozedurakerrazteko eta gogoeta egiteko eta ideiak garatzeko bideak zabaldu behar ditu.• Problemen ebazpena problema-egoera moduan aurkeztutako proiektu txikien bidez lantzen denez,talde lana eta horri lotutako zehar-konpetentziak garatzeko testuinguru egokia sortzen dira.Ikasmaterial honek lantzen dituen edukiak eta erabiltzen dituen ebaluazio-irizpideak indarrean da-goen curriculumak proposatzen dituenetan daude oinarrituta. Horrekin batera, aipatzekoa da inda-rrean dagoen curriculumak enfasia jartzen duela arloen arteko loturetan eta zehar-konpetentziengarapenean. Ikasmaterial honek bere baitan hartzen du zeregin hori, eta gainerako arloekiko loturakegiteko proposamenak jasotzen ditu unitate guztietan.Oinarrizko konpetentziakIkasmaterial honen bidez, DBHko ikaslearenMatematikarako konpetentziaren garapena ahalbidetzekoikasketa-prozesu bat proposatzen da, indarrean dagoen curriculumak aurreikusten duen irteera-pro-fila osatzeko. Horretarako, ikuspuntu konstruktibista hartzen du oinarri metodologiko moduan, bate-tik Matematikaren ikasketari modu naturalenean doitzen zaion planteamendu pedagogikoa delako(Matematikarako konpetentzia jadanik finkatuta dagoenari konplexutasuna gehituz garatzen dugu),eta, bestetik, ikasleak bere esperientzietatik abiatuta bere ikasketa-prozesuaren protagonista izanik,modu egokian erantzuten diolako konpetentzietan oinarritutako hezkuntza-paradigma bati.Horrenbestez, problemen ebazpenean oinarritutako lan-planteamenduak egoki erantzuten die bi be-tebehar horiei, eta konpetentzien arabera lan egiteko (ikasteko) planteamendurako beharrezko alda-keta metodologikoa ahalbidetzen du: taldean lan egitea, problemen ebazpenean oinarritutakoproiektuen arabera lan egitea edo ikasketa prozesuak abiarazteko problema egoeretatik abiatzea, bes-teak beste.Arestian aipatu den moduan, ikaslearen testuinguru eta esperientziatik abiatzen den eta problemenebazpenean oinarrituta dagoen ikasketa-planteamendu batek, diziplinartekotasunera bideratzen duikasketa-prozesua, eta horrek lotura zuzenak sortzen ditu gainerako diziplina-konpetentziekin, horiekgaratzeko tresna bihurtzen baita.Zehar-konpetentziei dagokionez, Matematikarako konpetentzia garatzeak ezinbestean eskatu etaahalbidetzen du komunikaziorako konpetentzia bere hiru dimentsioetan (hitzezkoa, hitzik gabea eta

7

Sarrera

digitala), eta arloak berezkoak dituen zenbait ekarpen egiten dizkio, errealitatea eta haren konplexu-tasuna zehatz eta argitasunez deskribatu eta komunikatzeko baliabideak eskainiz (terminologikoaketa kontzeptuzkoak).Era berean, ikasmaterial honek planteatzen duen lan-metodologiakmodu intentsiboan erabiltzen dituMatematikak berez ezagutza-arlo moduan garatzen dituen hausnarketa eta sormena, eta horiek zuze-nean eragiten dute ikasten eta pentsatzen ikasteko konpetentziaren garapenean eta ekintzailetzarakokonpetentziaren garapenean.Horrekin batera, problemen ebazpenean oinarritutako taldeko zereginek, elkarbizitzarako konpeten-tzia garatzearekin batera, komunikaziorako konpetentzia, ikasten eta pentsatzen ikasteko konpetentziaeta ekintzailetzarako konpetentziaren garapena ahalbidetzen dute.Landuko diren edukiakIkasmaterial honen edukiak indarrean dagoen 236/2015 dekretuak proposatzen dituen eduki mul-tzoen arabera antolatzen dira. Problemen ebazpena zeharkako eduki moduan erabiliko da, Matemati-kako lana ulertzeko eta gauzatzeko berariazkomodu bat izanik, ikasmaterial honetan planteatzen denikasketa-prozesu osoaren oinarri metodologikoa baita. Horrekin batera, eduki komunen multzoarenedukiek ere zeharkako trataera izango dute unitate guztietan. Gainerako edukiak lau multzo handitanbanatu dira: Zenbakiak eta Aljebra; Geometria eta Neurria; Funtzioak eta Grafikoak; Estatistika eta Pro-babilitatea.Matematika DBH1 ikasmaterialeko edukien zerrenda honako hau da:Eduki komunak: Problemen ebazpena eta gainerako eduki komunak

(a) Arlo eta ikasgai guztietan komunak diren edukiak– Informazioa identifikatzea, lortzea, gordetzea eta berreskuratzea.– Informazio-iturrien eta informazioaren beraren egokitasuna ebaluatzea.– Informazioa ulertzea (aldaratzea, sailkatzea, sekuentziatzea, aztertzea eta laburbiltzea), buruz ikasteaeta azaltzea (deskribatzea, definizioak eta laburpenak egitea, azalpenak ematea, etab.).– Informazioa balioestea eta adieraztea (argudioak azaltzea, arrazoiak ematea, etab.).– Ideiak sortzea, hautatzea eta adieraztea.– Ideiak, zereginak eta proiektuak planifikatzea, eta haien bideragarritasuna aztertzea.– Egindako plangintza betetzea eta, beharrezkoa bada, hura doitzea.– Plangintzaren eta egindako lanen ebaluazioa egitea, eta hobekuntza-proposamenak lantzea.– Lortutako emaitzaren berri ematea.– Harremanak eta komunikazioa lantzea (enpatia eta asertibitatea).– Taldean ikasteko lanetan laguntzea eta elkarlanean aritzea.– Giza eskubideak eta gizartearen konbentzioak errespetatzea.– Gatazkak kudeatzea.– Norberaren gorputza erregulatzea.8

Sarrera

– Norberaren emozioak erregulatzea.– Norberaren alderdi kognitiboa erregulatzea.– Norberaren komunikazioa erregulatzea (hitzezkoa, hitzik gabekoa eta digitala).– Norberaren jokabide morala erregulatzea.– Norberaren motibazioa eta gogo-indarra erregulatzea.(b) Matematikaren arloari berariaz dagozkion eduki komunakb.1. Problema teknologikoak ebaztea.– Problemak ebazteko metodo orokorrak (Polya, Miguel de Guzmán).– Problemak ebazteko heuristiko erabilienak: saiakuntza-errorea, problema errazago bat ebaztea,problema bat problema txikiagotan banatzea, problema birformulatzea, taulak erabiltzea, zenba-keta zehatza, diagramak edo marrazkiak.– Zenbakizko jarraibideekin, jarraibide alfanumerikoekin edo geometrikoekin lotutako problemakebaztea.– Problemak ebaztean jarraitutako prozedura ahoz adieraztea.– Prozesua justifikatzea eta soluzioak egiaztatzea.– Datuak hipotetikoki aldatu ondoren, aieruak egitea.– Zenbakiei, neurriei, geometriari, zoriari eta abarrei buruzko ikerketa matematiko errazak egitea.– Modelizazio matematikoa egitea, benetako testuinguruetan eta testuinguru matematiko sinplee-tan.b.2. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak– Zenbakizko kalkuluak, kalkulu eta grafiko estatistikoak, irudi geometrikoak eta grafiko errazakerabiltzea behar duten problemak ebaztea (Matematikaren morroiak).– Erabilitako prozesuei eta lortutako emaitzei eta ondorioei buruzko txostenak eta dokumentuakegitea.– Matematikako informazioa eta ideiak ingurune egokietan jakinaraztea eta elkarbanatzea.b.3. Jarrerak– Aieruak egiteko, galderei erantzuteko eta problemak ebazteko interesa eta norberaren ahalme-netan konfiantza izatea.– Problemen ebazpenean ideiak ekartzeko eta alderatzeko oinarrizko elementutzat hartzea talde-lana.– Pertseberantzia eta malgutasuna problemen soluzioa bilatzeko eta jarraitutako prozesua eta lor-tutako emaitzak txukun eta argitasunez aurkezteko interesa izatea.– Eguneroko bizitzako problemei aurre egiteko Matematika garrantzitsua dela jakitea eta aintzathartzea, eta gizarte-arazo batzuk aztertzea, Matematikaren zeregina eta eraginamodu kritikoan az-tertuz.

9

Sarrera

Zenbakiak eta aljebra– Zenbaki arruntak. Zatigarritasuna, multiploak eta zatitzaileak. Zenbaki lehenak eta zenbaki kon-posatuak. Biderkagai lehenetan deskonposatzea. Zatitzaile komunetan handiena eta multiplo ko-munetan txikiena.– Zatikiak eta hamartarrak eguneroko bizitzako testuinguruetan. Zatikien esanahiak eta erabilerak.Zatikien arteko eragiketak: batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa.– Zenbaki hamartarrak. Zatikien eta hamartarren arteko erlazioak.– Zenbaki negatiboak. Sarreraren beharra. Zenbakizko zuzenean adieraztea. Zenbaki osoen artekoeragiketak. Zeinuen irizpideak. Eragiketen hierarkia eta parentesien erabileraren arauak kalkuluerrazetan.– Berretzaile arrunteko berreketak. Oinarrizko propietateak.– Erro karratua. Erroaren eta berreketaren arteko erlazioa.– Ikasitako zenbakiekin buruzko kalkuluak egiteko estrategiak. Kalkulu zehatza eta hurbildua.– Magnitude proportzionalak. Magnitude zuzenki proportzionalen benetako egoerak identifikatzea.Proportzionaltasunarekin lotutako problemak.– Osaketak edo aldakuntzak adierazteko ehunekoak. Ohiko ehunekoak buruz kalkulatzea eta ida-tziz.– Hizkuntza aljebraikoa: letren esanahia eta erabilera magnitude ezezagunak adierazteko.– Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak.– Jarraibideak ohiko hizkuntzako adierazpenak hizkuntza aljebraikoan adierazteko eta alderantziz.– Zenbakizko sekuentzietan propietateak, erlazioak eta erregulartasunak bilatzea eta adieraztea.– Formula errazetan zenbakizko balioak kalkulatzea.Geometria eta neurria– Planoan eta espazioan irudiak deskribatzeko oinarrizko elementuak: puntuak, zuzenak, zuzen-kiak, angeluak, aurpegiak, etab.– Zuzenkien eta angeluen elementuak: erdibitzailea, erdikaria.– Irudiak espazioan: poliedroak eta biraketa-gorputzak. Elementu bereizgarriak.– Irudiak planoan: triangeluak, laukiak eta beste poligono batzuk. Elementuak eta ezaugarriak. Er-lazioen eta propietateen analisia: paralelotasuna eta elkarzutasuna. Sailkapena zenbait irizpiderenarabera.– Poligono erregularrak. Eraikuntza eta propietateak.– Irudi lauen angeluen neurriak eta kalkulua.– Zirkunferentzia eta zirkulua. Propietateak.– Irudi lauen simetriak. Aplikazioak eta erabilerak. Mosaikoak eta haien propietateak.– Irudi sinpleen perimetroak eta azalerak kalkulatzea eta iritzira kalkulatzea, zenbait prozedura era-biliz.– Irudi lauak eta espazialak marrazteko eta neurtzeko zenbait tresna eta formatu (digitalak barne)erabiltzeko teknikak.10

Sarrera

Funtzioak eta grafikoak– Bi magnituderen arteko korrespondentzia. Eguneroko bizitzako mendekotasun-erlazioak identi-fikatzea eta ahoz azaltzea.– Funtzio kontzeptua.– Datuak balio-tauletan antolatzea.– Koordenatu kartesiarrak. Enuntziatu bat eta balio-taula bat oinarri hartuta, grafiko sinpleak adie-raztea.– Proportzionaltasun zuzeneko erlazioak. Balio-taula aztertuz, identifikatzea.– Taula batean aurkeztutako edo grafiko batean adierazitako informazioaren unean uneko inter-pretazioa eta interpretazio globala. Grafikoaren interpretazioari eragin diezaioketen distortsioak.– Software informatikoa erabiltzea (kalkulagailu grafikoak edo ordenagailua), grafikoak egiteko etainterpretatzeko.Estatistika eta probabilitatea– Informazioa antolatzea. Esperimentu batean jasotako datuen taulak.– Maiztasun absolutuak eta erlatiboak.– Barra-, lerro- eta sektore-diagramak. Interpretazioa eta alderdi nabarmenen analisia.– Fenomeno deterministak eta ausazko fenomenoak. Ausazko fenomeno sinpleen esperimentuak.Ausazko fenomenoen portaera. Aieruak egitea.– Ausazko gertaeren maiztasun erlatiboa. Probabilitate kontzeptuaren nozio intuitiboa.Ebaluazio-irizpideak eta ebaluazio-estrategiakMatematika DBH1 ikasmaterialean proposatzen den ebaluazio-sistema hiru urratseko ebaluazioa da,ikaslearentzat eta irakaslearentzat ikasketa-prozesuari buruzko informazio esangarria eta baliagarriaeskaintzen duena, eta ikasketa-prozesuaren eraginkortasuna hobetzera bideratuta dago. Gauzak ho-rrela, hiru fasetako ebaluazio-sistema proposatzen da:1. Hasierako ebaluazioa, ikaslearen gaitasun-maila kokatzeko eta ikasketa-prozesua haren egoera-tik abiatuta diseinatu ahal izateko.2. Prozesuko ebaluazioa, ikasketa-prozesua ikaslearen beharrizanen arabera doitzeko beharrezkoaden informazioa etengabe eskuratzeko.3. Amaierako ebaluazioa, aurreikusitako estandarretan ikasleak lortutako maila erakusteko.Konpetentzietan oinarritutako ikasketa-prozesuaren ebaluazio-sistema honetan, integrazio-lana beharduten egoera konplexuak ebaztea lehenetsiko da, eduki soilak eskuratu diren baino gehiago. Hori delaeta, ikasmaterial honetan proposatzen diren ebaluazio-irizpideak 236/2015 dekretuak jasotzen di-tuenak dira.Lan unitate bakoitzean adierazle argiekin aurkezten dira dagozkion ebaluazio-irizpideak. Tresna horiekikasketa-prozesuari buruzko informazioa emango diete bai ikasleari bai irakasleari. Hasierako eta pro-zesuko ebaluazioak egiteko, irakasleak behaketaren eta frogen bidez eskuratu ahal izango du beha-rrezko informazioa, eta feedback eraginkorra eskainiko dio ikasleari: talde-lanen tarteko ekoizpenak

11

Sarrera

edo ikasleek egin beharreko bakarkako sakontze-jarduerak, besteak beste. Horrekin batera, unitatea-ren amaierako ebaluazio-froga bat izango du eskuragarri, ikaslearen lorpenak jasotzeko. Ikasleak, ha-laber, irakaslearengandik jasotako feedback-az gain, unitatean zehar eta unitatearen amaieranautoebaluaziorako jarduera multzo bat izango du, bere lorpen-mailaren jarraipena egin ahal izateko.Matematika DBH1 ikasmaterialak proposatzen dituen ebaluazio-irizpideak aurkezten dira jarraian.Irizpide bakoitza adierazle multzo batean garatuko da; era horretara, ebaluazio-irizpidea jokabide be-hagarri bihurtzen dira, eta, horren ondorioz, horien lorpen-neurria emango dute:1. Zenbaki arrunt, oso, zatikizko eta hamartar errazekin kalkuluak egitea, propietate garrantzitsue-nak erabiliz, eta erantzun zehatza edo hurbildua behar den erabakitzea, eta kalkulatzeko modu-rik egokiena (buruzkoa, arkatza eta papera, kalkulagailua) segurtasunez aplikatzea.2. Zenbaki osoen, hamartarren eta zatikizkoen arteko eragiketak behar dituzten problemak ebaz-tea, kalkuluak egiteko baliabide egokienak erabiliz, eta emaitza testuinguruari nola egokitzen zaionbalioestea.3. Magnitude zuzenki proportzionalekin lotutako problemak ebaztea, kalkuluak egiteko baliabiderikegokienak erabiliz, eta lortutako emaitzak interpretatzea eta balioestea.4. Zenbakizko multzoen erregulartasunak, jarraibideak eta erlazioak deskribatzea, letrak erabilizkantitateak adierazteko eta, hartara, zenbakizko sekuentziak adierazpenen bidez laburtzeko etaformula errazen zenbakizko balioa lortzeko.5. Irudi lauak eta espazioko irudiak bereiztea eta deskribatzea, haien propietateak erabiliz sailka-tzea, eta eskuratutako ezagutza geometrikoak aplikatuz mundu fisikoa interpretatzea eta deskri-batzea, terminologia egokia erabiliz.6. Irudi lauen luzerak, azalerak eta angeluak planteatutako egoerarako egokia den zehaztasunez iri-tzira kalkulatzea eta kalkulatzea, iritzirako kalkuluaren edo kalkuluaren emaitza unitaterik ego-kienean adieraztea, eta neurketa-prozesuak ulertzea eta inguruko problemen ebazpenetanaplikatzea.7. Denetariko informazioak taulen eta grafikoen bidez antolatzea eta interpretatzea, mendekotasun-erlazioak identifikatuz –proportzionaltasun zuzenekoak, bereziki–, eta ezagutza hori eguneroko bi-zitzako problemen ebazpenean aplikatzea.8. Datuak antolatzeko eta grafiko estatistikoak sortzeko denetariko prozedurak erabiltzea, eta, lor-tutako emaitzak abiapuntu hartuta, arrazoizko ondorioak ateratzea.9. Zorizko gertaeren probabilitate-nozioa esleitzea, enpirikoki lortutakomaiztasun erlatiboaren kon-tzeptua abiapuntu hartuta, eta terminologia egokia erabiltzea.10. Problemakmodelo heuristiko bat erabiliz ebaztea: enuntziatua aztertuz, estrategia egokiak auke-ratuz (saiakuntza-errorea, problema errazago bat ebaztea, problema bat problema txikiagotan ba-natzea, eskema bat marraztea, etab.), beharrezko kalkuluak eginez, lortutako emaitza egiaztatuz,eta, norberaren mailarako egokia den hizkuntza matematikoa erabiliz, ebazpenean zer prozesurijarraitu zaion adieraziz.11. Jarduera matematikoarekin lotutako jarrerak sistematikoki balioestea eta erabiltzea; esate bate-rako, jakin-mina, pertseberantzia eta norberaren ahalmenetan konfiantza izatea, ordena eta be-rrikuspen sistematikoa. Halaber, talde-lanean integratzea, besteen iritziak ikasketa-iturri gisaerrespetatuz eta balioetsiz, eta helburu komun bat lortzeko lankidetzan aritzea.12

Sarrera

Estrategia metodologiko orokorra

Matematika DBH1 Ikasmateriala Matematikako eskola-orduetan lantzeko dago diseinatuta. Unitatebakoitzak ikaslearen testuinguru eta esperientziatik abiatuko den problema-egoera bat planteatzendu, eta problema-egoera hori izango da unitatea garatzeko proiektua. Era horretara, unitateak aurreraegin ahala eskuratu eta aplikatuko dira proiektua garatzeko beharrezko baliabideak.Matematikako ikasgaia antolatzeko, lau ordu aurreikusten dira asteko. Horietatik hiru ikas-unitateaberariaz lantzeko erabiliko dira, oinarrizko egitura honekin:1. Aurreko saioan egindakoa berrikustea (5 min)2. Irakaslearen azalpena (10 min) eta ereduzko aplikazio-jarduerak (10 min)3. Aplikazio-jarduerak (35 min) bakarkakoak eta binakakoak (beharrezkoa den kasuetan batera-tzeak ere egingo dira talde osorako); bitartean, irakasleak ikasleen lana gainbegiratuko du.Asteko laugarren ordua problemen lantegia izango da, eta, saio honetan, asteko aurreko orduetan uni-tatean landutakoa aplikatzeko zereginak bideratuko dira:4. Problemak ebazteko, bikoteka antolatuta.5. Unitatearen proiektua edo problema-egoera ebazteko, talde txikietan (launaka/bosnaka).Problemen lantegietan ikasleek autonomia handiagoarekin lan egingo dute. Irakasleak oinarrizko ze-regina aurkeztuko du, eta, behar izanez gero, ereduzko adibide bat aurkeztuko du (5-10 min). Gaine-rako denbora ikasleen lan autonomoan laguntzen jardungo du.Unitate bakoitzean lau jarduera-fasetan antolatuko da ikasketa-prozesua:1. Hasierako fasea: aurrezagutzak aktibatzeko jarduerak: problema-egoera baten aurkezpena, etaegoera bera eta ebazpenerako bideari buruzko eztabaida. Adibidez, Ikastetxe bateko jantokiko ja-nariari buruzko kexak jaso dira, eta ikasleek duten iritzia jakin behar du zuzendariak. Zer egin de-zake? Nola egin dezake?…2. Garapen-fasea:• Irakaslearen azalpen laburrak. Oinarrizko edukien aurkezpena eta ereduzko aplikazio-jarduerazuzenak. Aldagai estatistikoak, populazioa, lagina, maiztasun-taulak, maiztasun absolutua, er-latiboa, akumulatua; estatistika-grafikoak…• Ikasleen aplikazio-jarduerak, irakaslearen ereduak oinarri hartuta (banaka edo binaka, egoeraeta beharrizanen arabera). Adibidez, aldagai estatistiko motak bereiztea, populazioak eta lagi-nak identifikatzea eta desberdintzea, maiztasun taulak osatzea…3. Aplikazio-fasea (problemen lantegia): problemen lantegia: estatistikako problemak ebaztea, bi-naka. Irakasleak ereduzko problema bat aurkeztu dezake argibide orokorrak emateko, eta, ondo-ren, binaka ebatziko dituzte problemak modu autonomoan (irakasleak gainbegiratuta).4. Orokortzea eta transferentzia (problemen lantegia): unitateko proiektuaren problema-egoeraebaztea. Adibidez, ikastetxeko jantokiko janariari buruz ikasleek duten iritzia jakiteko inkesta. Ira-kaslearen oinarrizko argibideekin, ikasleek garatu beharreko proiektua proiektuen bidezko ikas-keta metodologiako pausuekin.

13

Sarrera

Aniztasunari aurre egiteko proposamenakIkasmaterial honetan aniztasunari aurre egiteko eskaintzen diren proposamenek ikasketa-prozesuaikaslearen garapen-mailara eta beharrizanetaramalgutasunez doitzea dute helburu. Horretarako, uni-tate bakoitzeko jarduerak bi multzotan banatzen dira:1. Gutxieneko eskuratze-mailarako jarduerak.2. Eskuratze-maila arrunterako jarduerak.Era berean, unitate bakoitzerako bi motako indartze-jarduera gehigarriak eskaintzen dira:3. Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratze-maila arruntera igarotzeko urratsak egiteko balio dutenjarduerak.4. Gaitasun handiak sustatzeko sakontze-jarduerak, eskuratze-maila arruntamailatik goragokomailaduten ikasleei erantzuna emateko.Curriculumaren euskal dimentsioaIkasmaterial honek bi eremu nagusitan lantzen du curriculumaren euskal dimentsioa:– Euskararen erabilera teknikoa: Matematika arloari dagokion hizkuntzaren erregistro akademi-koaren erabilera berezitua lantzen da, berariazko terminologia eta adierazpen moduekin batera.– Materialak diseinatzeko erabilitako adibideek eta baliabideek lotura zuzena dute eguneroko bizi-tzarekin eta, ondorioz, euskal gizartearen eta kulturaren esparruetako hainbat alderdirekin.Ikasmaterialaren osaera eta antolakuntzaSigma proiektuko ikasmaila bakoitzerako ikasmateriala honako elementu hauek osatzen dute:Oinarrizko baliabideak:– Ikaslearen liburua: Matematikarako konpetentzia eskuratzeko langaiak jasotzen ditu: oinarrizkoeuskarri teoriko-praktikoa eta lantze-jarduerak.– Irakaslearen gida: ikasmateriala erabiltzeko oinarrizko argibideak eta iradokizunak jasotzen ditu,unitatez unitate antolatuta.Baliabide osagarriak:– Ikaslearen online baliabideen plataforma: unitate bakoitzeko aplikazio-jarduerak jasotzen ditu.– Irakaslearen online baliabideen plataforma: unitate bakoitza lantzeko baliabide gehigarriak, eba-luazio-froga gehigarriak eta ikasleen ebaluazioa eta jarraipena egiteko aginte-panela eskaintzen du.– Problemen online lantegia: problemak ebazteko berariazko baliabidea.

14

Sarrera

Era berean, Matematika DBH1 ikasmateriala 9 unitatetan dago antolatuta, eta honako hauek dira uni-tate bakoitzaren oinarrizko edukiak:1. Zenbakikuntza– Zenbaki osoak eta horien erabilera.– Zenbaki osoen arteko erlazioak.– Zenbaki osoen erabilera eguneroko bizitzan.2. Zatigarritasuna– Zenbaki baten multiploak eta zatitzaileak zer diren eta horiek aurkitzeko prozedurak.– Zenbaki lehenak zer diren eta zergatik diren bereziak.– Zenbaki bat zenbaki lehenen biderketa moduan deskonposatzea.– Bi zenbakiren edo gehiagoren zatitzaile komun handiena eta multiplo komun txikiena eta ho-riek zertarako erabil daitezkeen.3. Geometria planoan eta espazioan– Oinarrizko elementuak, irudiak eta gorputz geometrikoak.– Oinarrizko elementuak, irudiak eta gorputz geometrikoen ezaugarri eta propietateak.4. Zenbaki arrazionalak: zatikiak, zenbaki hamartarrak eta ehunekoak– Zenbaki arrazionalak zer diren.– Noiz eta zertarako erabiltzen diren.– Zenbaki arrazionalak agertzen diren egoerak ulertzen.– Zenbaki arrazionalen erabilera hainbat egoera deskribatu eta komunikatzeko.5. Perimetroa eta azalera. Simetria. Friso eta mosaikoak– Perimetroa eta azalera kontzeptuak zer diren eta zertarako diren erabilgarriak.– Poligono arrunten eta zirkuluen perimetroa eta azalera kalkulatzea, dagozkien formulak apli-katuz.– Formula ezagutzen ez denean, poligonoen perimetroa eta azalera aurkitzeko estrategiak.– Poligonoak ez diren irudien perimetroa eta azalera hurbiltzeko estrategiak.– Hurbileko erreferentziak ezagutzea eta erabiltzea, perimetroarekin eta azalerarekin lotutako in-formazioa ulertu eta interpretatzeko.– Perimetroa eta azalera agertzen diren ingurune hurbileko problemak ebaztea.– Tresna digital egokiak erabiltzea, irudi lauak marraztu eta horien perimetroa eta azalera kalku-latzeko.– Irudi lauen simetriaren erabilera aztertzea kulturan eta artean.

15

Sarrera

6. Estatistika deskribatzailea– Informazioa antolatzea. Esperimentu batean jasotako datuen taulak.– Maiztasun absolutuak eta erlatiboak.– Barra-, lerro- eta sektore-diagramak. Interpretazioa eta alderdi nabarmenen analisia.– Batez bestekoa.7. Aljebra– Hizkuntza aljebraikoa: Letren esanahia eta erabilera, magnitude ezezagunak adierazteko.– Ezezagun bateko lehen mailako ekuazioak.– Jarraibideak ohiko hizkuntza-adierazpenak hizkuntza aljebraikoan adierazteko eta alderantziz.– Zenbakizko sekuentzietan propietateak, erlazioak eta erregulartasunak bilatzea eta adieraztea.– Formula errazetan zenbakizko balioak kalkulatzea.8. Funtzioak eta grafikoak– Bi magnituderen arteko korrespondentzia. Eguneroko bizitzako mendekotasun-erlazioak iden-tifikatzea eta azaltzea.– Funtzioaren kontzeptua eta funtzioen adierazpena.– Koordenatu kartesiarrak. Enuntziatu bat eta balio-taula bat oinarri hartuta, grafiko sinpleak adie-raztea.– Taula batean aurkeztutako edo grafiko batean adierazitako informazioaren interpretazio pun-tuala eta globala. Grafikoaren interpretazioari eragin diezaioketen distortsioak.– Proportzionaltasuna eta proportzionaltasun zuzeneko erlazioak.– Software informatikoa erabiltzea (kalkulagailu grafikoak edo ordenagailua), grafikoak egitekoeta interpretatzeko.9. Probabilitatea– Probabilitatearekin lotutako oinarrizko kontzeptuak eta dagokien terminologia.– Fenomeno deterministak eta ausazko fenomenoak.– Ausazko fenomenoen portaera. Aieruak egitea.– Ausazko fenomeno sinpleen esperimentuak eta probabilitateak. LaPlaceren legea.– Ausazko gertaeren maiztasun erlatiboa. Probabilitate kontzeptuaren nozio intuitiboa.

16

Sarrera

1 Zenbakikuntza *** * ** **

2 Zatigarritasuna *** * ** **

3 Geometriaplanoan eta ** *** ** * ** **espazioan

4 Zenbakiarrazionalak *** * ** **

5 Perimetroa etaazalera *** *** * ** **

6 Estatistikadeskribatzailea ** * *** * ** **

7 Aljebra *** * ** * ** **

8 Funtzioak etagrafikoak *** * ** * ** **

9 Probabilitatea ** *** * ** **

Unitate bakoitza 236/2015 dekretuak aurreikusten dituen eduki multzoekin nola lotzen den jasotzendu taula honek:

17

Sarrera

Zenbakiaketa Aljebra

Geometriaeta neurria

Funtzioak etagrafikoak

Estatistika etaprobabilitatea

Arlo guztieneduki

komunak

Matematikarenarloko edukikomunak

Problemenebazpena

Unitate bakoitza 236/2015 dekretuak aurreikusten dituen helburuekin nola lotzen den jasotzen dataula honetan:

18

Sarrera

1 Zenbakikuntza *** ***

2 Zatigarritasuna *** ***

3 Geometria planoan eta espazioan *** *** ***

4 Zenbaki arrazionalak *** ***

5 Perimetroa eta azalera *** *** ***

6 Estatistika deskribatzailea *** ***

7 Aljebra *** ***

8 Funtzioak eta grafikoak *** *** *

9 Probabilitatea ***

3.Natura-etakultura-inguruneko

formageom

etrikoakidentifikatzea,

elem

entuen,erlazioenetapropietateen

ezagutzaerabiliz,errealitatea

deskribatzeko,etaezagutzageom

etrikoakaplikatzeainguruan

dugunmundu

fisikoa

ulertzekoetaanalizatzeko,etahariburuzkoproblemak

ebazteko.

2.Matem

atikakoezagutzaaplikatzeaegunerokobizitzakogertaereietaegoerei

buruzkoinformazioak

etamezuakulertzeko,balioesteko

etasortzeko,eta

besteezagutza-arlo

batzuetanerabilgarriakdirelajakitea.

1.Banaka

edotaldean,egunerokobizitzatikateratakoproblemak,bestezientzia

batzuetakoak

edoMatem

atikakoakplanteatzeaetaebaztea,etazenbait

estrategiaaukeratzea

etaerabiltzea,ebazpen-prozesua

justifikatzea,emaitzak

interpretatzea

etaegoeraberrietanaplikatzea,gizarte-ingurunean

modu

eraginkorragoanjardun

ahalizateko.

19

Sarrera

*** *** ** *** ***

*** ** *** ***

*** *** *** ***

*** *** ** *** ***

** *** *** *** ***

** *** *** *** ***

** *** * *** ***

* *** * *** ***

*** ** *** ***

8.Matem

atikakulturarenparte

delabalioestea,huraerabilizgozatzea,

Matem

atikakojarduerarenmoduenetajarreren

balioabereiztea,eta

eskuratutako

Matem

atikakokonpetentziakaplikatzea,zenbaitfenom

enosozial

analizatzeko

etabalioesteko;esatebaterako,kultura-aniztasuna,ingurumena

errespetatzea,osasuna,kontsumoa,genero-berdintasuna

edobizikidetza

baketsua.

7.Matem

atikak

egunerokobizitzan

duen

zeregina

balioestea,huraerabiliz

gozatzea,etaMatem

atikakojarduerarenmoduenetajarreren

balioabereiztea;

esatebaterako,alternatibak

aztertzea,hizkuntzarenzehaztasunaedo

malgutasuna

etasoluzioakbilatzen

iraunkorraizatea.

6.IInformazioaren

etakomunikazioaren

teknologiak(kalkulagailuak,

ordenagailuak,etab.)beharbezalaerabiltzeakalkuluakegiteko,denetariko

informazioak

bilatzeko,tratatzekoetaadierazteko,baietaMatem

atikaikasten

laguntzeko

ere.

5.Berenadinerakoegokiakdirenetaem

aitzak

etaondorioak

argietagarbieta

koherentziazjustifikatzekoetaaurkezteko

norberaren

pentsamendua

adieraztea

errazten

dutenhizkuntzaarruntekoetahizkuntzamatem

atikoko

elem

entuak

(zenbakiak,taulak,grafikoak,irudiak)erabiliz,arrazoitzea

eta

argudiatzea.

4.Kalkuluaketairitzirako

kalkuluak(zenbakizkoak,metrikoak,etab.)

segurtasunezetakonfiantzazegitea,egoerabakoitzeanprozeduraegokienak

(buruzko

kalkulua,idatzia,kalkulagailua...)erabiliz,bizitzakoegoerak

interpretatzekoetabalioesteko,etaem

aitzak

sistem

atikokiberrikustea.

Ikaslearen ikasmaterialaIkaslearen oinarrizko ikasmaterialeko unitate bakoitza sei atal orokorretan dago antolatuta:

20

Sarrera: unitatearen oinarrizko testuinguruaaurkezten du, eta landuko diren edukiakegunerokotasunarekin lotzeko egoerak etaadibideak ematen ditu.

Zer ikasiko dut: unitatean landuko diren edukienoinarrizko zerrenda, problema-egoeratik sortutakobeharrizanei erantzuteko erabilgarriak.

Edukien eta aplikazio-jardueren atala: unitatearidagozkion eduki teoriko-praktikoak azaltzen dira,ikaslearentzako erabilgarriak eta aplikagarriak direnadibide eta aplikazio zuzeneko jarduerekin.

Problema-egoera: unitatean landuko diren edukiakzergatik diren interesgarriak eta beharrezkoakerakusten duen egoera, egunerokotasunarekin etaikaslearen esperientziarekin lotua. Aurrezagutzakaktibatzeko erabilgarria izateaz gain, unitatea landuahala proiektuen metodologiaren bidez ebatzdaiteke.

Materialen aurkezpena

21

Jarduerak: unitatean zehar landutakoa modupraktikoan aplikatzeko jardueren multzoa.Trebakuntza-jarduerak eta problemak jasotzen diraatal honetan.

Autoebaluazioa eta unitate-amaierako testa: ikasle bakoitzak bere eskuratze-maila ebaluatu ahalizateko, edukien eskuratze-maila neurtzeko froga eta aplikazio-jardueretako trebetasun-mailaneurtzeko froga.

22

Sarrera

Ikaslearentzako baliabide eta jarduera gehigarriak eskaintzen dituen onlineEreingo hezkuntza plataformarekin osatzen da ikasmaterial hau:• Unitate bakoitzeko aplikazio-jarduera gehigarriak jasotzen ditu.• Unitate bakoitzeko amaierako online testa.• Problemen online lantegia: problemen ebazpena lantzeko berariazkobaliabidea.Pasahitz bat emango zaizu, osagarrizko online materialetara sartzeko.

23

Sarrera

Irakaslearen baliabideakIrakaslearen baliabideak honako hauek dira: irakaslearen gida eta online plataforma. Ira-kaslearen gidak ikasmateriala erabiltzeko oinarrizko argibideak eta orientabide didakti-koak jasotzen ditu unitatez unitate. Irakaslearen gida ikaslearen ikasmaterialaren moduberetsuan dago egituratuta, hau da, 9 unitatetan, eta unitate bakoitzean honako atalak ja-sotzen dira:– Unitatearen izenburua– Aurreikusitako saio kopurua– Proposamenaren justifikazioa– Problema-egoeraren aurkezpena, testuinguruan jartzea eta helburua– Unitatearen eginkizuna– Unitatean landuko diren konpetentziak– Unitatearen helburu didaktikoak– Unitatearen edukiak– Jardueren sekuentzia– Ebaluazio-adierazleak eta -tresnak– Unitatea garatzeko materiala eta baliabide didaktikoak– Bestelako iradokizun didaktikoak– Ikaslearen ikasmaterialeko jarduera eta problemen inguruko argibideak, eran-tzunak eta emaitzakHorrekin batera, online plataformak honako baliabide gehigarriak eskaintzen ditu:– Ikaslearen ikasmateriala formatu digitalean– Ikaslearen ikasmateriala osatuta formatu digitalean– Irakaslearen gida formatu digitalean– Eskolako azalpenetarako baliabide proiektagarriak– Ikasleen jarraipena egiteko aginte-panela– Ebaluaziorako baliabide gehigarriak

24

Saioak: unitate bakoitza lantzeko zenbat saio aurreikustendiren eta saio horiek zenbat aste hartuko dituzten jasotzen daatal honetan.

Proposamenaren justifikazioa: unitate bakoitzean landubeharreko edukiak ikaslearen eguneroko bizitzako esperientziannola txertatzen diren aurkezten da, hainbat adibide eta egoeraarrunten bidez.

Problema-egoera eta eginkizuna: unitate bakoitzak problema-egoera bat planteatzen du, ikaslearen testuinguru etaesperientziatik abiatzeko, eta arazo-egoera hori izango daunitatearen garapenerako proiektua. Era horretara, unitateakaurrera egin ahala eskuratzen eta aplikatzen joango dira proiektuaaurrera eramateko behar diren baliabideak.

Oinarrizko konpetentziak: ikaslearen ikasmaterialeko jarduerek,plataforma digitaleko jarduerek eta problemak ebazteko lantegikoproblemek oinarrizko konpetentziei egiten dieten ekarpenajasotzen da unitatez unitate.

Helburu didaktikoak: indarrean den legediaren arabera unitatebakoitzari dagozkion helburu didaktikoak aurkezten dira.

Edukiak: unitatean lantzen diren edukiak jasotzen dira atalhonetan, indarrean den legediak aurreikusitako eduki-multzoarenarabera.

25

Jardueren sekuentzia: unitate guztietan sekuentzia bat eskaintzenda, ikaslearen ikasmaterialeko jarduerak, plataforma digitalekojarduerak eta problemak ebazteko lantegiko problemak egiteko, lauikasketa-fase hauen arabera antolatuta:– Hasierako fasea– Garapen-fasea– Aplikazio-fasea– Orokortzea eta transferentzia

Aniztasunari aurre egiteko proposamena: atal honek aniztasunariaurre egiteko eta ikaslearen beharretara eta ahalmen akademikoraegokitzeko aukera ematen duen proposamen didaktikoa jasotzen du,eta, horretarako, ikaslearen ikasmaterialeko jardueren, plataformadigitaleko jardueren eta problemak ebazteko lantegiko problemensailkapen bat eskaintzen du, lau eskuratze-maila hauen arabera:– Gutxieneko eskuratze-mailarako jarduerak– Eskuratze-maila arrunterako jarduerak– Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratze-maila arrunteraigarotzeko balio duten jarduerak

– Gaitasun handiak sustatzeko sakontze-jarduerak, eskuratze-maila arruntetik goragoko maila duten ikasleei erantzuteko

Ebaluazioa: indarrean den legediaren arabera aplikatubeharreko ebaluazio-irizpideak eta horietako bakoitzaridagozkion lorpen-adierazleak zehazten dira unitatebakoitzean.Horrekin batera, ebaluazio-irizpide eta lorpen-adierazlebakoitzerako ebaluazio-tresna egokienak proposatzen dira.

Materiala eta baliabide didaktikoak: atal honetan unitatebakoitza garatzeko eskaintzen diren baliabide didaktikoakjasotzen dira.

Ikaslearen ikasmaterialari eta problemei buruzko oharrak,iradokizun didaktikoak, erantzunak eta emaitzak: azken atalhonetan, unitateko jardueren emaitzak jasotzeaz gain,iradokizun didaktiko zehatzak edo informazio gehigarriak biltzendira, hala behar izanez gero.

Saioak16 saio (4 aste)Proposamenaren justifikazioaEguneroko bizitzan mota askotako zenbakiak erabiltzen dira. Adibidez, zenbaketak egiteko, zenbakiarruntak erabiltzen dira; 0 azpitik dauden tenperaturak adierazteko, berriz, zenbaki negatiboak era-biltzen dira. Zenbakiak erabiltzean, informazio bat ematen edo jasotzen da, eta informazio hori ondo in-terpretatu eta erabiltzeko, garrantzitsua da jakitea zer egoeratan erabiltzen den zenbakimota bakoitza.Gainera, zenbakiekin, gure inguruneko egoerak ezezik, gertaerak ere deskriba ditzakegu: zenbakienarteko eragiketak baliagarriak dira horretarako, eta horregatik, garrantzitsua da eragiketak, arauak etapropietateak ezagutzea.Problema-egoera eta eginkizunaProblemen ebazpenamatematikarako gaitasunaren funtsa da. Izan ere, pertsona batmatematikan kon-petentea dela esango dugu, eguneroko bizitzako problema arrunt bat ebazteko bere ezagutza mate-matikoak integratu eta erlazionatzeko gai denean. Ebazpide hori eskuratzeak egoera ulertzea, estrategiabat eraikitzea eta aplikatzea eta prozesu guztia modu zehatz eta argian adieraztea eskatuko du.Lehenengo unitate honetan ebatzi beharreko problema-egoera honako hau izango da:

Oinarrizko konpetentziak:Ondorengo taulan unitate honetan lantzen diren zereginek oinarrizko zehar konpetentziei eta bera-riazko konpetentziei egiten dieten ekarpena jasotzen da:

26

1. unitatea: Zenbakikuntza

Zeharkako konpetentziak Ikaslearen liburua

Jarduerak

Plataforma digitala

1, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 18,19, 21, 44, 45

Hitzezko eta hitzik gabekokomunikaziorako eta komunikaziodigitalerako konpetentzia

1-8 1-8

5, 6, 14, 17, 20, 22, 23,24, 25, 26, 27, 28, 34,38, 39, 47, 48, 50

Ikasten eta pentsatzen ikastekokonpetentzia

1-8 1-8

17, 20, 28, 29, 30, 38,41, 42

Ekimenerako eta espiritu ekintzailerakokonpetentzia

1-8

1, 2, 5, 7, 45Hizkuntza- eta literatura-komunikaziorakokonpetentzia

1 1-8

GuztiakMatematikarako konpetentzia Guztiak Guztiak

Berariazko konpetentziak

Problemen lantegia

Unitatea bukatzean, poster baten bitartez zenbaki osoen erabilerarenadibideak erakustea izango da helburua. Zenbaki arrunten, zeroaren etazenbaki negatiboen erabileraren bi adibide gutxienez agertu beharkodira poster horretan. Poster guztiak egindakoan, zenbaki arrunten, ze-roaren eta zenbaki negatiboen erabileraren adibide guztiak bilduko dira.

Helburu didaktikoak• 1. Banaka edo taldean, eguneroko bizitzatik ateratako problemak, beste zientzia batzuetakoakedo Matematikakoak planteatzea eta ebaztea, eta zenbait estrategia aukeratzea eta erabiltzea,ebazpen-prozesua justifikatzea, emaitzak interpretatzea eta egoera berrietan aplikatzea, gizar-tean modu eraginkorragoan jardun ahal izateko.• 2. Matematikako ezagutza aplikatzea eguneroko bizitzako gertaerei eta egoerei buruzko infor-mazioak eta mezuak ulertzeko, balioesteko eta sortzeko, eta beste ezagutza-arlo batzuetan era-bilgarriak direla jakitea.• 4. Kalkuluak eta iritzirako kalkuluak (zenbakizkoak, metrikoak, etab.) segurtasunez eta kon-fiantzaz egitea, egoera bakoitzean prozedura egokienak (buruzko kalkulua, idatzia, kalkulagai-lua...) erabiliz, bizitzako egoerak interpretatzeko eta balioesteko, eta emaitzak sistematikokiberrikustea.• 5. Beren adinerako egokiak diren eta emaitzak eta ondorioak argi eta koherentziaz justifikatzekoeta aurkezteko, arrazoiak eta argudioak azaltzea, norberaren pentsamenduaren adierazpenaerrazten duten hizkuntza arrunteko eta hizkuntzamatematikoko elementuak (zenbakiak, taulak,grafikoak, irudiak) erabiliz.• 6. Informazioaren eta komunikazioaren teknologiak (kalkulagailuak, ordenagailuak, etab.) beharbezala erabiltzea, kalkuluak egiteko, denetariko informazioak bilatzeko, tratatzeko eta adieraz-teko, baita Matematika ikasten laguntzeko ere.• 7. Matematikak eguneroko bizitzan duen zeregina balioestea, hura erabiliz gozatzea eta Mate-matikako jardueraren moduen eta jarreren balioa bereiztea; esate baterako, alternatibak azter-tzea, hizkuntza zehatza edo malgua erabiltzea eta soluzioak bilatzen iraunkorra izatea.• 8. Matematika kulturaren parte dela balioestea, hura erabiliz gozatzea, Matematikako jarduera-ren moduen eta jarreren balioa bereiztea, eta eskuratutako Matematikako konpetentziak apli-katzea, zenbait fenomeno sozial analizatzeko eta balioesteko; esate baterako, kultura-aniztasuna,ingurumenaren errespetua, osasuna, kontsumoa, genero-berdintasuna edo bizikidetza baketsua.Edukiak• E1. Osoko zenbakiak: zenbaki arruntak eta osoko zenbaki negatiboak.• E2. Osoko zenbakien adierazpena zenbakizko zuzenean.• E3. Osoko zenbakien arteko eragiketak: zeinuen irizpidea, eragiketen hierarkia eta parentesienerabilera batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketetan.• E4. Berreketa eta erroketa. Berreketaren eta erroketaren arteko erlazioa.• E5. Karratu eta kubo beteak.• E6. Oinarritzat 10 zenbakia duten berreketak. Zenbakien idazkera zientifikoa.• E7. Hurbiltze-kalkulua berreketa eta erroketekin.• E8. Berreketen eta erroketen arteko eragiketak.

27

1. Zenbakikuntza

6, 23-25, 30, 35, 36, 40,47, 48, 50

5, 6, 20, 28-30Aplikazio-fasea 1-8

Aniztasunari aurre egiteko proposamenaUnitate honetan aniztasunari aurre egiteko eskaintzen diren proposamenek ikasketa-prozesua ikasle-aren garapen-mailara eta beharrizanetaramalgutasunez doitzea dute helburu. Horretarako ondorengotaulak jarduera eta zereginen antolakuntza proposamen bat jasotzen du.

Jardueren sekuentzia:Lehenengo unitate honek ikaslearen testuinguru eta esperientziako problema-egoera bat du abiapuntueta problema-egoera hori izango da hain zuzen ere unitatea garatzekomotibazio iturria. Era horretara,unitateak aurrera egin ahala eskuratu eta aplikatuko dira hasierako problema-egoera hori ebaztekobeharrezko baliabideak. Unitate honen garapenerako proposatzen den zereginen antolakuntza jar-duera fase desberdinen arabera ondorengo taulan dago jasota:

28

1. Zenbakikuntza

Ebaluazioa

Ebaluazio-irizpideak eta lorpen-adierazleak

Iradokizun modura, unitate honentzat ebaluazio-irizpideak eta hauei loturiko lorpen-adierazleak jasotzendira hemen, 236/2015 Dekretutik aukeratuta (ebaluazio-irizpidearen zenbakia Dekretuan duena da).1. Zenbaki arrunt, oso, zatikizko eta hamartar errazen kalkuluak egitea, propietate garrantzi-tsuenak erabiliz, eta erantzun zehatza edo hurbildua behar den erabakitzea, eta segurtasunezaplikatzea kalkulatzeko modurik egokiena (buruzkoa, arkatza eta papera, kalkulagailua).

Jardueren sekuentzia Ikaslearen liburua

Jarduerak

Plataforma digitala

1, 2, 7, 9-16, 18, 19, 21,22, 26, 27

Hasierako fasea 1-8

3, 4, 17, 23-25, 31-48, 50Garapen-fasea 1-8

Orokortzea eta transferentzia 1-8

Problemen lantegia

Ikaslearen liburua

Jarduerak

Plataforma digitala

1-5, 7, 9, 10-16, 18, 19,21, 22, 26, 27

Gutxieneko eskuratze-mailarakojarduerak

1-8 1, 2

17, 20, 28, 29, 31-34,37, 43, 44-46

Eskuratze-maila arrunterako jarduerak 1-8 3-6

Problemen lantegia

Gutxieneko eskuratze-mailatik eskuratze-maila arruntera igarotzeko urratsakegiteko balio duten jarduerak

7, 8

38, 39, 41, 42

Gaitasun handiak sustatzeko sakontze-jarduerak, eskuratze-maila arruntamailatik goragoko maila duten ikasleeierantzuna emateko

8

29

1. ZenbakikuntzaUnitate honetarako lorpen-adierazleak:• 1.1. Osoko zenbakiak (arruntak, negatiboak) bereizten eta erabiltzen ditu, informazio kuantitati-boa behar bezala adierazteko eta interpretatzeko.• 1.2. Osoko zenbakiak (arruntak, negatiboak) zenbakizko zuzenean ordenatzen, interpretatzen etaadierazten ditu.• 1.3. Kalkuluak eraginkortasunez egiten ditu zenbaki horiekin, buruzko kalkulua, hurbilpenezkoa,arkatza eta papera, kalkulagailua edo dagokion softwarea erabiliz.• 1.4. Eragiketen propietateak, hierarkia eta parentesien erabileraren arauak behar bezala erabiltzenditu kalkulu errazetan.• 1.5. Berretzaile arrunta duten zenbakien berreketak kalkulatzen ditu. 10eko berreketak dituztenkalkuluak egiten ditu, eta berreketen arteko eragiketen oinarrizko arauak aplikatzen ditu.• 1.6. Zenbakien erro karratuak kalkulatzen ditu, hurbilketa bidez edo kalkulagailua erabiliz.• 1.7. Buruzko kalkuluko estrategiak garatzen ditu, eta eskatutako doitasuna balioesten du.2. Zenbaki osoen, hamartarren eta zatikizkoen arteko eragiketak egin beharreko problemak ebaz-tea, kalkuluak egiteko baliabide egokienak erabiliz, eta emaitza testuinguruari nola egokitzenzaion balioestea.Unitate honetarako lorpen-adierazleak:• 2.1. Proposatutako problemen enuntziatua irakurtzen eta ulertzen du.• 2.2. Problemaren enuntziatuan datuak eta ezezagunak identifikatzen ditu.• 2.3. Problemaren ebazpenean jarraitu beharreko urratsak planifikatzen ditu.• 2.4. Problema ebazteko egin beharreko kalkuluak efikaziaz eta segurtasunez egiten ditu, baliabideegokiena erabiliz.• 2.5. Lortutako emaitzak interpretatzen ditu eta lortutako soluzioa egiaztatzen du.• 2.6. Problema ebazteko jarraitutako prozesua argi eta garbi jakinarazten eta azaltzen du.• 2.7. Jarraitutako prozesuari buruzko gogoeta egin eta ezagutza hori beste problema batzuk ebaz-teko erabiltzen du.11. Jardueramatematikoarekin lotutako jarrerak sistematikoki balioestea eta erabiltzea; esate ba-terako, jakin-mina, pertseberantzia eta norberaren ahalmenetan konfiantza izatea, ordena etaberrikuspen sistematikoa. Halaber, talde-lanean integratzea, besteen iritziak ikasketa-iturri gisaerrespetatuz eta balioetsiz, eta helburu komun bat lortzeko lankidetzan aritzea.Unitate honetarako lorpen-adierazleak:• 11.1. Badaki Matematikako eragiketak eta prozedurakmenderatzea garrantzitsua dela, egunerokobizitzako eta eskolako problemak ebazten laguntzen duten tresna direlako.• 11.2. Lanean interesa agertzen du eta etengabe saiatzen da.• 11.3. Emaitzak ordenan, argi eta garbi, eta txukun aurkezten ditu.• 11.4. Prozesuak eta emaitzak bere mailari dagokion zorroztasunez arrazoitzen eta azaltzen ditu.

2.12.22.32.42.52.62.7

• 11.5. Talde-lanerako zereginak banatzen laguntzen du eta hartutako konpromisoak betetzen ditu.• 11.6. Alternatibak planteatzen ditu eta taldeko eztabaida-prozesua eta iritzi-trukea balioesten du,hobetzeko aukera den aldetik.• 11.7. Benetako munduko eta matematikaren munduko problemen artean loturak ezartzen ditu.Ebaluazio-tresnak

Iradokizun modura, ondorengo taulan 236/2015 dekretuko ebaluazio-irizpide bakoitzerako aukeratu-tako ebaluazio-adierazleak neurtzeko erabili daitezkeen jarduerak eta baliabideak (liburukoak eta pla-taforma digitalekoak), autoebaluazioko itemak eta unitate amaierako testetako galderak (liburukoaketa plataforma digitalekok) aurkezten dira:

30

1. Zenbakikuntza

Ebaluazio-irizpidea

Lorpen-adierazlea

Ikaslearenliburua

Plataformadigitala

AutoebaluazioaIkaslearenliburua

Plataformadigitala

JarduerakUnitate amaierakotesteko itemak

1

1.11, 2, 7, 9,

10-12, 18, 19,43-46

1, 3, 41, 2, 4, 5, 8,12, 13

1, 5, 6 1, 5, 6

1.2 1, 4, 8, 11 3

1.311-17, 31-33,38-41, 48

5, 6 6, 8, 9, 10, 11 1, 2, 3, 7, 8

1.411-17, 31-33,

35-372, 3 7 2, 3, 4, 7

1, 2, 3, 7, 8

2, 3, 4, 7

1.518-24, 26,

34-40, 43, 47, 482, 3, 8 10, 12 4, 5, 7, 8 4, 5, 7, 8

1.622, 25, 27, 38,

39, 502 10 8 8

1.723-27, 31-37,41-43, 47, 48, 50

2, 3, 5, 6, 7, 8 6, 8, 9, 11 2, 3, 4, 5, 7 2, 3, 4, 5, 7

2Irakaslearenbehaketa

Plataformakoerregistroa

Ikaslearenhausnarketa

Irakaslearenbehaketa

Plataformakoerregistroa

11.111.211.311.411.511.611.7

11Irakaslearenbehaketa

Plataformakoerregistroa

Ikaslearenhausnarketa

Irakaslearenbehaketa

Plataformakoerregistroa

1. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean:0, 10, 15, 20

Zer gertatzen da zenbakizko zuzenean eskuinerantzmugitu ahala? Zenbaki handiagoak aurkituko ditugu.

2. Adierazi zenbaki kardinalak edo ordinalak erabili diren:

a) Hamabi urte ditut. Kardinala

b) Atzoko lasterketan, 3. tokian heldu nintzen. Ordinala

c) Errugbian, 15 jokalarik parte hartzen dute taldebakoitzean. Kardinala

d) Menu horretan lau1 aukera daude bigarren2 plateraaukeratzeko. Kardinala1-Ordinala2

3. a) Zenbat hamarreko ditu 45 zenbakiak? 4Eta 315 zenbakiak? 31

b) Zenbat ehuneko ditu 714 zenbakiak? 7Eta 1.034 zenbakiak? 10

c) Zenbat milako 13.511 zenbakiak? 13Eta 1.010.003 zenbakiak? 1.010

4. Zenbakikuntza-sistema hamartarrean, zenbaki batmodu honetara deskonposatu daiteke:

256 = 2 × 100 + 5 × 10 + 6 = 2 • 100 + 5 • 10 + 6

Nola adieraz daitezke zenbaki hauek beste modubatera?

Materiala eta baliabide didaktikoakIkaslearentzako baliabide didaktikoak:• Ikaslearen liburuko 1. unitatea• Ikaslearen autoebaluazioa eta unitate amaierako testa• Plataforma digitaleko 1. unitateko jarduerak• Plataforma digitaleko 1. unitateko problemen lantegia• Plataforma digitaleko unitate amaierako frogaIrakaslearentzako baliabide didaktikoak:• Ikaslearen liburuko 1. unitatea• Irakaslearen gidako 1. unitatea• Ikaslearen autoebaluazioa eta unitate amaierako testa• Plataforma digitaleko 1. unitateko jarduerak• Plataforma digitaleko 1. unitateko problemen lantegia• Plataforma digitaleko unitate amaierako froga• Plataforma digitaleko baliabide gehigarriakIkaslearen testuliburuko jardueren eta problemen inguruko komentarioak,iradokizun didaktikoak, erantzunak eta emaitzak

31

1. Zenbakikuntza

0 10 15 20

a) 23 = 2 • 10 + 3

b) 127 = 1 • 100 + 2 • 10 + 7

c) 6.703 = 6 • 1000 +7 • 100 + 3

d) 11.222 = 11 • 10.000 + 1 • 1000 + 2 • 100 + 2 • 10 + 2

e) 2.307.002 = 2 • 1.000.000 + 3 • 100.000 + 7 • 1000 + 2

32

1. Zenbakikuntza

5. Zenbakikuntza-sistema erromatarrean letra hauekerabiltzen dira: I, V, X, L, C, D, eta M. Ezkerretik

eskuinera irakurriz, letren balioa handitu ahala, batu

egiten dira (LV = 55); letra batek balio handiagoko

letra bat badu eskuinean, letra horri berak duen

balioa kentzen dio (LIV = 54).

Idatzi zenbaki hauek sistema erromatarrean:

a) 11 = XI c) 94 = XCIV

b) 87 = LXXXVII d) 204 = CCIV

e) 3.333 = MMMCCCXXXIII

Idatzi zenbaki hauek sistema hamartarrean:

f) XXXIV = 34 h) MCMXXIV = 1.924

g) LIII = 53 i) MMXVIII = 2.018

6. Osatu taula:

Zenbakikuntza-sistema Zenbakikuntza-sistemahamartarrean bitarrean

0 0

1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 1118 1.0009 1.00110 1.01011 1.100

7. Azaldu koadernoan zer esan nahi duen “–30°”-kotenperatura irakurketak. Azaldu zer gertatuko denigogailu batean “–4” botoia sakatzen badugu.

8. Kokatu zenbaki hauek zenbakizko zuzenean:

15 –1 –23 7 –7 29

9. Esan zenbaki bikote hauetan zein den handiena etazein txikiena “” ikurrak erabiliz.

a) 7 < 13 d) 0 > –1b) –7 > –13 e) 0 > –35c) 2 > –3 f) –1200 < 2

10. Adierazi “” ikurrak erabiliz zerzenbakik duen balio absolutu handiena:

a) –1 < –2 d) 0 < –11b) –7 < –13 e) 35 = –35c) –54 > 45 f) –1.200 = 1.200

–30 –15 0 15 30

11. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza, eta irudikatuesanahia zenbakizko zuzenean.

a) (–3) + 8 = 5

b) 5 + (–9) = –4

c) 2 – (+3) = –1

d) (–3) – (+2) + 7 = 2

12. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza:

a) (+5) + (+5) = 5 + 5 = 10

b) (+7) + (+6) = 7 + 6 = 13

c) (–3) + (+9) = 6

d) (–12) + (–7) = –19

e) –8 + (–3) = –8 – 3 = –11

f) –7 + (–6) = –13

g) 3 + (–9) = 3 – 9 = –6

h) –27 – 37 = –64

13. Aurkitu emaitza.

a) (–2) × (–4) = 8

b) 4 • (–3) : (–2) = 6

c) (–3) • (–2) = 6

d) [3 • (–2)] : 2 = –3

e) (–5) • (–1) = 5

f) 6 : (–2) = 3

33

1. Zenbakikuntza

14. Aukeratu eragiketa hauen emaitza zuzena:

a) 4 × (–3) + 2 = –10

b) (–2) × [(–3) + 3] = 9

15. Kalkulatu eragiketa hauen emaitza:

a) [4 + 2] × (–7) = –49 b) (–5) × [(–13) – (–6)] = 35

16. Jarri parentesiak toki egokian, emaitzak zuzenak izandaitezen:

a) [(-3)+2] × (-5) = 5 b) 4 + 13 × (4 – 2) = 30

17. Lau 3 dituzu honela:

3 3 3 3

Lau eragiketa hauek aplikatuz, (+, –, ×, ÷), zeremaitza izango da ezinezkoa? (idatzi Bai edo Ez).Kontuan izan eragiketen hierarkia

9? Bai 10? Bai 11? Ez 12? Bai

18. Idatzi biderketa moduan biderketa hauek:

a) 24 = 2 x 2 x 2 x 2

b) 42 = 4 x 4

c) 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3

d) 53 = 5 x 5 x 5

19. Idatzi berreketa moduan berreketa hauek:

a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 77

b) 10 × 10 × 10 × 10 = 104

c) 3 × 3 × 3 × 3 × 6 × 6 × 6 = 34 x 63

d) 8 × 8 × 9 × 9 × 9 = 82 x 93

20. Osatu taula hau lehenengo zenbaki arrunten karratu eta kuboekin:

Zenbaki arrunta Karratua Kuboa

1 12 = 1 13 = 1

2 22 = 4 23 = 8

3 32 = 9 33 = 27

4 42 = 16 43 = 64

5 52 = 25 53 = 125

6 62 = 36 63 = 216

7 72 = 49 73 = 343

8 82 = 64 83 = 512

9 92 = 81 93 = 729

10 102 = 100 103 = 1.000

11 112 = 121 113 = 1.331

12 122 = 144 123 = 1.728

21. Idatzi zenbaki hauek 10en berreketak erabiliz:

a) 100.000 = 105 b) 70.000 = 7 × 104 c) 503.000 = 5 × 105 + 3 × 103

22. Berreketaren eta erroketaren artean dagoen erlazioakontuak izanik, osatu:

= 5 zeren eta 52 = 25

a) = 9 zeren eta 92 = 81

b) = 20 zeren eta 202 = 400

c) = 11 zeren eta 112 = 121

d) = 30 zeren eta 302 = 900

34

1. Zenbakikuntza

Oinarria 1 baino handiagoa bada, emaitza oinarriabaino handiagoa izango da:

23.

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da?

Oinarria 1 baino txikiagoa bada, emaitza oinarriabaino txikiagoa izango da:

24.

Konparatu emaitza eta oinarria. Zer gertatzen da?

Aukeratu 1 bainohandiagoa denzenbaki bat

Kalkulatu zurezenbakiarenkarratua

Kalkulatu zurezenbakiaren

kuboa

Aukeratu 0 eta 1zenbakien arteandagoen zenbaki bat

Kalkulatu zurezenbakiarenkarratua

Kalkulatu zurezenbakiaren

kuboa

3 9 27 0,5 0,25 0,125

Zenbakia 1 baino handiagoa denean, karratua etakuboa zenbakia bera baino handiagoak dira.

Zenbakia 1 baino txikiagoa denean, bere karratuaeta kuboa bera baino txikiagoak dira.

25. Ikusi erroketetan zer gertatzen den 1 baino txikiagoakedo handiagoak diren errokizunekin. Erabilikalkulagailua.

Errokizuna 1 baino handiagoa bada, emaitzaerrokizuna baino txikiagoa izango da:

a) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?

Errokizuna 1 baino txikiagoa bada, emaitzaerrokizuna baino handiagoa izango da.

b) Konparatu emaitza eta errokizuna. Zer gertatzen da?

Aukeratu 1 baino handiagoaden errokizun bat

Kalkulatu zure zenbakiarenerro karratua

Aukeratu 0 eta 1 zenbakienartean dagoen zenbaki bat

Kalkulatu zure zenbakiarenerro karratua

81 9 0,01 0,1

Errokizuna 1 baino handiagoa denean, bere erroatxikiagoa da.

Errokizuna 1 baino txikiagoa denean, bere erroahandiagoa da.

a) 34 • 35 = 39

b) (23)2 = 26

c) 23 • 22 = 25

d) = 52

e) 42 • 52 = (5 · 4)2

f) (103)3 = 109

g) 63 • 33 = (6 · 3)3

h) = 2629

—23

53—51

26. Adieraz itzazu kalkulu hauek berreketa bakar bat erabiliz:

27. Sinplifikatu erroketa hauen errokizuna, adibideari jarraituz:

Jarduerak28. Aurkitu 3, 4 eta 7 zifrak erabiliz osa daitezkeen hiru

zifrako zenbaki guztiak, eta ordenatu, txikienetikhandienera. 347 < 374 < 437 < 473 < 734 < 743

29. Idatzi baldintza hauek betetzen dituen zenbaki arrunt bat:• 17 baino handiagoa da• 50 baino txikiagoa da• bere zifrak biderkatuz gero, emaitza 21 da 37

30. Hiru zifrako zenbat zenbaki daude gurezenbakikuntza-sisteman? 1.000 zenbaki; txikiena 100eta handiena 999

31. Kalkulatu emaitzak:

a) (+4) + (–5) = –1 e) (+4) – (+3) = 1

b) (–4) + (–5) = –9 f) (–4) – (–3) = –1

c) (–4) + (+5) = 1 g) (+4) – (–3) = 7

d) (+4) + (+5) = 9 h) (–4) – (+3) = –7

32. Jarri dagokion ikurra emaitza zuzena izateko:

a) (+7) – ( –2) = (+9) c) (+7) – ( +2) = (+5)

b) (–4) – ( –3) = (–1) d) (–4) – ( +3) = (–7)

18 =

27 =

48 =

162 =

35

1. Zenbakikuntza

33. Kalkulatu emaitzak:

a) (–3) × (–5) = 15 i) 12 : (–2) = –6

b) (–4) • [(–1) + (–2)] = 4 j)(–7+5–2):(–1+3)= –2

c) (–5) • (2+3) • (–2) = 50 k) = 2

d) 3 • (–4) + 3 • (–5) = –27 l) 0,5 – [0,2 • (–10)] = 1,5

e) [3 • (–2)] – [3 • (–4)] = –18 m) –7 – = –

f) (6 – 3 + 2 – 5) • (–2) = 0

g) 5 • [(–3) + 8] = 25

h) (–5) • [4–7] = 15

34. Zenbaki batek hainbat adierazpen izan ditzake. Esanhonako adierazpenak zenbaki berdinarenak (=) edozenbaki ezberdinenak diren (≠):

a) 25 ≠ 52 f) 23 × 22 ≠ 26

b) 23 = 81 g) 103ren bikoitza ≠ 203

c) 2 × 2 × 2 ≠ 32 h) 104ren erdia = 102

d) 102 × 103 = 105 i) 103ren bikoitza ≠ 106

e) 2 × 23 ≠ 62 j) 104ren erdia ≠ 54

35. Aurkitu eragiketa hauen emaitzak:

a) 103 + 102 = 1.100 e) 24 + 22 = 20

b) 103 – 102 = 900 f) 24 – 22 = 12

c) 103 × 102 = 100.000 g) 24 × 22 = 64

d) 103 : 102 = 10 h) 24 : 22 = 4

36. Erabil ezazu berreketa bakar bat emaitzaadierazteko:

a) 5 × 52 × 53 × 54 = 510 b) 3×32×33×34=310

37. Eragiketa guztietan 2 zenbakia agertzen da. Ordenaitzazu txikitik handira (1etik 5era). Kalkulagailuaerabil dezakezu.

a) 2 × 2 × 2 2 d) (2 × 2)2 3

b) 2 + 22 1 e) 222 5c) 222 4

38. Kalkulagailuaren laguntzaz, identifikatu karratubeteak, kubo beteak edo ez bata ez bestea ez

direnak hurrengo zenbakien artean. Adierazi zer

zenbakiren karratua edo kuboa diren, hala badira.

Adibidez: 324 karratu betea, 182

a) 3.660 g) 8.000

b) 150 h) 552

c) 2.744 i) 1.444

d) 125 j) 729

e) 5.625 k) 1.000.000

f) 1.331

39. Begiratu aurreko ariketan lortutako karratuak. Erabilihurrengo karratuak aurkitzeko. Kalkulagailua erabil

dezakezu laguntza moduan.

a) (0,1)2 = 0,01 f) (0,05)2 = 0,25

b) (0,5)2 = 0,04 g) (1,1)2 = 0,36

c) (0,2)2 = 0,0001 h) (0,11)2 = 0,0025

d) (0,6)2 = 1,21 i) (1,2)2 = 0,0121

e) (0,01)2 = 1,44 j) (0,12)2 = 0,0144

40. Pentsatu prozedura honetan. Hartu folio bat etaerdibitu; bi zatiak elkarren gainean jarri, eta berriro

erdibituko duzu; demagun 10 aldiz errepikatzen

duzula. Zenbat paper puska izango dituzu

bukaeran? 1.024 paper zati

41. Karratu bete batzuen batura beste karratu bete batda. Egiaztatu kalkulagailuaren laguntzaz:

a) 32 + 42 = 52 c) 92 + 122 = 152

b) 62 + 82 = 102 d) 122 + 162 = 202

Jarri arreta adibideetan, eta erraz aurkituko dituzu

beste bi adibide. 152 + 202= 252 182 + 242= 302

42. 1 cm-ko aldea duten 35 kubo dituzu. Kubo handiagobat eraiki nahi duzu kubo horiekin. 1 cm-ko zenbat

kubo erabiliko dituzu ahalik eta kuborik handiena

eraikitzeko? 33 = 27 kubo

a) 4 cm-ko aldea duen kubo bat eraikitzeko, zenbat

kubo gehiago beharko dituzu? 64 – 35 = 29

b) Zenbat kubo beharko dira guztira 10 cm-ko aldea

duen kubo bat eraikitzeko? 103 = 1.000

o) = 4(0,25) • (2 – 10)——————–0,5

n) = 33 • (2 – 5)————– (7 – 4)

36—5

Ez karratu, ezkubo bete

Ez karratu, ezkubo bete

Ez karratu, ez kubo bete

Kubo betea, 143

Kubo betea, 53

Karratu betea, 752

Kubo betea, 113

Kubo betea, 203

Karratu betea, 382

Karratu betea, 272

Karratu betea, 10002

7 – 11———– 2

2 – 3———5 – 10

36

1. Zenbakikuntza

Mila milioien klasea Milioien klasea Milakoen klasea Batekoen klasea

E H B E H B E H B E H B

3 × 104

105 × 106

23 × 103

75× 108

Esan zein den zenbaki horien magnitude ordena:

a ) 3 × 104 = hamar milakoa

b ) 105 × 106 = ehun milioikoa

c) 23 × 103 = hamar milakoa

d) 75× 108 = mila milioikoa

45. Zenbat zifra dituzte zenbaki hauek?

a) 103 4 e) 106 7

b) 2 × 103 4 f) 13 × 103 5

c) 12,6 × 104 6 g) 7,3 × 103 4

d) 2 h) 4

46. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan edoidazkera arruntean. Ondoren, ordenatuhanditik (1) txikira (6).

47.Mugatu bi zenbaki osoren artean berreketa etaerroketa hauen balioa. Gero, kalkulagailuarekin,kalkulatu balioak bi zifra hamartarretara biribilduz.

36 < (6,3)2 < 49 (6,3)2 ≈ 36,69

9 < (3,3)2 < 16 (3,3)2 ≈ 10,89

0 < (0,75)2 < 1 (0,75)2 ≈ 0,56

3 < < 4 ≈ 3,32

5 < < 6 ≈ 5,48

0 < < 1 ≈ 0,87

48. Berreketen propietateak oso argi ez dituen norbaitekegin ditu eragiketa hauek. Esan zein diren zuzenak (Z)eta zein okerrak (O).

a) 52 • 54 = 56 Z d) 25 • 25 = 45 Zb) 32 • 42 = 122 Z e) (32)3 = 36 Zc) 25 • 25 = 210 Z f) 38 : 35 = 33 Z

49. Kalkulagailua erabili gabe, saiatu kalkulu hauek egiten:

a) d)

b) e)

c)

50. Adierazi kalkulu hauek erro bakar batez. Eredu batduzu eginda.

a) e)

b) f)

c) g)

1—10

5——1000

43. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran:a) 70.960 batuketa gisa 70.000 + 900 + 60b) 93.124 batuketa-biderketa gisa 9 x 10.000 + 3 x 1.000 + 1 x 100 + 2 x 10 + 4c) 600.187 berreketa gisa 6 x 105 + 1 x 102 + 8 x 10 + 7

44. Idatzi zenbaki hauek zenbakikuntza-taulan, zifra guztiekin.

Idazkera arrunta Idazkera zientifikoa Ordena

500.000 5 x 105 5

90.000 9 × 104 6

880.000.000 8,8 x 108 2

7.500.000 7,5 × 106 3

3.750.000.000 3,75 x 109 1

30.200.000 3,02 × 107 3

3 0 0 0 0

1 0 5 0 0 0 0 0 0

2 3 0 0 0

7 5 0 0 0 0 0 0 0 0

11 11

0,75 0,75

30 30

2 • 72 =

400 : 100 =

5 • 20 =

37

1. Zenbakikuntza

UNITATE-AMAIERAKO TESTA

1. Aurkitu 1, 5 eta 9 zifrak erabiliz osatu daitezkeen zenbaki guztiak,

eta ordenatu txikienetik handienera. Zein da handienaren eta txikienaren

arteko diferentzia? (3 p.) 159 < 195 < 519 < 591 < 915 < 951 951 – 159 = 792

2. Kalkulatu emaitzak: (4 p.)

a) (–7) + (+3) = –4 e) (–7) × (+3) = –21

b) (+7) + (+3) = 10 f) (+7) × (+3) = 21

c) (+7) – (+3) = 4 g) (–9) : (+3) = –3

d) (–7) – (–3) = –4 h) (–9) : (–3) = 3

3. Kalkulatu emaitzak: (4 p.)

a) 3 • (–3) + 3 • (–6) = –27 d) [5 • (–1)] – [1 • (–3)] = – 2 g) (6 – 4 + 3-5) • (–7) = 0

b) 3 • [(–2) + 8] = 18 e) (–4) • [2–7] = 2 h) 12 : (–4) = –3

c) (–7 + 9 – 3) : (–2 + 5) = –1/3 f) = 4 i) 0,5 – [0,5 • (–10)] = –4,5

4. Aurkitu eragiketa hauen emaitza: (4 p.)

a) 23 + 22 = 12 d) 26 : 22 = 16

b) 23 – 22 = 4 e) 102 × 102 = 10.000

c) 24 × 23 = 128 f) 104 : 102 = 100

5. Deskonposa itzazu zenbaki hauek adierazten zaizun eran: (3 p.)

a) 13.034 batuketa gisa 10.000 + 3.000 + 30 + 4

b) 77.377 batuketa-biderketa gisa 7 x 10.000 + 7 x 1.000 + 3 x 100 + 7 x 10 + 7

c) 123.456 berreketa gisa 1 x 105 + 2 x 104 + 3 x 103 + 4 x 102 + 5 x 10 + 6

6. Zein da zenbaki hauen magnitude ordena? (2 p.)

a) 23.476: hamar milakoa b) 1.678.003: milioikoa

7. Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan: (3 p.)

a) 300 = 3 x 102 b) 23.000 = 2,3 x 104 c) 70.000.000 = 7 x 107

8. Sinplifikatu errokizuna: (2 p.)

a) b)

(7–15)(–2)

100 =36 =

KALIFIKAZIOA: