Isótopos Ambientales en el Ciclo Hidrológico IGME. Temas ... ISOTOPOS/PDF Isotop… · solutos a...

4.1 INTRODUCCIÓN

Lo que principalmente ha impulsado los estudioshidrogeológicos en el pasado ha sido la necesidad debuscar acuíferos para el abastecimiento, aunque,durante los últimos 20 años se ha hecho más hinca-pié en los problemas de la calidad del agua. Esto allevado a predecir el movimiento de los contaminan-tes a través del terreno. Una de las consecuencias deeste cambio de perspectiva ha sido el cambio en lasprioridades de la investigación científica en el mues-treo de datos. Al principio se centró en el desarrollode métodos y en medir las propiedades del agua delos acuíferos más permeables. El objetivo actual secentra más en los procesos de transporte y disper-sión, en el retardo y la degradación de los contami-nantes químicos, los efectos de la heterogeneidad alo largo de las líneas de flujo, los tiempos de despla-zamiento y la capacidad de los materiales de bajapermeabilidad para almacenar agua subterráneacontaminada.

En los últimos 20 años se han producido también losmayores avances tecnológicos en la hidrología sub-terránea. Una de las áreas tecnológicas que ha creci-do es el desarrollo y el uso de modelos numéricosdeterminísticos de parámetros distribuidos para ana-lizar el flujo y el transporte de solutos en los sistemascon agua subterránea. Estos avances se han desarro-llado paralelamente a la implementación de sistemasde computación más rápidos, con más memoria, conmás capacidad y más baratos. Otra área que tam-bién ha mejorado han sido los análisis isotópicos enla hidrología subterránea, donde se han utilizado lasmediadas isotópicas para interpretar y definir laslíneas de flujo subterráneo, las edades, las áreas derecarga, el goteo y las interacciones con el aguasuperficial (Coplen 1993).

Los isótopos, al igual que los compuestos químicosdisueltos, se mueven a través de los sistemas acuífe-ros bajo las mismas fuerzas motrices y los mismosprocesos. Por eso es normal que se apliquen losmodelos del flujo subterráneo y del transporte desolutos a los problemas de contaminación subterrá-

nea relacionados, junto con las medidas y las inter-pretaciones isotópicas. Sin embargo muchas de lasaplicaciones anteriores de los análisis isotópicos a lossistemas acuíferos suponen modelos conceptualessimplificados superficiales para el flujo de agua sub-terránea y el transporte de compuestos químicosdisueltos: el modelo de flujo de pistón (con despla-zamiento tipo pistón y sin mezcla) o con un modelode reservorio de mezcla perfecta (que sobreestimalos efectos mezcla de la dispersión y de la difusión).Si se acoplan las interpretaciones de los análisis iso-tópicos con los modelos conceptuales más realistasde flujo y transporte, entonces se sabe que los aná-lisis sinérgicos llevan a una interpretación más exac-ta del sistema hidrogeológico que se está estudian-do. Dinçer y Davis (1984) proporcionan un resumende las aplicaciones de los trazadores isotópicosambientales para modelar la hidrología de un siste-ma, y Johnson y DePaolo (1994) proporcionan unejemplo en el que aplican el modelo acoplado a susanálisis de los repositorios donde se almacenan losresiduos radioactivos de alta actividad (Dinçer y Davis1984; Johnson y Depaolo 1994).

El objetivo de este capítulo es revisar el estado delarte de la modelación determinista de los procesosde flujo y transporte subterráneo para aquellos quequieran combinar la interpretación de los análisis iso-tópicos con los análisis cuantitativos del modelo sub-terráneo. Este capítulo se centra en la definición demodelos diponibles y cómo se pueden aplicar a losproblemas de campo más complejos. Se expone lafilosofía y las bases teóricas de la modelación deter-minista, las ventajas y las limitaciones de los mode-los, el uso de los modelos, como seleccionar unmodelo y como calibrar un modelo. Este capítulo essimplemente una revisión general de este tema tancomplejo, pero proporciona referencias para aque-llos lectores que quieran profundizar más en el asun-to. Otras revisiones que recientemente han apareci-do sobre la teoría y la práctica de la modelacióndeterminista de los procesos de los acuíferos son lasde Anderson y Woessner (1992) y Bear y Verruijt(1987).

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4 USO DE MODELOS NUMÉRICOS PARA SIMULAR EL FLUJO

Y EL TRANSPORTE SUBTERRÁNEOL.F. KONIKOW1

United States Geological Survey (Instituto Geológico Norteamericano), Reston, Virginia, USA

Isótopos Ambientales en el Ciclo HidrológicoIGME. Temas: Guías y manuales. ISBN: 84-7840-465-1

1 Capítulo basado en Konikow (1996) y Konikow y Reilly (1998); se agradecen también a las contribuciones de Y.Yurtsever y T.E.Reilly.

4.2 MODELOS

La palabra modelo tiene varias acepciones y se utili-za tanto que a veces es difícil discernir el significadode la palabra (Konikow y Bredehoeft 1992). Unamanera simple de definir un modelo es quizá que esla representación de un sistema o proceso real. Unmodelo conceptual es una hipótesis de cómo secomporta un sistema o un proceso. Esta hipótesis sepuede expresar de forma cuantitativa con un mode-lo matemático. Los modelos matemáticos son abs-tracciones que representan los procesos en forma deecuaciones; las propiedades físicas se representancomo constantes o coeficientes de las ecuaciones ylas medidas del estado o el potencial del sistema sehace como variables.

Muchos de los modelos de agua subterránea que seutilizan en la actualidad son modelos matemáticosdeterminísticos. Los modelos determinísticos sebasan en la conservación de masa, del momento yde la energía, y describen las causas y los efectos delas relaciones. Una de las hipótesis fundamentales esque si se conocen con bastante exactitud los proce-sos que tienen lugar cuando el sistema se somete aciertas tensiones, se podrá predecir la respuesta delsistema ante cualquier conjunto de nuevas tensio-nes, aunque estén fuera del rango de tensiones quese ha observado a lo largo de los años.

Los modelos deterministas del flujo subterráneorequieren generalmente la resolución de ecuacionesen derivadas parciales. Se pueden obtener solucio-nes exactas de forma analítica, pero los modelosanalíticos necesitan que los parámetros y los contor-nos sean ideales. Algunos de los modelos determi-nistas tratan las propiedades del medio poroso comoparámetros agregados (esencialmente como unacaja negra), pero esto imposibilita la representaciónde las propiedades hidráulicas heterogéneas en elmodelo. La heterogeneidad o la variabilidad de laspropiedades del acuífero es una de las propiedadesde todos los sistemas geológicos y se considera queinfluye mucho en el flujo subterráneo y en el trans-porte de solutos. Así que a menudo es preferibleaplicar los modelos de parámetros agregados, quepermiten representar distribuciones más realistas delas propiedades del sistema. Los métodos numéricosproporcionan soluciones aproximadas de las ecua-ciones rectoras (o ecuaciones) en toda la discretiza-ción espacial y temporal. Dentro del dominio discre-tizado, se aproximan las propiedades internas varia-bles, los contornos y las tensiones del sistema. Losmodelos numéricos deterministas de parámetros dis-tribuidos pueden relajar las condiciones ideales tanrígidas de los modelos analíticos o de los modelos deparámetros agregados, y pueden llegar a ser másrealistas y flexibles para simular las condicionesempíricas (siempre que se apliquen correctamente).

El número y los tipos de ecuaciones que se han deresolver se determinan mediante la información delos procesos rectores dominantes. Los coeficientesde las ecuaciones son los parámetros, que son lasmedidas de las propiedades, los contornos y las ten-siones del sistema; las variables dependientes de lasecuaciones son las medidas del estado del sistema yse determinan matemáticamente mediante la resolu-ción de las ecuaciones. Cuando se implementa unalgoritmo numérico en un código de ordenador pararesolver una o más ecuaciones en derivadas parcia-les, el código que se obtiene puede considerarse unmodelo genérico. Cuando se especifican las dimen-siones de la malla, las condiciones de contorno yotros parámetros (como la conductividad hidráulica yel almacenamiento) en una de las aplicaciones de unmodelo genérico para representar un área geográfi-ca determinada, el programa que se obtiene es unmodelo de un área específica. La capacidad de losmodelos genéricos para resolver las ecuaciones rec-toras de forma precisa se demuestra mediante ejem-plos de aplicación a modelos simplificados. Esto nogarantiza un nivel similar de precisión cuando elmodelo se aplica a un problema empírico más com-plejo.

Si el modelador no sabe o ignora los detalles delmétodo numérico, incluyendo las aproximacionesque incluyen, la escala de discretización adecuada ylas técnicas de solución matricial, se irán introdu-ciendo errores no cuantificables. Por ejemplo, si laecuación de flujo subterráneo se resuelve iterativa-mente, pero el criterio de convergencia es relativa-mente grosero, la solución numérica converge, perohacia una solución muy pobre. La inexactitud de lasolución puede o no puede verse reflejada en el errordel balance de masas. Las interfaces gráficas quefacilitan el trabajo al modelador hacen que cada vezsea más difícil detectar los errores numéricos de losmodelos de flujo subterráneo. Estas interfaces hacenque exista un mayor “distanciamiento” entre elmodelador y el método numérico fundamental delmodelo.

4.3 PROCESOS DE FLUJO Y TRANSPORTE

El proceso del flujo subterráneo está regido por lasrelaciones expresadas mediante la ley de Darcy y laconservación de masa. La ley de Darcy posee límitesa su rango de aplicación. Estos límites han de calcu-larse en cualquier aplicación.

El objetivo de un modelo que simula el transporte desolutos en el agua subterránea es calcular la concen-tración de las especies químicas disueltas en un acuí-fero en cada instante de tiempo y en cada punto. Enla bibliografía se han documentado bastante bien lasbases teóricas de la ecuación que describe el trans-

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Uso de Modelos Numéricos para Simular el Flujo y el Transporte Subterráneo

porte de solutos (Bear 1997; Domenico y Schwartz1998). Reilly et al. (1987) proporcionaron un marcoconceptual para el análisis y la modelación de losprocesos físicos del transporte de solutos en el aguasubterránea (Reilly et al. 1987). Los cambios en laconcentración química dentro de un sistema conagua subterránea dinámico se produce debido avarios procesos:

1) el transporte advectivo, en el que los compuestosquímicos disueltos se mueven con el flujo subte-rráneo;

2) la dispersión hidrodinámica, en la que la difusiónmolecular e iónica y las variaciones a pequeñaescala en la velocidad del flujo a través de unmedio hace que los caminos de las moléculasdisueltas y de los iones diverjan o se expandanrespecto de la dirección media del flujo subterrá-neo

3) las fuentes de los fluidos, donde el agua con unadeterminada composición se introduce y se mez-cla con agua con otra composición diferente

4) las reacciones, en las que una determinada canti-dad de un especie química disuelta puede aña-dirse o eliminarse del flujo de agua subterráneacomo resultado de las reacciones químicas, bioló-gicas y físicas en el agua o entre el agua y losmateriales sólidos del acuífero u otras fases líqui-das separadas.

El ambiente subterráneo es una formación hidroge-ológica heterogénea, tridimensional y compleja. Estavariabilidad influye fuertemente en el flujo y el trans-porte subterráneo, de manera que esa realidad sólose podrá describir de forma precisa a partir de minu-ciosos ensayos hidrogeológicos de campo.Independientemente de la cantidad de datos recogi-dos, siempre existe incertidumbre respecto a las pro-piedades y los contornos del sistema de acuíferosque se quiere estudiar. Los métodos estocásticos hanproporcionado muchas ventajas a la hora de carac-terizar la heterogeneidad subterráneo y la incerti-dumbre (Gelhar 1993).

4.4 ECUACIONES RECTORAS

El desarrollo de las ecuaciones matemáticas que des-criben los procesos de flujo y transporte subterráneose puede determinar a partir del principio funda-mental de la conservación de la masa de un fluido ode un soluto. A partir de un determinado volumenrepresentativo del medio poroso, la ecuación gene-ral de la conservación de la masa para ese volumense expresa según:

(caudal de masa que entra) – (caudal de masa quesale) + (caudal de producción de masa/consumo demasa) = (caudal de masa acumulada) (4.1)

Esta ecuación de la conservación de la masa (o ecua-ción de continuidad) puede combinarse con unaexpresión matemática del proceso relevante paraobtener una ecuación diferencial que describa elflujo y el transporte (Bear 1997; Domenico ySchwartz 1998; Freeze y Cherry 1979).

4.4.1 ECUACIÓN DE FLUJO SUBTERRÁNEO

El caudal de agua a través de un medio poroso serelaciona con las propiedades del agua, las propie-dades del medio poroso y el gradiente del nivel pie-zométrico, a partir de la ley de Darcy, que se escribesegún:

(4.2)

donde qi es el flujo, LT−1; Kij es la conductividadhidráulica del medio poroso (tensor de segundoorden), LT−1; y h es el nivel piezométrico, L.

A partir de la combinación de la ley de Darcy con laecuación de continuidad se puede obtener unaforma general de la ecuación que describe el flujotransitorio de un fluido compresible en un acuíferoheterogéneo y anisótropo. La ecuación del flujo sub-terráneo general se puede expresar mediante unanotación tensorial cartesiana según:

(4.3)

donde SS

es el almacenamiento específico, L−1; t esel tiempo, T; W* es el flujo volumétrico por unidadde volumen (positivo cuando el flujo va hacia afueray negativo cuando el flujo va hacia el interior), T−1; yxi son las coordenadas cartesianas, L. El convenio dela suma de los análisis cartesianos con tensores es elque aparece en las Ecs.4.2 y 4.3. La Ec.4.3 se aplicanormalmente cuando dominan las condiciones iso-térmicas, el medio poroso sólo se deforma vertical-mente, el volumen de los granos individuales per-manece constante durante la deformación, cuandose puede aplicar la ley de Darcy (y los gradientes delos niveles piezométricos son las únicas fuerzasmotrices), y cuando las propiedades del fluido (den-sidad y viscosidad) son homogéneas y constantes.Las propiedades de los acuíferos pueden variar espa-cialmente, mientras que las tensiones de los fluidos(W*) pueden variar espacial y temporalmente.

Si el acuífero no es muy potente en comparación consu extensión lateral, puede suponerse que el flujosubterráneo es un flujo bidimensional. Esto hace quela ecuación de flujo tridimensional se reduzca a uncaso bidimensional, en el que se podrán realizar sim-plificaciones adicionales. La ventaja de reducir ladimensión de la ecuación es que a la hora de calcu-

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lar las soluciones numéricas las condiciones que hande cumplir los datos serán menos restrictivas, senecesita menos memoria computacional y los tiem-pos de ejecución son menores.

Se puede obtener una expresión similar a la Ec.4.3para el flujo en dos dimensiones de un fluido homo-géneo en un acuífero confinado y se escribe como:

(4.4)

donde Tij es la transmisividad, L2T−1; y Tij = Kij*b; bes el grosor saturado del acuífero, L; S es el coefi-ciente de almacenamiento (sin dimensiones); yW=W*b es el flujo volumétrico por unidad de área,LT–1.

Cuando la Ec.4.4 se aplica en un sistema acuífero noconfinado (freático), se ha de suponer que el flujo eshorizontal y que las líneas equipotenciales son verti-cales, que el gradiente hidráulico horizontal es iguala la pendiente del nivel freático, y que el coeficientede almacenamiento es igual al almacenamientoespecífico (Sy) (Anderson y Woessner 1992). Nóteseque en el sistema no confinado, el grosor saturadovaria cuando cambia la profundidad del nivel freáti-co (o el nivel). Así que la transmisividad tambiénpuede cambiar a lo largo del tiempo y del espacio(esto es, Tij = Kijb; b(x,y,t) = h − hb, y hb es la eleva-ción de la parte inferior del acuífero).

En ocasiones, ciertas propiedades de los fluidos(densidad y viscosidad) pueden variar en el espacio oen el tiempo. Esto pasa donde la temperatura delagua o la concentración de los sólidos disueltos varí-an significativamente. Cuando las propiedades delagua son heterogéneas y (o) transitorias, las relacio-nes entre los niveles del agua, los niveles piezométri-cos, las presiones del fluido y las velocidades del flujono son ni simples ni directas. En dichos casos la ecua-ción de flujo se escribe y se resuelve en función delas presiones del fluido, las densidades del fluido y lapermeabilidad intrínseca del medio poroso (Konikowy Grove 1977).

4.4.2 VELOCIDAD DE FILTRACIÓN

La velocidad del agua subterránea puede afectar a lamigración y la mezcla de los compuestos químicosdisueltos en el agua subterránea. El flujo específicoque se calcula mediante la Ec.4.2 se la denomina amenudo velocidad de Darcy. Sin embargo estanomenclatura puede conducir a error porque qi norepresenta en realidad la velocidad del agua, sinoque representa el flujo volumétrico por unidad deárea transversal. De manera que para calcular lavelocidad de filtración del agua subterránea se ha de

tener en cuenta la sección transversal por la quepasa el flujo. Esto lleva a:

(4.5)

donde Vi es la velocidad de filtración (también deno-minada comúnmente velocidad lineal media o velo-cidad intersticial media), LT−1; y m es la porosidadefectiva del medio poroso.

4.4.3 ECUACIÓN DEL TRANSPORTE DE SOLUTOS

A partir del principio de conservación de masa sepuede derivar una ecuación que describa el trans-porte y la dispersión de los compuestos químicos enel agua subterránea (Eq.4.1), de igual forma que sehizo para la ecuación general de flujo (Bear 1979;Domenico y Schwartz 1998; Konikow y Grove 1977;Bear 1972; Bredehoeft y Pinder 1973; Reddell ySunada 1970). El principio de conservación de masasupone que la masa neta del soluto que entra oabandona un volumen específico de acuífero duran-te un determinado intervalo de tiempo debe serigual a la acumulación o a la pérdida de masa alma-cenada en ese volumen durante dicho intervalo. Estaexpresión se puede expresar matemáticamenteteniendo en cuenta todos y cada uno de los flujosque entran y salen de un volumen elemental repre-sentativo (VER), según el Bear (1972, p.19).

Una forma general para representar la ecuación detransporte de solutos es la de Grove (1976), en laque se incorporan los términos para representar lasreacciones químicas y la concentración de los solutosen el fluido que hay en los poros y en la superficiedel sólido:

(4.6)

donde QUIM es igual a :

• para las reacciones de sorción o de inter-cambio iónicos en equilibrio lineal,

• para las reacciones químicas en las que secontrola el caudal, y (o)

• para las desintegraciones,

y donde Dij es el coeficiente de dispersión hidrodi-námica (un tensor de segundo orden, L2T−1), C' es laconcentración del soluto en el fluido fuente o sumi-dero, C– es la concentración de las especies adsorbi-

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das en el sólido (masa del soluto/masa del sólido), ρbes la densidad aparente del sedimento, ML−3, Rk esla tasa de producción del soluto en la reacción k,ML−3T−1, y λ es la constante de desintegración (iguala ln2/T1/2), T

−1 (Grove 1976).

El primer miembro de la derecha de la Ec.4.6 repre-senta la variación de la concentración debido a ladispersión hidrodinámica. Esta expresión es análogaa la ley de Fick que describe el flujo difusivo. Estemodelo de Fick supone que la fuerza motora es elgradiente de la concentración y que el flujo dispersi-vo tiene lugar desde las concentraciones mayores alas menores. No obstante esta hipótesis no siemprees consistente con las observaciones empíricas. Estees tema para numerosas investigaciones futuras. Elsegundo término del miembro de la derecha repre-senta el transporte advectivo y describe el movi-miento de los solutos a la velocidad de filtraciónmedia del flujo de agua subterránea. El tercer térmi-no representa los efectos de la mezcla con un fluidofuente que posee una concentración diferente a ladel agua subterránea que se encuentra en la zona derecarga o de inyección. El cuarto término representatodas las reacciones químicas, geoquímicas y bioló-gicas que provocan la transferencia de masa entrelas fases líquida y sólida, o la conversión de las espe-cies químicas disueltas de una forma a otra. La ate-nuación química de los compuestos químicos inor-gánicos se produce únicamente por sorción/desor-ción, precipitación/disolución, u oxidación/reduc-ción; las substancias orgánicas pueden adsorberse odegradarse mediante procesos microbiológicos. Hahabido muchos progresos en la modelación de estosprocesos reactivos; para mayor información véase labibliografía reseñada.

Si las reacciones se encuentran limitadas por la sor-ción o el intercambio controlado en el equilibrio ypor reacciones irreversibles de primer orden (desinte-gración), entonces la ecuación general rectora(Ec.4.6) se expresa según:

(4.7)

El cambio temporal de la concentración sorbida en laEc.4.7 puede representarse en términos de la con-centración del soluto mediante la regla de la cadenasegún:

(4.8)

En las reacciones de sorción e intercambio en el equi-librio, dC–/dC y C–, son una función sólo de C. Por lotanto la relación de equilibrio para C– y dC–/dC se pue-den substituir en la ecuación rectora para desarrollar

una ecuación de diferencias parciales en términossólo de C. La única ecuación de transporte que seobtiene se resuelve para calcular la concentracióndel soluto. La concentración sorbida se puede calcu-lar mediante la relación de equilibrio. La reacción desorción lineal supone que la concentración del solu-to sorbido por el medio poroso es directamente pro-porcional a la concentración del soluto en el fluidocontenido en los poros, de acuerdo con la relación

C– =KdC (4.9)

donde Kd es el coeficiente de distribución, L3M−1. Sesupone que esta reacción es instantánea y reversible.La curva que relaciona la concentración sorbida conla concentración disuelta se la denomina isoterma. Sila relación es lineal, la pendiente (derivada) de la iso-terma, dC– /dC, se denomina coeficiente de distribu-ción en el equilibrio, Kd. De manera que en el casode una isoterma lineal,

(4.10)

Después de substituir esta relación en la Ec.4.7, laEc.4.7 se puede rescribir como:

(4.11)

Factorizando el término (1 + ρb Kd / m) y definiendoun factor de retardo, Rf (adimensional), según:

(4.12)

y substituyendo esta relación en la Ec.4.11 se obtie-ne:

(4.13)

Como Rf es constante bajo estas hipótesis, la solu-ción de esta ecuación rectora es idéntica a la solu-ción de la ecuación rectora sin los efectos de la sor-ción, excepto en el hecho de que la velocidad, elflujo dispersivo y la intensidad de la fuente estánreducidas en un factor Rf. Por lo tanto el proceso detransporte se encuentra “retardado” como conse-cuencia de la sorción instantánea en equilibrio con elmedio poroso.

En la formulación convencional de la ecuación detransporte de solutos (Ec.4.6), el coeficiente de dis-persión hidrodinámica se define como la suma de ladispersión mecánica y la difusión molecular (Bear1997). La dispersión mecánica es una función de lapropiedades intrínsecas del medio poroso (como las

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heterogeneidades de la conductividad hidráulica y laporosidad) y del flujo del fluido. La difusión molecu-lar en un medio poroso difiere de la del agua libre acausa de los efectos de la porosidad y la tortuosidad.Estas relaciones se expresan comúnmente como:

(4.14)

donde α ijmn es la dispersividad del medio poroso(tensor de cuarto orden), L; Vm y Vn son los compo-nentes de la velocidad del flujo del fluido en lasdirecciones m y n, respectivamente, LT−1; Dm es elcoeficiente efectivo de la difusión molecular, L2T−1; y|V| es la magnitud del vector velocidad, LT−1, defini-do como |V| = √ Vx

2 + Vy2 +Vz

2 (Bear 1979;Domenico y Schwartz 1998; Scheidegger 1961). Ladispersividad de un medio poroso isótropo se puededefinir por dos constantes. Éstas son la dispersividadlongitudinal del medio, αL, y la dispersividad trans-versal del medio, αT . Éstas están relacionadas conlos coeficientes de dispersión longitudinal y transver-sal según DL = αL|V| y DT = αT|V|. La mayoría de lasaplicaciones de los modelos de transporte en los pro-blemas de agua subterránea publicados hasta lafecha se basan en esta formulación convencional.

A pesar de que la teoría convencional afirma que αLes generalmente una propiedad intrínseca del acuí-fero, en la práctica se detecta que depende y es pro-porcional a la escala medida. Muchos de los valorespublicados de αL se encuentran en el rango que vadesde 0,01 hasta 1,0 veces la escala de medida, aun-que la relación de αL a la escala de medida tiende adecrecer para escalas grandes (Anderson 1984;Gelhar et al. 1992). La dispersión a escala de campo(comúnmente denominada macrodispersión) segenera a partir de las variaciones espaciales a granescala de las propiedades hidráulicas. Por lo tanto eluso de valores relativamente grandes de la dispersi-vidad y el uso de propiedades hidráulicas uniformes(Kij y m) no resulta adecuado para describir el trans-porte en los sistemas geológicos (Smith y Schwartz,1980). Si el modelo que se aplica en un sistema queposee conductividades hidráulicas variables utilizavalores medios, de manera que no representa deforma explícita la variabilidad, la calibración delmodelo proporciona valores para los coeficientes dedispersividad mayores que los que se obtienen almedir localmente el parámetro en cuestión. De igualmanera, al representar un flujo transitorio medianteun flujo en estado estacionario, como habitualmen-te pasa, se ignora la variabilidad de la velocidad ydebe compensarse con valores mayores de la disper-sividad (principalmente de la dispersividad transver-sal) (Goode y Konikow 1990). En resumen, cuantomás precisamente pueda un modelo representar osimular la distribución de la velocidad verdadera enel espacio y en el tiempo, menos problemas se ten-

drán con la incertidumbre de los procesos de disper-sión.

Se puede utilizar una forma especial de la ecuaciónde transporte de soluto en la simulación directa de laedad del agua subterránea (Goode 1996; 1999).Esto se consigue añadiendo un término de creci-miento de orden cero, que representa la produccióninterna del soluto, ML−3T−1. Al desarrollar una ecua-ción de transporte para el cálculo de la edad se hande substituir las concentraciones por las edades, querepresentan la edad de determinado volumen mediodel agua subterránea en el acuífero; la tasa de creci-miento de orden cero tiene un valor unidad; se supo-ne que las reacciones de desintegración y sorción noestán presentes; y, en general la edad del agua queentra (análogo a C') es igual a cero. Este tipo de aná-lisis permite hacer una comparación directa de losresultados de la modelación subterránea con lainformación de los trazadores ambientales, a la vezque se tienen en cuenta los efectos de dispersión yde otros procesos de transporte.

4.5 MÉTODOS NUMÉRICOS PARARESOLVER LAS ECUACIONES

Las ecuaciones en derivadas parciales que describenel flujo y el transporte subterráneo pueden resolver-se matemáticamente utilizando soluciones analíticaso numéricas. Las ventajas de una solución analítica,siempre que sea posible, es que permite proporcio-nar una solución exacta de la ecuación rectora, y amenudo resulta relativamente sencillo y eficiente deobtener. Se han desarrollado muchas solucionesanalíticas para la ecuación de flujo; sin embargo lamayoría se limitan a los problemas hidráulicos de lospozos, que implican simetría radial (Walton 1962;Lohman 1972; Reed 1980). La curva típica de Theises la solución de un modelo analítico. También se tie-nen soluciones analíticas para resolver la ecuación detransporte de solutos (Bear 1979; Javandel et al.1984; Van Genuchten y Alves 1982; Wexler 1992).En general, para obtener la solución analítica exactade la ecuación en derivadas parciales se necesita quelas propiedades y los contornos del sistema de flujoestén muy idealizados (quizá de forma irreal). Enmuchos de los problemas experimentales las venta-jas de obtener una solución exacta queda superadaprobablemente por los errores que se introducencon las hipótesis simplificadoras del complejoambiente físico que se requiere a la hora de aplicarel modelo analítico.

Una alternativa para los problemas en los que losmodelos analíticos son inadecuados es la aproxima-ción numérica de las ecuaciones en derivadas parcia-les. Para poder realizar este cambio las variables con-tinuas se sustituyen por variables discretas que se

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definen en los bloques (celdas) de la malla (o en losnodos). Así que la ecuación diferencial continua, quedefine el nivel piezométrico o la concentración delsoluto en todos los puntos del sistema, se reemplazapor un número finito de ecuaciones algebraicas quedefinen el nivel piezométrico o la concentración delsoluto en puntos específicos. Este sistema de ecua-ciones algebraicas generalmente se resuelve utilizan-do técnicas matriciales. Esta aproximación constituyelo que se denomina un modelo numérico.

Las ecuaciones que describen el flujo subterráneo yel transporte de solutos son ecuaciones diferencialesde segundo orden, que se pueden clasificar en fun-ción de las propiedades matemáticas. Básicamenteexisten tres tipos de ecuaciones diferenciales desegundo orden, que son las parabólicas, las elípticasy las hiperbólicas (Peaceman 1977). Dichas ecuacio-nes se puede clasificar y distinguirse en función de lanaturaleza y la magnitud de los coeficientes de laecuación. Esto es importante porque los métodosnuméricos para solucionar de cada tipo de ecuaciónse ha de considerar y desarrollar independientemen-te para obtener soluciones del algoritmo más preci-sas y eficientes.

Se han considerado dos clases principales de méto-dos numéricos para resolver la ecuación de flujo sub-terráneo. Estos son los métodos de diferencias finitasy la de elementos finitos. Cada una de estas dos cla-ses más importantes incluye una variedad de subcla-ses y de alternativas de implementación. Remson etal. (1971), y Wang y Anderson (1982) han presenta-do discusiones sobre la aplicación de estos métodosnuméricos para resolver los problemas de hidrologíasubterránea. Estas aproximaciones numéricas requie-ren una subdivisión del área de interés por medio deuna malla que consta de celdas (elementos) asocia-das a los nodos (en el centro de cada uno de los ele-mentos).

Los métodos de diferencias finitas aproximan las pri-meras derivadas de las ecuaciones en derivadas par-ciales como cocientes diferenciales (las diferenciasentre los valores de las variables en los nodos adya-centes, en el espacio y en el tiempo, respecto alintervalo entre aquellos nodos adyacentes). Existenvarios libros de texto avanzados que se centran enlos métodos de diferencias finitas (Peaceman 1977;Remson et al. 1971; Von Rosenberg 1969). Losmétodos de diferencias finitas utilizan funciones quecontienen las variables y los parámetros dependien-tes para evaluar la fórmula integral equivalente delas ecuaciones en diferencias parciales. Huyakorn yPinder (1983) presentan un análisis y una revisión dela aplicación de los métodos de elementos finitosaplicados a los problemas de la hidrología subterrá-nea (Huyakorn y Pinder 1983). En ambos métodos

numéricos la discretización del espacio y del tiemposupone el problema de los contornos continuos quepermite que la solución de la ecuación en diferenciasparciales se reduzca a la resolución simultánea de unsistema de ecuaciones algebraicas. Estas ecuacionesse resuelven de manera iterativa o por métodosmatriciales directos.

Cada método aproximativo presenta ventajas y des-ventajas, pero existen muy pocos problemas de aguasubterránea en los que ambos estén bien claros. Porlo general los métodos en diferencias finitas son mássimples a nivel conceptual y a nivel matemático, yson más fáciles de programar. Presentan una mallarectangular relativamente sencilla, lo que tambiénfacilita la entrada de datos. Los métodos con ele-mentos finitos generalmente requieren una mate-mática más sofisticada, pero, en algunos problemaspuede resultar más precisa la solución numérica conlos métodos de elementos finitos que con diferen-cias finitas. Una de las ventajas más importantes delos métodos con elementos finitos es la flexibilidadde la malla, que permite obtener una aproximaciónespacial buena ya que se adapta bien a los contor-nos irregulares del modelo y/(o) además permiteconsiderar una discretización más fina en aquellaszonas del acuífero en las que se requiera una infor-mación más detallada. No obstante la entrada dedatos es más difícil para una malla irregular de ele-mentos finitos que para una malla regular de dife-rencias finitas. Así que para reproducir las ventajasde los métodos con elementos finitos se debe utili-zar un preprocesador que incluya un generador demallas y un esquema que distribuya de forma correc-ta los nodos y elementos de la malla y especifique lascoordenadas de cada nodo. La Fig.4.1 muestra unsistema acuífero hipotético, que posee contornosimpermeables y un campo de pozos (Fig.4.1a). Estemodelo se ha discretizado mediante diferencias(Fig.4.1b) y elementos (Fig.4.1c) finitos. Las Figs.4.1by 4.1c representan conceptualmente como sus res-pectivas mallas se ajustan para obtener una mallamás discretizada en las áreas de mayor interés. Lamalla rectangular de diferencias finitas aproxima loscontornos del acuífero escalonadamente, lo quehace que hayan nodos o celdas fuera del acuífero,mientras que los elementos triangulares de la mallade elementos finitos se ajusta bastante bien a loscontornos del acuífero utilizando un número mínimode nodos.

La ecuación del transporte de solutos es por lo gene-ral más difícil que la ecuación de flujo subterráneo,principalmente porque las propiedades matemáticasde la ecuación de transporte varían dependiendo deltérmino dominante de la ecuación en una situaciónparticular. Cuando en la ecuación de transporte eltérmino dominante es el advectivo, lo que normal-

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mente sucede en muchos casos, entonces la Ec.4.6se asemeja a una ecuación tipo hiperbólico (similar alas ecuaciones que describen la propagación de unaonda o de un frente de choque). Pero si el términodominante es el dispersivo, como puede ocurrircuando las velocidades del flujo son relativamentepequeñas y las dispersividades del acuífero relativa-mente grandes, la Ec.4.6 se acerca más a las de tipoparabólico (similar a la ecuación de flujo subterráneotransitorio).

Los métodos numéricos que mejor funcionan con lasecuaciones en derivadas parciales de tipo parabólicono son útiles para resolver las ecuaciones hiperbóli-cas, y viceversa. Así que ningún método numérico omodelo de simulación es ideal para el espectro com-pleto de los problemas de transporte subterráneoque se encuentran en el campo. Además existe ladificultad de que en el campo la velocidad de filtra-ción del agua subterránea es muy variable, inclusocuando las propiedades del acuífero son relativa-mente homogéneas (debido a los efectos de condi-ciones de contorno complejas). De ahí que en laszonas de baja permeabilidad o en los puntos cerca-nos a un estancamiento la velocidad pueda ser casicero y los procesos del transporte dominen respectolos procesos de dispersión; en las zonas de alta per-meabilidad o cerca de los puntos donde hay ciertatensión (tales como los pozos de bombeo), la veloci-dad puede ser del orden de varios metros por día ylos procesos de transporte pueden verse dominadospor la advección. En otras palabras, para el mismosistema la ecuación rectora puede tener una formamás hiperbólica en una zona (o en un determinadotiempo) y más parabólica en otra zona (o en otrotiempo). Por lo tanto no importa el método numéri-co que se elija para simular el modelo: con seguridadno será ideal u óptimo en todo el dominio del pro-blema, de manera que habrán errores numéricos enalgún lugar de la solución. A la hora de modelar eltransporte se ha de tener en cuenta esta dificultadinherente e intentar minimizar y controlar los erroresnuméricos.

A pesar de que los modelos de diferencias finitas yelementos finitos se aplican normalmente en los pro-blemas de transporte, también se han aplicado otrotipo de métodos numéricos a los problemas detransporte, incluyendo el método de las característi-cas, con seguimiento de partículas, recorrido aleato-rio, métodos eulerianos-lagrangianos, y los métodoscon mallas adaptables. Todos estos métodos captande forma bastante precisa los frentes abruptos conuna dispersión numérica mínima. Los modelos publi-cados (Konikow y Bredehoeft, 1978; Sanford yKonikow, 1985; Prickett et al., 1981 y Zheng, 1990)se basan en variantes de estas aproximaciones.

Los métodos de diferencias finitas y elementos fini-tos también se pueden aplicar para resolver la ecua-ción de transporte, particularmente cuando el trans-porte dispersivo es mayor en comparación con eltransporte advectivo. Sin embargo los problemas dedispersión numérica y oscilaciones pueden inducirerrores significativos en algunos problemas. Loserrores numéricos generalmente se pueden reducircon una discretización fina (tanto espacial comotemporal). Kipp (1987) y Reeves et al. (1986) hanpublicado ejemplos de modelos en diferencias fini-tas tridimensionales y transitorios que resuelvensimultáneamente la presión del fluido, el transportede energía y las ecuaciones de transporte de solutospara fluidos miscibles no homogéneos. Voss (1984)ha publicado un modelo bidimensional de transpor-te de elementos finitos. Como ninguno de los méto-dos numéricos estándar son ideales en un ampliorango de problemas de transporte, aún se siguedesarrollando métodos mixtos o adaptables queminimicen los errores numéricos y combinen lasmejores características de los métodos numéricosestándar alternativos (Carrera y Melloni 1987;Neuman 1984; Celia et al. 1990; Gottardi yVenutelli 1994.

La ecuación convencional del transporte de solutoses el modelo de Fick. No obstante la mayor parte dela dispersión mecánica procede de las variaciones de

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Fig.4.1 Aplicación hipotética de las mallas de diferencias y elementos finitos en un acuífero con contornos irregulares(Konikow 1996).

la velocidad respecto de la media, así que se trata deun proceso básicamente advectivo. El transporte enlos medios porosos estratificados no son del tipoFick (Gelhar et al. 1979; Matheron y De Marsily1980). Por lo tanto, no importa lo precisas que seanlas soluciones de la ecuación de transporte de solu-tos, porque la ecuación en si misma no es una des-cripción definitiva y suficiente de los procesos quecontrolan el transporte de solutos a escala decampo. Por lo general, cuanto más preciso sea larepresentación o la simulación de la distribución develocidades reales por parte del modelo, menosincertidumbres aportarán los procesos de dispersiónen la resolución del problema.

Existen complicaciones adicionales que aparecencuando los solutos son reactivos. Los términos de lareacción que se incluyen en la Ec.4.6 son términosmatemáticamente sencillos. Estos no necesariamen-te representan de forma exhaustiva las complicadasreacciones que existen. Cuando los términos de lasreacciones no son lineales o cuando la concentracióndel soluto depende fuertemente de la concentraciónde otros constituyentes se producen problemasnuméricos adicionales. En realidad puede que lasisotermas no sean lineales y puede que no se den enel equilibrio. Rubin (1983) ha clasificado las reaccio-nes químicas naturales y su relación con la formula-ción matemática. Bahr y Rubin (1987) han compara-do las formulas cinéticas y las del equilibrio local parael transporte de solutos con reacciones superficiales.En los problemas experimentales en los que las reac-ciones afectan fuertemente a las concentraciones delos solutos, la precisión de la simulación está menoslimitada por las hipótesis matemáticas que por lasaproximaciones de los datos. Es decir, normalmenteno se conocen los tipos y las velocidades de reacciónde determinados solutos y minerales en un sistemaacuífero particular, y se necesita una extensa canti-dad de datos para obtener un resultado preciso. Yehy Tripathi (1989) han revisado los modelos de trans-porte hidrogeoquímico y han discutido varias aproxi-maciones matemáticas para modelar el transportede las especies multireactivas.

4.5.1 BASES DE LOS MÉTODOS DEDIFERENCIAS FINITAS

Las ecuaciones en derivadas parciales que describenlos procesos de flujo y transporte en el agua subte-rránea incluyen términos que representan las deriva-das de las variables continuas. Los métodos de dife-rencias finitas tienen como objetivo aproximar estasderivadas (o pendientes de las curvas) mediantecambios lineales discretos en unos intervalos discre-tos de espacio o de tiempo. Si los intervalos son losuficientemente pequeños entonces todos los incre-

mentos lineales representan una buena aproxima-ción de la superficie curvilínea verdadera.

Bennett (1976) muestra que, de acuerdo con lasmedidas de los pozos de observación en un acuíferoconfinado (Fig.4.2a), existe una aproximación razo-nable para las derivadas de los niveles, ∂h/∂x , en unpunto (d) a medio camino entre los pozos 1 y 0. Estoes:

(4.15)

Nótese que los pozos de observación se encuentranequiespaciados. De igual manera existe una aproxi-mación razonable para las derivadas de segundoorden, ∂2h/∂x2 , en un punto 0 (localizado en el cen-tro del pozo) que se expresa según:

(4.16)

Si se consideran también los pozos 3 y 4 que semuestran en la Fig.4.2b, situados en una línea para-lela al eje y, se puede aproximar de forma similar las∂2h/∂y2 en el punto 0 (el mismo punto 0 que en laFig.4.2a) según (Bennett 1976):

(4.17)

Si el espacio entre los pozos de la Fig.4.2b es unifor-me (esto es, ∆x = ∆y = a999999999), entonces sepuede desarrollar la aproximación siguiente:

(4.18)

Estas aproximaciones se pueden obtener también apartir del desarrollo de las series de Taylor. Existe uncierto error implícito al aproximar las derivadasmediante diferencias finitas, pero este error disminu-ye a medida que a (o ∆x y ∆y) va disminuyendo. Esteerror se denomina “error de truncamiento” ya quela substitución de una derivada por un cociente dediferencias equivalente a usar las series truncadas deTaylor, de manera que la solución exacta de unaecuación diferencial difiere de la solución correspon-diente a la ecuación diferencial (Peaceman 1977).Tampoco se puede conseguir una solución “exacta”de la ecuación diferencial a causa de los límites deprecisión al almacenar los números en un ordenador.Al resolver un gran sistema de ecuaciones diferen-ciales se realizan muchas operaciones aritméticasdurante las que se pueden ir acumulando errores deredondeo.

En lo referente a la discretización del tiempo, se hade ver como una dimensión más, y por lo tanto se le

541


ha de representar con otro índice. Si se considera unsegmento representativo de un hidrograma (véase laFig.4.3), en el que el nivel se representa en funcióndel tiempo para un sistema de flujo transitorio, n esel índice o subíndice que se usa para expresar eltiempo en el que se mide un determinado nivel. Lapendiente del hidrograma en un punto cualquiera esla derivada del nivel respecto del tiempo y se puedeaproximar como ∂h/∂t ≈ ∆h/∆t . En términos de losniveles calculados en determinados incrementos detiempo (o en los nodos temporales), la pendiente delhidrograma en un tiempo n se puede aproximarsegún:

(4.19)

o bien:

(4.20)

Fig.4.2 Sección transversal de un acuífero confinado parailustrar la aproximación numérica de las derivadas de losniveles, ∂h/∂x (a) y ∂h/∂y (b) (según Bennett, 1976).

Fig.4.3 Parte de un hidrograma que representa la aproxi-mación de la derivada (o la pendiente, ∂h/∂t) en un nodode tiempo tn mediante ∆h/∆t (Konikow 1996).

Para calcular la derivada en el t = n∆t se puede utili-zar un esquema de “diferencias hacia delante”desde n hasta n+1 a partir de la Ec.4.19, y un esque-ma de “diferencias hacia atrás” con la Ec.4.20. Pararesolver la ecuación de flujo subterráneo para cadanodo (i,j) de una malla de diferencias finitas, sedeben considerar los niveles piezométricos en cinconodos y en dos pasos de tiempo, tal y como semuestra en la Fig.4.4. En la Fig.4.4a se han repre-sentado las derivadas espaciales de los niveles en eltiempo n, en el que se conocen todos los valores, yla derivada temporal de los niveles desconocidos enel tiempo n+1 con un esquema de diferencias haciadelante. Entonces para cada nodo de la malla setiene una ecuación diferencial independiente, cadauna de las cuales sólo contiene una variable incógni-ta. Así que estas ecuaciones se pueden resolverexplícitamente. Las ecuaciones de diferencias finitascon un esquema explícito se resuelven fácilmente,pero se deben cumplir los criterios de estabilidadrelacionados con estas ecuaciones. Es decir, si losincrementos de tiempo son grandes, los erroresnuméricos o las perturbaciones pequeñas se propa-gan alcanzando valores grandes después de untiempo de ejecución grande.

En la Fig.4.4b aparece la derivada temporal de losniveles en el tiempo n a partir de un esquema dediferencias hacia atrás. Los niveles en el tiempo n sonlos desconocidos, mientras que los niveles del tiem-po anterior, n-1, son los conocidos. Las derivadasespaciales del nivel se escriben en el tiempo n, dondetodos los valores son desconocidos, de manera quepara cada nodo de la malla existe una ecuación dife-rencial que contiene cinco incógnitas, que no sepueden resolver directamente. Sin embargo en lamalla entera, que contiene N nodos, se tiene un sis-tema de N ecuaciones con un total de N incógnitas.Este sistema de ecuaciones junto con las condicionesde contorno se resuelve simultáneamente de formaimplícita. Aunque las soluciones implícitas son más

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complicadas, son más estables. Muchos de losmodelos de flujo subterráneo resuelven un esquemade diferencias finitas implícito para aproximar laecuación de flujo.

A continuación se considera una ecuación de flujosubterráneo bidimensional para un acuífero hetero-géneo y anisótropo, en el que el sistema de coorde-nadas está alineado con los ejes principales del ten-sor de transmisividad. Se puede aproximar mediantela siguiente ecuación en diferencias finitas para elnodo (i,j) según:

(4.21)

donde qi,j es el caudal volumétrico de captación o derecarga en el nodo i,j, L3T−1. Esta formulación supo-ne que cualquier tensión, como la que se representacon qi,j, se aplica en toda el área de la superficie dela celda i,j y no en un punto (o en nodo i,j). Estoimplica que si el pozo de bombeo se representa enel nodo i,j, entonces el nivel se ha de calcular comosi la captación se hiciese desde un pozo con un áreade la superficie del pozo igual a ∆x∆y y no desde elpunto real. En la Ec.4.21 los términos de transmisivi-dad representan las medias armónicas de la transmi-sividad de las dos celdas adyacentes. Se supone quela media armónica es apropiada y consistente con lahipótesis de que la transmisividad es constante y uni-forme dentro de cada celda, pero puede ser diferen-te entre las diversas celdas. En otras situacionesresulta más apropiado utilizar otros tipos de mediaspara obtener la transmisividad en cada bloque. Estosuaviza la distribución de la transmisividad (Goode yAppel 1992).

4.5.2 BASES DE LOS MÉTODOS DEELEMENTOS FINITOS

El método de elementos finitos (MEF) es una técnicade análisis numérico para aproximar las solucionesde una gran número de problemas en física e inge-niería. El método se utilizó originariamente en losproblemas de mecánica estructural, pero actualmen-te se usan en todos los campos de la mecánica con-tinua. Huebner (1975) describe cuatro aproximacio-nes diferentes para formular el método de elemen-tos finitos, que son: el método directo, el métodovariacional, el método de residuos ponderados y elmétodo del balance de la energía (Huebner 1975).En los problemas de agua subterránea el métodoque es más habitual es el de los residuos ponderadoso el variacional.

El método de elementos finitos (MEF) emplea el con-cepto de la "aproximación por piezas". El dominiodel problema, que es la extensión del acuífero que sequiere simular, se divide en un sistema de elementoso piezas. Los elementos teóricamente pueden tenerformas y tamaños diferentes. La mayoría de los pro-gramas de ordenador del MEF utilizan un único tipode elemento, generalmente el triangular o el cuadri-látero. En el modelo de agua subterránea MODFE(Torak 1993; Cooley 1992) se utilizan elementostriangulares, mientras que en el modelo SUTRA (Voss1984) se usan cuadriláteros. Los valores puntuales dela variable de estado (por ejemplo, el nivel, la presióno la concentración) se calculan en cada nodo, querepresentan las esquinas o los vértices de los ele-mentos, y se utiliza una ecuación sencilla para des-cribir el valor de la variable de estado dentro del ele-mento. A esta sencilla ecuación se la denomina fun-ción base (de forma) y cada nodo que pertenece aun elemento posee una función base asociada. Lasfunciones base más sencillas que se utilizan son lasfunciones lineales. La solución de la ecuación dife-rencial del flujo (Ec.4.3) o del transporte (Ec.4.6) seaproxima mediante un conjunto de elementos en losque la variable de estado sólo varia linealmente den-

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Fig.4.4 Malla patrón que muestra la discretización temporal en cada nodo (i,j) en una malla bidimensional de diferenciasfinitas: (a) esquema explícito (diferencias hacia delante) y (b) esquema implícito (diferencias hacia atrás) (Konikow 1996).

tro del elemento. El sistema de ecuaciones de todoslos elementos aproxima la compleja distribución delnivel o de la concentración. Huyakorn y Pinder(1983), Huebner (1975), Zienkiewicz (1971), Wang yAnderson (1982), y Cooley (1992) han profundizadomás en estos métodos.

4.5.3 TÉCNICAS DE SOLUCIÓN MATRICIAL

Como ya se ha comentado, las aproximaciones dediferencias y elementos finitos proporcionan unaecuación algebraica para cada nodo. El sistema deecuaciones algebraicas se puede resolver numérica-mente a partir de dos o más métodos fundamenta-les: los directos o los iterativos. En los métodos direc-tos sólo se realiza una serie de operaciones pararesolver la ecuación matricial, lo que lleva a unasolución exacta pero con errores de redondeo. Losmétodos iterativos llegan a una solución por mediode un proceso de aproximaciones sucesivas. En estosse parte de un valor inicial de la solución, que vamejorando iterativamente hasta que se satisface undeterminado criterio de convergencia. Por lo tantoen estas técnicas la convergencia y el valor de la con-vergencia son una preocupación inherente.

Los métodos directos se pueden dividir aún mássegún su solución:

1) los que se resuelven por determinantes,

2) los que se resuelven por la eliminación sucesivade las incógnitas, y

3) los que se resuelven por inversión matricial.

Los métodos directos poseen dos desventajas princi-pales. Uno de los problemas está relacionado con elordenador, ya que supone grandes almacenes dedatos (memoria) y tiempos de computación grandespara aquellos problemas más complejos. La matriz espoco llena (contiene muchos ceros), y para minimi-zar el esfuerzo computacional se han propuestovarias técnicas. No obstante cuando los problemasson tridimensionales el problema del almacenamien-to de datos es aún peor en los métodos de diferen-cias finitas y elementos finitos. El segundo problemade los métodos directos es el redondeo. Como sehan de realizar muchas operaciones aritméticas, loserrores de redondeo se van acumulando para ciertostipos de matrices.

Los esquemas iterativos no necesitan reservar muchamemoria para almacenar las grandes matrices, loque resulta de gran ayuda cuando se quieren resol-ver problemas con un número elevado de incógnitas.Se han desarrollado numerosos esquemas; uno delos más comunes incluye los métodos sucesivos desobrerelajación, el método implícito iterativo de

dirección alternante, y el método implícito.

Como los métodos iterativos comienzan con unaestimación inicial de la solución, la eficiencia delmétodo dependerá de alguna manera de este valorinicial. Para acelerar los procesos iterativos se utilizanfactores de relajación y de aceleración.Desafortunadamente la definición de los mejoresvalores para estos factores depende de cada proble-ma. Además las aproximaciones iterativas necesitande un criterio de convergencia para parar el procesoiterativo. Uno de los valores óptimos para la toleran-cia de la solución, que se usa cuando los cálculos ite-rativos han convergido hacia una solución, tambiéndependen del problema. Si la tolerancia es demasia-do grande, las iteraciones paran antes de alcanzar lasolución numérica adecuada. Si la tolerancia esdemasiado pequeña, el proceso iterativo puede lle-gar a consumir mucho tiempo de CPU tratando debuscar la precisión numérica que puede ser ordenesde magnitud menor que la precisión de los datosexperimentales. En otros casos el proceso puedeincluso fallar por no alcanzar la convergencia desea-da y se tendría que volver a repetir todo el proceso.

Recientemente se ha desarrollado un método semii-terativo, conocido con el nombre de método del gra-diente conjugado. Una de las ventajas del métododel gradiente conjugado es que no necesita utilizar oespecificar los parámetros en cada iteración, lo queelimina este procedimiento parcialmente subjetivo.

4.5.4 CONDICIONES DE CONTORNO EINICIALES

Para obtener una solución única de la ecuación enderivadas parciales correspondiente a un determina-do proceso físico se necesita conocer más informa-ción sobre el estado físico del proceso. Esta informa-ción se obtiene a partir de las condiciones de con-torno e iniciales. Para los problemas estacionariossolo se necesitan las condiciones de contorno, mien-tras que para los problemas transitorios se debenespecificar tanto las condiciones iniciales como lasde contorno.

Las condiciones de contorno incluyen matemática-mente la geometría del contorno y los valores de lavariable de estado o su derivada normal al contorno.En términos físicos las condiciones de contorno delos modelos de agua subterránea son generalmentede tres tipos (Mercer y Faust 1981):

1) valor específicado (nivel o concentración),

2) flujo específicado (que corresponde a un gra-diente específicado del nivel o concentración), o

3) flujo de valor dependiente (o condición de con-

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torno mixta, en el que el flujo a través del con-torno se relaciona con la derivada normal y con elvalor).

El tercer tipo de condición de contorno se puede uti-lizar, por ejemplo, para representar el goteo o elintercambio entre un arroyo y un acuífero adyacen-te, en el que el valor puede cambiar con el tiempo aligual que cambia el nivel en el acuífero, a pesar deque el nivel el río pueda permanecer constante. Unacondición de contorno de flujo nulo es un caso espe-cial del segundo tipo de condición de contorno. Unode los problemas más destacables es el tipo de con-dición de contorno más apropiada para simular elacuífero que se esté estudiando.

Las condiciones iniciales son simplemente los valoresde las variables de estado que se fijan en cada puntodel medio al inicio de la simulación. Normalmente lascondiciones iniciales son la solución del problemaque se está considerando, pero en el estado estacio-nario. No obstante, si las condiciones iniciales seestablecen de tal manera que se produzca un flujotransitorio en el sistema al inicio de la simulación, esevidente que los niveles cambiarán durante la simu-lación, no sólo en respuesta a las alteraciones provo-cadas por el nuevo bombeo, sino como consecuen-cia también de las condiciones iniciales (Franke et al.1987).

4.6 DISEÑO DEL MODELO, DESARROLLO YAPLICACIÓN

El primer paso en el diseño y en la aplicación de unmodelo es definir la naturaleza del problema y eva-luar el objetivo del modelo. Aunque este paso inicialresulte obvio, es importante tenerlo en cuenta y nodesestimarlo por querer avanzar en la simulación delproblema. Este paso está muy relacionado con la for-mulación de un modelo conceptual, que es otro delos requisitos previos a la simulación del modelo.Cuando se formula un modelo conceptual se debenevaluar los procesos significativos en el sistema quese investiga. Entre todos los procesos hay algunosque son indispensables en una escala espacial y tem-poral determinada, pero en otras escalas puedenresultar irrelevantes. El modelador ha de decidir ladimensión correcta del modelo numérico. Se necesi-ta tener un buen criterio para evaluar y sopesar com-promisos entre la precisión y el coste en relación almodelo y a los datos. En la modelación numérica esmás importante elegir un modelo conceptual ade-cuado para el tipo de problema que se está investi-gando que escoger un buen método de resoluciónnumérica o un buen código.

Una vez que se ha definido el modelo conceptual, sedebe elegir el código (o el modelo genérico) (modifi-

cado o construido) apropiado para el problema encuestión. El paso siguiente es adaptar el códigogenérico a la zona o región en cuestión que se quie-ra simular. El desarrollo de un modelo numéricodeterminista de parámetros distribuidos implicaseleccionar o designar las mallas espaciales y losincrementos de tiempo que lleven a una soluciónprecisa del sistema en cuestión. El modelador debeespecificar las propiedades del sistema (y sus contri-buciones), los esfuerzos realizados sobre el sistema(tales como la recarga y los caudales de bombeo), lascondiciones de contorno, y las condiciones iniciales(para los problemas transitorios). Las especificacio-nes de los parámetros y de las condiciones de con-torno son una parte importante del modelo concep-tual del sistema, y el modelo numérico inicial reflejael modelo conceptual del sistema realizado por elmodelador.

Recuérdese que un modelo es una aproximación deuna realidad muy compleja, y que el modelo se utili-za para simplificar esa realidad de manera que capteo represente las propiedades esenciales y los proce-sos relativos al problema en cuestión. Para desarro-llar un modelo de agua subterránea deterministapara una determinada área y con un objetivo con-creto se ha de seleccionar el nivel de complejidadadecuado (o, mejor dicho, de simplicidad). Aunqueel refinamiento de un modelo lleva a una precisiónmayor, existen también las restricciones empíricasasociadas a los datos. Un modelo tridimensionalpuede resultar muy largo de ejecutar, especialmentesi se incluyen procesos de transporte. La seleccióndel modelo adecuado y del nivel de complejidadapropiado es puramente subjetiva y depende del jui-cio y la experiencia del modelador, de los objetivosdel estudio y del nivel de información previa de quese disponga sobre la zona de interés. La disyuntivaque hay entre la precisión y el coste del modelo esuno de los problemas más difíciles de resolver, perosiempre se ha de resolver. En cualquier caso losencargados de gestionar el agua y los usuarios queutilizan los resultados del modelo deben tener encuenta que todas estos dilemas influyen en la credi-bilidad del modelo.

Generalmente resulta más difícil calibrar un modelode transporte de solutos de un acuífero que calibrarel modelo de flujo subterráneo. El número de pará-metros que se necesita para calcular la distribuciónde niveles del modelo de flujo es menor que el quese necesita para calcular las variaciones de la con-centración de un modelo de transporte de solutos.Como la velocidad de filtración del agua subterránease calcula a partir de la distribución de niveles, ycomo tanto el transporte advectivo como la disper-sión hidrodinámica son funciones de la velocidad defiltración, siempre se debe calibrar el modelo de flujo

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subterráneo antes que el de transporte. De hecho,una de las claves principales para entender un pro-blema de transporte de solutos en el campo es desa-rrollar un modelo de flujo preciso. Esto es particular-mente relevante en los sistemas fracturados, dondela simulación se basa en modelos conceptuales conmedios porosos. A pesar de que siempre se puedasimilar el campo de potenciales (o de niveles), elcampo de velocidades que se necesita puede conte-ner más errores.

4.6.1 DISEÑO DE LA MALLA

La dimensión del modelo debe elegirse durante laformulación del modelo conceptual. Si se seleccionaun modelo unidimensional o bidimensional, se debecumplir que la malla esté perfectamente alineadacon el sistema de flujo de manera que no haya flujoque entre o salga de la línea o del plano de la malla.Por ejemplo, si se trata de un modelo bidimensional,no debe haber componentes flujo verticales; losgoteos, entradas o flujos verticales debe estar teni-dos en cuenta en las condiciones de contorno; si seaplica un modelo bidimensional vertical, la traza dela sección transversal debe quedar alineada con unalínea de flujo areal, y no debe haber flujo lateralhacia el interior o hacia el exterior del plano de lasección transversal.

Para minimizar las fuentes de error numéricos se hade diseñar la malla del modelo utilizando la discreti-zación espacial y temporal más fina posible, lo queprovoca limitaciones en la memoria del ordenador yen el tiempo de ejecución. Se debe intentar, hastadonde sea posible, que la malla quede alineada conla disposición de la roca y con la dirección media delflujo subterráneo. Los contornos de la malla tambiéndeben quedar alineados, tanto como sea posible,con los límites hidrológicos y geológicos naturalesdel sistema de interés. Cuando no se pueda exten-der la malla hasta un límite natural, lo que se hace esimponer una condición de contorno apropiada en elextremo de la malla para representar los efectosnetos de la continuidad del sistema más allá de loque describe propiamente la malla. Esto normal-mente se consigue utilizando unas condiciones decontorno de flujo que son función del nivel piezo-métrico (tercer tipo). Estos contornos han de colo-carse lo más lejos posible del área de interés y de lasáreas en las que el sistema experimenta determina-dos esfuerzos, para minimizar así cualquier impactode los errores conceptuales asociados con estas con-diciones de contorno artificiales.

Al diseñar la malla, el cociente de la longitud y laanchura (o el cociente de forma o aspecto) de lasceldas o de los elementos debe mantenerse lo máspróximo posible a la unidad. Las celdas o los ele-

mentos lineales largos pueden provocar inestabilidado errores numéricos, que se han de evitar, especial-mente si el aspecto es mayor que cinco (Anderson yWoessner 1992).

Al especificar las condiciones de contorno de undeterminado problema y con una malla específica,se debe intentar no restringir mucho la solución delproblema. Esto es, si se fijan muchos valores depen-dientes en muchos de los nodos del contorno, nodosinternos o externos de la malla, el modelo tendrámuy poca libertad para calcular una solución admisi-ble. En un caso extremo, si se manipulan las condi-ciones de contorno se puede forzar cualquier solu-ción que se desee en cualquier nodo de la malla.Esto asegura un ajuste perfecto de los datos empíri-cos utilizados en la calibración, pero no indica que elmodelo elegido sea ni preciso ni fiable, y de hechoserá un modelo sin ningún valor.

Para optimizar los recursos computacionales en unmodelo se recomienda utilizar una malla irregular (ocon espaciado variable) en la que se discreticemucho más en aquellas zonas donde se acumulenlas tensiones; es decir, donde los gradientes sonmayores, donde hay más densidad de datos, dondeel problema es más crítico, y/(o) donde se requierauna precisión numérica mayor. Se aconseja incre-mentar el espaciado de la malla en un factor inferiora dos entre las celdas o elementos adyacentes. Deigual manera, los pasos de tiempo se pueden incre-mentar geométricamente durante una simulación.En los tiempos iniciales o después de que se produz-ca un cambio en el régimen de tensiones, se han deimponer pasos de tiempo muy pequeños, que es loque pasa cuando se tienen los mayores cambios deun periodo de tiempo. Al aumentar el lapso de tiem-po, la tasa de cambio del nivel normalmente dismi-nuye, de manera que se pueden aumentar los pasosde tiempo en un factor de dos o mayor, de manerasegura.

Como la transmisividad es una propiedad del medioporoso, los términos de productos cruzados del ten-sor transmisividad normalmente pueden eliminarsede la ecuación rectora del flujo al alinear la malla delmodelo con los ejes principales del tensor transmisi-vidad. Esto no siempre es posible con el tensor dedispersión de la ecuación de transporte ya que serelaciona con, y depende de la dirección del flujo,que cambia su orientación en el espacio y en el tiem-po. En general no se puede diseñar una malla fijaque esté siempre alineada con el campo de flujo.

4.6.2 CALIBRACIÓN DEL MODELO

Los modelos de agua subterránea deterministasimponen muchas restricciones a los datos experi-

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mentales para poder definir todos los parámetros entodos los nodos de una malla. Para determinar úni-camente la distribución de los parámetros en un pro-blema de campo se necesitan muchos ensayos decampo, y son tan caros que rara vez se pueden rea-lizar por problemas económicos o técnicos. Por estemotivo se dice que el modelo representa típicamen-te un intento por resolver un gran sistema de ecua-ciones simultáneamente, en el que el número deincógnitas supera al de ecuaciones. Por consiguientela solución del problema no es única.

La incertidumbre de los parámetros lleva lógicamen-te a desconfiar de las interpretaciones y prediccionesque se basan en un análisis del modelo, a menos quese demuestre que el modelo es una representaciónrigurosa del sistema real. Para demostrar que unmodelo de agua subterránea determinista es realis-ta, normalmente se comparan las observaciones decampo de las repuestas del acuífero (tales como loscambios en los niveles del agua en el caso del flujo olos cambios en las concentraciones en el caso deltransporte) con los valores correspondientes calcula-dos por el modelo. El objetivo de este proceso decalibración consiste en minimizar las diferenciasentre los datos observados y los calculados.Generalmente se considera que el modelo está cali-brado cuando representa los datos históricos dentrode unos niveles aceptables de precisión. El nivel deprecisión se determina de forma subjetiva. Mientrasque un ajuste pobre refleja claramente la existenciade errores en el modelo, un buen ajuste por si mismono demuestra la validez o la precisión del modelo(Konikow y Bredehoeft 1992).

Como consecuencia del gran número de variablesdel sistema de ecuaciones que representa el modelo,la calibración no proporciona un único conjunto deparámetros. Cuando el ajuste es pobre, se suponeque se debe a (i) un error en el modelo conceptual,(ii) un error en la solución numérica, o (iii) un escasoconjunto de valores de los parámetros. No se puededistinguir entre las diferentes fuentes de error(Konikow y Bredehoeft 1992). Incluso cuando elajuste de los datos históricos es bueno, el modelopuede no predecir las respuestas futuras de formaprecisa, especialmente bajo un conjunto de esfuer-zos nuevos o más extensos con respecto a los que seutilizaran durante el periodo de calibración.

En ocasiones la calibración del modelo subterráneodeterminista se realiza mediante un tanteo de losdatos de entrada del modelo (las propiedades delacuífero, las fuentes y los sumideros, y las condicio-nes de contorno e iniciales) para modificar las salidasdel modelo. Como existe una gran variedad de fac-tores correlacionados que afectan a las salidas delmodelo, este proceso de calibración manual puederesultar muy subjetivo e ineficiente. Los avances rea-

lizados en los procesos de identificación de paráme-tros ayudan a eliminar algunas de las subjetividadesinherentes en la calibración del modelo (Cooley1982; Knopman y Voss 1987; Neuman 1980;Wagner y Gorelick 1986; Yeh 1986). Las recientesaproximaciones tratan la calibración del modelocomo si fuese un proceso estadístico. De esta mane-ra las múltiples aproximaciones de regresión permi-ten la construcción, la aplicación y la calibraciónsimultánea de un modelo utilizando datos inciertos,para poder calcular las incertidumbres de las salidasdel modelo y de sus predicciones (Cooley et al.1986).

Incluso con los modelos de regresión el factor másimportante a la hora de calibrar el modelo de formaprecisa y eficiente sigue siendo la experiencia y el jui-cio hidrológico del modelador, incluso cuando se uti-lizan programas automatizados. En cualquier caso elmodelador debe estar familiarizado con el área deestudio en cuestión para comprobar que tanto labase de datos empírica como el modelo numéricorepresentan adecuadamente las condiciones queprevalecen en el campo. El modelador debe conocertambién que durante el proceso de calibración sedebe evaluar la incertidumbre al especificar las fuen-tes, los sumideros y las condiciones de contorno einiciales, de la misma manera que se hace con laincertidumbre de las propiedades del acuífero.Cuando no se identifican las incertidumbres inhe-rentes tanto en los datos de entrada como en los desalida de la calibración se llega a un “afinamiento”del modelo mediante ajustes artificiales de paráme-tros para mejorar los ajustes entre las variablesobservadas y las calculadas. Esto sólo sirve paraaumentar equívocamente la confianza en el modelosin producir ningún aumento equivalente en la pre-cisión de sus predicciones.

La Fig.4.5 muestra de manera general el uso y elpapel de los modelos deterministas en el análisis delos problemas subterráneos. El modelo se valora enfunción de su capacidad para integrar los datos de lazona de estudio mediante ecuaciones que describanlos procesos relevantes de forma cuantitativa, parapredecir los cambios o las respuestas de un sistemasubterráneo. Debe existir la posibilidad de retroali-mentación durante la etapa de interpretación delmodelo, tanto de la fase de toma de datos y análisis,como para la conceptualización y la definición mate-mática de los procesos relevantes. Uno de los objeti-vos de la calibración del modelo es la mejora delmodelo conceptual del sistema. Como el modelointegra numéricamente los efectos de muchos facto-res que afectan el flujo subterráneo o al transportede solutos, los resultados calculados deben ser inter-namente consistentes con los datos de entrada, y sepueden determinar siempre que se revise cualquierelemento del modelo conceptual. De hecho los con-

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ceptos o interpretaciones previas de los parámetroso las variables del acuífero, como los mapas con laspotencias del sistema o la especificación de las con-diciones de contorno, deben revisarse durante lacalibración como resultado de la retroalimentación apartir de las salidas del modelo.

Fig.4.5 Uso y papel de los modelos en el análisis de losproblemas subterráneos (Konikow 1996).

Las técnicas automáticas de estimación de paráme-tros mejora la eficiencia de la calibración del mode-lo. Consta de dos componentes generales: una parteque calcula el mejor ajuste (algunas veces se deno-mina ajuste histórico automático) y una segundaparte que evalúa las propiedades estadísticas delajuste. El objetivo del ajuste histórico automático esobtener las estimaciones de los parámetros del siste-ma que ajusta mejor (desviaciones mínimas) losdatos observados y los cálculos del modelo. Uno delos criterios más comunes es la desviación por míni-mos cuadrados. El proceso de minimización utilizaunos coeficientes de sensibilidad que se basan en elcambio del valor calculado dividido entre el cambiodel parámetro. Por ejemplo, en el caso del flujo deagua subterránea este factor puede tomar la formaespecífica de ∂h/∂t, que es el cambio del nivel alcambiar la transmisividad. Los mismos coeficientesde sensibilidad pueden ser útiles a la hora de teneren cuenta una nueva colección de datos empíricos.

UCODE es un programa recientemente publicadoque consiste en la modelación inversa, propuestocomo un problema de estimación de parámetros queutiliza regresiones no lineales (Poeter y Hill 1998).UCODE es un programa extremadamente general ypotente ya que se puede utilizar en casi todos losmodelos o sistemas de modelos. Uno de los pará-metros a estimar puede ser una cantidad que apa-rezca en los ficheros de entrada del modelo(s), o quese use conjuntamente con las funciones que defineel usuario para calcular una cantidad que aparezca

en los ficheros de entrada. UCODE calcula las sensi-bilidades y las medidas estadísticas que se utilizanpara evaluar los valores de los parámetros y cuantifi-car la posible incertidumbre de los valores simuladospor el modelo. Hill (1998) ha documentado métodosy guías para realizar la calibración moderna demodelos a partir de la modelación inversa, de mane-ra que el modelo resultante sea tan preciso y útilcomo sea posible (Hill 1998). Hill demostró que laobtención de buenos resultados con la modelacióninversa depende de (i) de la definición de un proble-ma inverso viable a partir de simplificaciones apro-piadas del sistema que se está investigando y (ii) deluso inteligente de las estadísticas generadas a partirde las sensibilidades calculadas y del ajuste entre losvalores observados y los calculados.

4.6.3 ERROR DEL MODELO

Las discrepancias entre las respuestas observadas ylas calculadas del sistema ponen de manifiesto loserrores del modelo matemático. Al aplicar los mode-los del agua subterránea a los problemas de campo,existen tres fuentes de error (Konikow y Bredehoeft1992). Una de las fuentes son los errores concep-tuales; es decir, concepciones teóricas erróneas delos procesos fundamentales que se incorporan en elmodelo. Entre los errores conceptuales están la omi-sión de procesos relevantes y la representación ina-propiada de los procesos. Algunos de los ejemplosde estos errores son la aplicación de un modelobasado en la ley de Darcy en un medio o en unambiente donde la ley de Darcy no es apropiada, oel uso de un modelo bidimensional cuando existenflujos y transportes importantes en la tercera dimen-sión. Otra de las fuentes de error son los erroresnuméricos que aparecen con el algoritmo de resolu-ción de las ecuaciones. Estos incluyen los errores detruncamiento, los de redondeo y la dispersión numé-rica. La tercera fuente de error surge de las incerti-dumbres y falta de idoneidad de los datos de entra-da, que reflejan la incapacidad para describir deforma comprensiva y única las propiedades, tensio-nes y contornos del acuífero. En muchas de las apli-caciones de los modelos los problemas e incertidum-bres de conceptualización de los datos son las fuen-tes de error más comunes.

Generalmente los métodos numéricos proporcionansoluciones aproximadas de las ecuaciones rectoras.Existe un determinado número de fuentes de errornumérico en la solución. Si el modelador se da cuen-ta de la fuente y de la naturaleza de estos errores,pueden controlar e interpretar los resultados en fun-ción de los mismos. Al resolver los problemas detransporte dominados por la advección, en los queun frente relativamente abrupto (o un fuerte gra-

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diente de concentración) se mueve a través del siste-ma, resulta numéricamente difícil preservar la formaabrupta del frente. Obviamente si la anchura delfrente es menor que el espaciado entre nodos, resul-ta imposible calcular los valores correctos de la con-centración en la proximidad del frente abrupto.Incluso en aquellas situaciones en las que el frente esmenos abrupto, la técnica de solución numéricapuede calcular un flujo de dispersión mayor del quese produciría simplemente con la dispersión física oque corresponde a una solución exacta de la ecua-ción rectora. A la parte de la dispersión calculadaque surge del algoritmo de resolución numérica se ladenomina dispersión numérica, como se compruebaen la Fig.4.6. Como la interpretación hidrológica delos datos isotópicos es sensible a los fenómenos demezcla en un acuífero, la mezcla numérica (o disper-sión) puede presentar el mismo aspecto de la inter-pretación de los valores isotópicos calculados con elmodelo. Por este motivo debe tenerse un especialcuidado al buscar y minimizar los errores numéricosque puedan introducir artificialmente mezcla“numérica” sobre la mezcla calculada que se atribu-ye a los procesos físicos y químicos.

La Fig.4.6 muestra las curvas de llegada calculadaspara un problema hipotético de flujo y transporteuniforme que va hacia la derecha, un tiempo despuésde haber inyectado aguas arriba una concentraciónrelativa de trazador de 1,0 y a una cierta distancia. Lacurva A representa la curva de llegada y la posiciónde un frente abrupto sin dispersión (flujo de pistón).La curva B representa una solución analítica exacta deun caso con dispersividad. La curva C muestra lacurva de llegada calculada mediante un métodonumérico que introduce dispersión numérica.

Al reducir el espaciado de la malla (∆x y ∆y) se puedecontrolar la dispersión numérica. Sin embargo lareducción del espaciado hasta llegar a un nivel acep-table lleva al aumento excesivo de los nodos de lamalla para una región particular, lo que provoca quelos costes computacionales sean demasiado eleva-dos (Peaceman 1977). La dispersión numérica tam-bién se puede controlar en los métodos de elemen-tos finitos utilizando funciones base de orden supe-rior o ajustando la formulación de las ecuacionesdiferenciales (a partir de diferentes combinacionesdel tiempo y/o del espacio hacia delante, hacia atráso centradas, o utilizando funciones ponderadas).Desafortunadamente muchas de las aproximacionesque eliminan o minimizan la dispersión numéricaintroducen un comportamiento oscilatorio, lo queprovoca valores mayores de lo normal detrás delfrente y valores menores delante del frente (véase lacurva D de la Fig.4.6), y viceversa. Los valores infe-riores a los reales pueden surgir debido al cálculocon concentraciones negativas, lo que evidentemen-te no es realista. Por otra lado la sobreestimación

puede inducir errores de igual magnitud que haganimposible diferenciarlos, ya que el valor en este casoes positivo (son valores mayores que la concentra-ción de la fuente, lo cual no es nada realista).Normalmente las oscilaciones no inducen ningúnerror en el balance de masas, y a menudo se amor-tiguan con el paso del tiempo. No obstante en algu-nos casos el comportamiento oscilatorio se descon-trola, lo que provoca que la solución sea inestable oque no se alcance la convergencia numérica.

Al resolver la ecuación de transporte advectivo-dis-persivo, aparecen errores numéricos (principalmentelas oscilaciones) que pueden estar relacionados conlos grupos (o los números) de parámetros bidimen-sionales. Uno de estos números es el de Péclet, quese define como Pe = ∆l/α, donde ∆l es el espaciadonodal característico (notese que existen varias alter-nativas para definir Pe, que en esencia son equiva-lentes). Anderson y Woessner (1992) recomiendanque al diseñar la malla se cumpla que ∆l < 4α (o Pe <4), sin embargo Ségol (1994) recomienda el criteriode Pe < 2 (Anderson y Woessner 1992; Ségol 1994).De igual manera, la discretización temporal se rela-ciona con el parámetro de Courant, que se definecomo Co = V∆t/∆l (Anderson y Woesser 1992).Anderson y Woessner (1992) también recomiendanque los pasos de tiempo cumplan ∆t < ∆l / V (oCo<1,0), que es equivalente a exigir que el desplaza-miento del soluto por advección en cada paso detiempo no supere una celda o un elemento. Las des-viaciones de las curvas C y D respecto de la soluciónexacta es significativa en algunos puntos, aunquedichos errores tienden a minimizarse en el centro delfrente (con una concentración relativa de 0,5).

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Fig.4.6 Curvas de llegada representativas en un problemasencillo de flujo y de transporte para mostrar los tipos deerrores numéricos que pueden ocurrir en la soluciónnumérica de la ecuación de transporte: (A) flujo de pistónsin dispersión, (B) solución “exacta” del transporte condispersión, (C) solución numérica para el caso B que mues-tra los efectos de la dispersión numérica, y (D) soluciónnumérica para el caso B que muestra un comportamientooscilatorio (Konikow 1996).

Los errores numéricos al resolver la ecuación detransporte son proporcionalmente más grandes enlos métodos numéricos clásicos allí donde las con-centraciones relativas (o adimensionales, C/Cmax)son menores. Dougherty y Bagtzoglou (1993)demuestran que el cociente del error de la señal (odel ruido de la señal) puede ser bastante grande(>0,1) allí donde las concentraciones relativas soninferiores a 0,01. En los análisis isotópicos de los sis-temas de acuíferos, las muestras de las áreas deinterés frecuentemente reflejan concentracionesinferiores a 0,01 veces la concentración de la fuente,de manera que no se debe subestimar este proble-ma.

En los modelos de transporte el efecto de la orienta-ción de la malla puede ser también importante. Ladistribución del soluto, calculada para las mismaspropiedades y condiciones de contorno, puedevariar en función del ángulo del flujo en relación conla malla. Este fenómeno guarda una relación estre-cha con los términos de los productos cruzados de laecuación rectora, y aunque generalmente no es unafuente importante de error, el modelador debetenerla en cuenta.

4.6.4 BALANCE DE MASAS

Una manera de medir la precisión de un modelo escomprobar la conservación de la masa. Esto se hacecomparando los flujos netos calculados o especifica-dos en el modelo (por ejemplo, los flujos de entraday las fuentes menos los flujos de salida y los sumide-ros) con los cambios en el almacenamiento (acumu-lación o agotamiento). Los cálculos del balance demasas siempre se han de realizar y comprobardurante el proceso de calibración para ayudar a bus-car la precisión de la solución. Una parte de estoscálculos debe de ser la separación de la contribuciónde los distintos componentes hidrológicos en los flu-jos hidráulicos y químicos del modelo de flujo y detransporte para obtener unos balances hidrológicosy químicos del sistema que se está estudiando. Losbalances son unas herramientas muy importantesporque proporcionan una medida de la importanciarelativa de cada componente en el balance total.

Los errores del balance de masas de los modelos deflujo son generalmente inferiores al 0,1%. No obs-tante, como la ecuación de transporte de solutos esmás complicada de resolver numéricamente, el errordel balance de masas del soluto puede superar al delfluido, pero esto depende también de la naturalezadel método numérico implementado. Los métodosde diferencias finitas y elementos finitos conservan lamasa, mientras que otros métodos, como el de las

características o el de seguimiento de partículas noconservan la masa (o sus cálculos del balance demasas son simples aproximaciones). Debe recordarseque mientras que un error grande del balance demasas proporciona una solución numérica pobre, unbalance de masas perfecto por si mismo no demues-tra que la solución obtenida sea la verdadera o queel modelo considerado sea el correcto. Esto se debea que un modelo en el que los errores se compensenpuede proporcionar también un balance de masasperfecto. Por ejemplo, las soluciones C y D de laFig.4.6, que muestran una dispersión numérica o uncomportamiento oscilatorio significativo, provienende unas soluciones que presentan un balance demasas casi perfecto, pero continúan siendo erróne-as.

4.6.5 ENSAYOS DE SENSIBILIDAD

La consideración de diversos valores de los paráme-tros de ajuste también ayuda a conseguir otro obje-tivo del proceso de calibración, principalmente paradeterminar la sensibilidad del modelo respecto a losfactores que afectan al flujo y al transporte subterrá-neo, y los errores por incertidumbres de los datos. Alevaluar la importancia relativa de cada factor ayudaa determinar que datos deben definirse de formamás precisa y qué datos pueden ser menos específi-cos. Si se pueden medir más datos en el campo, esteanálisis de sensibilidad ayuda a decidir que tipos dedatos son más críticos y como conseguir la mejorinformación en función del coste adicional de lanueva colección de datos. Si no se puede disponerde datos adicionales, los ensayos de sensibilidadpueden ayudar a buscar la fiabilidad del modelodemostrando el efecto que puede provocar un cier-to rango conocido de incertidumbre o error de losdatos de entrada en los datos de salida del modelo.Las sensibilidades relativas de los parámetros queafectan al flujo y al transporte pueden variar de unproblema a otro. Además las sensibilidades puedencambiar a lo largo del tiempo a medida que el régi-men de esfuerzos de un sistema evoluciona. Por lotanto se puede concluir que el análisis de sensibili-dad debe realizarse durante los primeros estadios delestudio del modelo.

También se ha de evaluar la sensibilidad de la solu-ción respecto del diseño de la malla (o de la discreti-zación espacial), el criterio del paso de tiempo, eltipo y la localización de las condiciones de contorno,y de otros parámetros numéricos, incluso si se utilizaun método de problema inverso o de modelaciónpor regresión. Generalmente este punto se omite, loque puede llevar a fallos en el diseño, que puedenpermanecer ocultos. Por ejemplo, los modelos deestimación de parámetros no pueden calcular la sen-

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sibilidad respecto de la discretización espacial o res-pecto de ciertas condiciones de contorno fijadas porel usuario. Una aproximación general que funcionaconsiste en volver a ejecutar el programa para losmismos esfuerzos o propiedades utilizando unamalla más fina, unos pasos de tiempo más peque-ños, y quizá unas condiciones de contorno alternati-vas después de realizar una calibración preliminar delmodelo. Si este proceso proporciona unos resultadossignificativamente diferentes, implica que se ha devolver a calibrar el modelo utilizando unos criteriosde diseño que lleven a una solución numérica másprecisa. Si este proceso no proporciona diferenciassignificativas, la malla menos discretizada es proba-blemente la más adecuada para este problema.

4.6.6 CRITERIOS DE CALIBRACIÓN

El proceso de calibración del modelo se ha de enten-der como un proceso evolutivo en el que los ajustesy las aproximaciones sucesivas del modelo se han debasar en los resultados de las simulaciones anterio-res. El modelador decide cual es el número de ajus-tes suficientes para representar los parámetros y losprocesos, es decir, cuando el modelo está totalmen-te calibrado (o rechazar el modelo si se compruebaque las aproximaciones alternativas son inadecua-das). Esta es una decisión que se basa en una mez-cla de criterios subjetivos y objetivos. Conseguir unbuen ajuste entre los valores observados y los calcu-lados es un proceso de regresión y se puede evaluarcomo tal. Esto es, los errores residuales deben teneruna media próxima a cero y las desviaciones debenser mínimizadas. Cooley (1977) ha investigado variosmétodos estadísticos que se pueden utilizar paraconseguir la fiabilidad y el “ajuste preciso” de losmodelos de flujo subterráneo. Los ensayos de preci-sión deben aplicarse al mayor número de variablesdependientes que sea posible. Los tipos de datosobservados más útiles en la calibración del modeloson los cambios en los niveles piezométricos y en laconcentración a lo largo del espacio y del tiempo, yla cantidad y calidad de las descargas de agua sub-terránea desde el acuífero.

Al igual que es importante evaluar la precisión delmodelo cuantitativamente, también lo es el demos-trar que las variables dependientes que son la basede los ensayos de precisión son indicadores fiablesdel poder computacional y de la precisión del mode-lo. Por ejemplo, si una variable dependiente es rela-tivamente poco sensible a los parámetros rectores, elhecho de que exista una mayor correlación entre losvalores observados y calculados no implica un nivelsuperior de precisión del modelo completo.

Del mismo modo, cuando los “datos observados”contienen un elemento con una interpretación sub-

jetiva, se ha de tener una precaución especial. Porejemplo, en muchas ocasiones la calibración de lasuperficie potenciométrica o la distribución de laconcentración se utiliza como base para calibrar losmodelos de agua subterránea. No obstante unasuperficie dada por isolíneas es interpretativa ypuede ser una base débil para calibrar el modelo, yaque incluye una variabilidad o un error que surge delproceso de trazado de isolíneas, que se suma a loserrores de medida presentes en los datos observadosen determinados puntos.

4.6.7 PREDICCIONES Y POSTAUDITORIAS

Como la calibración del modelo y la estimación delos parámetros están relacionadas con un conjuntode datos históricos, el rango de confianza y fiabilidaddel proceso de calibración es proporcional a la cali-dad y extensión del registro histórico. El tiempodurante el cual se realizan las predicciones con unmodelo calibrado debe estar también relacionado ylimitado por la longitud del registro histórico. Unarecomendación razonable es predecir sólo duranteun tiempo comparable al del periodo del ajuste.

La precisión de las predicciones del modelo es lamejor indicación de su fiabilidad. Sin embargo laprecisión de la predicción se puede evaluar sólo des-pués de haber predicho. Anderson y Woessner(1992) han resumido varios de los estudios publica-dos en los que se evaluó la precisión de la predicciónde un modelo de agua subterránea deterministasiete años después de que se hiciese la predicción.Los resultados sugieren que las extrapolaciones tem-porales rara vez son precisas. Los errores de predic-ción a menudo se relacionan con la brevedad deltiempo utilizado en el ajuste histórico, que impideque el modelo capte un elemento importante del sis-tema o que se obtenga un modelo conceptual com-pleto. Por ejemplo, los procesos y las condiciones decontorno que son despreciables o poco significativasdurante el régimen de esfuerzos del pasado y delpresente, pueden llegar a ser un factor no trivial oincluso dominante bajo una serie diferente deesfuerzos. Así que un modelo conceptual que seobtiene del comportamiento observado de un siste-ma de agua subterránea puede ser inadecuado parael futuro, cuando aumenten los esfuerzos vigentesen el sistema o cuando se añada a otro tipo deesfuerzos. Una de las fuentes más grandes de errorde predicción es en primer lugar la incertidumbreasociada a los esfuerzos futuros, que generalmentedepende de la demografía, de los factores políticos,económicos y/(o) sociales. Pero si se puede estimar elrango o la probabilidad de los esfuerzos futuros, sepodrá predecir también el rango o la probabilidad delas respuestas futuras del sistema. Una tendencia

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optimista es que muchos investigadores están inten-tando fijar los límites de confianza de las prediccio-nes que surgen de la incertidumbre de las estimacio-nes de los parámetros. No obstante, estos límites deconfianza no limitan los errores que surgen de laselección de un modelo conceptual erróneo o proce-dentes de los problemas de los algoritmos de la solu-ción numérica (Bredehoeft y Konikow 1993).

Si se va a utilizar un modelo en la predicción de unproblema o un sistema que es de sumo interés parala sociedad, los registros de campo han de ser conti-nuos y el modelo debe ser revisado y recalibradoperiódicamente para incorporar la nueva informa-ción obtenida, como los cambios en los esfuerzos olas revisiones del modelo conceptual considerado.Una revisión es una forma de evaluar la naturaleza yla magnitud de los errores de la predicción, quepuede llevar a un mejor entendimiento del sistema yde su importancia. Las predicciones revisadas pue-den ser más fiables.

4.6.8 VALIDACIÓN DEL MODELO

Normalmente las personas que aplican los modelosde agua subterránea y los que toman las decisionesen función de los resultados del modelo son los queaseguran la validez del modelo. Los modelos deagua subterránea son el resultado de varias teorías ehipótesis científicas. Karl Popper (1959) argumentaque “como científicos no se puede nunca validaruna hipótesis, sólo se puede invalidar”. Se ha aplica-do la misma filosofía a los modelos de agua subte-rránea (Konikow y Bredehoeft 1992; Oreskes et al.1994).

El criterio que indica si un modelo está validado estotalmente subjetivo. En la práctica la validación serealiza a través del mismo proceso, que es típica-mente y más correctamente denominado calibra-ción; es decir, se comparan los cálculos con las medi-das de campo o de laboratorio. No obstante la nounicidad de las soluciones del modelo implican quese puede obtener un buen ajuste a partir de unmodelo inadecuado o erróneo. Como la definiciónde “bueno” es subjetiva, bajo las definiciones ope-racionales comunes de la validación, un modeladorcompetente puede considerar que un determinadomodelo es válido mientras que otro utilizando losmismos datos puede demostrar que el modelo esinválido. El hecho de declarar que un modelo deagua subterránea está validado lleva consigo todoun conjunto de correcciones que muchos modelado-res no tendrían en cuenta (Bredehoeft y Konikow1993). Como la determinación de que un modeloestá o no está “validado” no tiene nada de objetivoni de científico, esta “certificación” hace que setenga una cierta desconfianza con respecto a dichos

modelos. Konikow y Bredehoeft (1992) recomien-dan que no se aplique el término validación a losmodelos de agua subterránea.

4.7 CASO HISTÓRICO: FLUJO YTRANSPORTE A ESCALA LOCAL EN UNACUÍFERO SUPERFICIAL NOCONFINADO

Reilly et al. (1994) han combinado la aplicación delos trazadores ambientales y la modelación numéricadeterminista para analizar y estimar los caudales derecarga, los caudales, las líneas de flujo y las propie-dades de mezcla de un sistema subterráneo pocoprofundo, cerca de Locust Grove, al Este deMaryland, en Estados Unidos. El estudio se ha reali-zado dentro del Programa de Investigación de laCalidad del Agua llevado a cabo por el InstitutoGeológico Norteamericano con el objetivo de obte-ner las líneas de flujo y las estimaciones del tiempode desplazamiento necesarios para entender e inter-pretar las tendencias de la calidad del agua en lospozos en los que se realizan registros periódicos y enlos caudales de los ríos principales. La zona de estu-dio se encuentra en la península de Delmarva, quecuenta con un terreno agrícola de unos 2,6⋅107 m2.El acuífero superficial incluye arenas y gravas perme-ables no consolidadas, con un grosor entre los 6 m ylos 20 m. Bajo este acuífero superficial existe unosdepósitos de limos y arcillas, que forman una unidadconfinada.

En este estudio se han analizado los clorofluorocar-buros (CFC) y el tritio a partir de un número deter-minado de muestras de agua recogidas en los pozosde observación para estimar la edad del agua subte-rránea en cada punto de observación y a cada pro-fundidad. Como los errores y las incertidumbres serelacionan con las estimaciones de la edad basadasen los trazadores ambientales, de la misma maneraque se relacionan con los modelos deterministas delflujo y el transporte subterráneo, los autores hanaplicado un proceso de realimentación o un procesoiterativo basado en las comparaciones de las estima-ciones independientes del tiempo de trayecto. Estaaproximación se representan en la Fig.4.7. Cada unode los trabajos que se presenta tienen como objeti-vo mejorar las estimaciones de los parámetros o elmodelo conceptual del sistema.

Los cálculos preliminares (primer estudio) se han uti-lizado para establecer los límites de la plausibilidadde los resultados de las simulaciones y los análisisquímicos más complejos. En la calibración de primerorden del modelo de flujo subterráneo (segundoestudio) se ha obtenido una conceptualización inicialdel sistema. El tercer estudio consiste en una calibra-ción de segundo orden y un análisis en el que inter-

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vienen el transporte advectivo, que proporciona esti-maciones cuantitativas de los caminos del flujo y deltiempo de desplazamiento para poder compararloscon los que se han obtenido de los análisis CFC. Elcuarto estudio consiste en aplicar un modelo detransporte de solutos para simular las concentracio-nes del tritio en el sistema de flujo subterráneo en elque intervienen los procesos de advección, los dedispersión, la desintegración radioactiva y las fun-ciones de entrada variables en el tiempo (concentra-ción original).

Los pozos de muestreo están situados a lo largo deuna línea de flujo. Se ha desarrollado un modelobidimensional en una sección transversal para simu-lar los procesos que tienen lugar a lo largo de estalínea de flujo. Se ha utilizado el modelo del MOD-

FLOW (McDonald y Harbauch 1988) para simular elflujo subterráneo y el transporte advectivo. La mallade diferencias finitas consta de 24 capas y 48 colum-nas de nodos, donde cada celda tiene unas dimen-siones de 1,14 por 50,80 m, como se muestra en laFig.4.8, en la que también se muestran los pozosque cruzan la sección transversal. La simulación pre-tende representar unas condiciones de flujo estacio-nario medio.

Después de calibrar el modelo de flujo se hicieron losanálisis de las líneas de flujo y de los tiempos de des-plazamiento, seguidos de las comparaciones de lasedades estimadas con los CFC. La Fig.4.9 muestra laslíneas de flujo calculadas con el MODPATH (Pollock1989) después de la calibración de segundo ordencon el MODFLOW. La comparación con las estima-

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Trabajo: cálculos preliminares.

Método: cálculo de los rangos de los tiempos de desplazamiento hacia lospozos a partir de rangos conocidos de recarga y porosidad.

Objetivo: comprobar la consistencia de las edades de los CFC.

Trabajo: calibración de primer orden del modelo de flujo subterráneo.

Método: MODFLOW (McDonald y Harbauch 1988).

Objetivo: calibrar un modelo de flujo subterráneo a partir de niveles y flujosconocidos.

Trabajo: calibración de segundo orden del modelo de flujo subterráneo.

Método: MODFLOW Y MODPATH (Pollock, 1988, 1989 y 1990).

Objetivo: recalibrar un modelo de flujo subterráneo a partir de informaciónadicional sobre los tiempos de desplazamiento basados en la edaddel CFC, y calcular las líneas de flujo y los tiempos de desplaza-miento en los sistemas con agua subterránea.

Trabajo: simulación de las concentraciones detritio observadas.

Método: MOC (Konikow y Bredehoeft, 1978).

Objetivo: simular el transporte del tritio condesintegración radioactiva, y compro-bar la sensibilidad del sistema a la dis-persión. Corroborar también la posibi-lidad de un sistema de flujo advectivo.

Sistema de flujo advectivo simulado que seaplausible.

Evaluación de la conceptuación del sistemade flujo y transporte.

Fig.4.7 Diagrama de flujo con los pasos que se han de seguir para cuantificar las líneas de flujo en el sistema de flujo sub-terráneo de Locust Grove, Maryland (según Reilly et al. 1994).

Fig.4.8 Malla utilizada en la modelación de la sección transversal de Locust Grove. Se muestran las localizaciones de lospozos (según Reilly et al. 1994).

ciones con los CFC han sido buenas. Sin embargo,Reilly et al. (1994) han detectado que cerca del río,muchas de las líneas de flujo convergen, y la conver-gencia de las líneas de flujo que representan el rangocompleto de tiempos de desplazamiento presentesen el acuífero hacen que las aguas con diferentesedades se mezclen y se formen aguas con edadesmuy parecidas. Así que a la escala del modelo y conla discretización especial de éste, no se pueden dife-renciar las líneas de flujo cerca del río, ni tampoco sepuede representar de manera precisa la situación delas rejillas de cada pozo cercano al río. Después de lacalibración de segundo orden, la media de la raízcuadrada del error entre las edades simuladas y lasedades obtenidas con los CFC con 10 pozos alejadosdel río (esto es, excluyendo los pozos 159, 160, y161), se han obtenido 3,4 años.

Las concentraciones de 3H de las aguas de recargahan variado considerablemente durante los últimos40 años. Por lo tanto no siempre se puede calculartan fácilmente el tiempo de desplazamiento a partirde la concentración de 3H en la muestra de agua.Además la mezcla de las aguas que se han recargadodurante periodos en los que los cambios de las con-centraciones de entrada eran relativamente abruptosha hecho que las estimaciones del tiempo de despla-zamiento sean incluso más inciertas. Por este motivolos investigadores han simulado el transporte de solu-tos del 3H dentro del sistema utilizando un modelo

que tiene en cuenta la mezcla (dispersión), la desin-tegración radioactiva y las funciones de entrada tran-sitorias, lo que permite hacer una evaluación másprofunda sobre la consistencia de los resultados pre-vios del modelo de flujo y de transporte advectivo.Para conseguir este propósito aplicaron el modelo detransporte de solutos MOC de Konikow y Bredehoeft(1978) y Goode y Konikow (1989).

Los resultados de la simulación de la distribución del3H suponiendo (i) un modelo sin dispersión y (ii) unmodelo con un αL de 0,15 m y un αT de 0,015 m semuestran en la Fig.4.10. La simulación del casoextremo en el que no se considera la dispersión llevaa unos resultados aceptables y se ha utilizado comola mejor estimación de la distribución del 3H denoviembre de 1990 (Reilly et al. 1994). Este casoreproduce los gradientes abruptos de la concentra-ción necesarios para obtener los valores tan bajos deltritio que se han observado. El modelo MOC presen-

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Fig.4.9 Líneas de flujo (calculadas con el MODPATH des-pués de la calibración de segundo orden) de la seccióntransversal de Locust Grove que se dirigen hacia los pozosde observación; muestra el tiempo de desplazamiento (enaños) desde el nivel freático (según Reilly et al., 1994).

Fig.4.10 Distribución de 3H simulada a finales de 1990:(A) con dispersividad αL = 0,0 m y αT = 0,0 m, y (B) condispersividad αL = 0,15 m y αT = 0,015 m. Intervalo de 25UT. Concentraciones medidas a partir de las muestrasobtenidas en los pozos de la zona en noviembre de 1990expresadas en negrita e itálica (según Reilly et al., 1994).

ta ciertas ventajas con este problema ya que minimi-za la dispersión numérica y puede resolver las ecua-ciones de gobierno para αL = 0,0, lo que los mode-los de transporte basados en los métodos de dife-rencias o elementos finitos generalmente no puedenhacer. Los resultados de la simulación del transportede solutos son consistentes con el sistema de flujoadvectivo determinado a partir de la calibración desegundo orden, lo que corrobora el modelo concep-tual. Al acoplar los análisis del 3H con el modelo detransporte se obtiene información sobre los puntosen los que las concentraciones medidas y simuladasno concuerdan. En ellos se necesita un muestreoadicional cuando se ha de garantizar el refinamientodel modelo conceptual.

Este estudio demuestra que la combinación de lostrazadores ambientales y los métodos numéricos desimulación son métodos que se complementan yproporcionan un modo de estimar el caudal y elcamino que sigue el agua en un sistema de aguasubterránea. Reilly et al. (1994) han demostrado quelos trazadores ambientales y los métodos numéricostambién ofrecen una realimentación que permiteobtener una estimación más objetiva de las incerti-dumbres de los caudales estimados y de los caminosseguidos por el agua. Además los dos métodos faci-litan una explicación coherente de las líneas de flujoy de los caudales, a la vez que identifican los puntosdébiles en la comprensión del sistema. De estamanera se fijan aquellas zonas en las que se necesi-tan datos adicionales y en las que se requiere unmodelo conceptual más elaborado del sistema.

4.8 MODELOS DE AGUA SUBTERRÁNEADISPONIBLES

Se dispone de una gran número de modelos deter-ministas genéricos del agua subterránea, que sebasan en una variedad de métodos numéricos. Laselección de un método numérico o de un modelogenérico para un problema de campo particulardepende de varios factores, entre los que se encuen-tran la precisión, la eficiencia/coste y la utilidad. Losdos primeros factores están relacionados con lanaturaleza del problema, con los datos disponibles ycon la importancia de la investigación. La utilidad deun método puede depender de las bases matemáti-cas del modelador, ya que es preferible que el mode-lador entienda los métodos numéricos implementa-dos en el código. A veces es necesario modificar yadaptar el programa a problemas de interés especí-fico, lo que requiere realizar modificaciones en elcódigo fuente. Al seleccionar un modelo que esapropiado en una aplicación particular, resulta másimportante escoger uno que incorpore el mejormodelo conceptual; se puede evitar el ajuste forza-

do de un modelo inapropiado en una determinadasituación simplemente si el modelador está familiari-zado con el modelo. La utilidad depende también dela disponibilidad de programas de pre y postproceso,y de documentación fundamental.

Un gran número de organizaciones públicas y priva-das distribuyen soportes lógicos que son de dominiopúblico y (o) de propiedad para la modelación delagua subterránea. En la revisión de los modelos deagua subterránea que han realizado Anderson et al.(1992) enumeran 19 distribuidores de soportes lógi-cos independientes y proporcionan descripcionesbreves de varios de los códigos (Anderson et al.1992). La disponibilidad de los modelos en Internetestá en aumento. Algunas de las redes de nivel mun-dial permiten descargar códigos sin necesidad depagar, mientras que otras proporcionan informaciónrecogida en catálogos, demostraciones e informa-ción de los precios. El Centro de Modelación delAgua Subterránea Internacional (InternationalGround Water Modelling Center, Golden, CO)(http://www.mines.edu/igwmc/) tiene un centro dedistribución y de compensación de modelos de simu-lación del agua subterránea. Muchos de los códigosde dominio público del Instituto GeológicoNorteamericano se encuentran en la dirección deInternet http://water.usgs.gov/software/).

La página de Internet de los Hidrogeólogos(http://www.thehydrogeologist.com/) da una ideageneral de una red orientada al agua subterráneaque proporcionan enlaces con un gran número deredes que contienen soportes lógicos.

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