JIP^^ : Víiso d ü 1 · tos, unido a la platina que gira junto con el limbo. La arista entre las...
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CAPITULO 1 Lí!. cristalografía C úel griego Krystallos, cristal y Oraphein, escribir) e:-. la cjencia que estudia el ori- gen, creciniento.. forma externa, estructura i i' terna y propiedades físicas de l a materia cristalina. l,a crista lografía nació c<;n e l estudio gi.ométrico de la forma ex terna de Icis cristales. Un cristal se interpreta como un sólido honoReneo- que posee un orden geométrico interno ti- i dimensional de sus componentes: que ha jo condiciones favorables físico químicas puede c:", presar e:<ternamentG por Ta fi^rm ación - de superficies p'anas y pulidas. Cuando su p,r esentan síilidos homogéneos que c y recen de orden ii-terno, sr clasifican c(jmo un mineraloide o - sea una sustancia ar .orfa natural. Para obtener uua idea mejor de los cristales es n.? cesario tener pr espute que estos surgen en los cambioF- de la m.iteria; a er, te proceso so le cíjnoce como £ J" s _t a - l^_i £ a.£_i tín , teniendo muy er; cuenta y ctjmo primordiales los siguientes. A ) JIP^^ : Víiso d ü 1 estado líqui. do al sólido.
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C A P I T U L O 1
Lí!. c r i s t a l o g r a f í a C úel g r i e g o K r y s t a l l o s , c r i s t a l
y O r a p h e i n , e s c r i b i r ) e:-. l a c j e n c i a q u e e s t u d i a e l o r i
g e n , c r e c i n i e n t o . . f o r m a e x t e r n a , e s t r u c t u r a i i ' t e r n a y
p r o p i e d a d e s f í s i c a s d e l a m a t e r i a c r i s t a l i n a . l,a c r i s t a
l o g r a f í a n a c i ó c<;n e l e s t u d i o g i . o m é t r i c o d e l a f o r m a e x
t e r n a d e I c i s c r i s t a l e s .
Un c r i s t a l s e i n t e r p r e t a c o m o u n s ó l i d o h o n o R e n e o -
q u e p o s e e u n o r d e n g e o m é t r i c o i n t e r n o t i - i d i m e n s i o n a l d e
s u s c o m p o n e n t e s : q u e ha j o c o n d i c i o n e s f a v o r a b l e s f í s i c o
q u í m i c a s p u e d e c:", p r e s a r e : < t e r n a m e n t G p o r Ta f i ^ r m a c i ó n -
de s u p e r f i c i e s p ' a n a s y p u l i d a s .
C u a n d o s u p,r e s e n t a n s í i l i d o s h o m o g é n e o s q u e c y r e c e n
de o r d e n i i - t e r n o , sr c l a s i f i c a n c ( j m o u n m i n e r a l o i d e o -
s e a u n a s u s t a n c i a a r . o r f a n a t u r a l .
P a r a o b t e n e r u u a i d e a m e j o r d e l o s c r i s t a l e s e s n.?
c e s a r i o t e n e r p r e s p u t e q u e e s t o s s u r g e n e n l o s c a m b i o F -
de l a m . i t e r i a ; a er, t e p r o c e s o s o l e c í j n o c e c o m o £ J" s _t a -
l ^ _ i £ a.£_i tín , t e n i e n d o muy er; c u e n t a y c t j m o p r i m o r d i a l e s
l o s s i g u i e n t e s .
A ) J I P ^ ^ : Víiso d ü 1
e s t a d o l í q u i . d o a l s ó l i d o .
^?-LÍIi!lÍ™Í.L^Ü_I?.?._^^^''^^*^^l'0^'= e s t a d o g a s e o s o
a l s ó l i d o .
^LLLlAkL2ACI^0N_P0R_KEC^ P a s o d e u n a f a s e -
s o l i d a a o t r a s ó l i d a , a c o m p a ñ a d a de u n c a m b i o d e f o r m a d e -
l a e s t r u c t u r a c r i s t a l i n a .
L a p r i m e r a s e o b s e r v a e n u n a s o l u c i ó n d e c l o r u r o
s ó d i c o e n a g u a ; p o r e v a p o r a c i ó n e l a g u a s e c o n s u i r ^ e p o c o a-
p o c o h a s t a l l e g a r a l p u n t o e n e l c u a l l a c a n t i d a d d e a g u a -
n o p o d r a r e t e n e r t o d a l a s a l e n s o l u c i ó n y e m p i e z a a p r e c i
p i t a r .
En l a s u b l i m a c i ó n , l o s c r i s t a l e s s e f o r m a n d i r e c
t a m e n t e d e l v a p o r , s i n p a s a r p o r l a f a s e l í q u i d a . La p a r t i
c u 1 a r i d a d d e e s t o s c r i s t a l e s e s = u p e q u e ñ a d i m e n s i ó n . Un -
e j e m p l o do e s t a c r i s t a l i z a c i ó n s e p r o d u c e e n l a s d e n o m i n a
d a s ' G R I E T A o FU MARO L A S ' e n c u j ' a s p a r e d c r ; a c o n s e c u e n c í a -
de l o s g a s e s q u e s a l e n y d e s p r e n í i i d o s d e e s t o s , s e s e d i n e n
t a r , d i f e r e n t e s m i n e r a l e s .
E l p r o c e s o m e n o s i n v e s t i g a d o ¿ n f o r m a c i ó n d e
c r i s t a l e s e s l a r e c r i s t a l i z a c l c í r . de d i f e r e n t e s a g r e g a d o s -
q u e c r e c e n a l a a c c i ó n d e l a s f u e r z a s , q u e l a o r i g i n a n , d e -
f o r m a c i o n e s a l a s t e n s i o n e s p e r i ó d i c a s y \ a r i a c i n n e s d e
t e IT, p e r a t u r a .
u n a v e z e n u n c i a d a l a a c c i ó n y e f e c t o d e c r i a t a l _ i
z a r s e p a s a r a a l a e s t r u c t u r a i n t e r n a d e l o s c r i s t a l e s .
-4
^'^ £ ™ £ H £ l H £ £ - - Í . I l - L i 2 1 Í L _ . É ^ _ 1 . 2 1 _ £ í l Í £ í . ¿ l £ ^ i n t u i d a en
18¿i8 p o r e l f í s i c o f r a n c é s A u g u s t o B r a v a i s ; e n l a e x p o s i c i ó n -
d e s u t e o r í a c o n s i d e r ó l o s c r i s t a l e s f o r m a d o s p o r p a r t í c u l a s -
q u e n o e s t a b a n e n c o n t a c t o e n t r e s í , p o r o - o r d e n a d a s en e l e s p a
c i ó s e g ú n r e g l a s g e o m é t r i c a s muy p r e c i s a s a u e s e r e v e l a n e n l a
f o r m a m a c r o s c ó p i c a d e l o s c r i s t a l e s . L a h i p ó t e s i s d e B r a v a i s -
f u e c o n f i r m a d a p o r L a u g e n 1 9 1 2 a l e s t u d i a r e l e s p e c t r o d e d i
f r a c c i ó n d e r a y o s R o e n t g e n f r a y o s X ) e n u n c r i s t a l . En e s t o
p r o c e s o l l a m a d o e s p e c i . r o s o p u d o c o m p r o b a r l a o r d e n a c i o ' n y r e
g u l a r i d a d d e l a s p a r t í c u l a s e l e n - í e n t a l e s e n l a m a t e r i a c r i s t a l i
n a .
L a m a t e r i a c r i s t a l i n a , d e b i d o a e s t a o r d e n a c i ó n , o s -
a n i s o t r ó p i c a , e s d e c i r , que- e l e f e c t o q u e p r o d u c e u n a d e t e r m i
n a d a a c c i ó n f í s i c a n o es o l m i s no en c u a l q u i e r d i r e c c i ó n e u
q u e s e o b s e r v e ; a s i , p o r e j e m p l o , l a d i l a t a c i ó n t e ' r m i c a p\;e d e -
s e r m a y o r o m e n o r en u n a s d i r e c c i o n e s q u e e n o t r a s .
Como s e p o d r a o b s e r \ ' a r e l h e c h o mas i m p o r t a n t e y
f u n d a m e n t a l r e l a t i v o a I r i s s u s t a n c i a s c r i s t a l i n a s e s q u e l a s -
p a r t í c u l a s q u e l a f o r m a n e s t á n d i s p u e s t a s de m a n e r a o r d e n a d a , -
p o r e s o p a r a r e p r e s e n t a r e s q u e m á t i c a m e n t e l a e s t r u c t u r a d e l •--
c r i s t a l , s e u t i l i z a l a " l £ d _ £ _ s £ a c_i a _!" ; e s t a r e d s e p u e d e r e
p r e s e n t a r c o m o u n s i s t e m a i n f i n i t o de p a r a l e p í p e d o s i g u a l e s .
u b i c a d o s p a r a l e l a m e n t e , o c u p a n d o u n l u g a r s i n i n t e r s t i c i o s ; e s
t a s u n i d a d e s i d e'n t i c a s s e d i s t r i b u y e n e n l o s p u n t o s d o u n a r e d -
t r i d i m e n s i o n a l , d e t a l m a n e r a q u e t o d o s e l l o s t i e n e n i d e ' n t i c o -
a l r e d e d o r ,
I . a u n i d a d mas s i m p l e d e u n a r e d e s u n p a r a l e p í p e d o -
c o n o c i d o c o m o c e l d a - u n i d a d , t o d o s l o s p i n i t o s v v é r t i c e s d e l p a
r a l e p í p e d o s e d e n o m i n a n "NOHOS"; l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r e l l o s
s e l e s c o n o c e c o m o "AKI.STAS" y l o s p l a n o s d e t e r m i n a d o s p o r t r e s
p u n t o s c n o d o s q u e n o e s t á n e n u n a m i s m a f i l a s e l e s l l a m a "PLA
NOS R E T I C U L A R E S O CARAS".
f o N u d o
¿ ) A r i s t a
3 ) C a r a
L a s p a r t e s de un c r i s t a l so e n u n c i a n d e l a s i ? , u i e n -
t e m a n e r a ;
£ ™ A ^ • S u p e r f i c i e s p l a n a s d o n d e s e e q u i l i b r a n l a s f u e r z a s e"/-ter
ñ a s d e u n c r i s t a l .
- L í n e a s r e c t a s d o n d e se c r u z a n d o s c a r a s .
: P u n t o s d o n d e s e i n t e r s e c t a n v a r i a s a r i s t a s .
m
K s t a s p a r t e s ó e l c r i s t a l s e r e l a c i o n a n m e d i a n t e l a e
£ J i ¿ £ Í á H _ í l l _ . I M l i ^ ^ ^"^^ d i c e :
L a s u m a d e l n u m e r o d e c a r a s y e l n u m e r o d e v é r t i c e s
e s i g u a l a l a s u m a d e l n u m e r o ríe a r i s t a s y u n a c o n s t a n t e ;
C - Cuvz
.n-i-V = A + 2 ^ = e v , ^ ^ < .
Kn u n c r i s t a l s e o u e d e n e f e c t u a r c i e r t a s m o d i f i c a c i ó
n e s r e s p e c t o a s u s c a r a s , ' > ' e r t i c e 3 y a r i s t a s .
Iñí^ÜíiAílJLíillIÍL • ^ r i d o u n v é r t i c e e s s u s t i t u i d o p o r u n p l a n o .
^ m ü I A í l I ^ í i l ^ = C u a n d o e l v é r t i c e - s s u s t i t u i d o p o r u n a ] ) i r á m i d e
t J e ' ' t r e s c a r a s .
^ £ H : ^ _ A Z I i E I . A í Í I £ ^ I 2 ' C u a n d o o 1 •.• c r r i c e e s s u s t i t u i d o p o r u n a p i t
m i d e do r> e i s c a r a s .
]í.i'i^l;£Í;íii^íÍZ£ = C u a n d o u n a a r i s t a e s s u s t i t u i d a p o r u n p l a n o .
i : 2 1 1 : ^ _ ^ H ^ I l A ñ H ] Í Z £ : C u a n d o u n a a r i s t a e s s u s t i t u i d a p o r d o s p í a
n o s .
L o s c r i s t a l e s q u e s e e n c u e n t r a n e n l a n a t u r a l e z a p u e
d e n t e n e r d i s t i n t a f o r m ? , n a y oí- o m e n o r d e s a r r o l l o d e s u s c a r a s
d i f e r e n t e s c o n t o r n o s : y e s t a d i \ ' e r s i d a d de l a s f o r m a s c r i s t a l :
ñ a s p u e d e r e l a c i o n a r s e s e g ú n l a s c i n c o l^_eyes_ f u n d a m e n t a l e s d e !
c r i s t a l o g r a f í a q u e s o n ;
7 --
^ . - L E Y DEL P A K A l . E L I S M O DE L A S H A R A S .
2 , - LEY DE C O N S T A N C I A DE 7,08 ANGULOS D I E D R O S
3 . - LEY DE S I M E T R I A .
a . - LEY DE R A C I O N A L I D A D .
5---- LEY DE LAS Z O NAS.
] i E X _ I ! . ^ Í _ Z A ñ A L I L I Í ! l £ _ 2 E _ I ; A S - £ á 2 . A ñ ' p r e s e n c i a rie l a c a r a d e -
u n c r i s t a l i m p l i c a l a e x i s t e n c i a d e o t r a c a r a n a r a l e l a a e l l a .
C o n r e s p e c t o a l a p e r f e c c i ó n d e l d e s a r r o l l o rie l a s c a
r a s d e u n c r i s t a l , r e c i b e n l o s s i g u i e n t e s a d j e t i v o s r e l a t i v o s :
. £ ll£J5^i£2 • s ó l i d o c r i s t a l i n o c o n c a r a s p e r f e c t a m e n t e d e s a r r o l l a
d a s .
£ M ™ 2 E . I . £ £ . • s ó l i d o c r i s t a l i n o c o n u n i m p e r f e c t o d e s a r r o l l o d e -
s u s c a r a s .
^2Í.I*íi^I.££ '• s ó l i d o c r i s t a l i n o q u e c a r e c e d e c a r a s .
l : M _ í l i _ L A _ £ £ ] ! ¿ I A I l £ i A - £ £ - £ £ § _ á ^ £ £ I ; £ i _ I I I S I Z ^ £ ^ = c r i s t a l e s -
d e u n a m i s m a s u s t a n c i a , l o s á n g u l o s e n t r e c a r a s y a r i s t a s c o -
r r e s p o n d i e n t e . s s o n s i e m p r e i g u a l e s .
L o s a ' n g u l o s d i e d r o s e n l o s c r i s t a l e s s e m i d e n c o n u n -
i n s t r u m e n t o n o m i n a d o GONIOMETRO, t e n i e n d o l o s s i g u i e n t e s t i
p o s :
£ £ I Í I £ O I ñ £ _ M „ £ £ ] l I j i £ I £ _ £ _ A I I l I £ A £ I £ Í Í - c o n s t a d e u n t r a n s p o r t a -
d o r y VI n a r e g l a q u e g i r a a l r e d e d o r d e l c e n t r o d e l t r a n s p o r t a -
d o r . A l m e d i r e l á n g u l o d i e d r o , e l g o n i ó m e t r o s e a p l i c a d e t a l
m a n e r a a l c r i s t a l q u e l a a r i s t a e n t r e d o s c a r a s s e a p a r a l e l a -
a l e j e d e g i r o d e l a r e g l a v l a l e c t u r a d e s e p a r a c i ó n e n t r e l a s
c a r a s s e o b s e r v a e n e l t r a n s p o r t a d o r .
^ £ ] Í I O M I I M _ I I E _ M I M X l R . í ! = b a s a e n e l p r i n c i p i o d e l a p e r c e p -
c i ó n s u c e s i v a d e l o s r a y o s d e l u ? . r e f l e j a d o s e n l a s c a r a s d e l -
c r i s t a l . E l c r i s t a l e n e s t u d i o s e f i j a c o n c e r a a l p o r t a o b j e -•-
t o s , u n i d o a l a p l a t i n a q u e g i r a j u n t o c o n e l l i m b o .
L a a r i s t a e n t r e l a s c a r a s a m e d i r s e s i t ú a p a r a l e l a m e n
t e a l e j e d e g i r o ; l o s r a y o s d e l a f u e n t e l u m i . n o s a p a s a p o r e l -
c o l i m a d o r , y f o r m a n d o u n h a z p a r a l e l o v a n a p a r a r a l c r i s t a l .
E l o b s e r \ ' a d o r q u e m i r a o o r e l a n t e o j o v e l a f i g u r a d e -
l a f u e n t e l u m i n o s a d e n o m i n a d a s e ñ a l ; s o l a m e n t e e n e l c a s o d e
q u e u n a d e l a s c a r a s d e l c r i s t a l , a d q u i e r a l a p o s i c i d n i n d i c a d a
e s d e c i r , n o r m a l c o n r e s p e c t o a l a b i s e c t r i z d e l á n g u l o f o r m a d o
yox l o s e j e s ó p t i c o s d e l c o l i m a d o r y c e l a n t e o j o ,
A n o t a n d o l a p o s i c i ó n c o r r e s p o n d t e n t e a l a c a r a s e g ú n
i n d i c a c i ó n d e l l i m b o y n o n i o , s e h a c e P, i r a r e l c r i s t a l j u n t o
c o n e l l i m b o d e m a n e r a q u e u n a s e p, i.; n d s c a r a d e l c r i s t a l o c u p e -
e l l u g a r d e l a p r i m e r a c a r a o q u e Cj u c ci e p a r a l e l a a e l l a .
L a d i f e r e n c i a e n t r e e l n u e v o v a l o r i n d i c a d o p o r e l l i m
bo V n o n i o ; y e l a n o t a d cj a n t e r i o r m e n t e r i c s (i a r a e l v a l o r d e l
á n g u l o e n t r e l a s n o r m a l e s a l a s c a r a s e n o b s e r v a c i ó n , Una v u e l
t a c o m p l e t a d e l c r i s t a l n e r m i t o p n r ! i r t o d o s l o s á n g u l o s de e s t a
zona c r i s t a l o g r á f i c a .
.-9-
C A P I T U t . 0 2
i i ñ l ^ M S ^ C R I S TA L I N O S : A u g u s t o B r a v a i s d i c e q u e
s i b l e o b t e n e r c r i s t a l i s a c i o i i e s e n s i e t e s i s t e n a
r í s t i c a s p r o p i a s y d e f i n i d a s e n c a d a s i s t e m a .
^ I £ I £ Ü A _ £ £ 1 Í £ £ =
E e 1 a c i o'n p a r a m é t r i c a a - b - c
R e l a c i ó n a n g u l a r < K - 5 - ) ' = 9 0 -
F o r m u l a d e s i m e t r í a d e l a c l a s e
N o 1 o G''r i c a : 3 E ; E ; 6 E : 3 P , 6 P . C
C H A M T A ) . A : i '
^ I ^ I I M - M ^ ' l ^ O ^ A E :
R e l a c i ó n p a r a m é t r i c a a = b ; c > b
R e l a c i ó n a n g u l a t " ' ^ - S = : 9 0 ' ; Y - 2 0'
F ó r m u l a d e s i m e t r í a de l a c l a s e
II o 1 o e d r i c a f / \ 3 !• 2 , 3 1 : , p , p ^ c
{ B E R I E O ) . - -
£ I £ I £ ! 1 A _ . I ^ I £ £ ] : A I ' •
R e l a c i ó n p a r a m é 11- l a a i.; c > b
R e l a c i ó n a n g u 1 :i r =<r ^i* - ¿i'^^' O "
F o'r m u í a rl e 5 1 m c r r í a rie l a c l a s e
H o l o c d r i c a F^^ 31,2. 3P . c
r C A L C I T A ) .
1 O-
R e l a c i ó n p a r airi e't r i c a a = b b < c
R e l a c i ó n a n g u l a r 9 0 °
F ó r m u l a de s i m e t r í a d e l a c l a s e
[ í o l o e d r i c a E^: i E ^ , ¿>? , C
( G O E T H I T A ) ,
i l ^ I E M A _ R 0 M B I C o :
R e l a c i ó n p a r a m e t r i c a a i ^ b ^ c
R e l a c i ó n a n g u l a r ^z^É^^ícaé^fflr^-c-
F ó r m u l a d e s i m e t r í a d e l a c l a s e
H o 1 o é d r i c a : G.,
( A R A G O N I T A ) .
R e l a c i ó n p a r a m é t r i c a a^h^c
R e l a c i c n a n g u l a r c < = V = g O ' ; 7 9 0 '
l ' ó r m u l a d e s i m e t r í a d e l a c l a s e
No 1 ü e d I ' i c a K ; P : C
' YES:M . \ ' :^
1 1 -
^ i Í I ^ Í Í ^ _ Z H I C L I N I C O :
R e l a c i ó n p a r a m e t r i c a a ^ b ; a / c
R e l a c i ó n a n g u l a r
F o r m u l a d e s i m e t r í a d e l a c l a s e
R o l o e d r i c a C
( C A L C A N T I T A ) . • - ' '
De e s t o s s i e t e s i s t e m a s c r i s t a l i n o s , B R A V A I S fie m o s t r ó
q u e s o l o e s p o s i b l e t e n e r "14 t i p o s d e r e d e s e s p a c i a l e s , c o n o
c i d a s c o m o : ^ E D E S __ n F_ B R A V A I _ S , c a r a c t e r i z a d a s p o r e l a c o m o d o -
d e s u s com. p o n e n t e s p e r o s i n p e r d e r s u s i s t e m a c r i s t a l i . n o i n i
c i a l .
S I S T E M A C U B I C O
R e t í c u l o s e n c i l l o
R e t í c u l o d e c u e r p o i : e n t r a d o
R e t í c u l o d e c a r a c e n t r a d a
f 4 F ^ r ^ r ^ • \ 7 r V VA!
y . ^ \v
A E> C
R e t í c u l o d e b a s e c e n t r a d a
S I S T E M A T R I G O N A L
R e t í c u l o s e n c i l l o
S I S T E í A T E T R A a o N A I ,
A; R e t í c u l o s e n c i l l o
B; R e t í c u l o d e c u e r p o c e n t r a d o
S I S T E M A P'OMDICO
R e t í c u l o s e n c i l l o
R e t í c u l o d e P a s e c e n t r a d a
R e t í c u l o d e c a r a c e n t r a d a
R e t í c u l o d e c u e r p o c e n t r a d o
A; R e t í c u l o s e n c i l l o
B; R e t í i ^ u l o de b a s e c e n t r a d a
R e t í c u l o s e n c i l l o
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L§.L _ £ . ^ _ ^ L ^ L ' L ? , L A - " L o s c r i s t a l e s d e l a n i s m a e s p e c i e p r e s e n t a n
s i e m p r e i g u a l s i m e t r í a , i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l a s f o r m a s q u e -
l o c o n s t i t u y e n " .
C u a n d o \ - a r i o s e l e m e n t o s d e s i m e t r í a s e c o m b i n a n e n
u n p u n t o , s e o b t i e n e u n ¡ s r u p o p \ j n t u a l d e s i m e t r í a . L a s p o s i b i
l i d a d e s d e c o m b i n a c i ó n s o n 3 2 . A e s t a s p o s i b l e s c o m b i n a c i o n e s
d o s i m e t r í a s e l e s l l a m a £ ^ A S E S _ D E _ S I M E T R I A . y a c a d a u n a d e -
e l l a s c o r r e s p o n d e u n a f o r m a g e n e r a l de p o l i e d r o c r i s t a l i n o . -
L a s 32 c l a s e s d e s i m e t r í a s e p u e d e n a g r u p a r e n l o s l l a m a d o s _
l i £ I I ^ A £ _ £ ñ I £ I A I i I Ü £ £ _ c a r a c t e r i z a d o s ñ o r l a p r e s e n c i a i n d i s -
p e n s a b l e d e c i e r t o s e l e n ^ e n t o s de s i m e t r í a v p o r l a p o s i h i l i -
d a d d e r e f e r i - r -a- u n m i s m o s i s t e m a d e e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s
t o d a s l a s f o r m a s c r i s t a l i n a s q u e a e l p e r t e n e c e n . P a r a q u e
u n a c l a s e p e r t e n e z c a a u n o d e l o s s i s t e m a s , n e c e s a r i a m e n t e
t e n d r á q u e c u m p l i r l a s f l o s c o n d i c t ó n o s a n t e r i o r m e n t e d i c h a s - -
L a l e y d e s i m e t r í a e s p o s i b l e e n u n c i a r l a t a m b i é n d e -
l a m a n e r a s i g u i e n t e ; " T o d a m o d i f i c a c i ó n d e l o s e l e m e n t o s c e -
s i m e t r í a d e u n c r i s t a l , i m p l i c a l a m i s m a m o d i f i c a c i ó n e n t o -
d o s l o s e l e m e n t o s s i m é t r i c o s c)e d i c h o c r i s t a l ' . '
L o s e l e m e n t o s de s i m e t t i a d e l o s c r i s t a l e s so d a r i a -
c o n t i n u a c i ó n , c o n s u s d e f i n i c i o n e s y r e s p e c t i v a s f i g u r a s ;
- 1 ¿ -
ELEMENTOS DE S I M E T R I A :
£ £ ^ I ^ £ _ 2 E _ _ S ¿ M E T R 2 A : Es u n p u n t o i n a p . i n a r i o d n n t r o ü n l c r i s
t a l q u e e q u i d i s t a de r o d a s ]. a s c a r a s , -
a r i s t a s o \ é r t i c e s h o m ó 1 o p, o s .
E J E DE S I M E T R I A Es t o d a l í n e a i n a ÍÍ i n a r i a q u e p a s a n d o
p o r e l c e n t r o d e s í n e t r ' a . p e r m i t e a l -
g i r a r e l c r i s t a l a l r e d e d o r ;:o d i c h o e i c
y o b s e r v a r r e pe t i d ame n t L l a i rna t- e n d e 1 -
c r i s t a l : d o s , t r e s , c u a t r o •/ s e i s v e c e s
d e n o m i n á n d o s e r e s p G c l i v a m - - ^ : i t e e j e b i n a
r i o , t e r n a r i o , c u a t e r n a r i o -,• e ri a r i o .
lLM9.-'¿í^lliiLllL'l'- Es t o d o p l a n o i m a g i n a r i o n u e c i i d e a l -
c r i s t a l ex a c t a m e n t e en d o s n a r t •:• s i g u a
l e s .
- 1 5 -
M E _ D E ^ N V E R S I O N _ R O T A T O R r o E s t e e l e m e n t o d e s i n e t r l a e s c o n
p u e s t o ; p u e s t o q u e c o m b i n a u n a r o t a c i o'n a l r e d e d o r d e u n e j e . -
c o n u n a i n v e r s i ó n s o b r e u n c e n t r o .
En l a o p e r a c i ó n d e u n e j e c v j a t e r n a r i o s e g e n e r a r a n c u a -
t r o p u n t o s i d é n t i c o s c a d a u n o a l o s 9 0 ° d e g i r o e n ;a p a r t e -
i n f e r i o r d e l c r i s t a l . L a o p e r a c i ó n d e t a l e j e i m p l i c a c u a t r o -
r o t a c i o n e s d e 9 0 * c a d a u n a , s e g L i i d o s p o r u n a i n \ ' - e r s i ó n .
Con r e s p e c t o a l a L e y d e s i m e t r í a s e p r e s e n t a n c u a t r o
f i g u r a s c a r a c t e r í s t i c a s , c o n o c i d a s c o m o :
Z I £ 1 I ^ A _ 1 I £ L 2 . 1 £ ^ 1 £ A ' a q u e l l a s q u e c u m p l e n l a l e y d e s i m e
t r í a a : ^ OOZ
Z l £ £ ñ A _ I Í £ ü l I £ I I £ A: S o n a q u e l l o s q u e c u m p l e n l a l e y d e s i m e t r í a
a l 3 0/'- Y en e s t e c a s o fí e f i g u r a t o d o s e
r e d u c e a l a ¡r, i t a d .
F I G U R A T E T A R T O E D R I C A : S o n a q u e l l a s q u e c u m p l e n l a l e y de s i m e
t r í a en s o l o u n 7 S % .
F I G U R A OGOEDRICA: S o n a q u e l l a s q u e c u m p l e n l a l e y d e s i m e t r í a -
e n S o 1 < r; e r t e 2 . .
L o s e l e m e n t o s d o s i m e t r í a c a r a c ^ t e r i s t í c o s p a r a c a d a u -
n o d e l o s s i s t e m a s c r i s t a l o g r á f i c o s s e d a n e n l a s i . g u í e n t e t a
b l a .
- ^ 6 -
< Í > T F M A T R i n O N A l .
«V í T F: M A <> o - í í i c o
<í ! f/fT'MA 'I'KTRAnaNAl, f;
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r í> H i o m r' r n q i i s e a p o s i b l e s q h a c u n r c \ •-; i ;! c r' r o u P 1 1 o s : p o
r I' i i p n f n c a r a c t e r í s t i c a s s i fp i 1 a r o s r o n 1 o Í- • r S c o n r-d e n a d o s
• y - , • . \- ] o r i f o ri 'I f l o s f! i p s r r i s t a 1 f r ,-¡ ' i c ("i s s P h a c P
i n .'M d i r í o n p l c í> n t. r o r! s i m e t r í a ] r-r i s r a 1 ', s o r n m u o r - -
: n <'\ \ :i a i"i <"• r n i n d i c a d a a c o n 1 i ri ii a c i n tí M n r a ( a ,\ i> o f] p
.i '' (•; s i s t p rn a .s i; r" i s t a 1 i n o s .
i" n - - I S i s t o i'i a c u b i c o . l o s t. r o s o i o s c r i s i a 1 o g r á f i c n .s
r-fí i II p 1 d o n c r i n l o s t r e s p j e s do s i m f ; t i ; 5 a c u a t c n a i i a .
7
HLie e s e l ú n i c o q u e u t i l i z a c u a
t r o e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s ; u n o c o i n c i d e c o n e l e j e s e n a r i o y pa
r a l o s t r e s r e s t a n t e s , s e e s c o g e n t r e s d e l o s s e i s e j e s d e s i m e
t r í a b i n a r i a i g u a l e s .
En e l £Íf.;^£^£_;^:5Í-S-£-n-a 1. l o s i r e s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s s e -
h a c e n c o i n c i d i r c o n l o s t r e s e j e s d e s i m e t r í a b i n a r i a .
En e l s i_£t^Gma_^ej^r a g o n a_l e x i s t e n t r e s e j e s c r i s t a l o g r a f i -
c:os, u n o d e l o s c u a l e s c o i n c i d e c o n e l e j e d e s i m e t r í a c u a t e r -
n a r i a y l o s d o s e j e s r e s t a n t e s s e h a c e n c o i n c i d i r c o n d o s d o
l o s c u a t r o e j e s b i n a r i o s i g u a l e s .
i l i £ ™ í l : ¿ „ £ á ! - : ] l l £ £ •^^^ t r o s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s se
h a c e n c o i n c i d i r c o n l o s t r ^ s e j e s d e s i m e t r í a b i n a r i a .
En e l s__i £ j . £ m a_m o n o c j ^ ^ n j . c o d e l o s t r G5 e j e s c r i s t a l o g r á f i
c o s , u n o s e b a c e c o i n c i d i r c o n e l ú n i c o e j e de s i m e t r í a b i n a -
r i a y l o s o t r o s s e t r a z a n p a r a l e l o s a l a s c a r a s .
En e l s i s t e m a t r i _c_l 1 n j . c o l o s t r e s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s -
s e p a s a n p o r e l c e n t r o de s i m e t r í a y s e t r a z a n p a r a l e l o s a l a s
c a r a s .
- 1 8 -
£ i £ S _ C H I S T A L o G R A F I C o S : L O B t r e s e j e s c c i s t a 1 o e r á f i c o s s e
d e n o m i n a n ; ^
a ) . - E j e a n t e r o - p o s t e r i o r
b ) . - E j e t r a n s \ e 7? s o
c > . - E j e ' v ' e r t i c a l
E £ I - A N T E R Q - P O S T E R I O R : Es G ] e j e d e 1 a s X ' V s e c o n r í i d e r a q u e -
s e d i r i g e h a c i a e l o b s e r v a d o r .
I ¿ . & _ I M i i S y ERS O : L l a m a d o e j e d e l a s Y Y' s e c o n s i d e r a c o n d i r e c
c i o ' n d e i z q u i e r d a a d e r e c h a d e l o b s e r v a d o r .
Lll^l^^illí^hl E j e de l a s Z ; ' e s c o n s i d e r a d o c o n u:; a d i r e c c i o'n •
•"-e l a p a r t e i n f e r i o r a l a s u p e r i o r - c o n r e s c e c t o
a l o b s e r \ a d o r .
- 1 9 -
L o s e j G s c r i s L a 1 o g r á f i c o s a l -
i g u a l q u e l o s p j e s c o o r d e n a d o s
t i e n e n s u p- a r t e p o s i t i a y n e g a
t i v a r e s p e c t e a s i.; o r i g y n .
S i t l i a n d o e l c r i s t a l e n m e d i o d e l o s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s y h a
c i e n d o c o i n c i d i r s u c e n t r o d e s i m e t r í a c o n e l o r i g e n d e d i c h o s
e j e s s e p u e d e n p r e s e n t a r t r e s c a s o s :
a ) . ~ L a s c a r a s p u e d e n c o r t a r a l o s t r e s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s ,
e n c u y o c a s o s e d e n o m i n a n "CARAS P I R A M I D A L E S "
h y . - L a s c a r a s p u e d e n c o r t a r a l o s e j e s y s e r p a r a l e l a a l t e r
c e r o . En e s t e c a s o s e d e n o m i n a n "CARAS P R I S M A T I C A S
, a s c a r a s p u e d e n c o r t a r a u n e j e y s e r r , i t a 1 e ] a s a l o s -
d o s e j e s . Kn e s t e c a s o s e d e n o m i n a n "CARAh PIN'A C U I D A L E S '
2
- 2 1 -
C A P I T U L O . ;
] ! A ñ A M I I ^ £ £ _ D E _ U N A _ C A R A _ _
S G d e n o m i n a n £ a £ | ; T n £ í . £ ° £ _ ¿ £ „ H B . ^ _ £ ^ £ ^ • ^ d i s t a n c i a s c o m -
n r e n d i d a s e n t r e e l o r i g e n d e l o s e j e s c r i s t a l o g r á f i c o s y e l n u n
t o e n e l c u a l l a c a r a c o r t a a d i c h o s e j e s .
L o s p a r á m e t r o s d e u n a c a r a p u e d e n s e r : F I N I T O S e I N F I N I T O S
s o n f i n i t o s c u a n d o c o r t a n a l o s e j e s . ^ c u a n d o n o l o s c o r t a n
s o n I N F I N I T O S .
l o s p a r á m e t r o s f i n i t o s p u e d e n s e r p o s i t i v o s o n c R a t i v o s .
Z°^1.LÍ.Z2.^ ^'^^ ^"^ p u n t o de o r i g e n d e l o s e j e s c r i s
t a l o g r á f i c o s h a c i a e l o b s e r v a d o r s o b r e e l e i e d e l a s " X" • ^- 3-
d e r e c h a e n e l e j e t r a n s v e r s o o e j e d e l a s "Y", y h a c i a a r r i b a •
e n e l e j e v e r t i c a l o e j e d e l a s S o n n e ^ a j t ^ i v o ^ ^ l o s q u e
v a n d e l c e n t r o h a c i a a t r á s s o b r e e l e j e d e l a s ")C" * a l a i s q u i e r
d a e n e l t r a n s v e r s o o e j e d e l a s "Y", v h a c i a a b a j o e n e l e j e -
v e r t i c a l o e j e d e l a s " Z " .
£ I ^ M L £ _ £ I _ £ ^ A _ _ C A R A
Se d e n o m i n a s._í o l o d e u n a c a r a , a l a r e l a c i o ' n d e s u s p a r a
m e t r o s c o n r e s p e c t o a l o s e j e s c r i s t a l o g r á f i c 0 s .
Ua p 0 t a c i ó n q u e se e m p l e a e s l a s i u i e n t e
" a " p a r a e l e j e A N TERO-POSTERIOR T O S I T I V O
" a " p a r a e l e j e A N T ER 0 -P 0 S T E R I 0 H N E G A T I V O
- b " p a r a e l e j e TRANSVERSO P O S I T I V O
"b •• p a r a e 1 e j e TRANSVERSO N E G A T I V O
" c " p a r a e 1 e j e V E R T I C A L P O S I T I V O
' c p a r a e l e j e V E R T I C A L N E G A T I V O
K s t o s s í m b o l o s s o n e m p l e a d o s p a r a 1 os p a r á m e t r o s d e u n a
c a r a q u e c o r t a a u n e j e , o s e a PARAMETROS F I N I T O S .
E l s i m b 0 1 0 "oo" u t i 1 i, 7, a p a r a l a s c a i ' a s q u e n o c o r t a n a
l o s e j e s . o s e a PARAMETROS I N F I N I T O S .
L a s c a r a s p r i s m á t i c a s t i e n e n p o r s í m b o l o
b ; c y ; z
a i b ; X ; y i c»
Ti f OtU j co ¡ ecj
i i
OtU j co ¡ ecj
i i
p e r o
b l e t e n e r u n a s i m b o l o g l a f r a c c i o n a r i a .
P o r l o t a n t o l a s r e l a c i o n e s o s í m b o l o s d e u n c r i s t a l s e
r á n : a ; 2 b ; c a ; 2 b ; « : > 2 a ; 3 b ; ^
p e r o n u n c a : a; i . 5 b ; 3 . 8 c a ; ; 2 . 9 c
En t o d o s l o s s i s t e m a s c r i s t a l i n o s , c o n l a e x c e p c i o''n d e -
r e g u l a r o c u b i c o , e x i s t e n d e l o n g i t u d d i f e r e n t e s e n t r e s í . S i
f u e s e p o s i b l e a i s l a r u n a c e l d a - u n i d a d y m e d i r c u i d a d o s a m e n t e
l a s d i m e n s i o r t e s d e l a s a r i s t a s p a r a l e l a s a l o s e j e s c r i s t a : l o
g r á f i c o s , e s t a r í a m o s e n s i t u a c i ó n d e h a l l a r i n m e d i a t a m e n t e
l a s r e l a c i o n e s e x i s t e n t e s e n t r e l a l o n g i t u d d e c a d a a r i s t a .
E l c r i s t a l o ' g r a f o e m p l e a d o e n l o s r a y o s ] ) u o d e a i s l a r
l a c e l d a e l e m e n t a l , p e r o s i p u e d e m e d i r c o n e x a c t i t u d l a s d i
m e n s i o n e s d e l a m l s r i a e n u n i d a d e s A r n s t r o n g . A s í o a r a e l m i n e
r a l r ó m b i c o " a z u f r e ) , l a s d i m e n s i o n e s d e l a c e l d a r: i a s e s o i : •
d e : 1 O . ¿ I 8 8 a l o l a r g o d e l e j e a ; 1 2 . 9 2 8 a l o 1 a r g o d e 1 e j G-
b - y 2 ¿i . 5 5 a l e 1 a r ;Í o d e l e j e c .
F a c i e n c o c u e ¿1 a 1 o r d e b s e a i g u a l a l , p o d e r'i o s e s c r i
b i r q u e a : b : c = .? • ; i ; l . po C e n t r e l o s e j e s , n o o n e l a n á l i -•
s i s c r i s t a i c V r ?- f : c ? ,
De e s t a f •. c a ^ e o >: - r e s a n l a s l o n g i t u d e s r c 1 a t i \ a s , n o -
l a s a b s o U i t a s , : ' 1 a ¿ a r i s t a s d e l a c e l d a q u e c o r r c s u o n d o n
l o s e j e s c r 1 t a. 1 : E, r á f : c o s .
u —
''^ ^ ^ ¿ £ Í Í H _ ¿ 2 ^ Í a l _ e s , "¡.a r e l a c i ó n o n t r c l o s t a m a ñ o s d e
l o s e j e s c o n r e s p e c t o d o u n o d o e l l o s q u e s e t o m a c o n o u n i -
d a d " .
Se t o m a e l e j e b c o m o u n i d a d d o l o s s i s t e m a s e n q u e a,-
b , y c s o n d i f e r e n t e s y e l e j e a er- a q u e l l o s e n q u e l o s e j e s
a s o n i g u a l e s e i n t e r c a m b i a b l e s .
A s i e n l o s s i s t e m a s r ó m b i c o , n o n o c l i n i c o y t r i c 1 í n i c o .-
l a r e l a c i ó n a x i a l a / b : b / h c / li o s c a M) , P / i ? . 9 ? : 1 ? . 2 / 2 . 9 2 :
2 4 . 5 5 / 1 2 . 9 2 ^ C . 8 "i : 1 : 1 . 9 0 .
- Iw-DA ; • N' I !•) A n OKI, AZUFRE
o ifcb ^ C
£ O K S T A N T E S C R I S T A 1 O C R A F I C AS
- 2^.
En e l s i s t e m a r e g u l a r c o m o l o s e j e s s o n d e i g v . a l l o n g i
t u d y n o r m a l e s e n t r e s í , n o e s n e c e s a r i a l a r e l a c i ó n í i x i a l .
En l o s s i s t e m a s h e x a g o n a l y t e t r a g o n a l , l a l o n r . i t u d d e
l o s e i e s h o r i z o n t a l e s s e t o m a c o m o u n i d a d v l o s e i e s v p r t i n a
l e s n u p s o n d p d i s t i n t a l o n g i t u d e n c a d a ^\r•.r. i l p l n < : m i n p r a
l e s h e x a g o n a l e s y t e t r a g o n a l e s s e e x o r e s a n e n f u n c i ó n d e a
q u e 1 l o s
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- 2 5 -
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j e d e s i m e t r í a c o n u n p l a n o n o r ^ r i a l s e i ' c p r e . s e n t a « d o m a s uní-
u n q u e b r a d o : ¿ / m , 2 /' in .
En e l s i s t c i i i a c ú b i c o , l a p ' r i m c r a p a r r . e d e l s f m b o l n se -
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g u n d a p a r t e , s c r e f i '-•re a l a d i a o¡i a 1 ri n 1 c u h o , (; u Í-- P S U n a •
l í n e a p e r p e n d i c u l a r a l a c a r a í 1 1 1 ") . M i 1 1 e r ; >' l a t e r r o r a
p a r t e a l a M vi f.' a q u p u n e ¡i • i n, t o s i - - • q i o s d e a i i s t, a s o n u e s t a s . -
n o r rii a 1 p s a 1 c .'< r a ( ' 1 r: ) .
r 1 -s ' jnbo í o p.i r a 1 ; c ! ?. :• --j q u i o <•• t a ó rj r i c a do 1 s 7 a L « - •
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o u e un e j e i V : i n L Í p ü l >•''• A i j i i n ' : i", u n ; p T; s i m e t r í a r n - r -
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t o .'; o o:; p 1 e a n 1 s 1 r i t a a , . v . fat ct i o s p r á ?r. f i. r' o a F ' n j_
- : 1 1'.. l T-a , p.p r a : s i • f i s i «; • \\ ( ) s e c o l o c a -
: a - a r r e ; i r r i f: rj e l a ] o '- i , -• i i ;-i d i c a r l o s f» Ü i árne t r o s •
'?;:•'. 1 V o s : u a " d c ; a p n i t u ' i • : ,i ••• • : i u c i .1 s o r. d o b l o o
'• ' '"• " i .1 , V f ;, r i_ : • • . - • ' 1 o 1 n s MU C i" l C i t.' Ü t P
1 • r r '• r " ' • ': • • r o . ri o "* s d i '
- •• d !>: "i ]•• D ! I r ' S s - p iL e ^ - • - -] ] i ¡;: b r. 1 o r ' 'i r' p s P n t a 1 i
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p • li p n I : :
3 a r a c • S S 1 ! '-1 ' i; - S F I,/- P ' b 1 f O
3 a y p p a r a e l S í S T i-;;! A b F X A L N .\
P'Ta e3 S I S T E M A "T-KÍ-e^-ÍUL
2 a y L; OU r a a l S I S T E M A TETRAGONAl,
2 ' b , y c a r a e l S I S T E M A ROMBICO
s . y o p a r a e l S I S T E M A M O N O C L I N I C O
t. , y o p a r a e l S I S T E M A T R I C L I N I C O
En e l S i s t e m a h e x a g o n a l s e r o f i e r e a c u a t r o e j e s : e: v o r
t i c a l q u e e s p e r p e n d i c u l a r a i - r e s e j e s c o p l a n a r e s ( l o s t i e s s
l o c a l i z a n o n u n s c= 1 o p l a n o ) q \ e se, c o r t a n a 1 2 0 " , d e e t r e rn o
p o s i t i v o a ' t r emo p o s i t i v o . E l c u a r t o e j e s e l l a m a " E J E A l >;i
L I A ^ " • ° ^ J s "Las '• V " . P o r e: h e c h o d e c o r t a r s e a l o s ] O'
d i c h o e j e e Í:. n e g a t i v o e r: e: 1 F. d o d e r e c h o , l o c u a l o r i g i n a t e
n e r e n t o d a s I c i s . f i g u r a s h e x a g o n a l e s u n p a r á m e t r o n e g a t i v o .
De a c u e r d o c o n l a n . f'la c ^ o n _ d o_WE I S S , p a r a s e r g e n e r a d a -
s e t o m a l a f i g u r a d e c a r a s p i r a m i d a l e s ( O C T A E D R O ) , c o n o í í ^ u r
lüD-l^íES-B-Hl ^ ^ ' ^ s i s t e m a y l o r i a s l a s d e m á s f i . g u r a s s e c o n s t r u
y e n s o b r e l e , f u n d a m e r. t n 1 y p o r l e c u a l t. u d o s l o s s í m b o l o s
" s o n mi'i 1 1 i p 1 os'• d o l o s d e ¡a f i g u r a f u n d a m e n t a l .
Es i m p o r t a n t e d c i r q u e eu l e . f i g u r a f u n d a m e n t a l t ¿i m b i e n
u n a c:<ra q4+í s e t o m a c o m o ' ' £ A R A _ F U N D A M E N T AL'' y l a i m p o r t a n c i a
r a d i c a e n q u e e l s í m b o l o de d i c h a f i g u r a e s a l a v o z u' s j rn Vi o
l o d e d i c h a c a r a .
O í' T A i:!; í'
i i n i i i — ' i i i r i r " ^
L a n o t a c l o ' n e i i j p l e a d a a c ; t u a l n i e n t e c o n m a y o r e'':;ito q n e l a d e
" H E I S S " ; e y l a d e " M I L L E R " l a c u a l d i f i e r e d e 1 £. a n t e r i o r e t i
l o s s ' ' g u i a n t e s c o n c e p t o s .
En l a n o t a c i ó n d e M i l l e r , l e f i g u r a f u n d a m e n t a l e n c i e r r a
d e n t r o d e sí. a l a s o t r a s f i g u r a s j p o r l o c vi a 1 . t o d o s l o s p a r a
m e t r o s d e l a c o r a -son " s u h m á 1 1 i p 1 o s " d ;• l o s de l e . f i g u r a f u n
d a m e n t a l . P o r I C ' t a n t o , u n a f i g u r a q u e t i e n e cc^mo d i s t a n c i a s -
de s u s p a r á m e t r o s : l ¿ „ £ £ l i I l £ . £ ¿ _ H í l £ _ ¿ l ¿ l £ í ? £ i . i _ H l l . J i í l £ l j £'''fí^Íl"
l¿_¿2^2.£.i,_y!_l¿_Í££.££.£,¿J^j. t e n d r á c o m o " s í m b o l o d (; í - Í K I S S " . a; -
2íi] ; , p o r o e n l a n o t a c i o'n d e " M I L L E R " s f i r a ; l / 2 a : " i / a : 0 / 0 ,
a c o n t i n u a c i ó n M I L I , E R s u p r i m e l o s n u m e r a d o r e s - s u s t i. t u y e e l -
s í n b o l o ríe i n f i n i t o p o r e l c e r o , y e n e l a r r a s u s s í m b o l o s d e n
t r o de p a r é n t e s i s c i r c u l a r e s , o b t e n i e n d o l e s l l a m a d o s "I_^£l
£.^>-_£Í_.^Il:Ll^" >' d e n o t a d o s p o r ( 2 1 0 ) .
ü p. o p o d r á o b s e r v a r s e 1 C' s " í n c i c s 'í J L L E R s o n i n v e r -
s o s a l o s d e W E I S S " . p e r o t a m b i é n s e m , n ; . i e u e s i e m p r e e l o r -
d e n : A n t e r o ' p o s t G r 1 o r , t r a n s v e r s o , y \ c : t i c a 1 - v ; M' r a e l s i s
t e m a h e x a g o n a l a n t o r o - p o s t e r i o r , 11 a n s \ -i r s o , a \ x i 1 i a r y o r t i .
c a l . A d e m á s e • s i g n o ÓA' H E M I E D R 1 C A e;. l a l e t r a . on 1 g a r d e
"','2 c o m o l e b a c e W E I S S e n s u n o t a c l o ' n .
C u a n d o :iíi s o c o n o c e n l a s d i s t a n c i a s n u m é r i c a m e n t e , l o s -
" í n d i c e s de- M 11,1, ER " s e d n o t a n d e mía n e r a g Í; n e r a 1 ync d i a n t e l a s
l e t r a s C b k l ) , y p a r a e l s i s t e m a h e x a g o n a l ( h k i l ) .
- 3 1 -
'OS
- 3 2 -
C A P I T U L O 5
l i n a Zfina c r i s t a l i n a q u e d a d e f i n i d a m e d i a n t e l a q u i n t a
l e y d e l a c r i s t a l o g r a f í a , c o n o c i d a c o m o : I K Y DK __!.A_S ZONAS
£¿11ZAL1ÍÍ^^' ^^^^ d i c e " U n o d e l e s h e c h o s c l a r a m e n t e v i s i -
b l e s e n l a m a y o r í a d e l e s c r i s t a l e s , e s u n a d i s p o s i c i ó n -
t a l d o u n g r u p o d e c a r a s q u e s u s a r i s t a s d e i n t e r s e c c i ó n -
s o n m i A t u a m e n t e p a r a l e l a s ; y c U c h a s c a r a s c o n s i d e r a d a s e n -
c o n j u n t o g e n e r a n u i v a ZONA".
En l a f i g u r a s i g u i e n t e , l a s c a r a s m', a , m y b ; e s t a ñ
e n u n a z o n a y 1¿- r , c y r ' s e e n c u e n t r a n e n o t r a z o n a . L a
l í n e a q u e p a s a a 1 r a v é s d e l c e n t r o d r- 1 c r i s t a l y q e e s
p a r a l e l a a l a a r i s t a d o i r t e r s e c c i ó n , s e c o n o c e c o n e l nom
b r e d e : E J E_ D í:_ Z O N A , d e n o t a d o s e n l a f i g u r a p IJ r 1 £. s l í n e a s
r O 0 1 1 y r i o O ] .
Jiál_££llI^£IM^_-I_££_Li!i E J E S D E ZONA
- 3 3 -
P a r a d c s t c r m i n a r u u a z u n a o i s t a l i n a e:; n . M : e s a r i o c o n o
c e r p r i m e r a m e n t e l a d i r e c c i ó n d e l e j e d e ?ií,na.
P;i r a d e t e r m i n a r e •] e j e d f z u n a , s f d i b u j a u n n r a 1 i 1 e -
p í p e d o d e t a l ir;,-ñera q u e s f: e n c u e n t r e s i t u a d o p o r c ) o i l q e n
d e c o o r d e n a d a s y ^y. s e g u i d a s e t o m a n s ' ; b r o d i c h a T i p u r a l a s
c o o r d e n a d a s de u n o c u a l q u i e r a df^ S ' ^ s p u n t o s .
T_Ní)rcf : - 01. 1,/, 7 ( i N A ; ^ u u '
t i e n e n d o s n u n t o s ; e l p u n t o O v ] n i i u r o P . '
f i n ri e :• i r- e i c d o i-:, a t e o i s a m e n t e d P t o r i n a r r- m, n s r, , n r o s .
P o s p o n t o s O A , o V r.r [;,-, p a r á m e t r o s , l o s c i.- a 1 e s s • r \ n
p a r a c a l c u l a r ] a s d i s t a n c i a s a l p u n t o . C a d a o n j •! r - s t o s
T: a r a n o t r o :Í S. \- -A v nota p o r í u v u y r e r o s e n t a u - '
s í m b o l o do i í 7 o n a . c o n o c i d o s t ti m b i e"n c o HIO I P I r p p t ] . \
7.0 N A .
D e b e tenerse p r e s e n t e Q'.ie l e s s í m b o l o s d e l a ?. o n a , o -
" í n d i c e s de l a z o n a " s e e n c i e r r a n e n c o r c h e t e s ( p a r é n t e s i s
r e c t a n g u l a r e s ) , p a r a d i s t i n g u i r l o s d e l e s s í m b o l o s d e l a s -
c a r a s , o " í n d i c e s d e M I L L E R " , q u e s o n e n c e r r a d o s e n p a r e ' n t e
s i s c i r c u l a r e s , C h K 1 ) .
P a r t i e n d o d e l h e c h o d e q u e : d o £ _ c a r a£_£u^a. j ^ ^ i j j^e r a_ n o £ a
£¿l£.l.í¿j! .É£.I:£.£5ÍÍ^¿ÍI_üH¿_£íiH.Í' y ^"-t^'Tio l e q u e s e p e r s i g u e G C -
c o n o c e r e ] e j e d e z o n a d e d o s c a r a s c o n í n d i c e s de M I L L E R -•
C h k l ) y ( p q r ) .
S i s e c o n o c e n 1 c- s í n d i c e s d e d o s c a r a s de l a m i s m a z o
n a , e l s i m b o l o d e su a r i s t a d e i n t e r s e c c i ó n o d e l a z o n a s e
d e t e r m i n a n d e l a m a n e r a s i g u i e n t e ; " s e e s c r i b e n l e s í r d i c e s
d e l a p r i m e r a c a r a r e p e t i d a m e n t e f o r m a n d o u n r t : n g l o n , a c o n
t i n u a c i o n s e o b t i e n e u n s e g u n d o r e n g l ó n i n f e r i o r , m u l t i p l i
c a n d o 1 1 m h i e n r u p e t i d a m e n t e l e s í ;; d u e s ci e l a s e g u n d a c a r a ,
d e i;i a n e r a q u e s e f C' r m e n s e i s c o l u m n a s .
La p r i m e r a y tí: t i m a c o l u m n a s ñ s f: p a c a n ñ o r m e d i o d e u n
r a y a d o v e r t i c a l , y I £ s c o l u m n a s r t s t a n i e s s f m u l t i p l i c a n en
c r u z , r i - s t a n d o d e l p r i m e r p i o d u c t o e: s e g u n d o p r o d u c t o e n -
c a d a c a s o , y 10.5 t r e s d i f e r e n c i a s o b t e n i d a s g e n e r a n e ; i n d i
c e d c-- "/ 7. c: n a " .
k r - 1 q ~ u
1 p - h 1- = V
h q - k p =
\ V w ] e s e l I N D I C E DE LA 2 C N A
- 3 5 -
Como e j e m p l o n u m e ' r i c o , y r e f i r i é n d o s e a "Is f i g u r a q u e
r e p r e s e n t a a l a s z o n a s c r i s t a l i n a s y e j e s d e z o n a ; Sf: t i e
n e q u e l£, c a r a "m- e s C h k l ) , c o n í n d i c e s ( 1 1 0 ) ; y l'c: c a r a
" b " e s ( p q r ) , c o n í n d i c e s ( 0 1 0 ) , e l í n d i c e d e l a z o n a c o m o
s e p u e d e o b s e r v a r e s : f t i O l l .
1 O
1 O
1 ) ( O ) - r O ) [ 1 ) !)
( 0 ) C 0 ) ~ ( 1 ) ( 0 ) = 0
( 1 ) C1 ) - C1) C O ) - I
r u v w ] - [ 0 0 1 J Es e l í n d i c e d o l a z o n a
C u a n d o d o s c a r a s se: e n c u e n t r a n e n u n a m i s m a z o n a , so.
l e s l l a m a £ A R A S ^ T A UTOGONALES, y p a r a s a b e r s i u n a c a r a s e
e n c u e n t r a e n z o n a , s e n e c e s i t a q u e s a t i s f a g a l a l l a m a d a -
£££A£Í2]Í_M_iÍl_¿£lÍá • -' áícc - L a s u m a d e l e s p r o d u c t o s -
d e l o s í r, d i c e s d e z <; n a y l e s í d i c e s d e M i l l e r r ti p e c t i v a -
m e n t e d e b e s e r n u l a " .
i i h -r vK + w l ^ O
T e n i e n d o u u a c a r a c o n í n d i c e s de M i l l e r ( 1 1 0 ) , y
o t r a c o n ( 0 1 O) ; y como e l í n d i c e d e l a z o n a e s [ 0 0 1 1 , e n
t o n c e s a ?. s u s t i t \ i r s t. o b t i e n e :
O ) ( 1 ) + ( O ) ( 1 ) + ( 1 ) C O ) = O
( 0 ) ( 0 ) f ( 0 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 0 ) = O
- 3 6 -
D e b i d o a q i; e l a s c a r a s c o n ' í l i d i c e s M I O ) y ( C¡~1 O ) o u n
p í e n c o n l a e c u a c i ó n d n 2 t ¡ n a , I m p l i c a q u e a r ; b a s c a r a s s u
e n c u e n t r a n e r; u n a m i s m a 2 '..-n a c i - i s t a 1 i n a , y p 1 > r 1 c> t a n t o -
s o n " c a r a s t a i¡ t o f, o n a 1 e s " .
A h o r a , d i- s d e o t r o p u n t o d e \ i s t a la l v ('. r- l Í S y.t. n a s
p u e d e. e - i u ri c i a r s e d o 1 s i g u i e n t e m a n e r a :
"CONOCIENDO nwS C A R A S NO H A L E L A S DE VliA Zf'NA, SE Pi.PDE
DETERM I N A R T L DA Í,A Z O N A ; V 0 0 NGC I EN DO DOS ZO N'A S CON " A
l-^t-.^!l-l:^!l}l]l¿^lhA'^J.^-^^-^ D E T E R M I N A R TCDAS L A S CARAS U L ].n
ZONA" .
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