C.E.T.i.s. No. 155

“Josefa Ortíz de Domínguez”

Asignatura: Matemáticas Aplicadas

Nombre del Facilitador: Francisco Javier Palacios Méndez

Semana del 4 al 8 de mayo de 2020

Tema: Resolución de Cónicas

Aguascalientes Ags. a 4 de mayo de 2020

2.2 Modelación Geométrica

2.2.3 Resolución de Cónicas

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que, equidistan de un

punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.

1. El diámetro de una antena parabólica es de 1.5 metros y su profundidad es de 25

centímetros. ¿A qué altura se debe colocar el receptor?

Foco (receptor) ondas

La reflexión es una de las propiedades importantes de la parábola. Cuando una onda emana

del foco y choca con la parábola se produce una reflexión paralela al eje, y viceversa si la

onda viaja paralela al eje, al chocar con la parábola se refleja y cruza por el foco. Luego, si

se gira una parábola sobre su eje, se obtiene una superficie en revolución llamada

paraboloide, es la forma que tienen precisamente las antenas parabólicas.

Se construye una parábola con vértice en el origen y eje vertical, si el diámetro de la antena

es de 1.5 m y su fondo mide 25 cm, entonces la parábola por ser simétrica, pasa por los

puntos (-0.75, 0.25) por lo tanto sustituimos uno de estos puntos en la ecuación:

− 0.75 0.75

𝑥2 = 4𝑝𝑦 Sustituir P(- 0.75, 0.25)

x y

(−0.75)2 = 4𝑝 (0.25) 0.5625 = 1𝑝

𝑝 = 0.5625

Por lo tanto las coordenadas del foco están dadas por F(0, 0.5625), por consiguiente, se

debe colocar el receptor a 56.25 cm del vértice.

2. Las torres de un puente colgante como se muestra en la figura tienen una separación de

240 metros y miden 100 metros. Determina la longitud del puntal que se encuentra a 100

metros del centro.

Se construye una parábola con vértice en el origen y eje vertical, si las torres están

separadas 240 m y miden 100 m entonces la parábola pasa por los puntos:

(- 120, 100) y (120, 100)

El puntal en color amarillo se encuentra a 100 m del centro y la incógnita es la altura de

este puntal.

(100, 𝑦)

Sustituimos el punto (120, 100) en la ecuación 𝑥2 = 4𝑝𝑦 para obtener “p”.

(120)2 = 4𝑝(100) 14,400 = 400𝑝 𝑝 = 36

Por lo tanto, la ecuación es: 𝑥2 = 4(36)𝑦 𝑥2 = 144𝑦

Para encontrar la ordenada cuya abscisa es x = 100, s sustituye en la ecuación obtenida:

(100)2 = 144𝑦 𝑦 = 69.44

Por lo tanto, el puntal que se encuentra a 100 m del centro mide 69.44 m de alto

3. A la antena parabólica con foco en B se le debe colocar el aparato receptor en el punto A,

como se muestra en la siguiente figura.

La distancia del punto A al B es igual a __________y la ecuación que la describe es:

A) 2 m, 𝑦 = 𝑥2

2 B) 2𝑚, 𝑦 =

𝑥2

8 C) 4 𝑚, 𝑦 =

𝑥2

2 D) 4 𝑚, 𝑦 =

𝑥2

8

-4 4

De -4 a 4 porque se nos dice que el diámetro es igual a 8 m.

Esta parábola tiene su ecuación de la forma: 𝑥2 = 4𝑝𝑦

Si tomamos el inciso A) 2 m, 𝑦 = 𝑥2

2 pasamos el 2 al primer miembro: 2𝑦 = 𝑥2

O 𝑥2 = 2𝑦 para quede de la forma 𝑥2 = 4𝑝𝑦

De tal manera que como se puede observar 4p = 2 despejando p: 𝑝 =2

4=

1

2

En los 4 incisos la primer cantidad es la distancia del punto A al punto B, esto es, la distancia del

vértice al foco y p es precisamente esta distancia. La segunda expresión se refiere a la ecuación de

la parábola.

En el inciso A entonces se me indica que 𝑝 = 𝟐 (2 𝑚) y a través de los cálculos resulta que 𝑝 =1

2

No coincide p, por lo tanto se descarta el inciso A.

En el inciso B los posibles resultados son: 2𝑚, 𝑦 = 𝑥2

8 Aquí se nos dice que: 𝑝 = 2 (2 m)

Despejemos p de esta ecuación para observar si coinciden.

8𝑦 = 𝑥2 ó 𝑥2 = 8𝑦 Aquí 4𝑝 = 8 𝑝 = 8

4= 2 Como podemos

apreciar según la línea con doble flecha coincide el valor de p.

Por lo tanto el resultado es el inciso B).

Actividad 1 Aplica tu conocimiento

1. Dos torres de 24 metros de altura sostienen un puente colgante, como el que se

muestra en la figura. Si las torres están separadas 36 metros y el puntal más corto mide

6 metros, ¿Cuál es la altura de un puntal que se encuentra a 6 metros del centro?

2. El espejo de una linterna tiene la forma de un paraboloide de diámetro de 4 pulgadas y

profundidad de 3

4 pulgadas, como se muestra en la figura, ¿Dónde debe colocarse la

bombilla de modo que los rayos de luz emitida sean paralelos al eje del paraboloide?

3. Se piensa construir un reflector con una distancia focal de 10 pies y profundidad de 5

pies. Encuentra el radio del reflector. Swokowsky página 825

Diámetro Profundidad

4. En la ciudad de San Luis, en el estado de Missouri, en los Estados Unidos, se construyó

un arco (Arco Gateway) como se puede ver en la foto.

La altura del arco es de 192 metros y es de acero sólido inoxidable. La forma de ese arco

no es una parábola, sino que sigue una curva llamada catenaria. Sin embargo,

consideremos que una parábola puede modelar el arco. La anchura del arco es también

de 192 metros.

a) Encontrar una ecuación que permita modelar este arco.

b) Hallar la altura del arco en un punto retirado 40 metros del centro.

5. Trayectoria de un satélite. Un satélite se desplaza en una trayectoria parabólica cerca

de un planeta si su velocidad v en metros por segundo cumple la ecuación 𝑣 = √2𝑘/𝑟

donde 𝑟 es la distancia en metros entre el satélite y el planeta y k es una constante

positiva. El planeta está situado en el foco de la parábola y el satélite pasa una vez por

el planeta. Asume que se diseña un satélite para seguir una trayectoria parabólica y viaja

a menos de 58 000 millas de Marte, como se muestra en la figura.

a. Determina una ecuación de la forma 𝑥 = 𝑎𝑦2 que describa la trayectoria de

vuelo del satélite.

b. Para Marte, 𝑘 = 4.28𝑥1013, calcula la velocidad máxima del satélite.

c. Encuentra la velocidad del satélite cuando su coordenada en y es de 60 000 km.