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Josué David Sánchez Hernández Edgar Argueta Martínez

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Dirección editorialGrupo Editorial Mx

Editor en jefeOlivia Vega Ponce de León

EditorDora Leticia González Parra

Revisión técnicaRocío Vargas Velázquez

Corrección de estiloMaría Julia Isabel Magaña Hernández

Coordinación de diseñoKarem Anabelli Zavala Acevedo

Diseño editorialFlor Alejandra Carmona Vera

Verónica Rodríguez Zárate

Diseño de portadaFlor Alejandra Carmona Vera

Dirección de producciónFrancisco J. Martínez García

Edgar Argueta MartínezJosué David Sánchez Hernández

1ª edición enero de 2019D.R. © Grupo Editorial Mx.

ISBN: 978-607-8613-78-6

Organización didáctica por unidades con proyectos formativos

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, registro número 3790.

Durante el proceso de impresión hemos contactado con los sitios de Internet referidos, para notificarles que usaremos la información sin fines de lucro.

Derechos ReservadosNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro ni su tratamiento informático ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

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Impreso en México / Printed in Mexico

Campo Disciplinar de Matemáticas

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Este libro tiene como propósito que desarrolles aprendizajes al relacionar el conocimiento que adquirirás en esta asignatura con tus experiencias de la vida cotidiana.

Sección de orientación vocacional con casos que muestran las profesiones que aprovechan los conocimientos abordados en los temas de la unidad de aprendizaje curricular.Or te

Actividades enfocadas al Desarrollo de Habilidades Socioemocionales (DHS) de acuerdo con el programa ConstrúyeT. Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

Esta prueba ejercitará la lectocomprensión y acercará a los alumnos al tipo de reactivos de la prueba PLANEA.

• Prueba tipo PLANEA •

Presentación

Instrumentos que permiten la autoevaluación y la heteroevaluación de los saberes: conocer, hacer y ser y convivir; desarrollados a lo largo de la UAC.

• Evaluación de saberes •

Ejercicio de reflexión sobre el proceso de aprendizaje.

• Metacognición •

Lecturas arbitradas con ejercicios de prelectura y poslectura para alcanzar el nivel medio de lectocomprensión.

• Fomento a la lectura •

Evaluación sumativa de los conocimientos adquiridos a través de reactivos.

• Evaluación objetiva •

Instrumento que permite heteroevaluar el desempeño de los alumnos en el desarrollo de la situación de aprendizaje.

• Evaluación de situación de aprendizaje •

Casos construidos a partir de la relación entre áreas interdisciplinares para el desarrollo del Saber, Saber hacer y Saber ser y convivir.

• Situación de aprendizaje 1 •

A través de una dinámica grupal, esta sección permitirá identificar los saberes que serán el punto de partida para el proceso de aprendizaje.

• Evaluación diagnóstica •

Actividades adicionales que desarrollarán competencias genéricas (CG) y competencias disciplinares básicas (CDB) a través de la movilización o transferencia de saberes.

Actividades del programa para el aprovechamiento de la Situación de aprendizaje y que desarrollan las CG y CDB a través de la movilización o transferencia de saberes.

Matemáticas Comunicación HumanidadesCiencias Sociales

CienciasExperimentales

Actividades que evidencian las relaciones entre los campos disciplinares Matemáticas, Humanidades Ciencias Sociales, Ciencias Experimentales y Comunicación.

Actividades del programa que pueden emplearse para la coevaluación y autoevaluación en diversos momentos.

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Unidad IUAC I

Unidad IUAC II

Situación de aprendizaje 1 "¡Aguas con el agua!" 9MA-002 Usos de la variable 13Número general 13Incógnita 13Relación funcional 13MA-004 Expresiones algebraicas 14Interpretación 14Evaluación numérica 14Interpretación y evaluación de las expresiones algebraicas 15Problema de aplicación 15MA-006 Representación de fenómenos discretos lineales y no lineales 16Fenómenos discretos lineales 16MA-012 Ecuaciones lineales 19Ecuaciones de un solo paso 19MA-010 Exponentes, radicales y polinomios 23Leyes de los exponentes 23Símbolos de agrupación 24Reducción de términos semejantes y operaciones con polinomios 24

MA-102Triángulos 27Teorema de Pitágoras 27MA-102 Plano cartesiano 28Sistema de coordenadas cartesianas Me oriento en el plano 28MA-102 Sistemas de coordenadas 29Distancia entre dos puntos: el método del triángulo 29MA-011 Productos notables y factorización 33Binomio al cuadrado 33Binomio al cubo 33Trinomio Cuadrado Perfecto 34MA-103 Polígonos 35Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares 35MA-104 Círculo y circunferencia 36Área y perímetro 36MA-106 Cuerpos geométricos: superficies y volúmenes 37Paralelepípedos 37

Situación de aprendizaje 2 "Mis hechos…y mis desechos" 59MA-003 Representación de expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa 61Los problemas en palabras 61MA-004 Expresiones algebraicas 67¿Por qué la simbolización algebraica es útil en situaciones contextuales? 67

Evaluación numérica 67MA-010 Exponentes, radicales y polinomios 73MA-012 Ecuaciones lineales 74MA-011 Productos notables y factorización 80MA-106 Cuerpos geométricos: superficies y volúmenes 86Poliedros regulares e irregulares 86Cuerpos redondos 86

Contenido

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Unidad ISituación de aprendizaje 3 "Mi entorno a través de una lente 101MA-201 Plano cartesiano 106Sistema de coordenadas 106MA-101 Ángulos 107Clasificación de los ángulos 107Rectas paralelas cortadas por una secante 108MA-105 Congruencia y Semejanza 118Criterios de congruencia 118Criterios de semejanza 118Escalas 119El teorema de Tales 119MA-107 Movimientos en el plano 123

Traslaciones 123Simetría 123Rotaciones 124MA-102 Triángulos 127Clasificación de triángulos y sus propiedades 127Rectas y puntos notables 127MA-108 Funciones trigonométricas 133Razones trigonométricas 133Círculo unitario 134MA-106 Cuerpos geométricos: superficies y volúmenes 146

Bibliografía 160

UAC III

¡Aguas con el agua!UAC I

UAC II

UAC III

Los vicios de ella ¡Azúcar amargo! Libre soyEl universo, ¿un

espacio desperdiciado para la vida?

Mis hechos… y mis deshechos

The thing with the red eyes

No soy como me pintan

Batallas por México Una línea gruesa

Mi entorno a través de la lente El diario de Corea Mi código

Gen-éticoLa revolución de la tortilla

El CHON y sus amigos

Matemáticas Comunicación Humanidades Ciencias Sociales

Ciencias Experimentales

Tabla de situaciones de aprendizajeTabla de situaciones de aprendizaje

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UAC I

Aprendizajes clave

Eje • Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico. • Del tratamiento del espacio, la forma y la medida, a los pensamientos geométrico y trigonométrico.

• Lugares geométricos y sistemas de referencia. Del pensamiento geométrico al analítico.

Componente • Patrones, simbolización y generalización: elementos del Álgebra básica. • Estructura y transformación: elementos básicos de Geometría. • Tratamiento de las fórmulas geométricas para áreas y volúmenes. • Sistema de referencia y localización: elementos de Geometría analítica.

Contenido central • Usos de las variables y las expresiones algebraicas.

• Conceptos básicos del lenguaje algebraico. • De los patrones numéricos a la simbolización algebraica. • Sucesiones y series numéricas. • Trabajo simbólico. • Tratamiento visual de las propiedades geométricas, los criterios de congruencia y semejanza de triángulos.

• Tratamiento de las fórmulas geométricas para áreas y volúmenes. • El estudio de las figuras geométricas y sus propiedades. • La Geometría analítica como método algebraico para la resolución de tareas geométricas.

• El tratamiento de los sistemas de coordenadas. Conceptos básicos del sistema de coordenadas rectangulares, orientación y posición en el plano. El papel del origen de coordenadas en los sistemas de referencia.

Desarrollo de aprendizaje

Contenidos específicosMA-002 Usos de la variable. 1. Número general. 2. Incógnita. 3. Relación funcional.MA-003 Representación de expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa. 1. Lenguaje algebraico.MA-004 Expresiones algebraicas. 1. Interpretación. 2. Evaluación numérica.MA-006 Representación de fenómenos discretos lineales y no lineales. 1. Fenómenos discretos lineales.MA-010 Exponentes, radicales y polinomios. 1. Leyes de los exponentes (mul-tiplicación). 2. Símbolos de agrupación. 3. Reducción de términos semejantes. 5. Operaciones entre polinomios (suma, resta, multiplicación y división).MA-011 Productos notables y factorización. 1. Binomio al cuadrado. 3. Binomio al cubo. 4. Trinomio Cuadrado Perfecto.

MA-012 Ecuaciones lineales. 1. Ecuaciones de un solo paso. 2. Método de la balanza. 3. Ecuaciones de la forma AX + B = CX + D. MA-102 Triángulos. 4. Teorema de Pitágoras.MA-103 Polígonos. 2. Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares.MA-104 Círculo y circunferencia. 3. Área y perímetro.MA-106 Cuerpos geométricos: superficies y volúmenes. 1. Paralelepípedos. 2. Prismas. 3. Cilindro.MA-201 Plano cartesiano. 1. Sistema de coordenadas cartesianas. Me oriento en el plano: ¿puedo hacer un mapa del sitio en el que vivo? ¿Qué ruta es más corta?MA-202 Sistemas de coordenadas. 2. Distancia entre dos puntos.

Productos esperados

Productos esperados • Usos de la variable identificados en: 1.Cuestionario de consumo de agua en casa. 2.Ficha de trabajo acerca del lenguaje algebraico, expresiones algebraicas y usos de la variable.

• Expresiones algebraicas que representan el empleo del agua en: 1.Cuestionario de consumo de agua en casa 2.Ficha de trabajo acerca del lenguaje algebraico, expresiones algebraicas y usos de la variable.

• Interpretación y evaluación de expresiones algebraicas en: 1.Cuestionario de consumo de agua en casa. 2.Ficha de trabajo acerca del lenguaje algebraico, expresiones algebraicas y usos de la variable.

• Representación gráfica del consumo de agua en: 1.Gráfica de la Tabla 3.Gasto de agua en: Inodoro.

• Operaciones y factorizaciones de polinomios en: 1.Tabla 5. Volumen de un cubo. 2.Ficha de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica. 3.Tabla 8. Tapas de cisterna.

• Binomio al cuadrado en: 1.Ficha de trabajo sobre productos notables. • Representación, interpretación y solución de ecuaciones lineales en: 1.Ficha de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica.

2.Fichas de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica. 3.Ficha de trabajo de propuestas de ahorro de agua con justificación algebraica (Ax + B = Cx + D).

• Caracterización y cálculo de longitudes a partir del Teorema de Pitágoras en: 1.Plano de su casa, escuela o comunidad. 2.Ficha de trabajo de Teorema de Pitágoras.

• Identifica características geométricas de polígonos en: 1.Ficha de trabajo acerca del cálculo de áreas y perímetros de figuras.

• Identifica características geométricas del círculo y la circunferencia en: 1.Tabla 6. Propiedades geométricas del tambo.

• Volúmenes y superficies de cuerpos geométricos en: 1.Tabla 6. Propiedades geométricas del tambo. 2.Ficha de trabajo de cálculo de volúmenes. 3.Ficha de importancia de los cuerpos geométricos.

• Localización de puntos en el Plano Cartesiano en: 1.Ficha de trabajo acerca de plano cartesiano y coordenadas.

• Determinación euclidiana de la distancia entre dos puntos en un Plano Cartesiano en: 1.Ficha de trabajo acerca de plano cartesiano y coordenadas.

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Multidisciplinariedad MultidisciplinariedadLas situaciones de aprendizaje buscan conectar las habilidades desarrolladas en Pensamiento matemático con los contenidos de los campos disciplinares de Comunicación, Humanidades, Ciencias Sociales y Ciencias Experimentales.

• Matemáticas (MA) • Comunicación (CO) • Humanidades (HU) • Ciencias Sociales (CS) • Ciencias Experimentales (CE)

Productos esperados

Producto integrador: • Plan de acción, en formato impreso o digital, para el cuidado del agua en su casa, incluyendo las consecuencias y las alternativas para el cuidado del medio ambiente, a partir de los productos generados en cada una de las actividades, considerando lo siguiente:

• Análisis algebraico del consumo de agua en el hogar. • Estrategia para el consumo óptimo de agua en el hogar utilizando métodos matemáticos.

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I. Resuelve los siguientes problemas.1. Es el resultado de −10 + 2[4 + 2(5 − 3)] =

2. La fórmula para calcular el volumen de un cilindro es V = πr 2h. Si el diámetro del círculo en la base es 8 cm y la altura es de 12 cm. Calcula el volumen del cilindro.

h

r

3. Usa el lenguaje algebraico para escribir la siguiente expresión: “la suma de los cua-drados de dos números menos el cubo del segundo”.

4. En una botella de un litro caben 1 000 cm3 de agua natural (pura). Además 1 cm3 de agua natural pesa exactamente 1 gramo. ¿Cuántos gramos de agua hay en una botella cuyo volumen es 3.75 litros?

5. Un tambo tiene una capacidad de 245 litros. Si actualmente está lleno a 3 7

de su capacidad, ¿cuántos litros le faltan para llenarse por completo?

• Evaluación diagnóstica •

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Pensamiento Matemático II

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• Situación de aprendizaje 1 •

Ámbito

• Pensamiento matemático: construye e interpreta situaciones reales, hipotéticas o formales que requieren de la utilización del pensamiento matemático. Formula y resuelve problemas, aplicando diferentes enfoques. Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, grá-ficos o analíticos.

• Pensamiento crítico y solución de problemas: utiliza el pensamiento lógico y matemático, así como los métodos de las ciencias para analizar y cuestionar críticamente fenómenos diversos. Desarrolla argumentos, evalúa objetivos, resuelve problemas, elabora y justifica conclusiones y de-sarrolla innovaciones. Así mismo se adapta a entornos cambiantes.

Habilidades Socioemocionales

• Toma responsable de decisiones: Generación de opciones y conside-ración de consecuencias.

Dimensiones del proyecto de vida

• Responsabilidad social.

Propósitos

Al finalizar la UAC I del segundo semestre, el estudiante desarrollará el pensamiento matemático mediante el diseño de una estrategia de consumo óptimo de agua, con procesos algebraicos, geomé-tricos y variacionales, para generar conciencia del uso y su cuidado según el contexto.

Competencias Genéricas (CG)

CG11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.A1. Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.

Competencias Disciplinares Básicas del área de Matemáticas (CDBM)

CD1−MA. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientosaritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis desituaciones reales, hipotéticas o formales.CD4−MA. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, ana-líticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la in-formación y la comunicación.

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• Situación en contexto •

Hace una semana que en mi casa no cae agua. No tenemos dinero para comprar una pipa de agua, no hemos podido lavar los trastes, ni la ropa. Nos hemos bañado cada tercer día en la casa de mi tía, quien vive muy lejos. Para lavarnos los dientes, para beber y para la comida, llevamos a rellenar un garrafón de 20 litros que nos cuesta $10, este gasto no es-taba en el presupuesto de la familia por lo que la situación es realmente preocupante si continuamos así. Las autoridades nos informaron que el pozo que abastece a la comunidad se está agotando y que está en mantenimiento. Esto hizo que me planteara lo siguiente.1. ¿Cuánta agua utilizo diariamente de manera personal? 2. ¿Cuánta agua usa mi familia diariamente? 3. ¿Qué tan importante es para todos cuidar el agua que utilizamos y por qué? 4. ¿Cómo se distribuye en mi casa?

Propósito de la situaciónAl finalizar la UAC I del segundo semestre, el estudiante desarrollará el pensamiento matemático mediante el diseño de una estrategia de consumo óptimo de agua, con procesos algebraicos, geométricos y variacionales, para generar conciencia del uso y su cuidado según el contexto.

Producto integradorPlan de acción, en formato impreso o digital, para el cuidado del agua en su casa, inclu-yendo las consecuencias y las alternativas para el cuidado del medio ambiente, a partir de los productos generados en cada una de las actividades, considerando lo siguiente:

• Análisis algebraico del consumo de agua en el hogar. • Estrategia para el consumo óptimo de agua en el hogar utilizando métodos matemáticos.

¡Aguas con elagua!

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• Recuperación (reconocimiento y recuerdo) •

I. De manera individual, lee el artículo: “Hay 12 municipios de Puebla sin acceso al agua potable: INEGI” http://gpoe.mx/wEcybi

II. En binas, analicen el texto presentado y con base en dicha información contesten los siguientes cuestionamientos.

1. ¿Qué consecuencias consideras que tendrá no cuidar el agua potable en tu casa? 2. ¿Qué impacto tendrán estas consecuencias en tu comunidad?

III. De manera individual, completa la siguiente tabla con la información compartida.

Pregunta Respuesta

1. ¿Reutilizan el agua en casa?

2. ¿Se han quedado sin agua en su casa alguna vez?, ¿qué han hecho en esos casos?

3. ¿Dónde hay fugas o desperdicio de agua en la escuela?

Tabla 1.1 Consumo moderado del agua.

IV. Forma equipos de 3 a 6 integrantes, socializa y analiza las respuestas de la Tabla 1, tomando en cuenta las consecuencias positivas y negativas que se tendrían al decidir o no moderar el consumo del agua. Completa la tabla si es pertinente.

V. De manera individual, contesta lo siguiente en tu cuaderno. • Mi decisión actual acerca uso del agua es: , ¿por qué?

• Actividad socioemocional • • HSE • Inicio

· UAC I ·

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• Análisis (generalización) •

I. En plenaria lee la situación “¡Aguas con el agua!” y en binas las siguientes noticias. a. 11 ciudades en riesgo de quedarse sin agua

http://gpoe.mx/5Rw1Qa b. Esta ciudad sudafricana está cerca de su ‘día cero’ por la escasez del agua

http://gpoe.mx/cdirJ9

II. Identifica datos como porcentajes y proporciones, selecciona un dato que consi-deres más relevante. En plenaria comparte la interpretación que le diste a ellos y analiza las repercusiones de la desigualdad en distribución de agua (puede utilizar representaciones gráficas). Escribe lo más relevante.

• Actividad 1 • • CG 11 • CDBM 1 y 4 •

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Nuestra preocupación por el agua nos permite introducir uno de los conceptos matemáticos más importantes: la modelación.

Un modelo matemático es un conjunto de expresiones algebraicas que nos permite rea-lizar estimaciones sobre un fenómeno en particular. Para conseguirlo se necesita tanto la identificación como el uso de variables que representen a las magnitudes involucradas en dicho fenómeno.

La mayoría de las entidades federativas cuentan con un balance hídrico, es decir, una es-timación del agua desperdiciada y agua recuperada. Para modelar estos rubros se usarían las siguientes variables: volumen de agua (V), tiempo (t) y rapidez de recuperación o des-gaste de agua (r).

Número generalComo se puede observar, el uso de la variable involucra una cantidad o número general y una unidad particular. Así, las variables anteriormente mencionadas se medirían en las unidades que a continuación se mencionan.

• Volumen de agua, medida en metros cúbicos: V • Tiempo, medido en segundos: t • Rapidez de recuperación o de desgaste, medido en metros cúbicos por segundo: r

IncógnitaCuando se formula una pregunta acerca del valor de una variable en un modelo, bajo circuns-tancias muy específicas, la variable se convierte en una incógnita.

Veamos cómo los tres elementos citados interactúan en un modelo. Para ello consideremos que en el balance hídrico de Puebla la cantidad de agua de lluvia que va al drenaje es 15.3 m3 por segundo, mientras que el agua superficial recolectada es de 4.7 m3 por segundo.

Ejemplo 1: el modelo de la lluvia que va al drenaje está dado por: V = −15.3 t

Mientras que el modelo para el agua superficial está dado por: V = +4.7 t

Relación funcionalCada una de estas fórmulas permite predecir el volumen de lluvia que va al drenaje o la can-tidad de agua superficial en función del tiempo. Para ello basta sustituir un valor particular del tiempo en la fórmula. Entonces se dirá que el volumen y el tiempo están en relación funcional.

Por ejemplo, en un tiempo de 4 minutos (4 × 60 = 240 segundos) se tiene:Lluvia que va al drenaje: V = −15.3 (240) = −3 672 m3/sAgua superficial: V = +4.7 (240) = 1 128 m3/s

MA-002 Usos de la variable

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Muchas veces hemos escuchado decir a otras personas: “una imagen dice más que mil pala-bras”. Esto es cierto, en alguna medida. Hay palabras que no se pueden imaginar.

El lenguaje algebraico es el intento por expresar cantidades, objetos, formas y situaciones sin necesidad de recurir a las imágenes o a las palabras. En todo caso, bastan unas cuantas letras.

InterpretaciónEn esta sección veremos cómo emplear el lenguaje algebraico para realizar estimaciones acerca de expresiones verbales como las siguientes: ¿qué cantidad de agua se emplea en casa?, ¿qué cantidad se desperdicia?, ¿cuánta agua podría ser reutilizada a la semana?, etc. Es claro que las variables utilizadas para responder a las preguntas anteriores poseen una interpretación, es decir, significan algo más de lo que vemos en su simple escritura.

Evaluación numéricaEn Matemáticas, además de significar algo, las variables poseen un valor numérico. Cuando en una expresión algebraica “sustituimos” cada letra por su valor numérico, se dice que estamos practicando una evaluación numérica, la cual siempre nos arroja la información general de un fenómeno en el que se involucran muchos parámetros. Veamos algunas herramientas para la escritura algebraica.

Reglas básicas y ejemplosCualquier cantidad aludida se representa

con alguna letra. x, y, z, a, b, …

Cantidades diferentes se representan con letras diferentes. La suma de tres números diferentes: a + b + c

El coeficiente indica el número de veces que se tiene una variable.

El doble de un número: 2x.El doble de un número menos el cuádruple de otro: 2x − 4y

La palabra producto indica multiplicación. El producto de un número y la suma de otros dos: x (z + y).

La palabra cociente indica división; mientras que la diferencia indica una resta.

El cociente de la suma de dos números entre su diferencia: +−

a ba b

Hay operaciones mayores que engloban a otras. Esto lo establece la redacción.

El cubo del cociente de dos cantidades aumentado en 5: ab+ 5

3

Hay cantidades con características especiales que es necesario recordar.

La suma de tres números consecutivos:n + (n + 1) + (n + 2)

La suma de tres impares consecutivos:(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5)

La suma de tres pares consecutivos:2n + 2(n + 1) + 2(n + 2)

El proceso es reversible. +a xc5

2

2: el cuadrado de un número más el quíntuple de otro, sobre el doble de

un tercero.

MA-004 Expresiones algebraicas

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Interpretación y evaluación de las expresiones algebraicasPor sí misma, una expresión algebraica sólo representa cantidades abstractas o hipotéticas. Es imposible inferir algo de ellas cuando no conocemos el contexto en el que se sitúan. Para comprender esta falta relativa de sentido, podríamos imaginar que ante la famosa pregunta, “¿cuánto me quieres?”, una chica responde: El cubo de una cantidad cualquiera sobre dos. ¿Eso será mucho, poco, o nada?

Para resaltar cuán relativo es el valor de una expresión algebraica, pensemos que el cariño se puede representar por la variable C y que x es una cantidad cualesquiera. Entonces el modelo de la chica antes citada quedaría así:

=C x2

3

Como x es “cualquiera”, podría tratarse de 10,0 o 0.1

Si evaluamos la expresión algebraica x2

3

en los valores mencionados se obtiene.

¡Lo quiere!102

10002

5003

= =

¡Lo quiere poco!0.12

0.0012

0.00053

= =

¡No lo quiere!

= =02

02

03

Problema de aplicaciónCuando se coloca una llave dispensadora para lavamanos, ésta debe ser correctamente ajustada para evitar escurrimientos. Cuando la tuerca se ha ajustado manualmente se da paso al uso de una llave española. Para sellar bien la unión, la tuerca puede hacerse girar entre los 0 y los 90°. Se ha estimado que el escurrimiento medido en mililitros por segundo está dado por la expresión: sugiero mencionar el significado de θ.

θ( ) =

+E t 80

22

¿Cuál es la magnitud del escurrimiento cuando la tuerca no se ha hecho girar?Evaluemos la expresión en :θ = 0°

( ) =+

= =E 0 800 2

802

40ml/s2

¿Qué ocurre si la tuerca se gira 90°?

( ) =+

= =E 0 8090 2

808102

0.0098ml/s2

radio de labase superior

generatriz

radio de labase inferior

galtura

h

R

ف Figura 1.1 El cono truncado es la forma geométrica usual de las cubetas y los vasos.

· UAC I ·

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La figura 1.2 es un gráfico discreto, en el cual se registra la dispo-nibilidad de agua per cápita en los últimos 67 años en México.

Aunque los puntos se han unido mediante líneas, la información sólo se precisa para un punto cada 10 años.

Se dice que un fenómeno es discreto cuando sus variables están relacionadas distanciadamente, es decir, cuando sólo importan los valores que se dan cada cierto intervalo.

El aspecto general de la gráfica de un fenómeno es muy impor-tante porque nos permite deducir si éste se comporta lineal o no linealmente. En el caso de la disponibilidad de agua es claro que la tendencia a la baja no describe una línea recta. El que este compor-tamiento sugiera un fenómeno no lineal nos da indicios de que su modelo matemático es más complicado. Pues los fenómenos lineales están regidos por fórmulas muy parecidas a la proporcionalidad di-recta. Abordemos uno de estos casos.

Los inodoros tradicionales gastan entre 6 y 16 litros de agua por cada descarga. Sin embargo, actualmente los inodoros ecológicos sólo emplean 3 litros.

Su funcionamiento se basa en el principio del sifón, y como te habrás dado cuenta el inodoro requiere la presencia de una cantidad de entre 1.5 y 2 litros de agua en sus conductos.

¿Cuál sería el modelo matemático para calcular el consumo de agua de un inodoro de 8 litros?

Fenómenos discretos linealesSi designamos a “n” como la variable que cuenta el número de des-cargas, entonces la cantidad en litros de agua usada estaría dada por la expresión “8n”. Pero hace falta contar la cantidad que siempre queda tras cada descarga, supongamos 1.5 litros. Entonces tendríamos:

G = 8n + 1.5

I. Traza en la siguiente gráfica la cantidad de agua empleada para n = 1, 2, 3, 4, 5 y 6 descargas. P.E. 4

1. ¿A qué tipo de fenómeno pertenece esta situación, lineal o no lineal?

Dis

poni

bilid

ad p

er c

ápita

(mile

s de

m3 /h

abita

nte/

año)

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2011

2012

Año

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019

ف Figura 1.2 Disponibilidad per Cápita Tomado de SEMARNAT (La Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales).

Sifón

ف Figura 1.3 El principio del sifón requiere una cantidad de agua siempre presente.

Y

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Representación de fenómenos discretos lineales y no lineales

MA-006

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• Recuperación (recuerdo) • Comprensión (simbolización) • Análisis (asociación y generalización) • Conocimiento (toma de decisiones y resolución de problemas)

(MA-002, 003, 004)I. Estimación personal. Individualmente en su libreta, elabore una lista de los distintos

usos que da al agua en un día y anote la cantidad que cree ocupar en cada uno de ellos. Estime del total diario consumido en su familia, ¿cuánto consume un integrante de su familia en promedio? (puede apoyarse de los contenidos CO-007, CO-206).

II. Medición real. En casa, mide cuánta agua utilizan (al bañarse, usar el inodoro, la-vabo, fregadero, lavadero, etc.) en un día común (como lo realizan habitualmente) ocupando recipientes cuyo volumen conozcas, y regístralos en una tabla como la siguiente (agregar filas, cuantas sean necesarias).

Usos Unidad de medida

Repeticiones de la unidad de medida

Total de consumo de agua

1.

2.

3.

4.

Tabla 1.2 Consumo de agua en el hogar.

1. De acuerdo con las actividades de tu lista, ¿coincide la cantidad de agua que creías consumir con la obtenida en la tabla?

III. Revisa el artículo: El consumo de agua por persona en los países desarrollados al-canza los 300 litros diarios frente a los 80 que recomienda la OMS.(http://gpoe.mx/vXGAhi)

1. Discutan en plenaria si el consumo estimado es cercano a lo que propone el artículo. Anota en la libreta las ideas que consideres más relevantes (puede apoyarse del con-tenido CO-107)

IV. Uso de datos. Tomando en cuenta los datos de consumo de agua medidos en la tabla 1.2, contesta individualmente las siguientes preguntas: (MA-002, MA-003, MA-004 1 y 2)

a. ¿Cuántas veces al día te lavas las manos?b. ¿Cuánta agua emplean en tu casa para lavar los trastes?c. ¿Cuánta agua utilizas para bañarte?d. ¿Cuántas veces al día utilizas el inodoro?


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1. De manera individual, inicia el análisis de gasto de agua seleccionando, por ejemplo, el uso del inodoro y organiza el número de veces que realizas esa actividad. Utiliza una tabla como la siguiente.

Inodoro (4 litros)Descarga 1 2 3 … n

Litros 4(1) = 4 4(2) = 8 4(3) = 12 … 4(n) = 4n

Tabla 1.3 Gasto de agua en: inodoro.

2. (MA-006) Elabora una gráfica que represente el consumo de agua analizado en esta tabla.

3. En binas respondan el siguiente cuestionario de consumo de agua en casa.a. ¿Cuál sería la expresión que representa el consumo de agua en el inodoro de

tu casa?

b. ¿Cuál es la expresión de tu consumo comparado con el de tus compañeros?

c. ¿Qué operaciones realizas para obtener dicha expresión?

d. Si un inodoro tiene capacidad de seis litros de agua, ¿cómo se puede representar el consumo de agua dependiendo su uso?

4. Construye una nueva tabla, gráfica y expresión que represente el consumo de agua de otro uso, marcado en la tabla 1.2 y compara tus productos con los de tu compañero, diferenciando los usos que le dan en casa al agua.

5. Compara el consumo diario de agua obtenido en esta actividad con lo que propone la OMS para el consumo de agua por persona, idealmente.(http://gpoe.mx/vXGAhi)

V. De manera individual elabora una ficha de trabajo acerca del lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, ecuaciones lineales y usos de la variable. (Número general, incógnita y relación funcional), haciendo la indagación pertinente. Comparte en plenaria la información y compara lo realizado en las actividades anteriores con la siguiente orientación.

1. ¿Qué representa una letra en una expresión algebraica?2. Si se obtuvo una expresión algebraica relacionando el consumo de agua, ¿qué otra

circunstancia cotidiana podría representarse de manera similar?3. De los tipos de variable, ¿cuál es el utilizado en esta situación? ¿Puede utilizarse

alguna diferente?

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Una ecuación lineal es aquella que expresa igualdad entre dos expresiones matemáticas, donde las incógnitas son de grado 1.

Ejemplo: Ecuación lineal Ecuación no lineal

3x + 7 = 9 xx

73

3 =+

, x x4 92 + = − , e x

Ejemplo: un lavamanos gasta 20 litros de agua por minuto, cuántos litros gastará en un tiempo x. 20x = z , donde x representa el tiempo y z los litros gastados.

Ecuaciones de un solo pasoForma: x + b = c → propiedad aditiva: el mismo número, se le puede sumar o restar a los miembros de la igualdad, si la solución es la misma.

x = c − bForma: ax = b → propiedad multiplicativa: cada lado de la ecuación se puede multiplicar por el coeficiente inverso sin que éste modifique la ecuación.

=x ba

Ejemplo: un tinaco tiene una capacidad de 5 000 litros de agua, al hacer uso de ella en un día caluroso, el tinaco queda con solo 1 325 litros. ¿Cuál fue el gasto de agua?x + 1325 = 5000 → ecuación linealx = 5000 −1325 → propiedad aditivax = 3675 → litros gastados

Método de la balanza

Ejemplo: en un hogar hay tres tinacos que tienen en conjunto 2 400 litros de agua, si se utilizan 3 000 litros semanalmente, ¿cuántos litros de agua faltan en el hogar para cubrir el gasto semanal?

x = número de litros faltantes.3 000 = x + 2 400 → Ecuación lineal que modela la situación

Para balancear la ecuación, se tiene que hacer de un lado de la ecuación lo mismo que en el otro, es decir:

3 000 − 2 400 = x + 2 400 − 2 400600 = x

Por tanto, 600 litros son los que van a faltar en el hogar.

Ecuaciones de la forma AX + B = CX + D

Ejemplo: determina el valor de los lados de la siguiente alberca.3x + 1 = 2x + 9 ecuación lineal3x − 2x = 9 − 1 se agrupan incógnitas de un lado y constantes del otro.x = 8

3x + 1 2x + 9

MA-012 Ecuaciones lineales Desarollo

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• Conocimiento (resolución de problemas y experimentación) • • Metacognición (monitoreo de procesos) •

(MA-012)I. (MA-012; 1) Responde en binas al siguiente planteamiento (anotar el procedimiento

en tu cuaderno): Si en un día común, en tu casa se emplean 48 litros de agua en el inodoro, cuyo tanque almacena 4 litros de agua, ¿cuántas descargas de agua hacen en el inodoro? Comparte el procedimiento empleado con un compañero y responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuáles fueron las operaciones que realizaste?

b. Usaste alguna expresión algebraica para resolver el planteamiento. ¿Cuál?

c. Si no fue así, ¿cuál expresión crees que te ayude a responder?

d. La operación aritmética que usaron en su procedimiento ¿aparece en la expre-sión que propusieron?

1. En binas, realiza una ficha de trabajo descriptiva con el procedimiento de solución para la ecuación de un paso que empleaste y los pasos que llevaste a cabo. En plenaria compara las soluciones con otros compañeros.

2. De manera individual realiza una ficha de trabajo sobre las soluciones a las ecua-ciones de un solo paso, haciendo la indagación pertinente. Comparte en plenaria las metodologías que encontraron entre compañeros y coloquen notas relevantes en la propia y si alguna metodología es similar a la que se utilizó en cada procedimiento.

3. Incluye de manera individual, en la ficha de trabajo anterior, la información rele-vante discutida en la plenaria.


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II. Para cerrar la actividad y, considerando el consumo propuesto por la OMS analizado en la Actividad 2, contesta el siguiente cuestionario de consumo óptimo de agua:

a. ¿De qué manera podrías reducir el consumo de agua del inodoro?

b. Una vez hecho ese ajuste, suponiendo que se han usado los mismos 48 litros de agua en el inodoro, ¿cuántas descargas se harían en el inodoro?

c. Tomando en cuenta ambos volúmenes de capacidad del inodoro, ¿con cuál de ellos consideras que usas menos agua? Justifica tu respuesta.

d. Con el volumen modificado, ¿crees que tendrías que realizar más descargas para usar el inodoro?

e. En comparación a la descarga normal de 4 litros, ¿cuánta agua estás ahorrando con el nuevo volumen de descarga?

1. En binas, realiza una ficha de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica en la que describas cómo se puede desarrollar un consumo óptimo de agua en casa y el desarrollo matemático que lo hace evidente. En plenaria com-para las soluciones con otros compañeros. Propón un método de ahorro de agua en cada uso que le se da al agua en la tabla 1.2, de la actividad 2 (si es aplicable y funcional) y elabora fichas de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica complementarias.

2. Incluye de manera individual, en las fichas de trabajo anterior, la información re-levante discutida en plenaria.

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I. Coevaluación: Reúnanse en equipos de cuatro personas. Cada integrante tendrá que elaborar un plano de su casa habitación. En éste habrán de indicar con un punto rojo las salidas de agua: sanitarios, lavabos, fregaderos, regaderas, etc. Además el plano debe incluir una tabla con el gasto diario de agua estimado para cada punto rojo, anexando un balance total del consumo diario.

II. Una vez elaborado se intercambiarán los planos con la finalidad de que un compañero evalúe el trabajo de otro y con base en la siguiente lista de cotejo.

Desempeños a evaluar Sí No1. Presenta un plano legible y con las indicaciones de cada lugar

que conforma la casa habitación

2. Señaliza con puntos rojos todas las salidas de agua

3. Indica el tipo de salida de agua que se representa en el plano

4. Anexa una tabla con el gasto diario de cada salida de agua

5. Presenta un total de consumo diario estimado para el hogar

• Evaluación 1 •

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Cuando se calcula el área de un terreno, la naturaleza de la magnitud resultante ya no es igual a la de las magnitudes participantes. Cuando un terreno rectangular tiene 8 m de largo por 3.5 de ancho, decimos que cubre una superficie de 28 m2 y no 28 m, lo mismo sucede cuando se solicita una pipa de agua: no pueden pedirse 12 metros de agua, pero sí 12 m3.

Parece que las unidades, representadas por letras, obedecen a una ley específica para su multiplicación: su exponente se incrementa.

Leyes de los exponentes Las leyes de los exponentes son para las expresiones algebraicas el equivalente a las tablas de multiplicar para los números. Pueden resumirse así.

=a 10

= +a a an m m n

= −aa

am

nm n

=a a( )n m nm

=−aa1nn

Algo semejante ocurre cuando nos hacemos la pregunta inversa: si una cisterna de forma cúbica tiene un volumen de 8 m3, ¿cuáles serán sus dimensiones? Seguro coincidirás en que se trata de 2 m, pues 2 es la raíz cúbica de 8 y “m” la raíz cúbica de m3. La regla para la radicación tiene el efecto de reducir el exponente. Esto se expresa de la siguiente manera.

=a amnmn lo cual se traduce así:

“Al extraer una raíz n−ésima de una potencia, el exponente se divide entre “n”.

Pero, ¿qué es una potencia? Es una multiplicación repetida que pocas veces se calcula, pero casi siempre se simplifica.

Observa los ejemplos.Simplificar:

a. a aa

aa

a3 6

4

9

45= = (Las leyes sólo se aplican a multiplicaciones, nunca a sumas y restas).

b. (5 )5 5 (5 )

55 5

55

5 15

3 4

14

12

2 14

12

164

4( )⋅=

⋅= = =− (Una potencia negativa es el inverso de la misma

potencia en positivo).

c. = =b c b c b c125 5 512 153123

153 4 5 (Para salir de un radical cúbico, el exponente debe poder

agruparse de tres en tres).

d. = = =m n p m n n p p m n p n p16 2 28 10 9484 8 2 84 2

84

84 24

= m n p n p2 2 2 2 24

Exponentes, radicales y polinomios

MA-010

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Símbolos de agrupaciónEs muy común que en las expresiones algebraicas aparezcan signos de agrupación como estos: ( ), [ ] y { }. Estos son de gran utilidad porque nos indican “el orden en que habremos de resolver las operaciones”, el cual por cierto coincide con el orden en que lo hemos anotado arriba. Esto se verá en los siguientes ejemplos.

Reducción de términos semejantes y operaciones con polinomiosSi las leyes de los exponentes aplican para productos, las leyes de simplificación aplican para las sumas y restas de polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de potencias de una o más variables. Estos pueden ser pensados como una cadena de términos cuyas uniones son signos positivos (+) o negativos (−). Para simplificar o reunir polinomios se opera úni-camente con términos semejantes.

Ejemplos: Simplificar: 2[ +3(−4x) + 3(y−5z)] − 2(10x + 2y + z) =2[−12x + 3y − 15z] − 20x − 4y −2z =−24x + 6y − 30z − 20x − 4y − 2z =−24x − 20x + 6y − 4y − 30z − 2z = Agrupamos términos semejantes= −44x + 2y − 32z

• Análisis (asociación y generalización) • Conocimiento (toma de decisiones, resolución de problemas, experimentación e investigación) •

(MA-010, 012)I. (MA-012; 2) Responde en binas el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento

en la libreta): si para lavar un inodoro de 6 litros de capacidad, se utilizan 20 litros de agua, ¿cómo representarías el consumo total de agua (descargas más lavado) del inodoro, asumiendo que es lavado solamente en una ocasión?

1. Comparte en plenaria la representación diseñada y contesta las siguientes preguntas.a. ¿Cuáles son las cantidades constantes que se enuncian en el planteamiento?

b. ¿Hay alguna cantidad variable presente en el planteamiento? ¿Cuál?


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c. ¿Cuál es la expresión que proponen para responder al cuestionamiento?

d. ¿Qué diferencia hay entre esta expresión y aquellas que obtuvieron al calcular la cantidad de agua que ocupan diariamente? (Actividad 2, punto II)

2. De manera individual realiza una ficha de trabajo descriptiva de la expresión al-gebraica del tipo Ax + B = C y las respuestas al cuestionario anterior. Comparte en binas la ficha, compara las expresiones y descripciones con otros compañeros.

3. Incluye de manera individual en la ficha de trabajo anterior la información rele-vante discutida en la plenaria.

II. Responde en binas el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en la libreta): Si en la semana consumieron un total 320 litros de agua para las descargas (perso-nales) y la limpieza del inodoro, ¿cuántas descargas se realizaron en esa semana?

1. Comparte el procedimiento empleado con un compañero y responde las preguntas.a. ¿Utilizaste alguna expresión algebraica para resolver el planteamiento? ¿Cuál?

b. Si no fue así, ¿cuál expresión crees que será útil para responder?

2. Realiza una ficha de trabajo de propuestas de ahorro de agua con justificación al-gebraica utilizando expresiones del tipo Ax + B = C en la que describas cómo se puede desarrollar un consumo óptimo de agua en casa (si es aplicable y funcional) y el desarrollo matemático que lo hace evidente.

3. Propón un método de ahorro de agua en cada uso que le das al agua en la tabla 1.2, de la actividad 2 (si es aplicable y funcional) elabora fichas de trabajo de propuestas de ahorro con justificación algebraica complementarias. Incluye, de manera individual en las fichas de trabajo anterior, la información relevante dis-cutida en la plenaria.

III. (MA-012) Responde en binas el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en tu cuaderno):

Imagina que en tu casa el inodoro descarga 5 litros de agua y emplean 20 litros para lavarlo, mientras que, en la casa de uno de tus compañeros, el inodoro descarga 4 litros y utilizan 40 litros para lavarlo; si en una semana, ambos utilizan 120 litros de agua en el inodoro, ¿cuántas descargas hizo cada quien?

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1. Comparte el procedimiento empleado con tu compañero y responde las siguientes preguntas.a. ¿Cuál es la ecuación que representa su consumo?

b. ¿Cómo puedes representar algebraicamente el consumo de la casa de tu compañero?

c. Como los dos gastan la misma cantidad de agua, ¿podrías construir una sola ecuación para ambos consumos?

d. A partir de esta última ecuación, ¿es posible determinar cuántas descargas hizo cada quien? ¿Cuántas?

e. ¿Por qué gastaron la misma cantidad de agua si la capacidad del inodoro es diferente?

2. En binas, realiza una ficha de trabajo descriptiva con el procedimiento de solu-ción para expresiones del tipo Ax + B = Cx + D que empleaste y los pasos que seguiste. En plenaria compara las soluciones con otros compañeros.

3. De manera individual, realiza una ficha de trabajo sobre las soluciones a las ecua-ciones del tipo Ax + B = Cx + D, haciendo la indagación pertinente. Comparte en plenaria las metodologías que encuentres entre compañeros y coloca notas re-levantes en la propia y si alguna metodología es similar a la que se utilizó en su procedimiento.

4. Realiza una ficha de trabajo de propuestas de ahorro de agua con justificación algebraica (Ax + B = Cx + D) utilizando expresiones del tipo Ax + B = C en la que describas cómo se puede desarrollar un consumo óptimo de agua en casa (si es aplicable y funcional) y el desarrollo matemático que lo hace evidente.

5. Incluye de manera individual, en las fichas de trabajo anterior, la información re-levante discutida en la plenaria.

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Un triángulo es aquella figura plana que está formada por tres lados que a su vez forman tres ángulos internos.

• Equilátero • Isósceles • Escaleno

Por sus ángulos

Por sus lados

Clasificación • Rectángulo = 90° • Acutángulo 3 menores de 90° • Obtusángulo: 1 mayor a 90°

Teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras es el enunciado más famoso y conocido por la comunidad estudiantil, aunque en gran medida se desconoce la aplicación o importancia de este teorema. El teorema de Pitágoras sólo se puede aplicar a triángulos rectán-gulos y su uso es muy común en la trigonometría, sus aplicaciones más usuales son para calcular alturas, longitudes, ángulos de inclinación, diseño arquitectó-nico y para el diseño de tuberías. El teorema describe lo siguiente.

“La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa”.a 2 + b 2 = c 2

Hipotenusa: el lado más largo del triángulo.Cateto opuesto: frente al ángulo. Cateto adyacente: el que está debajo del ángulo. Despejes:

• = +c a b2 2 • = −b c a2 2 • = −a c b2 2

Ejemplo: calcular la diagonal (hipotenusa) de un triángulo, cuyo cateto a = 9 cm y su cateto b = 8 cm.

= + → = + → = + → =c a b c c c9 8 81 64 1452 2 2 2

C = 12.04 → por tanto, la diagonal mide 12.04 cm

Ejemplo: calcular la diagonal de una alberca, cuya base es de 4 m y su longitud es de 5 m.

= + → = + → = + → =c a b c c c4 5 16 25 412 2 2 2

C=6.4 m → Por lo que la diagonal de la alberca mide 6.4 metros.Si quieres realizar un mayor recorrido en la alberca, nada en forma diagonal.

a

b

c

MA-102 TriángulosEquilátero

3 lados iguales

Isóseles2 lados iguales

EscalenoNingún lado igual

Rectángulo1 ángulo recto

Acutángulo3 ángulos agudos

Obtusángulo1 ángulo obtuso

ف Figura 1.4 Clasificación de triángulos.

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El plano cartesiano tiene su nombre gracias al matemático y filósofo francés René Descartes, como su nombre lo indica, es un plano en el cual podemos localizar/ubicar puntos a través de ejes de referencia (x, y), (x = abscisas, y = ordenadas), llamadas coordenadas.

Una coordenada se forma con una pareja de números separados por una coma y escritos dentro de un paréntesis. El primer número es conocido como abscisa y el segundo como ordenada.

El punto de intersección entre estas rectas es llamado origen, al cual corres-ponde el punto (0,0).

Sistema de coordenadas cartesianas Me oriento en el plano Para tener una referencia acerca de cómo ubicarnos en el plano cartesiano podemos guiarnos con rosa de los vientos. Ver Figura 1.6.

Ejemplo: supongan que el lugar donde se encuentran ahora es el punto de origen y les piden desplazarse 3 metros hacia el este y luego 5 hacia el norte. ¿Cuál sería su coordenada (ubicación) en el plano cartesiano? (0, −2)

Correcto, sería el punto (3,5) esta coordenada sería 3 m hacia el este y 5 m hacia el norte.

Ahora supongan que desean dar una ubicación para elaborar una conexión de tuberías y requieren establecer cada conexión a 45°, las instrucciones del ingeniero son las siguientes.

Primera conexión: 5 Oeste y 8 NorteSegunda conexión: 5 este y 8 sur.Tercera conexión: 10 norte y 5 este.

Traza en el plano cartesiano las tres conexiones.

Solución • A (8E, 5N) • B (5E, 8N) • C (10E, 5N)

A

B

C

-1

-2-3-4-5-6-7-8-9

-10

-2-3-4-5-6-7-8-9-10 1

123456789

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

MA-102 Plano cartesiano

ف Figura 1.5 Plano Cartesiano.

N

S

EO

ف Figura 1.6 La Rosa de los Vientos.

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Aunque las coordenadas rectangulares constituyen el sistema coordenado más utilizado, existen otros sistemas, tales como el de coordenadas polares, esféricas y cilíndricas.

Sistema de coordenadas en el espacio

y

x

P P P

z

y

z

x

y

z

xy

zx

h

pr

ɸɸ

βOOO

P (r, β, ɸ)P (p, ɸ, h)P (x, y, z)

Rectangulares Cilíndricas Esféricas

ف Fig. 1.7 Sistemas de Coordenadas en el Espacio.

Estos sistemas se usan en distintos rubros, de los cuales el más común es el sistema de navegación marítima, o la ubicación de diferentes puntos en nuestro planeta, vistos desde la Estación Internacional Espacial.

Por supuesto, estos sistemas se adaptan a espacios topológicos con características dife-rentes a las propias del plano euclidiano. Tal es el caso de las geometrías esféricas, donde por ejemplo, no es cierto que la suma de ángulos interiores de cualquier triángulo es 180 grados.

Para los fines de este curso nos limitaremos al uso del plano cartesiano euclidiano.

Distancia entre dos puntos: el método del triánguloImagina que se deseas atravesar un lago con una tubería tendida entre los puntos A y B re-feridos a un sistema cartesiano, cuya escala es de 1 a 10 metros, tal como se muestran en la gráfica.

a

b

¿Cómo podríamos determinar la longitud de la tubería?El problema, ahora se reduce a calcular la distancia entre los puntos A y B. Observemos

que el método propuesto es una aplicación del teorema de Pitágoras. d A B, cuadritos de la base cuadritos de la altura2 2( ) = +

d A B, 80 60 6400 3600 10000 100m2 2( ) = + = + = =

MA-102 Sistemas de coordenadas

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• Metacognición (especificación de metas y monitoreo de procesos) • Análisis (asociación) • Recuperación (recuerdo) •

(MA-102, 201, 202)I. De manera individual lee la información de “Cosechan agua de lluvia para familias

sin acceso al líquido” de la Coordinación Universitaria para la Sustentabilidad de la Universidad Veracruzana en la siguiente liga: http://gpoe.mx/vDYQGe

1. En binas, contesten el cuestionario de sustentabilidad siguiente.a. ¿Qué regiones del país tienen problemas de abasto de agua?

b. ¿Cómo se puede disminuir el desabasto de agua?

c. ¿En tu casa tienen alguna estrategia para aprovechar el agua de lluvia?

d. La propuesta de “Cosecha de agua de lluvia” ¿es funcional para tu hogar?, ¿qué adecuaciones le harían?

2. Redacta una ficha de conclusión de colecta de agua, estableciendo la funciona-lidad de implementar esta estrategia en su hogar o en la escuela. Compartan en plenaria su ficha.

3. Incluye de manera individual, en las fichas de trabajo anterior, la información relevante discutida en la plenaria.


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II. Toma en cuenta que después de recolectar agua, es importante la distribución en la casa. En binas analicen el siguiente plano y en plenaria contesten las preguntas.

SalaHabitación 2Habitación 1

Comedor

Cocina

Servicio

Baño

Lava manos

RegaderaSanitario Lava platos

LavaderoCalentadorde agua

a. Si el tinaco colocado sobre la casa está sobre el cuarto de servicio, ¿a qué dis-tancia está de cada punto de salida de agua?

b. ¿Cómo has determinado la distancia desde el tinaco hasta cada punto de sa-lida de agua?

c. ¿Existe un método matemático para determinar la distancia de un punto a otro? En binas, realicen una ficha de trabajo relacionado con el teorema de Pitágoras, haciendo la indagación pertinente. En plenaria comparen los métodos y solu-ciones con otros compañeros. Incluyan de manera individual, en las fichas de trabajo anterior, la información relevante discutida en la plenaria.

d. Tomando de referencia la posición del tinaco, ¿cómo se orientaría la posición de cada punto de salida de agua?

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III. De manera individual elabora una ficha de trabajo acerca del plano cartesiano y coordenadas, haciendo la indagación pertinente. Compartan en plenaria la infor-mación y compárenlo lo en las actividades anteriores con la siguiente orientación.

a. ¿Por qué es necesario colocar ejes de referencia?

b. Para ubicar cada punto, ¿qué representa el valor de x y de y en un par orde-nado (x, y)?

c. Los pares ordenados sirven para calcular las distancias entre puntos.

d. Ejemplifica si se puede utilizar cualquier plano para orientarse en algún otro contexto.

e. Incluye de manera individual en las fichas de trabajo anterior la información re-levante discutida en plenaria.

IV. A partir de la actividad anterior, de manera individual, construye un plano de tu casa, escuela o comunidad para determinar las distancias de distribución de agua. Considera lo siguiente. • El punto de referencia como la fuente de distribución de agua. • La fuente de distribución de agua puede ser un río, lago, pileta, tambo de alma-cenamiento, cisterna, etc.

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Existen diferentes tipos de productos con binomios que involucran las leyes de los exponentes; dichos productos cumplen con ciertas características que nos permiten idear reglas de fácil memorización.

Cada uno de estos productos se relaciona con un tipo particular de factorización, pero ¿qué significa factorizar? Una persona factoriza cuando se hace la pregunta inversa a la multipli-cación, es decir, cuando uno se pregunta de qué producto proviene esta o aquella expresión. Por ejemplo, al factorizar al número 36 uno puede decir 9 × 4, o bien 12 × 3. Pero, ¿cómo hacer esto con expresiones algebraicas? Lo veremos más adelante.

Binomio al cuadradoLos binomios al cuadrado son productos repetidos, es decir, son la multiplicación de dos bi-nomios idénticos. Su regla se expresa así: “el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado de la primera expresión, más menos el doble producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda”.

(3x + 7y)2 = 9x 2 + 42x +49y 2

(3a 2 − 5b 3)2 = 9a 4 − 30a 2b 3 + 25b 6

(2x + 8)2 = 4x 2 + 32x + 64

Otro tipo de producto es el de binomios con término común, el cual involucra productos entre binomios que tienen al menos la misma variable en el primero de los términos. Para re-solverlos se aplica la propiedad distributiva, es decir, aquella propiedad que permite multiplicar cada término del primer binomio por cada uno de los términos del segundo.

(3x + 10)(4x − 1) = 12x 2 − 3x + 40x − 10 = 12x 2 + 37x −10

(5x − 4)(2x + 1) = 10x 2 + 5x − 8x − 4 = 10x 2 − 3x − 4

Binomio al cuboUn Binomio al cubo corresponde al producto triple de binomios idénticos. Por decirlo de algún modo, este tipo de producto es el eslabón que sigue al del binomio al cuadrado en la cadena de los productos generales.

Su regla es la siguiente: “el cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, mas menos el cubo del segundo”.

Veamos un par ejemplos y pon especial cuidado a lo que sucede con los signos de los co-eficientes cuando el cubo se calcula a una diferencia o resta.

MA-011 Productos notables y factorización Cierre

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x

(2a + 3b)3 = (2a)3 + 3(2a)2 (3b) + 3(2a) (3b)2 + (3b)3 =8a3 + 3(4a 2)(3b) + 3(2a)(9b 2) + 27b 3 =8a 3 + 36a2b + 54ab 2 + 27b 3

(2x 2 − 2y 3)3 = (2x 2)3 − 3(2x 2)2 (2y 3) + 3(2x 2) (2y 3)2 − (2y 3)3 == 8x 6 − 3(4x 4)(2y 3) + 3(2x 2)(4y 6) − 8y 6 ==8x 6 − 24x 4 y 3 + 24x 2 y 6 − 8y 6

Trinomio Cuadrado PerfectoEs hora de regresar al punto de la factorización. En el contexto de las expresiones algebraicas generalmente se factorizan aquellas que constan únicament de tres términos, es decir, trinomios.

De entre ellos el más famoso es el trinomio cuadrado perfecto. ¿Qué hace tan especial a este trinomio?, las siguientes tres características:

• Se le puede extraer raíz a sus extremos. • Su término central es igual al doble producto de dichas raíces. • Se factoriza como un binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

25x 2 + 20xy + 16y 2 = (5x + 4y)2

Ejemplo 2:

64m 2 − 64mn + 16n 2 = (8m − 4n)2

5x 4y2(5x)(4y)

8m 4n2(8m)(4n)

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Los polígonos más famosos son los triángulos, los cuadrados y los rectángulos. Sin embargo, existen más figuras cerradas cuyo número de lados es superior a 4.

Los polígonos que se incluyen en la tabla anterior comparten una caracte-rística: son regulares. Un polígono es regular cuando es perfecto por dentro y por fuera, es decir, cuando todos sus lados y ángulos interiores son iguales. Por oposición, es más fácil obtener un polígono irregular, pues para ello basta con que la igualdad de un ángulo o un lado falle.

Los cálculos comunes que se obtienen de un polígono son el perímetro y el área.

Área y perímetro de polígonos regulares e irregulares

En el caso de los polígonos regulares, el cálculo de estos parámetros está sin-tetizado en las siguientes fórmulas:

Perímetro = l • n Área= P a2⋅

Es importante determinar el perímetro y el área a polígonos irregulares, como por ejemplo el que ilustra la siguiente figura, que corresponde al trazado de la tubería en un colegio.

AB

C

D

Los planos especifican las siguientes longitudes:AB = 18 m, BC = 16 m, CD = 35 m, DB = 23 m y AD = 10m.Para determinar el perímetro es necesario llevar a cabo una suma: P =18 +

16 + 35 + 23 = 92 metros. Para calcular el área recurriremos al método de triangulación. Una vez divi-

dido el polígono en triángulos, utilizaremos la fórmula de Herón:

( ) ( )= − − −A s s a s b s c( ) , donde =+ +s a b c

2En este caso hay dos triángulos: ABD y BDC

Para ABD s m10 18 232

522

26 .=+ +

= =

y para BDC s m35 16 232

742

37 .=+ +

= =

Por lo que:

A m26 26 10 26 18 (26 23) 26 16 8 (3) 9984 99.9 2( ) ( ) ( ) ( )= − − − = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − = = =A m37 37 35 37 16 37 23 37 2 21 14 21756 147.5 2

Así el área total será igual a la suma de estas cantidades.A = 99.9 + 147.5 = 247.4 m2

MA-103 Polígonos

Triángulo Cuadrado

Pentágono Hexágono

Heptágono Octágono

DecágonoEneágono

Endecágono Dodecágono

ف Figura 1.8 Ejemplos de polígonos regulares.

apotema

lado

ف Figura 1.9 Ilustración de apotema.

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MA-104 Círculo y circunferenciaUno de los rubros estudiados en la hidráulica es el concepto de gasto de una tubería. El gasto (G) mide el volumen de un fluido que escapa por una tubería cuya sección transversal es conocida por cada unidad de tiempo.

El teorema de Bernoulli afirma que la velocidad con que fluye un líquido aumenta cuando el área transversal del tubo disminuye, y viceversa. La expresión matemática que modela esta situación se conoce como la ecuación de continuidad:

Gasto = área x velocidad Gasto =volumen / tiempo

G = A1 v1 = A2 v2

Donde G se mide en m3/s, A es el área en m2 y v es la velocidad en m/s.

Área y perímetroComo la mayoría de las tuberías son circulares, es importante recordar cómo obtener su área y perímetro.

A = π • r 2 P = π • D

Ejemplo: ¡Calcular el gasto del lavamanos!Supóngase que al recolectar el agua que sale del lavabo durante dos minuto se obtiene una cantidad de 15.5 litros. Al medir el diámetro de la tubería con un vernier se obtiene un diámetro de 1.28 cm.

Calculamos el gasto: G = 15.5 lit. / 2 min. = 7.75 lit./min. Sin embargo, es necesario transformar esta unidad a m3 / min, ya que el volumen se mide en unidades cúbicas como 1 m3 = 1 000 litros, basta dividir el gasto entre 1 000.

G = 7.8/ 1 000 = 0 0.0078 m3/min.Con esto se puede determinar la velocidad del agua en una

tubería.

Pues =v GA

Entonces calculemos el área de la sección de tubería, recor-dando que el diámetro es el doble del radio: 0.64 cm = 0.0064 mA = π • r2 = 3.14 (0.0064cm)2 = 3.14 (0.0000409) = 0.000128 m2

Así = =v 0.00780.000128

60.9 metrosminuto

¿Qué es lo que se quiere calcular en el problema? Según el título del problema es necesario identificar el gasto de agua y, los cálculos indican gasto y después velocidad, el proceso inverso G = A1v1= A2 va a llevar nuevamente a 0.0078.

Ecuación de continuidad

Q

V1Q V2

sección: A1

sección: A2

ف Figura 1.10 Tubería y gasto.

ف Figura 1.11 El área transversal de las tuberías es un círculo.

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Los cuerpos geométricos son poliedros (figuras geométricas planas), cuyas caras son polígonos regulares. Nuestro entorno está hecho de formas y figuras, si volteamos a nuestro alrededor, podemos observar que hay cuadrados, rectángulos, círculos y algunas formas más complejas, las cuales ocupan una superficie y un volumen. Algunas de las formas comunes son las siguientes.

ParalelepípedosUn paralelepípedo o hexaedro es un poliedro de seis caras, cuyas caras son paralelogramos; existen diferentes tipos: rectangular, cúbico y oblicuo. Sin embargo, los más comunes que podemos encontrar en la vida cotidiana son: cajas de zapatos, cisternas, albercas, hornos de microondas, portafolios o incluso el cuarto o salón de clases donde te encuentras.

El área superficial de este tipo de cuerpo geométrico se calcula sumando el área de cada una de sus caras.

A= áreas lateras + áreas de basesEl volumen se calcula:V = Ab h es importante recordar que la base del paralelepípedo puede ser un rectángulo,

cuadrado o paralelogramo.

Ejemplo: considera una nevera con forma…como se muestra en la figura 4, cuya base es de 50 cm, su ancho es de 40 cm y su altura es de 60 cm. Calcula el área superficial y el volumen de agua que puede contener.A= 2(60cm) (50 cm) +2(60 cm) (40 cm) +2(50 cm) (40 cm) = 6 000 cm2 + 4 800 cm2 + 4 000 cm2 = 14 800 cm2

V= (60 cm) (50 cm) (40 cm) = 120 000 cm3

PrismasÁrea total = área lateral + 2 veces el área de la base.Volumen = área de la base x altura.Actividad: busca formas de prismas, mídelas y calcula su área y volumen.

Cilindro Área total = 2πrh + 2πr2

Volumen = área base x altura. Actividad: busca formas cilíndricas y calcula su área y volumen.

Esfera Actividad: revisa la imagen de la esfera y sus fórmulas, busca formas esféricas mídelas y calcula el área y el volumen.

Poliedros regulares Actividad: revisa la imagen de los poliedros, busca formas, mídelas y calcula su área y volumen.

Cuerpos geométricos: superficies y volúmenes

MA- 106

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• Recuperación (recuerdo) • Análisis (asociación, clasificación y generalización) • Conocimiento • Metacognición • Comprensión (integración) •

(MA-010, 011, 103, 104, 106)I. De manera individual, contesta el cuestionario de almacenamiento de agua.

a. (MA-106; 1) En tu casa, ¿en qué recipiente almacenan el agua?b. ¿Cómo podrías calcular el volumen de ese depósito de agua?c. ¿Cómo sería la forma de un depósito diferente con el mismo volumen?d. Si en tu casa hay un depósito cúbico (cisterna) de medidas, 2m x 2m x 2m,

¿cuántas veces podrías llenar la lavadora? ¿Cuántas veces podrías usar el ino-doro? ¿Con cuántas jarras de dos litros podrías llenar el depósito?

1. En binas compartan sus respuestas y verifiquen los procedimientos realizados.

II. De manera individual reconoce las características geométricas de algún depósito cú-bico (o paralelepípedo) y registra tus observaciones en la siguiente tabla de carac-terísticas geométricas.

Figura de las caras de la cisterna

Dimensiones de cada cara

Superficie de cada cara

Tabla 1.4 Características geométricas de depósito cúbico.

1. Compartan en binas, la tabla construida y comparen con otros compañeros sus observaciones, cálculos y mediciones utilizadas.

2. De manera individual elabora una ficha de trabajo acerca del cálculo de áreas y perímetros de figuras, haciendo la indagación pertinente. Comparte en plenaria la información y compara lo realizado en las actividades, identificando fórmulas y va-lores necesarios para el cálculo.

3. Incluye de manera individual, en las fichas de trabajo anterior, la información rele-vante discutida en plenaria.


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III. (MA-010;1) En binas completa la siguiente tabla.

Dimensiones Ancho en cm

Largo en cm

Superficie (escribe tus operaciones)

Alto en cm

Volumen en mL (escribe tus operaciones)

Capacidad en litros

3m3m

3m 52 m

52 m

52 m xm

xm

xm

3m3m

3m 52 m

52 m

52 m xm

xm

xm

3m3m

3m 52 m

52 m

52 m xm

xm

xm

Tabla 1.5 Volumen de un cubo.1. Comparte el procedimiento empleado con tu compañero y responde las siguientes preguntas.

a. ¿Cómo podrías construir un depósito cúbico para almacenar agua de lluvia?b. ¿De qué material lo construirías? c. ¿Para qué podrías usar esa agua? d. Con esa agua, ¿cómo podrías reducir el consumo de agua potable de alguno de los usos de la

“Tabla 2. Consumo de agua en el hogar”?2. En binas, compartan el método que emplearon y los pasos que siguieron. En plenaria comparen

las soluciones con otros compañeros.3. De manera individual, realiza una ficha de trabajo sobre cálculo de volúmenes, haciendo la indagación

pertinente. Comparte en plenaria las metodologías que encuentres entre compañeros y coloca notas relevantes en la propia y si alguna metodología es similar a la que se utilizó en su procedimiento.

4. Incluye, de manera individual en la ficha de trabajo anterior, la información relevante discutida en plenaria.

IV. (MA-106; 3) Responde de manera individual el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en tu cuaderno):

1. En casa de un amigo suelen almacenar agua en tres tambos de 1 m de diámetro por 1.2 m de altura.Forma de las caras

de un tambo

Dimensiones de cada cara

Superficie de cada cara

Volumen de un tambo

Tabla 1.6 Propiedades geométricas del tambo.

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2. Comparte en binas los resultados anotados en la tabla y contesta el siguiente cuestionario de almacenamiento de agua.a. ¿Cuánta agua puedes almacenar en dos de esos tambos? b. ¿Cuántas cubetas de 20 l de capacidad llenarían los tres tambos? c. ¿Cuántos tambos de agua se requieren para llenar la cisterna del punto I, pre-

gunta d? Compartan en binas el cuestionario resuelto y comparen con otros compañeros sus observaciones, cálculos y mediciones utilizadas.

3. De manera individual completa la ficha de trabajo de cálculo volúmenes construida en el punto III. Comparte en plenaria la información y compare lo realizado en las actividades identificando fórmulas y valores necesarios para su cálculo de cilindros.

V. Responde de manera individual el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en tu cuaderno):

1. Un estudiante propone un cuerpo geométrico diferente a los tradicionales, ¿que debe considerar para su construcción?

2. Comparte en plenaria tus observaciones al planteamiento y escribe lo más rele-vante. En plenaria contesta las preguntas.a. ¿El cálculo de volumen seguirá la misma estrategia que en los depósitos anteriores? b. ¿Sería eficiente el uso de otro tipo de depósito en casa?

3. De manera individual, realiza una ficha de conclusión de la importancia de los cuerpos geométricos para el almacenamiento de agua y otras sustancias u objetos.

4. Comparte la información de la ficha en plenaria.

VI. De manera individual revisa la siguiente información de “¿Cómo podemos controlar el mosquito del dengue?” http://gpoe.mx/fhvOoW

1. Discutan en plenaria las medidas de prevención requeridas para almacenar agua orientándose en las siguientes preguntas:a. ¿Cuáles son las medidas de sanidad que debemos seguir cuando almacenamos agua? b. ¿Cuáles son las consecuencias de mantener agua estancada sin cubrirla? c. ¿Qué otra enfermedad puede proliferar por el descuido de almacenamiento de agua?

2. En plenaria comparte ideas y anécdotas anotando en la libreta las ideas que con-sideres más relevantes.

VII. La importancia de cubrir los recipientes de almacenamiento para evitar la proli-feración de enfermedades es muy importante. De manera individual analiza el si-guiente planteamiento.

1. Para construir la tapa de una cisterna de agua, se cuenta con láminas de diferente tamaño y forma (Fig. A, Fig. B y Fig. C).

1

1

1

x

x

x

Figura A Figura B Figura C

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2. Completa la siguiente tabla, calculando el perímetro y el área de las figuras anteriores.

Figura Medida de los lados Perímetro ÁreaA

B

C

Tabla 1.7 Partes de las tapas.

VIII. Responde en binas el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en tu cuaderno).

Las piezas que conforman las tapas diseñadas a continuación son las Figuras A, B y C del inciso anterior. Formando tapas cuadradas cada vez más grandes, ver por ejemplo la tapa 1, la tapa 2, la tapa 3, …, tapa n.

Tapa 1 Tapa 2 Tapa 3

3. En binas completa la tabla de tapas de cisterna, tomando en cuenta las dimen-siones de cada tapa.

Núm. de tapa Medida de un lado Perímetro Área

1 x + 1 4(x + 1) (x+1)2 = (x+1)(x+1) = x 2 + x + x + 1 =

x 2 + 2x + 1

2

3

4

5

6

n

Tabla 1.8 Tapas de cisterna.

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4. Comparte con un compañero la tabla resuelta. Realiza una ficha de trabajo des-criptiva con el procedimiento de cálculo de área que empleaste y los pasos que seguiste. En plenaria compara las soluciones con otros compañeros.

5. Esta ficha se complementará con la siguiente actividad.

IX. Responde en binas el siguiente planteamiento (escribe el procedimiento en tu cuaderno).

Ahora, de una tapa cuadrada cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan al-gunas partes y queda una tapa cuadrada más pequeña, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B?

Fig. A Fig. B

x

x

x

x

5

5

6. En binas, analicen los posibles procedimientos para calcular el área y contesten el siguiente cuestionario.a. Si la medida original de un lado es x, ¿cómo representarías la nueva medida después

haber reducido 5 unidades?, ¿cuál es la expresión que permite calcular el área?

b. En las figuras A y B se identifican 5 figuras de diferentes tamaños, ¿cuáles son?, ¿cuáles son las medidas de sus lados?, ¿cuáles son las expresiones que calculan el área de cada una de ellas?

7. Compartan las respuestas con sus compañeros y comparen las respuestas. Realicen una ficha de trabajo descriptiva con el procedimiento de cálculo de área que em-plearon y los pasos que siguieron.

8. De manera individual realiza una ficha de trabajo sobre productos notables (binomio al cuadrado), haciendo la indagación pertinente. Comparte en plenaria las meto-dologías que encuentren entre compañeros y coloca notas relevantes en la propia.

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I. Autoevaluacion. Lee con atención los siguientes rubros y, usando los números del 1 al 3, califica el nivel de comprensión que creas haber alcanzado.

Contenidos específicos 1 2 3

Uso de variables, número general e incógnitas.

Lenguaje algebraico y representación de expresiones verbales

Fenómenos discretos lineales y no lineales

Operaciones con polinomios y exponentes

Productos notables y factorización

Ecuaciones lineales

Triángulos y teorema de Pitágoras

Totales:

II. Elabora además una ficha de trabajo con una composición acerca de la actividad que más te haya gustado. El formato de tu trabajo escrito deberá seguir el formato de “Carta a un amigo”, por lo que el lenguaje a usar es libre y personal. Graba un audio de la lectura de tu trabajo y escúchalo varia veces. ¿Qué calificación te asignarías?

Explicación del proyectoUn plan de acción

I. De manera individual o en parejas elaboren un plan de acción para implementar el cuidado del agua.

1. Para ello es necesario investigar con que problemas se enfrenta el municipio en el que viven en lo referente al abastecimiento de agua.

2. Con base en ello se deben realizar estimaciones sobre el consumo de agua en el hogar. Estas deberán argumentarse, apoyadas en tablas y cálculos reales. Una vez hecho esto el alumno debe proponer una serie de medidas para reducir el consumo de agua. Para ello puede recurrir a cambios en los depósitos de inodoros, en la ca-pacidad y forma de los contenedores o botes de uso diario, técnicas para reutilizar el agua, recolección, etc.

3. Al final, cada alumno debe integrar un informe escrito o en forma digital acerca de los alcances de su plan de acción.

• Evaluación 2 •

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Prelectura1. ¿Qué estrategias crees que se deberían implementar para enfrentar los problemas

de escasez de agua?2. ¿Dónde consideras que se concentra la mayor cantidad de agua en el mundo?

Lectura

Ostras para saciar la sed en América Latina

(El País, 30 de agosto de 2018)

Entre el blanco y el negro, hay infinitos matices. Lo mismo entre el verde y el gris. Y es allí donde Latinoamérica y el Caribe tiene que encontrar la clave para responder a la creciente demanda de agua de los años venideros, en el justo equili-brio entre infraestructuras tradicionales (llamadas grises) y las soluciones basadas en la natura-leza (verdes), coinciden los expertos reunidos en Estocolmo hasta hoy viernes para la Semana Mundial del Agua (World Water Week).

“Un tercio del agua potable del mundo se encuentra en América Latina y el Caribe, pero se trata de una abundancia relativa”, asegura Sergio I. Campos G., jefe del Departamento de Agua y Saneamiento del Banco Interamericano de Desarrollo (BID), que ha facilitado la logís-tica para cubrir este evento. Las consecuencias del cambio climático, urbanización y la mala gestión del agua ya empiezan a tomar forma en su región. Sequías e inundaciones se repiten con mayor fre-cuencia e intensidad, mientras que las grandes ciudades consumen más agua de la que tienen a disposición. “Nuestros recursos no son infinitos.

Las infraestructuras grises seguirán desempeñando un papel crucial, pero sólo son una parte de la ecuación para el futuro”.

Marismas, coral, manglares, arrecifes de ostras y dunas son sólo algunos ejemplos de los usos que se pueden hacer de los elementos de la naturaleza para responder a los retos impuestos por el rápido crecimiento de las ciudades, cambio climático y degradación del suelo. América Latina y el Caribe ya cuenta con 24 fondos de agua, un mecanismo que apunta a contribuir a la seguridad hídrica de las áreas metropolitanas a través de la inversión en infraestructuras verdes. A través de revege-tación, reforestación, protección de ríos —para evitar que los animales que pastan en la zona los contaminen—, mejora las prácticas de agricultura y ganadería, reducen los sedimentos que llegan al agua, al mismo tiempo que mejoran la cantidad del recurso y regulan los flujos. De esta manera, se acumula agua para las épocas de sequía y, en época de lluvias, actúan como una barrera para evitar daños físicos a las ciudades.

Poslectura1. ¿Por qué la abundancia de agua en América Latina es “relativa”?2. Según el texto, ¿qué es lo que propicia el aumento en las sequías y las inundaciones en

la región de América Latina?3. ¿Cuáles son los recursos de la naturaleza que pueden ayudar a combatir los problemas

de escasez de agua?4. Menciona algunas prácticas que permiten la acumulación de agua para época de sequías.

• Fomento a la lectura •

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• Metacognición (monitoreo de procesos) • Sistema interno •

I. Para hacer evidente un diagnóstico del consumo de agua con un análisis algebraico del gasto de agua en el hogar, selecciona los productos realizados a lo largo de la UAC I, que cumplan con responder las siguientes preguntas.

a. ¿Hay suficiente agua en mi municipio para las personas?

b. ¿Cómo utilizo el agua?

c. ¿Cuánta agua consumo?

d. ¿Cómo se distribuye en mi casa?

II. Para hacer evidente la estrategia para el consumo óptimo de agua en el hogar uti-lizando métodos matemáticos, selecciona los productos realizados a lo largo de la UAC I, que cumplan con responder las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál es la mejor manera para almacenarla?b. ¿Qué puedo hacer para reducir el consumo de agua de mi familia?

III. En binas revisa la siguiente información de consumo responsable en la siguiente página:http://gpoe.mx/KJO6tY

1. Discute en plenaria las medidas de prevención requeridas para optimizar el uso de agua, lee con atención las siguientes preguntas.En su casa, escuela o comunidad.a. ¿Alguna propuesta es desarrollada? b. ¿Alguna propuesta les parece pertinente para aplicarla en su comunidad?

2. Seleccione una o varias propuestas haciendo la adecuación pertinente para generar cambios en el consumo responsable del agua en tu hogar, escuela y comunidad.

IV. De manera individual, organiza la información recabada en los incisos A, B y C. Redacta el plan de acción con todos los productos que recolectaste, para el cuidado del agua en tu casa, incluyendo las consecuencias y las alternativas para el cuidado del medio ambiente y preséntalo para evaluación en algún formato impreso o digital.


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Desarrollo de Habilidades Socioemocionales

La historia de un granjero

Para reflexionar

Esta dinámica sirve para hacer reflexionar a los alumnos acerca de las historias que conocen, ya sean sobre sus compañeros u otros temas, como la política. La idea es hacerles ver que hay varias versiones de la misma historia, que ellos deben desarrollar un criterio propio y tener cuidado con creer o reproducir todo lo que escuchan.

Paso a paso • Elegir 4 o 5 voluntarios y se les invita a salir de la clase a todos menos a 1. • Seleccionar una historia corta y contársela al voluntario que se ha que-dado (al final de este apartado puedes ver un ejemplo de historia).

• Una vez que el primer voluntario ha escuchado la historia, éste debe contársela a otro voluntario de los que permanecieron afuera, después este voluntario contará la historia al siguiente y así sucesivamente hasta que no queden más voluntarios.

• Finalmente, se vuelve a leer en voz alta la historia para que todos la escuchen nuevamente y reflexionen sobre lo que les ha llegado de ésta y lo que les han contado sus compañeros.

Materiales

• Valorar la riqueza de la intersubjetividad

• Escucha activa • Tolerancia

• Una historia impresa • Mesa • Sillas

¿Cómo te sentiste durante la actividad?

Me da igual

Me emociona

No me gusta

Me gusta

Nuestro objetivo

Desarrollo de habilidades

La historia del granjeroUn granjero en el oeste de Extremadura colocó un tejado delgado sobre su granero. Poco después un viento huracanado lo hizo volar y cuando el granjero lo encontró a veinte kiló-metros, estaba doblado y encogido con imposible reparación.Un amigo y un abogado le indicaron que la compañía Ford de automóviles le pagaría un buen precio por la chatarra y el granjero decidió enviar el tejado a la compañía para ver cuánto podría sacar de él. Lo embaló en una gran caja de madera y lo envió a Avilés, Asturias po-niendo claramente el remite para que la compañía Ford supiera enviar el cheque.Pasadas doce semanas, el granjero no había oído nada de la compañía Ford. Finalmente, cuando estaba a punto de escribirles para averiguar lo que pasaba, recibió un sobre de ellos. Decía así: “No sabemos que chocó contra su coche, pero lo tendremos arreglado para el día quince del siguiente mes”.

Para terminarLa libertad

I. Formar subgrupos, en función del tamaño del grupo.El dinamizador comenzará a hablarles de la libertad e introducirá la dinámica.Por grupos, deben abordar los siguientes temas: • Un momento de mi vida en el que me sentí libre. • Un momento de vida en el que me sentí oprimido. • Un momento de mi vida en el que oprimí a otras personas.

II. Después de que todos los integrantes de cada subgrupo hayan compartido sus experiencias con los demás, deberán elaborar entre todos una definición de la palabra libertad y otra, para opresión.

III. Todos los subgrupos exponen sus definiciones y se produce un debate hasta que lleguen a un acuerdo en común.

IV. El facilitador deberá enfatizar cómo abordar estos aspectos en relación con la comunicación asertiva.

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• Evaluación de situación de aprendizaje •

Producto integradorRedacta a computadora un “Plan de acción” para racionalizar el consumo de agua. Éste puede estar diri-gido al consumo en tu hogar o en la escuela. Para ello recurre a las fichas trabajadas en cada actividad, de modo que el plan incluya herramientas tales como:

• Uso de variables. • Lenguaje algebraico. • Uso de áreas y volúmenes en cuerpos geométricos.

• Modelos lineales. • Estimaciones reales sobre el gasto de agua.

Rúbrica del producto integrador interdisciplinar de la Unidad de Aprendizaje Curricular I (UAC I)Guion de estrategia de prevención 60%

CG11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. A1. Asume una actitud que favorece la solución de problemas ambientales en los ámbitos local, nacional e internacional.

Saberes IndicadoresNiveles de desempeño

PuntajeRequiere apoyo(1 punto)

En proceso(2 puntos)

Desarrollado(3 puntos)

Con

ocer

Identifica los diversos usos que

se le da al consumo inadecuado de agua, así mismo reconoce las estrategias que se pueden tomar para optimizar su

consumo.

No identifica los diversos usos que

se le da al consumo inadecuado de

agua, así mismo no reconoce las estrategias que se pueden tomar para optimizar su

consumo.

Identifica algunos usos que se le da al consumo inadecuado de agua, así mismo reconoce algunas estrategias que se pueden tomar para optimizar su

consumo.

Identifica la mayoría de los usos que se le da al consumo

inadecuado de agua, así mismo reconoce las estrategias que se pueden tomar para optimizar su

consumo.

Hac

er

Aplica un pensamiento crítico al desarrollar una estrategia que modifique sus

hábitos de consumo diario

de agua.

No aplica un pensamiento crítico al desarrollar una estrategia que modifique sus

hábitos de consumo diario

de agua.

Aplica un pensamiento crítico al desarrollar una estrategia que

modifique algunos de sus hábitos de consumo diario

de agua.

Aplica un pensamiento crítico al desarrollar una estrategia que

optimice el consumo diario de agua.

Ser

y co

nviv

ir Comparte un plan de acción que le permite crear conciencia en el óptimo consumo

diario de agua.

Comparte un plan de acción que le permite crear conciencia en el óptimo consumo diario de agua en

su casa.

Comparte un plan de acción que le permite crear conciencia en el óptimo consumo

diario de agua, en su casa y en la escuela.

Comparte un plan de acción que le permite crear conciencia en el óptimo consumo

diario de agua, en su casa, escuela y comunidad.

Total

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Or teIngeniería química

María Teresa Alarcón Herrera La ingeniera química por el Instituto Tecnológico de Durango se ha dedicado a estudiar la contaminación del aire y el agua de México. Actualmente es direc-tora académica del Centro de Investigación de Materiales Avanzados (CIMAV) Durango, institución que tiene su sede en Chihuahua. Alarcón Herrera ha trabajado en el área de energía renovable y tiene estudios en botánica.

¿Qué es?La profesión otorga los conocimientos teóricos y prácticos en los diferentes as-pectos de la hidrología, es decir, el estudio del agua en la tierra: su origen, circu-lación y distribución, sus propiedades físicas y químicas, su relación con el medio ambiente y con los seres vivos.

Algunas de sus características son: • Cuantificar y normar criterios para el uso y explotación racional del agua. • Evalúa operaciones agroalimentarias. • Evalúa la distribución y circulación del agua. • Adapta y transfiere tecnologías en el aprovechamiento de los recursos hídricos.

• Aplica metodologías de análisis de aguas en los diferentes sistemas hidrológicos y aguas residuales.

¿Qué necesito?I. Marca las habilidades que posees y trabaja en las que debes adquirir.

Desarrolla habilidadesTrabajo en equipoSer una persona observadora, analítica, inquieta, atenta al detalle y con gran capacidad para la resolución de problemas.Dominio de conceptos fundamentales de Matemáticas, Física y Química.Manejo de la tecnología.Manejo de instrumentos de medición.II. Investiga qué carreras se imparten en universidades cercanas a ti.

Elige una profesiónFísica Ciencias de la TierraIngeniero agrónomoOceanología

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u repro

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x

• Evaluación objetiva •

1. Elabora un mapa mental de los usos más comunes del agua en tu hogar.

2. Con tus palabras expresa la problemática del desabasto de agua en tu comunidad, fundaméntalo con porcentajes y operaciones, utiliza números reales.

3. Fundamenta matemáticamente el consumo diario de agua en tu hogar. Investiga cuántas casas hay en tu municipio y saca un promedio de consumo diario, semanal y mensual.

4. Con lo aprendido a lo largo del UAC, elabora una ecuación que sustente el consumo de agua en cualquier tiempo x.

5. Identifica todos los posibles triángulos rectángulos que haya en tu casa y determina cuánto miden aproximadamente, ubica especialmente el lugar donde sepas que pasen tuberías ya sea de drenaje o de abasto de agua. Elige tres triángulos rectángulos, mídelos y calcula su hipotenusa. Con la información obtenida contesta lo siguiente.

6. Se podrá aprovechar aún más el abasto de agua, colocando tuberías en diagonal. Justifica tu respuesta.

7. Resuelve los ejercicios siguientes.a. 2a − 3b + 5a + 7b − 13 − 11 =b. (2a − 3b)2=c. (2a − 3b)3 =

d. 5x − 8 = 9 − xe. 3x + 2 = 11

· UAC I ·

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¿Cuál es la enseñanza principal que obtuviste de esta unidad?

¿Cuál fue la actividad que más te gustó?

¿Qué procedimiento revisado fue más difícil?

¿Crees que las Matemáticas pueden ayudar al cuidado del agua?

• Metacognición •

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• Evaluación de saberes •

Evaluación de la Unidad de Aprendizaje Curricular I (UAC I)

Saber Saber hacer Saber ser y convivir

• Clasifica los números reales.

• Realiza operaciones con números reales.

• Conoce el Lenguaje algebraico

• Distingue los productos notables.

• Enuncia operaciones con polinomios.

• Realiza ecuaciones lineales de una variable.

• Ubica en el Plano cartesiano: sistema de coordenadas

• Utiliza triángulos: Teorema de Pitágoras.

• Reconoce los polígonos y poliedros.

• Distingue circunferencia y círculo: Perímetro de la circunferencia, área del círculo.

• Utiliza las propiedades de los números reales en operaciones aritméticas.

• Explica y construye la solución de problemas aritméticos.

• Utiliza operaciones algebraicas para resolver problemas de la vida cotidiana.

• Identifica los procedimientos para resolver problemas algebraicos.

• Explica la solución de problemas algebraicos.

• Representa las variables de un problema de su contexto.

• Localiza y determina puntos en el plano y determina distancias entre dos puntos.

• Analiza el Teorema de Pitágoras en la solución de problemas de su entorno.

• Identifica perímetros, áreas, y volúmenes de cuerpos geométricos planos y en el espacio.

• Aplica los elementos del círculo y la circunferencia en la solución de situaciones cotidianas.

• Afronta retos asumiendo la frustración como parte del proceso.

• Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa.

• Expresa libremente sus ideas, mostrando respeto por las demás opiniones.

• Maneja y regula sus emociones, reconociendo sus fortalezas y áreas de oportunidad.

• Toma decisiones con base en resultados analizando consecuencias.

• Expresa ideas y conceptos favoreciendo su creatividad.

• Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria.

• Adquiere una actitud responsable en la toma de decisiones, que le permite reflexionar sobre las consecuencias.

· UAC I ·

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Indicadores disciplinares de la Unidad de Aprendizaje Curricular I (UAC I) de Matemáticas

Competencia disciplinar Saber conocer Saber hacer Saber ser y

convivir

1. Construye e interpreta modelos

matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales, para

la comprensión y análisis de

situaciones reales, hipotéticas o

formales.

Identifica modelos matemáticos y conoce los


geométricos y variacionales en el análisis de


formales.

Utiliza los procedimientos

aritméticos, algebraicos,

geométricos y variacionales para la construcción

de modelos matemáticos de


formales.

Valora la utilidad de los procedimientos


geométricos y variacionales para resolver en comunidad

problemas reales, hipotéticas o

formales.

4. Argumenta la solución obtenida

de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos

o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático

y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Identifica argumentos

matemáticos, conoce los métodos numéricos, gráficos, el lenguaje verbal

y matemático en la solución de

problemas.

Utiliza un lenguaje verbal y matemático

con métodos numéricos y gráficos

para argumentar la solución de problemas.

Aprecia el beneficio de trabajar

colaborativamente para resolver problemas, utilizando

operaciones matemáticas,

métodos numéricos y gráficos.

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Evaluación de las competencias disciplinares de la Unidad de Aprendizaje Curricular I (UAC I) Matemáticas

Competencias disciplinares: CD1-MA, CD4-MA

Sabe

res

Indicadores

Niveles de desempeño

Instrumentos de evaluaciónBásico

(requiere apoyo)0-5

Intermedio (en proceso)

6-8

Avanzado(desarrollado)

9-10

Con

ocer

Identifica modelos matemáticos y conoce los




formales.

No identifica modelos

matemáticos y no conoce los procedimientos


geométricos y variacionales en el análisis de situaciones

reales, hipotéticas o formales.

Identifica algunos modelos matemáticos y

conoce algunos de los procedimientos




formales.

Identifica diversos modelos

matemáticos y conoce los




formales.

Prueba objetivaRúbrica

Identifica argumentos

matemáticos, conoce los métodos

numéricos, gráficos, el

lenguaje verbal y matemático

en la solución de problemas.

No Identifica argumentos

matemáticos, no conoce

los métodos numéricos, gráficos, el



Identifica algunos argumentos

matemáticos, conoce algunos de los métodos




Identifica diversos argumentos

matemáticos, conoce los métodos




Prueba objetivaRúbrica

· UAC I ·

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x

Hac

er

Utiliza los procedimientos





formales.

No utiliza los procedimientos



de modelos matemáticos de situaciones

reales, hipotéticas o formales.

Utiliza algunos de los procedimientos





formales.

Utiliza diversos procedimientos





formales.

Rúbrica

Utiliza un lenguaje verbal y matemático con

métodos numéricos y gráficos para

argumentar la solución de problemas.

No utiliza un lenguaje verbal y matemático con métodos numéricos y gráficos para argumentar

la solución de problemas.

Utiliza en ocasiones un un lenguaje verbal y matemático con métodos numéricos y gráficos para argumentar


Utiliza generalmente un lenguaje verbal y matemático con métodos numéricos y gráficos para argumentar


Rúbrica

Ser

y co

nviv

ir

Valora la utilidad de los procedimientos




formales.

No valora la utilidad de los procedimientos




formales.

Valora en ocasiones la

utilidad de los procedimientos




formales.

Siempre valora la utilidad de los procedimientos




formales.

Guía de observación

Aprecia el beneficio de trabajar



métodos numéricos y gráficos.

No aprecia el beneficio de trabajar



métodos numéricos y

gráficos.

Aprecia algunas veces el beneficio

de trabajar colaborativamente

para resolver problemas, utilizando



gráficos.

Siempre aprecia el beneficio de trabajar




gráficos.

Guía de observación

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x

1. Si “a” es un número entre 1 y 10, ¿cuál de las siguientes expresiones tiene el mayor valor numérico x = (a3)5 o y = (a8)2?a. xb. y

c. depende de ad. Son iguales.

2. El área de un empaque de cartón está dada por la expresión A = 2x 2y + 3x – y. Cuál es el área, cuando x = 1 y y = 2. a. 9 b. 6

c. 8 d. 0

3. Un cilindro tiene 3 cm de radio por 12 cm de alto. Sabiendo que 1 cm3 equivale a un gramo de agua, determina cuántos gramos tiene el cilindro cuando está lleno a la mitad.a. 169.5 grb. 339.12 gr

c. 113.04d. 56.5 gr

4. Si el gasto de una tubería es 2.5 litros por minuto, mientras que el de otra es 1.5 litros por minuto. Cuánto tardarán ambas tuberías en llenar una cisterna de 2 m3. De capacidad.a. Menos de 5 horas. b. 10 horas.

c. 4 horas. d. Poco más de 8 horas.

5. El área de una cuadrado está dado por la siguiente expresión 64a7b8. Calcula la medida del lado. a. 8a3 b4

b. 32a3 b4

c. a b a8 3 4

d. a b ab8 3 4

6. Dado que r = 4 cm, R = 8 cm y h = 12 cm, usa la fórmula

V h R r Rr3

( )2 2π= + +

y determina el volumen del siguiente cono truncado.

R

h

r

a. 216.5b. 1 406.72c. 1 020.4d. 590.88

• Prueba tipo PLANEA •Respuestas

b c da

b c da

b c da

b c da

b c da

b c da

· UAC I ·

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Josué David Sánchez Hernández Edgar Argueta Martínez su ...

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