DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Juan Carlos Colonia

ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS

IMPORTANTES

Entre las principales distribuciones continuas

tenemos:

Distribución Exponencial

Distribución Normal

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución exponencial suele ser usada para

modelar fenómenos aleatorios que miden el

tiempo que transcurre entre que ocurren dos

sucesos. Por ejemplo tiempos entre llegadas en

instalaciones de servicio, tiempo de falla de

componentes y sistemas eléctricos, entre la

puesta en marcha de una cierta componente y su

fallo o el tiempo que transcurre entre dos

llamadas consecutivas a una central telefónica.

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución de exponencial con parámetros , si su función de densidad esta dado por:

Notación:

Características numéricas:

x

X

e x 0f x

0 x 0

0

X Exp

1

E X

2

1V X

x es el

intervalo

de interés

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Propiedad: Si entonces:

Debido a esta propiedad, se dice que la distribución

exponencial no tiene memoria. Por ello, se suele utilizar

cuando medimos el tiempo de vida restante de poblaciones

que no envejecen con el tiempo.

Esta propiedad es bien frecuente, determinados dispositivos

electrónicos, por ejemplo, no sufren desgaste, por lo que

prácticamente no envejecen, por tanto su probabilidad de

fallo no aumenta con su vida útil.

T Exp

t

0 0 0P T t t T t P T t e t , t 0

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 1:

El tiempo medio de vida de cierto tipo de circuitos es 8 años. Calcular:

a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.

b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años,

viva 15 años más.

T : tiempo de vida de los circuitos

Como , entonces , luego

Por tanto la función de densidad es: 0.125t

Tf t 0.125e t 0

T Exp 0.125 E T 81

8

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 1:

a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.

b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años, viva 15

años más.

12

0.125t

3

P 3 T 12 0.125e dt 0.46

0.125 15P T 25 T 10 P T 15 e 0.15

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 2:

Una oficina de reclamos, recibe un promedio de cinco llamadas por hora.

Empezando en un momento aleatoriamente seleccionado, hallar la

probabilidad de que la primera llamada llegue dentro de la media hora

siguiente.

Se desea calcular la probabilidad para un intervalo de tiempo, lo cual implica

que se trata de una distribución exponencial. De acuerdo al problema, el

promedio es el número de eventos por un intervalo de tiempo diferente (5

llamadas por hora) o sea el valor de es 5, por tanto en media hora

2.5

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Ejemplo 2:

T : tiempo entre llamadas

2.5t

Tf t 2.5e t 0

T Exp 2.5

1

2.5t

0

P T 1 2.5e dt 0.9179 Se toma 1 por que se trata de un

tiempo de media hora

DISTRIBUCIÓN NORMAL

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal es la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística.

Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y los realizados por los humanos, por ejemplo alturas, pesos, errores de medición en experimentos científicos.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal con parámetros y si su función de densidad es de la forma:

Notación:

Características numéricas:

2

2

2

x

2X

1f x e x

2

2X N ,

2V X E X

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Grafica:

GRAFICAS

Igual diferente Diferente igual

2 2

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

Definición:

Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal estándar si y . La función de densidad toma la forma:

Notación:

0 2 1

2x

2X

1f x e x

2

X N 0 ,1

ESTANDARIZACIÓN

Si X una variable aleatoria tal que entonces

la variable

Tiene distribución normal estándar .

Esta transformación se llama estandarización.

2X N ,

XZ

Z N 0 ,1

PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN

NORMAL

Para calcular probabilidades para cualquier

distribución normal, se requiere de una tabla con

probabilidades para una .

Se realiza la estandarización de la variable y se

calcula la correspondiente probabilidad en la .

N 0 ,1

N 0 ,1

Parte

entera

Parte

decimal

Probabilidad

TABLA DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN

NORMAL

Propiedades:

P Z a P Z a 1 P Z a

P Z a P Z a

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo:

X N 175 , 36

180 175

P X 180 P Z P Z 0.83336

180 175

P X 180 P Z 1 P Z 0.83336

P X 180 P Z 0.8333 0.7967

P X 180 1 P Z 0.8333 0.2033

DISTRIBUCIÓN NORMAL

P X 180 0.7967 P X 180 0.2033

0.7967

0.2033

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo:

165 175P X 165 P Z P Z 1.67

6

P X 165 P Z 1.67 P Z 1.67 0.9525

X N 175 , 36

0.9525 0.9525

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo:

165 175P X 165 P Z P Z 1.67

6

P Z 1.67 P Z 1.67 1 P Z 1.67 1 0.9525 0.0475

X N 175 , 36

0.0475 0.0475

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo:

165 175 165 180P 165 X 180 P Z

6 6

X N 175 , 36

P 165 X 180 P 1.67 Z 0.8333

P 165 X 180 P Z 0.8333 P Z 1.67

P 165 X 180 0.7967 1 0.9525 0.7492

P 165 X 180 P Z 0.8333 1 P Z 1.67

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Ejemplo:

165 175 165 180P 165 X 180 P Z 0.7492

6 6

X N 175 , 36

0.7492

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Si para cualquier número a, b se tiene:

2. Si X y Y son dos variables independientes tal que y entonces: 2

X XX N , 2

Y YY N ,

2 2

X Y X YX Y N ,

2X N ,

2 2aX b N a b , a

APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Aproximación Normal de la Distribución Binomial

Sea tal que n tiende a infinito entonces:

Esta aproximación será buena si y

Aproximación Normal de la Distribución de Poisson

Sea entonces:

Para

X B n , p

X N np , np 1 p

np 5 n 1 p 5

X P

X N ,

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