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8/19/2019 juan laura tarea fisica.docx

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Una partícula se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x en un movimiento

armónico simple a partir del origen en t = 0 s. Si la amplitud de su movimiento

es de 2,00 cm y la frecuencia es 1,5 Hz, a) pruebe que su desplazamiento está

dado por x = 2 ,00sen 3,00t. Determine b) la velocidad máxima y el tiempo más

anterior (t > 0) en el cual la partícula tiene esa velocidad, c) la aceleración

máxima y el tiempo anterior en que ocurre, y d) la distancia total recorrida entret=0 y t=1,00s

La ecuación de un Mas viene de la expresión primitiva:

md²y/dx² + ky = 0; su solución después de un poco de álgebra es:

y (t) = a cos ωt + b sen ωt,

si las condiciones iniciales nos dicen que cuando t=0; Y(o)=0; tenemos que la ecuación se reduce a

y(o) = b sen 0º = 0;puesto que sen 0º=0;

vemos por el enunciado que la amplitud; b = 0.02 m.(traducido a metros)

con esto la ecuación se nos transforma en…

y (t) = 0.02 sen ωt. Si la f = 1.5 Hz sabiendo que

ω= 2πf = 2π1.5; then..

y (t) = 0.02 sen 3 π t. cqd en a)

la velocidad es la derivada de y(t)…

y(t)́= 3 π *0.02*cos 3 π t, su máxima velocidad vendrá cada vez que …

cos 3 π t= 1

y esto ocurre cuando 3 π t = n π; siendo n = 1,2,3,4,…→ ∞.

o lo que es igual: t = n/3 cqd en b)

La aceleración es la 2ª derivada de la ecuación primitiva:

Y(y)̀̀ = -9 π² *y(t) = -9 π² *0.01sen 3 πt;

La aceleración máxima será ±9π², siempre que sen 3πt = 1 = (n-½) π, con..n = 1,2,3,4….→∞

o mejor dicho cada vez que t = (n-½) π/3 π. cqd en c).

cuando t = 1

y (1) = 0.02 sen 3π;

que mas o menos es:

y(1) = 0.01*(-1) = -0.01mtr. cqd en c)

Convendría puntualizar que lo que expresa el enunciado acerca de que: "Una partícula se mueve hacia la

derecha a lo largo del eje x en un movimiento armónico simple a partir del origen en t = 0 s." es que

comenzamos a contar el tiempo en el instante en que la partícula pasa por su posición de equilibrio.

a) Por tanto, la ecuación tipo de un movimiento armónico simple, en estas condiciones es,

x = A sen ωt

siendo,


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A: la amplitud del movimiento = 2 cm

ω: la pulsación del movimiento = 2πf = 3π seg⁻1 (el exponente es -1)

con lo cual, la ecuación queda en la forma. x = 2 sen 3πt

b) La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo

v = dx/dt = 6π cos 3πt

La velocidad será máxima cuando cos 3πt = ± 1, es decir, cuando 3πt = nπ, siendo n, un número natural, pero

como el enunciado pide el valor del tiempo, t>0, para el cual la velocidad es máxima, la solución es 3πt = 0, es

decir parta t = 0 s, que corresponde al instante en que la partícula pasa por el origen. De modo que,

vmáx = + 6π cm/s.

c) La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo,

a = dv/dt = –18π² sen 3πt

La aceleración será máxima cuando sen 3πt = ±1, es decir, cuando 3πt = nπ/2, siendo n, un número natural;

pero como el enunciado pide el valor del tiempo más anterior, se refiere, evidentemente, al primer instante en

que la aceleración es máxima, y esto ocurre para 3πt = π/2, es decir para t = 1/6 s, que corresponde al

instante en que la partícula alcanza su máxima elongación positiva. De modo que,

amáx. = –18π² cm/s²

d) Este apartado tiene un doble sentido, porque no hay que confundir, "la distancia total recorrida" con el

"desplazamiento efectuado".

En el instante t = 0, la partícula pasa por el origen, x = 0, con una velocidad, v = 6π cos 3π =+6π cm/s., es

decir, moviéndose hacia las elongaciones positivas; y en el instante, t = 1 s, la partícula vuelve a pasar por el

origen, ya que para t = 1 s, es x = 2 sen 3π = 0.

Demodo que el "desplazamiento" ha sido NULO, pero no la "distancia total recorrida" que ha sido de 12 cm.

Veamos: Como puede comprobarse fácilmente, sin más que sustituir valores en la elongación x,

Para t = 0 s, la partícula pasa por el origen O, moviéndose hacia las elongaciones positivas.

Para t = 1/6 s, la partícula llega a su máxima elongación positiva es decir a +2 cm del origen.

Para t = 2/6 s, la partícula pasa por el origen moviéndose hacia las elongaciones negativas.

Para t = 3/6 s. la partícula llega a su máxima elongación negativa es decir a –2 cm del origen.

Para t = 4/6 s, la partícula pasa por el origen moviéndose hacia las elongaciones positivas.

Para t = 5/6 s. la partícula llega a su máxima elongación positiva es decir a +2 cm del origen.

Para t = 6/6 s. = 1 s. ́a partícula pasa por el origen moviéndose hacia las elongaciones negativas.


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La distancia o longitud total recorrida por la partícula es, pues, de 12 cm.

4 El desplazamiento de un objeto es x = 8 cos (2t + π/3), donde x está en cm y t

en s. Calcule, a) la velocidad y la aceleración en t = π/2 s, b) la velocidad

máxima y el tiempo anterior (t > 0) en el cual la partícula tiene esa velocidad, y

c) la aceleración máxima y el tiempo anterior en el cual la partícula tiene esa

aceleración. A) 13,9 cm/s, 16 cm/s2; b) 16 cm/s; 0,262 s; c) 32 cm/s2, 1,05 s)

a) v = dx/dt = -16*sen (2t + π/3) si hacemos, t = π/2; then

b) v(π/2) = -16*sen (4 π/3) = -16*(-0.866025)= 13.8564 cm/s,

a= 2ª derivada d²x/dt² = -32*cos (4 π/3) = 16 cm*s-².

c) La aceleración máxima será cuando cos (2t + π/3) = 1, cuyo valor será

amax = ±32cm*s-²;

esto ocurre siempre que: (2t + π/3) = n π; siendo n = 1,2,3,…→∞

o mejor expresado cuando t = (3n-1) π/6.

La1ª vez haciendo n=1; t = π/3= 1.0471975́´

) Para la velocidad, calcula la derivada de x y evalúa t =π/2 s.

Para la aceleración calcula la segunda derivada y evalúa t = π/2 s.

b) a la segunda derivada la igualas a cero y encuentras el valor de t, este nuevo valor de t lo evalúas en la

primera derivada y te da la velocidad máxima-

Problema 15 SERWAY Cap 15 Edic 6

Un bloque de masa desconocida está unido a un resorte de constante de resorte de 65 !"m #

e$perimenta un mo%imiento arm&nico simple con una amplitud de 1' cm Cuando el bloque está

a la

mitad entre su posici&n de equilibrio # el punto e$tremo( su rapide) medida es *' cm"s Calcule

+a, la

masa del bloque( +b, el periodo del mo%imiento # +c, la aceleraci&n má$ima del bloque


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x = A cos ωt . . . (1)

La velocidad está dada entonces por:

v = dx/dt = -ω A sen ωt . . . (2)

y la aceleración por:

a = dv/dt = d²x/dt² = - ω² A cos ωt . . . (3)

(Todas pueden partir de x = A sen ωt, y cambian, pero no afectará el resultado pedido)

En ellas ω es la pulsación o frecuencia angular y está dado por:

ω² = k/m => ω = √(k/m) . . . (4)

Nos dice que estando a mitad de camino entre 0 y 10 cm la velocidad es 30 cm/s

=> x = 0.05 m; v = 0.30 m/s

Tomemos las ec.1 y 2:

x = A cos ωt

v = -ω A sen ωt

De la primera:

cos ωt = x/A = 0.5 => ωt = ±π/3


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Dado que está a mitad de camino entre la posición de equilibrio y el punto extremo, suponemos que está

yendo en ese sentido y que dicho extremo es el de máximo estiramiento, entonces ωt=-π/3 o cualquier ángulo

congruente con él.

Reemplazando en la ec.2:

v = 0.30 m/s = -ω A sen(-π/3) = -ω 0.10 m (-0.86603)

ω = 0.30 m/s / 0.086603 m = 3.464/s

Y como el período es:

T = 2π/ω . . . (5)

Tenemos:

T = 6.2832 / 3.464/s = 1.814 s

== - - - - - - - - - - - - - =======

Pero además en la ec.4 vimos que:

k/m = ω² => m = k/ω²

. . . . . . . . . ========

m = 6.5 N/m / 3.464²/s² = 0.542 kg

== . . . . . . . . . . . . . . . =========

(N s²/m = kg . m/s² . s²/m = kg)

Nos falta la aceleración máxima y vemos en la ec.5 que esto corresponde

a cos ωt = -1

a max = ω² A

===========

a max = 3.464²/s² × 0.10 m = 1.2 m/s²

====== . . . . . . . . . . . . . . ========

y la misma se produce en el punto de máxima compresión

(cuando ωt=π, cos π = -1)


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le!as "odo al cuadrado # $ueda%T& = '.pi&.m/k (de a$uí pods despear k)k = '.pi&.m/T&k = ' * (+,-')&. 7k/(2,s)&k = '0,1' /m...

La ecuación que da el período de un resorte oscilando cuando se le cuelga una masa m es:T = 2.pi.[Raíz cuadrada(m/k)̂]

Elevas todo al cuadrado y queda:

T² = 4.pi².m/k (de aquí podés despejar k)

k = 4.pi².m/T²

k = 4 x (3,14)². 7kg/(2,6s)²

k = 40,84 N/m

Creo que exactamente seria esto:

T = 2.pi.[Raíz cuadrada(m/k)̂]

Elevas todo al cuadrado y queda:T² = 4.pi².m/k (de aquí podés despejar k)

k = 2.pi².m/T²

k = 4 x (3,14)². 7kg/(2,6s)²

k = 54,66 N/m

Problema 11 SERWAY Cap 15 Edic 6

Un ob-eto de '5 ./ unido a un resorte de constante de 0uer)a de !"m %ibra en mo%imiento

arm&nico

simple con una amplitud de 1' cm Calcule +a, el má$imo %alor de su rapide) # aceleraci&n( +b, la

rapide) # aceleraci&n cuando el ob-eto est2 6 cm de la posici&n de equilibrio # +c, el inter%alo

necesario

para que el ob-eto se mue%a de $ 3 ' a $ 3 cm


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un bloque de 1.50 kg en reposo sobre una masa se une a un resorte horizontal con una constante

de fuerza de 19.6N/m. Al principio el resorte no esta extendido. Se aplica la fuerza constante

horizontal de 20.0 N, al objeto causando que el resorte se extienda . determine la rapidez del

resorte despues que se ha movido 0.300 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la

mesa no presentan friccion. la aceleracion maxima que experimenta la masa

Se trata de un MAS

La ecuación de la posición en este movimiento es:

x = A.cos(w.t +fi), siendo A la amplitud, w la frecuencia angular y fi la constante de fase o fase

inicial.

Debemos calcular A, w y fi

F = k.A; A = F/k = 20,0 N / 19,6 N/m = 1,02 m

ŵ2 = k/m; w = raíz[k/m] = raíz[19,6 N/m / 1,5 kg] = 3,61 rad/s

Si consideramos que el sistema comienza a oscilar en el extremo positivo de la trayectoria, fi = 0


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Luego x = 1,02 m. cos(3,61 rad/s.t). Si t = 0, x = A

Podemos expresar la velocidad en función de la posición:

Derivando la posición respecto del tiempo:

v = dx/dt = - A.w.sen(w.t)

x = A.cos(w.t)

Despejamos seno y coseno, elevamos al cuadrado y sumamos:

(relación pitagórica) 1 = (x/A)̂2 +[v/(- A.w)]̂2; de acá:

(v/w)̂2 + x̂2 = Â2; despejamos v:

v = w.raíz[Â2 - x̂2]

Para este ejercicio: v = 3,61 rad/s . raíz[1,02̂2 - 0,3̂2] m = 3,52 m/s

Si derivamos la velocidad: a = dv/dt = - A.ŵ2.cos(w.t)

Luego la máxima aceleración es a = A.ŵ2 = 1,02 m . (3,61 rad/s)̂2 = 13,3 m/ŝ2

Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple (MAS) con una amplitud de 3.0 cm. ¿En que

desplazamiento con respecto al punto de equilibrio (x=0) su rapidez es la mitad de la rapidez

máxima?

x = A sen ω t

siendo A = 3 cm = la amplitud del movimiento;

Asimismo, la velocidad sigue una variación del mismo tipo, pero desplazada 90º:

v = Vmax cos ω t = ω A cos ω t

Además en estas ecuaciones ω es la pulsación o frecuencia angular del movimiento.

La segunda expresión es la derivada de la del desplazamiento.


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Nos dicen:

¿ Para qué valor de x, llamémoslo x1, la velocidad es: v = v1 = ½ Vmax ?

Reemplazamos v1 en la expresión de la velocidad:

v1 = ½ Vmax = Vmax cos ω t1

=> cos ω t1 = ½

En vez de despejar t1, que sería el momento en que eso ocurre, calculamos el valor de sen ω t1

por medio de la relación pitagórica entre seno y coseno:

sen² ω t1 + cos² ω t1 = 1

sen² ω t1 = 1 - cos² ω t1 = 1 - (½)² = 1 - ¼ = ¾

sen ω t1 = √(1 - cos² ω t1 ) = √(¾) = √(2)/2 ≈ 0.86603

Finalmente reemplazamos este valor en la expresión del desplazamiento.

x = x1 = A sen ω t1 = A × 0.86603 = 3 cm × 0.86603 = 2.59809 cm

x1 ≈ 2.60 cm==========

Cuando x = 0 la velocidad es máxima, cuando x = 3cm la velocidad es cero, y el punto en que la

velocidad es la mitad es en x = x1 = 2.6 cm

un pendulo simple tiene un periodo de oscilacion de 2.50seg. cual es la longitud del pendulo en un

sitio donde?

el valor de la aceleracion de la grvedad es 983,52cm/seg2

O sea que más o menos estás en el polo norte...

Dado que el período es:

T = 2 π √(L/g)


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Despejamos L (longitud) elevando al cuadrado miembro a miembro:

T² = 4π² L/g

L = g T² / 4π²

===========

L = 9,8352 m/s² . 2,5² s² / (4 . 3,1416²)

L = 1,557 m = 155,7 cm

la amplitud de un sistema que se mueve con movimiento armonico simple se duplica determine el

cambio de

a) laenegia total

b)la rapidez maximac)la aceleracion maxima

d)el periodo

La elongación de un MAS es:

x = A.cos(w.t) siendo A la amplitud y w la frecuencia angular

La energía total del MAS se puede escribir como:

E = 1/2.k.Â2

Si la amplitud se duplica:

a) E' = 1/2.k.(2.A)̂2 = 4 . 1/2.k.Â2 = 4.E; la energía total se cuadruplica.

b) La velocidad es la derivada de la elongación:

V = - A.w.sen(w.t);

V' = - 2.A.w.sen(w.t) = 2.V; la velocidad máxima se duplica.

c) la aceleración es la derivada de la velocidad:

a = - A.ŵ2.cos(w.t); la aceleración máxima es a = - A.ŵ2


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a' = - 2.A.ŵ2 = 2.a; la aceleración máxima se duplica.

d) w = 2.pi/T;

Dado que la frecuencia angular no es función de la amplitud, el periodo se mantiene constante.

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