Doble implicacin o bi-condicional

Conectivo lgico Notacion: P q p si y solo si qp sii q

pqP q

VVV

VFF

FVF

FFV

Nota: p se conoce como el primer miembro y q como el segundo

Ejemplo 1p = estamos en el mes de las madres V(p)=Fq = el gato felix es una serie animadaV(q)=V

p q =estamos en el mes de la madres si y solo si el gato felix es una serie animadaV(p q) = F

Ejemplo 2y = un mineral es un metal V(y) = Vs = un mineral es un buen conductor de electricidad V(s) = Vy s = un mineral es un metal si y solo si un mineral es un buen conductor de electricidadV(y s) = V

Ejemplo 3p = hoy es un dia lunesq = q estamos en el mes de marzo

p ^ q = hoy dia es lunes y estamos en el mes de marzop v p = hoy dia es lunes o estamos en el mes de marzop v q = hoy dia es lunes o estamos en el mes de marzo pero no ambosp -> q = si hoy dia es lunes entocnes estamos en el mes de marzop q = hoy dia es lunes si y solo si estamos en el mes de marzo

Formalizacin

Es expresar de forma simblica todas las expresiones de nuestro lenguaje natural

Ejemplo 1no me parece que real potos gana el campeonato p = real potos gana el campeonatoFormalizando: ~p

Ejemplo 2 Juan gana el concurso de pintura pero luis no gana el concursop = juan gana el concurso de pinturaq = luis gana el concurso de pinturaFormalizando: p ^ ~q

Ejemplo 3Real Mamore pierde el partido siempre que llueveReplantenado: si llueve real mamore pierde el partidop = llueveq = real mamore pierde el partidoFormalizando: p -> q

Ejemplo 4Si no hay nubes en el cielo ,el sol esta brillantep = hay nubes en el cieloq = el sol esta brillanteFormalizando: ~p -> q

Ejemplo 5Puedes acceder al internet desde la u si y solo si estudias sistemas o no eres estudiantes del primer semestrep = puedes acceder al internet desde la uq = estudias sistemasr = estudias en el primer semestre Formalizando: p (q v ~r)

Variaciones de la implicacinreciproca

p -> q ----------------------- (q -> p) Contra reciprocainversainversa

(~p -> ~q) ----------------------------------------------(~q -> ~p) reciproca

p -> q = implicacinq -> p = reciproca~p -> ~q = inversa~q -> ~p = Contra Reciproca

Ejemplo 1Bolvar gana siempre q lluevep -> q = si llueve Bolvar ganaq -> p = si Bolvar gana, llueve~p -> ~q = si llueve entonces bolvar no gana~q -> ~p = si Bolivar no gana entonces no llueve

Ejemplo 2Apruebo lgica si estudioAfirmacin logica: si estudio entonces apruebo logicap -> q = si estudio entonces apruebo logicaq -> p = apruebo lgica si estudio ~p -> ~q = si no estudio entonces no apruebo lgica~q -> ~p = si no apruebo logia es por q no estudie

Ejemplo 3Cuando viajo muy lejos, extranho mi falmiliap -> q = si viajo muy lejos entonces extranho a mi familiaq -> p = si extrao mi familia, viajo muy lejos~p -> ~q = si no viajo muy lejos entonces no extrao mi familia~q -> ~p = Si no extrao mi familia entonces no viajo muy lejos

PROPOSICIONES SIMPLES ATMICAS

Son aquellos que no tienen conectivos lgicos en su estructura. Tambin se las conoce como proposiciones atmicas y se representan por las letras minsculas p, q, r, .. z

PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES O FORMULAS PROPOSICIONALES

Es una combinacin de proposiciones y conectivos lgicos que dan como resultado otra proposicin

Ejemplos #1 ~ p#2 (p v q) ^ ( r -> s)#3 ~[( p q) v r ] -> ~ t

Nota: se utilizaran las letras del alfabeto griego para representar formulas proposicionales extensas. El uso de parntesis se utilizara para indicar sobre cual o cuales de las proposiciones componentes se aplica a cada conectivo lgico. (p v q) -> rnotacin correcta (~r ^ s) (~t v ~w)notacin correcta t -> w p ^r -> z notacin incorrecta

CLASIFICACIN DE LAS FORMULAS PROPOSICIONALES

Tautologia Anti tautologa o contradiccin Contingencia o incontingenciaN es el nmero de proposiciones simples de una formula proposicional2 = # de valores de proposiciones verdad

Tautologa

Es una formula proposicional que siempre es verdadera, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforma. Se utilizara el smbolo v para indicar q es una tautologa.Ejemplos #1 [ p ^ (q v r )] [ ( p ^ q ) v ( p ^ r ) ]

#2p v ~( p ^ q )pq(p ^ q )~( p ^ q )p v ~( p ^ q )

VVVFV

VFFVV

FVFVV

FFFVV

#3 [ p ^ ( q v r ) ] [ (p ^ q) v ( p ^ r) ]

pqr( q v r )[ p ^( q v r) ]( p ^ q )( p ^ r )[ (p ^ q) v ( p ^ r) ]

VVVVVVVVV

VVFVVVFVV

VFVVVFVVV

VFFFFFFFV

FVVVFFFFV

FVFVFFFFV

FFVVFFFFV

FFFFFFFFV

Anti Tautologa o contradiccin

Es una formula proposicional que siempre es falsa independiente mente de los valore de verdad que la conforma. Se utilizara la letra F para indicar que es una frmula de antitaulologia. Ejemplos #1p ^ ~pANTI TAUTOLOGA

p~pp ^ ~p

VFF

VVF

#2 ( p ^ q ) ^ ~(p ^ q ) ANTI TAUTOLOGA

pq(p ^ q )~( p ^ q )( p ^ q ) ^ ~(p ^ q )

VVVFF

VFFVF

FVFVF

FFFVF

Contingencia o incongruencia

Es una formula proposicional cuya tabla de verdad toma por lo menos una vez el valor de verdad V y por lo menos una vez el valor de verdad F para alguna combinacin de valores de verdad de las proposiciones que la conforma

Ejemplos: #1( r -> s ) ^ ( s -> r )

sr( r -> s )( s -> r )( r -> s ) ^ ( s -> r )

VVVVV

VFFVF

FVVFF

FFVVV

#2( p ^ q ) v ( q -> r )

pqr( p ^ q )( q -> r )( p ^ q ) v ( q -> r )

VVVVVV

VVFVFV

VFVFVV

VFFFVV

FVVFVV

FVFFFF

FFVFVV

FFFFVV

FORMULAS LGICAMENTE EQUIVALENTES

La frmula proposicional es lgicamente equivalente a si y solo si ( sii ) para cualquier combinacin de valores de verdad de las proposiciones que la conforman y tomando el mismo valor de verdad, se anotara ( alfa es lgicamente equivalente a beta).

Leyes lgicas o formulas lgicamente equivalentes consideradas fundamentales

Ley asociativap v ( q v r ) ( p v q ) v rp ^ ( q ^ r ) ( p ^ q ) ^ rLey conmutativa( p ^ q ) ( q ^ p ) ( p v q ) ( q v p )Ley distributivap ^ ( q v r ) ( p ^ q ) v ( p ^ r ) p v ( q ^ r ) ( p v q ) ^ ( p v r )

Definicin de implicacin( p -> q ) (~p v q )Definicin de equivalencia( p q ) ( p -> q ) ^ (q -> p )

Ley de Morgan~( p ^ q ) ( ~p v ~q )~( p v q ) ( ~p ^ ~q )Ley de absorcinp v ( p ^ q ) p p ^ ( p v q ) p

Ley de idempotencia( p ^ p ) p( p v p ) p

Condicin de negacin ( p v ~p ) V( p ^ ~p ) FElemento Neutro( p v F ) p( p ^ V ) pCondicin de tautologap v V V

Condicin de Antitaulologiap ^ F F

Ley de doble Negacin ~~P PNegacin de tautologa~V F

Negacin de la anti tautologa~F V

SIMPLIFICACIN DE PROPOSICIONES

Simplificar una formula proposicional significa transformarla en otra equivalente a ella, pero con el menor nmero de proposiciones y conectivos lgicos posibles.

Ejemplos:

# 1 ~( ~p ^ ~q ) ( ~~p v ~~q ) Ley de Morgan p v qLey de la doble negacin

#2 ~( p v q ) v ( ~p^ q ) (~p ^ ~q ) v ( ~p^ q )Ley de Morgan~p ^ ( ~q v q )Ley Distributiva a la inversa~p ^ ( V ) Ley de Condicin de Negacin ~p Ley del Elemento Neutro

# 3{ ( p ^ q ) v [ ( p ^ q ) v ( q ^ ~p ) ] } ^ p { ( p ^ q) v [ q ^ ( p v ~p) ] } ^ p Ley Distributiva a la Inversa{ ( p ^ q ) v [ q ^ ( V ) ] } ^ qLey de Condicin de negacin{ ( p ^ q ) v q ] } ^ qLey del Elemento Neutro q ^ pLey de Absorcin

# 4 ( p ^ q ) v ( ~p ^ q ) v ( ~p ^ ~q ) ( p ^ q ) v [ ~p ^ ( q v ~q ) ]Ley Distributiva a la inversa( p ^ q ) v [ ~p ^ ( V ) ]Ley de Condicin de Negacin( p ^ q ) v ~ pElemento Neutro~ p v ( p ^ ~q ) Ley Conmutativa( ~ p v p ) ^ ( ~p v ~q )Ley DistributivaV ^ ( ~p v ~q ) Condicin de Negacin ( V ^ ~p ) v ( V ^ ~q )Distributiva~p v ~q Elemento Neutro

# 5 ( p v r ) v { [ ( p ^ q ) v r ] ^ ( r v ~q ) } ( p v r ) v { [ ( r v p ) ^ ( r v q ) ] ^ ( r v ~q ) } Ley Asociativa a la inversa( p v r ) v { [ ( r v p ) ^ ( r v ~q) ] ^ [ ( r v q ) ^ ( r v ~q) ] } ( p v r ) v { [ r v ( p ^ ~q) ] ^ [ r v ( q ^ ~q) ] }( p v r ) v { [ r v ( p ^ ~q) ] ^ [ r v ( F ) ] }( p v r ) v { [ r v ( p ^ ~q) ] ^ r }( p v r ) v { [ ( r ^ r ) v ( p ^ ~q) ] ^ r }( p v r ) v { [ (r v ( p ^ ~q) ] ^ r }( p v r ) v { [ (r v p) ^ ( r v ~q) ] ^ r } ..

CIRCUITOS LGICOS

Una proposicin puede expresarse como un circuito lgico representado tambin como un circuito elctrico con interruptores, donde el valor de verdad de la proposicin esta dado segn pase o no la corriente.

V ( p ) = V -----o ---- o----

V ( p ) = F-----o o----

Las operaciones con proposiciones pueden asociarse con un circuito de varios interruptores.

Conjuncin

Para que V ( p ^ q ) = V Ambos interruptores deben cerrarse para el paso de la corriente y la representacin se conoce como circuito en serie

( p ^ q )-----/ p -----/ q -----

Disyuncin

Es suficiente que p v q sea verdadero ( p v q ) deje pasar la corriente y la representacin se conoce como circuito en paralelo p v q p

----q

Ejemplo:

#1p v q v r

p

q

r

#2p ^ q ^ r

qpr

#3p ^ ( q v r )

#4~[ (p v q ) -> r ] ~[ ~ (p v q ) v r ]~[ (~p ^ ~q ) v r ]~(~p ^ ~q ) ^ ~r ( p v q ) ^ ~r

# 5 sea el siguiente circuito, determinar la expiracin booleana, simplificar y construir el circuito final

( q ^ ~r ) v [ ( p v r ) ^ q ] ( q ^ ~r ) v [ ( p ^ q ) v ( r ^ q) ]Ley distributiva a la inversa( q ^ ~r ) v ( p ^ q ) v ( q ^ r)Ley conmutativa[ q ^ ( r v ~r) ] v ( p ^ q) Ley Distributiva a la inversa( q ^ V ) v ( p ^ q)Condicin de negacin q v ( p ^ q )Elemento NeutroqLey de absorcin

#6

( p ^ q ) v ( p ^ ~q ) p ^ ( q v ~q )Ley distributiva a la inversap ^ ( V )Condicin de negacin p Elemento Neutro

LGICA Y OPERACIONES CON BITS

Las computadoras representan la informacin utilizando bits. Un bit tiene dos valores posibles: 0 y 1 el significado de la palabra bit, viene de la expresin inglesa binary digit ya que 0 y 1 son los dgitos utilizados en las representaciones binarias de los nmeros.

Un bit se puede utilizar para representar un valor de verdad: Verdadero( 1 ) y Falso ( 0 ).

Las operaciones con los bits, en la computadora tiene correspondencia con los conectivos lgicos ~, v, v, ^ por las operaciones: Not, OR, XOR, AND

Valor de VerdadBit

V 1

F0

XYX AND YX OR YX XOR YNot XNot Y

1111000

1000101

0100110

0000011

Cadena de bits: es la sucesin de 1 y 0 ej# 100110 Longitud de una cadena: es el numero de bits que tiene una cadena Ej# 1000 LongC=4

Ejemplos: Aplicar las operaciones AND, OR, XOR Not longitud de cadena

# 1 C1:10100111

C2:00010001

00000001AND

10110111OR

10110110XOR

01011000Not C1

11101110Not C2

# 2

C1:000001103 bits

C2:100000018 bits

00000000AND

10000111OR

10000111XOR

11111001Not C1

01111110Not C2

Inferencia lgica

Es un conjunto de proposiciones en la cual una de ellas aparece como conclusin de las otras.Es una formula proposicional de la forma:

P1P2: Premisas o hiptesisargumento lgico: Pn C conclusin

1. Reglas de inferencia

Justifican los pasos dados para demostrar que a partir de una serie de premisas o hiptesis, se llega de forma lgica a una conclusin.

Nota: las premisas o hiptesis se escribirn en una columna la conclusin se escribir debajo de un alinea horizontal el smbolo significa por lo tanto, como conclusin, luego, es as, etc. \ En la inferencia tambin es valido utilizar las leyes lgicas Por otra parte en las reglas de las premisas se enuncia: en cualquier punto de la deduccin se puede introducir una nueva proposicin.

Adicin

1) p .p v A

Simplificacin

1) p ^ q .p

1) p ^ q .q

Conjugacin

1) p2) q .p ^ q

Modus Ponens

1) p -> q2) p .q

Modus tollens

1) p -> q2) ~q .~p

Silogismo hipottico

1) p -> q2) q -> r .p -> r

Dilema constructivo

1) p -> q2) r -> s3) p -> r .q -> s

Dilema destructivo

1) p -> q2) r -> s3) ~q -> ~s .~p v ~r

Silogismo disyuntivo

1) p v q1) p v q2) ~p .2) ~q .~q~p

Ejercicio:

#1demostrar r

1) p -> r2) q -> r3) q .4)pMP(2,3)5) rMP(1,4)

#2demostrar ~p

1) t -> r2) t -> ~p3) r .4)~tMT(1,3)5) ~pSD(2,4)

#3demostrar r

1) p -> q2) (~p ^ ~j ) -> r3) q -> j4) ~j .5)~qMP(3,4)6) ~pMT(1,5)7) ~p ^ ~jC (6,4)8) rMP(2,7)

#4demostrar t ^ u

1) r -> ~p2) ~q -> s3) ~s v u4) r v t5) p ^ ~q .6)pS(5)7) ~qS(5)8) sMP (2,7)9) ~rMT(1,6)10) tSD(4,9)11) uSD(8,3)12)t ^ u C(10,11)

#7Formalizar y demostrar:

Si el auto tiene gasolina entonces ir a la tienda.Si voy a la tienda, comprare un libro. El autoTiene gasolina conclusin: comprare un libro

Demostrar r:

p: el auto tiene gasolina1)p -> q.q: ire a la tienda2)q -> r.r: comprare un libro3)p.-------------------------------4)q.MP(1,3)5)rMP(4,2)

#8Formalizar y demostrar:

O bien hoy es martes o es lunes. Pero hoy no es lunes. Luego, hoy es martes

p: hoy es martes1)p v qq: hoy es lunes2)~qconclusin: hoy es martes------------------------p

pq~qp v q( p v q ) ^ ~q -> p

VVFVFV

VFVVVV

FVFVFV

FFVFFV

El argumento es valido Regla de inferencia es un silogismo disyuntivo

ESQUEMAS PROPOSICIONALES

1. Esquemas proposicionales De una variable

Es toda expresin que tiene asignada una variable: x,y,z.La variable representa un elemento cualquiera del universo que al remplazarse en la expresin se convierte en una proposicin.

NOTACIN

Se designaran las letras maysculas F,G,ZX

F[x] ;se lee F de xG[y] ; se lee G de y

#1G[x] = x es humildeU: los humanos#2H[y] = y es felinoU: los animales#3K[z] = z + 1 = 3 ;U: los nmeros naturales

OBTENCIN de una PROPOSICIN a PARTIR de un E.p. por un remplazo de variables y valor de verdad

Proposicin x = a F[a]Expresin sin sentido

Ejemplos:#1F[x] = x es par ; U : nmeros reales

X = 2; F[2] 2 es par V[ F[2] ] = VX = 7; F[2] 7 es par V[ F[2] ] = F

#2F[y] = 2 + y = y2 - 8 ; U : nmeros reales

y = 0; F[0] 2 + 0 = 02 8V[ F[0] ] = F2 = - 8

y = luis; F[luis] 2 + luis = luis2 8V[ F[luis] ] = expresin sin sentidos