Optimización de Ley de Corte

Por

Kadri Dagdelen

Resumen:La definición y las deficiencias de las leyes de corte tradicionales son discutidas aquí. El concepto de la política óptima de ley de corte que maximiza el valor actual neto (VAN) de los flujos anuales de efectivo procedentes de un proyecto minero fueron introducidas dentro del marco básico esbozado por K.F. Lane. Varios ejemplos sirven para demostrar la deficiencia de las políticas de ley de corte obtenidas por diversas técnicas de optimización heurística. Un algoritmo para obtener una política de ley de corte optima que maximiza el VAN de un proyecto se presenta y describe en detalle.

Introducción:La ley de corte se define como la ley que normalmente se utiliza para discriminar entre mineral y estéril dentro de un yacimiento dado. Aunque la definición de la ley de corte es muy precisa, la elección de una política de ley de corte que se utilizará durante la explotación de un yacimiento no lo es. El uso de leyes de corte calculadas simplemente con el punto de equilibrio durante la producción en la mayoría de los casos conduce a una sub-óptima explotación de los recursos.

La explotación de un yacimiento de manera tal que se logre el máximo valor actual neto (VAN) al final de la vida de la mina ha sido un objetivo aceptado de las empresas mineras. El VAN a realizarse en una operación depende de variables relacionadas entre sí, tales como la capacidad de extracción y tratamiento, secuencia de extracción y leyes de corte. Estas variables interdependientes interactúan de manera compleja en la definición del VAN de un proyecto. La secuencia de extracción depende de las tasas de producción, la distribución de leyes del depósito y las leyes de corte; las leyes de corte no se pueden determinar sin conocer las secuencias de extracción y las capacidades del sistema minero. La determinación de las capacidades están directamente relacionadas con las leyes de corte y las secuencias de extracción.

La planificación de la mina es un proceso que define un conjunto de valores para cada una de estas variables durante la vida del proyecto. El reto más grande durante la planificación de la mina es la definición de las capacidades del sistema minero que estén en perfecta armonía con la distribución de leyes del depósito a través de una secuencia planificada de extracción y una política de ley de corte.

Para un determinado conjunto de capacidades, los costos económicos asociados con estas capacidades dentro del sistema minero, la secuencia de extracción del pit y los precios existe una única política de ley de corte que maximiza el VAN del proyecto. La determinación de estas leyes de corte durante la vida útil de la mina es el tema de este artículo.

Leyes de corte tradicionales en minería a cielo abierto:

Considere un caso de estudio hipotético donde un depósito epitermal de oro será minado mediante open pit. La Tabla 1 muestra la distribución de leyes de los materiales dentro de los límites finales del pit para este depósito. La Tabla 2 muestra las capacidades asumidas y los costos aceptados para explotar el yacimiento a 3,000 toneladas/día de capacidad de planta. Tradicionalmente, en la minería a cielo abierto, la ley de corte se utiliza para determinar si un block de material (free standing) debe ser minado o no, y otra ley de corte se utiliza para determinar si debe o no ser tratado o llevado al botadero.

La primera ley de corte es generalmente conocida como la ley de corte del pit final y se define como el punto de equilibrio que iguala los costos de mina, planta y refinería con el valor del block en términos de metal recuperado y precio de venta:

La segunda ley de corte se conoce ley de corte de planta y se define como la ley de punto de equilibrio que iguala los costos de la planta, refinación y comercialización con el valor del block en términos de metal recuperado y el precio de venta:

En el cálculo de la ley de corte de planta, no se incluyen los costos de mina, debido a que esta ley de corte es básicamente aplicada a aquellos bloques que ya han sido seleccionados para minar (por la primera ley de corte) con el fin de llegar a los bloques de mineral de mayor ley y que el costo de mina será incurrido independientemente de la acción a tomar con respecto al procesamiento de los mismos. Tenga en cuenta que los gastos de amortización, gastos generales y administrativos (GG & Adm) y los costos de oportunidad no se incluyen en las leyes de corte indicadas anteriormente. En las leyes de corte tradicionales, el supuesto básico es que todos estos costos, incluidos los costos fijos son definidos como GG & Adm y serán pagados por el material cuya ley es muy superior a la leyes de corte establecidas. La primera ley de corte se utiliza para asegurar que ningún material (a menos que se encuentren en el camino de otros bloques de alto grado) sea extraído a menos que todos los costos directos asociados con la obtención del metal se pueden recuperar. (Esta garantía es automáticamente incorporada en los algoritmos de determinación de los límites del pit final como Learchs-Grossmann y el cono flotante). La segunda ley de corte se utiliza para asegurar que cualquier material que proporcione una contribución positiva más allá de los costos directos de planta, refinería y comercialización se trata.

Las características generales de las leyes de corte tradicionales discutidas anteriormente son las siguientes:

1) que se establecen para satisfacer el objetivo de maximizar los beneficios no descontados a partir de una operación minera;

2) son constantes a menos que cambien el precio de venta y los costos durante la vida útil de la mina, y

3) no consideran distribución de leyes del depósito.

Técnicas heurísticas de optimización de la ley de corte:

Minando del yacimiento bajo consideración con una ley de corte de planta tradicional de 0,035 oz/ton a 1,05 M de toneladas capacidad de planta nos da como resultado el programa de explotación de la Tabla 3.

En la Tabla 3, Qm representa la cantidad total de material minado (en millones de toneladas)

en un año determinado; Qc representa el tonelaje de mineral (en millones) procesado en

planta, Qrrepresenta las onzas recuperadas (en miles) producidas en un año determinado. Los flujos de caja anuales se presentan como ganancias en millones de dólares y se determinan mediante la siguiente ecuación (ver la Tabla 2 para la definición de variables):

Un total de 36,7 M de toneladas con una ley promedio de 0,102 oz/ton son minadas con una relación de desbroce de 2,42 y procesadas por la planta durante 35 años de vida de la mina. Esta programación nos da como resultado un total de beneficios sin descuento de $ 1,154.2 millones y un VAN de $ 218,5 millones.

Mientras los operadores minen y traten los bloques de material con leyes mayores o iguales a las leyes de corte estático, sin considerar las características de depósito, sólo se maximizará los beneficios sin descontar. La maximización de los beneficios descontados frente al valor actual neto, son dos cosas diferentes, cuando el objetivo es maximizar el valor actual neto, la maximización de los beneficios sin la cantidad del valor del dinero en el tiempo para la optimización y sin las limitaciones de capacidad del sistema minero y por lo tanto, cuando considerados en el marco restringido de la optimización del VAN, siempre produce sub óptimo VAN. Realizando esto, aquellas minas que se planean con leyes de corte tradicionales no darán como resultado un máximo valor actual neto, muchos enfoques se han propuesto para modificar las políticas tradicionales de ley de corte de tal forma que el VAN de una determinada operación se ha mejorado.

El concepto de la utilización de leyes de corte superiores a los puntos de equilibrio durante los primeros años de una operación para una recuperación más rápida de las inversiones de capital y el uso de los puntos de equilibrio durante las últimas etapas de la mina se ha

practicado en la industria para optimizaciones heurísticas del VAN (3). En este enfoque, el cálculo de la ley de corte tradicional es modificado para que incluya los costos de depreciación, costos fijos y un mínimo beneficio por tonelada necesarios para un período de tiempo para obtener una ley de corte mucho más alta durante los primeros años. Tras el final del período inicial, el requisito de rentabilidad mínima se elimina de la ecuación para bajar más las leyes de corte hasta que se pague la planta. En ese momento, los cargos por depreciación son también descartados y la mina opera con las leyes de corte tradicionales de planta. Este concepto se demuestra gráficamente en la Figura 1 y analíticamente como sigue:

Supongamos que los $ 105 millones de costo de capital de planta del caso de estudio se amortizarán durante los primeros 10 años por el método de línea recta:

Costo de depreciación por año = $ 105 M/10 años = $ 10.5 M/año

Costo de depreciación por tonelada = ($ 10.5 M/año)/(1.05 M ton/año) = $ 10/tonelada de mineral

Además, supongamos que adicionalmente un beneficio mínimo de $ 3,0 por tonelada se impondrá para aumentar los flujos de efectivo durante los primeros cinco años. Entonces, las leyes de corte de planta durante la vida útil de la mina serán:

La programación año por año, de tonelajes y leyes, obtenida de la política de ley de corte modificada figura en la Tabla 4. Además, un total de 28,44 M de toneladas a una ley promedio de 0.106 oz/ton son minadas, con una relación de desbroce de 3,88 y tratadas durante 25 años de vida de mina. Esta modificación en la programación da como resultado un beneficio total sin descontar de $ 1,112.7 M y un VAN de $ 355,7 M. La comparación de los beneficios totales sin descontar y el VAN, de las Tablas 3 y 4 indica que hay una reducción de 3,6% en el total de beneficios sin descontar y un incremento de 63% en el VAN total del proyecto cuando la política de ley de corte se modifica del tradicional hacia el enfoque de disminución donde las leyes de corte fueron elevadas durante los primeros años.

En los cálculos anteriores, los costos por GG & Adm no se incluyeron en los cálculos de ley de corte y de los beneficios. Los efectos de los $ 8,35 M/año de costos fijos en la política de ley de corte y en los resultantes beneficios totales y VAN, se calculan de la siguiente manera:

La Tabla 5 proporciona la programación anual de tonelajes leyes resultantes de la política de ley de corte que incluye los costos fijos como parte de la ley de corte y el beneficio calculado. La política de leyes de corte descendientes calculadas con la depreciación, la ganancia mínima, y los costos de GG & Adm promueven una mejora del VAN del depósito de un 1% ($ 355,7 M en comparación con $ 357,5 M), mientras que en general las ganancias sin descontar se redujeron negativamente en un 20% ($ 1,112.7 M frente a $ 885,6 M).

La optimización de las leyes de corte de acuerdo al Enfoque de Lane:

La discusión anterior ha demostrado el significativo impacto de la política de ley de corte en el VAN de un proyecto. En general es aceptado que la política de ley de corte que da el mayor VAN es una política que utiliza una disminución de leyes de corte a lo largo de la vida del proyecto. La pregunta más obvia que resulta es: "¿Cómo deben ser determinadas las leyes de corte de una mina dada de manera que se obtenga el VAN más alto posible?"

En un artículo publicado en 1964 (1) y en un libro publicado en 1988 (2), K.F. Lane discute en detalle, los antecedentes teóricos, una formulación general y un algoritmo de solución a este problema. En su formulación y en el análisis teórico demostró que el cálculo de la ley de corte que maximiza el VAN tiene que incluir los costes fijos asociados con no recibir los flujos de efectivo futuros más rápido debido a la elección de ley de corte tomada hoy. La ecuación de ley de corte que maximiza el valor actual neto del depósito cuando el sistema está limitado por la capacidad de planta se expresa así:

Donde i = 1, ... N (vida de la mina), gmilling (i) es la ley de corte que se utilizará en el año i. F i es el costo de oportunidad por tonelada de material tratado en el año i, y se define como:

Donde d es la tasa de descuento; NPVi (VANi) es el valor actual neto de los flujos de efectivo futuros desde los años (i) hasta el final de vida de la mina N, y C es la capacidad total de procesamiento en el año i.

La filosofía que subyace en la inclusión del costo de oportunidad F i en la ecuación, es que cada depósito tiene un determinado valor actual neto (VAN) asociado a un punto dado en el tiempo y que cada tonelada de material procesado por la planta durante un año determinado debe pagar por el costo de no recibir los flujos de efectivo futuros (by one year sooner). (Dicho de otro modo el costo de oportunidad Fi debe ser visto como procesar una ley baja ahora, cuando se tiene leyes altas disponibles). Los detalles de este enfoque se dan en la siguiente sección.

La Tabla 6 proporciona el programa anualizado de tonelaje leyes como resultado del enfoque de Lane. La política de ley de corte que son determinas por esta estrategia de optimización ofrecen VAN 90% mayor y beneficios un 35% más bajo que la original ley de corte constante determinada por el enfoque tradicional de punto de equilibrio.

A pesar de que el total de toneladas minadas es el mismo entre la política original de ley de corte dada en la Tabla 3 y la política óptima de la Tabla 6, la cantidad de material procesado es menor tanto en el tonelaje (es decir 36,7 M de toneladas versus 9,45 M de toneladas) y en onzas recuperadas (es decir, 3.37 M oz frente a 1,93 M oz).

El efecto de la optimización en la vida de la mina también es significativo, el acortamiento de la vida de la mina de 36 años en la Tabla 3 a 10 años en la Tabla 6 es la compensación entre una óptima aproximación VAN versus un enfoque tradicional de punto de equilibrio. Cabe destacar nuevamente que el sistema minero no permite la acumulación de mineral de baja calidad para su posterior procesamiento. Si el almacenamiento fuera posible entonces el material almacenado tiene que ser tratado dentro de la programación de mina de la Tabla 6 cuando esto sea más apropiado.

El algoritmo para determinar las leyes de corte óptimas:

Las leyes de corte gmilling ( i ) dadas en la ecuación (1) dependen de las estimaciones de VANi de los beneficios futuros desde el año i hasta el final de la vida de la mina de la operación y VANi de los beneficios futuros no se puede calcular hasta que la ley de corte óptima haya sido decidida. La solución a este tipo de problema de interdependencia se obtiene mediante un método iterativo donde el primer VANi es supuesto en un primer momento y en cada iteración se mejora hasta que la solución converge a una respuesta estable. Este algoritmo es el siguiente:

Los pasos del algoritmo:

1. Empiece con la curva de tonelaje-ley, similar a la presentada en la Tabla 1 para la totalidad del depósito.

2. Suponga la capacidad de molienda más adecuada (C) que se utilizará, precio de venta (P), costos de refinación comercialización (s), recuperación (y), costo de planta (c), costo de extracción (m), costos fijos anuales (f a) y la tasa de descuento (d).

3. Determine la ley de corte gmilling (i) que se utilizará en el año i con la siguiente ecuación:

si el primer valor actual neto, no es conocido entonces tomar NPVi (VANi) = cero. 4. De la curva de ley mas actualiza del depósito determinar:

a) el tonelaje de mineral T c y la ley gc por encima de la ley de corte gmilling (i);

b) el tonelaje de desmonte T w que está por debajo de la ley de corte gmilling (i)c) la relación de desbroce sr=T w /T c

5. Si el total de reservas T c calculadas en el paso 4 es mayor que la capacidad anual de

planta entonces tomar Qc, el tratamiento en el año i, es:

Qc=C

de otra manera

Qc=T c

Establecer Qm, la cantidad a minar en el año i como:

Qm=Qc (1+sr )

6. Determinar el beneficio anual (Pi) utilizando la siguiente ecuación:

7. Ajustar la curva de tonelaje-ley del depósito restando las toneladas de mineral (Qc ) de

los rangos por encima de la ley de corte y las toneladas de desmonte (Qm−Qc ) de los

rangos por debajo de la ley de corte en cantidad proporcional de tal manera que la forma de la distribución no cambie.

8. Si Qc es menor que la capacidad de planta (C), a continuación establezca la vida de la mina N = i y vaya al paso 9, de lo contrario establecer el indicador del año para i = i + 1 e ir al paso 3.

9. Utilizando los beneficios (Pi ) estimados en el paso 6 calcular el incremento VANi para

los flujos de efectivo que se generen a partir de i hasta N utilizando la siguiente ecuación

para cada año i = 1, N donde N es la vida total de la mina en años.

10. Si el valor presente neto de los beneficios futuros de la totalidad del depósito (VANi) no está dentro de cierta tolerancia (por ejemplo +- $ 500 K) del total del valor actual neto de la iteración anterior ir al paso 1, de lo contrario parar; la ley de corte gi’s para los años i = 1, N es la política óptima que proporciona el máximo valor actual neto de los beneficios futuros de la operación.

Observaciones:

En este trabajo se introduce el concepto más básico de la optimización de ley de corte. El importante supuesto formulado en el documento es que el VAN del proyecto dado debe ser maximizado como un objetivo financiero.

Hay muchos casos en los que este objetivo no es el adecuado. En muchos casos, los otros criterios como el total de beneficios si descontar, amortización y tasa interna de retorno son también considerados para decidir.

Aunque el concepto de múltiples distribuciones de ley provienen de diseños secuenciados de pit y el almacenamiento de material de baja ley para su posterior procesamiento son una parte integral de la planificación de la mina, también son intencionalmente omitido en los debates en aras de la simplicidad. También por la misma razón, el algoritmo dado anteriormente supone un sistema de extracción que es restringido sólo por la capacidad de planta. Por lo tanto se omiten las discusiones de la descripción de optimización de la ley de corte cuando el sistema minero está limitado por la comercialización y las capacidades de mina. (Ver Lane (1964) para más detalles).

Conclusiones:

Se muestra en este trabajo que el rendimiento de las inversiones puede ser mejorado con la explotación de un depósito a través de una política óptima de ley de corte. También está demostrado que el uso de leyes de corte tradicionales, en algunos casos dará un VAN sub óptimo para un depósito dado y en una medida el depósito puede ser rechazado. Yo creo que sólo a través de la utilización de técnicas de optimización como la aquí presentada se podrá tener la exactitud necesaria para que las decisiones con respecto a las inversiones mineras sean seguras.