Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejükelmfiz.elte.hu/~bantay/eldin/magneto.pdffelületi...

1 A LORENTZ–ERŐ 1 A LORENTZ–ERŐ

Kvázi-stacionárius áramok és

mágneses mezejük

1 A Lorentz–erő

Elektromos és mágneses mező egyidejű jelenlétében ~v sebességgel mozgó

q elektromos töltésű pontszerű részecskére ható erő

~F = q(~E +

1

c~v × ~B

)Lorentz–erő

1 A LORENTZ–ERŐ 1 A LORENTZ–ERŐ

~v sebességgel mozgó ρ sűrűségű térbeli töltéseloszlásra ható erő

~F=

∫ρ~E +

1

c~v×~B

d3~r =

∫ ρ~E +

1

c~Jkonv×~B

d3~r

ahol ~Jkonv=ρ~v jelöli a konvektív áramsűrűséget.

A mágneses mező nem tesz különbséget konvektív és konduktív áramok

között tetszőleges térbeli töltés- és árameloszlásra ható erő

~F=

∫ ρ~E +

1

c~J×~B

d3~r

míg a forgatónyomaték

~N =

∫~r×ρ~E +

1

c~J×~B

d3~r

2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN 2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN

2 Mozgás homogén mágneses térben

Tekintsünk egy ~B indukcióvektorú homogén mágneses mezőben ~v sebesség-

gel mozgó, q töltésű és m tömegű pontszerű testet.

Newton második axiómája szerint

md~v

dt=q

c~v × ~B

~v merőleges a ~v × ~B vektoriális szorzatra

1

2

d(m~v2

)dt

= m~v· d~v

dt=q

c~v·(~v × ~B

)= 0

vagyis 12m~v

2 (a test kinetikus energiája) időben állandó: a mágneses

mező nem végez mechanikai munkát a töltéseken!


Lorentz–erő merőleges a mágneses indukcióvektorra, ezért

d(~B·~v)

dt= ~B · q

mc(~v × ~B) = 0

vagyis a ~B · ~v skalárszorzat (a sebesség longitudinális komponense) nem

változik az idő során: ha kezdetben ~v merőleges ~B-re, akkor merőleges

marad arra az egész mozgás folyamán.

Descartes–koordinátákat választva, melyek z-tengelye párhuzamos ~B-vel

(azaz ~B=B~ez), a mozgásegyenlet megoldása

~v(t) = v⊥ cos(ωt+δ)~ex + v⊥ sin(ωt+δ)~ey + vz~ez

ahol ω=qB

mcés v⊥ =

√v2 − v2

z a transzverzális sebesség.


Amozgás egy longitudinális (~B-vel párhuzamos irányú), vz állandó sebességű

egyenletes haladó mozgás és egy

T =2π

|ω|= 2π

mc

|q|B

periódusidejű transzverzális forgómozgás szuperpozíciója. A trajektória

egy R =mc

|q|Bv⊥ sugarú és vzT emelkedésű csavarvonal (hélix), melynek

tengelye párhuzamos a mágneses mező irányával.


A T periódusidő arányos mind B-vel, mind a qm fajlagos töltéssel, de

független a v sebességtől ( tömegspektroszkópia, ciklotron).

Amennyiben a mágneses mező mindenhol azonos irányú, de nagysága

lassan növekszik, akkor a csavarmenetek sugara és a köztük lévő távol-

ság az indukció értékével fordítva arányosan csökken. A Föld mágneses

mezeje a külső forrásból (napszél, kozmikus sugárzás) származó nagy en-

ergiájú töltött részecskéket a fentihez hasonló mechanizmus segítségével

csapdázza a sugárzási övekbe (van Allen–övek).

3 A HALL–EFFEKTUS 3 A HALL–EFFEKTUS

3 A Hall–effektus

Hall (1879): mágneses mezőre merőleges töltésáramlás transzverzális

elektromos mezőt generál.

Mozgó töltéshordozókra ható Lorentz–erő által eltérített töltések fel-

gyülemlenek a vezető ellentétes oldalain VH Hall–feszültség.

Hall–feszültség arányos az I áramerősséggel és a mágneses indukcióval

VH = RHBI

d

ahol d a vezető transzverzális mérete és RH a Hall–együttható.

3 A HALL–EFFEKTUS 3 A HALL–EFFEKTUS

Hall–együttható előjele= töltéshordozók előjele fémekben elektron-

vezetés, míg p-típusú félvezetőkben lyukak a domináns töltéshordozók.

Alkalmazások:

1. mágneses mező nagyon pontos mérése (Hall–szondák);

2. helyzet- és mozgásirány-érzékelés;

3. járműipar: gyújtáskapcsolás, üzemanyag befecskendezés, ABS, stb.

Kvantum Hall–effektus: erős mágneses mezőbe helyezett alacsony hőmér-

sékletű, kétdimenziós elektronrendszerekben a Hall–együttható diszkrét

értékeket vesz fel (’kvantált’ Landau–szintek).

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE 4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE

4 Stacionárius áramok mágneses mezeje

Oersted (1820): áramvezető drót közelébe helyezett mágnestű az áram

irányára merőlegesen áll be mozgó elektromos töltések a mágneses

mező forrásai.


Biot-Savart–törvény (1820): egy L görbe mentén elhelyezkedő drótveze-

tőben folyó I erősségű stacionárius áram által generált mágneses mező

indukcióvektora vákuumban

~B(~r) =I

c

∫L

(~R−~r)×d~R

|~r− ~R|3

Integrál csak a drótvezető geometriájától függ!

Szuperpozíció-elv tetszőleges stacionárius árameloszlásra

~B(~r) =1

c

∫ ~J(~R)×(~r− ~R)

|~r− ~R|3d3 ~R = rot ~A


ahol

~A(~r) =1

c

∫ ~J(~R)

|~r− ~R|d3 ~R

a mágneses mező vektorpotenciálja.

Innen, a div rot ~A=0 azonosság felhasználásával

div ~B = 0

és ezért, a Gauss-tétel következményeként∮∂V

~B · d~s = 0 mágneses Gauss–törvény

tetszőleges V térfogatra.

Nincsenek mágneses monopólusok (izolált mágneses töltések)!


Másrészt bármely S felület esetén∮∂S

~B · d~r =4π

c

∫S

~J(~r) · d~s

Az S felületet egy pontra zsugorítva

rot ~B =4π

c~J

adódik Stokes tételének felhasználásával.

A fenti összefüggés csak vákuumban és nem-mágneses anyagokban érvényes;

mágneses közegekben az áramsűrűségben megjelenik egy, a molekuláris

áramokból származó (illetve kvantumos eredetű) ~Jm járulék, így az össze-

függés helyes alakja

rot ~B =4π

c~J +

4π

c~Jm


Mivel a molekuláris ~Jm járulék divergenciamentes, div~Jm = 0, ezért

felírható ~Jm =c rot ~M alakban. Innen adódik, hogy a ~H= ~B−4π ~M

jelöléssel

rot ~H =4π

c~J

Az S felületre integrálva, és felhasználva a Stokes-tételt∮∂S

~H · d~r =4π

cI Ampère–törvény

ahol I=∫S

~J(~r)·d~s jelöli az egységnyi idő alatt S-en áthaladó töltést.

Vákuumban nincsenek molekuláris áramok, így ott ~Jm = ~M=~0 és ~H= ~B

~M a közeg mágnesezettség-vektora és ~H a mágneses térerősség.

5 A PERMEABILITÁS 5 A PERMEABILITÁS

5 A permeabilitás

~H mágneses térerősség jelentése: adott árameloszlás által keltett mágne-

ses mező indukcióvektora közeg hiányában (vákuumban).

Permanens mágnes: áramok keltette ’külső’ mező hiányában (~H =~0) is

nemzérus indukció spontán mágnesezettség ( ~M 6=~0).

Spontán mágnesezettség csak speciális (ferro- és ferrimágneses) anyagok-

ban fordul elő nem túl nagy térerősségeknél általában jól használható

~M = χm ~H

lineáris összefüggés, ahol χm a közeg mágneses szuszceptibilitása (izotrop

esetben skalár, anizotrop esetben tenzor).


Innen, ~B = ~H+4π ~M következtében

~B = µ~H

ahol

µ = 1+4πχm

a közeg permabilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor).

Dielektromos polarizációval ellentétben (izotrop esetben) ~M nem szük-

ségszerűen egyirányú ~H-val a χm szuszceptibilitás lehet negatív is

(diamágnesek), de energetikai okokból a µ permeabilitás soha: µ≥0, és

ezért χm≥ −1

4π.

Paramágnes: kicsiny pozitív szuszceptibilitás.


Table 1: Néhány anyag mágneses szuszceptibilitása.

anyag χm szuszceptibilitás

diamágneses

nátrium −2.4× 10−6

réz −1.0× 10−5

gyémánt −2.2× 10−5

higany −3.2× 10−5

víz −0.9× 10−5

paramágneses

levegő 3.6× 10−7

oxigén 2.1× 10−6

magnézium 1.2× 10−5

alumínium 2.2× 10−5

ferromágnesesvas 5× 103 − 1.5× 106

Si-Fe kristályok 3.8× 106

ferrimágneses magnezit (Fe3O4) 102

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK

6 Illesztési feltételek

Különböző közegek határán a mágneses térjellemzők általában ugrást

szenvednek, melynek számszerű értéke meghatározható az Ampère- és a

mágneses Gauss-törvény segítségével.

Mivel a ~B indukcióvektor ugyanúgy forrásmentes, mint egy stacionárius

töltésáramlás ~J áramsűrűsége, div ~B=div~J=0, ezért az áramsűrűséghez

hasonlóan a ~B normális komponense folytonosan változik két közeg határán:

ha ~n jelöli a határfelület normális egységvektorát, akkor

~B2 · ~n = ~B1 · ~n

Észrevétel. Alternatív meggondolással, mivel nincsenek izolált mágne-


ses töltések, így a felületi sűrűségük is szükségszerűen zérus: innen, az

eltolási vektor normális komponensére vonatkozó illesztési feltétel indok-

lásához hasonló gondolatmenettel adódik a fenti eredmény.

Tekintsünk most egy, a két közeg határát merőlegesen metsző, téglalap

alakú kicsiny felület, melyet az a, b, c és d görbeszakaszok határolnak (a

megfelelő irányításokkal), és jelölje γ a téglalap és a határfelület met-

szésvonalát.


Ha a téglalapot rázsugorítjuk a határfelületre, akkor b és d görbék hossza

0-hoz tart, így az ezek mentén vett integrálok is 0-hoz tartanak, míg a

és c rásimul γ-ra, ezért (az irányítás figyelembe vételével)

∫a

~H(~r) · d~r→ −∫γ

~H1(~r) · d~r

és ∫c

~H(~r) · d~r→∫γ

~H2(~r) · d~r

Innen, az Ampère–törvény szerint∫γ

(~H2 − ~H1

)· d~r =

4π

cIγ


ahol Iγ jelöli a téglalapon időegységenként keresztülfolyó töltést.

Mivel a téglalap a határfelületre van zsugorítva, ezért csak határfelületen

mentén folyó felületi áramok jönnek számításba. Ezek sűrűségét a ~Jf

felületi áramsűrűség-vektor jellemzi, mely az áramlás irányába mutat,

és ezért mindig érintőirányú (tangenciális, azaz ~Jf · ~n = 0), és nagysága

megadja a felületen fekvő, az áramlás irányára merőleges egységnyi hoss-

zon időegység alatt átáramló töltés mennyiségét. Ebből adódik, hogy

Iγ =

∫γ

~Jf×~n

·d~r


Így végül ∫γ

(~H2 − ~H1 −

4π

c~Jf×~n

)·d~r = 0

bármely, a határfelületen futó γ görbére.

Fenti összefüggés csak akkor teljesülhet minden görbére, ha az inte-

grandus normális irányú, azaz tangenciális komponense zérus. De a

felületi áramok sűrűsége eleve tangenciális, így ~Jf×~n tangenciális kom-

ponense megegyezik ~Jf-fel, ezért

a mágneses térerősség tangenciális komponensének

ugrása a felületi áramsűrűség4π

c-szerese!

7 A VEKTORPOTENCIÁL 7 A VEKTORPOTENCIÁL

7 A vektorpotenciál

Indukcióvektor forrásmentessége (div ~B = 0) miatt létezik olyan ~A(~r)

vektormező (vektorpotenciál) amelyre

~B = rot ~A

A vektorpotenciál nem egyértelmű: mivel bármely χ(~r) skalármező gra-

diense örvénymentes, ezért ~A és ~A′= ~A+gradχ ugyanazt a mágneses

mezőt írja le (mértékinvariancia).

Észrevétel. Mindig választható olyan vektorpotenciál, amelyre

div ~A = 0

7 A VEKTORPOTENCIÁL 7 A VEKTORPOTENCIÁL

~B=µ~H lineáris anyagi összefüggéssel leírható homogén, izotrop közegben

az Ampère–törvényből a vektorpotenciálra a

∆~A = grad div ~A− rot rot ~A = −rot(µ~H) = −4πµ

c~J

vektoriális Poisson–egyenlet adódik, melynek egy partikuláris megoldása

~A(~r) =µ

c

∫ ~J(~R)

|~r− ~R|d3 ~R

Innen a mágneses térerősség

~H(~r) =1

µrot ~A =

1

c

∫ ~J(~R)×(~r− ~R)

|~r− ~R|3d3 ~R

a Biot-Savart–törvénynek megfelelően.

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK 8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK

8 Lokalizált árameloszlások

Tekintsünk egy V tartományba lokalizált árameloszlást, amelynek ~J(~r)

áramsűrűsége eltűnik V-n kívül. A V tartománytól távol, µ permeabil-

itású homogén, izotrop közegben a vektorpotenciál

~A(~r) =µ

c

∫ ~J(~R)

|~r− ~R|d3 ~R

képletébe behelyettesítve a

1

|~r− ~R|=

1

|~r|+~r · ~R|~r|3

+3(~r · ~R)2 −~r2 ~R2

2|~r|5+ · · ·


Taylor-sorfejtést kapjuk, hogy

~A(~r)=µ

c|~r|

∫V

~J(~R) d3 ~R +µ

c|~r|3

∫V

(~r · ~R)~J(~R) d3 ~R + . . .

Figyelembe véve, hogy az áramsűrűség eltűnik a térrész ∂V határán,

továbbá felhasználva a (tenzoriális) divergencia-tételt és a div~J=0 kon-

tinuitási egyenletet, adódik

∫V

~J(~r) d3~r = 0

és ∫V

(~r· ~R)~J(~R) d3 ~R =

1

2

∫V

~R×~J(~R)

d3 ~R

×~r


ezért~A(~r) = µ

~m×~r|~r|3

+ . . .

ahol~m =

1

2c

∫V

~R×~J(~R)

d3 ~R

Innen a mágneses térerősség

~H(~r) =1

µrot ~A =

3( ~m ·~r)~r− |~r|2 ~m|~r|5

Elektrosztatikus analógia alapján ez egy (mágneses) dipólmezőt ír le, és

~m az árameloszlás mágneses momentuma.

A magasabb mágneses multipólus tagok általában elhanyagolhatók.


I erősségű áramot szállító drótvezető esetén ~m=I

2c

∫~r×d~r.

Sík drótvezetőre ebből ~m = IA~n, ahol A a vezető által bezárt felület-

darab területe, és ~n annak normális egységvektora.

Mágnesezett testek szintén jellemezhetők mágneses momentumukkal, mely

a molekuláris áramokból származó mikroszkopikus mágneses momen-

tumok eredője (nem add számot a teljes momentumról, csak annak egy

részéről, mert fellépnek kvantumos eredetű járulékok is).


Ha a töltés- és árameloszlás nagyon kis térfogatba lokalizált (’pontszerű’),

akkor egy elektromosan semleges testre ható forgatónyomaték

~N=1

c

∫~r×~J×~B

d3~r=

1

c

∫ (~r·~B)~J−(~r·~J)~B

d3~r= ~m×~B(~r)

A mágneses mező addig forgatja a testet, míg momentuma a mezővel

párhuzamos irányba nem áll be (hacsak valamely más erő nem kompen-

zálja a forgatónyomatékot).

Mágneses dipólmező különbözik az elektromostól a dipólus helyén muta-

tott szinguláris viselkedésben: a kontakt tag mágneses esetben az elek-

tromosénak a −2-szerese. A különbség oka, hogy a mágneses momentum

áramhurkokból származik, és nem mágneses töltésekből.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI

9 Anyagok mágneses tulajdonságai

Anyag mikroszkopikus összetevői (elektronok, protonok, stb.), alapvetően

kvantumos eredetű (spin) belső mágneses momentummal is rendelkeznek

a mozgásukból származó (molekuláris áramok) momentumon túlmenően.

Molekulák mikroszkopikus mágneses momentumai általában kioltják egy-

mást véletlenszerű irányuk miatt makroszkopikus térrészek teljes mág-

neses momentuma eltűnik, kivéve ha irányuk valamilyen okból rendezett.


Mikroszkopikus momentumokat rendezheti

1. külső mágneses mező forgatónyomatéka;

2. mágneses momentumok közti kölcsönhatás.

Mágnesezés jelensége hasonlít a dielektromos polarizációhoz, de ninc-

senek mágneses töltések.


9.1 Diamágnesség

Külső mágneses mező befolyásolja az elektronok atomokon és molekulákon

belüli mozgását változás a molekuláris árameloszlásban, így a mágne-

ses momentumban is.

Indukált momentumok arányosak a külső mezővel, de ellentétes irányba

mutatnak (Lenz–törvény), így csökkentik a külső mező hatását az

indukált mágnesezettség (mágneses momentumsűrűség)

~M = χm ~H

alakú, ahol χm<0 a mágneses szuszceptibilitás.


Diamágneses hatás mindig jelen van, de általában elhanyagolható a többi

mechanizmushoz képest (|χm|<10−4), kivéve ha a mikroszkopikus össze-

tevők mágneses momentumai mind eltűnnek.

Diamágnesek szuszceptibilitása (általában) független a hőmérséklettől.

Szupravezetők tökéletes diamágnesek (Meissner–effektus), vagyis a mág-

neses indukció kilökődik egy szupravezető test belsejéből (kivéve egy

vékony felületi réteget) nem túl erős terek esetén.


II-es típusú szupravezetők: bizonyos kritikus mágneses térerősség felett

a mágneses mező részben behatol a szupravezetőbe, mágneses fluxus-

csövekbe (Abrikosov–vonalak) lokalizálva.

Mágneses levitáció: diamágneseket taszítja a mágneses mező, így állandó

mágnes fölé helyezve lebegnek (működik élőlényekre is).


9.2 Paramágnesség

Külső mágneses mező a párosítatlan spinekből adódó mikroszkopikus

momentumokat addig forgatja, amíg a mező irányával párhuzamosan áll-

nak be (orientációs mágnesezettség) ~M mágnesezettségi vektor (mág-

neses momentumsűrűség) arányos a ~H térerősséggel

~M = χm ~H

pozitív χm>0 mágneses szuszceptibilitással.

Csak nem túl erős mágneses mezőkre és nem túl alacsony hőmérsék-

letekre igaz (telítettség).


Termikus fluktuációk igyekeznek rendezetlenné tenni a mágneses mo-

mentumok irányát mágneses szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését a

TC Curie–hőmérséklet felett a

χm =C

T − TC

Curie-Weiss–törvény írja le.

TC kritikus hőmérsékletnél másodrendű fázisátalakulás egy rendezett

fázisba (ritka esetekben elmarad).

Diamágnesekkel ellentétben a paramágneseket vonzza a mágneses mező

(gyenge effektus).


9.3 Ferromágnesség

Erős kölcsönhatás mikroszkopikus momentumok között (kvantumos ere-

detű kicserélődési kölcsönhatás) alacsony hőmérsékleten makroszkopikus

domének kialakulása rendezett momentumokkal.

Egy doménen belül az összes momentum párhuzamos minden egyes


domén egy kicsiny permanens mágnes, de általában a különböző domének

momentumai véletlenszerűen irányítottak (termikus fluktuációk követ-

keztében) sok doménből álló makroszkopikus testnek általában eltűnik

a spontán mágnesezettsége.

Domének határán a mikroszkopikus momentumok kölcsönhatnak mind-

két doménbéli momentumokkal irányuk megváltozhat, vagyis egyik

doménből átkerülhetnek a másikba domének tágulnak és összemen-

nek: a doménfalak mozognak.


Külső mágneses mező nem tudja (energetikai okokból) elfordítani az

egyes domének momentumát, de segíti azon domének növekedését, melyek

momentumai közel párhuzamosak a külső mezővel⇒ nettó makroszkopikus

mágnesezettség kialakulása.


Doménfalak mozgása disszipatív folyamat nemlineáris mágnesezettségi

görbe

Hiszterézis: mágnesezettség nem egyértelmű függvénye a térerősségnek,

hanem függ a közeg előéletétől is (szuszceptibilitás = mágnesezettségi

görbe meredeksége az origóban).


Mágnesezettség telítődik (Msat maximális értéknél) amikor az összes mo-

mentum párhuzamos (csak egy domén marad).

TC Curie–hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás paramágneses fázisba,

amikor a domének feloszlanak (termikus fluktuációk kompenzálják a

mikroszkopikus momentumok közti kölcsönhatást).

Ferrimágnesség: domének rendezett momentumokkal, de szomszédos mo-

mentumok ellenkező irányba mutatnak (pl. magnezit).


Spontán polarizáció, hiszterézis, stb., de a szuszceptibilitás sokkal kisebb,

mint ferromágneseknél.

Antiferromágnesség: olyan ferrimágnes, amelyben a szomszédos momen-

tumok tökéletesen kioltják egymást.

Nincs spontán mágnesezettség: úgy viselkedik mint egy paramágnes,

kivéve a szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését.

10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK 10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK

10 Kvázi-stacionárius jelenségek

Kvázi-stacionárius jelenségek: térjellemzők és források (töltés- és áram-

sűrűség) lassú időbeli változása megengedett (pl. elektromos távvezeték-

ekben folyó váltakozó áramok).

Kvázi-stacionaritási feltétel:

∣∣∣∣∣∂ ~D∂t∣∣∣∣∣ ∣∣~J∣∣

Példa (kondenzátor kisülése): hogyan változik az időben egy magára

hagyott kondenzátor fegyverzetein található töltés mennyisége?


Jelölje C a kondenzátor kapacitását, R a fegyverzetek közötti részt kitöltő

dielektrikum ellenállását, és legyen kezdetben ±Q0 nagyságú töltés az

egyes fegyverzeteken. A fegyverzetek közti potenciálkülönbség

U(t) =Q(t)

C

ahol Q(t) a fegyverzeteken tárolt töltés mennyisége t idő múlva. Ennek

hatására

I(t) =U(t)

R=Q(t)

RC

erősségű áram folyik a fegyverzetek között, így a töltés megváltozásának

sebessége


dQ

dt= −I(t) = −Q(t)

RC

A differenciálegyenlet megoldása

Q(t) = Q0 exp

(− tτ

)

ahol

τ = RC

a kondenzátor időállandója.

A töltés mennyisége exponenciálisan csökken az idővel!

Az időállandó növelhető akár azR ellenállás, akár a C kapacitás növelésével.

11 A FLUXUS-SZABÁLY 11 A FLUXUS-SZABÁLY

11 A fluxus-szabály

Faraday (1831): időben változó mágneses mező elektromos áramot in-

dukál vezetőkben (elektromágneses indukció).

Mikroszkopikus töltéshordozók mozgatásához szükséges elektromotoros

erő forrása a mágneses mező

Az elektromos mező többé nem konzervatív!


Fluxus-szabály: egy zárt áramkörben indukált elektromotoros erő arányos

az áramkör által kifeszített bármely (esetlegesen időben változó) Σ felület

ΦΣ =

∫Σ

~B·d~s

mágneses fluxusának változási sebességével

Eind = −1

c

dΦΣ

dt

Lenz–szabály: indukált áram által keltett mágneses mező csökkenti az

indukáló fluxust (negatív előjel miatt).


Stokes tételéből

Eind =

∮∂Σ

~E·d~r =

∫Σ

rot ~E·d~s

Ha Σ nem változik az időben (’nyugalmi indukció’), akkor

∫Σ

rot ~E·d~s = −1

c

d

dt

(∫Σ

~B·d~s)

= −1

c

∫Σ

∂~B

∂t·d~s

Végül, a zárt áramkört (és ezáltal a Σ felületet) összehúzva egy pontra

adódik

rot ~E = −1

c

∂~B

∂tFaraday–törvény


Szerteágazó alkalmazások:

1. elektromos motorok és generátorok;

2. transzformátorok;

3. mikrofonok;

4. elektromos fűtés (indukciós kemencék);

5. mágneses fékrendszerek;

6. dinamó-elmélet (Föld mágneses mezejének eredete).

12 FOUCAULT–ÁRAMOK 12 FOUCAULT–ÁRAMOK

12 Foucault–áramok

Foucault–áramok: időben változó mágneses mező vezető testekben örvény-

áramokat indukál, melyek egyrészt energiát disszipálnak (Joule–hő), más-

felől olyan mágneses mezőt keltenek, amely csökkenti a mágneses fluxus

változási sebességét (Lenz–törvény).

Örvényáramok létrejötte az energiadisszipáció fő mechanizmusa transz-

formátorokban és elektromos motorokban, csökkentve azok hatékonyságát.

Gyakorlati alkalmazások: elektromágneses fékezés, fémek azonosítása és

szétválasztása (pl. pénzautomaták), indukciós fűtés, stb.

13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK 13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK

13 Kvázi-stacionárius áramok

Kvázi-stacionárius esetben a térjellemzők által kielégített egyenletek:

div ~D = 4πρ

div ~B = 0

rot ~E = −1

c

∂~B

∂t

rot ~H =4π

c~J

kiegészítve a közeget jellemző anyagi összefüggésekkel.


Kvázi-stacionárius áramokra továbbra is

div~J = 0

alakot ölt a kontinuitási egyenlet

1. közegek határán ~J normális komponense folytonosan változik;

2. vezető cső belsejében bármely két keresztmetszeten ugyanannyi

töltés áramlik át egy adott időpillanatban;

3. elektromos hálózat bármely csomópontjába befolyó áramok intenz-

itásának összege megegyezik a kifolyó áramok intenzitásainak összegével

(csomóponti szabály).


De Kirchhoff második törvénye módosul: vezetők alkotta hurokban az

áramforrások elektromotoros erején felül figyelembe kell venni a változó

mágneses mezők által indukált elektromotoros erőt is.

∑k

RkIk =∑k

Ek + E ′

ahol

E ′ = −1

c

dΦ

dt

a hurokban indukált feszültség, és Φ a hurok mágneses fluxusa.

Mágneses fluxus lehet (részben) külső eredetű, de fontos forrását alkotják

a hálózatban áramló töltések is.

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK 14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK

14 Indukciós együtthatók

Elektromos hálózatban folyó időben változó áramok időben változó mág-

neses mezőt hoznak létre, amely a hálózatban előforduló zárt hurkokban

feszültséget indukál.

Mágneses mező térerőssége arányos az őt keltő áram erősségével, ezért a

hurkok mágneses fluxusai az áramerősségek lineáris kifejezései.

Ha Φk, ill. Ik jelöli a k-adik hurok fluxusát, ill. a benne folyó áramot,

akkor

Φi = c∑k

LikIk


ahol az Lik=Lki indukciós együtthatók függetlenek az áramerősségektől,

csak a hálózat geometriájától és anyagi összetételétől függ.

Diagonális elemek: önindukciós együtthatók.

Az i-edik hurokban indukált elektromotoros erő (hozzáadódik a hurokban

esetleg előforduló áramforrás elektromotoros erejéhez)

E ′i = −1

c

dΦidt

= −∑k

LikdIkdt

Időben változó áramok esetén Kirchhoff második törvénye kiegészítendő

megfelelő indukciós és kapacitív tagokkal.


Példa: az RL–kör

Tekintsünk egy R ellenállású és L önindukciójú zárt vezető hurkot, ame-

lyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál.

A huroktörvény szerint az I(t) áramerősségre

RI(t) = E(t) + E ′(t)

aholE ′(t) = −1

c

dΦ

dt= −LdI

dt


az áram által indukált elektromotoros erő

LdI

dt+RI = E

elsőrendű közönséges lineáris differenciálegyenlet az áramerősségre.

Inhomogén egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet

általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása.

Homogén egyenlet megoldása

I(t) = I0 exp(−RtL

)= I0e

−t/τ

ahol

τ =L

R> 0


a hurok relaxációs ideje exponenciálisan csökkenő áramerősség (Lenz–

törvény következménye).

Ha E(t)=E0 időfüggetlen, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris

megoldása

I∞ =E0R

míg az általános megoldás

I(t) =(I0 − I∞

)e−t/τ + I∞

egy exponenciálisan lecsengő tranziens tag és egy, a kezdeti feltételektől

független stacionárius tag szuperpozíciója.


Általános esetben aI(t) = I(t) et/τ

szorzat kielégíti adI

dt=

1

LE(t) et/τ

egyenletet, melynek partikuláris megoldás

I(t) =1

L

t∫0

E(t′) et′/τdt′

így

I(t) = I0e−t/τ − 1

L

t∫0

E(t− t′) e−t′/τdt′

az inhomogén egyenlet általános megoldása.


A tranziens tag csak a kezdeti feltételektől függ, és független a külső ger-

jesztéstől, míg a – kezdeti feltételektől nyilván független – hosszú távú

aszimptotikus viselkedést a gerjesztés által teljes mértékben meghatáro-

zott második tag írja le.

E(t)=E0 cos(ωt) harmonikus gerjesztés esetén

I(t) = A cos(ωt) +B sin(ωt)

ω frekvenciájú harmonikus aszimptotikus viselkedés megfelelő A és B

integrációs állandókkal. A differenciálegyenletbe behelyettesítve

E0R

cos(ωt) =E(t)

R= I(t) +

L

R

dI

dt=

A cos(ωt)+B sin(ωt)

+ τ−Aω sin(ωt) +Bω cos(ωt)


ahonnan

A+Bωτ =E0R

B −Aωτ = 0

A lineáris egyenletrendszer megoldása

A =E0

R(1 + ω2τ2)=

E0RR2 + ω2L2

=E0√

R2 + ω2L2

R√R2 + ω2L2

B =E0ωτ

R(1 + ω2τ2)=

E0ωLR2 + ω2L2

=E0√

R2 + ω2L2

ωL√R2 + ω2L2


Az aszimptotikus áramerősség

I(t) =E0Z

cos (ωt− δ) =1

ZE(t− δ

ω

)

Itt

Z=√R2 + ω2L2

a hurok impedanciája, és

δ = arctan(ωτ) = arctan

(ωL

R

)a fáziskésés.

Hosszútávon a tranziens tag exponenciálisan lecseng, és csak a stacionárius

tag marad meg.

15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) 15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR)

15 Az oszcillátor (rezgőkör)

Tekintsünk egy R ellenállású, C kapacitású és L önindukciójú zárt vezető

hurkot, amelyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál.

Kapacitás befolyása: töltés változási sebességével arányos kisülési áram

huroktörvény módosított alakja

RI(t) = E(t)− LdI

dt− Q(t)

C

aholI(t) =

dQ

dt


Másodrendű differenciálegyenlet a Q(t) töltésre

Ld2Q

dt2+R

dQ

dt+

1

CQ(t) = E(t)

illetve az I(t) áramerősségre

Ld2I

dt2+R

dI

dt+

1

CI(t) = E(t)

ahol E(t) az elektromotoros erő időderiváltja.

Homogén egyenlet általános megoldása

I(t) = I0e−Γt sin(Ωt+δ)

ahol

Ω =√ω2

0 − Γ2

míg I0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók.


Γ=R

2L, illetve ω0 =

1√LC

a rezgőkör csillapítási együtthatója és rezonancia-

frekvenciája.

Harmonikus rezgések még külső gerjesztés hiányában is!

Más-más aszimptotikus viselkedés aszerint, hogy ω20 < Γ2 (exponenciális

lecsengés) vagy ω20 > Γ2 (csillapított harmonikus rezgés).

Ha ω20 > Γ2, akkor

E(t) = E0 cos(ωt)

harmonikus gerjesztés esetén az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása

Ip(t) =E0Z

cos(ωt− ϕ)


Harmonikus kényszerrezgések (aszimptotikusan, amikor a tranziensek

már lecsengtek), ahol

Z =

√R2 +

(ωL− 1

ωC

)2

az impedancia és

ϕ = arctan

(ω2LC − 1

ωRC

)= arctan

(ω2 − ω2

0

2Γω

)

a fáziskésés.

Impedancia az ω=ω0 rezonancia-frekvencián minimális, amikor a fáziskésés

eltűnik, és az oszcillátor Ohmikus ellenállásként viselkedik.

16 A TRANSZFORMÁTOR 16 A TRANSZFORMÁTOR

16 A transzformátor

Induktívan csatolt primér és szekunder körök szekunder körben folyó

áramot meghatározza a primér kör elektromotoros ereje.


Ha I1 és I2 jelöli a primér és szekunder körökben folyó áramok erősségét,

R1 és R2 az ellenállásukat, E(t) a primér kör elektromotoros erejét, és

Lik az indukciós együtthatókat, akkor a Kirchhoff–törvények alapján

R1I1(t) = −L11dI1dt− L12

dI2dt

+ E(t)

R2I2(t) = −L21dI1dt− L22

dI2dt

Innen

R2I2(t)=−L21dI1dt−L22

dI2dt

=−L21dI1dt−L22

L12

(E(t)−R1I1(t)−L11

dI1dt

)=−L22

L12(E(t)−R1I1(t))−

(L21−

L22

L12L11

)dI1dt


Geometriai megfontolások alapján

L12

L11=N2

N1=L22

L21

ahol N1 és N2 a primér és szekunder körök menetszámát jelöli, míg az

indukciós együtthatók szimmetriája következtében

L12 = L21

Amennyiben a primér kör ellenállása kicsi, akkor az előzőek alapján

R2I2(t) = −L22

L12E(t) = −N2

N1E(t)


Olyan, mintha a szekunder körben folyó áramot egy

E2 = −N2

N1E(t)

elektromotoros erejű (előjel!) áramforrás tartaná fenn: feszültség-multi-

plikáció.

Negatív előjel: primér és szekunder körök ellentétes fázisban.

Transzformátorok gyakorlati haszna: köznapi alkalmazásokban (háztartási

készülékek) alacsony feszültségekre van szükség, de az elektromos energia

szállítása magas feszültségen sokkal hatékonyabb (kisebb vesztességgel

jár).

Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejükelmfiz.elte.hu/~bantay/eldin/magneto.pdffelületi...

Documents

Transcript of Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejükelmfiz.elte.hu/~bantay/eldin/magneto.pdffelületi...