n i r b.

LA

ESPACiO RIEMANNIAN0 ISOTRBPICQ

IDENTIDADES DE LANGZQS

CQ M ENTAW IO A: CALCULO DE LOS DETERMINANTES DE ALGUNAS MATRICES

LEY ES DE CONSERVACION

REFORMULACION DE LAS IDENTIDADES DE PAGELS

José Luis LÓpez Bonilla

DIVISION DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA Departamento de Ciencias Bhsicas

UNIVERSIDAD AUTOMQ MA M ETROPOLITAMA Unidad Azcapotzalco

MBxico 96, D.F

ISBN 968-597-241-9 Febrero de 1981

ESPAC I O R I EhlAl4NIANO I SOTROP I CO

J o s é L i i i s LÓpez B o n i l l a

I. INTRODUCCION

Con-sideremos un e s p a c i o de Riemann ViJ. La c u r v a t u r a Rie - mannizna e n e l punto a s o c i a d a con un p a r de v e c t o - res ai, b j es e l i n v a r i a n t e .

P : kp

k m

gdr)ac bd a r bq

Rijkm ai bj a b Kp =

(ser gdq- gcq

i S i K t i e n e e l mismo v a l o r p a r a todo p a r dc d i r e c c i o n e s a , bj, e n t o n c e s decimos que P es un Punto I s o t r ó p i c o . Además,

VN es i s o t r ó p c i o s i todos s u s pun tos s o n i s o t r 6 p i c o s , cum-

p i i e n d o s e e l LEMA DE S C H ~ J R ' :

P

"si V N , N > 2 es I s o t r ó p i c o , e n t o n c e s e l t e n s o r de - Riemann e s t5 dado p o r

en donde la c u r v a t u r a R i m a i n i a n a K es c o n s t a n t e " .

La e x p r e s i ó n ( 1 ) es muy p r o p i a de un e s p a c i o i s o t r b p i c o y

podemos a c e p t a r l a como una p a r t i c u l a r i d a d de 61. En l a - s i g u i e n t e s e c c i 6 n se da una c a r a c t e r i z a c i 6 n e q u i v a l e n t e del

t i p o de e s p a c i o en c u e s t i ó n , v e r l a p r o p o s i c i ó n [ 3 ) .

1 1 . TETISORES DE CUARTO ORDEN DEPENDIENTES DEL TENSOR

METRICO.

E x i s t e el s i g u i e n t e LEMA DE LOVELOCK (1969):

e s un t e n s o r para N > 2, e n - - 'i j n h ( h s )

1 1 - si @i jmh

t o n c e s

N - + e j h + g i h g j m + d6, 'i j mh - a ei j h i h

(2 1 n i j m h

= i j m h

en donde a , b, c , ci son c o n s t a n t e s y n

= E i j n l f i c o n g = d e t ( g r , ) 6 " i j m l r e s e l sínbo - l o de p c r m u t a c i ó n d c L e v i - C i v i t a " .

E s t e r c s i i l t a d o n o s permite d e m o s t r a r que:

"Si en un e s p a c i o V N , N > 2 el t e n s o r de Riemann só -

4

- - Ri jmli ( c r s ) ' R i j m ~ i l o depende d e l t c n s o r m6t r i co :

en tonces VN e s i s o t r ó p i c o " . ( 3 )

En e f e c t o , e l t e n s o r de Riemann t i e n e l a forisa ( 2 ) y l a s

p r o p i e dades :

- - - - "j imh Ri j ~ i m

Rijmh + Rimhj + Rihjm = o

- P -

Rijmh

P o r consecuenc ia ( 2 , 4 . a ) imp l i can que

a g i j gmh e Cb+c)gih g j m e (b+c)g jh g i m = 0

(5.3) en donde al c o n t r a e r s o b r e ( i j ) s e o b t i e n e :

Análogamente, al c o n t r a e r (S.a) 'sobre ( i h ) sc deducc que:

2 a + (N+l ) (b+c) = O ( 5 4

Dc esta manera (5.b, c) impl ican a = O 6 b = -c y el t c n s o r

5

de Riemann nos queda:

S o b r e (6) imponemos l a i d e n t i d a d c íc l ica (4 .b ) p a r a o b t e -

n e r

y (6) s e r e d u c e a :

de donde b = C u r v a t u r a R i e m a n n i a n a , a s í que VN es isotrdpi - c o , q . e . d .

Agradezco al D r . Eduardo P i ñ a Garza s u s o b s e r v a c i o n e s s o b r e

e s t e t r a b a j o .

BIBLIOGRAFIA

1 . J. L. S y n g e , A. S c h i l d " T e n s o r C a l c u l u s " . U n i v , o f

T o r o n t o Press (1956) .

2. D. Lovclock, Arch. R a t l . Necli. A n a l . 33, 54 (1969).

6

IDENTIDADES DE LA!iCZOS

José L u i s LÓpcz B o n i l . l a

I . INTRODUCCION.

En e s t e t r a b a j o daremos una d e m o s t r a c i ó n a l t e r n a t i v a

de l a i d e n t i d a d obt.i?nida por Lanczos ( 1 9 3 8 ) (aceptamos í a

c o n v e n c i ó n de suma s o b r e í n d i c e s r e p e t i d o s ) :

* R* i.j km l g p l (1 1 icbd - - - 1 4 ( R i j k n * I!“ RPcdb

en donde Rijkm es e l t . e n s o r de c u r v a t u r a de Riemann con

las simetrías:

-

= O I d e n t i d a d C í c l i c a Rij km + Rikmj +. R i m j k

= O I d e n t i d a d e s de Rij km; r + “ i j m r ; k + R i j i - k ; m B i a n c h i

1 y e x p r e s i ó n R ij km = Z ( g i m , k j + g j k , i m - g i k , j m - g j m , i k ) +

7

I

c o n ; denotando d e r i v a d a c o v a r i a n t e en n u e s t r o e s p a c i o Riema

n n i a n o , además tenemos l a d e f i n i c i ó n :

u

(3) - 1 Rabcd

‘cdkm Doble Dual d e Riemann *R* i j k m - - Q - 4 i j a b

v á l i d a s 6 l 0 en 4 d i m e n s i o n e s , t a l q u e :

con

1 s i i j k r e s p e r m u t a c i e n p a r d e 0123

E: i j k r - - ‘ i j k r ” { - 1 s i i j k r es p e r m u t a c i e n impar d e 0123

O en l o s o t r o s c a s o s

E l Dcble Dual t i e n e l a s mismas s imetr ías a l g e b r a i c a s que el

t e n s o r de Riemann, y l a s i d e n t i d a d e s d e B i a n c h i en. térmi-nos

de é l a d q u i e r e n l a forma:

E1 * R * i j k = o ; n

La i d e n t i d a d d e Lancsos es Ú t i l en t e o r í a s c u a d r á t i c a s d e - g r a i i t a c i ó n .

8

I I . EXPRESIONES DE EIJLER- JAGRANGE.

A q u í se m u e s t r a l a forma dada por Rurd ( 1 9 6 6 ) a i € o r -

malicmo L a g r a n g i a n o : Dicho a u t o r ha de*qostrado que l a e x -

p r e s i ó n d e E u l e r - L a g r a n g e L i j , c o r r e s p o n d i e n t e a l a d e n s i -

dad L a g r a n g i a n a ( c o n , denotando d e r i v a d a o r t i í n a r i a )

puede e x p r e s a r 2 e en l a forma t e n s o r i a l :

L (7) A h k , i b 1 i j + p i j , h k 2 Lij = A

;Rk - 3 Rkibh

C o n s e c u e n t e m e n t e , p o r medio d e (7) podemos c a l c u l a r L i j co - n o c i e n d o ú n i c a m e n t e A i j D h k , m i e n t r a s que si usaramos (6),

Y aL son n e c e s i t a - n o s o l a m e n t e (8 ) s i n o t a m b i é n - d a s . Además, A i j s h k t i e n e l a s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s d e - simetría :

a L a g i j agi j ,k

9

ij ,hk - - Aj i ,hk = Aij ,kh = Ahk,ij A

A ij ,hk + Aih,kj b

ik,jh I o + A . (9)

Por otra parte, Lovelock ( 1 9 7 2 ) ha demosrrado que las

expresiones de Euler-Lagrange asociadas a una divergencia

ordinaria son idénticamente nulas, i.e.

L = Bi implica ,i

III. IDENTIDAD DE LANCZOS.

Ahora probaremos que:

"Las expresiones (7) implican (1 ) cuando las aplicamos

a la Lagrangiana

Para esto recordemos que Buchdahl (1966) mediante el

c á l c u l o de rotores demostró que L, es una divergencia o r -

dinaria, entonces ( 7 , 10) implican:

B a s t a c a l c u l a r .A hr,qe: Obtenemos 6Ll variando Gnica-

10

- 5 n i j a b kmcd 2 rl abcd G R i j k m SL, -

- 5 n i j a b kmcd ( a e 6 r - 6 e '1 6 9 - rl Rabcd k m m 'k j

- 4

hqab e r c d = 4 4 7 * R * h W - . rl 'abcd 6 g h r , q e = J-g

' a g h r , q e

z a c i ó n en (h;.)

E n t o n c e s A P I , c d = O p o r l a s i d e n t i d a d e s de B i a n c h i ;.cd

1 1

e s t o ú l t i m o porque g r a c i a s a l a i d e n t i d a d c í c l i c a tenemos

que :

l c b d + * R * l b d c ) RPcdb * R * l d c b = -RPcdb (*R*

í n d i c e s mudos

F i n a l m e n t e , a l s u s t i t u i r ( 1 4 , IS) en ( 1 2 ) 'obtenemos l a

I d e n t i d a d d e L a n c z o s , e x p r e s i ó n (l), q.e.d. E s t a p r u e b a es

i l u s t r a t i v a p o r e l f o r m a l i s m o empleado, sin embargo t a m b i é n

e x i s t e n d e m o s t r a c i o n e s d e (1 ) apoyadas en e l h e c h o d e que

es una suma de p r o d u c t o s d e D e l t a s d e K r o n e c k e r . i j k m 0 'abcd

12

*BIBLIOGRAFlA

1. C. L a n c z o s , Ann. o f blath. 3 9 , 8-12 ( 1 9 3 8 )

2. H . Rund, Abhandi . Math. Sem. U n i v . Hamburg 2 9 , 243

- -

(1 966)

3 . D. L o v e l o c k , J . A u s t r a l . Math. Soc. 14, 4 8 2 ( 1 9 7 2 )

4. H.A. B u c h d a h l , J. A u s t r a l Math. Soc. - 6 , 424 ( 1 9 6 6 )

-

13

COMENTARIO A :

"CALCULO DE LOS DETERMI-IJAWTES DE

ALGUNAS MATRICES"

José Luis 'LÓpez gonilla

En el Iúo. 2 de esta revista, el Prof. €1. Viliarreal

Rodrlguez efectúa el cálculo de algunos determinantes, - sus demostraciones S O R breves y elegantes apoyandose en - resultados de álgebra lineal y teoría de polinonios. En

e s t a nota se muestra un método alternativo para obtener - det A y det E utilizando la definición de un determinante

en t é r m i n o s de la Pelta de Kronecker Generalizada:

I . .

14

l a c u a l t i e n e l a propiedad:

en donde hemos utilizado l a c o n v e n c i 6 n de suma s o b r e í n d i - ces r e p e t i d o s . E n t o n c e s :

y por d e f i n i c i 6 n :

15

.

. ( 6 i n + a . a . n i n J n

2 - - - I (n! + n! s f n a . a = 1 .+ a , + a i +... 4 n: J n I n j n

q.e .d.

En es ta d e m o s t r a c i ó n n o es n e c e s a r i a l a h i p ó t e s i s

de que a l g ú n a i # O :

t a v e n t a j a a l g u n a porque s i t o d o s los ai f u e r a n n u l a s

obviamente d e t A = 1 .

Desde l u e g o que e s t o no r e p r e s e n -

en donde todos l o s a j r

no a c e p t a r e n o s l a convenc ión de suma sobre í n d i c e s r e - v a l e n a , además e n e s t e caso

i r

p e t i d o s . E n t o n c e s

Es claro que al final de este Gesarrollo h a b r á los si -

pientes tipos de términos:

dos sus elenentos tienen el valor a r o

o bien, este determinante se anula porque la Delta d e

Kronecker Generalizada es antisimétrica en sus índi -

ajn que es simé- ii"' in

ces y esta'contraIda con a J l - trica en sus indices debido a que alr = a.

ir

= Det. Diag { x i , x 2 , ..., x,} = x 1 x 2 ... x,

17

y simetría de i , ... p o r a n t i s i r n e t r i a de 6

a i l i 3 i n

jl-. j, j 1 a j 3 ... a . n j .

y a s í s e a n u l a r á n l o s t é r m i n o s en donde ex i s ta l a

D e l t a de K r o n e c k e r c o n t r a í d a c o n un factor c o n t e - n i e n d o a l p r o d u c t o 4 e a l menos d o s a J r .

ir

Por ú l t i m o :

(6in x l a . 3 j = x 2 x 3... x, a + x I x J... xn a + ... + j n j n 1 3

+ ... + 1 + - 1

X n ( x, x p + X , X 2 . . . x ~ - ~ a E xlx 2 . . .

+ - ' l a Xn

Sustituyendo e s t a s o b s e r v a c i o n e s en (2) obtenemos que:

a a d e t ?3 = x l x 2... x n ( l + E + - + ... + - ) 9.e.d.

I 1 x2 xn

18

LEYES DE CONSERVACION: TEOREMA DE

NOETHER. 1 1

José Luis López Bonilla

1.- Introducción.

Los principios variacionales son de amplio uso en di -

versas ramas de la Física y con frecuencia la integral de

acci6n muestra invariancias (en un sentido que más ade--

lante se indicara) ante ciertos grupos de transformacio-

nes. Entonces surge el problema de determinar las implica -

cienes que tales invariancias puedan tener sobre la teo-- (1 9 ría física en cuestión. Esto fue resuelto por Ndether

2*3) demostrando que: "Toda transformación que genere una

invariancia en la integral de acción conduce inevitable--

mente a una ley de conservación para la teorfa correspon-

diente". Sin embargo, consideramos que el proceso y expre -

19

I1

siones de Noether no están lo suficientemvnte adaptados - para las necesidades de los estudiantes de Física-Matemá-

ticas. Por consecuencia, en este’trabajo se presenta una-

soluci6n alternativa er procedimiento al problema de en--

contrar la constante física asociada a una invariancia da

da de la acción. En la Secc. I1 mostramos nuestro enfoque

para el problema variacional en el que solo se involucra-

una variable dependiente y una independiente; se realizan

algunos ejemplos. La Secc. I11 contiene la generalizacian

a un número arbitrario de variables dependientes e inde--

pendientes; los resultados se ejemplifican con diversas - aplicaciones de interés.

-

11.- Supongamos que F forma parte del principio varia--

cional : ”

&A= 6 (:’ F(x,u,u) dx = O con u = u (X) y u = dx du , 1

d ( a F a F = o dx n)-Tü Por lo tanto

Además aceptenos que bajo la transformación con parámetro

a constante:

x* = x* [ _ x , u , a )

Cia cual se reduce a la identidad cuando a=o) la acción - presenta la invariancia:

20

Entonces, bQu6 expresión nos proporciona la constante aso

ciada a l a invariancia ( 3 ) bajo la transformación ( Z ) ? . ( 4 )

La respuesta de Noether c 3 ) es

-

II

d 3 CFG + F') 8 c 5 )

en donde F f = (H - uG) a y las funciones H, G son

generadas por la transformacidn (2): G[x,u) (z ax* ) a = O

? ?

Lanczos c 4 ) ha demostrado que el procedimiento de Noether

es equivalente a 'una simple aplicacidn de la teoría de va

riables ignorables de la mecánica analitica., su enfoque

consiste en suponer que a es un grado de libertad más - en el problema variacional y su correspondiente ec. de - Euler-Lagrange conduce a la expresidn (5)

En este tsabgjo ofrecemos un enfoque alternativo a - los de Noether y Lanczos, el cual se apoya en identidades

funcional es :

I t

Sean F[x,u,u), G c x , ~ ) , HCxYu) funcionaes totalmente . arbitrarias con u = u (x) y u = du Entonces es p c xi-

sible demostrar la identidad:

en donde

Go= - dG = G,x + G, u dx

F ' = (H-uG) F ,U

con la notacidn:

L,v= Derivada parcial explícita de L respecto a v . . Tal que L-F ,G , H Y v=x,u,u

Ahora supongamos que F es parte d e l principio variacional

( I ) , por lo tanto (6) se reduce a:

(8 1 - (FG+F') = FGo+Fo dx

que es válida para G y H arbitrarias. Si además existe la - invariancia (3) bajo la transformaci6n (2) , entonces afirma mos que (8) nos dará la constante asociada a tal invarian--

cia si elegimos: c9 1

CCx,u) = Y H(x,u) = au* a = O

22

Veamos c6mo funciona esta afirmación en las siguientes si - tuaciones:

a) Consideremos la acci6n:

F(u,u)dx

i.e. x es ignorable en la Lagrangiana. Es claro que-

la transformacibn

x * = x * a 3 u* = u

deja invariante a (10s.) en el sentido de C3). Por lo tan-

to, mediante c7) y (9) obtenemos que:

. . G = l , H=O, G O - 0 , Fo=O, F ' = -uF,u

cuya sustitución en c8) implica -- (F-GF,Ü)=o, con-

duciendonos a que la Hamiltoniana (GF,U-F) es una constan -

te de movimiento.

dx

b) Sea A2 = c2 F(x,<) dx

1

i.e. u es ignorable en F. Bajo la transformación:

x* = x 9 u * = u + a

la accidn ( lob ) muestra invariancia en el sentido de (3).

Entonces :

23

G = O , H=l, G o = O , Fo=O, F'=F,u

y (8) implica que dx

forma la conservación del momento canónico F,u.

CF,;) = , O , deduciendose en esta -

1 1 1 . - Es posible obtener leyes de conservación más intere-

santes mediante una extensión de la identidad (6) a cual-- -

quier número de variables dependientes (etiquetadas con - - índices griegos u,~,y, ...= 1 , 2, ..., N) e independientes

(marcadas con índices latinos i, j, k, . . .= 1, 2, ..., n). En efecto, sean F ( v i u ,u , u u ,i), G j (V i ,uu) y H B i (v ,uu) -

funciones arbitrarias con u' = u' (vi) 4 u',i = 4 a 2 . En-- av

tonces se verifica la siguiente identidad (aceptando la - convenci6n de suma sobre índices repetidos):

I Gj- (FG j j +F ) = FGo+Fo+(F)uu(H-Gjuu,j) I i i U U. dGi

dv' en donde Go= G ,i+G ,u u,i = -

i a Fj = (H"-G u , i ) F , u a , j

U (3 (F,u ,i> - F , u a a 2

( F ) U ü = -

24

con la notaci6n:

L,i = Derivada parcial expllcita de L=F,G j f 3 ,H respecto - i. a v

Q,r = Derivada parcial explícita de Q = F , G ,H respecto

a r=u ,u ,j. a Observese que el símbolo - denota derivación implíci -

a v3 ta en (11) y ( 1 2 , b , d ) , para el caso particular n = N = l , la

j s

a a

identidad (11) se reduce a (6 ) como debía de ser.

Ahora aceptemos que F es la Lagrangiana del problema

,v ar i ac ioq al :

*izn v l n

F (vi ,u', u' , i) dv' . . . &"=O, (1 3)

entonces (F)Uu = O y la identidad (11) se simplifica a:

- a (FG j j +F ) =FGo+Fo

De donde, siempre que FGo+Fose anule, (14 ) implica la ley

de conservaci6n (en nuestro espacio n-dimensional):

25

para la teorfa física resultante de í 1 3 ) . Por esta razón,

a (FGo+Fo)le llamamos el Generador de leyes de conserva--

cidn.

En (14 ) existe arbitrariedad en la elección de Gj y

H’, asf que en general ( 1 5 ) tendrá la foma O = O . Sin em

bargo, ( 1 5 ) conduce a una ley de conservación no-trivial-

cuando la integral de acción manifiesta invariancia en el

sentido de Noether bajo una transformación dada, s6l0 ec-

cuestion de elegir adecuadamente a Gj, H . Es decir, su-

pongamos que la transformacián con parámetro a constan-

te;

-

I f

8

(la cual se reduce a la identidad cuando

invariancia:

a=O) induce la-

* * v2 , * * * * *

F(vi,uu,uu,i*) dv l . . . dvn = A (17) *

1 A =

) * . I * * *

a - - a U‘ en donde u , i* a P

Entonces afirmamos que ( 1 4 ) proporciona la ley de con -

26 - - .-

scrvación C I S ) asociada a dicha invariancia si elegimos:

* .

Efectuemos algunas interesantes aplicaciones:

a) ECUACION DE S C H R ~ D T N G E R -

La ec. básica de la mecánica cuántica no-relativista

y que r i g e la evolución dinámica de la función de onda JI:

y la correspondiente ec. para s u complejo conjugada 5, - son deducibles de un principio variacional con integral de

acción c4)

1 X

considerando a $ y 7 como variables dependientes.

Introducimos la notacidn v'=x,v 2 = y , v 3 =z . , v4 = t para -

27

1 2 - las variables independientes (1114) & u = J, , U P J, - para las dependientes (N=2). Entonces (20) nos queda:

1 F(vj,u",uyj]dv I . . . dv 4 s dv . . .dv4 =

V1l v14

Además, es claro que (21 ) es invariante en el senti-

do (17) bajo la transformación: * * *

-ia u 2 Y u2 = e

Vj = v j 1 ia 1 y u = e u

es decir, las variables independientes permanecen inaltera - das y l a s dependientes sufren un cambio de fase Por lo - tanto, de (18 ) :

2 G j = O , H' = iu 1 H' = -iu Y

cuya sustitución en ( 1 2 ) implican:

G O Z O , Fo=i (u 1 Fyu'l+u'yjFyu 1 yJ-u 2 F,u2-uZ,jFyu 2 ,j)=O

F4 =%u1u2 y &=1,2,3 I 2 2 1 FA = i - (u u ,a - u u y .?Ill

28

Entonces (14) se reduce a:

a = 7 , 2, 3

o sea,

que representa la Conservacibn de la Probabilidad en la - 1 1

teorfa de Schrodinger

b). - ECUXCIONES DE MAXWELL. -_.

En electrodinámica clásica la production y propaga--

ci6n de los campos electric0 [E) y magnético (B) se realg

za de acuerdo a las ecuaciones

A

V ' E =

T a l que p

O

d

Y J

9

¶

son

X E =

(en unidades Caussianas) :

1 a B -_I -

c a t

A - 1 aE

C c at j +- - 4 n -

las densidades de carga y corriente

respectivamente.

29

En este trabajo s610 consideraremos el caso sin fuen - tes: p = O , 3=6. Entonces (25) nos quedan:

4 d

V ' B = O , V ' E = O

A

1 . i)E at V x B = - C

las cuales en forma inmediata nos conducen a una ley de-

conservación. En efecto, basta tomar el producto interno

de E 6 -B con (26b): y (26c) respectivamente, y sumar-

las ecs. resultantes, obteniendose:

A 2

- - (E2 +B2) + V (E x B) = O 1

2c at

que es2 resn la Conservación de la Energfa del campo Elec-

tromagzbtico. Sin erlbargo, este proceso no muestra la s i -

metría d e l campo de ?(axwell asociada a dicha ley de con--

s e r v 2 c i S n . E s t a citusción la renediamos de,la siguiente - r a n e r a : ( 7 7 j -510 fue ccnsecuencia de las seis ecs. (26.-

5 , c ) , ,?sí que tnbic'n debe ser deducible de un principio- \ ~ a r i , ~ , : i n : i z l que genere d i c h a s ecs. La integral de accidn s+) :

30

t

- 1 - 4 A

(B - i .E) f i [ V x E + - - ' a ' ) + (VxB - -. r'i' c a t C A = 4

4

aE *- at dxdydz dt, i ==

o bien, efectuando el producto escalar indicado:

x P t2 - 4

4 = -,..I {i(- 2c 1 - + E ~ + B ~ I + v (E x B) + B at A

t 1

4 4

4 -A

) 3 dxdydzdt (28b) - 1 3E 1 aB c at (VxB - 7 a) + E (VXE + - -L.

es tal que 6A4 = O implica (26.b9c), en donde las seis va-

riables dependientes son 1% componentes de E y B. 4 4

Nuestra acción muestra la invariancia (17) bajo la - - transformacidn (azcte .) :

x* = x , Y* = Y¶ t* = t (29a) z* = z, * *

2 - 4 4 - 4

E = E Cos a - B Sen (L 4 B = E Sen a + B Cos a

(Rotaci6n de Dualidad)

[29b) 6l

31

debido a que:

* * * * * * I aE ) + E CVxÉ + - 1 a p g

c a t CvxB - - - c at B

A primera vista, las expresiones (29,b) sugieren una

rotación ordinaria: cuando se aplican a cualquier ondz mo - nocromática linealmente polarizada, con g2 = E* Y - -

A E B = O , resulta que l a dirección de polarización rota-

un áagulo u alrededor de la dirección de propagación, - Sin embargo, cuando dichas relaciones se aplican a otros-

tipos de campos electromagnéticos, el resultado no es fá-

cilmente interpretable; (29.b) no es una rotación ordina-

ria en nuestro 3 - espacio, por e s t a raz6n se le ha llama do Rotación de Dualidad (5).

Ahora calcularemos la ley de conservación asociada a

esta invariancia. Para esto, introducimos la notación - - e

VI = x, v2 = y , v3 = z, v4 = t Y :

32

Entonces tfansformaci6n (29 ) nos queda:

v *j = \-- i

g - s *u = u U Sen a - u COS a , a = 4,5,6 U

die (18 ) : Por l o t a n t o ,

, u = 1,2,3 u+ 3 HQ (UB) f -u

€3" (UB) = u

Gj = O G

, u = 4 , 5 , 6 u-3

y mediante (1 2 ) .

G O = O , Fo*li*F ,uu + H a , u B u B , i F , u u , i =o , u , B = l , . . , 6

Entonces ( 1 4 ) i m p l i c a :

33

a - - a? ' z + -(ExB) 1 = O

- 1 - a (E2 + B 2 ) + V (E x B> = O zc at

que manifiesta la conservación de la energía electromagné-

tica, pero ahora como una consecuencia de la invariancia - del Campo de Maxwell bajo una Rotación de Dualidad.

c ) . - PRINCIPIO - DE HAYILTON

La Mecánica Analítica acepta que la dinámica completa

de un sistema físico está contenido en dos escalares funda - mentales, a saber, sus energías cinética (T) y potencial - (V), mediante las cuales podemos asociar a dicho sistema - la Lagrangiana L(t,qa,qa,t) t T - V en donde t es el - tiempo, q', u = 1 , . . . ,N las coordenadas generalizadas que representan los N grados de libertad del sistema y - -

í4) Entonces, el principio de Hamilton afirma que

"El movimiento real efectuado por el sistema es aquel movi

miento particular para el cual la acción: -

34

toma un v a l o r estacionario".

Es decir, 6A5=0 (en donde la variacidn es sobre - q') implica las Ecuaciones de Lagrange: las

u = 1 , ..., N d (A)- - - aL - 0 aiu aq' dt

que rigen comportamiento dinámico del sistema.

Introduzcamos nuestra notaci6n: v = t 6 ug=q', - entonces (32a) nos queda:

V 1

Analizemos las invariancias de la acción (33) en los

siguientes casos:

i).- La coordenada temporal es ignorable.Por lo tanto la a 5

ción:

- -

1 V

35

e s invariarite en el sentido CJ71 bajo l a transfonacián:

* V e V + a G

i t .

u' = uQ #

entonces Cí8) implica G' = 1 , HOzO, y por (12) : (35W

(35c) 'u ' o G o = O , Fo=O, F'= -U L , u ,

%O cual al sustituir en (14) nos da la ley de conservaci6n:

(L-u L , i ; u ) = o a -¿E-

La Hamiltoníana (q'L,'u-L) es una Constante de Movi- q. 0 .

miento. (35d)

ii).- c La coordenada generalizada uB -- es ignorable. As€ que

m u e s t r a la invariancia (17) cuando es sujeta a la trancfor - mación:

* * v = v G U ' = U ' + ~ ~ U B ,

e

u = 7 ,.. . ,N (37a)

36

obteniendose de esta manera la conservacion del momento ca - nónico L , q ' I 3 asociada a la variable ignorable q B . iii).- L a Lagrangiana depende de la diferencia de cierto - conjunto de coordenadas generalizadas.

if). - Supongamos que las coordenadas u' , u = 1 ,.. . ,No 5 N

sólo aparecen en L restandose entre si, entonces la acción:

1 1

es invariante en el sentido de Noether bajo la "Traslaci6n

de Ejes": (39a)

v = v , U' = u U + a , u = l,...No uY = uY,-y=NO+l, . . ,N * * *

La identidad ( 1 4 ) conduce a que:

(40)

I 'r d F' =O i.e. c L , ; P es una Constante de blovimienta 1 us3 !

37

Este aná1;ici.s ROS p e r m i t e e s t u d i a r e l s i g u i e n t e caso:

Aceptemos que l a e n e r g í a p o t e n c i a l d e un s i s t e m a mecá - nice de R p a r t í c u l a s c o n masas. M i , s 6 l 0 depende de l a - d i f e r e n c i a de l a s coordenadas de p o s i c i ó n d e l a s p a r t í c u l a s ,

e n t o n c e s l a a c c i 6 n en c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s e s t á dada p o r :

R (41 )

AS = Mi ( x i +y: + z i ) - V (x i -xx ,yi -yk,z i -Z 1 d t i = i

t l

l a c u a l e s i n v a r i a n t e b a j o l a t r a n s f o r m a c i ó n :

(42) * * * * z i = z + a 3 , i-l,..,R -

i i- al, Y i - Y i + a 2 ~ i = x xi t= t ,

con al, a2, a 3 c o n s t a n t e s a r b i t r a r i a s .

Así, (40 ) cuando se a p l i c a p o r s e p a r a d o a l o s c o n j u n t o s

( x i ) , (Yi) E Czi> conduce a q u e :

R R R (43)

>: M~ Ii =pi, *;7 M~ >;i= p 2 , M ~ Z ~ = ~ ~ c o n p j = c t e s . i = l i = l i = i

I n d i c a n d o n o s l a c o n s e r v a c i ó n d e l Momento L i n e a l

r R I

I i = l I

Ademss, C'c') es de l a forma C34) y p o r c o n s e c u e n c i a

s e s a t i s f a c e (35.d) n o s t r a n d o s e que l a H a m i l t o n i a n a - - = T + V es una c o n s t a n t e .

U ii'). - Supongamos que l a s v a r i a b l e s s6-

l o a p a r e c e n en L r e s t á n d o s e e n t r e s í . Lo mismo s u c e d e - c o n e l c o n j u n t o u' , o=No +1,..., 2 No 5 N. Ademgs, ace2

tamos que t o d a s e s t a s d i f e r e n c i a s de c o o r d e n a d a s s 6 l 0 a -

u , u=l , . . . ,No

p a r e c e n c u a d r a t i c a m e n t e y sumandose e n t r e t o d a s e l l a s . - P o r o t r a p a r t e , l a s v e l o c i d a d e s u , S = l , . . ,N s6 l0 e x i s - '6

t e n como una suma de t e r m i n o s c u a d r á t i c o s m u l t i p l i c a d o s -

p o r c i e r t o s f a c t o r e s c o n s t a n t e s

E n t o n c e s tenexiios l a a c c i 6 n :

Ma= Mo+N , u 5 N o . O

N 2

- j. L [ v , ( u U - u ~ ) 2 + ( u ~ - u 6 ) 2 , u JI , 1 M,L6)dv, u , B = l , . . , N O - Al o

6 = 1 V1 y,6=No+l , . . . ,2N0,

l a c u a l es i n v a r i a n t e b a j o l a " R o t a c i h de Ejes" :

d * v = v , uJ1 = u$, J, = 2N0+1, ..., N.

* S e n a U a

11 = u c o s a + u

, = I , ..., No * u'+No = - u U S e n a + u u + N ~ COS a

y mediante c12) : ( 4 5 . c)

-+E

G O = O , F O = ~ ~ + ~ O L , U u - ~ ' ~ , U ~ + ~ o + U u + N ~ ~ , ; ~ - ~ u ~ , ~ u + ~ ~ = ~ , U u=i,. . ,N,

.# N u + N ~ ' u U ' U + N O Ela(u u - u u ) L,p es una cte. de Movimiento

CY= 1 i -

N 2

y p =I M6b6 . 6 = 1

Resultado importante y que es r e l e v a n t e para un s i s t e - ma de R p a r t l c u l a s cuya energía p o t e n c i a l es de t i p o c e n - -

t r a i , es d e c i r , su acc ión e s t á dada por (coordenadas c a r t e - s i a n a s )

tl

R (47)

/ \ - Mi(fi*yi+zi)-v(\/(X 2 . 2 . 2 -x ) i + ( y i - y k ) 2 + ( ~ i - ~ k ) 2 ) 5 ' d t i k

i = i

40

l a c u a l e s i n y a r i a n t e h a j o l a rotación CII c3 plr i i io ST :

it * t * st, x =X COS Q + Yi Sen a, Yi=-x Sen a + Yi Cos a ,

i i i * z “ 2 i (48.a) i

Así que estamos en la misma situación que en (44), - (45.a) si introducimos la notación:

v = t , u =x U a+No- -Y, ¶ U = l , ..., NO= R (48 .b) U

U’

también se cumple la hipátesis Mu = Mu +No Además

1 * 2 * 2 - 2 MiCxi+Yi+z. 1 1 , entonces L,F = 2 y (16) implica:

i=l

R r-1 Mu(xUy,-yux,) = 2 3 = cte. (49 . a)

De igual forma podemos efectuar rotaciones en l o s planos

Fr para deducir que:

41

respectivamente. Las expresiones c49) manifiestan l a cop

servación del vector Momento Angular:

Agradezco al Dr. Eduardo Piña Garza su interés y ob-

servaciones sobre este trabajo.

B I BL IO GEL4F I A.

1 1

1 . - E. Noether, "INVARIANTE VARIATIONS PROBLEME", Nach. Ges.

Gottingen, 235 - 2 5 7 (1918) .

2.- E. Hill, Rev. Mod. Phys. 23, 3 , 253 (1951) "HAMILTON'S PRINCIPLE AND THE CONSERVATION THEOREMS OF MATHEMATICAL PHYSICS".

3 . - R. Courant, D. Hilbert, "METHODS OF MATHEMATICAL PHYSICS" Vol. I Wiley, New York (1962) .

4 . - C. L a n c z o s , "THE VARIATIONAL PRINCIPLES OF MECHANICS". - 4th. Edition, Univ. of Toronto Press (1970).

5. - J. A. Wheeler, l'GEOMETRODYNMIICS", Academic Press (1961)

p . 239

6. - R. Penney. "DUALITY INVARIANCE AVD RIEXUVNIA.7 GEOMETRY" J. Math. Phys., 2, 10, 1431 (1964).

42

REFOF3,IJLACION DE LAS IDENTIDADES DE PAGELS

José L u i s LÓpez 3oni 'L la

P. INTRODUCCION

P a g e l s (1963) demostró que en todo e s p a c i o Riemannia-

no s e cumplen las i d e n t i d a d e s :

( j - Ra 1 = o j; i ; a

en donde ; d e n o t a d e r i v a d a c o v a r i a n t e y Rki f R j k r e p r e i j - s e n t a a l t e n s o r s i m é f r i c o de Ricci o b t e n i d o m e d i a n t e con - t r a c c i ó n d e l t e n s o r de Riemann, además s e a c e p t a l a conven

c i ó n d e suma de E i n s t e i n s o b r e í n d i c e s r e p e t i d o s .

-

En un t r a b a j o a n t e r i o r s e probó que en c. dimens iones

l a s i d e n t i d a d e s d e P a g e i c e r a n e q u i v a l e n t e s a

Ri j ab; a; b = O

Ahora demostraremos que l a e q u i v a l e n c i a e n t r e ( 1 , 2)

43

persiste en t:oda dimensibn.

11 . IDENTIDADES DE PAGELS.

La validez de la mencionada equivalencia de (1, 2) - es consecuencia del siguiente

TEOREbíA

"En t o d o espacio de Riemann existen l a s identidades:

ij a> Rhk ; i; j = o

- ba - Rij j; i ; b

- Ra

= o ba y por io tanto ( R ~ ~ ; - Ra j ; i I ;a = Rij ;b; a que constituyen las identidades de Pagels".

DEN.

ij ji a) Rhk ; i; j= Rhk ;j;i (i,j) índices mudos

a

- ij por antisinetría del ten - -Rhk ;j;i - sor de Rieszann ( 3 )

P o r o t r a parte:

44

p o r la conmut a t i v i d a d

d e ; ( r e f . 1 3 1 pág. 258)

m i j m i j - Rh i j Rmk - Rk ij Rhm *

a n t i s ime t rí a I \

i j m j - im + Rmhij Rmk i j - = hk ; j ; i + Rmj Rhk R m i , Rhk

f s ime tr Pa 1

(4 1 Rm ij i j - Rmkij h rc Rhk ; j ; i

i g u a l a n d o (3, 4 ) deducimos que Rhk i j ; i ; j = O q.e.d.

= Rba - Rba p o r d e f , d e l - j b ; i t e n s o r de R i c c i j ;i i b ; j - Ra

p o r l a s i "- + Rba ) T-de?t idades

J i i b de B i a n c h i b j ; i p a r a el t e n s o r de Riemann, r e f . [ 3 ] pág. 261.

( R b a b i ; j + Rba i j ;b 1

ba - Ra ) + 2 R i j j ; i ;b - ( R a i i j

q .e .d . ba ;b

d e donde Rai;j - Ra j ; i = Rij

45

BIBLIOGRAFIA

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v a r i a t i o n a l pr inciples" . John Wiley 6 Sons

(1975)

46