La Antiderivada y la Integral Indefinida - uap.edu.pe€¦ · antidiferenciación . Ing.Santos...
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Ing.Santos E.Alva Bazán
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS MATEMATICAS II FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA Escuela Profesional de Ingeniería Ambiental
La Antiderivada y la Integral Indefinida
Introducción :
La mayoría de operaciones matemáticas se presentan en parejas inversas esto es la suma y la resta, multiplicación y división, elevar a una potencia y extraer una raíz, en donde un operador deshace a la otra, en consecuencia si tratamos de resolver ecuaciones diferenciales que incluyen derivadas necesitamos su inversa, y es la que llamamos antiderivada o integración
Definición :
Si f es una función y F es una función diferenciable tal que F’ (x) = f ( x ), es decir la derivada de F es f, entonces diremos que F es una antiderivada de f. Podemos representar esta idea como dos procesos inversos en un bloque de tres pisos. El proceso de derivación en forma descendente (para el caso de los polinomios baja el grado al derivar) y el proceso de antidiferenciación, inverso de la derivación, en forma ascendente (sube el grado del polinomio al antidiferenciar).
También se conocen como la derivación y la antiderivación (o integración).
F(x) Antiderivada de f(x)
f(x) = F’(x) derivada de F
f ’ (x) derivada de f
Proceso de diferenciación
Proceso de antidiferenciación
Ing.Santos E.Alva Bazán
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada. Por ejemplo:
Si f(x) = 3 2X , entonces , F(x) = 3X , es una antiderivada de f(x).
Observe que no existe una derivada única para cada función. por ejemplo, si G(x) = 3X + 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
Evaluar xdx Solución:
xdx = cx 2 , donde F(x)+C = Cx 2
Ejemplos
xx ee
xxgx
xxg
xxG
xf(x)xxxF
de daantideriva una es
1)( de daantideriva una es )ln(
1)( de daantideriva una es 1)(
26 de daantideriva una es 123)(
2
2
C=-2 C=-1
C=0
C=1
C= 2
X
Y
0 2 4 6 -2 -4 -6
2
-2
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Observaciones
.- Si F es una antiderivada de f, entonces F(x) + C, donde C es una constante, es la antiderivada más general de f.
.- Si F y G son antiderivadas de f, entonces F – G = C.
En efecto, si F y G son antiderivadas de la función f, entonces F’(x) = f(x) y G’(x) = f(x), así F’(x)- G’(x) = f(x) - f(x) = 0. De esta manera (F(x)-G(x))’= 0 y F(x)-G(x) = C, como consecuencia F(x) = G(x) + C. Es decir, dos antiderivadas de una función difieren a lo más en una constante, por lo cual la antiderivada más general es única (se le llama la integral indefinida de f)
- Si F es una antiderivada de f entonces F’(x) = f(x), luego dF = f(x)dx. Así, el problema de
hallar una antiderivada de una función f se resume en “despejar” F de la ecuación
dF = f(x)dx y esto se resuelve aplicando la inversa de la diferencial en ambos miembros
de la igualdad, esto es si es la inversa de la diferencial, FdF y dF=f(x)dx entonces
F(x)= dxxf )(
y así la antiderivada más general de f es CxFdxxf )()(.
Nota : se llama integral indefinida .
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera:
CxFdxxf )()(
en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Ejemplos
Cxxdxx 23)26( 2
C
xdx
x11
2
Cxdx
xln1
Cedxe xx
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PRIMERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
Sean f, g funciones derivables, k y c son constantes, entonces: 1.- cxdx 2.- dxxfkdxxkf )()( 3.- cxfxfd )())((
4.- 1,1
1
ncnxdxx
nn
5.- dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( Sea u =f(x), una función diferenciable en x
6.- 1,1
1
ncnuduu
nn 10.- c
auarctg
aaudu
1
22
7.- culonudu
11.- cauau
aaudu
ln
21
22
8.- cedue uu 12.- cauau
auadu
ln
21
22
9.- 1,0,ln
aaca
aduau
u
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SEGUNDAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
Fórmulas para casos en que el integrando sea una expresión cuadrática. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces:
1.- cauarcsen
uadu
22
2.-
22 audu ln cauu 22
3.-
22 au
du ln cauu 22
4.- cauarcsenauauduua
22222
21
21
5.- cauuaauuduau 2222222 ln21
21
6.- cauuaauuduau 2222222 ln21
21
7.- 0,sec1
22
acau
arcaauu
du
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TERCERAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
Fórmulas para casos en que el integrando sean funciones trigonométricas. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces: 1.- cudusenu cos.
2.- csenuduu.cos
3.- cudutgu cosln.
4.- csenuductgu ln.
5.- cutgctguduu
42
lnsecln.sec
6.- cutgcctguecuduecu
2
lncosln.cos
7.- ctguduu .sec2
8.- cctguduuec .cos 2
9.- cudutguu sec..sec
10.- cecuductguecu cos..cos
CUARTAS FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION
Fórmulas para casos en que el integrando sean funciones Hiperbólicas. Sea u = f(x), una función diferenciable en x entonces: 1.- cudusenhu cosh. 5.- ctghuduuh .sec 2 2.- csenhuduu.cosh 6 .- cctghuduuech .cos 2 3.- cudutghu .coshln. 7.- chudutghuhu sec..sec 4.- cusenhductghu .ln. 8.- cechuductghuechu cos..cos