Solucionario u1 s1 Antiderivada

7/23/2019 Solucionario u1 s1 Antiderivada

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CURSO: CÁLCULO II

Tema :

Docentes:

SOLUCIONARIO

En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas

1) ∫ dx

x

3

3

Solución:

C x

C x

dx xdx x

+=+⋅== ∫ ∫ 1243

1

3

1

3

443

3

2) ( )33 2 5 x x dx+ +∫

Solución:

( )3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5 x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx+ + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

4 24 23

3 2 5 54 2 4

x x x C x x x C

= + + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷

3) ( )2 4 2 y y dy+ +∫

Solución:

( )3 4

2 4 2 42 2 23 4

y y y y dy y dy y dx dy y C + + = + + = + + +∫ ∫ ∫ ∫

4) ∫ dy y 31

Solución:

C y

C y

dy ydy y

+−=+−

==−

−∫ ∫ 2

23

3 2

1

2

1

5)

2 3 2

2

x xdx

x

+ + ÷ ÷+

∫

Solución:

( ) ( ) ( )2

2 13 2 12 2

x x x x dx dx x dx x x

+ ++ + = = + ÷ ÷+ + ∫ ∫ ∫

Antiderivada - Integral Indefinida



2

2

x xdx dx x C = + = + +∫ ∫

6)

( )23 5 2 x x dx+ +∫ Solución:

( )2 23 5 2 3 5 2 x x dx x dx xdx dx+ + = + +∫ ∫ ∫ ∫ 3 3/2

2 1/23 5 2 3 5 23 3 / 2

x x x dx x dx dx x C

= + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫ ∫

3 3/22 52

3 x x x C = + + +

)

45 t e dt

t

+ ÷ ∫ Solución:

4 4 15 5 4 5 4ln 5t t t t e dt dt e dt dt e dt t e C

t t t

+ = + = + = + + ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

!)

/ 21 5

3

xe dx x x

− − + ÷

∫ Solución:

/2 /2

1/2

1 5 1 1 15

3 3

x xe dx dx dx e dx

x x x x

− − − + = − + ÷

∫ ∫ ∫ ∫ 1/2

1/2 /2 /21 1 1ln 5 ln 5 23 1 / 2 3 1 / 2

x x x x x dx e x e− − − = − + = − − ÷ ÷− ∫ +"

1/2 /21ln 1# 2

3

x x x e−= − −$"

%) ( )∫ + dye y 2

1

Solución:

( ) C yee

dydyedyedyee y y

y y y y +++=++=++ ∫ ∫ ∫ ∫ 22

2122

22

1#)

3

2sin3

xe x dx

+ ÷ ÷

∫

Solución:3 3

312sin 2sin 2 sin

3 3 3

x x xe e

x dx dx xdx e dx xdx

+ = + = + ÷ ÷

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

331 1

2cos 2 cos3 3 %

x xe

x C e x C

= − + = − + ÷ ÷



11) ( )#&#2 #&13 4t t e e dt − − +∫

Solución:

( ) ( )

#&#2 #&13 #&15 #&#2 #&15 #&#24 4 4t t t t t t e e dt e e dt e dt e dt − − − − − −+ = + = +

∫ ∫ ∫ ∫

#&15 #&#2#&#2 #&152#

4 4#&15 3 #&#2

t t t t e e

e dt e C − −

− −= + = − + +− −∫

#&15 #&#22#

2##3

t t e e C − −= − − +

12) ( )2tan 3cos x x dx−∫ Solución:

( ) ( )2 2 2tan 3cos tan 3cos sec 1 3cos x x dx xdx xdx x dx xdx− = − = − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2sec 3 cos tan 3sin xdx dx xdx x x x C = − − = − − +

∫ ∫ ∫ 13)

( )2

2sin 2 x dx x

+ ÷ ∫ Solución:

( ) ( ) ( )2 2 1

2sin 2 2sin 2 2 2 sin 2 x dx dx x dx dx x dx x x x

+ = − = − ÷ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

cos'2 )2ln 2 2ln cos'2 )

2

x x C x x C = + + = + +

14)

23 2 3 z z dz

z

+ + ÷ ÷

∫

Solución:2 23 2 3 3 2 3 3

3 2 z z z z

dz dz z dz z z z z z

+ + = + + = + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ ∫

3 13 2 3 2 3 zdz dz dz zdz dz dz

z z = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

23

2 3ln2

z z z C = + + +

15) ( )

1/2 2 2t t t dt − − +

∫ Solución:

( ) ( )1/2 2 3/ 2 1/2 1/2 3/ 2 1/ 2 1/22 2 2t t t dt t t t dt t dt t dt t dt − − −− + = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5/2 3/2 1/21/2 5/2 3/22 2

2 25 / 2 3 / 2 5 3 1 / 2

t t t t dt t t C −= − + = − + +∫

5/2 3/2 1/22 2

45 3

t t t C = − + +



16)( )3 2 1

2 5 x x dx x

− − ÷ ∫

Solución:

( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 3 212 5 5 2 1# 5 11 2 x x dx x x x x dx x x x dx

x

− − = − − + = − + − ÷ ∫ ∫ ∫

3 2 3 25 11 2 5 11 2 x dx x dx xdx x dx x dx xdx= − + − = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 3 25 11

4 3 x x x C

−= + − +

1)

3 12

2 x

x

− + ÷

∫

Solución:3 3/2

1/2

1 12 2

2 2 x dx x dx

x x

− + = − + ÷ ÷

∫ ∫ 5/2

3/2 1/2 1/21 12 2

2 5 / 2 2

x x dx x dx dx x dx dx− −= − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1/25/2 5/2 1/22 2 2 4

2 25 3 1 / 2 5 3

x x x C x x x C

= − + + = − + + ÷ ÷

(esuelve los siguientes ro*le+as

1) I(E./ 0A(IA& El ingreso +arginal derivado de la roduccin de q unidades de

cierto artculo es2 ' ) 4 1&2 R q q q= − dlares or unidad& .i el ingreso derivado de la

roduccin de 2# unidades es de 3####, cu7l ser7 el ingreso eserado or la roduccinde 4# unidades8Solución:

(ecuerde 9ue el ingreso +arginal es la derivada de la funcin del ingreso ' ) R q & Entonces,24 1&2

dRq q

dq= −

: or tanto, ' ) R q de*e ser la antiderivada de

dR

dq

, as2 3 2 3 21&2 4

' ) ' 1&2 4 ) #&4 23 2

dR R q q q dq q q C q q C

dq= = − + = − + + = − + +∫ ∫

ara alguna constante C &

El valor de C se deter+ina or el hecho de 9ue '2#) 3#### R = & En articular,3#### '2#) R=

( ) ( )3 2

3#### #&4 2# 2 2# C = − + +324##C ⇒ =

;e a9u, el ingreso total es3 2

' ) #&4 2 324## R q q q= − + +: el ingreso or la roduccin de 4# unidades es

( ) ( )3 2

'4#) #&4 4# 2 4# 324## 1#### R = − + + =



2) "/.</ 0A(IA& =n fa*ricante esti+a 9ue el costo +arginal or roducir q unidades

de cierto *ien es 2' ) 3 24 4!C q q q= − + dlares or unidad& .i el costo de roduccin de 1#unidades es de 5###, cu7l es el costo de roduccin de 3# unidades8Solución:

(ecuerde 9ue el costo +arginal es la derivada de la funcin del costo total ' )C q & Entonces,23 24 4!

dC q q

dq= − +

: or tanto, ' )C q de*e ser la antiderivada de

dC

dq , as2 3 224

' ) '3 24 4!) 4!2

dC C q q q dq q q q k

dq= = − + = − + +

∫ ∫

3 212 4!q q q k = − + +

ara alguna constante k & 'a letra k se e+le ara denotar la constante a fin de evitar confusin con la funcin del costo C )

El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue '1#) 5###C = & En articular,5### '1#)C =

( ) ( ) ( )3 2

5### 1# 12 1# 4! 1# k = − + +42#k ⇒ =

;e a9u, la funcin del costo total es3 2' ) 12 4! 42#C q q q q= − + +

: el costo de roduccin de 3# unidades es

( ) ( ) ( )3 2

'3#) 3# 12 3# 4! 3# 42# 2236#C = − + + =

3) =<II;A; 0A(IA& =n fa*ricante esti+a 9ue el ingreso +arginal ser71/2 ' ) 2## R q q−= dlares or unidad cuando el nivel de roduccin sea de q unidades& .e ha

deter+inado 9ue el costo +arginal corresondiente es de #&4q dlares or unidad& .uonga9ue la utilidad del fa*ricante es 2### cuando en nivel de roduccin es de 25 unidades&

"u7l es la utilidad del fa*ricante cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades8Solución:

(ecuerde 9ueutilidad +arginal ingreso +arginal costo +arginal= −

As, si' ) utilidad +arginal P q ≡' ) ingreso +arginal R q ≡' ) costo +arginalC q ≡

Entonces1/2' ) ' ) ' ) 2## #&4 P q R q C q q q−= − = −

>or otro lado, recuerde 9ue la utilidad +arginal es la derivada de la funcin utilidad' ) P x

&Entonces,



1/22## #&4dP

q qdq

−= −

: or tanto, ' ) P q de*e ser la antiderivada dedP dq , as

( )1/2 2

1/2' ) 2## #&4 2## #&41 / 2 2

dP q q P q q q dq k

dq

− = = − = − + ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫

1/2 24## #&2q q k = − +

ara alguna constante k &

El valor de k se deter+ina or el hecho de 9ue '25) 2### P = & As,2### '25) P =

( ) ( )1/2 2

2### 4## 25 #&2 25 k = − +125k ⇒ =

;e a9u, la funcin utilidad es1/2 2' ) 4## #&2 125 P x q q= − +

: la utilidad cuando el nivel de roduccin sea de 36 unidades es

( ) ( )1/2 2

'36) 4## 36 #&2 36 125

2265&!

P = − +

=

4) "(E"I0IE</ ;E = A(?/& =n ecologista encuentra 9ue cierto tio de 7r*ol crece de

tal for+a 9ue su altura ' )h t desu@s de t aos ca+*ia a una raBn de2/3 ' ) #&2 ies/aAoh t t t = +

.i cuando se lant el 7r*ol @ste tena una altura de 2 ies, cu7l ser7 su altura dentro de 2aos8Solución:

a altura ' )h t de un 7r*ol en cual9uier tie+o t , se encuentra antiderivando

dh

dt co+o se+uestra a continuacinC

5/3 3/ 22/ 3' ) '#&2 ) #&2

5 / 3 3 / 2

dh t t h t dt t t dt C

dt

= = + = + + ÷ ÷ ÷ ÷

∫ ∫

5/3 3/22#&12

3t t C = + +

"o+o la altura del 7r*ol es 2h = cuando #t = , se tiene 9ue2 '#)h=

( ) ( )5/3 3/22

2 #&12 # #3

C = + +

2C ⇒ =;e a9u,

5/3 3/22' ) #&12 2

3h t t t = + +

: la altura del 7r*ol dentro de 2 aos es( ) ( )

5/3 3/22'2) #&12 2 2 2 124&6%+

3h = + + =



5) "(E"I0IE</ ;E A >/?A"ID& .e ha deter+inado 9ue la o*lacin ' ) P t de una

cierta colonia de *acterias, t horas desu@s de iniciar la o*servacin, tiene un raBn deca+*io

#&1 #&#32## 15#t t dP e e

dt

−= +

.i la o*lacin era de 2##### *acterias cuando inici la o*servacin, cu7l ser7 la o*lacin12 horas desu@s8Solución:

a o*lacin ' ) P t se encuentra antiderivando

dP

dt co+o se +uestra a continuacinC#&1 #&#3' ) '2## 15# )t t dP

P t dt e e dt dt

−= = +∫ ∫

#&1 #&#32## 15#

#&1 #&#3

t t e ec

−

= + +−

#&1 #&#32### 5###t t

e e c−= − +

"o+o la o*lacin es de 2##### cuando #t = , se tiene 9ue# #'#) 2##### 2### 5### P e e c= = − +

2##### 3### c⇒ = − +2#3###c⇒ =

As,#&1 #&#3' ) 2### 5### 2#3###t t P t e e−= − +

Entonces, desu@s de 12 horas, la o*lacin es#&1'12) #&#3'12)'12) 2### 5### 2#3###

2#6152

P e e−= − +≈

6) A>(E;IAFE& <on: to+a una rue*a de arendiBaje en la 9ue se registra el tie+o 9ue le

to+a +e+oriBar asectos de una lista dada& .ea ' ) M t el nG+ero de asectos 9ue uede

+e+oriBar en t +inutos& .u tasa de arendiBaje se deter+ina co+o2' ) #&4 #&##5 M t t t = −

a) "u7ntos asectos uede +e+oriBar <on: durante los ri+eros 1# +inutos8 *) "u7ntos asectos adicionales uede +e+oriBar durante los siguientes 1# +inutos 'del

tie+o 1#t = al 2#t = )8Solución:

El nG+ero de asectos ' ) M t 9ue uede +e+oriBar <on:, se encuentra antiderivando

dM

dt

co+o se +uestra a continuacinC3 2

2' ) ' #&##5 #&4 ) #&##5 #&4

3 2

dM t t M t dt t t dt C

dt

= = − + = − + + ÷ ÷

÷ ÷ ∫ ∫ 3 2#&##5

#&23

t t C = − + +



"o+o ' ) M t es # cuando #t = 'ues al inicio de la rue*a aGn no ha +e+oriBada ningGn

asecto de la lista dada), se tiene 9ue# '#) M =

( ) ( )3 2#&##5

# # #&2 #3

C = − + +

#C ⇒ =As,

3 2#&##5' ) #&2

3 M t t t = − +

a) ;esu@s de los ri+eros 1# +inutos, el nG+ero de asectos 9ue ha +e+oriBado es

( ) ( )3 2#&##5

'1#) 1# #&2 1# 1!&333

M = − + ≈

*) El nG+ero de asectos adicionales 9ue uede +e+oriBar en los siguientes 1# +inutos esH '2#) '1#) M M M = −

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2#&##5 #&##52# #&2 2# 1# #&2 1#

3 3

= − + − − + ÷ ÷

66&66 1!&33 4!&33≈ − ≈

) ;E."/EA0IE</& =n troBo de carne se saca del refrigerador : se deja en el+ostrador ara 9ue se descongele& "uando se sac del congelador, la te+eratura de la

carne era de -4", : t horas +7s tarde se incre+enta*a a una tasa de#&35 o

' ) "/ht

T t e−

=a) ;eter+ine una fr+ula ara la te+eratura de la carne desu@s de t horas& *) "u7l es la te+eratura desu@s de 2 horas8c) .uonga 9ue la carne est7 descongelada cuando su te+eratura llega a 1#"& "u7nto

tie+o transcurre hasta 9ue se descongela la carne8

Solución:

a te+eratura ' )T t de la carne en cual9uier tie+o t , se encuentra antiderivando

dT

dt

co+o se +uestra a continuacinC

#&35 #&35

' ) ' ) #&35t t

dT T t dt e dt e C

dt − −= = = +−∫ ∫

#&352# t e C −= − +

"o+o la te+eratura de la carne eso4 "T = − cuando #t = , se tiene 9ue

4 '#)T − =( )#&35 #

4 2#e C −− = − +

16C ⇒ =As,a) a fr+ula ara la te+eratura de la carne es

#&35' ) 2# 16t T t e−= − +

*) a te+eratura de la carne desu@s de 2 horas es( )#&35 2

'2) 2# 16 6&#6!T e C −= − + = °



c) >ara encontrar el tie+o 9ue tiene 9ue transcurrir ara 9ue la carne se descongele,resolva+os la siguiente ecuacin

#&35' ) 2# 16 1#t T t e−= − + =#&352# 6t e−⇒ − = −

#&35 3

1#

t e−⇒ =

( )#&35 3ln ln

1#

t e− ⇒ = ÷

3

#&35 ln ln1#

t e ⇒ − = ÷

3#&35 ln1#

t ⇒ − = ÷

3ln

1#

#&35t

÷ ⇒ =

−3&43%%hrst ⇒ =

Solucionario u1 s1 Antiderivada

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