La aplicación de los números aleatorios se remonta a...

SimulaciSimulacióónnUnidad II: NUnidad II: Núúmeros pseudoalealeatoriosmeros pseudoalealeatorios

GeneraciGeneracióón de nn de núúmeros aleatoriosmeros aleatorios

La aplicación de los números aleatorios se remonta a los tiempos de la primera revolución industrial, cuando los procesos manuales tuvieron que reemplazarse por procesos mecanizados como consecuencia de la explosión demográfica que se estaba presentando en los países desarrollados con la disminución de las tasas de mortalidad y el aumento de las tasas de natalidad y que, para satisfacer las necesidades de la población cada vez más creciente hubo necesidad de incrementar la producción de toda clase de bienes y servicios.



Es posible identificar diferentes métodos usados a través de la historia para generar números aleatorios que pudieran ser utilizados en los procesos de simulación de las actividades industriales. Dichos métodos pudiéramos clasificarlos en:

1.Manuales2.Tablas de Biblioteca3.Generadores Analógicos4.Generadores Digitales5.Métodos de Recurrencia o Congruenciales



Los métodos recurrentes son muchos, pero aquíanalizaremos solamente 5 métodos, el primero de ellos, solamente por su trascendencia histórica al ser el pionero en la generación de números aleatorios con esta técnica. El resto SI se analizarán más a detalle.


2.1 M2.1 Méétodos de generacitodos de generacióón de nn de núúmeros pseudoaleatorios.meros pseudoaleatorios.

Método de los cuadrados medios

Este método fue planteado por Von Neumann en 1950. Se basa en tomar un número, elevarlo al cuadrado y tomar los dígitos del centro como nuevo número, luego repetir el procedimiento.



Método de los cuadrados medios

Procedimiento:1.Seleccionar un valor para semilla (no) entero, positivo, con e dígitos par2.Elevar al cuadrado no, completar con ceros a la izquierda del número hasta tener 2*e dígitos, seleccionar los e dígitos centrales del número como ni

3.Calcular

4.Repetir 2 y 3 tantas veces como sea necesario.

ein

r10i =



Ejemplo:

Suponga que se desean generar números aleatorios por el método de los cuadrados medios con 1111 como semilla.



Método Multiplicativo

Procedimiento:1.Seleccionar un valor para semilla (no) entero, positivo, impar, no divisible por 5 y con e dígitos par.2.Seleccionar un valor para λ cercano a 10e/2 a partir de λ = 200t±pDonde:t = cualquier número entero (-∞ ≤ λ ≤ ∞)p = un número primo (véase el apéndice A)3.Calcular ni = ni-1 λ utilizando aritmética entera (es decir, seleccionando los e dígitos del lado derecho del número).



Método Multiplicativo

4.Calcular

5.Repetir 2 y 3 tantas veces como sea necesario o hasta que se repita la serie.h → 5 x 10e-2

Donde h representa la longitud de serie (es decir, la cantidad de números que se pueden generar hasta antes de que se repita uno de ellos, en cuyo caso se repetirá la serie)

ein

r10i =



Ejemplo:

Suponga que se desean generar números aleatorios por el método multiplicativo con 1111 como semilla.

n0 = 1111; e = 4 (pues tiene 4 dígitos)

Para seleccionar λ, lo primero que se debe hacer es calcular 10e/2, que para este ejemplo es 104/2 = 102 = 100.

Es decir, se debe seleccionar un valor para λ cercano a 100 pero a partir de la ecuación λ = 200t ± p.



Como p es un número primo, es imposible obtener un valor de 100, pues al sumar o restar un número primo (que siempre es impar, a excepción del número 2), el resultado siempre será un número impar. Entonces el objetivo es encontrar un valor de 99 o de 101, que es el impar más cercano a 100. Ahora bien, como t es cualquier valor entero y al no poder saber cuál es, entonces se considera primero el valor 0 (cero), pues es la mitad del intervalo dado para t.


2.1 M2.1 Méétodos de generacitodos de generacióón de nn de núúmeros pseudoaleatorios.meros pseudoaleatorios.Por lo tanto, si t = 0, entonces λ = 200(0) ± p = ± p = + 101, pues el 99 no es número primo. Como ya se sabe que no se puede mejorar el valor, se selecciona λ= 101. El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla:

I ni-1λni (aritm.

entera)ri = ni/10e

1 1111*101 = 112211 2211 0.2211

2 2211*101 = 223311 3311 0.3311

3 3311*101 = 334411 4411 0.4411

4 4411*101 = 445511 5511 0.5511

… … … …



De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el quinientosavo número aleatorio

(h → 5 x 10e-2 = 5 x 104-2 = 5 x 10 2 = 500)



Método aditivo

1.Generar una tabla de k números enteros positivos (k ≥10 e ≥3)2.Sumar el último elemento de la tabla con el primero, generando de esta manera ni (utilizando aritmética entera)3.Calcular

4.Sumar el ni generado con el segundo número de la tabla y así sucesivamenteEn este caso, h tiende a ser ∞, pues podrá repetirse un número, pero nunca se repite la serie completa.

ein

r10i =



Ejemplo:

Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10

i Número

1 2343

2 4896

3 9708

4 2452

5 0123

6 0151

7 0228

8 0519

9 2693

10 2522



Ahora se suma el último elemento en la tabla con el primero de la tabla para generar ni, y repetimos el proceso hasta generar 15 números aleatorios (aunque pueden ser los que se deseen), como se muestra en la tabla siguiente:

i Suma ni ri = ni/10e

1 2522 + 2343 = 4865 4865 0.4865

2 4865 + 4896 = 9761 9761 0.9761

3 9761 + 9708 = 19469 9469 0.9469

4 9469 + 2452 = 11921 1921 0.1921

5 1921 + 0123 = 2044 2044 0.2044



i Suma ni ri = ni/10e

6 2044 + 0151 = 2195 2195 0.2195

7 2195 + 0228 = 2423 2423 0.2423

8 2423 + 0519= 2942 2942 0.2942

9 2942 + 2693 = 5635 5635 0.5635

10 5635 + 2522 = 8157 8157 0.8157

11 8157 + 2343 = 10500 0500 0.0500

12 0500 + 4896 = 5396 5396 0.5396

13 5396 + 9708 = 15104 5104 0.5104

14 5104 + 2452 = 7556 7556 0.7556

15 7556 + 0123 = 7679 7679 0.7679



Como podrá observarse, a pesar de que se usan siempre los mismos valores de la tabla, los números aleatorios resultantes son diferentes, con lo cual se comprueba que la serie, para el método aditivo, tiende a ser infinita.



Método mixto

1.Seleccionar un valor para semilla (no) entero, positivo y con e ≥ 3.2.Seleccionar un valor para c entero, positivo, impar y con número de dígitos menor o igual a e3.Seleccionar un valor para λ cercano a 10e/2 + 14.Calcular ni = ni-1λ + c utilizando aritmética entera5.Calcular

6.Repetir 4 y 5 tantas veces como sea necesario o hasta que se repita la serie.

h → 5 x 10e-2

ein

r10i =



Ejemplo:

Suponga que se desean generar números aleatorios por el método aditivo con un valor de n0 = 222 y con un valor para c = 25.

Como la semilla tiene 3 dígitos, e = 3; por lo que 10e/2 = 103/2 = 31.62. Por lo tanto, λ = 33

El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla.



De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el cincuentavo número aleatorio (h → 5 x 10e-2 = 5 x 103-2 = 5 x 10 1= 50)

I ni-1λ + cni (aritm.

entera)ri = ni/10e

1 222*33 + 25 = 7351 351 0.351

2 351*33 + 25 = 11608 608 0.608

3 608*33 + 25 = 20089 089 0.089

4 089*33 + 25 = 2962 962 0.962

… … … …



Método combinado

1.Generar una tabla de k números enteros positivos (k ≥10 e ≥3)2.Generar un índice j (1 ≤ j ≤ k) generado a partir de

3.Seleccionar el j-ésimo elemento de la tabla como ni

4.Reemplazar el ni seleccionado por uno nuevo.5.Calcular

6.Repetir 2, 3, 4 y 5 tantas veces como sea necesario generar números aleatorios

1.5)+1)-(k*int(rnd=j

ein

r10i =



En este caso, la longitud de serie (h) tiende a ser infinita, al igual que en el método aditivo, pues podrárepetirse un número, pero nunca se repite la serie completa.

Ejemplo:

Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10.



El resto del cálculo aparece en la siguiente tabla. Nota: los números aleatorios (rnd) que aparecen en la tabla, fueron calculados a partir de los números aleatorios generados por el método aditivo.

i ni ri = ni/10e

1 J = int(0.4895*9 + 1.5) = 5 0123 0.0123

2 J = int(0.9791*9 + 1.5) = 10 2522 0.2522

3 J = int(0.9499*9 + 1.5) = 10 9888 0.9888

4 J = int(0.1951*9 + 1.5) = 3 9708 0.9708

5 J = int(0.2074*9 + 1.5) = 3 6756 0.6756




i ni ri = ni/10e

6 J = int(0.2225*9 + 1.5) = 3 6435 0.6435

7 J = int(0.2453*9 + 1.5) = 3 4092 0.4092

8 J = int(0.2972*9 + 1.5) = 4 2452 0.2452

9 J = int(0.5665*9 + 1.5) = 6 0151 0.0151

10 J = int(0.8187*9 + 1.5) = 8 0519 0.0519

11 … … …



2.2 Pruebas estad2.2 Pruebas estadíísticas de aleatoriedad.sticas de aleatoriedad.

En esta sección se describen 2 de las pruebas estadísticas que se aplican a los números pseudoaleatorios generados por cualquiera de los métodos anteriores; en la primera de ellas, se tratará de verificar la hipótesis de que los números generados provienen de la distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1], en la segunda de ellas, se aplicará la prueba de corrida, misma que sirve para verificar que los números son efectivamente aleatorios. A continuación se detallan ambas pruebas:



Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una determinada distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica (dada por las observaciones) y la teórica supuesta. La estadística D es obviamente una variable aleatoria.A continuación se detalla cómo se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tiene una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].



Paso 1. Se formula la hipótesis, H0 de que los números provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].

Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados (Knuth recomienda n = 1000). Sea Fn (X), de la siguiente manera:

Paso 3. Calcule la función de distribución acumulada empírica, Fn (x), de la siguiente manera:Ordene los valores de la secuencia, tal que Xi ≤ Xi+1

para toda i.



Haga

Fn(0)= 0 y Fn (Xi)=i/n, i=l,2,...,n.

Paso 4. Evalúe la estadística de Kolmogorov-Sminov, D, a partir de

D = Máx|Fn(Xi)-Xi|, 0<Xi< 1.

Paso 5. Consulte la tabla de límites aceptables para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo α (ver apéndice B). Si D es menor o igual a este número se acepta HQ; de otra manera se rechaza HQ.



Ejemplo. De una tabla de números aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 para que su valor oscile entre 0 y 1).

0.10 0.32 0.76 0.13 0.34

0.37 0.04 0.64 0.74 0.24

0.08 0.68 0.19 0.09 0.23

0.99 0.02 0.09 0.70 0.38

0.12 0.99 0.80 0.36 0.64

0.66 0.74 0.34 0.76 0.36

0.31 0.10 0.45 0.82 0.35

0.85 0.77 0.02 0.65 0.68

0.63 0.32 0.05 0.74 0.90

0.73 0.42 0.03 0.64 0.35



Se desea probar la hipótesis H0: Provienen de una distribución uniforme en [0, 1] , a un nivel de significancia del 90%.

Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición X¡ ≤ Xi+1

para toda i.

1 0.02 11 0.12 21 0.35 31 0.64 41 0.74

2 0.02 12 0.13 22 0.36 32 0.65 42 0.77

3 0.03 13 0.19 23 0.36 33 0.66 43 0.80

4 0.04 14 0.23 24 0.37 34 0.68 44 0.82

5 0.05 15 0.24 25 0.38 35 0.68 45 0.85

6 0.08 16 0.31 26 0.42 36 0.70 46 0.90

7 0.09 17 0.32 27 0.45 37 0.70 47 0.94

8 0.09 18 0.34 28 0.63 38 0.73 48 0.97

9 0.10 19 0.34 29 0.64 39 0.74 49 0.99

10 0.10 20 0.35 30 0.64 40 0.74 50 0.99



Paso 3. Se construye Fn (X¡) para toda i siendo n = 50.

Fn (0.00) = 0.00 Fn (0.12) = 0.22 Fn (0.36) = 0.43 Fn (0.65) = 0.64 Fn (0.85) = 0.90

Fn (0.02) = 0.04 Fn (0.13) = 0.24 Fn (0.37) = 0.48 Fn (0.66) = 0.66 Fn (0.90) = 0.92

Fn (0.03) = 0.06 Fn (0.19) = 0.26 Fn (0.38) = 0.50 Fn (0.68) = 0.70 Fn (0.94) = 0.96

Fn (0.04) = 0.08 Fn (0.23) = 0.28 Fn (0.42) = 0.52 Fn (0.70) = 0.74 Fn (0.97) = 0.98

Fn (0.05) = 0.10 Fn (0.24) = 0.30 Fn (0.45) = 0.54 Fn (0.73) = 0.76 Fn (0.99) = 1.00

Fn (0.08) = 0.12 Fn (0.31) = 0.32 Fn (0.63) = 0.56 Fn (0.74) = 0.82

Fn (0.09) = 0.16 Fn (0.32) = 0.34 Fn (0.64) = 0.62 Fn (0.77) = 0.84

Fn (0.10) = 0.20 Fn (0.34) = 0.38 Fn (0.80) = 0.86

Fn (0.35) = 0.42 Fn (0.82) = 0.88



Paso 4.

D = MáxІFn(Xi)-XiІ = 0.12

que ocurre para Fn (.38).

Paso 5. Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene del apéndice B, un valor 0.172. Como D < 0.172 se acepta HQ: Los 50 números si provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].


2.2 Pruebas estad2.2 Pruebas estadíísticas de aleatoriedad.sticas de aleatoriedad.Prueba de Corrida

Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en forma monotónicamente creciente o decreciente. Por ejemplo: 03, 23, 57, 92, 99 contiene una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92, 57 contiene 3 corridas: (03, 99), (23, 92), (57).

Si se utiliza el signo (+) para identificar que el número que aparece a la derecha de otro que es mayor, o (-) si es menor, se tiene que:

03, 10, 23, 57, 92, 99 → +, +, +, +, +

mientras que 03,99,23,92,57 → +,-,+,-.



Esta prueba se basa en el supuesto que el número de corridas es una variable aleatoria.

Se ha demostrado que si una secuencia tiene más de 20 números, el número de corridas es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y variancia conocida.

La prueba se realiza de la siguiente manera:



Paso 1. Se formula la hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria.

Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n (n > 20).

Paso 3. Se definen con los signos (+) y (-) las posibles corridas.

Paso 4. Se define a la estadística r como el número de corridas.



Paso 5. Si n > 20 y Ho es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal con media

y varianza

Paso 6. Se acepta Ho, a un nivel de riesgo α, si

Donde Z(.) se encuentra tabulada en la distribución normal (ver apéndice C)

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