ecuaciones diferenciales series de fourier transformadas de fourier ...
La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier
description
Transcript of La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier
![Page 1: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/1.jpg)
La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier
Vamos a obtener una base ortogonal en el espacio vectorial de Hilbertde las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) a partir de lassiguientes funciones:
gl(x) =sen(klx) ; l=1,2,3,Lfl (x)=cos(klx) ; l =0,1,2,3,L
donde el índice l toma valores enteros y k debe ser determinado paraque se cumpla la ortogonalidad de las funciones:
(gl(x), f j(x))=0(gl(x),gj (x))=δlj gl (x)
2
( fl (x), fj(x))=δlj fl (x) 2
![Page 2: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/2.jpg)
(gl(x), f j(x))=0
sen(klx)cos(kjx)a
b
∫ dx=0
12 sen[k(l+j)x]+sen[k(l−j]x)[ ]
a
b
∫ dx=0
−12
cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]
k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a
b
=0
l−j ≠0
![Page 3: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/3.jpg)
(gl(x), f j(x))=0
sen(klx)cos(kjx)a
b
∫ dx=0
12 sen[k(l+j)x]+sen[k(l−j )x[ ]
a
b
∫ dx=0
−12
cos[k(l+j)x]k(l+j) +cos[k(l −j)x]
k(l −j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a
b
=0
−12
cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]
k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
![Page 4: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/4.jpg)
(gl(x), fl (x))=0
sen(klx)cos(klx)a
b
∫ dx=0
sen(2klx)2a
b
∫ dx=0
−cos(2klx)2kl
⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ a
b
=0
− cos(2klb)−cos(2kla)2kl
⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ =0
![Page 5: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/5.jpg)
(gl(x),gj (x))=0 ; l ≠j
sen(klx)sen(kjx)a
b
∫ dx=0
12 cos[k(l −j)x]−cos[k(l+j)x[ ]
a
b
∫ dx=0
12
sen[k(l−j)x]k(l−j ) −sen[k(l+j)x]
k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a
b
=0
12
sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]k(l−j) −sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]
k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
![Page 6: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/6.jpg)
( fl (x), fj(x))=0 ; l ≠j
cos(klx)cos(kjx) a
b
∫ dx=0
12 cos[k(l +j)x]+cos[k(l−j)x[ ]
a
b
∫ dx=0
12
sen[k(l+j)x]k(l+j) +sen[k(l−j)x]
k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a
b
=0
12
sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]k(l+j ) +sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]
k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
![Page 7: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/7.jpg)
Para que se cumplan las anteriores relaciones de ortogonalidad:
−12
cos[k(l+j)b]−cos[k(l+j)a]k(l+j) +cos[k(l−j )b]−cos[k(l−j)a]
k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
− cos(2klb)−cos(2kla)2kl
⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ =0
12
sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]k(l−j) −sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]
k(l+j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
12
sen[k(l+j)b]−sen[k(l+j)a]k(l+j ) +sen[k(l−j)b]−sen[k(l−j)a]
k(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ =0
la condición que debe verificarse es:
kb=ka+2πn ; n∈Ζ
![Page 8: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/8.jpg)
Luego la siguiente familia de funciones constituye una base ortogonal:
gl(x) =sen(2πb−a lx) ; l =1,2,3,L
fl (x)=cos(2πb−alx) ; l =0,1,2,3,L
y las respectivas normas son:
(gl(x),gl(x))= sen(klx)sen(klx)a
b
∫ dx= sen2(klx)a
b
∫ dx
(gl(x),gl(x))= 1−cos(2klx)2a
b
∫ dx= x2 −sen(2klx)
4kl⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ a
b
=b−a2
![Page 9: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/9.jpg)
( fl (x), fl(x))= cos(klx)cos(klx)a
b
∫ dx= cos2(klx)a
b
∫ dx
( fl (x), fl(x))= 1+cos(2klx)2a
b
∫ dx= x2 +sen(2klx)
4kl⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ a
b
l ≠0
=b−a2
( f0(x), f0(x))=a
b
∫dx =b−a =L
![Page 10: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/10.jpg)
gl(x) =sen(2πLlx) ; l =1,2,3,L
fl (x)=cos(2πLlx) ; l=0,1,2,3,L
(gl(x), f j(x))=0
(gl(x),gj (x))=δljL2
( fl (x), fj(x))=L2(1+δl0)δlj
![Page 11: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/11.jpg)
Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal. A ese desarrollo se le dael nombre de “serie de Fourier” de la función f(x):
f (x) = αl fl(x)l=0
∞∑ + βlgl(x)l=1
∞∑
f (x) =α0 + αl cos(2πLlx)
l=1
∞∑ + βl sen(2πLlx)
l=1
∞∑ Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) es idéntica a su desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo en serie cumple una propiedad de periodicidad (que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b)), porque las funciones de labase ortogonal son periódicas.
![Page 12: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/12.jpg)
gl(x) =sen(2πLlx) ; l =1,2,3,L
fl (x)=cos(2πLlx) ; l=0,1,2,3,L
gl(x+nL) =gl(x) ; n∈Ζfl (x+nL) = fl(x) ; n∈Ζ
sen2πL
(x+nL)⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ =sen2πLx+2πn⎛
⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =sen(2π
Lx); n∈Ζ
cos2πL
(x+nL)⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ =cos 2πLx+2πn⎛
⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =cos(2π
Lx); n∈Ζ
![Page 13: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/13.jpg)
Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-1,1) de la siguiente función (función de Heaviside):
h(x) = −1 , −1≤x<01 , 0≤x<1
⎧ ⎨ ⎩
h(x) = α l fl (x)l=0
∞∑ + βlgl(x)l=1
∞∑Tenemos que calcular los l y los l de la siguiente serie:
gl(x) =sen(2πLlx) ; fl (x)=cos(2π
Llx)
como el intervalo es el (-1,1):L =b−a=1−(−1)=2gl(x) =sen(πlx) ; fl(x) =cos(πlx)
![Page 14: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/14.jpg)
h(x) = α l cos(πlx)l=0
∞∑ + βl sen(πlx)l=1
∞∑
αn =(cos(πnx),h(x))cos(πnx) 2
αn = 1cos(πnx) 2 cos(πnx)h(x)dx
−1
1
∫ =0
αn =0 ; ∀n
![Page 15: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/15.jpg)
h(x) = α l cos(πlx)l=0
∞∑ + βl sen(πlx)l=1
∞∑
βn =(sen(πnx),h(x))sen(πnx) 2
βn = 1sen(πnx) 2 sen(πnx)h(x)dx
−1
1
∫βn =2 sen(πnx)h(x)dx
0
1
∫ =2 sen(πnx)dx0
1
∫=2 −cos(πnx)πn
⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ 0
1= 2πn
[−cos(πn)+1]= 2πn
[−(−1)n +1]=0 si n es par4πn
si n es impar
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
![Page 16: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/16.jpg)
h(x) = α l cos(πlx)l=0
∞∑ + βl sen(πlx)l=1
∞∑
βl =0 si l es par4πl
si l es impar
⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
αl =0
h(x) =4π
sen(πlx)ll=1
∞∑l impar
![Page 17: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/17.jpg)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)1357
x
f ( x ) =4
π
sen[ π ( 2 k + 1 ) x ]
2 k + 1k = 0
∞
∑
![Page 18: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/18.jpg)
La base {exp(iklx)}:
Teniendo en cuenta la fórmula de Euler:ixe =cos(x)+isen(x)
se ve que los elementos de la base ortogonal de senos y cosenos sepueden escribir en función de exponenciales complejas:
cos(klx) =12
iklxe + −iklxe( )
sen(klx) = 12i
iklxe − −iklxe( )
![Page 19: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/19.jpg)
Además puede comprobarse que estas exponenciales complejascumplen la condición de ortogonalidad:
iklxe , ikjxe( ) =0 ; l ≠j
Luego, efectivamente:
k= 2πb−a
⇒ iklxe , ikjxe( )=0 ; l≠ j
iklxe , ikjxe( ) = [ iklxe ]*
a
b
∫ ikjxe dx
iklxe , ikjxe( ) = −iklxea
b
∫ ikjxe dx = −ik(l−j)xea
b
∫ dx=−ik(l−j )xe
−ik(l−j)⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ a
b
![Page 20: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/20.jpg)
Además el producto de una exponencial compleja por sí misma; esdecir, la norma al cuadrado de una exponencial compleja es:
iklxe , ikjxe( ) =Lδlj ; k=2πL
Luego el conjunto de las exponenciales complejas {exp(iknx)} conk=2π/(b-a) y n un número entero es una base ortogonal del espacio deHilbert de las funciones de cuadrado sumable en el intervalo (a,b) :
iklxe , iklxe( ) = [ iklxe ]*
a
b
∫ iklxe dx
iklxe , iklxe( ) = −iklxea
b
∫ iklxe dx =a
b
∫dx =b−a =L
![Page 21: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/21.jpg)
Por tanto, una función, f(x), de cuadrado integrable en el intervalo (a,b)se puede descomponer en esta base ortogonal:
f (x) = all=−∞
∞∑ iklxe
Hay que tener en cuenta que, ahora, los escalares del desarrollo, es decir,los al serán, en general, números complejos.
Dentro del intervalo (a,b) la función f(x) será idéntica a su desarrollo en función de las exponenciales. Sin embargo, fuera del intervalo (a,b), el desarrollo cumple una propiedad de periodicidad porque las funciones dela base ortogonal son periódicas, (periodicidad que no tendría por qué tener la f(x) fuera de (a,b))
![Page 22: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/22.jpg)
Si queremos calcular los al del desarrollo de una función , f(x), haciendouso de la ortogonalidad tendremos lo siguiente:
f (x) = all=−∞
∞∑ iklxe
( ikjxe , f(x))=( ikjxe , all=−∞
∞∑ iklxe ) = all=−∞
∞∑ ( ikjxe , iklxe )
( ikjxe , f(x))= all=−∞
∞∑ δljL =ajL
aj = 1L
( ikjxe , f (x))
![Page 23: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/23.jpg)
Si la función f(x) es una función real, se cumplirá lo siguiente:
( f (x), ikjxe ) = f(x)* ikjxe dxa
b
∫ = f (x) ikjxe dxa
b
∫
( ikjxe , f(x))= ikjx[e ]* f(x)dxa
b
∫ = −ikjxe f (x)dxa
b
∫
aj = 1L
( ikjxe , f (x))
aj = 1L
−ikjxe f (x)dxa
b
∫
= ikjxe f(x)dxa
b
∫ = ik(−j )x[e ]* f(x)dxa
b
∫=( −ikjxe , f(x))
![Page 24: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/24.jpg)
Por tanto, si la función f(x) es una función real, tenemos:
( f (x), ikjxe ) =( −ikjxe , f (x))
Pero, para cualquier función:
( f (x), ikjxe ) = ( ikjxe , f (x))[ ]*
=a−jL
= aj L[ ]*
Por tanto, si la función f(x) es una función real, se cumple que:
aj* =a−j
![Page 25: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/25.jpg)
Vamos a utilizar lo anterior para ver cómo podemos, para el caso de una función real, encontrar la relación entre los coeficientes de la baseortogonal de las exponenciales complejas y los coeficientes de la seriede Fourier , es decir, de la base ortogonal de senos y cosenos:
f (x) = all=−∞
∞∑ iklxe =a0 + (a−l−iklxe +al iklxe )
l=1
∞∑ Si la función f(x) es una función real: a−l =al
*
f (x) =a0 + [al* iklxe( )* +al iklxe ]
l=1
∞∑f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]
l=1
∞∑
![Page 26: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/26.jpg)
Si escribimos los al del siguiente modo:
al =aliθle
f (x) =a0 + 2Re[al iklxe ]l=1
∞∑ =a0 + 2Re[al i(klx+θ l )e ]l=1
∞∑
f (x) =a0 + 2all=1
∞∑ cos(klx+θl )
f (x) =a0 +2 all=1
∞∑ [cos(klx)cos(θl )−sen(klx)sen(θl)]
f (x) =α0 + [α ll=1
∞∑ cos(klx)+βl sen(klx)]que es equiparable a la serie de Fourier de la función real, f(x):
![Page 27: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/27.jpg)
donde:α0 =a0
αl =2al cos(θl)βl =−2al sen(θl )
⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ l≠0
o, equivalentemente:
a0 =α0
al =12 αl
2 +βl2 iarctg−βlαle
![Page 28: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/28.jpg)
f x( ) =x−12 ; x∈(0,1) base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ i2πjxe{ } ; j ∈ Ζ
f x( ) = aj i2πjxej=−∞
∞∑ → al = −i2πlxe f(x)dx0
1
∫al = −i2πlxe (x−1
2)dx0
1
∫ = −i2πlxe x dx0
1
∫ −12
−i2πlxe dx0
1
∫
al = −i2πlxe x dx0
1
∫ = ix2πl
−i2πlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ 0
1− i
2πl−i2πlxe dx
0
1
∫ = i2πl
u=x ; du=dx
dv= −i2πlxe dx ; v=−i2πlxe
−i2πl =i −i2πlxe2πl l ≠ 0
![Page 29: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/29.jpg)
l =0 → a0 = (x−12)dx
0
1
∫ =0
f (x) = i2πj
i2πjxe0≠j=−∞
∞∑ =2 Re i2πj
i2πjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0
∞∑
f (x) =−1π
sen(2πjx)jj>0
∞∑
=−1π
sen(2πjx)jj>0
∞∑
![Page 30: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/30.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx))
![Page 31: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/31.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2)
![Page 32: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/32.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3)
![Page 33: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/33.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4)
![Page 34: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/34.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 )
![Page 35: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/35.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6)
![Page 36: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/36.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7)
![Page 37: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/37.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8)
![Page 38: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/38.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8+sen(18πx)/9)
![Page 39: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/39.jpg)
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
x-1/2
x
-1/π (sen(2πx)+sen(4πx)/2+sen(6πx)/3+sen(8πx)/4+sen(10πx)/5 +sen(12πx)/6+sen(14πx)/7+sen(16πx)/8+sen(18πx)/9+sen(20πx)/10)
![Page 40: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/40.jpg)
H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1
⎧ ⎨ ⎩
Calcular en el intervalo (-1,1) las series de Fourier de las siguientes funciones:
f (x) =x
f (x) = xe
f (x) =δ(x)
![Page 41: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/41.jpg)
H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1
⎧ ⎨ ⎩
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
H x( ) = aj iπjxej=−∞
∞∑ → al =12
−iπlxe H(x)dx−1
1
∫al =1
2−iπlxe H(x)dx
−1
1
∫ =12
−iπlxe dx0
1
∫ =12
1−iπl
−iπlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ 0
1
al =12iπl
−iπle −1[ ] = i2πl cos(πl)−isen(πl)−1[ ]= i2πl cos(πl)−1[ ]=
0 ; si l es par−iπl
; si l es impar⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ l ≠ 0
![Page 42: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/42.jpg)
al =12
−iπlxe H(x)dx−1
1
∫
H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1
⎧ ⎨ ⎩
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
H x( ) = aj iπjxej=−∞
∞∑
0-iπ0x =1
2 dx0
1
∫ =12al =
0 ; si l es par−iπl
; si l es impar⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ a0 =1
2 ;
=12 + −i
πjiπjxe
0≠j=−∞
∞∑j impar
![Page 43: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/43.jpg)
=12 + −i
πjiπjxe
0≠j=−∞
∞∑j impar
H(x) = 0 , −1≤x<01 , 0≤x<1
⎧ ⎨ ⎩
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
H x( ) = aj iπjxej=−∞
∞∑ =12 + 2Re −i
πjiπjxe
⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0
∑j impar
H x( ) =12 +2
πRe −i cos(πjx)+isen(πjx)( )
j⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0
∑j impar
H x( ) =12 +2
πsen(πjx)
jj>0∑
j impar
![Page 44: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/44.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 45: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/45.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 46: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/46.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 47: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/47.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 48: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/48.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 49: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/49.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 50: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/50.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 51: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/51.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 52: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/52.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 53: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/53.jpg)
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 54: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/54.jpg)
f x( ) =x ; x∈(−1,1) base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
f x( ) = aj iπjxej=−∞
∞∑ → al =12
−iπlxe f(x)dx−1
1
∫al =1
2−iπlxe xdx
−1
1
∫ u=x ; du=dx
dv= −iπlxe dx ; v=−iπlxe
−iπl =i −iπlxeπl l ≠ 0
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ =12
iπl
−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ −12iπl
−iπlxe dx−1
1
∫
![Page 55: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/55.jpg)
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ = iπl
cos(πl) = iπl
(−1)l
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ =12
iπl
−iπle + iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ =12
iπl
−iπle + iπle( )+ 1(πl)2
−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ =12
ixπl
−iπlxe⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ −1
1+1
21
(πl)2−iπlxe
⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ −1
1
al =12
−iπlxe x dx−1
1
∫ =12
iπl
−iπle − iπle( )⎡ ⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ −12iπl
−iπlxe dx−1
1
∫
![Page 56: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/56.jpg)
f x( ) =x= aj iπjxej=−∞
∞∑aj = i
πl(−1)j
= i(−1)jπj
iπjxej=−∞
∞∑
x= 2Re i(−1)jπj
iπjxe⎡ ⎣ ⎢ ⎢
⎤ ⎦ ⎥ ⎥ j>0
∞∑ = 2(−1)j+1
πjsen(πjx)
j>0∑
x=2π
(−1)j+1
jsen(πjx)
j>0∑
![Page 57: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/57.jpg)
f(x)δ(x−xo)dx−1
1
∫ = f(xo)
xo ∈ (−1,1)
⎫ ⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
Calcular la serie de Fourier de (x):
base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
δ x( )= aj iπjxej=−∞
∞∑ → al =12
−iπlxe δ(x)dx−1
1
∫al =1
2−iπlxe δ(x)dx
−1
1
∫ =12
δ x( )=12
iπjxej=−∞
∞∑ =12 +1
2 iπjxe + iπjxej>0∑
j<0∑⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1
2 +12 −iπjxe + iπjxe
j>0∑
j>0∑⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ ⎟ =1
2 +12 ( −iπjxe + iπjxe
j>0∑ )δ x( )=1
2 + cos(πjx)j>0∑=12 + cos(πjx)
j>0∑
![Page 58: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/58.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 59: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/59.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 60: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/60.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 61: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/61.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 62: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/62.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 63: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/63.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 64: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/64.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 65: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/65.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 66: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/66.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 67: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/67.jpg)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
![Page 68: La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062816/56815652550346895dc3f1b8/html5/thumbnails/68.jpg)
Δ x( ) =iπ2
iπjxje
j=−∞
∞∑
δ(x) =12 + cos(πjx)
j>0∑
=iπ2 j iπjxe
0≠j=−∞
∞∑=−π jsen(πjx)j>0∑=π
2 2Re j i iπjxe[ ]j>0∑
f(x)Δ(x−a)dx−1
1
∫ =−f' (a)
a∈ (−1,1)
⎫ ⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
Calcular la serie de Fourier de (x):
base ortogonal ⏐ → ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ iπjxe{ } ; j∈ Ζ
Δ x( ) = aj iπjxej=−∞
∞∑ → al =12
−iπlxe Δ(x)dx−1
1
∫al =1
2−iπlxe Δ(x)dx
−1
1
∫ =iπl2
=−π jsen(πjx)j>0∑Δ x( )