La creación de problemas de matemáticas en la formación de ...

CREACIÓN DE PROBLEMAS: SUS POTENCIALIDADES EN LA

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Uldarico Malaspina Jurado

[email protected]

IREM

Contenido 1. Introducción

2. ¿Qué entendemos por crear problemas de matemáticas?

3. Ejemplos

4. Aprendizaje y creación de problemas

5. Creación de problemas y ampliación de horizontes matemáticos

6. Comentarios y reflexiones finales

Uldarico Malaspina (IREM-PUCP) Tuxtla Gutiérrez, 3-7 mayo 2015

Introducción

En nuestras experiencias docentes en la Pontificia Universidad Católica del Perú, y en el IREM-PUCP, orientadas por • una metodología activa • buscando el aprendizaje por descubrimiento llegamos al convencimiento de la importancia de la creación de problemas en los procesos de enseñanza y aprendizaje (Malaspina, 2002). Repensar y potenciar las experiencias docentes Pasar a la investigación – Tesis de maestría


Sobre la importancia de crear problemas. Algunas referencias

En diversos trabajos de investigadores en educación matemática encontramos expresiones que destacan la importancia de la creación de problemas en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

• En 1989 el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM):

“Los estudiantes deben tener algunas experiencias reconociendo y formulando sus propios problemas, actividad que es el corazón del hacer matemáticas” (p. 138).


• Bonotto (2013): “El proceso de crear problemas representa una de las formas de auténtica investigación matemática, que adecuadamente implementada en actividades de clase, tiene el potencial de llegar más allá de las limitaciones de los problemas verbales, por lo menos como son típicamente tratados. Impulsar la creación de problemas es una de las

formas de lograr el desarrollo de diferentes potencialidades de los estudiantes y de estimular una mayor flexibilidad mental”. (p. 53)


• Abu-Elwan (1999): Los formadores de profesores, por lo general

reconocen que los futuros profesores necesitan orientación en el desarrollo de la destreza de abordar y resolver problemas.

Lo que a menudo se pasa por alto es el hecho de que como profesores ellos deben ir más allá del rol de sólo resolver problemas. El profesional debe ser hábil en el descubrimiento y en la creación correcta de problemas que requieren soluciones. (p.1)


¿QUÉ ENTENDEMOS POR CREAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS?


Problema A

• En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos de yogur por S/. 8,00 y cada vasito individual a S/. 1,50; pero en la bodega B, venden el mismo producto en paquetes de 3 vasitos por S/.4,00 y cada vasito individual a S/. 1,60. ¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse por la compra de n vasitos de yogur, según la información dada? Explicitar la función correspondiente.


Lucía tiene una hoja cuadrada de papel ABCD, de 10 centímetros de lado como se ilustra en la figura.

Su profesor le pide que realizando dobleces en la hoja muestre de forma visual el 25% del área del cuadrado original. ¿ De cuántas maneras Lucía podría hacer dobleces para mostrar de forma visual el 25% del cuadrado original?


A

B

D

C

10 cm

Problema B

QUÉ ENTENDEMOS POR CREAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

Para precisar lo que entendemos por crear problemas, avanzamos en la posición adoptada en Malaspina (2013a): La creación de problemas de matemáticas es un proceso mediante el cual se obtiene un nuevo problema • Por variación de un problema dado; o • Por elaboración,

– Libre, a partir de una situación dada o configurada – A partir de un requerimiento específico (matemático o

didáctico )


¿Qué hay en los problemas? Cuatro elementos fundamentales que percibimos en los problemas:

Información,

Requerimiento,

Contexto y

Entorno matemático

• La información: datos cuantitativos o relacionales que se dan en el problema.

• El requerimiento: lo que se pide que se encuentre, examine o concluya, que puede ser cuantitativo o cualitativo, incluyendo gráficos y demostraciones.

• El contexto: puede ser intra matemático o extra matemático.

• El entorno matemático: los conceptos matemáticos que intervienen o pueden intervenir para resolver el problema.


Volvamos a la creación de problemas

Con los elementos dados, podemos ahora explicitar mejor lo que entendemos por variación y elaboración de un problema:

• Variación de un problema dado: proceso según el cual se construye un nuevo problema, modificando uno o más de los cuatro elementos del problema dado.

Ejemplos muy interesantes de éstos son los que resultan al modificar el requerimiento y plantear generalizaciones a partir de un problema dado.

Puede conllevar el cambio de contexto,

de extra a intra matemático.


Volvamos a la creación de problemas • Elaboración de un problema: proceso según el cual se

construye un nuevo problema,

– a partir de una situación (dada, o configurada por el autor)

• El contexto se origina en tal situación

• La información es obtenida por selección o modificación de la información que se percibe en la situación;

• El requerimiento es una consecuencia de relaciones lógicas y matemáticas establecidas o encontradas entre los elementos de la información especificada, implícitas en el enunciado, dentro de un cierto entorno matemático.

– A partir de un requerimiento específico (matemático o didáctico) Creación, según el caso, de contexto e información adecuados.


Ejemplo 1 (Problema creado por variación)


Problema creado, por variación del problema dado

En una planta nuclear se dispone de una torre de enfriamiento de forma cilíndrica de radio 12 m y altura 20π m tal como se indica en la figura. Se desea establecer un circuito de circulación de agua caliente por tubería desde el punto A hacia la descarga por el punto B de modo que la trayectoria de dicha tubería realice 2 vueltas completas sobre la superficie cilíndrica aprovechando el enfriamiento por transferencia de calor con el medio ambiente empleándose el menor recorrido. Además, la tubería estará conformada por tramos de igual longitud unidos por bridas que a su vez están anclados en puntos de apoyo.

Problema dado

Ejemplo 1

• Se pide: a) Una ecuación paramétrica de la trayectoria del agua. b) La longitud total de la tubería. c) Si se establecen 14 puntos de apoyo en la trayectoria de la tubería siendo A y B los extremos, determinar la posición del 2do y 13er puntos de anclaje (P y Q respectivamente). d) Determinar el radio de curvatura de cada tramo para su rolado respectivo.


Ejemplo 2 (Problema creado por elaboración, a partir de una situación dada) Situación:

María dispone de una lámina de cartulina en la cual está representado un rectángulo de 27 cm de ancho y 36 cm de largo.

Problemas creados, por elaboración, ante la situación dada

1. Si el rectángulo dibujado representa el piso de un patio, en una escala de 1/100, ¿cuáles serán las dimensiones de las losas cuadradas más grandes que se usen sin partir, para embaldosar el patio?

2. ¿Cuánto debo aumentar al ancho y disminuir al largo para obtener un cuadrado del mismo perímetro que el rectángulo dibujado?

3. ¿Cuánto debo añadir al ancho y quitar al largo para obtener un cuadrado cuya área sea la misma que la del rectángulo dibujado?

4. ¿Cuáles son las dimensiones del paralelepípedo recto (caja con tapa) , de máximo volumen, que se puede construir haciendo cortes y dobleces en la lámina?


Ejemplo 3 (Problemas creados por elaboración,

ante un requerimiento específico- Énfasis matemático) Requerimiento específico: Crear un problema que involucre el número 2014 Problemas creados, por elaboración, ante el requerimiento 1) ¿Cuántos paralelepípedos rectos distintos existen, con aristas de longitudes

enteras, cuyo volumen sea 2014 𝑐𝑚3? Fue una oportunidad para usar inteligentemente la calculadora, buscando factores primos de 1007. Fue entusiasmante encontrar los factores primos 2) Se tiene n enteros positivos, donde cada uno de ellos tiene dos dígitos, si el producto de esos números es múltiplo de 2014, determine el menor valor posible de n. 3) Se tiene n enteros positivos, donde cada uno de ellos tiene tres dígitos, si el producto de esos números es múltiplo de 2014, determine el menor valor posible de n.

Uldarico Malaspina (IREM-PUCP)

Tuxtla Gutiérrez, 3-7 mayo 2015

19 y 53

Ejemplo 4 (Problemas creados por elaboración,

ante un requerimiento específico- Énfasis didáctico)

Requerimiento específico

Crear problemas que ilustren una propiedad de la adición o de la multiplicación en N.

Problemas creados, por elaboración, ante el requerimiento específico

1) El lunes Jaimito fue a la bodega a comprar 3 soles de pan por la mañana; y por la tarde, compró 2 soles de mantequilla y 4 de café.

El martes, por indicación de su mamá, compró por la mañana 3 soles de pan y 2 soles de mantequilla; y por la tarde 4, soles de café. ¿Es verdad que el total que Jaimito pagó el lunes es igual al total que Jaimito pagó el martes?

2) Silvia compró 3 vasos de yogurt a 2 soles cada uno y 4 cajas de jugo, también a 2 soles cada una. Obtén de dos maneras diferentes el total que debe pagar Silvia.


APRENDIZAJE Y CREACIÓN DE

PROBLEMAS Es muy importante que los docentes de matemáticas tengamos

la capacidad de crear problemas que sean más adecuados • a los entornos sociales y regionales de nuestros alumnos, • a sus motivaciones • a sus dudas, Un docente con tal capacidad puede convertir un problema difícil de resolver en varios problemas más sencillos con dificultad gradual, que finalmente conduzcan a la solución del problema inicial y en el camino permita experiencias valiosas de aprendizaje.



PROBLEMAS Una pregunta o una interpretación errada de un concepto

pueden ser puntos de partida para crear un problema cuya solución contribuya a aclarar dudas y ampliar conocimientos. Mal recuerdo del TF de la aritmética llevó a proponer la búsqueda de “números perfectos” y aspectos históricos, desde Euclides. Invitar a los alumnos a formularse preguntas-problema en torno a una situación matemática específica lleva a miradas retrospectivas de lo estudiado y generalmente a ampliación de conocimientos.

Preguntas sobre f, sabiendo que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 8 3

−3



PROBLEMAS

Elaborar problemas tomando aspectos de la realidad cercana a los estudiantes, aportará a que tanto los que crean los problemas como los que los resuelvan tengan miradas más reflexivas de la realidad y encuentren las matemáticas que hay en ella.

Problema sobre porcentajes

Problema sobre precios de vasitos de yogurt

Crear problemas con el número 2014



PROBLEMAS

Profesores con capacidad de crear problemas en el aula, incentivarán a sus estudiantes a crear sus propios problemas, que reflejarán no solo sus habilidades matemáticas, sino inclusive motivaciones personales y aspectos de su entorno social. Veamos dos problemas creados por niños de primaria, ante el pedido de su profesora (Creación libre)



PROBLEMAS La creación de problemas en algunos enfoques

didácticos:

Brousseau (1986), en su teoría de situaciones didácticas, nos dice que aprender un conocimiento es reconstruirlo y que el objeto final del aprendizaje es que el alumno pueda hacer funcionar el saber en situaciones en las que el profesor no está presente.

Ciertamente, crear problemas forma parte de la reconstrucción de conocimientos y permite ir más allá de la resolución de los problemas entregados por el profesor o de los contenidos en un texto.



PROBLEMAS La creación de problemas en algunos enfoques

didácticos:

Chevallard, Bosch y Gascón (2005), en la teoría antropológica de lo didáctico, nos dicen que enseñar y aprender matemáticas corresponde a la actividad de reconstruir organizaciones matemáticas para poderlas utilizar en nuevas situaciones y bajo distintas condiciones.

En ese sentido, crear problemas forma parte de la reconstrucción de organizaciones matemáticas, en las que se consideran tipos de problemas y a éstos como parte del “saber-hacer” matemático.



PROBLEMAS La creación de problemas en algunos enfoques didácticos:

Font, Planas y Godino (2010), en el marco del enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática, nos dicen que el aprendizaje de las matemáticas consiste en aprender a realizar una práctica operativa (de lectura y producción de textos) y, sobre todo, una práctica discursiva (de reflexión sobre la práctica operativa) que puede ser reconocida como matemática por un interlocutor experto.

Implícitamente consideran la creación de problemas como parte de la práctica operativa y discursiva, La creación de problemas conlleva la producción de textos y la reflexión sobre la práctica operativa


Dinamización del aprendizaje: solución y creación de problemas

Una secuencia dinamizadora del aprendizaje Planteamiento de problemas; soluciones o aproximaciones a las soluciones de los problemas; preguntas y respuestas (Qué pasaría si?) conjeturas, demostración, refutación y afinamiento de conjeturas; identificación de nuevos problemas; creación de problemas; soluciones o aproximaciones a las soluciones de los problemas creados; variaciones de los problemas creados; Comprensión, con una mirada global de lo creado y lo resuelto, de lo conjeturado, de los métodos usados y del contexto matemático. En esta dinamización – no necesariamente lineal – juega papel muy importante el profesor, que obviamente requiere tener competencias matemáticas y didácticas para estimular a los alumnos en cada etapa.


Dinamización del aprendizaje

En particular, competencias en lo que se refiere a creación de problemas, que es un aspecto en el que usualmente se pone poco énfasis en todos los niveles educativos. No se tiene en cuenta la estrecha relación que hay entre los aspectos formativos de la creación de problemas y algunos desafíos fundamentales que los ciudadanos, técnicos y profesionales tenemos que afrontar en la vida cotidiana, como identificar problemas, plantear(se) las preguntas adecuadas, seleccionar convenientemente la información, hacer propuestas innovadoras, buscar soluciones óptimas y replantear los problemas

(Malaspina, 2013b).


CREACIÓN DE PROBLEMAS Y AMPLIACIÓN

DE HORIZONTES MATEMÁTICOS La creación de problemas genera una dinámica matemática

acompañada de lo didáctico, cuyas fronteras son difíciles de predecir, pues ya sea por variación o por elaboración, surgen preguntas cuyas respuestas pueden requerir un entorno matemático que va más allá de lo inicialmente considerado. Un problema creado inicialmente con un propósito, puede realmente abrir posibilidades didácticas y matemáticas muy interesantes, más allá de tal propósito, en las que no se pensó al momento de crearlo. Esto es interesante en la perspectiva de descubrir conocimientos de hacer matemáticas y contribuye a ampliar la visión que suele tenerse de las matemáticas, como algo estático y acabado.


CREACIÓN DE PROBLEMAS Y AMPLIACIÓN DE HORIZONTES MATEMÁTICOS

En las experiencias didácticas realizadas en talleres de formación de profesores, hemos encontrado varios casos de descubrimiento de nuevos horizontes matemáticos.



Algunos casos: • Situación inicial 1 (En un taller con profesores de

secundaria) • En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos de yogur

por S/. 8,00 y cada vasito individual a S/. 1,50; pero en la bodega B, venden el mismo producto en paquetes de 3 vasitos por S/.4,00 y cada vasito individual a S/. 1,60.

• Problema creado 1: ¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse por la compra de n vasitos de yogur, según la información dada? Explicitar la función correspondiente.



Algunos casos: En la bodega A, venden paquetes de 6 vasitos de yogur por S/. 8,00 y cada vasito individual a S/. 1,50; pero en la bodega B, venden el mismo producto en paquetes de 3 vasitos por

S/.4,00 y cada vasito individual a S/. 1,60. Problema creado 1: ¿Cuánto es el pago mínimo que puede hacerse por la compra de n vasitos de yogur, según la información dada? Explicitar la función correspondiente.

Percibimos el paso de una situación particular a una general, mediante el uso de una función que hay que definirla con la misma información inicial dada.

La idea es interesante y parece ser de fácil solución. Lo novedoso es que lleva a un tipo de función que no es conocida

en la educación secundaria.

𝑓 𝑛 = 4𝑘 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘

4𝑘 + 1,5 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘 + 14𝑘 + 2 × 1,5 𝑠𝑖 𝑛 = 3𝑘 + 2

f (n) = 4𝑛

3+ (

𝑛

3−

𝑛

3) × 3 × 1,5



Algunos casos:

Problema inicial 2 (En un taller con alumnos de profesorado de educación inicial y primaria): Pedro tiene una hoja rectangular de papel ABCD, de 20 cm de largo por 12 cm de ancho, como se ilustra en la figura.

Pedro dobla la hoja de modo que el vértice C se ubica en el lado AD y el lado CD se superpone sobre el lado AD. ¿Es verdad que el área del trapecio que se visualiza es el 75% del área del rectángulo ABCD? ¿Por qué?


A

B

D

C

12 cm

20 cm


Algunos casos:

Problema inicial 2 (En un taller con alumnos de profesorado de educación inicial y primaria):

Problema creado 2:

Lucía tiene una hoja cuadrada de papel ABCD, de 10 centímetros de lado como se ilustra en la figura.

Su profesor le pide que realizando dobleces en la hoja muestre de forma visual el 25% del área del cuadrado original. ¿ De cuántas maneras Lucía podría hacer dobleces para mostrar de forma visual el 25% del cuadrado original?


A

B

D

C

10 cm

• En su solución, la alumna mostró las tres maneras más “naturales” de hacer los dobleces.

• Lo interesante del problema, es que presenta no solo un reto alcanzable por niños de primaria, sino también que suscita preguntarse si esas tres formas “naturales” de hacer los dobleces son las únicas.

• Ante esta pregunta, al socializar el problema, las alumnas encontraron dos formas más.

• Por otra parte, con la misma idea, buscamos formas de hacer un solo doblez en la hoja cuadrada para mostrar dos figuras con la misma área.

• Llegamos a encontrar que esas figuras pueden ser trapecios y que hay muchos pares de tales trapecios. Así, tuvimos la ocasión de evidenciar que hay problemas con infinitas soluciones.



Problema creado 2:

• Notamos que usando para un rectángulo el criterio para hacer el doblez en la hoja cuadrada de modo que se encuentren trapecios congruentes, se obtiene también infinitos pares de trapecios con la misma área

• Esto nos llevó a concluir que el problema propuesto por la alumna también conlleva infinitas soluciones. (Infinitas formas de hacer los dobleces)

• Ciertamente, la alumna no pensó en esta posibilidad al crear su problema y disfrutó mucho al conocer los alcances que tuvo su idea.



Problema creado 2:

María dispone de una lámina de cartulina en la cual está representado un rectángulo de 27 cm de ancho y 36 cm de largo.

Problema creado 3

¿Cuáles son las dimensiones del paralelepípedo recto (caja con

tapa) , de máximo volumen, que se puede construir haciendo

cortes y dobleces en la lámina?



Situación inicial 3:

Reacciones:

1. Diseñar un “desarrollo geométrico”

2. Conjeturar que la solución será el cubo con

aristas de longitud 9 cm.

36 cm

27 cm 9 cm

9 cm

9 cm 9 cm

Vol cubo = (𝟗𝒄𝒎)𝟑= 𝟕𝟐𝟗 𝒄𝒎𝟑 9 cm

9 cm

9 cm Uldarico Malaspina (IREM-PUCP) Tuxtla Gutiérrez, 3-7 mayo 2015

• Sin embargo


19 cm

4 cm

14 cm 14 cm 4 cm 4 cm

Vol ppdo = (19cm)(14cm)(4cm) = 1064 𝒄𝒎𝟑 19 cm

4 cm

14 cm

• Como 729 𝑐𝑚3 < 1064 𝑐𝑚3

¿el paralelepípedo recto de 19cm x 14cm x 4cm

será el de volumen máximo?

• Pero también se encuentra otro desarrollo:


17 cm

5 cm

13 cm 13 cm 5 cm 5 cm

Volumen de este ppdo = (17cm)(13cm)(5cm) = 1105 𝒄𝒎𝟑

Consecuencias: Buscar otras posibilidades

Trabajar el ensayo y error

A nivel universitario:

maximizar xyz

Sujeto a: 2z + 2x = 36

y + 2z = 27

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0


y

z

x x z z

Se obtiene que la solución óptima es con valores irracionales, pues x

es solución de la ecuación 𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 𝒙 + 𝟐𝟕 = 𝟎 Por ejemplo (12,91cm)(16,82cm)(5,09cm) ≈ 1105,27 𝒄𝒎𝟑

Un hallazgo interesante:

9 cm 9 cm 9 cm 9 cm

4,5 cm

22,5 cm

V = (22,5cm)(9cm)(9cm) = 1822,5 𝒄𝒎𝟑

¡Y no hay desperdicio de material!

22,5 cm

9 cm

9 cm 4,5 cm

4,5 cm ¿Esta es la solución óptima? ¿Camino racional práctico para este tipo de solución? ¿Software?


COMENTARIOS FINALES

1. Vemos que la creación de problemas – en particular la variación de problemas dados – está estrechamente ligada a la resolución de problemas y que contribuye a – ampliar el horizonte matemático de quien los crea, – desarrollar su pensamiento matemático – iniciarlo en la investigación y en el hacer matemáticas

pues brinda oportunidades – a alumnos y profesores – para • modificar creativamente la información recibida y plantear

nuevos requerimientos; • hacer nuevos requerimientos con la misma información; • proponer requerimientos de carácter general; y • hacer mixturas razonadas de estos cambios.


COMENTARIOS FINALES

2. Consideramos esencial que en los cursos de formación inicial y en los cursos de capacitación de profesores, se incluya la creación de problemas,

por su aporte a aprendizajes significativos

por contribuir a desarrollar competencias matemáticas y didácticas que les permita, a su vez,

desarrollar en sus alumnos la capacidad de crear problemas.


Exhortaciones finales

• Ellerton (2013)

Durante demasiado tiempo, la resolución exitosa de problemas se ha alabado como la meta; ha llegado el momento de dar a la creación de problemas un lugar prominente pero natural en los planes de estudio y en las clases de matemáticas. (pp. 100-101)


¡Decidámonos a crear problemas para y con nuestros alumnos! Explotemos las potencialidades didácticas y matemáticas que tiene la creación de problemas. Crear problemas contribuirá a que el alumno sienta que es posible colaborar a la continua expansión de la matemática. Crear y resolver problemas contribuirá también a que profesores y alumnos percibamos mejor la belleza de la matemática y su didáctica, y a sentir que es posible aportar a crear “obras de arte” en la matemática.

¡Muchas gracias! Uldarico Malaspina IREM – PUCP (Perú)


Referencias • Abu-Elwan, R. (1999). The development of mathematical problem

posing skills for prospective middle school teachers. The International conference on Mathematical Education into the 21st Century: Social challenges, Issues and approaches, 2, 1-8. Recuperado de http://math.unipa.it/~grim/EAbu-elwan8

• Bonotto, C. (2013). Artifacts as sources for problem-posing activities. Educational Studies in Mathematics. 83 (1), 37 – 55.

• Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáticas. Universidad de Burdeos. Traducción de J. Centeno y otros.

• Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (2005) Estudiar matemáticas: el eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Perú: Horsori

• Font, V.; Planas, N. y Godino, J. D. (2010). Modelo para el análisis didáctico en educación matemática. Infancia y Aprendizaje 33 (1), 89–105.


http://math.unipa.it/~grim/EAbu-elwan8




Referencias •

• Malaspina, U. (2002). Elements for teaching game theory . En Proceedings of 2nd International Conference on the Teaching of Mathematics (at the undergraduate level) . Creta, Grecia. Recuperado de http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap293.pdf

• Malaspina, U. (2013a). Variaciones de un problema. El caso de un problema de R. Douady. UNION, Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 34, 141 – 149. Recuperado dehttp://www.fisem.org/web/union/images/stories/34/archivo13.pdf

• Malaspina, U. (2013b). La enseñanza de las matemáticas y el estímulo a la creatividad. UNO, Revista de Didáctica de las Matemáticas, 63, 41 – 49.

• National Council of Teachers of Mathematics (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: NCTM


http://www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap293.pdf

http://www.fisem.org/web/union/images/stories/34/archivo13.pdf

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