UNIDAD 9: DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN

1. Derivada de una función en un punto: definición. Interpretación geométrica. Interpretación física.

2. Función derivada. Reglas de derivación. Derivadas sucesivas.

3. Derivabilidad de una función en un punto. Derivabilidad y continuidad.

4. Derivabilidad de funciones a trozos. Derivadas laterales.

5 Derivada de la función inversa, derivada logarítmica.

1.DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:

• Dada una función f(x) se define su derivada en el punto x=a como el siguiente límite:

• Si dicho límite existe y es finito, podemos decir que la función f(x) es derivable en el punto x=a.

• Por ejemplo, si f(x)=x2-3, vamos a ver su derivada en x=-1

0

( ) ( )(́ ) limh

f a h f af a

h

2 2

0 0 0

0

( 1 ) ( 1) ( 1 ) 3 ( 2) 2(́ 1) lim lim lim

( 2)lim 2

h h h

h

f h f h h hf

h h hh h

h

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

• Esta expresión corresponde a la pendiente de la recta secante a la gráfica en los puntos a y a+h.

• El cociente entre la variación de la función y la de la variable

( ) ( )f a h f a

h

•Nos habla por tanto del crecimiento medio de la función en el intervalo (a,a+h)

• Si ahora hacemos h muy pequeño, a+h se va acercando al punto a, si calculamos el límite para obtener la derivada:

0

( ) ( )(́ ) limh

f a h f af a

h

•Esta expresión corresponde ahora a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x=a

•Se refiere al crecimiento instantáneo de la función en el punto x=a

INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA

Cuando dos magnitudes x e y están relacionadas funcionalmente y(x), entonces la derivada determina el ritmo de cambio de x respecto de y, es decir cómo de rápido crece o decrece la magnitud y cuando x varía.

Así la derivada se emplea en física, economía…para estudiar el ritmo de cambio de una magnitud respecto a otra (la velocidad con el tiempo, la variación en las acciones de una determinada empresa, o del crecimiento de una población respecto del tiempo…)

El ejemplo más destacado en física aparece cuando consideramos el espacio recorrido en función del tiempo e(t), si queremos analizar el ritmo al que varía el espacio en un momento dado t consideraremos: 0 0

0

( ) ( )(́ ) lim ( )t

e t t e te t v t

t

el cociente entre la variación en el espacio y la variación en el tiempo, después haremos ésta variación de tiempo tender a cero. Obtenemos así la derivada del espacio, que marca el ritmo de cambio de éste y que es como sabemos la velocidad instantánea.

2. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS

También podemos obtener la derivada segunda, f’’(x) que se obtiene al calcular la derivada de la derivada de la función en cada punto, y así sucesivamente las derivadas tercera,f’’’(x), cuarta f4)(x)...

Por ejemplo:4 2 3

2 3)

( ) 3 7 , (́ ) 4 6 7,

´́ ( ) 12 6, ( ) 24 ...

f x x x x f x x x

f x x f x x

□ Así dada una función f(x), obteniendo su derivada en cada punto en que sea posible, se obtiene una nueva función, f’(x) que es la función derivada de f(x).

2( ) 3

(́ ) 2 3

f x x x

f x x

2. DERIVADAS DE FUNCIONES. REGLAS DE DERIVACIÓN

1

( ) (́ ) 0

( ) (́ )

( ) (́ ) (si 1)

1( ) (́ )

2

( ) (́ )

( ) (́ ) ln

1( ) ln (́ )

1( ) log (́ )

ln( ) (́ ) cos

( ) cos (́ )

n n

x x

x x

a

f x a f x

f x ax f x a

f x x f x nx n

f x x f xx

f x e f x e

f x a f x a a

f x x f xx

f x x f xx a

f x senx f x x

f x x f x senx

2

2

2

2

( ) (́ ) 1

1( ) (́ )

11

( ) cos (́ )11

( ) (́ )1

: ( ( ) ( ))´ (́ ) (́ )

: ( · ( ))´ · (́ )

: ( ( )· ( ))´ (́ )· ( ) ( )· (́ )

f x tgx f x tg x

f x arc senx f xx

f x arc x f xx

f x arc tgx f xx

SUMA f x g x f x g x

PRODUCTO PORUNA CTE k f x k f x

PRODUCTO f x g x f x g x f x g x

2

( ) (́ )· ( ) ( )· (́ ):

( ) ( )

: ( ) (́ ) (́ ( ))· (́ )

f x f x g x f x g xCOCIENTE

g x g x

REGLA DE LA CADENA f g x f g x g x

3. DERIVABILIDAD. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD.

Decimos que una función es derivable en un punto x=a cuando existe f´(a). Esto quiere decir que la gráfica de f(x) pasa por a sin hacer cambios bruscos en su crecimiento o “picos”.

Por ejemplo f(x)=x2-3x es derivable en cualquier punto, mientras que f(x)= no es derivable cuando x=0, vemos que en ese punto cambia el crecimiento bruscamente (hace un pico).

x

2( ) 3f x x x ( )f x x

□ Una función no puede ser derivable en un punto si no es continua en él. Aunque esta función no tenga cambios en el crecimiento cuando x=1, no existe la derivada en ese punto pues no es continua en él.

DERIVEBILIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS

Para comprobar si una función definida a trozos es derivable en una de sus uniones debemos:

1. Comprobar que es continua en dicha unión. Si no es continua, entonces no es derivable en ese punto.

2. Si la función es continua, pasamos a calcular las derivadas laterales, f´(a-) y f´(a+) es decir la derivada en ese punto por la izquierda y por la derecha. Si las dos derivadas laterales coinciden entonces podemos decir que existe la derivada en ese punto.

Observa que en esta caso la pendiente de la recta tangente es la misma si nos acercamos al punto por la derecha o por la izquierda, y por tanto la función no hace “picos”

Estudia la derivabilidad de las siguientes funciónes:

a)

·Vemos si es continua en x=2:

2

1 2( )

3 2

x si xf x

x si x

2 2

2

2 2

lim ( ) lim 1 3

lim ( ) lim 3 1

x x

x x

f x x

f x x

·Como no es continua, no puede ser derivable en x=2

b)

·Vemos si es continua en x=1

·Como es continua, comprobamos si las derivadas laterales coinciden:

·Como no coinciden, la función no es derivable en x=1, ya que no existe f´(1).

2

2 1 1( )

4 3 1

x si xf x

x x si x

1 1

2

1 1

lim ( ) lim 2 1 1

lim ( ) lim 4 3 1

(1) 1

x x

x x

f x x

f x x x

f

2

(2 1)´ 2 (́1 ) 2

(4 3 )´ 8 3 (́1 ) 5

x f

x x x f

c)

Vemos si es continua en x=1

· Como es continua en x=1, comprobamos las derivadas laterales:

· La función es derivable en x=1

2

2 1 1( )

1

x si xf x

x si x

1 1

2

1 1

lim ( ) lim 2 1 1

lim ( ) lim 1

(1) 1

x x

x x

f x x

f x x

f

2

(2 1)´ 2 (́1 ) 2

( )´ 2 (́1 ) 2

x f

x x f

a) No es continua ni derivable en su unión

b) Continua pero no derivable en su unión

c) Continua y derivable en su unión.

Aquí están las gráficas de las tres funciones anteriores