La derivada

TEMA : LA DERIVADA

José Ángel López Martín Pág 1

1.- TASA DE VARIACION MEDIA

Medimos el crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo calculando la tasa de variación media de la función en dicho intervalo

T.V.M.de f en [x1, x2] =

nteindependieiableladeiaciónfunciónladeiación

varvarvar =

( ) ( )12

12

xxxfxf

−−

x2

f(x1) f(x2) f(x2)-f(x1)

x2 – x1

x1

Ejemplo: Calcula la tasa de variación media de x

xf 3)( = en el intervalo [-3, -1]. ¿Crece o decrece la

función en dicho intervalo?

[ ] ( ) ( )( )

( ) 122

213

3113

31311,3 T.V.M.a) −=

−=

+−=

+−−−−

=−−−

−−−=−−

ff

b) Como la tasa de variación media es negativa, la

función es decreciente en el intervalo dado.

2.- DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

La derivada de la función f(x) en el punto x = x0 es el limite

hxfhxf

xfh

)()(lim)´( 00

00−+

=→

La derivada f ´(x0 ) es un número que nos indica la variación instantánea de la función en el punto x = x0 x0 x0 + h

f(x0)

f(x0+h)

h

f(x0 + h)-f(x0 )

Ejemplo: Hallar la derivada de x

xf 3)( = en el punto x=-3

f(-3)=-1

hhf

+−=+−

33)3(

( )31

31lim3lim

13

3

lim)3()3(lim30000

−=

−=−=

+−=

−−+−=−′

→→→→ hhh

h

hh

hfhff

hhhh

TEMA : LA DERIVADA


Ejemplo: Hallar la derivada de f(x) = - x2 + 6x en el punto x=2

f(2) = - 4 + 12 = 8

( ) ( ) ( ) 82612442622 222 ++−=++−−−=+++−=+ hhhhhhhhf

( ) ( ) 22lim)2(lim2lim)2()2(lim200

2

00=+−=

+−=

+−=

−+=′

→→→→h

hhh

hhh

hfhff

hhhh

Ejemplo: Hallar la derivada de la función ⎩⎨⎧

≥<−

==00

)(xsixxsix

xxf en el punto x=0

( ) 11limlim0

lim)0()0(lim00000

−=−=−

=−

=−+

=−′−−−− →→→→ hhhh h

hh

hh

fhff

( ) 11limlim0

lim)0()0(lim00000

===−

=−+

=+′++++ →→→→ hhhh h

hh

hh

fhff

Como )0´()0´( +≠− ff f no es derivable en x=0

3.- FUNCIÓN DERIVADA.

La función derivada de una función f(x) es una nueva función que asocia a cada número real su derivada. Se denota por f´(x). Su definición es la siguiente:

hxfhxfxf

h

)()(lim)´(0

−+=

→

Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 .

f(x+ h) = (x+h)2 =x2 + 2xh + h2

f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - x2 = 2xh + h2

( ) xxhh

xhhh

xhhh

xfhxfxfhhhh

22lim)2(lim2lim)()(lim)´(00

2

00=+=

+=

+=

−+=

→→→→

Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 - 2x .Una vez hallada f ‘(x), calcula f ‘(3), f ‘(0) y f ‘ (1)

f(x+ h) = (x+h)2 – 2(x+h) =x2 + 2xh + h2 -2x - 2h

f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - 2x -2h - x2 + 2x = 2xh + h2 - 2h

( ) 2222lim)22(lim22lim)()(lim)´(00

2

00−=−+=

−+=

−+=

−+=

→→→→xxh

hxhh

hhxhh

hxfhxfxf

hhhh

Por tanto, la función derivada de f(x) = x2 - 2x es f´(x) = 2x - 2

Si ahora se desea hallar la derivada en cualquier punto, basta con sustituir.

f ´(3)= 6 – 2 = 4 f´(0) = 0 - 2= -2 f ´(1) = 2 – 2 -= 0

TEMA : LA DERIVADA


4.- REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de f (x)=k f´(x)= 0 0´10 =→= yLny

Derivada de f (x)=x f´(x)= 1

Derivada de f (x)=xn f´(x)= n· xn-1

xyxy ·2´2 =→= 23 ·3´ xyxy =→= 34 ·4´ xyxy =→=

33122

2

2·2·2´1x

xxyxx

y −=−=−=→== −−−−

21

)( xxxf == → x

xxxf2

1·21·

21)´( 2

1121

===−

−

Derivada de xxf =)( x

xf2

1)´( =

31

3)( xxxf == 2

32

31·

31)´(

xxxf ==

−

Derivada de n xxf =)( 1

1)´(−

=nxn

xf

25

2133

xxx

xy ===−

→ 2

525

25´

3231

25 xxxy ===

−

Derivada de una constante por una función: y=k · f (x) y´= k · f´(x)

445 155·3´3 xxyxy ==→=

223 x763x

72y´x

72y −

=−

=→−

=

533

51´

5

22

3 xxyxy ==→=

Derivada de una suma o diferencia de funciones: y=f (x)+g (x) y´ = f´(x)+g´(x)

31032·5´35 2 +=+=→+= xxyxxy

28922·43·3´7243 2223 −+−=−+−=→−−+−= xxxxyxxxy

Derivada de un producto de funciones: y=f (x) · g (x) y´ = f´(x) · g(x) + f(x) ·g´(x)

)4)(53( 2 xxxy +−=

201492010126123)42)(53()4(3´ 2222 −+=−−+++=+−++= xxxxxxxxxxxy

TEMA : LA DERIVADA


Podemos operar primero y derivar después

20149´2073205123)4)(53( 2232232 −+=→−+=−−+=+−= xxyxxxxxxxxxxy

Derivada de un cociente de funciones )()(

xgxfy = 2)(

)´()·()()·´(´xg

xgxfxgxfy −=

( ) ( )( ) ( ) ( )22

2

22

22

22

2

2 1222

12422

121212´

112

+

++−=

+

+−+=

+

−−+=→

+−

=x

xxx

xxxx

xxxyx

xy

( )( ) ( )22222 35

5635

65´35

1xx

xxx

xyxx

y−

−=

−

−−=→

−=

3x

2x1y−

−= → ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

2

2

22

2

2

316

3162

3132´

−−+−

=−

+−+−=

−−−−−

=x

xxx

xxxx

xxxy

Derivada de funciones compuestas: y = f(g(x)) )´(·))(´(´ xgxgfy =

La derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se componen

( )62 523 +−= xxy

“Es una composición de un polinomio y una potencia por tanto su derivada es el producto de la derivada de la potencia ( )52 5236 +− xx y la derivada del polinomio ( )26 −x ”

( ) ( )26·5236´ 52 −+−= xxxy

125 3 +−= xxy

“Es una composición de un polinomio y una raíz cuadrada por tanto su derivada es el producto de la derivada de la raíz y la derivada del polinomio”

( ))261252

1´3

−+−

= xxx

y

Función potencial

)´(·)(´)( 1 xfxfnyxfy nn −=→=

)(xfy = )´()(2

1´ xfxf

y = n xfy )(= )´()(

1´1

xfxfn

yn n−

=

3)52( += xy → ( )22 5262·)52(3´ +=+= xxy

14xy 3 += → 14

6142

1212142

1´3

2

3

22

3 +=

+=⋅

+=

xx

xxx

xy

( )41

24 2 7373 xxxxy −=−= → ( ) ( )( )4 32

43

2

734

76767341´

xx

xxxxy−

−=−−=

−

TEMA : LA DERIVADA


Exponencial de base a: aayay xx ln´=→= )´(·ln´ )()( xfaayay xfxf =→=

2ln2´2 xx yy =→=

3·2ln2´2 5353 ++ =→= xx yy

Exponencial de base e: xx eyey =→= ´ )´(·´ )()( xfeyey xfxf =→=

( )52·´ 55 22

−=→= −− xeyey xxxx xxxxxx eeeeyeey −−− −=−+=→+= )1(´

Logaritmo de base a: ax

yxy a ln11´log =→=

axfxfyxfy a ln

1)()´(´)(log =→=

1011´log

Lnxyxy =→=

101

)13(3´)13log(

Lnxyxy

−=→−=

Logaritmo neperiano: x

yxy 1´ln =→= )()´(´)(ln

xfxfyxfy =→=

43

3´)43ln(+

=→+=x

yxy

86

343

3·21´)43ln(

21)43(ln

+=

+=→+=+=

xxyxxy

Función seno: xyxseny cos´=→= )´(·)(cos´)( xfxfyxfseny =→=

xxyxseny 2·)1cos(´)1( 22 +=→+=

Función coseno: xsenyxy −=→= ´cos )´(·)(´)(cos xfxsenfyxfy −=→=

)56(66·)56(´)56cos( −−=+−=→+= xsenxsenyxy

Funcion tangente: xtgx

yxtgy 22 1

cos1´ +==→= ( ) )´(·1)´(

)(cos1´)( 2

2 xfxtgxfxf

yxftgy +==→=

( )4·)4(14·)4(cos

1´)4( 22 xtg

xyxtgy +==→=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )52cos5262·52cos·523´52 223 ++=++=→+= xxsenxxsenyxseny

Función arco seno: 21

1´x

yxsenarcy−

=→= 2)(1

)´(´)(xf

xfyxfsenarcy−

=→=

( ) 422

2

122

1

1´x

xxx

yxsenarcy−

=−

=→=

TEMA : LA DERIVADA


Función arco seno: 21

1´cosx

yxarcy−

−=→=

2)(1)´(´)(cos

xfxfyxfarcy

−

−=→=

1

11

11

11

1´1cos2

2

22

22 −=

−=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=→=

xxx

xxx

x

yx

arcy

Función arco tangente: 211´x

yxtgarcy+

=→= 2)(1)´(´)(xf

xfyxfsenarcy+

=→=

( ) ( ) ( ) xxxxyxtgarcy

+=

+=→=

121

21

1

1´ 2

5.- DERIVACION DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECIPROCA

Ejemplo halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x.

Solución:

( )

22

2

11

11´

1´1)(

xytgy

yytgxarctgxtgytg

xarctgy

+=

+=

=+

===

De forma general, podemos hallar la derivada de la función inversa de la siguiente forma

´ ´ 1

´1

´1

´

´ ´ 1

´1

´

TEMA : LA DERIVADA


6.- TABLA DE DERIVADAS y = f(x) + g(x) y´ = f´(x) + g´(x) y = f(x)·g(x) y´= f´(x)·g(x) + f(x) g´(x)

y = k f(x) y´ = k f´(x)

)()(

xgxfy = 2)(

)´()()()´(´xg

xgxfxgxfy −=

kxfy )(

= k

xfý )´(´=

))(()( xfgxfgy == o )´())(´(´ xfxfgy =

FUNCION ELEMENTAL FUNCION COMPUESTA y = k y´ = 0 y = x Y´= 1

( )1−≠= nxy n 1´ −= nxny nxfy )(= )´(·)(´ 1 xfxfny n−=

xy = x

y2

1´= )(xfy = )´()(2

1´ xfxf

y =

n xy = n nxn

y1

1´−

= n xfy )(= )´(

)(1´

1xf

xfny

n n−=

xy alog= aLnx

y 11´= )(log xfy a=axf

xfyln1

)()´(´=

Lnxy = x

y 1´= )(ln xfy =

)()´(´

xfxfy =

xay = Lnaay x=´ )( xfay = )´(·ln´ )( xfaay xf= xey = xey =´ )( xfey = )´(·´ )( xfey xf=

y = sen x y´= cos x )(xfseny = )´(·)(cos´ xfxfy =

y = cos x y´ = − sen x )(cos xfy = )´(·)(´ xfxsenfy −=

y = tg x

xxtgy 2

2

cos11´ =+=

)(xftgy =)´(

)(cos1´ 2 xf

xfy = = ( ) )´(·)(1 2 xfxftg+

y = cotg x ( )xsen

xgy 22 1cot1´ −

=+−=)(cot xfgy =

)´()(

1´ 2 xfxfsen

y −= = ( ) )´(·)(cot1 2 xfxfg+−

y = arc sen x 21

1´x

y−

= y = arc sen f(x)

2f(x)1´(x) fy´

−=

y = arc cos x 21

1´x

y−

−=

y = arc cos f(x) 2f(x)1

´(x) f-y´−

=

y=arc tg x 21

1´x

y+

= y=arc tg f(x)

2f(x)1´(x) fy´

+=

TEMA : LA DERIVADA


7.- DERIVACION LOGARÍTMICA

f(x) =xx

Tomamos el logaritmo neperiano de ambos miembros

ln f(x) = ln xx = x ln x

derivamos ambos miembros

xxx

xfxf 1·ln)()´(

+=

despejamos f ’(x)

f ’(x) = xx ·[ln x + 1]

8.- DERIVACION IMPLICITA

Hallar la derivada de la función implicita 1925

22

=+yx en el punto x=3

quitamos denominadores

9x2+ 25 y2 = 225

derivamos y despejamos y´

18x + 50 y y' = 0 ; y' = -18x50y

calculamos la ordenada y para x=3

x=3 9·9+25y2 = 225 25y2 = 144 25

1442 =y 5

12±=y

sustituimos en la derivada y´

y' (3) = 20

9120

54

512·50

3·18 −=

−=

− o y' (3) =209

12054

512·50

3·18=

−−

=−

−

9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION

Una función será derivable en aquellos puntos en que pueda trazarse recta tangente. Por tanto no será derivable en:

a) Los puntos de discontinuidad

b) Los en los que no coinciden las derivadas laterales (puntos angulosos donde no coinciden las semitangentes por la izquierda y por la derecha)

c) Los puntos en los que la derivada es ∞ (tangente vertical)

TEMA : LA DERIVADA


Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de f(x)= 1

x - 1

Discontinua en x = 1 y por tanto no es derivable en dicho punto.

En el resto es derivable siendo( )21

1)('−−

=x

xf

Ejemplo 2. Estudiar la derivabilidad de f(x) en x= -1

, 12 , 1

En x=-1

lim 1 lim 2 2 1

f no es continua y por tanto tampoco es derivable.

Comprobémoslo

lim1 1

lim1 2 2

lim2 1 1

0 ∞

lim1 1

lim2 2 2

lim2

lim 2 2

No es derivable en x=-1 ya que f´(-1-) ≠ f´(-1+) y además f´(-1-) = ∞

Ejemplo3: Estudiar la derivabilidad de f(x) = 3

x

f es continua en R

3 2

1)´(x

xf = no derivable en x = 0 ya que f´(0)= ∞

En x=0 tiene un punto con tangente vertical

Ejemplo 4: Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x|

Es continua en R.

Calculemos la derivada en x =0

100

00

=→

=→

=−

→ + hh

hLim

hh

hLim

hh

hLim

TEMA : LA DERIVADA


100

00

−=−

→=

→=

−→ − h

hhLim

hh

hLim

hh

hLim

Podemos estudiar la derivabilidad en x= 0 de otra manera. Expresamos la función como una función definida a trozos y la derivamos

⎩⎨⎧

≥<−

==00

)(xsixxsix

xxf ⎩⎨⎧

><−

=0xsi10xsi1

)x´(f

Calculamos la derivada en x=0

f´(0-) = 1)´(lim0

−=→

xfx

f´(0+) = 1)´(lim0

=→

xfx

No es derivable en x =0 ya que no coinciden las derivadas laterales.

Es un punto anguloso

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