AÑO VIII -K VOL. XXXIV 2.1 QUINCENA ABRIL

La didáctica matemáticaa lo largo de los ciclos

medios(*)CICLO METODOLÓGICO. PENETRACIÓN CONSCIENTE EN EL

MÉTODO DEDUCTIVO.

Alcanzado que sea por el alumno un cierto gradode madurez mental, y acumulada suficiente expe-riencia deductiva a través de las cadenas que el es-tudio de la matemática le habrá ido ofreciendo a lolargo de cuatro o cinco cursos de Bachillerato, es lle-gado el momento de darle una idea de cómo se pro-longa estas cadenas en ambos sentidos y de cómo seenlazan hasta constituir la red multipolar de pro-posiciones características de toda ciencia deductiva.

Pero el modo más eficaz de que el alumno penetreen este tejido no es precisamente presentándoseloya elaborado, sino invitándole a su elaboración. Fueun grave error creer que el tránsito del método in-tuitivo al racional podía efectuarse de manera brus-ca sometiendo, en un momento dado, todos los cono-cimientos elementales intuitivamente adquiridos porel niño a una revisión racional que partiese nueva-mente de la nada para reelaborarlos, según nuevoscuadros rígidos formados por los clásicos axiomas,teoremas, corolarios... En este error incurrieron losprogramas italianos hace ya bastantes años, comoconsecuencia del movimiento revisionista de los fun-damentos de la matemática de comienzos de siglo; yen el mismo error incurrió el plan español de 1934 alintroducir el método racional en tercer curso parareexponer en forma deductiva el contenido de los dosprimeros cursos desarrollados según método intuiti-vo. El niño no mostraba ningún interés por esta re-petición que le aburría soberanamente. No podía sen-tir tal interés, puesto que el prurito reductivo de unasverdades a otras ni se presenta espontáneo a estaedad, ni el alumno tiene vocación reflexiva suficien-te para que sea posible despertar en él este interésa través de una acción pensante sugeridora. De aquíla conveniencia de que. el tránsito de lo intuitivo a loracional sea gradual e insensible, adoptándolo a lanatural evolución del escolar, y que convenga espe-rar el grado de madurez necesario y la experienciadeductiva suficiente para aflorar en el alumno laconciencia del método lógico reductivo, invitándole aparticipar activamente en su elaboración.

Esta participación activa no constituye ningunautopia si no se pretende de ella más de lo que natu-ralmente puede dar de sí. Se inicia ante el recuerdo

(*) La primera parte de este trabajo se publicó en elnúmero 95 (2.. quincena marzo 1959), pags. 57-61.

de cualquier propiedad y de su defiddeión, por ejeteplo, la del mismo teorema de PittigäKaWlek que oct9-mula mayoría de respuestas ante 1 19.1)r• igup›:£ z </sien"recuerda un teorema?). La suceiliM\ enagrenadt de"porqués" espolea la actividad deiiiele s-tablece mediante un vivo diálogo cha. fa- anpronto unos alumnos como otros van rec ando, in-ventando, y enlazando las implicaciones que se en-cadenan en las propiedades recordadas, hasta llegara verdades de carácter trivial a cuyos "porqués" nosaben contestar, ya que fueron admitidas en su díacomo resultado de percepciones o de intuiciones di-rectas. Ejemplos varios de cadenas similares condu-cen a los mismos puntos iniciales y es interesanteprocurar que los alumnos dibujen esquemas de enla-ce (gratos) que hagan bien visible la red de propo-siciones que se ha tenido que entretejer para llegardesde tales puntos de partida a los teoremas anali-zados.

Con frecuencia los muchachos, al llegar a estospuntos de partida y al pretender asimismo deducir-los, se enzarzan en "porqués" que cierran círculosviciosos, cuya inconsistencia acaban descubriendoellos mismos. Es el momento de justificar la intro-ducción de axiomas y de distinguirlos de los teore-mas o proposiciones demostrables o reducibles. Elanálisis de algunas de ésta permite adquirir cons-ciencia de su estructura, así como de las relacioneslógicas entre teoremas directos, recíprocos, contra-rios, contrarrecíprocos, de la condiciones necesariasy suficientes, de los lugares geométricos, de los mé-todos de reducción al absurdo, de los teoremas com-puestos y del principio de reciprocidad...

Tal tejido deductivo se establece no sólo caminan-do en sentido regresivo hacia las verdades primiti-vas o axiomas, sino también y muy principalmenteen sentido progresivo para el descubrimiento de nue-vas verdades con las que se espolea la curiosidad in-vestigadora del muchacho a través de motivos de in-terés sistemático u ocasional. La analogía, la induc-ción generalizadora, la inferencia plausible, aporta-rán nuevas fuentes estimulantes a la metodología,ofreciendo verdades presentidas al refrendo deduc-tivo, cuya apetencia aumentará así progresivamente.Aun cuando parezca paradógico, los modelos, las fminas, los films, o simplemente el material didácticomatemático que puede sugerir la misma vida, puedencontribuir poderosamente a la creación de este climade interés deductivo en la edad propicia.

Toda esta participación activa del alumnado en laelaboración metodológica de la ciencia matemáticaa su nivel no puede ser objeto de impaciencias ni deprecipitaciones que fuercen el ritmo natural de alum-bramiento y satisfacción de los primeros deseos e in-tentos deductivos del muchacho. Si los principios sonlentos, los avantes ulteriores son recuperadores e in-cluso a veces sorprendentes. La experiencia metodo-lógica realizada en el curso 1957-58 en el Institutode San Isidro con alumnos de quinto curso se prolon-gó durante más de wl trimestre de clase alterna. Laelaboración de nuevas própOsieiones a partir de la.

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semejanza y del teorema de Pitágoras permitió re-correr de nuevo, con regusto de nuevos detalles deoriginalidad deductiva, buen número de propiedadesya conocidas de los alumnos (teorema de Pitágorasgeneralizado, lugares de puntos cuya suma y cuyadiferencia cuadrados de distancias a dos puntos fijoses constante, potencia, eje y centro radicales) hastadescubrir nuevos lugares geométricos y abordar te-mas que rozaron ya la matemática moderna: gru-pos de movimientos, áreas orientadas, conceptos degrupo, cuerpo y anillo, etc. El grupo de las traslacio-nes en el plano y el que forman los giros y homote-cias con el mismo centro me permitieron estableceruna doble conexión operativa entre vectores planos,con lo que manejaron sin dificultad alguna el campocomplejo. Supuesto admitido el número real, los vec-tores y los números complejos que representan re-sultan así mucho más asequibles que la propia géne-sis del número irracional (que en los ciclos elemen-tales sólo pudo rozarse de pasada) y del que nos ocu-pamos en el ciclo medio superior.

La prolongada experiencia referida me confirmóuna vez más en la idea, defendida con anterioridaden otras ocasiones ante la superioridad y ante miscompañeros de docencia, de que para la penetraciónconsciente en la esencia del método racional o deduc-tivo no se hace necesaria la revisión total del bagajematemático que el alumno ha adquirido por vía in-tuitiva. Basta la adquisición consciente de la calidadracional a través de la actividad deductiva mencio-nada, y, si se quiere, del desarrollo lógico sistemá-tico de algún capítulo de la matemática, que permitaredondear el concepto de ciencia deductiva como te-jido de proposiciones demostrables a partir de cier-tas proposiciones iniciales simplemente admitidas, yelaboración de conceptos complejos a partir de con-ceptos simples indefinibles, enunciados tan sólo comoexpresión de percepciones idealizadas.

La precisión de lenguaje inherente al método ló-gico ha de adquirirse asimismo a través de un pro-ceso que haga sentir al mismo alumno su necesi-dad, y el modo más natural de conseguirlo es fomen-tar el intercambio de ideas entre ellos, y el deseo deconvencerse mutuamente. Las interpretaciones tor-cidas que invariablemente sugieren los enunciados im-precisos o incorrectos obligan a la rectificación y ala precisión consciente. En el librito sobre "Didácticamatemática euristica" tantas veces citado propongovarios procedimientos para despertar esta actividadde afinamiento y precisión de lenguaje matemático.

Por cierto, que al explorar el grado de penetraciónconsciente con que los alumnos calaban en las estruc-turas demostrativas durante la experiencia citada re-gistré algunas respuestas que, por lo sorprendentes,considero de interés consignar aquí. Después de efec-tuado por un alumno el razonamiento que prueba laexistencia del centro radical de tres circunferencias,como punto de concurso obligado de los tres ejes ra-dicales resultantes de asociarlas dos a dos, se meocurrió formular a toda la clase la pregunta: ¿Re-cordáis alguna otra propiedad que guarde algunaanalogía o que se demuestre de manera análoga?Y cuando yo esperaba la alusión a alguno de los pun-tos notables de un triángulo (circuncentro, baricen-tro...) dos alumnos formularon (independientemente)

respuestas aparentemente desconcertantes. Uno deellos se refirió al hecho de que "dos segmentos igua-les a un tercero son iguales entre sí" y el otro (si-multáneamente y sin que influyera, por tanto, sucompañero) al hecho similar de que "dos paralelasa una tercera son paralelas entre sí". También hubovarias alusiones a la analogía con el circuncentro;pero considero notabilísimo el hecho de que los aludi-dos muchachos (por cierto no entre los mejor califi-cados), saltando por encima de la analogía geomé-trica que parece más inmediata (concurrencia de tresrectas lugares de análoga propiedad respecto de pa-res de elementos de una terna), ascendieron a la esen-cia primera de su fundamento lógico común que es,en efecto, la propiedad transitiva de la relación deequivalencia (igualdad de segmentos, igualdad de di-recciones, igualdad de potencias...). Ello prueba queel adolescente, y aun el niño, tiene, con frecuencia,más poder de abstracción que el que se le atribuye.La dificultad estriba en traer a un plano conscientedichas abstracciones y sistematizarlas. Y ésta es pre-cisamente la finalidad epistemológica del ciclo deiniciación racional.

LOS CICLOS SUPERIORES. EL NÚMERO REAL Y LOS LIMI-TES. INICIACIÓN A LA GEOMETRIA ANALÍTICA, AL CÁLCU-

LO Y A LA ESTADÍSTICA.

La Geometría Analítica se inicia en el momentoen que se utilizan las gráficas cartesianas para re-presentar relaciones funcionales, y, por consiguiente,no puede considerarse privativa de los cursos supe-riores de Bachillerato. En mi Seminario didácticodel Instituto de San Isidro he intentado explorarhasta dónde es posible llegar en edades tempranas(primeros cursos del Bachillerato y hasta alumnosde escuelas preparatorias) en el camino de sugeriry de expresar relaciones entre cantidades variables,y especialmente las que ligan las coordenadas de lospuntos de un plano alineados con dos puntos dadosen él. Cuantas experiencias he realizado en tal sen-tido han conducido al mismo resultado : los peque-ños acaban contando los cuadros del plano cuadricu-lado para caracterizar la alineación, consiguiendo ex-presar correctamente la relación que existe entre losnúmeros de cuadros contados en un sentido y en otro.Desde edades muy tempranas puede, pues, utilizarseel plano cartesiano para representar relaciones fun-cionales. Como hemos tenido ocasión de referir an-teriormente, en tercero y cuarto cursos pueden repre-sentarse simultáneamente varias funciones lineales yaun de segundo grado (trinomios) y resolver así sis-temas gráficamente.

Ninguna dificultad suele ofrecer entonces un estu-dio más detenido de los problemas relativos a rectas,así como los de paralelismo, perpendicularidad, án-gulos y distancias en sexto curso; ni tampoco la ofre-ce la obtención de las ecuaciones de los lugares geo-métricos de segundo grado (circunferencia y cóni-cas). Las dificultades didácticas surgen en cuantohay que aplicar el concepto de límite para el cálculode tangentes, áreas, etc., es decir, con las primerasaplicaciones del cálculo.

Consideramos de Indiscutible conveniencia la in-

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troducción de unas nociones de cálculo infinitesimalen el último curso de Bachillerato, ya que fueronlos métodos infinitesimales los que determinaron elenorme progreso técnico logrado desde el siglo xViihasta nuestros días. Pero este cálculo se funda en elconcepto de limite, y éste a su vez en la teoría delnúmero real; y en esta teoría radica la dificultad: lade usar un lenguaje científico que no desmerezcadel nivel de un bachiller y que le sea al mismo tiem-po asequible. Si los mismos matemáticos todavía nose han puesto de acuerdo sobre el modo riguroso deedificar el continuo, nada tiene de extraño que ladificultad suba de punto al pretender construir esteedificio en la mentalidad de un adolescente.

Por anticipado puede considerarse no sólo útil, sinocontraproducente, toda exageración de rigor dogmá-tico en la exposición de la teoría del número real enBachillerato, y hemos de contentarnos con que el ne-cesario empleo de un lenguaje inteligible para el alum-no no le sugiera errores que luego son difíciles dedeshacer. A mi entender, la via más natural de in-troducir el número irracional la suministra la mis-ma medición de magnitudes escalares continuas. An-te la imposibilidad de expresar mediante número ra-cional alguno la medida exacta de la diagonal de uncuadrado de lado unidad, o la longitud de una cir-cunferencia en él inscrita, etc., surge espontáneo eluso de las medidas aproximadas por defecto o porexceso en menos de las unidades decimales de órde-nes sucesivos. En la vida real, en los oficios y en laalta técnica se adopta tan pronto una como otra deestas medidas, según la exactitud deseada, de modoque, en definitiva, lo que la humanidad conoce y ma-neja de cada una de tales medidas son dichos valo-res por defecto o por exceso. Parece, pues, naturalconsiderar las sucesiones indefinidas que constitu-yen tales medidas y adoptarlas como definición demedida exacta. El concepto de exactitud adquiere asídesde el Bachillerato la significación potencial queen definitiva prevalece a lo largo de todo el análisisal manejar en concepto de límite: la posibilidad dehacer el error o diferencia tan pequeño como se quie-ra. Decimos estar en posesión de la medida exactade una cantidad inexpresable racionalmente cuandosabemos el modo de obtener medidas racionales apro-ximadas a ella por exceso y por defecto tan cercanasentre si como se quiera.

En resumen, la vía didáctica más sencilla para in-troducir el número real es el método de las sucesio-nes monótonas convergentes y en particular las su-cesiones de infinitas cifras decimales. Las cortadu-ras o clasificaciones resultan conceptos a nuestro pa-recer excesivamente abstractos para un Bachillera-to, y lo mismo cabe decir de cualquier procedimien-to axiomático basado en las modernas estructuras al-gebraicas. El cálculo con números irracionales se re-duce, con lo dicho, al calculo con sucesiones de nú-meros aproximados que los representan. Para formarla suma, diferencia, producto o cociente de dos nú-meros reales, construiremos sucesiones de sumas, di-ferencias, productos, cocientes obtenidos con los tér-minos correlativos de los datos, ordenándolos en for-ma de que su monotonía y convergencia quede ase-gurada. Se comprende, por lo tanto, el papel esen-cial que desempeñan aquí las leyes de monotonía de

las operaciones, leyes cuya importancia suele desde-ñarse de ordinario en la enseñanza. Todo el cálculocon números aproximados es en rigor un cálculodual por defecto y por exceso obtenido al combinarconvenientemente los pares de datos aproximadospara obtener siempre nuevos pares que contengan elresultado.

De lo dicho se infiere la importancia no sólo prác-tica, sino también teórica, que tiene el cálculo connúmeros aproximados y lo improcedente de su supre-sión en los programas. Con esta convicción los he-mos restituido en los actuales cuestionarios del Ba-chillerato Laboral, cuya determinación cayó íntegrabajo nuestra responsabilidad. Claro es que el enfoqueque nosotros damos a esta teoría de números apro-ximados es bien distinta de la que se le daba en loscursos clásicos de Aritmética y Análisis. En primerlugar entendemos que el objeto primordial de estecálculo es el cultivo de la noción de aproximación,tan necesaria al teórico como al hombre de acción.En segundo lugar consideramos inoperantes las re-glas clásicas usuales para determinar el número decifras exactas del resultado de un cálculo; pues lagrosera acotación del error que suministran deter-mina la pérdida corriente de una cifra por cada ope-ración efectuada, con lo que a las pocas operacionesya no podemos garantizar la exactitud de cifra al-guna del resultado. Se evita este grave inconvenienteen el problema directo mediante el recurso naturalde efectuar, como hemos dicho, las operaciones porduplicado con objeto de obtener aproximaciones pordefecto y por exceso del resultado. El problema in-verso (determinación del número de cifras necesa-rias en los datos para obtener una aproximación pre-fijada en el resultado) tiene mayor dificultad, perotambién se pueden mejorar considerablemente las re-glas al uso mediante sencillos tanteos efectuados conlos datos, haciendo uso de los límites de error rela-tivo (*).

Observaciones análogas a las expuestas con rela-ción a la teoría del número real cabe repetir parala teoría de límites que en el Bachillerato no debe to-davía "epsilonizarse" (permítasenos el uso de esteatrevido neologismo que tiene un significado bien de-finido para todo lector matemático, imposible, sin em-bargo, de resumir en pocas líneas). Puede sustituirseel "epsilonismo" por el manejo de variables infinité-simas. La tendencia a cero es un concepto de fuerteamarre intuitivo que esclarece y simplifica notable-mente los teoremas corrientes sobre límites.

La noción de derivada debe exponerse en conexióncon los conceptos geométricos y físicos que le handado origen (tangentes, velocidades). Sin incurrir eninexactitudes, tampoco debe recargarse la imagina-ción del escolar con exhibición de excepciones erudi-tas que despertarían un escepticismo prematuro ycontraproducente en el principiante. Salvo los ejem-plos de discontinuidades sencillas (saltos bruscos,puntos angulosos) las demás singularidades patoló-gicas de curvas rebuscadas deben descartarse de lasegunda enseñanza (por ejemplo, continuidad sin tan-gente alguna).

(•) V. nuestro artículo Sobre el problema inverso delcálculo aproximado, "Revista Mat. Hispano-Americana",número 10, 1926.

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Hemos defendido en varias ocasiones, y reitera-mos aquí la conveniencia de realzar la ventaja y sen-cillez que el uso de los métodos infinitesimales in-trodujo, presentando algún problema clásico, como elde la determinación de la ecuación de la tangentea una parábola, resuelto a la manera como se tra-taban estos problemas en los tiempos inmediatamen-te anteriores a la invención del cálculo infinitesimal:consideración de raíces dobles de las ecuaciones quedeterminaban los puntos de intersección de las cur-vas con rectas secantes. Los alumnos se dan así cuen-ta de la gran sencillez que introduce el concepto dederivada. La misma observación puede repetirse en loque se refiere al cálculo de áreas de figuras planas,volúmenes de cuerpos geométricos corrientes, etc.

La iniciación al cálculo integral se vinculará asía los problemas que históricamente le dieron origen.No es necesario en Bachillerato llegar a adiestrar alalumno en una minuciosa técnica de derivación ymenos aún de integración. Como ya hemos dicho, lafinalidad específica del Bachillerato es más formati-va que propiamente técnica; pero además es de no-tar que la simple derivación e integración de poli-nomios enteros permite atacar y resolver un númerosuficiente de problemas para que el alumno adquierauna idea clara del papel que el cálculo infinitesimalen las aplicaciones. Es particularmente sugerente ini-ciar alguna lección haciendo observar el hecho de quela expresión que da la longitud de la circunferenciaresulta al derivar la que da el área del círculo, y queasimismo la que expresa el área de la superficie es-férica es la derivada de la que da el volumen de laesfera. Agradable sorpresa constituye para los alum-nos comprobar este hecho y relacionarlo acto segui-do con la posibilidad de cálcular el área del círculopor suma de discos infinitamente delgados y el volu-men de la esfera por suma de hojas esféricas igual-mente finas.

Los motivos de iniciación a la teoría de la probabi-lidad pueden enlazarse, mediante cualquier tema deapuestas conocido (quinielas, juegos de azar, etc.), alcálculo combinatorio necesario para obtener los casosposibles y los probables. Las distribuciones probabi-listicas que interpretan aproximadamente las de fre-cuencia estadística adquirirán un valor más convin-cente si se traducen en experiencias efectuadas real-mente por los alumnos. Por ejemplo, si proponemosa cada alumno efectuar en su casa diez lanzamientosde diez monedas a cara o cruz y anotar en cada lan-zamiento el número de veces que sale cara, se pue-den acumular quinientas experiencias en un grupo decincuenta alumnos, lo que constituye una base esta-dística suficiente para obtener histogramas de distri-bución del número de monedas que han caído caraen cada lanzamiento. Su comparación con la distribu-ción binomial de probabilidades teóricas obtenidas porcálculo combinatorio permitirá el ajuste de una porotra, así como el ajuste con la curva normal de dis-tribución, limite de la binomial para un número in-finito de lanzamientos. Si cada alumno construye elhistograma de sus diez experiencias se verán cincuen-ta histogramas muy diversos; pero si se agrupanseparadamente las experiencias 1. 11 , 2. 3 3. 4 ... de todoslos alumnos se obtendrán sólo diez histogramas queserán mucho más similares. El alumno puede darse

cuenta con estas comparaciones del significado delteorema de Bernouilli Y si forma finalmente el his-tograma de los cincuenta promedios de las diez ex-periencias de cada alumno y compara la dispersiónde este histograma con los de los anteriores se darácuenta de cómo disminuye esta dispersión y de cómoaumenta la precisión al promediar las observaciones.

La comparación de tales histogramas con los queresultan de distribuir las tallas y los pesos de lospropios alumnos (especialmente de los que son de lamisma edad), y aún mejor, con la distribución de lasevaluaciones a ojo de la talla del profesor efectuadaspor los alumnos (*) permitirá sacar jugosas conse-cuencias teóricas sobre la distribución masiva de losfenómenos en los que intervienen gran número decausas y acerca de las aplicaciones de la probabili-dad y la estadística a la teoría de errores.

La elección de parámetros estadísticos para carac-terizar un colectivo, en lo que se refiere a una de-terminada medida (talla, peso, etc.) puede conducir-se eurísticamente iniciando una discusión acerca delnúmero que convendría trasmitir telegráficamentepara dar idea con un solo dato de la talla o del pesode los alumnos de la clase. La elección del promediocomo primer parámetro representativo surge de mo-do natural y espontáneo, aunque no falte quizá quienproponga la llamada "moda" (raramente la mediana).Ampliando el telegrama a dos datos intuyen fácil-mente los alumnos la conveniencia de caracterizarcon el segundo dato el grado de separación o disper-sión del conjunto alrededor de su valor medio y elprimer parámetro que se les ocurre tomar a tal efectoes la separación entre las medidas extremas. Al ha-cerles observar que en tal distancia sólo están repre-sentados los dos alumnos mas alejados del promedioes frecuente la propuesta de promediar los valoresabsolutos de las diferencias con la media. La mediacuadrätica de tales diferencias o "desviación típica"tiene que ser sugerida ante la consideración de losinconvenientes que para el cálculo tiene el uso de va-lores absolutos, por las discontinuidades que intro-ducen. El calculo de correlaciones es de mas difícilconducción euristica, aunque siempre pueden apor-tarse factores de interés en la consideración de co-rrelaciones si se plantean las que existen entre lascalificaciones de los propios alumnos en clases dediferentes asignaturas, según su mayor o menor afi-nidad.

En resumen, la clase como colectivo de sujetos me-dibles en un cierto aspecto y medidores en otro sumi-nistra gran riqueza de situaciones para hacer atrac-tiva la teoría y práctica de la estadística y, en estesentido, dicha disciplina constituye uno de los capí-tulos más privilegiados de toda la enseñanza mate-mática en lo que se refiere a la fácil creación a sualrededor de centros de interés didáctico.

PEDRO PUIG ADAM.

De la R. Academiade Ciencias. Cate-drático del Institu-to de San Isidro yde la Escuela Téc-nica Superior de In-

genieros Indus-triales.

(*) Sugerencia que agradecemos al profesor Kendall.