E",ea"~a Revista Mexicana de Fsica 36 No. 3(1990) -/78-493

La ecuacin de Hamilton-Jacobi para sistemashamiltonianos

G.F. Torres del CastilloDepartamento de Fsica Matemtica, Instituto de Ciencias,

Universidad Autnoma de Puebla,72000 Puebla, Pue.

yDepartamento de Fsica,

Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados, Instituto Politicnico Nacional,Apartado postal 14-740, 07000 Mxico, D.F.

(Recibido el 5 de octubre de 1989; aceptado el 21 de febrero de 1990)

Resumen. Se obtiene la ecuacin de Hamilton-Jacobi directamentede las ecuaciones de Hamilton y se demuestra la equivalencia entreestas dos formulaciones. Se presentan algunas implicaciones del que lahamiltoniana no dependa del tiempo o de alguna coordenada y se indicael uso de la ecuacin de Hamilton-Jacobi en la ptica geomtrica yen lamecnica cuntica as como para obtener las rbitas de cualquier grupocontinuo de transformaciones cannicas.

PACS: 03.20.+i; 42.20.-y; 03.65.-w

1. Introduccin

Las ecuaciones de Hamilton de la mecnica clsica prcticamente no representan pors una gran ventaja computacional sobre las ecuaciones de Lagrange puesto que, apesar de ser ecuaciones diferenciales de primer orden, usualmente es necesario subirel orden de las ecuaciones para poder desacoplarlas. Sin embargo, las ecuaciones deHamilton estn relacionadas con una estructura que, adems de aparecer en formanatural en otros contextos, posee diversas propiedades tiles y de gran alcance [IJ.Una de eslas propiedades proviene de la equivalencia de las ecuaciones de Ilamiltoncon una ecuacin diferencial parcial de primer orden conocida como ecuacin deHamilton o de Hamilton-Jacobi, la cual adems resulta ser lmite de la ecuacin deonda de Schrdinger.

La relacin existente entre una ecuacin diferencial parcial de primer orden y unsistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, como son las ecuacio-nes de Hamilton, es conocida desde la segunda mitad del siglo XVIII y precisamenteen esta relacin se basan los mtodos de solucin de las ecuaciones diferencialesparciales de primer orden establecidos entre 1779 y 1819 en los trabajos de J.L.La.grange, G. Monge y A.L. Cauchy. No obstante, dicha correspondencia comenz aser utilizada en la mecnica varias dcadas ms tarde por W.R. Hamilton y C.G.J.Jacobi.

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La ecuacin de Hamilton.Jacobi se obtiene usualmente haciendo uso de la teorade las transformaciones cannicas que, a su vez, se deriva del principio variacionalque lleva a las ecuaciones de Hamilton (vase, por ejemplo, la Ref. (2]) o direc.tamente de dicho principio variacional (vase, por ejemplo, la Re. [3]). En esteartculo, siguiendo la Re. {l], se presenta una derivacin alternativa de la ecuacinde Hamilton.Jacobi que se basa directamente en las ecuaciones de Hamilton, sinemplear principios variacionales.

En la Seco2, adems de obtener la ecuacin de lIamilton-Jacobi se demuestraque, bajo cierta restriccin, cualquier solucin completa de esta ecuacin da lasolucin de las ecuaciones de Hamilton simplemente calculando derivadas. En laSeco3 se considera el caso en que la funcin hamiltoniana no depende del tiempo ode alguna de las coordenadas, obtenindose la bien conocida relacin entre variablesignorables y cantidades conservadas. Las Secs. 4 y 5 contienen aplicaciones de laecuacin de Hamilton.Jacobi en la ptica geomtrica y en la mecnica cuntica ascomo para determinar las rbitas del grupo generado por cualquier funcin, no ne-cesariamente la hamiltoniana, en el espacio fase de cualquier sistema hamiltoniano.

2. La ecuacin de Hamilton-Jacobi

En la mecnica clsica, en la ptica geomtrica, as como en otras reas, el estadode un sistema puede indicarse mediante los valores de un conjunto de coordenadas{ql, ... 1 qn, PI, ... , Pn}, llamadas cannicas si la evolucin temporal est determi-nada por las ecuaciones de I1amilton:

dq' alldi = api' (i=l, ... ,n) (1 )

donde 1/ = H(q" Pi, t) es una funcin llamada funcin hamiltoniana del sistema.De estas ecuaciones se deduce que

dH aH dq' aH dPi al! al!-=-.-+--+-=-di aq' dt api dt at at (2)

donde, como en lo sucesivo, hay suma implcita sobre cada ndice que aparece re-petido en un mismo trmino.

De las ecuaciones (1) y (2) se sigue que el cambio de las coordenadas cannicasdebido a la evolucin temporal en un intervalo l:J.t es, a primer orden en l:J.t,

. al!D.q' '" -a D.t,

Pi(3a)

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y similarmente

aHM! '" attot, (3b)

as que, representando por l::J.F el cambio de cualquier expresin F durante el in-tervalo 6.t y usando que la resla de diferenciales es la diferencial de la resla (i.e.,tod = dto), se tiene [e!. (11,Ec. (21)1

to(p, dq' - I! dt) '" P, dtoq' + top, dq' - to/l di - I! dtot= d(Pitoq') - toqi dPi+ toPi dq' - toH dt,

puesto que dllt = Odebido a que !lt no depende de las coordenadas o del tiempo.Empleando ahora las Ecs. (3) se ve que

A 'd d' Al! d aH A d al! A dial! d-uq Pi + top, q - u t", --a ut Pi - -a ut q - -a tot tPi ql t

= -dH tot,

luego

to(Pi dq' - H dt) '" d(p,toq; - H tot)

'" d (p, ~:. - H) t.t. (4 )

Puede Dolarse que la primera de estas igualdades, que en apariencia es muy simple(con d y l::J. intercambiando lugaresL es, debido a la independencia lineal de lasdqi, dp Y di, equivalente a las 2n ecuaciones de Hamilton (1). Conviene indicarclaramente la diferencia enlre d y l::J.: en el sentido usado arriba, .. correspondea cambios producidos por la evolucin del sistema en un intervalo ..t como seve de (3a), ..qi y L::1PI son funciones cuyo valor depende del punto del espaciofase donde se evalen (y posiblemente de t), en cambio dqi, dPi Y la diferencialde cualquier otra funcin corresponden a cambios arbitrarios de esas funciones.(Una forma rigurosa de interpretar las relaciones anteriores y una forma ms simplede deducirlas se consigue usando los conceptos de variedad difercnciable, formasdiferenciales y derivadas de Lie que se presentan, por ejemplo, en las Res. [4-61.)

Denotando por () a Pi dq1_ H dt y der ,tando por La p811/{)p -Il, que es pre-cisamente la funcin lagrangiana del sistc;na en funcin de qi, Pi Y t, la expresin (4)tiene la forma

01 - 00", d(Lltot), (5 )

donde 90 es el valor de () en algn punto inicial al tiempo to, 81 es el valor de

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o despus de que el sistema ha evolucionado durante un tiempo ..h a partir deese punto inicial y L1 es el valor de la funcin L en algn punto a lo largo dedicha evolucin (de hecho, escogien~o apropia.damente el punto donde se evalaL, la ecuacin (5) se convierte en una igualda.d exacta). Repitiendo este proceso,siguiendo la evolucin del sistema entre los tiempos to Y tI, ti Y t2,"" tm_1 Ytm ;; t', se tiene en forma anloga a (5)

o, - O, '" d(L,t.t,)O, - O, '" d(L,t.t,)

donde Ok es el valor de Oal tiempo tI;, LI; es el valor de L en un punto de la trayectoriaseguida por el sistema en algn instante entre tk_1 y tI; Y ..tk ;; tk - tk_1' Sumandotodas estas relaciones se obtiene

(6)

Tomando ahora el lmite cuando m -+ 00 y el mximo de los ..tk tiende a cero, conto Y t' fijos, la sumatoria se convierte en la integral de L dt entre to Y t' a lo largode la trayectoria y denotando por qo y Poi los valores de qi y Pi al tiempo to Yporqi/ y PI' los valores correspondientes al tiempo t', de (6) y de las definiciones dadasarriba se obtiene la igualda.d exacta

p/ dq" - H(q",p/.t')dt' - Poidq~+ H(qb,POi,to)dtodS(q",t',q~,to) (7)

con

"S(q'''t',q~,to) '" 1. (Pi dq; - H dt)'o

1.,' ( dq; )= 'o Pi-; - H(q;(t).Pi(t)./) dt(8)

donde q;(t) y Pi(t) que aparecen en la integral son la solucin de las ecuaciones demovimiento (1) tal que q'(/o) = q~. Pi(/o) = POi.En forma anloga a lo indicado conrelacin a. (4), la Ec. (7) no es una identidad que siga del teorema fundamental delclculo.

En la ecuacin (7), dqb representa posibles cambios en las coordenadas qi delsistema en el instante inicial to; es decir, cambios en las condiciones iniciales y,

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similarmente, dq1i corresponde a cambios en las coordenadas del estado final. Loscambios dq~ y dq'l son independientes entre s en el sentido de que, por ejemplo,sin variar las coordenadas q~del estado inicial, se puede llegar a estados finalescon distintas q'l despus de transcurrido el mismo tiempo t' - to1 si se cambianadecuadamente los valores iniciales de las velocidades o de los momentos. En formasimilar existe libertad para cambiar, por ejemplo, el valor del tiempo final t' port' +dt' sin cambiar las coordenadas q~ y q1iYel tiempo inicial iD. Sin embarg~l comose seala ms adelante, en el caso de la ptica geomtrica las coordenadas ql de lospuntos inicial y final estn directamente relacionadas con los tiempos inicial y final,respectivamente, por lo que no se puede variar unas en forma independiente de losotros.

La funcin S definida en (8) se denomina funcin principal de Hamilton. De laEc. (7) se deduce que si S se expresa como funcin de q/I, ti, q~ y to entonces

, asPi == 8q,i'

as-POi == aq~1

,i I ') as-H(q,Pi,t =al"

. asH(q~,POi,tO) == ato'

(9)

donde todas las derivadas parciales estn evaluadas en (q'" t' 1 qb, iD). Si la tercerade estas ecuaciones puede invertirse para expresar q,i en funcin de POi, t' 1 q~ Y to,lo cual es posible localmente si

( a's )del aq,iaq{ < O, (10)

entonces, usando la primera ecuacin en (9), se tiene q'l y p~ como funciones deltiempo y de las condiciones iniciales, es decir, se tiene la solucin de las ecuacionesde movimiento. As, la funcin principal de Hamilton contiene la solucin de lasecuaciones de Hamilton, sin ms ecuaciones diferenciales a resolver. Puesto que Sse defini por la integral (8), cuya ev