LA ECUACION DE UNA RECTA

MATE 3011 – PRESENTACION 5

Ya hemos mencionado

• La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma :

• y = m x + b• Por ejemplo, a la

derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1

Nota: La gráfica tiene tres características distintivas:

su inclinaciónintercepto – yintercepto - x

Noción de pendiente Se describe la inclinación de

una recta con una medida llamada pendiente.

A mayor pendiente, mayor inclinación. (En la figura L1 está más inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente, tomamos dos puntos y calculamos:

Ejemplo Hallar la pendiente de la recta

que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7).

Utilizando la fórmula:

Observemos la figura 4.2 Nota: La pendiente es

positiva, la recta «sube» en el plano (de izquierda a derecha

Pendiente Positiva y Negativa

Ilustramos ambos casos:

Hallar la pendiente Haz un boceto de la recta que pasa

por los dos puntos dados y halla la pendiente.

a) A(-1, 4) and B(3, 2)

b) A(2, 5) and B(-2, -1)

c) A(4, 3) and B(-2, 3)

d) A(4, -1) and B(4, 4) Ilustramos:

Hallar la pendiente (continuación)

2 4 2 1

(a) 3 1 4 2

m

5 1 6 3(b)

2 2 4 2m

Slope of Line (cont’d)3 3 0

(c) 02 4 6

m

(d) La pendiente no está

definida.

Esbozar una recta dada la pendiente

Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a

a) 5/3SOLUCION (a) : • Dado que P(2, 1) está en

la recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.

• Esto nos da un segundo punto Q(5, 6).

• Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

Esbozar una recta dada la pendiente

Esboce la recta que pasa por P(2, 1) y que tiene pendiente igual a

b) -5/3SOLUCION (b) : • Dado que P(2, 1) está en la

recta, podemos obtener otro punto moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia abajo.

• Esto nos da un segundo punto Q(5, - 4).

• Esbozamos la recta uniendo los dos puntos con una línea recta.

Diagrama de diferentes pendientes

Ejemplo: rectas horizontales y

verticalesHallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a(a)el eje de x

(b) el eje de y

SOLUCION:(b)Una recta paralela al eje de x

es una recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4.

(c)Una recta paralela al eje de y es una recta vertical. Su pendiente NO está definida. Su ecuación es x = -3.

Forma Punto-Pendiente Dada la pendiente

de una recta, m, y un punto sobre la recta, P(x1, y1 ),

usamos

y – y1 = m(x – x1) ,

para hallar la ecuación de la recta.

Ejemplo

SOLUCION:• La figura muestra un boceto de la recta.• Para hallar la ecuación necesitamos,

primeramente hallar la pendiente.• =

Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2).

Ejemplo (continuación)Se puede utilizar cualquier de los dos puntos en este paso. Aquí usamos:

y – y1 = m(x – x1)

Forma Pendiente-Intercepto

y = mx + b . El número b es el intercepto en y de la

gráfica. La gráfica es una recta con

pendiente m y que pasa por el punto (0, b) .

Ilustramos:

Slope-Intercept (cont’d)

recta con pendiente (inclinación igual a m

EjemploExprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto.

SOLUCION:

2x – 5y = 8 - 5y = -2x + 8

EjemploDado 2x – 5y = 8 , esboce la gráfica de la ecuación.

SOLUCION: Primeramente, debes clasificar la ecuación. En este caso sabemos que la ecuación es lineal por que el exponente de la variable x y el exponente de la variable y es 1.• Hallar los interceptos:• int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8

• int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8 x = 4

(4, 0)

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas, m1 y m2, son paralelas

si y solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2 .

Dos rectas, m1 y m2, son

perpendiculares si y solo si m1m2 =

-1 ,

(esto es, que una de las pendientes es el recíproco negativo de la otra. )

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Hallar y comparar pendientes:

Pendientes iguales; rectas paralelas.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Hallar y comparar pendientes:

Una pendiente es el recíproco negativo de la otra; rectas perpendiculares.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso. (b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:

Pendientes iguales; rectas paralelas

–x + 2y = -2 2y = x – 2

2x = 4y + 32x – 3 = 4y

EjemploHallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.SOLUCION: • Hallar la forma pendiente intercepto de la

ecuación:• 6x + 3y = 4• 3y = 4 – 6x

• (La pendiente de esta recta es m = -2)• La pendiente de la recta que buscamos es ,

o sea

EjemploHallar la ecuación de la recta que pasa por P(6, -7) y que es perpendicular a 6x + 3y = 4.SOLUCION (continuación): • Con la pendiente de la recta y el punto (6, -

7) podemos hallar la ecuación.• La forma punto-pendiente es y – y1 = m(x –

x1)• Sustituyendo tenemos: y – (-7) = ½ (x – 6)• Simplificando

• 2y – x = -20

Ejemplo (cont.)