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LA ESTIMACION DE RECURSOS MINEROS CON LA ESTADISTICA

1.1. INTRODUCCION:

La estimación de los recursos mineros ha tenido comienzos con técnicas empíricas, o lo que

conocemos hoy por métodos clásicos, que se utiliza para estimar la cantidad de mineral

(tonelaje) existente en el yacimiento, y también ha utilizado la estadística como soporte

para estimar la ley promedio y describir el comportamiento de las leyes (Distribución de

leyes).

Figura 1.1.: Arriba, histograma de leyes de oro del proyecto Haruka. Abajo, CPP de las

leyes de oro por tipo de roca.

Posteriormente se ha implementado el modelo de bloques y la geoestadística. Dos

herramientas que han desplazado a las técnicas anteriores, pues estos infieren una

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estimación de la cantidad de mineral (tonelaje) existente en el yacimiento muchos más

sistemática y una representación de la ley promedio con el menor error posible.

Figura 1.2.: Arriba, Modelo de bloques con su variograma. Abajo, gráfica del diagrama de

rosas.

Con la estadística, a través de los años se han desarrollado varios modelos matemáticos con

la finalidad de representar la distribución de los valores en depósitos de minerales. Los más

simples se basan en el supuesto de que los valores se distribuyen en forma aleatoria (al

azar). Sin embargo en estos modelos basados en la estadística, se ignora la posición relativa

de las muestras y se asume que todos los valores tienen la misma probabilidad de ser

seleccionados. La probable presencia de tendencias o zonas de enriquecimiento en la

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mineralización e continuidad (EFM) son igualmente ignorados. El hecho de que dos

muestras tomadas una muy próxima a la otra guarden cierta correlación, tampoco es

considerado.

En la práctica, la estadística puede utilizarse solamente en etapas preliminares de

exploración, cuando el número de muestras disponibles es relativamente pequeño y las

distancias entre muestras son muy grandes. Solamente bajo estas circunstancias se justifica

el uso de los métodos estadísticos a describirse.

1.2. LA LEY MEDIA Y SU IMPORTANCIA:

La ley media es la representación promedio de un conjunto de leyes de un yacimiento de

mineral. Es de mucha relevancia estimar la ley promedio, ya que de este se deriva, la

viabilidad y rentabilidad del depósito de mineral.

1.3. DETERMINACION DE LA LEY MEDIA:

En las etapas preliminares de exploración resulta importante la estimación del valor medio

(ley, ancho, acumulación, etc.) de un depósito.

El estimador a utilizarse para este depósito variara de acuerdo a la distribución

probabilística que se asuma para la población. Existe dos tipos de distribución

probabilística: La distribución normal y la distribución lognormal.

Ahora, el cálculo de la ley media por métodos estadísticos se realiza con un conjunto de

datos que puede tener una distribución normal o gaussiana o una distribución lognormal.

Por lo general los yacimientos no ferrosos y ferrosos poseen una distribución normal,

mientras que los yacimientos de metales preciosos poseen una distribución lognormal.

En la distribución normal, la ley media se estima con técnicas estadísticas ordinarias, pero

la distribución lognormal se caracteriza por tener una distribución normal logarítmica, es

decir que primero debe calcularse los logaritmos de los diferentes valores, que al volverlos

a analizar recién presentan una distribución normal.

Existen, en general, tres métodos a la hora de investigar si una distribución es normal o

lognormal, que son: Histogramas, la recta de Henri y el Ji-cuadrado. Los dos primeros son

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visuales, es decir no existe ningún control matemático que permita definir el carácter

normal o lognormal de la distribución. Sin embargo el Ji-cuadrado establece dicho carácter

según un análisis estadístico y en función de un determinado nivel de significancia.

1.3.1. DIAGRAMA DE CAJA:

Permite identificar gráficamente la mediana, los cuartiles 1 y 3 (percentiles 25 y

75), mínimo y máximo de una variable.

Sólo es útil para variables cuantitativas.

El eje x permite identificar la población en estudio.

El eje y representa los valores de la variable en estudio.

Figura 1.3.: Diagrama de Caja.

Edad de las personas que se realizaron

angioplastía entre 1980 y 2000

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Figura 1.4.: Diagrama de caja de las leyes de oro del proyecto Haruka.

1.3.2. HISTOGRAMAS:

Permite la representación de la frecuencia de una variable Cuantitativa.

El eje x se refiere a la variable.

El eje y se refiere a la frecuencia (Nº, %).

Cada barra representa la frecuencia de la variable en la población en estudio (o la

muestra).

El histograma se puede construir desde los datos de la tabla de frecuencia de la

variable en estudio.

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Figura 1.5.: Histograma.

Figura 1.6.: Histograma de leyes del proyecto Haruka.

1.3.3. RECTA DE HENRI:

Describe gráficamente la acumulación de una variable Cuantitativa con respecto a

número total de muestras.

El eje x al % de acumulación.

El eje y se refiere a la variable.

La grafica se conoce como curva de frecuencia acumulada.

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Figura 1.7.: Grafica de frecuencia de probabilidad acumulada de las leyes de oro del

proyecto Haruka.

1.4. DISTRIBUCION NORMAL:

Es el modelo Probabilístico más utilizado en estadística. Su función de densidad

probabilística es:

( )

(

)

La distribución normal queda completamente definida por su media µ y su varianza . La

siguiente figura muestra la forma de la distribución normal.

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La distribución normal tiene una campana y es simétrica con respecto a un eje vertical que

pasa por su media.

Nótese de las figuras que 68% de los valores que una variable sigue una distribución

normal se encuentran entre µ - σ y µ + σ y 95% de los valores entre µ - 2σ y µ + 2σ.

Dicho de otra manera:

Gráficamente la distribución normal se distingue:

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Figura 1.8.: Distribución normal de leyes de cobre del proyecto Claudia.

Figura 1.9.: Distribución lognormal de leyes de oro del proyecto Haruka.

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1.5. DISTRIBUCION LOGNORMAL:

La distribución lognormal es una distribución continua caracterizada por la propiedad que

los logaritmos de las observaciones siguen una distribución normal.

Interesa la distribución lognormal porque bastantes conjuntos de observaciones geológicas

siguen muy cerca esta distribución especialmente los elementos preciosos que están

caracterizados por el hecho que, comparados con su valor medio, la mayoría de las

observaciones muestran bajos valores y muy pocas muestras valores altos.

La función de densidad probabilística de la distribución lognormal viene dada por la

expresión:

( )

( )

La media y la varianza de la distribución lognormal vienen dadas por:

( )

𝑓(𝑥)

𝜇 𝑥

𝜎

𝑓(𝑥)

𝛼 𝑌 𝑙𝑛𝑋

𝛽

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La distribución lognormal es siempre sesgada a la derecha. La magnitud del sesgo depende

de la varianza de los logaritmos naturales de las observaciones. Si el valor de es

pequeño, el sesgo también es pequeño y la distribución de frecuencias es casi normal.

Gráficamente la distribución lognormal se distingue:

Figura 2.0.: Distribución normal de leyes de cobre del proyecto Claudia con frecuencia de

probabilidad acumulada.

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Figura 2.1.: Distribución lognormal de leyes de oro del proyecto Haruka con frecuencia de

probabilidad acumulada.

1.6. PRACTICA CALIFICADA:

Determine qué tipo de distribución de leyes tiene el yacimiento Pokomarka, que tiene como

meta principal el zinc. Además grafique el histograma y la curva de frecuencia acumulada

según la siguiente tabla:

Valores de Muestreo Frecuencia N° de Muestras

Frecuencia relativa (%)

Frecuencia Acumulada

Frecuencia Acum. Rela. Li Ls

5 10 1

10 15 3

15 20 2

20 25 5

25 30 6

30 35 9

35 40 11

40 45 10

45 50 7

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50 55 8

55 60 5

60 65 3

65 70 0

70 75 1

75 80 1