Material de apoyo

La evaluación de las matemáticas en el aula

Ing. Higinio Barrón Rodríguez

Educación secundaria

1

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓNSECUNDARIA TÉCNICADIRECCIÓN TÉCNICASUBDIRECCIÓN ACADÉMICAÁREA DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE

2

Contenido

Página

La evaluación en el enfoque tradicional 3

La evaluación en el enfoque actual 4

¿Qué evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

5

- Criterios de evaluación del proceso de enseñanza

5

- Criterios de evaluación referidos a los aprendizajes de los alumnos

5

- Evaluación de habilidades 6- Evaluación de los conocimientos de los alumnos 13

¿Cómo evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

28

Técnicas e instrumentos para realizar la evaluación del aprendizaje

28

- Técnicas de interrogatorio 28- Técnica de la solución de problemas 32- Técnica de productos 36- Técnica de observación 37

¿Cuándo evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

40

- La evaluación diagnóstica o inicial 40- La evaluación formativa o de proceso 40- La evaluación sumativa o de producto 40

Bibliografía 42

3

Introducción

La evaluación educativa en general, y más concretamente la evaluación en matemáticas, es un campo de estudio y debate que representa grandes retos, ya que se requiere construir propuestas que contribuyan a favorecer el desarrollo de habilidades intelectuales, superando aquellos esquemas que reducen a la evaluación como una mera medición del aprendizaje. Así, la evaluación en matemáticas, como elemento de la planeación, no es un elemento aislado y singular, sino que debe contemplarse en conexión con los demás componentes y formar parte de todas las etapas que conforman los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Esta perspectiva ofrece la posibilidad de mirar a la evaluación, no como una mera aplicación de ejercicios o exámenes, sino como parte del proceso de construcción de significados y desarrollo de habilidades intelectuales por parte de los alumnos; como la aplicación de aquello que se aprende en diversas circunstancias de la vida cotidiana. Sin embargo cabe señalar que la evaluación es el elemento del currículo de matemáticas en los distintos niveles de la Educación Básica, que menos modificaciones y progresos ha tenido, cuando otros elementos, como el contenido y la metodología, han sufrido cambios con mayor frecuencia y profundidad.

En este sentido, la evaluación se concibe como un proceso continuo que se debe desarrollar a lo largo de toda la enseñanza, y además debe ser coherente con los propósitos de ésta, es decir la evaluación debe reflejar la forma de enseñanza y el tipo de actividades realizadas en clase por el profesor y en cuanto a los alumnos, tiene que mostrar el grado de dominio alcanzado respecto los contenidos, etcétera.

Los contextos en los que se puede efectuar la evaluación son múltiples, por ejemplo, la observación de los productos, de los procedimientos que usan los alumnos para resolver problemas, las tareas realizadas en casa, sus cuadernos de trabajos, revisar los exámenes y otros materiales escritos y sus participaciones en clase, ya que todo ello nos da evidencias sobre lo que aprenden nuestros alumnos y la manera en que utilizan esos conocimientos.

El reto para los profesores es por un lado, acompañar a sus alumnos en el proceso de aprendizaje, brindándoles situaciones reales donde tengan que aplicar lo aprendido y adquirir otros conocimientos, así como probar diferentes métodos para corregir, calificar y elaborar informes, hasta

4

hallar la mejor manera de describir el conocimiento de matemáticas adquirido por los alumnos.

La evaluación en el enfoque tradicional

En el enfoque tradicional, la evaluación se convierte para el profesor en el principal propósito que norma, en muchas ocasiones, su actividad docente, y la limita a la asignación de calificaciones. No pocas veces la evaluación, concebida así, es utilizada como instrumento de coerción para hacer que el alumno estudie, que aprenda lo que el docente considera importante, aunque muchas veces esos conocimientos son poco útiles para resolver problemas en su vida cotidiana. Los siguientes son algunos aspectos de la evaluación entendida como mera asignación de calificaciones:

- La evaluación sólo es cuantitativa, no cualitativa.- Se analizan sólo las respuestas de los alumnos no así sus procesos y

procedimientos.- Se evalúa la reproducción de lo enseñado, no hay una evaluación de

las habilidades, destrezas y nociones adquiridas en el proceso de aprendizaje.

- Se evalúa al alumno, no al profesor ni a las actividades de enseñanza que éste propone.

- La calificación no refleja lo que el alumno sabe hacer, sino lo que logra reproducir.

Desde esta perspectiva anterior, la evaluación trata de obtener información acerca de los conocimientos de los alumnos sobre las definiciones, fórmulas y procedimientos para resolver algunos problemas rutinarios, al recurrirse sólo a la aplicación de exámenes se dejan de lado las actividades de aprendizaje y no se consideran los procedimientos ni se detectan los errores que frecuentemente cometen los alumnos. A continuación se presenta una tabla de las implicaciones educativas del modelo de evaluación tradicional centrado en las calificaciones:

Modelo de evaluación tradicional (calificaciones)

Fundamentos

Es una evaluación basada en:1. Escalas de puntuación numérica2. Categorías jerárquicas3. Criterios normalizados4. Listas de control

Modalidad técnica El examen es el ritual más extendido, legitimado por una serie de normas y prohibiciones.

Dimensiones evaluables

Se valora solamente el rendimiento del alumno, y nunca las tareas del profesor, los recursos ...

Límites y Con este modelo se limita ostensiblemente la creación personal

5

posibilidades y se estrechan ampliamente los márgenes de libertad individual.

Consecuencias educativas

Existe un aplazamiento permanente del aprendizaje para antes de los exámenes, con marchas forzadas de estudio, memorización de contenidos, fórmulas y definiciones.

Implicaciones cognitivas

Se inhiben los procesos de aprendizaje comprensivo1, habituando psicológicamente a los alumnos a buscar una serie de recompensas externas al propio proceso de aprendizaje.

Enseñanza memorística

La evaluación en el enfoque actual

El principal propósito de la evaluación, se centra actualmente, según las corrientes de aprendizaje, en lo que ocurre en el aula en la interacción entre profesor(a) y los alumnos(as), y esto que va más allá que los meros resultados en los exámenes. Así, una pedagogía diferenciada requiere de cambios importantes en la concepción misma de la evaluación y en el proceso pedagógico. En esta perspectiva la evaluación actual es un proceso sistemático y continuo que proporciona información acerca de conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes de los alumnos(as), del papel que juega el profesor y de las actividades de aprendizaje que se proponen con la finalidad de orientar, regular y mejorar la enseñanza y el aprendizaje. El aprendizaje matemático de los alumnos(as) debe permitir al profesor extraer conclusiones en cuanto a sus necesidades, carencias y deficiencias como conductor y adecuar el proceso de enseñanza al progreso real en la construcción de aprendizajes, así como a las necesidades y dificultades que presentan los alumnos en este proceso.

Una evaluación debe ser algo más que un examen; debe ser un proceso dinámico y continuo. Examinar para calificar es una de las formas más comunes de evaluar. Pero la evaluación es una tarea más amplia y básica, diseñada para conocer qué saben los estudiantes y cómo construyen el razonamiento de las matemáticas, esto podría quedar de manifiesto en las afirmaciones que hacen los profesores, por ejemplo, parece que Luis tiene problemas para realizar estimaciones o Andrea demostró tener mucha intuición cuando resolvía esas actividades de suma y resta. La evaluación es algo más que el establecimiento de conclusiones definitivas. La evaluación es un proceso de observación, de plantear conjeturas y de reformulación constante sobre las estructuras conceptuales de los alumnos(as). A continuación se presenta las implicaciones educativas del modelo crítico (evaluación actual):

Modelo crítico de evaluaciónFundamentos Se enfrenta ante la opinión de un profesional dispuesto a

dialogar y ofrecer argumentos documentados, puntos de vista amplios y consejos prácticos que permitan al alumno reconsiderar los planteamientos y revisar sus tareas a la luz de las evidencias obtenidas

Modalidad técnica El diálogo permanente constituye un ejercicio continuo de

6

1 RICO, LUIS “Seminario de evaluación”. Es aquel que esta encaminado a construir el sentido de la información a partir de datos previos. Tales, España, pp. 86.

revisión común y comprensión colectivaDimensiones evaluables

El profesor debe mantener una actitud abierta y flexible que le permita reconsiderar las valoraciones iniciales ante las réplicas de los alumnos(as)

Límites y posibilidades

Se reconoce la individualidad de cada cuál, el esfuerzo personal, la pluralidad de visiones y la riqueza creativa

Consecuencias educativas

Se sobrepone la calidad del pensamiento y acción ante la cantidad de contenido y la velocidad de resolución. Interesa el aprendizaje comprensivo construido significativamente

Implicaciones cognitivas

Se activan mecanismos de motivación intrínseca, se refuerzan los procesos de exigencia personal y se desarrolla la tolerancia hacia el error

Enseñanza comprensiva

¿Qué evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

La evaluación es parte fundamental del proceso enseñanza y aprendizaje, ya que evaluar es atribuir valor a las cosas y realizar un seguimiento a lo largo del proceso que permita obtener información acerca de cómo se está llevando a cabo con el fin de reajustar la intervención educativa en función de los datos conocidos. Las decisiones que se deben tomar en cuenta tendrán que responder a tres preguntas ya clásicas acerca de ¿qué?, ¿cómo? ¿cuándo evaluar? y ¿para qué evaluar?

En el actual concepto de evaluación, se insiste mucho en que su propósito debe ser tanto la totalidad del proceso de enseñanza y aprendizaje como cada uno de sus elementos, entre los que están incluidos los que se refieren más directamente al rendimiento logrado por los alumnos, pero también otros, como los que conciernen a la organización del aula, a los recursos utilizados, a la metodología seleccionada, a los procedimientos de evaluación empleados y a la intervención del profesor. Para poder realizar dicha evaluación, es evidente que el referente último son los propósitos de la enseñanza de las matemáticas, pero, de modo específico y próximo, serán los propósitos didácticos de los libros que utilizan los alumnos y de los criterios de evaluación en los que se detallan los posibles aspectos susceptibles de evaluarse y que podrían ser divididos en dos apartados: los que hacen referencia más directa al proceso de enseñanza y los que están más relacionados con el alumno y los aprendizajes logrados (Barrón 2001: 47 y 48).

Criterios de evaluación del proceso de enseñanza

La conexión con los conocimientos previos de los alumnos y las alumnas.

Los propósitos y los contenidos propuestos.

7

El acierto y la eficacia en la elección de estrategias, recursos, tipo de actividades, materiales de apoyo utilizados, metodología, etcétera.

La secuencia y organización de los contenidos. La organización de la clase La distribución de espacios y tiempos para cada tarea. Los procedimientos de evaluación empleados. Las relaciones profesor - alumno.

Criterios de evaluación referidos a los aprendizajes de los alumnos

Entre los que tienen relación más directa con los aprendizajes logrados por los alumnos se encuentran los siguientes:

Participación en clase (cooperación, ayuda mutua, planteamiento de preguntas o explicaciones, etcétera).

Estilo de aprendizaje y motivación: preferencias respecto a contenidos, actividades, etc. Modo de enfrentarse a las tareas, refuerzos eficaces, nivel de atención, interés y motivación.

Empleo de procedimientos diversos. Nivel de estrategias utilizadas en el planteamiento y solución de

problemas. Manifestación de actitudes tales como interés, orden, perseverancia,

respeto y valoración de las propuestas de los demás, colaboración, etcétera.

Evaluación de habilidades

Para evaluar atendiendo el enfoque de los actuales programas de matemáticas se deben de tomar en cuenta cuatro aspectos: adquirir conocimientos, desarrollar habilidades y destrezas y fomentar actitudes matemáticas. A continuación se propone una metodología para evaluar habilidades:

a) Análisis de los materiales curriculares

Es necesario hacer una revisión exhaustiva de todos los materiales con los que se trabaja, ya que nos permitirá identificar con mayor precisión la relación directa de los propósitos de la asignatura de matemáticas con las actividades que se proponen y reconocer lo que se tiene que evaluar de manera específica. Asimismo, esta revisión nos permitirá plantear otros ejercicios basados en nuestra experiencia docente y en el conocimiento del proceso de adquisición y desarrollo de habilidades matemáticas.

b) Elaboración de las tablas de contenidos

8

Hacer una revisión general de los contenidos para apreciar la secuencia y el alcance de cada una de las líneas del conocimiento a lo largo de los tres años de la escuela secundaria para conocer la secuencia vertical y horizontal (lo gradual y progresivo de los contenidos) apoyándonos en los programas, y la Secuencia y organización de contenidos. A continuación se presenta una línea del conocimiento que ilustra este planteamiento:

Mapa de los contenidos de aritmética

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADONúmeros naturales: Lectura y escritura, orden y comparación, suma y resta

- Lectura y escritura de números naturales

- Orden y comparación; ubicación en la recta numérica

- Operaciones con números naturales; problemas y aplicaciones diversas (suma y resta)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados

- Revisión de los algoritmos; verificaciones (suma y resta)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados (suma y resta)

- Verificación del grado de adquisición de las operaciones con números naturales, suma y resta y sus algoritmos

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADODivisión de números naturales

- Operaciones con números naturales y aplicaciones diversas (división)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados

- Revisión de los algoritmos; verificaciones (división)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados (división)

- Verificación del grado de adquisición de las operaciones con números naturales; división y sus algoritmos

Factorización de números naturales

- Múltiplos y divisores de un número

- Criterios de divisibilidad usuales (entre 2, 3, 5 y 9) - Números primos y compuestos

- Elaboración de tablas de primos- Factorización en primos de un

número y sus aplicaciones (enumeración de los divisores de un números, cálculo del m. c. d. y m. c. m. de dos o más números, etcétera)

Potencias y raíz cuadrada de números naturales

- Cuadrados y cubos de números

- Elaboración de tablas y cubos; uso de una tabla de cuadrados y de la calculadora para obtener la parte entera de la raíz cuadrada de un número

- Potencias sucesivas de un número, ejercicios y aplicaciones diversas (por ejemplo, construcción de una tabla con las potencias de 2 y de 20, o de 5 y 50 etcétera)

- Orden de magnitud de un número y de un resultado; ejemplos para ilustrar el uso de unidades microscópicas y

9

- Cuadrados prefectos y raíz cuadrada

astronómicas- Notación científica o

exponencial, su uso en la calculadora y en las ciencias - Cálculo de la raíz cuadrada

por diversos métodos

Problemas de conteo

- Problemas variados de conteo; uso de diagramas de árbol; arreglos rectangulares (cartesiano)

- Problemas variados de conteo, en particular, aplicaciones de las reglas de la suma y el producto

Sistemas de numeración

- Ejemplos para ilustrar: la evolución de los sistemas de numeración: sistemas egipcio, romano, maya, etcétera; su razón de ser y los principios en los que se basaban

- La escritura de números en sistemas posicionales con base distinta de diez (por ejemplo, escritura de los primeros números naturales con base de dos)

Números decimales: lectura y escritura, orden y comparación, suma y resta

- Revisión de la noción de número decimal, su uso en la medición y otros contextos familiares

- Lectura y escritura - Operaciones con números

decimales, problemas y aplicaciones diversas (suma y resta)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados

- Revisión de los algoritmos, verificaciones (suma y resta)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados (suma y resta)

- Verificación del grado de adquisición de las operaciones con números decimales; suma y resta y sus algoritmos

- Estimación y acotación de errores, casos sencillos

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADONúmeros decimales: lectura y escritura, orden y comparación, suma y resta

- Cálculo con números truncados y redondeados para aproximar o estimar un resultado o para controlar el resultado obtenido en una calculadora

- Ejemplos de cálculos aproximados: componentes de un cálculo; fuentes de error en un cálculo (errores en los datos o de entrada, errores introducidos por el procedimiento y errores de salida). Ejemplos ilustrativos

Números decimales: multiplicación y división

- Operaciones con decimales y problemas y aplicaciones diversas (multiplicación y división)

- Multiplicación y división de un decimal por 10, 100, 1000, ... equivalencia entre la multiplicación por 0.1, 0.01, 0.001, ... y la división entre 10, 100, 1000, ...

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados (multiplicación y división)

- Práctica del cálculo mental y la estimación de resultados (multiplicación y división)

Números decimales: multiplicaci

- Cálculo de números truncados y redondeados para aproximar o estimar un

10

ón y división

resultado - Operaciones con decimales,

problemas y aplicaciones diversas (multiplicación y división)

- Revisión de los algoritmos, verificaciones y uso de la calculadora; problemas que conducen (multiplicación y división)

- Verificación del grado de adquisición de las operaciones con números decimales; y sus algoritmos (multiplicación y división)

Fracciones: orden, comparación, simplificación a un común denominador, suma y resta

- Revisión de la noción de fracción, sus usos y significados en diversos contextos

- Paso de fracciones decimales, aproximaciones decimales al valor de una fracción

- Fracciones reducibles e irreducibles; simplificación de fracciones; conversión de dos fracciones a un común denominador

- Comparación de dos fracciones previa reducción a un común denominador o realizando la división a mano o con calculadora

- Suma y resta de dos fracciones

- Equivalencia y orden en las fracciones; criterio de la razón cruzada para saber si dos fracciones son equivalentes o no

- Revisión de suma y resta de fracciones, sumas de más de dos fracciones; sumas de más de dos fracciones; sumas y restas combinadas

Fracciones: multiplicación y división

- Situaciones asociadas a la multiplicación de fracciones; algoritmo de la multiplicación

- Reciproco de una fracción y división de fracciones

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADOProporciona- lidad

- Ejemplos para introducir la noción de razón entre dos cantidades y su expresión por medio de un cociente

- Cálculo con porcentajes y sus aplicaciones en la vida cotidiana, por ejemplo, cálculo del 10%, 15%, 25%, etcétera, de una cantidad)

- Elaboración de tablas de aumentos y descuentos en un porcentaje dado (multiplicación por un factor constante en la calculadora)

- Tablas de números o cantidades que varían proporcionalmente: ejemplos diversos; constante o factor de proporcionalidad; utilización de una tabla o una gráfica para explorar si dos cantidades son proporcionales

11

- Problemas de variación proporcional directa

Números con signo: orden y compara- ción, simétrico y valor absoluto

- Ejemplos para introducir los números con signo

- Ubicación en la recta numérica; orden y comparación, simétrico y valor absoluto de un número

Números con signo: suma, resta, multiplicación y división

- Suma y resta de números con signo. Uso de la calculadora (teclas +/-, M+ y M-)

- Revisión de suma y resta de números con signo

- Multiplicación y división de números con signo. Las reglas de los signos

c) Ejemplo de tabla de contenidos donde se advierte la interconexión de las áreas

Para realizar la interconexión de los contenidos es necesario hacer la revisión de cada una de las líneas del conocimiento para establecer secuencias didácticas en cada grado y a lo largo de la educación secundaria. La elaboración de esta tabla no es tarea fácil ya que conlleva todo los programas de estudio. A continuación se presenta un ejemplo de uno de los temas:

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADODivisibilidad y factorización

- Múltiplos de un número

- Divisores de un número

- Múltiplos y divisores de un número

- Criterios de divisibilidad usuales (entre 2, 3, 5 y 9)

- Números primos y compuestos; elaboración de tablas de números primos

- Factorización en primos de un número y sus aplicaciones (enumeración de los divisores de un número, cálculo del m.c.d. y m.c.m. de dos o más números etcétera)

-

- Factorización; extracción de un factor común

TEMA PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADOPotencias y raíz cuadrada

- Cuadrados y cubos de números; elaboración de una tabla de cuadrados y cubos

- Uso de una tabla de cuadrados y de la calculadora

- Cuadrados perfectos y raíz cuadrada

- Potencias sucesivas de en número; ejercicios y aplicaciones diversas

- Leyes de los exponentes y su verificación en algunos casos particulares

- Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos

Conteo

- Problemas variados de conteo: Uso de diagrama de árbol y arreglos rectangulares (cartesiano)

- Problemas variados de conteo, en particular, aplicaciones de las reglas de la suma y el producto

- Uso de diagramas de árbol en la enumeración y descripción de los posibles resultados de un

12

experimento aleatorio; probabilidades de transición (probabilidad utilizando diagrama de árbol) y regla del producto. Aplicaciones

d) Elaboración de tablas de habilidades

Antes que todo lo primero que se tiene que hacer es definir qué es habilidad. El término de habilidad frecuentemente se toma como sinónimo de capacidad; pero “las capacidades son un conjunto de disposiciones de tipo genético que una vez desarrolladas a través de la experiencia que produce el contacto con un entorno culturalmente organizado, darán lugar a las habilidades individuales” (Monereo, 1998: 38), por ejemplo, las capacidades de ver y oír se convierten en habilidades, las desarrollamos para captar detalles del contexto que están más allá de la mera sensación visual o auditiva y adquieren el carácter de percepción. Para que un alumno sea hábil en el desempeño de sus tareas es necesario contar previamente con la capacidad y con el dominio de algunos procedimientos, es decir las habilidades son los saberes adquiridos a partir de nuevas situaciones.

En la propuesta y organización de contenidos (Balbuena C. 2000: 11) se mencionan algunas habilidades que se refieren a los diversos procedimientos cognitivos que ponen en juego los alumnos al aprender, como:

- Calcular . “Establecer relaciones entre las cifras o términos de una operación o de una ecuación para producir o verificar resultados”. Los alumnos deben ser capaces de realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números naturales, decimales, fracciones y números con signo; esto requiere poner en juego los hechos numéricos. Debe tener la habilidad para elegir el método aproximado de cálculo: cálculo mental, lápiz y papel y calculadora.

- Inferir . “Determinar la relación existente entre los datos explícitos o implícitos dados en un texto, figura geométrica, tabla, gráfica o diagrama para resolver un problema”. Los alumnos deben ser capaces de usar los contraejemplos para desechar conjeturas y saber usar modelos y argumentos lógicos para validar y distinguir entre los argumentos válidos los no válidos.

- Comunica r. “Utilizar la simbología y los conceptos matemáticos para interpretar y trasmitir información cualitativa y cuantitativa". Los alumnos deben mostrar la capacidad de usar los lenguajes figural, gráfico, común, tabular y algebraico, así como la notación propia de las matemáticas.

13

- Medir. “Establecer relaciones entre magnitudes para calcular medidas tanto en el plano como en el espacio”. Los alumnos deben ser capaces de utilizar las técnicas de cálculo mental y estimación en mediciones tales como longitudes, áreas, volúmenes, masas, etcétera, así como el uso y selección de unidades de medida adecuadas para realizar mediciones directas e indirectas.

- Imaginar . “Idear trazos, formas y transformaciones geométricas planas y espaciales”. Los alumnos deben ser capaces de establecer correspondencias entre desarrollos planos y los cuerpos, anticipar la superficie que se forma al cortar un cuerpo con un plano dado, visualizar en perspectiva un cuerpo, así como de construir figuras o cuerpos conociendo algunas de sus características.

- Estimar . “Encontrar resultados aproximados de operaciones, ecuaciones y problemas”. Los alumnos deben ser capaces de mostrar el sentido numérico para determinar si los resultados de algunos cálculos y mediciones son razonables de manera rápida en relación a los números y operaciones usadas.

- Generalizar . “Describir regularidades, reconocer patrones y formular procedimientos y resultados”. Los alumnos deben ser capaces de usar las variables para representar las regularidades aritméticas o geométricas, así como otras relaciones matemáticas.

Además de las habilidades anteriores existen otras, planteadas por (Camilloni, Alicia R. W. et al: 1998: 57 y 58)

- Analizar . “Cómo desarrollar una actitud crítica, cómo razonar deductivamente, cómo evaluar ideas e hipótesis, etcétera”.

- Organizar . “Cómo establecer prioridades, cómo disponer de recursos, cómo conseguir que las cosas más importantes estén hechas a tiempo, etcétera”.

- Inventar y crear . “Cómo razonar inductivamente, cómo generar ideas, hipótesis, predicciones, cómo organizar nuevas perspectivas, cómo utilizar analogías, etcétera”.

14

Otra habilidad que es importante es la siguiente:

- Resolver. Aplicar el conocimiento previo a nuevas situaciones no familiares o no rutinarias. Involucra el uso de estrategias como ensayo y error, dibujos, diagramas, modelos, etcétera.

Definidas las habilidades, después se incorporan en una tabla con las actividades en las que se espera que el alumno muestre su capacidad de manejar el contenido del curso. A continuación se presenta una tabla de las actividades, habilidades y contenidos de divisibilidad, factorización, potencias, raíz cuadrada y el conteo a lo largo de los tres grados: Por ejemplo:

Tabla de Actividades / Habilidades

ACTIVIDADES Y HABILIDADES

PRIMER GRADO SEGUNDO GRADO TERCER GRADO

Resolver problemas que den lugar a la divisibilidad entre números (resolver)

Que conduzcan a explorar las relaciones de divisibilidad entre números

Que conduzcan a explorar las relaciones de divisibilidad entre números en distintos contextos

Que impliquen la iniciación al razonamiento deductivo

Dado un número y varias descomposiciones multiplicativas, identificar la que corresponde o no, a dicho número (calcular - comunicar)

Que involucren múltiplos y divisores

Factorización en primos. Cálculo del mcdo mcm de más de 2 números

Factorización de expresiones de estilo

6x -3 = 3 (2x -1)

8x2 + 20x = 4x (2x + 5)

Resolver problemas que den lugar al mcm y al mcd de dos o más números (resolver)

Que impliquen criterios de divisibilidad usuales

Que impliquen el mcm o mcd de dos o más números

Que impliquen en situaciones algebraicas

Dado un patrón numérico de potencias de un número, encontrar un término (inferir)

Que involucren cuadrados o cubos

Sin restricciones Que involucren leyes de los exponentes

Dado un número encontrar su raíz cuadrada (calcular - resolver)

Acotada entre dos números

Algoritmo usual en diferentes contextos

Por varios métodos en diferentes contextos

Resolver problemas de conteo (resolver)

Que impliquen el uso de diagramas de árbol o arreglos rectangulares

Que impliquen el uso de las reglas de la suma y el producto

Que impliquen uso de diagrama de árbol, reglas de la suma y el producto

15

Evaluación de los conocimientos de los alumnos

La evaluación de los alumnos debe centrarse en el reconocimiento de las estructuras conceptuales matemáticas, así como en la demostración de las habilidades, de su destreza y de la actitud hacia la asignatura que aporte información relevante. A continuación se presentan los aspectos que hay que considerar para la evaluación en los alumnos: solución de problemas, comunicación matemática, razonamiento, conceptos, procedimientos, actitudes y destrezas matemáticas (NCTM, 1991: 195):

a) Solución de problemas. La solución de problemas es el enfoque didáctico alrededor del que gira la evaluación en matemáticas. Sirve como medio integrador del conocimiento, como recurso para propiciar la actividad cognitiva necesaria para desarrollar el pensamiento heurístico y otras habilidades. La capacidad de resolver problemas se va desarrollando con el tiempo y los alumnos deben tener la oportunidad de resolver problemas de muy diversos tipos y enfrentarse a situaciones de las ciencias, de la vida cotidiana, matemáticos y ficticios. Para registrar los avances de los alumnos, éstos deben evaluarse de manera continua y sistemática para conocer su capacidad para resolver problemas en diversos contextos.

Algunos de los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas son: la observación, como impresión general o sistemática del alumno, al resolverlos en pequeños grupos o la confrontación y la discusión del grupo; escuchar a los alumnos a comunicarse sus procesos de solución. La respuesta que se dé a los alumnos puede adoptar diversas formas, incluyendo comentarios escritos u orales o calificaciones.

A continuación se mencionan algunos ejemplos de los aspectos que se tiene que tomar en cuenta al resolver problemas:

a.1) Aplicar estrategias para resolver problemas

Encuentra tres números enteros naturales consecutivos cuyo producto sea 17 550.

Los alumnos en esta actividad pueden utilizar las estrategias de tanteo y comparación en una situación de examen. Ya sea en primero y en segundo grado la solución puede ser aritmético y en tercero algebraico. En este tipo de actividades es necesario que los alumnos escriban sus conjeturas y expliquen de forma oral y por escrito el procedimiento matemático qué han ido elaborando, a fin de que su reconstrucción les

16

permita el análisis del mismo y se convierta en un aprendizaje significativo. Otra estrategia es el uso de la calculadora para hacer tanteos en poco tiempo.

Para registrar lo realizado por los alumnos es necesario asignar un puntaje a la observación, de manera individual o grupal, así como al proceso de solución que han desarrollado los estudiantes a lo largo de varias actividades.

a.2) Formular problemas

Una familia de 5 personas viajan en un automóvil de la Ciudad de Guadalajara a Culiacán que está a 750 km de distancia. Si además del gasto de gasolina se consideran los alimentos, ¿cuánto les saldrá el viaje aproximadamente?

Es conveniente que en la formulación de un problema los alumnos perciban si hace falta alguna información necesaria. Tienen que averiguar qué información se necesita para tomar decisiones y qué estimación sería probable para las variables que faltan en el problema. En el problema hay que considerar cuántos kilómetros recorre el automóvil por litro de gasolina, el precio y el gasto de alimentos y el dinero con que se cuente.

Este tipo de problemas se puede trabajar de manera individual o en pequeños grupos, ya que permite a los alumnos discutir sobre las diversas preguntas que se producen y sobre qué información adicional.

a.3) Generalizar soluciones

Demuestra la siguiente afirmación:

La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por 3. Demuéstralo o da un contraejemplo.

Esta actividad puede incluirse en un cuestionario corto o como actividad para resolver en casa. La valoración de esta actividad permite conocer la capacidad de los alumnos para introducir el uso de literales por medio de un lenguaje numérico y diagramático.

La información obtenida cuando los alumnos verbalizan los procesos seguidos resulta también particularmente esclarecedora del aprendizaje

17

producido. Este es uno de los motivos por el que en los materiales de los alumnos se les indique de forma insistente que “expliquen detalladamente” cómo han resuelto, conseguido o realizado determinado ejercicio.

Otra actividad que prepara a los alumnos a percibir patrones y regularidades es la siguiente:

A continuación se muestran los tres primeros diseños de un patrón:

1) Continúa el patrón añadiendo el cuarto y el quinto diseño.

2) ¿Cuántos cuadrados sombreados hay en el cuarto diseño ¿ ¿Y en el

quinto?

3) Describe con tus propias palabras el sexto diseño?

4) ¿Qué relación tienen el primero, el segundo y el tercer término del

patrón numérico con el primero, el segundo y el tercer diseño?

5) ¿Cuáles son el cuarto y el quinto término del patrón numérico?

6) ¿Por qué es importante indicar por qué número empezar al describir

un patrón numérico con una regla?

7) Establece una regla que describa al patrón numérico.

Esta actividad permite explorar la regularidad y con la práctica se puede llegar a la simbolización de la regla a través de una serie de cuestionarios cortos en el aula y en casa. Estas actividades prealgebraicas se deben registrar de acuerdo al avance del desarrollo del proceso de solución a lo largo de la escuela secundaria.

b) Comunicación matemática. Al evaluar la capacidad del alumno para comunicarse se debe prestar atención a la claridad, precisión y propiedad del lenguaje que se utiliza. El uso de las matemáticas para comunicarse implica el conocimiento de la terminología de la asignatura y de los sistemas simbólicos que se utilizan para la comunicación. La

18

capacidad de los alumnos para entender la comunicación del pensamiento tanto en forma oral como escrita y discutir sus ideas con los demás constituye un componente importante de la evaluación, la cual juega un papel más profundo en la comprensión de los conceptos.

La evaluación debe dirigirse a las estructuras conceptuales de los alumnos sobre el lenguaje matemático, sus términos y su sintaxis. Para evaluar la capacidad de los alumnos en cuanto a la comunicación matemática, debe considerarse su exactitud, claridad y precisión y el uso apropiado de términos y símbolos matemáticos. El siguiente ejemplo es una actividad sencilla que ilustra lo anterior:

Imagínate que dos alumnos se están comunicando. Un alumno le dice al otro que dibuje una figura dándole una serie de información de manera que la realice.

Preguntas de los alumnos Comentarios espontáneos

Es una figura de cuatro lados¿Es un cuadrilátero? Un cuadrado

No, es irregular ¿En todos sus lados?Tiene dos pares de lados paralelos

Es un romboide

No, todos los ángulos miden de 90°?

¿Por qué no repite el procedimiento desde el principio?

¿Es un cuadrilátero? Sus 4 ángulos miden de 90° y los lados opuestos son paralelos .

¡Ah¡ es un rectángulo.

En esta actividad también cabe resaltar la importancia de que el alumno formule preguntas para obtener la información que necesita para resolver un problema.

También es importante evaluar la capacidad de los alumnos para comunicarse mediante la tecnología, ya que está en pleno desarrollo y juegan un papel importante en las diversas estrategias que pueden utilizar a través de los medios de comunicación, como: video, software, etcétera. Estos materiales promueven procesos participativos y creativos que rompen con la vieja idea de lo que educativo es solemne y aburrido.

c) Razonamiento matemático. Es natural que los alumnos formulen conjeturas sobre la base de los ejemplos que han visto o manejado y

19

que desarrollen argumentos basados en lo que saben que es cierto. Ampliar la capacidad de razonamiento implica el desarrollo de habilidades intelectuales tales como: inferir, resolver, analizar, generalizar, elaborar argumentos, conjeturar, formular hipótesis, etcétera. Es necesario que los alumnos incrementen sus habilidades para pensar y razonar lógicamente, así como la capacidad para integrar conocimientos en la solución de problemas y en otros aspectos importantes del aprendizaje como el razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, toda evaluación de la capacidad de razonamiento del alumno debe proporcionar evidencias de estos procesos. A continuación se muestran aspectos que se tienen que tomar en cuenta en el razonamiento matemático:

c.1) Razonamiento inductivo

Suma los números en cada fila:

11 + 11 + 2 + 11 + 3 + 3 + 11 + 4 + 6 + 4 + 1

1) ¿Qué observas en los totales?

2) ¿Cuál será la suma en las siguientes filas?

3) ¿Habrá otra manera de resolver el problema?

En este tipo de actividades es importante señalar que mientras más ejemplos realice el alumno arribará con mayor posibilidad a generalizar y cuando sea capaz de explicitar el patrón podrá continuar aplicándolo en casos particulares. Para evaluar las actividades de razonamiento inductivo éstas deben presentarse continuamente a partir de cuestionarios cortos y con gradual grado de complejidad para observar el desarrollo de la habilidad para resolverlos.

c.2) Razonamiento espacial

Observa la siguiente figura y di cuáles de las posteriores afirmaciones son ciertas:

20

1) El volumen del cuerpo es de 3 400 m3.

2) El volumen del cuerpo es 34 dm3.

3) El volumen del cuerpo es 0.034 m3.

4) La base de este cuerpo tiene un volumen de 250 000 cm3.

5) La cuarta parte del volumen del cuerpo es 8 500 000 mm3.

En esta actividad se pretende que los alumnos cuenten los cubos para expresar el volumen. La figura se presta a interpretaciones, ya que hay zonas ocultas donde puede haber cubos o no. Para resolver este tipo de actividades los alumnos tienen que poseer la capacidad de aplicar la imaginación espacial, y la evaluación habrá de considerar los procedimientos que utilizan los alumnos para resolverlos.

c.3) Razonamiento proporcional

Para recorrer 649 kilómetros, un coche consume 50 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros recorrería con 28 litros de gasolina? ¿Cuánta gasolina gasta el coche cada 110 kilómetros?

Las nociones de proporcionalidad y sus consecuencias son centrales en las matemáticas y en las ciencias y las podemos encontrar en campos de la medición, la presentación y tratamiento de la información, el estudio de la variación y la geometría. En el problema anterior el alumno deberá tener la capacidad en comparar razones y se evaluará el procedimiento utilizado. Otro tipo de actividades que permiten el razonamiento proporcional es cuando se pide completar una tabla de manera que haya proporcionalidad entre el primero y el segundo renglón y poco a poco establecer en casos sencillos, la expresión algebraica que relaciona dos cantidades y más adelante la representación algebraica, en la cual el alumno deberá tener la

21

capacidad de manejar los lenguajes: común, algebraico, tabular, figural y el gráfico.

c.4) Razonamiento deductivo utilizando hechos conocidos

¿Cuál es el número desconocido de la expresión 2(6 + 2) = 12 + ?

En esta actividad los alumnos deben explicar sus procesos de razonamiento y que sean capaces de utilizar la primera igualdad numérica para obtener la segunda De la misma manera que el ejemplo anterior se pide trabajar operaciones donde los números han sido sustituidos por letras, ya que son las actividades permanentes en la enseñanza que permiten adquirir seguridad y destreza en el uso de los algoritmos para desarrollar la habilidad en el cálculo mental y la estimación. Es necesario evaluar la capacidad de completar los procedimientos de cálculo y de asignar puntaje a la observación de manera individual y grupal, así como el proceso que han desarrollado a lo largo del ciclo escolar a través de diversas actividades.

c.5) Encontrar las propiedades y estructuras comunes

Se pide a los alumnos que trabajen en pequeños grupos para resolver la siguiente actividad:

Forma todos los cuadrados de diferente tamaño que se pueden construir en la retícula de 5 x 5.

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1) Calcula el perímetro de cada cuadrado

2) Calcula el área de cada cuadrado

La respuesta común de los alumnos es de cuatro cuadrados y no reconocen las siete posibles. En esta actividad los alumnos tienen que tener presentes las propiedades del cuadrado y después efectuar las comparaciones entre las siete figuras. La tarea principal es la de promover el desarrollo de la estructura conceptual y de evaluar la capacidad de comparar conceptos.

c.6) Razonamiento lógico

22

La clase de primer grado de una escuela de adultos hizo una encuesta entre 130 estudiantes para determinar cómo ganan dinero. La encuesta mostró que 45 estudiantes cuidaban niños, 32 repartían periódicos, 28 hacían labores de jardinería y 12 empleos diversos después de las horas de escuela. Cada estudiante que trabaja realiza sólo un tipo de actividad, a excepción de 15 estudiantes que cuidan niños y jardinería. ¿Cuántos estudiantes ganan dinero cuidando niños o haciendo jardinería (o haciendo ambas cosas)? ¿ Cuántos estudiantes no ganan dinero?

Para resolver un problema mediante el razonamiento lógico, los alumnos deben determinar los datos que están relacionados y paso a paso ver las relaciones entre grupos de objetos o de personas para encontrar una solución razonable.

Para evaluar la capacidad de razonamiento lógico, a partir de una estrategia que permita descartar opciones imposibles, considerar alternativas y encontrar la solución, como en este caso es el uso de un diagrama de Venn que sirve para mostrar las relaciones entre las distintas maneras de obtener dinero.

c.7) Razonamiento deductivo

Sabiendo que las figuras 1, 2, 3 y 4 están inscritas en un rectángulo cuyo lado largo mide 3 cm, y el ancho, 2 cm, ¿puedes decir cuál es el área de cada una? Razona tu respuesta.

1) En qué se parecen y se diferencian las figuras 3 y 4 a un rombo?

2) Para calcular el área de las figuras 3 y 4, ¿puedes aplicar la fórmula

del área de un rombo?

23

(3)

(2)(1)

(4)

El alumno debe descubrir la relación que hay entre el área de cada figura y la del rectángulo en el que están inscritas. Con distintos razonamientos, basados en las propiedades geométricas de las figuras dibujadas, es fácil establecer que en los cuatro casos el área de la figura es la mitad de la del rectángulo en el que están inscritas. Una vez descubierta la relación anterior, y por un proceso de generalización, el alumno deberá ser capaz de llegar a deducir que el área de cualquier cuadrilátero que tenga sus diagonales perpendiculares se puede calcular aplicando la fórmula.

d) Conceptos matemáticos. Una comprensión de los conceptos no implica sólo una memorización de definiciones, hechos y teoremas, ni tampoco a la aplicación mecánica de ciertas técnicas y procedimientos sino que engloba una amplia gama de capacidades que se desarrollan a lo largo de varios años. Por ejemplo, un concepto que se inicia en el segundo ciclo de la escuela primaria son las fracciones que va acompañada por el desarrollo del lenguaje y de la notación de fracciones y se amplían más tarde se adquiere el concepto en la escuela secundaria con mayor profundidad en la exploración de las relaciones que se dan entre las fracciones y otros conceptos, como los decimales, etcétera.La evaluación debe centrarse sobre diversos aspectos de la capacidad que tengan los alumnos para describir ejemplos válidos y no válidos, si utiliza modelos, diagramas y símbolos para presentar diversos significados e interpretaciones hasta comparar y contrastar conceptos. A continuación se muestran aspectos que se tienen que tomar en cuenta en los conceptos matemáticos:

d.1) Reconocer diversas interpretaciones de conceptos: utilizar diagramas para representar

24

En esta actividad los alumnos deben ser capaces de representar una fracción en todos los contextos para una amplia comprensión del significado, la cual requiere que pasen de un modelo simbólico a un modelo para representar el concepto; además el concepto puede ampliarse con representaciones de una fracción como decimal y como porcentaje.

d.2) Comparar y contrastar conceptos: identificar ejemplos válidos y no válidos

De los siguientes sólidos, ¿cuáles no son poliedros?

Los alumnos que sean capaces de identificar todas las figuras demuestran saber que un poliedro es un sólido que tiene todas sus caras planas y entienden las relaciones entre los sólidos, así como la observación de las similaridades y diferencias, ya que es importante que desarrollen la habilidad para la representación plana de objetos en el espacio. Todas estas actividades deberán registrase de manera sistemática para ver el avance que tienen los alumnos en su cuaderno de geometría.

d.3) Conectar conceptos

Se llama hexadiamantes a todas las figuras que se pueden formar con 6 triángulos equiláteros, de manera que los triángulos que tienen puntos en común deben tener un lado completo en común.

Forma todos los posibles hexadiamantes con triángulos equiláteros de lado 1 cm. Calcula su área y su perímetro. Construye con ellos distintas figuras y anota el área y el perímetro de cada una de ellas.

Esta actividad permite conectar diferentes conocimientos en conceptos geométricos. Para resolver el problema, los alumnos deben ser capaces de encontrar todos los hexadiamantes posibles tanteando, y deberá considerar iguales aquellos que se obtienen mediante un giro, una simetría, etc., de otro ya obtenido, así como de emplear el perímetro y el área de todos los hexadiamantes encontrados.

25

Es posible formar los 12 hexadiamantes que se muestran a continuación:

e) Procedimientos matemáticos. Los procedimientos matemáticos significa por lo general en el contexto de las matemáticas en la escuela en métodos de cálculo. Los procedimientos no sólo son operaciones, por ejemplo, las construcciones geométricas son procesos, no operaciones. Los alumnos deben saber cuándo aplicar los procedimientos, cómo funcionan y así como entender los conceptos sobre los que se apoya un proceso y la lógica que lo sustenta. La evaluación del conocimiento de los procedimientos los alumnos deben ser capaces de diferenciar los procedimientos que funcionan de los que no funcionan y la capacidad de modificar o crear otros nuevos. A continuación se muestran aspectos que se tienen que tomar en cuenta en los procedimientos matemáticos:

e.1) Reconocer cuándo utilizar un procedimiento

¿Cuánto pesa como mínimo un paquete que puede ser pesado exactamente utilizando únicamente pesas de uno de estos tres tipos: pesas de 20 cg, de 125 cg, o de 1 g.

Para resolver este problema se necesita utilizar el mínimo común múltiplo de 20, 100 y 125. Para evaluar la actividad los alumnos deben de ser capaces de utilizar procedimientos y reconocer que hay que encontrar el m. c. m. o hallar el conjunto de múltiplos y después seleccionar el menor de ellos.

26

Figura 1

Figura 4

Figura 3

Figura 2

Figura 5

Figura 8

Figura 7

Figura 6

Figura 9

Figura 12

Figura 11Figura 10

e.2) Llevar a cabo un procedimiento de forma confiable y eficaz

Observa las siguientes secuencias de números:

I. 0, 7, 14, 21, ...II. 8, 10, 12, 14, 16, ...III. 6, 12, 18, 24, ...IV. 10, 15, 20, 25, ...V. 6, 9, 12, 15, ...

1) ¿Cuáles están formadas con múltiplos de 2? ¿Y de 3?

2) ¿Con múltiplos de qué número está formada la secuencia del inciso

c)?

3 ¿Y la del d) ?¿ Escribe una secuencia que esté formada por múltiplos

de 9 y otra que esté formada por múltiplos comunes de 6 y 24.

4) ¿Qué tienes que hacer para obtenerlas? ¿Puedes escribir el mayor

múltiplo de 5?

Esta actividad permite consolidar el concepto de múltiplo de un número reconociendo y encontrando múltiplos de números dados. Para evaluar si el procedimiento es confiable o eficaz en los alumnos se debe poner atención en la respuesta correcta, así como en la explicación que ellos proporcionen respecto a cómo lo hicieron.

e.3) Reconocer procedimientos correctos e incorrectos

Mariana dice que el modelo representa 0.3, Jorge dice que representa 0.30. Explica si estás de acuerdo con Mariana y Jorge.

27

En este aspecto del procedimiento matemático es importante señalar que el profesor debe analizar los procesos utilizados por los alumnos con la finalidad de que pueda detectar errores en la aplicación de reglas y que ayude a comprender el porqué de su error. La evaluación debe centrarse sobre los procesos que realiza el alumno y no en la respuesta correcta.

e.4) Explicar las razones para los distintos pasos de un procedimiento

Justifica cada uno de los siguientes pasos en la multiplicación: (2x – 6)

(3x + 5)

(2x – 6) (3x + 5) = 2x (3x + 5) – 6 (3x + 5)

= 6x2 + 10x – 18x – 30

= 6x2 + (10 – 18)x – 30

= 6x2 – 8x – 30

La evaluación de los alumnos sobre razones matemáticas pueden ser oral o por escrito, y deben ser capaces de multiplicar monomios, aplicar la propiedad distributiva y de sumar términos semejantes.

Otro ejemplo:

Un agente de seguros recibió una llamada para concertar una cita para la venta de un seguro de automóvil. Para saber en que mes, día, a qué hora y en qué número de calle, descifra los siguientes tableros:

28

Día de la cita:* Es divisible entre: 1, 2, 4, 5, 10 y 20* Es un número terminado en 0

Mes de la cita:* No es múltiplo de 5 y 7* Es número par* Es divisible entre 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Hora de la cita:Hora:* Es múltiplo de 2 y 5Minuto:* Es divisible entre: 1, 3, 5, 9, 15 y 45

Matamoros No. _____* Es de dos cifras* La cifra de las unidades es 6* La cifra de las decenas es un numero impar* Es múltiplo de 2, 3, 6 y 12

e.5) Generar procedimientos nuevos o modificar los ya conocidos

Construye un rombo cuya diagonal más corta mide 3 cm, sabiendo que la diagonal que se muestra es la más larga.

En esta actividad los alumnos deben de saber utilizar la regla y el compás para resolverla ya sea trazando la mediatriz del segmento. Para evaluar esta actividad los alumnos deben ser capaces de explicar y describir de manera oral y escrita de manera lógica el procedimiento.

f) Actitud matemática. Esta actitud se refiere a la tendencia a pensar y actuar de forma positiva. La actitud matemática se manifiesta cuando el alumno realiza las tareas, deseo de explorar y de búsqueda hacia caminos alternativos, perseverancia, interés, confianza, curiosidad y la manera en que refleja sus propias ideas.La evaluación de la actitud de los alumnos debe centrarse sobre la información de la disposición que tengan de todos los aspectos de la solución de problemas acerca de sus ideas y acciones. A continuación se muestra algunos aspectos deben tomarse en cuenta en las actitudes matemáticas en los alumnos:

Acción observada:

I. Confianza

a) Tiene disposición para explicar sus puntos de vista y defender dicha

explicación.

b) Es participativo en la solución de problemas.

c) Colabora en el trabajo en equipo e individual.

d) Muestra curiosidad en el uso de diferentes procedimientos al resolver

un problema.

e) Se muestra deseoso de preguntar.

29

f) Ayuda a los demás con las tareas.

g) Es perseverante al resolver un problema.

h) Entrega puntualmente las tareas o trabajos extraclase.

II. Flexibilidad

i) Resuelve los problemas de más de una manera.

j) Aplica la reflexión critica (que tan satisfecho queda del trabajo

realizado).

g) Destreza matemática. Las destrezas son las capacidades y hábitos que son importantes en la escuela secundaria, ya que permiten en los alumnos adquirir seguridad y perfeccionar en el uso de los instrumentos de dibujo y medición en situaciones que favorezcan la práctica de trazos geométricos, medir y calcular, así como de facilitar la exploración de la propiedades de las figuras y en el uso de la calculadora.

La evaluación de las destrezas en los trazos geométricos debe valorar el avance gradual que tienen los alumnos en el manejo de los instrumentos y en el uso de la calculadora. A continuación se muestran dos ejemplos:

1) Indica en tu cuaderno la secuencia de teclas de tu calculadora para encontrar el valor de las siguientes expresiones:

a) 1350 – 758 / – 3

b) (29 – 76) x 17 + 225 (– 34)

¿Pueden ser útiles las teclas M+ , M- y MR ? Investiga sobre ello.

2) Dibuja, la bisectriz del ángulo A y la bisectriz del ángulo B.

30

A

B

3) Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en las bandas QP y PN golpee a la bola B.

4) Dibuja las figuras simétricas respecto al eje e:

¿Cómo evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

Sí se entiende como un seguimiento del proceso de enseñanza y aprendizaje para ajustar la intervención del profesor, ¿se puede ésta plantear como una mera constatación de productos finales: respuestas memorizadas, algoritmos aprendidos o resultados correctos a problemas planteados?; ¿resultan suficientes para valorar el proceso educativo las técnicas empleadas tradicionalmente al finalizar una unidad didáctica: controles orales o escritos? ¿Qué hacer entonces?

Parece necesario aplicar técnicas o procedimientos que permitan realizar una evaluación a lo largo de todo el proceso y que no atienda exclusivamente a las conductas finales, sino que también proporcione información sobre del desarrollo de la construcción de los aprendizajes por parte de los alumnos.

Pero, ¿son necesarias actividades diseñadas específicamente para tal fin o, de otro modo, se puede obtener esa información a través de las propias actividades de aprendizaje realizadas? Aunque se diseñen actividades específicas de evaluación, se deben tener siempre presente que “la característica fundamental de la evaluación formativa es que en ella la recolección de los datos pertinentes se realiza durante la propia

31

B

A

e

secuencia de enseñanza; es decir, se evalúa a la vez que se enseña”. No obstante es necesaria la utilización de ciertos instrumentos y técnicas que permitan obtener y registrar los datos deseados para realizar una evaluación del aprendizaje.

Técnicas e instrumentos para realizar la evaluación del aprendizaje

La técnica es un procedimiento mediante el cual se lleva a cabo la evaluación del aprendizaje y el instrumento es el medio que el profesor obtiene la información. En cada técnica se identifican instrumentos que se pueden utilizar en distintos momentos de la evaluación.

Técnicas

Para realizar la evaluación del aprendizaje pueden aplicarse en cuatro tipos de técnicas :

1) Técnica de interrogatorio

Esta técnica consiste en aplicar todos aquellos procedimientos que dan información acerca de los alumnos de manera escrita u oral, y se evalúa básicamente el área cognoscitiva. A continuación se mencionan algunos instrumentos:a) Cuestionario. Se integra con preguntas previamente planeadas

sobre el contenido que se pretende explorar. Las preguntas pueden ser abiertas o cerradas; las abiertas son aquellos en las que los alumnos tienen la posibilidad para responder libremente y las cerradas son las que los alumnos deben de responder sobre lo que se le cuestiona. Por ejemplo, son las de opción múltiple e identificación, las preguntas no deben estar relacionadas al conocimiento de definiciones y significados sino a proponer habilidades para comprender, interpretar y valorar ideas matemáticas. A continuación se presenta un ejemplo de un cuestionario de preguntas abiertas:

Los planetas solitarios

1) La columna 2 muestra la masa de cada planeta en comparación con la masa de la Tierra. Ordena las masas de menor a mayor:

32

Planeta

Masa comparada

con la Tierra

Distancia del Sol (millas)

Distancia del Sol

comparada con la Tierra

Día (h)

Duración de un año comparado

con la Tierra

Mercurio 0.0553 3.59 x 107 0.39 1407.6 0.24Venus 0.8150 6.72 x 107 0.72 5832.2 0.62Marte 0.1070 1.42 x 108 1.53 24.6 1.88Jupiter 317.89 4.84 x 108 5.21 9.9 11.86Saturno 95.18 8.87 x 108 9.55 10.7 29.46Urano 14.54 1.78 x 109 19.20 17.2 84.01Neptuno 17.15 2.79 x 109 30.10 16.1 164.76Plutón 0.002 3.67 x 109 39.46 153.3 247.65

Escoge un planeta. Usa los datos del planeta seleccionado para contestar las siguientes preguntas:

2) Escribe la distancia entre el planeta y el Sol en notación usual, donde d = distancia promedio entre la Tierra y el Sol. Usa los datos sobre la distancia entre el planeta y el Sol (columna 3 y 4) para escribir una ecuación que puedas resolver para calcular la distancia entre la Tierra y el Sol.

3) Resuelve la ecuación que escribiste en la pregunta 2. ¿Cuál es la distancia entre la Tierra y el Sol que más se aproxima a miles de millones? Escribe tu respuesta tanto en notación científica como en notación usual.4) El periodo de rotación de la Tierra es de 23.9 horas. ¿En qué proporción es más largo o más corto un “día” en el planeta que elegiste en comparación con la Tierra?

5) El periodo de traslación de la Tierra (la duración de un año terrestre) es de 365.3 días. ¿Cuál es la duración de un año en el planeta seleccionado en días terrestres?

6) Escribe un párrafo que compare ese planeta con la Tierra.

b) Entrevista. Este instrumento permite obtener información por interrogatorio directo y puede facilitar información imprescindible sobre la situación individual de cada uno de los alumnos, en lo que se refiere a actitud hacia la asignatura, grado de confianza en sí mismo, dificultades personales, intereses, etcétera, y favorece la interacción alumno - profesor incrementando el grado de confianza entre ambos.

33

El núcleo es un conjunto de preguntas (esencialmente un cuestionario). La entrevista puede ser de dos tipos: abiertas y cerradas:

Una entrevista abierta el entrevistador tiene amplia libertad para hacer las preguntas o para sus intervenciones, permitiéndose toda la flexibilidad necesaria en cada caso particular. Por ejemplo se pueden hacer preguntas como las siguientes:

¿Cómo lo hiciste ...?

¿Qué intentabas cuando ...?

¿Cómo encontraste que ...?

¿Cómo decidiste si ...?

¿Qué piensas de ...?

¿Estás seguro de que ...?

¿Pueden describir ...?

¿Cómo supiste que ...?

Una entrevista cerrada las preguntas ya están previstas, tanto como lo están el orden y la forma de plantearlas. Por ejemplo, en matemáticas se plantean preguntas como las siguientes:

• Cuando el alumno intenta comprender el problema:

¿Qué se pregunta en el problema?

¿Cuáles son los datos y la condiciones importantes del problema?

¿Necesitas alguna información que no esté dada en el problema?

¿Hay algo que no entiendes en el problema?

• Cuando el alumno trata de busca la solución de problemas:

¿Qué estrategias has usado?

¿Qué crees que te ayudará a encontrar la solución?

¿Has pensado en usar otras estrategias? ¿Cuáles?

¿Dónde está la dificultad del problema?

¿Cómo crees que puedes superarla?

34

• Cuando el alumno da una respuesta al problema:

¿Cómo llegaste a la respuesta?

¿Estás seguro de qué ésta es la respuesta del problema?. ¿cómo sabes

que es correcta?

¿Piensas que es importante comprobar tus respuestas?

¿El problema se parece a otros que has resuelto?

¿Cómo te sentiste cuando encontraste la solución?

c) Autoevaluación. Consiste en que los alumnos de una valoración del desempeño que a desarrollado y ayuda a intercambiar puntos de vista. La valoración está condicionada al grado de madurez y al conocimiento que de sí mismo tenga el alumno, a esta evaluación se la denomina individual, es decir, este tipo de evaluación sirve a los alumnos para reconocer sus avances, logros y dificultades; analizar su situación individual y desarrollar una actitud crítica y reflexiva. Las actividades en el aula, los proyectos de trabajo, las discusiones y exposiciones y otras actividades sirven como referente en la autoevaluación. Por ejemplo:

NOMBRE______________________________________ FECHA:_______________

1) Mi asistencia a clases ha sido de ____ %.

2) Del total de los trabajos solicitados he entregado un _____ %.

3) Del total de los trabajos solicitados he entregado un _____ %.

4) Mi puntualidad en asistencia y entrega de trabajos ha sido ________________.

5) Considero que las habilidades que debo desarrollar más son: ___________ .

6) Mis mejores habilidades son __________.

7) La calidad en los trabajos que he entregado es ____________________.

35

8) Mi trabajo en equipo ha sido: _________.

d) Coevaluación. Se refiere a la valoración grupal y entre parejas que realizan los alumnos de su propio trabajo.

e) Corrección de los propios procedimientos utilizados. Es importante que los alumnos corrijan los procedimientos empleados al resolver una actividad, ya sea por medio de equipos, individual y grupal, que permita observar los errores frecuentes.

2) Técnica de la solución de problemas

Esta técnica es la que permite evaluar, conocimientos, procedimientos, habilidades, destrezas y actitudes de los alumnos. Las actividades y problemas que se presentan a los alumnos deben partir de nociones, conceptos y procedimientos para valorar el dominio y el pensamiento escrito, así como del reconocimiento de la secuencia de un procedimiento eficaz. Enfrentar a los alumnos a situaciones en las que tengan que poner en práctica los contenidos aprendidos y su capacidad de aplicación. Las pruebas escritas son el instrumento que tradicionalmente se ha empleado, pero de su diseño depende que sólo sirvan para evaluar conceptos, o que también sean útiles para evaluar procedimientos e incluso actitudes. En esta técnica pueden usarse los siguientes instrumentos:

a) Exámenes con reactivos de opción múltiple. Son enunciados interrogativos a los que se debe responder eligiendo una respuesta correcta de entre una serie de opciones; las respuestas incorrectas deben reflejar errores previsibles que cometen los alumnos. Por ejemplo se muestran ocho reactivos relacionados con las habilidades anteriormente definidas: la habilidad de resolver en los reactivos 1 y 2, la habilidad de imaginar en los reactivos 3 y 4, la habilidad de estimar en el reactivo 5, la habilidad de inferir en el reactivo 6, la habilidad de calcular en los reactivos 7 y 8.

1. 2.

36

En la primera fase de un torneo de fútbol, los cuatro equipos participantes se van a enfrentar todos contra todos. ¿Cuántos partidos se jugarán en esta fase de la competencia?

¿Cuántos caminos posibles se pueden elegir para ir de A a B?

A B

A) 4B) 6C) 7D) 8

A) 7B) 8C) 9D) 10

3.

A) 4B) 6C) 10D) 12

4.

5.

A) 45 %B) 50 %C) 65 %D) 95 %

6.

A) (- 8, 2)B) (- 2, 4)C) ( 2, 8)D) ( 4, 2)

37

¿Con cuál desarrollo plano formas un cubo?

Imagina que tienes 27 cubitos de 1 cm3 de volumen y que con ellos formas un cubo de 3 x 3 x 3. Si ya acomodados los pintas de amarillo, ¿cuántos cubitos resultan teniendo dos caras pintadas?

Calcula qué porcentaje aproximado de la figura está sombreada:

Los vértices del triángulo ABC son A(- 4, 2), B(- 3, 4) y C(- 2, 2). Se traslada este triángulo. Las nuevas coordenadas del punto A son (2, 2) y las del punto B son (3, 4). ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del punto C?

7.

A) 1 ó 2B) 2 ó 3C) 3 ó 4D) 4 ó 5

8.

A) 210.00 x (3)B) (335.50 x 3) – 210.00C) (335.50 – 210.00) x 3D) (3 – 210.00) x 335.50

b) Exámenes de preguntas y respuestas abiertas. Este instrumento contiene preguntas en los que los alumnos deben construir las respuestas utilizando el estilo propio, considerando el carácter crítico con las palabras o términos que considere más adecuados. Es importante precisar la extensión y profundidad con que deba trabajarse la pregunta de acuerdo a los conocimientos que poseen los alumnos. Por ejemplo:

Corta y compara

1) Dibuja un rectángulo de 4 u por 6 u en el papel cuadriculado. Encuentra su perímetro y su área.

2) Recorta el rectángulo y luego córtalo a la mitad. Halla los perímetros de las dos piezas y súmalos. ¿Es la suma de los perímetros igual al perímetro del rectángulo original?

3) Halla las áreas de las dos piezas y súmalas. ¿Es la suma de las áreas igual al área del rectángulo original?

4) Reacomoda las piezas para formar un rectángulo diferente. ¿Cómo se compara su perímetro y área con los del rectángulo que dibujaste en la pregunta 1?

Otro ejemplo:

38

Coloca los dígitos del 1 al 5 de tal manera que se obtenga la mayor suma posible en los siguientes cuadritos:

. + . ¿Cuál son los dígitos del tercer cuadrito a partir de la izquierda?

Daniel compró 3 pares de zapatos que cuestan $ 335.50 cada par, los cuales estaban en oferta y cada par le costó $ 210.00. ¿Cuál expresión describe la cantidad final de su compra?

6 u

4 u

Los lados del cuadrado que se muestra en el geoplano miden 1 unidad de longitud (1 u) y su área es de 1 unidad cuadrada (1 u2).

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1) Dibuja varios cuadrados con las siguientes áreas: 1, 4, 16 y 25 unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud de los lados de cada uno cuadrados dibujados?

2) ¿Se puede dibujar un cuadrado con un área de 2 unidades cuadradas? Justifica tu respuesta.

3) Dibuja un cuadrado con un área de 8 unidades cuadradas. Calcula la longitud aproximada de un lado.

4) Explica la diferencia entre los cuadrados con áreas de 1, 4, 9, 16 y 25 unidades cuadradas y el cuadrado con área de 8 unidades cuadradas.

c) Exámenes de libro abierto. Este tipo de examen se aplica muy poco en nuestras prácticas educativas. La idea es que los alumnos incorporen los textos a la situación de examen.

3.- Técnica de productos

Esta técnica se refiere a los productos obtenidos del proceso de aprendizaje, los cuales deben demostrar las habilidades que los alumnos han desarrollado y de la comparación y contrastación de conceptos que se adquieren a través de la información que ha integrado. Los instrumentos que se utilizan es esta técnica dependen del propósito, tiempo para su elaboración y de las líneas del conocimiento, éstos son:

a) Proyectos. Este instrumento permite que los alumnos realicen trabajo de manera independiente y grupal, donde se muestra la capacidad de trabajar sin la orientación del profesor. Comúnmente los proyectos que se recomiendan en un grupo, los alumnos pueden

39

documentarse a partir de libros de textos y de apoyarse de una biblioteca escolar, así como de la orientación de los padres de familia y de otros maestros. Los aspectos que se deben tomar en cuenta en los proyectos: presentación y la limpieza, puntualidad de la entrega, consulta de fuentes, el desarrollo del contenido, la búsqueda y sistematización de la información, el planteamiento de problemas, las alternativas que proponen los alumnos, los procedimientos empleados, la creatividad, la imaginación y las actitudes matemáticas.

b) Reportes. Es la información que los alumnos presentan de manera escrita de alguna actividad, ya sea de consulta o investigación de algún contenido específico y cualquier actividad que es parte del proceso enseñanza y aprendizaje de acuerdo a los propósitos previstos. Por ejemplo:

Para sumar fracciones puedes usar un nomograma que es un gráfico a base de líneas trazadas de forma que su intersección con otras líneas correspondientes a escalas numéricas, permite leer en éstas la solución de cálculos. El nomograma que se muestra es uno muy simple para sumar tercios.

Las tres líneas son rectas numéricas divididas en intervalos iguales. La recta numérica del medio muestra el doble de números que las otras dos. Las fracciones que vas a sumar se hallan en las rectas exteriores. La recta que las une cortará la recta del medio por la suma de las fracciones. Dibuja un nomograma para sumar fracciones de 0 1 con denominadores de 2, 4, 8 ó 16. Usa los materiales que desees. Demuestra cómo se usa.

c) Cuaderno de apuntes. Es instrumento que permite apreciar el grado de dominio y los avances que los alumnos han desarrollado en un ciclo escolar en cuanto a: trazos de figuras, los métodos de

40

0 13

23

1

0 113

23

1 + = 1 13

13

0 23

2113

13

23

1

solución de los problemas y actividades, la secuencia de los procedimientos, etcétera.

El análisis de los trabajos realizados, incluido el cuaderno-diario de clase, resulta un medio muy sencillo y muy rico de información para el profesor, puesto que le permite comprobar no sólo el grado de adquisición de los aprendizajes y su aplicación efectiva, sino también el proceso seguido en su construcción, el nivel de generalización de sus conclusiones, y el empleo eficaz de estrategias propias. Asimismo, en ellos quedan reflejadas actitudes como las de orden, limpieza, perseverancia, recogida de aportaciones hechas por los compañeros y compañeras, corrección de errores, etcétera.

4.- Técnica de observación

Esta técnica permite evaluar aspectos como el afectivo y el psicomotor, los cuales difícilmente se evaluarían con otro tipo de técnica y permite conocer, en algunos casos, el origen de sus aciertos y errores. Los instrumentos utilizados, son los siguientes:

a) Lista de control. Este instrumento es la de registrar la información que arrojan todos los instrumentos utilizados por el profesor. Se requiere de una delimitación previa de las categorías del comportamiento a observar, así como de la preparación de los aspectos que se van a registrar. Para construir una lista de control se necesitan realizar tres pasos básicos:

- Elaborar un listado de los aspectos que se quiere observar de los procedimientos, habilidades, etcétera, teniendo en cuenta los criterios de evaluación establecidos y los propósitos.

- Establecer un orden lógico de las secuencias de las actividades; el orden puede no estar tan estricto para el caso de la evaluación de productos.

- Organizar y dar presentación a la lista de tal manera que se facilite sus uso.

Se sugiere la siguiente tabla de doble entrada que es un instrumento sencillo y eficaz para ir registrando la información obtenida de los alumnos:

No.

Nombre del alumno

Aspectos a evaluarParticipación en clase

Trabajos de los alumnos

Examen

Autoevalua-ción

1

41

234..

b) Participación. Se utiliza en la lista de control en el cual se registra la frecuencia con que los alumnos aportan verbalmente ideas relacionadas con el tema, presentan información adicional a la clase, plantean un ejemplo, solucionan el problema o interrogante en cuestión, aplican lo aprendido a un problema real, etc. Permite observar cómo los alumnos logra integrar, exponer, organizar y analizar la información. Se deberán establecer los criterios que el docente utilizará para evaluar la exposición oral, los cuales son: interrelación de las ideas principales, manejo de la información, organización de la exposición, uso del lenguaje y ejemplos, uso de apoyos didácticos, etcétera. También puede llevarse un registro del avance de los estudiantes en relación a la forma como se desarrollan para expresar sus ideas. Ver escalas gráficas. Asimismo, se establecerán los criterios para que los alumnos preparen su exposición:

Definir el propósito, naturaleza y límites de la exposición. Señalar cuál es el tema central que deberá abordarse. Indicar la profundidad con que deberán tratarse los temas.

c) Escala de evaluación. Este instrumento es conocido también como "escala estimativa cualitativas". Consiste en una serie de frases u oraciones precedidas por una gradación donde el profesor marca según su apreciación, el nivel en que se encuentra los alumnos, en relación al estado ideal de una característica específica. Dentro de las escalas se pueden distinguir varios tipos: escalas formales, escalas tipo diferencial semántico, escalas de estimación y escalas de producción escolar. El profesor debe explicitarse el significado de cada número de la escala. De este instrumento se presentan algunas variantes:

c.1) Escalas Numéricas. Los rasgos a evaluar se enuncian en oraciones precedidas de valores numéricos (se aconseja un máximo de 10 puntos), esto resulta más fácil pero poco informativo si no se cuenta con buenos descriptores. Por ejemplo:

Para evaluar el proceso de solución de problemas podemos utilizar los siguientes rasgos:

Puntaje Trabajo mostrado por los alumnos

42

0 - 1 No realizó trabajo2 - 3 Identifica los datos del problema4 - 5 Utiliza los datos del problema, pero no son

claros los procedimientos 6 - 7 Realiza el plan, pero es incompleto8 - 9 Resuelve el problema, pero hay un error

en los cálculos o la respuesta es incompleta

10 Solución correcta y completa

c.2) Escalas Gráficas. Se marca una posición sobre una línea continua, de acuerdo a la apreciación que se haga del hecho evaluado, en relación con la escala predeterminada. Por ejemplo:

INSTRUCCIONES: Marque con una paloma para indicar que el alumno realizó la actividad y con una (X) que no la realizó:

Conocimientos y habilidades, proceso de solución de problemas, destrezas y actitudes

Si No

Sus conocimientos matemáticos son deficientes en: comunicación, razonamiento y procedimientosSus habilidades matemáticas son deficientes Intenta comprender de qué trata un problemaRelaciona los datos en la solución de un problemaUtiliza más de dos o más estrategias en la solución de un problemaVerifica la soluciónManeja los instrumentos de dibujoManeja la calculadoraManeja instrumentos de mediciónLe gusta resolver problemasTrabaja en colaboración con otrosEs perseverante

c.3) Escalas Comparativas. Se recomienda utilizar estas escalas para comparar productos con varias muestras de diferente calidad. Las escalas deben definirse con anticipación. Por ejemplo:

Aspectos PuntajeIntegración del alumno al trabajo en equipo

(5)-Excelente; (4)-Muy Bien; (3) Bien; (2)-Regular; (1)-Mal.

Participación del alumno en clase

(5)-Siempre; (4)-Casi siempre; (3)-Con frecuencia; (2)-Pocas veces; (1) Nunca.

¿Cuándo evaluar en el proceso de aprendizaje de los alumnos?

43

A partir de lo dispuesto en el Acuerdo No. 200 para evaluar el aprendizaje en educación primaria, secundaria y normal, las evaluaciones del aprendizaje son parciales y se realizará bimestralmente.

Si el propósito de la evaluación es orientar y reajustar constantemente el proceso educativo, ello sólo será posible con una actitud de evaluación sostenida a lo largo de éste. Sin embargo, cabe mencionar algunos momentos claves. Se puede hablar de tres etapas referenciales a lo largo de todo el proceso:

a) La evaluación diagnóstica o inicial, que es la que se realiza antes de comenzar el proceso de enseñanza y aprendizaje para conocer el punto de partida de los alumnos y las alumnas. Esta evaluación informa acerca de las capacidades (conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes) que posee un alumno o alumna para abordar un nuevo contenido y permite al profesor realizar una planeación de la enseñanza más ajustada a las necesidades de aprendizaje.

b) La evaluación formativa o de proceso, que es la que se desarrolla en paralelo al proceso de aprendizaje. Facilita al profesor información inmediata sobre cómo se desarrolla el proceso educativo, permitiéndole intervenir en el acto. A través de las distintas actividades de construcción de aprendizajes propuestas, ya sea en los trabajos en equipo, en las reflexiones escritas en el cuaderno de los alumnos o en las puestas en común, el profesor puede llevar a cabo el seguimiento puntual que requiere la evaluación formativa. Este tipo de evaluación proporciona información de dos clases:

- Indica al alumno – alumna sus avances o carencias en el proceso de instrucción al profesor y a los padres de familia.

- Indica al profesor cómo se ha desarrollado el proceso de enseñanza y aprendizaje, sus logros, alcances y problemas, permitiéndole tomar decisiones de fortalecimiento. modificación o sustitución de sus actividades de enseñanza.

c) La evaluación sumativa o de producto, que es la que se realiza al finalizar el proceso de enseñanza y aprendizaje. Pretende informar sobre el grado En Que se logran los propósitos planteados. Por consiguiente, permite comprobar al

44

profesor si el nivel de aprendizaje de sus alumnos referente a unos contenidos concretos de enseñanza es el adecuado y, por lo tanto, si se puede proseguir el trabajo con otros nuevos.

La importancia de ello en la asignatura de matemáticas es evidente, debido a la ya mencionada, jerarquización, dosificación y secuenciación interna de los contenidos. En esta asignatura, un contenido mal aprendido generará, casi con toda seguridad, un fracaso en el aprendizaje de otros nuevos.

El resultado de esta evaluación permite otorgar calificaciones para acreditar el aprendizaje, comprende tanto a las evaluaciones parciales como a las globales que acreditan todo un curso.

45

Bibliografía

Alarcón Jesús, Bonilla Elisa, et. al. "Libro para el maestro. Matemáticas", SEP, México, 1994.

Alarcón Jesús, Barrón Higinio, Guía de estudio "La enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria", PRONAP, SEP, México, 1994.

Ander - Egg Esquivel, "La planificación educativa conceptos, métodos, estrategias y técnicas para educadores", Magisterio del Río de la Plata, Argentina, 1993.

Balbuena Corro, et. al. "Secuencia y organización de contenidos", SEP, México, 2000.

Carles Monereo, coordinador, “Estrategia de enseñanza y aprendizaje. Formación del profesorado y aplicación en el aula”, Biblioteca del Normalista, Cooperación Española, SEP, México, 1998.

Casanova, M. A. “ Evaluación de las programaciones en el aula”, Nuestra escuela, España, 1991.

Estándares currriculares y de evaluación para la educación matemática, National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Sociedad Andaluza de Educación Matemática “Tales”, España, 1991.

Fresno Gutierrez, N. “El profesorado ante su propia evaluación”, Nuestra escuela, España, 1991.

Gimeno, J. “El curriculum. Reflexión sobre la práctica”, Morata, Madrid, 1988.

Lester. F. K. JR. An assesment model for mathematical problem solving. Teach. Think. Probl. Solving. 1988.

Nérici G. Imideo. "Metodología de la Enseñanza. Colección Actualización Pedagógica", Editorial Kapelusz Mexicana, S.A. de C. V. México, 1990.

Ontario Antonio, et. al. "Mapas conceptuales una técnica para aprender", Narcea, España, 1995.

46

Sánchez Augusto, Calviño Santiago, "Matemáticas de Educación Secundaria Obligatoria. Editorial Escuela Española, España, 1993.

Stuflebeam, D. :, Shinkfield, A. J. Evaluación sistemática. Guía teórica y práctica.Paidós/M.E.C. Barcelona, 1987.

Strom. R. D. (compilador) Aprendizaje escolar y evaluación. Paidós, Buenos Aires, 1984.

Rosales, C. “Evaluar es reflexionar sobre la enseñanza”, Narcea, España, 1990.

47

Directorio

Dirección GeneralLic. Manuel Salgado Cuevas

Dirección TécnicaIng. Juan Antonio Nevárez Espinoza

Subdirección AcadémicaLic. Gerardo Ramos Olaguibel

Área de Evaluación del AprendizajeIng. Higinio Barrón Rodríguez

Elaborado por:

Ing. Higinio Barrón Rodríguez

Dirección General de Educación Secundaria TécnicaFray Servando Teresa de Mier 135

Col. Centro, C. P. 06080, México, D.F.Teléfono: 55 88 25 12

Mayo del 2003

48