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Maurits Cornelis Escheres s in duda alguna el dibujante q ue ms ha hecho por la c rea-cin de mundos a rtsticos fundamentad os en idea s d e la austeraMatemtica. Sin cono-

cimientos es pecficos de Matem tica, este holands nacido e n 1898 puso en co mbinac in

la razn g eomtrica con la libertad artstica para crear mundos imposibles. Dibujante ex-

trao rdinario, s u obra es mayoritariamente g rfica, especialmente el g rab ad o sob re ma-

dera, la xilog rafa y litografa. S i vas a La Ha ya, e n su Ce ntral de C orreos vers una d e

sus mejores y mayo res creac iones: Metamorfosis.

po r L olita Bra in

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

METAMORFOSIS

UN HUMILDE CREADOR

EL USO DE LOS MODELOS MATEMTICOS

LA PARTICIN DEL PLANO

EN MATEMTICAS NO OBTUVE NUNCA NI SIQUIERA UNSUFICIENTE. LO CURIOSO ES QUE,PORLO QUE PARECE, ME VENGO OCUPANDO DE MATEMTICASSINDARME BIENCUENTA DE ELLO. NO, ENLA ESCUELAFUI UNCHICO SIMPTICO Y TONTO. QUINSE IBAA IMAGINAR QUE LOS MATEMTICOS IBAN A ILUSTRARSUS LIBROSCONMIS DIBUJOS,QUE ME CODEARA CONHOMBRESTAN ERUDITOS COMO SI FUERAN MIS COLEGAS Y HERMANOS! Y ELLOSNOPUEDEN CREER

QUE YO NOENTIENDANI UNA PALABRADE LO QUE DICEN!M.C. ESCHER

Persona de gran modestia,

Escher deca de s mismo

que no era un buen dibujan-

te refirindose al hecho de

que s iempre necesitaba mode-

los para d ibujar, manifestand o

su escasa disposicin imagi-

nativa. Su obra se co mpone de

paisajes y algunas acuarelas

anteriores a 1937. Posterior-

mente trabaj sobre todo elgrabad o, dejando ms de 70

piezas inspiradas en temas

matem ticos . Estuvo preocupad o por tres temas funda-

mentales: la estructura del espacio, la del plano y larepresentacin plana de los objetos tridimensiona-les. Falleci en 1972 en el norte de Holanda .

METAMORFOSIS II,1939-40 REPTILES, 1943

EL SOL Y LALUNA, 1948 ESTUDIO SISTEMTICO, 1936

En Manos dibujando, Esche r se ad entra en el terreno de la lgica. S u dibujo es

la imagen d e las sentencias autorreferentescomo la que dice Todo lo que yo digo

es falso. Cu l de las dos manos se empez a d ibujar primero? En Galera de g ra-

badosrepresenta una g alera en la q ue un cuad ro retrata a la misma g alera en

la que est c olgado y a s infinitamente; es una imagen autorreferenciada.

MANOS DIBUJANDO, 1948 GALERA DE GRABADOS, 1956MANO CON ESFERAREFLEJANTE, 1935

RETRATO DEL INFINITO

Impresionado por un

dibujo q ue reproduca

el modelo de geo-metra hiperblicade Poincar,

encontr la inspi-

racin para desa-

rrollar imgenes

con el infinitocomo tema. En

Lmite Cir cular III

(1959), las lneas

maestras no son sino

las rectas del modelogeomtrico que invent Poin-

ca r. Escher llen de vida e se mod elo inanimad o.

Las metamorfosis juegan

un importante pap el en su

obra creada entre 1937 y

1945. En ellas trans forma de

modo continuo figuras pla-

nas en objetos tridimensio-

nales, objetos matemticos

en animales y pjaros, etc-

tera; y todo ello de modo

cclico: se acaba donde se

comienza. Sus famosos

lag artos los utiliz en e l ciclo

Reptiles, en el que el mundo

plano co bra vida a l trans for-

marse en el tridimensional

de un modo co ntinuo.

EL ARTISTA DELA MATEMTICA

En sus visitas a La Alhambra (1926 y 1936), qued

impresionado por la riqueza de los mosaicosnazares, es decir, por la d iversida d d e las p articiones

peridicas del plano. Realiz bocetos de todos los

mosaicos que encontr all y que son todos los posi-

bles, transformndolos en animales y seres extraos

con los que formar el plano. Gener con este mtodo

compo siciones en las q ue el fondo y el primer plano seintercamb ian s in solucin de continuida d. Estos temas

los utiliz en metamorfosis, ciclos, series infinitas y

dec oraciones pa ra mltiples cajas q ue dise.1

231.- GRAVITACIN, 1952

2.- CINTA DE MBIUS, 19613.- NUDOS, 1965

CREADOR DE CONTROVERSIAS

Su pasin por los objetos matemticos le

llev a utilizar profusamente los poliedros,

por los q ue se nta una d ebilidad manifiesta.

Pero tambin se interes por nuevos mode-

los matemticos, entre los que destaca su

ad miracin por la famo sa Cinta de Mbius y

por los nudos, a mbos muy de modaen e l uni-

verso ma temtico de comienzos del siglo XX.

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AULAD E E L M U N DO

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po r L olit a Brain

Para JEAN-FRANOIS CHAMPOLLION (1790-1832) descifrarlos enigmticos jeroglficos fue una promesa de juventud,un empeo vital. Qued fascinado desde los siete aos

por el antiguo Imperio Egipcio, cuando su hermano nopudo participar en la campaa de Egipto de Napolen.Ms tarde, a la edad de 11 aos tuvo el privilegio deconocer al eminente matemtico y cientfico francs Fou-rier y ste le ense su coleccin de antigedades egip-cias. Al ver por primera vez papiros y estelas labradasen piedra y escritas en jeroglfico, Jean-Franois pre-gunt a Fourier: Se sabe leer esto?A lo que Fourier respondi negativamente. Yo lo leer algn da! -grit muy seriamente Cham-pollion.Y sa fue la promesa a la que dedic toda suvida. Con xito.Pero no hay que olvidar que Champollion haba apren-dido a leer l solo, a la edad de cinco aos, y con 11era aficionado al griego y al latn, y comenzaba a es-

tudiar hebreo. Con 13 estudi rabe, sirio, caldeo y cop-to, con el nico propsito de acercarse al objetivo que

persigue. Ms an, continu con el chino antiguo bus-cando similitudes con los textos egipcios ms antiguos y se

introdujo en los dialectos ms recnditos en busca de pistas. Alos 17 aos era un experto en egiptologa y con dieciocho se encontr conlo que sera la perla de su vida: la Piedra Rosetta

JEROGLFICOSDESCIFRADOS

La genialidad deChampollion fueestablecer unacomparacin sencillaentre los jeroglficosy las letras griegas,separndose as dela tradicin.

Su GRAMMAIREEGYPTIENNE aparecien 1836 publicadapstumamente.

Champollion descifr losjeroglficos a partir de lafamosa Piedra Rosetta

aparecida fortuitamente en1799 en las obras de unafortificacin a siete kilme-tros de Rosetta, a orillasdel Nilo. Es una losa basl-tica muy pulida, del tamaode un tablero de mesapequeo, que contienetres series de inscripcio-nes en una de sus caras.

En ellas aparecen 14 lne-as en jeroglfico, 22 endemtico una lenguaegipcia de uso comn y54 lneas en griego! Elgriego se poda leer y tra-

ducir y por tanto era posi-ble un camino para desci-frar los jeroglficos. El textoes una dedicatoria de lossacerdotes de Menfis aPtolomeo V en 196 a.C. entono de alabanza. Pero losesfuerzos por descifrar eltexto jeroglfico fracasa-ron. Todos se empeabanen explicar cada smbolocomo una ideasiguiendo algriego HORAPOLO (s. IV

a.C.) y sus interpretacio-nes. Todo era en vano.Champollion imagin quelos dibujos representabansonidos traducibles a letrasy que por tanto se podanasignar. Y descifr los jero-glficos.

Una vez numerados los dibujos presentes en ambos cartouches, el primer smbolo de Ptolemaiosy el quinto de Kleopatracoinciden. Supongamos que es la P. Lo mismo sucede con el cuarto y el segundo que podemos sustituir por L.

Si es cierto que representan las letras de los nombres griegos, el tercer smbolo de Ptolemaioscoincide con el cuarto de Kleopatray debe ser una vocal similar a la O.

La pluma debe ser una vocal similar a la E y cuando apare-ce repetida en Ptolemaiosdebe leerse como una I. Y el sm-bolo anterior, el quinto, la M. Slo faltara una O precedien-do la S final de Ptolemaios. Champollion dedujo que losegipcios no tenian sonido para esa O final. Al final tradujopor Ptolomis.

Una arqueloga contempornea de Champollion haba obser-vado que el smbolo undcimo de Kleopatra apareca siempre al

final de los nombres de los dioses. As lo entendi Champo-llion que tradujo la inscripcin como Kleopatra divina, dandoal smbolo octavo la representacin de la R.

En un valo -cartouche- de la Piedra Rosetta aparece una inscripcinque Champollion atribuye al significado Ptolomeo. Era usual que losreyes aparecieran en cartouches. En el obelisco File hallado porBelzoni y que fue llevado a Inglaterra en 1815, contiene texto engriego tambin junto a jeroglficos. En l aparecen dos cartouches,uno refirindose a Ptolomeo y otro a Cleopatra.

Como entre la P y la O hay una T, que aparece tambin en el jeroglifico deKleopatra, podemos suponer que representa una T.Eso significa que en Kleopatraaparece una T al final que no tiene correspondencia. Sin embargo Champollion haba observa-do que la mano era un smbolo usado a veces para escribir Kleopatra. Podemos asumir que el smbolo anterior a la mano enKleopatraes una vocal similar a A y que el primer smbolo es K.

Notas deChampollion de sus

estudios delcartouchedeKleopatradelobelisco halladocerca de File.

Las principales fuentes de las matemticas egipcias de que disponemos son el PapiroRhind y el Papiro de Mosc, escritos entre los aos 2060 y 1580 a.C. en alfabeto hier-tico, una versin cursiva del ms antiguo sistema de escritura egipcio: el jeroglfico, uti-lizado sobre todo en monumentos y tumbas. En otra poca, los jeroglficos fueron unmisterio para lingistas y arquelogos. An hoy perdura ese significado en la palabra.Un joven polglota francs enamorado de Egipto los descifrara en 1822, aos antes de pi-sar tierra egipcia.

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Vista desde el presente, la historia pasada se aparece a menudo caprichosa. Tambin enla de la Matemtica. La historia de la solucin de la ecuacin de tercer grado, la cbica,es una de las ms apasionantes. A comienzos del siglo XVI, los matemticos se hallabaninmersos en un problema desde haca ya siglos: si bien las ecuaciones de grado uno ydos estaban completamente resueltas desde Al-Khwarizmi, nadie era capaz de resolverla de grado tres. Hoy, la hazaa de aquellos matemticos permanece en el olvido aun-que sus frmulas, que no se estudian en la escuela, son tan eficaces como entonces.

po r L olita Brain

POESA, LGEBRAY ESPIONAJE

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EL POETA ALGEBRISTA

Tentado por la frmula mgica, Del Fiore retaa Tartaglia, reputado matemtico veneciano, auna disputa pblica en la que cada uno debe

solucionar los problemas que le propone el otro.Del Fiore, conocedor del valor de su frmula, pro-pone a Tartaglia problemas que slo se puedenresolver con una ecuacin de tercer grado. Tar-taglia la encuentra el 12 de febrero de 1535, y de-rrota pblicamente a Del Fiore.

Scipione del Ferro, profesor de la Universidad deBolonia, descubri, hacia 1505, la frmula quean hoy se emplea para solucionar una ecua-

cin de tercer grado, pero no comunic a nadiesu descubrimiento, sin duda para usarlo en lasdisputas pblicas y as ganar fama. Slo en su le-cho de muerte informa de su frmula a su yer-no Annibale della Nave y a su alumno AntonioMara del Fiore.

Nuestra historia aconteci en la Italia renacentista del siglo XVI. Desde hacacasi tres siglos, las matemticas se ensean en las Escuelas de baco,donde sobre todo se imparta lgebra, y en especial las tcnicas para resol-

ver ecuaciones. Aunque las ecuaciones de primer grado (como 3x=14 ) ya lasresolvan los egipcios y los babilonios. Desde f inales del siglo VIII ya se solu-cionaba la ecuacin de segundo grado (como x2+2x=8). Sin embargo, la ecua-cin cbica (como x3+3x=14) se haba resistido durante cientos de aos a to-dos los matemticos que la estudiaron. No ser hasta 1505 cuando Del Ferro en-cuentre la solucin. Niccol Fontana,Tartaglia el tartamudo, tambin la encontrindependientemente en 1535. Cardano y su alumno Ludovico Ferrari (1522-1565)profundizaron en las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

GEROLAMO CARDANO(1501-1576)

Una vez ms, la memoria de las ecua-ciones se remonta al Oriente, a la m-tica ciudad de Samarcanda, a la que

Omar Khayyan llega en 1070 proceden-te de Nishapur, al norte del actual Irn.Poeta, astrnomo y matemtico, su obraTratado sobre las demostraciones en l-gebra estudia geomtricamente lasecuaciones cbicas proponiendo mto-dos para su resolucin. Pero sus siste-mas necesitaban, para llegar a ser efec-tivos, de herramientas matemticas delas que desafortunadamente no se dis-pona entonces. En cualquier caso, sussoluciones, adems de correctas, son he-rederas de la ms fascinante tradicin ge-omtrica de los griegos y anan lgebray geometra.

La famosa frmula descubierta por Del Ferro yTartaglia que resuelve la ecuacin de tercer gradox3+px= q es la siguiente. Observa que las solucionesaparecen como resultado de operaciones entre los

Como poeta, Khayyamfue descubierto enOccidente en el sigloXIX, cuando EdwardFitzgerald tradujo sutexto Robaiyyat. Mstarde, G. K. Chestertondara un gran impulso asu labor literaria.

LOS DOS PROTAGONISTAS

LA FRMULADE LA DISCORDIA

NICCOLO FONTANA TARTAGLIA(1499-1557)

Tartaglia, muy ofendido, escribe en 1546 Questi et inmventionidiverse, en la que relata su versin de los hechos y reprodu-ce su correspondencia con Cardano, dando comienzo un tenaz

intercambio de cartas y carteles pblicos entre Tartaglia y Fe-rrari!, que sali en defensa de su maestro Cardano, quien se man-tuvo al margen de esta polmica. La historia termina el 10 de agos-to de 1548 como comenz: en una disputa pblica en Miln entreun tartamudo y cansado Tartaglia y Ferrari, un joven elocuentey brillante matemtico que ademsjugaba en casa. La disputa noacab. Tartaglia abandon humillado, perdiendo bastante desu fama. Cardano no asisti.

POR QU LAINCGNITA ES LA X?

Los rabes llamaban a laincgnita shay (cosa). Enmuchas traducciones seescriba latinizada comoxay y de ah, al abreviar,qued x. En Italia, shay setradujo como cosa y a losque resolvan ecuacionesse les llam cosistas,quienes escriban la x comoco.

Cardano y Ferrari estudiaron la frmula pero la mantuvieron ensecreto. En 1542, casi en actitud detectivesca, deciden vi-sitar a Annibale della Nave y, revisando los papeles de Del

Ferro, encuentran la frmula que Tartaglia haba descubier-to! Cardano podra publicar en su Ars Magna la importantsi-ma frmula sin faltar al juramento hecho a Tartaglia. As lo hizo,escribiendo

[...] mi amigo Niccolo Tartaglia resolvi el mismo caso [...]y movido por mis ruegos, me la confi a m.

Cardano, famossimo matemtico y doctor del nor-te de Italia, al saber que Tartaglia ha descu-bierto la frmula, le pide que se la cuente en

un encuentro, el 25 de marzo de 1539. Cardano,en un solemne juramento, se compromete a no ha-cer pblicos sus descubrimientos, con lo que Tar-taglia accede, comunicndole su mtodo operati-vo en un poema. Estaba presente tambin el jovende 17 aos, Ludovico Ferrari, ayudante de Car-dano, nuestro sexto protagonista.

GHIYATH AL-DIN ABU'L-FATH UMARIBNIBRAHIM AL-NISABURI AL-KHAYYAM(hacia 1048-1131)

AULAD E E L M U ND O

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