7/25/2019 Aula Matemticas ''El Mundo'' Lminas09

1/3

AULADE EL M UN DO

8

Solemos asociar la belleza a algo que no es posible cuantificar objetivamente. Nos pare-ce que las cosas son hermosas exclusivamente en funcin de nuestra subjetividad, quenos hace ver la realidad ms o menos bonita. Pero, aunque para gustos se hicieron loscoloresy aceptamos sin ms el gustode cualquier persona, el hecho es que en general de-terminados rostros, edificios, plazas o composiciones nos resultan especialmente her-mosas. Las relaciones entre las partes y el todo nos sugieren un mayor equilibrio y, porende, una mayor belleza. Detrs de estas consideraciones est la idea de proporcin.

lolitabrain@hotmail.com

La reconocida belleza de ELPARTENNde La Acrpolis ateniensese debe en buena parte al uso de la proporcin area en sus di-mensiones. Es uno de los primeros ejemplos arquitectnicos

en los que las relaciones entre sus elementos se hallan en di-cha relacin. Los griegos, desarrollaron sus matemticas sobrebases geomtricas y toda ella est expresada en trminos de ra-zones y proporciones entre segmentos. Encontraron en lasmatemticas una manera de crear armona en las artes.

LA ARMONA DE UN ROSTRO, uno delos elementos que nos conducena verms o menos belleza en l,tiene una estrecha relacin conlas proporciones que percibimosen l. La armona del rostro seanaliza geomtricamente mi-diendo las distancias entre lafrente y la barbilla, entre los ojosy la boca, entre la nariz y el men-tn..., y comparndolas entre s.La repeticin de patrones entreestas medidas y el valor de dichopatrn, es determinante a la hora

de decidir qu rostro es ms ar-monioso. Estudios recientes de ci-rujanos plsticos, demuestran es-tadsticamente, que aquellos ros-tros en los que estas relacionesentre las medidas de la cara obe-decen a la proporcin urea sonaquellos que nos producen unamayor sensacin de belleza.

Supn que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos partes de ta-maos distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas: por ejemplo divi-dindolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro

veces la menor. Ahora bien, slo existe una forma de dividir tal segmento, demodo que la relacin (razno ratio) que haya entre el segmento inicial y lamayor de las partes, sea igual a la que mantienen las dos partes entre s. De-cimos que ambas partes se hayan en proporcin urea (La Divina Proporcindesde el Renacimiento) y su valor es el denominadoNMERODE ORO, FI=1,618....Un nmero, que como PI, tiene infinitas cifras decimales no peridicas.

E

l famossimo dibujo

de Leonardo da Vincisirvi para ilustrar ellibro LADIVINAPROPOR-CIN del matemticoLuca Pacioli editado en1509.En dicho libro se descri-ben cules han debenser las proporciones delas creaciones artsti-cas. Pacioli propone unhombre perfecto en elque las relaciones entrelas distintas partes de sucuerpo sean proporcio-nes ureas. Estirandomanos y pies y haciendocentro en el ombligo sedibuja una circunferen-

cia. El cuadrado tienepor lado la altura delcuerpo, que ha de coin-cidir en un cuerpo

armonioso, con ocho

cabezas, y adems lalongitud entre los extre-mos de los dedos deambas manos cuandolos brazos estn exten-didos y formando unngulo recto con el tron-co. En este hombrearmnicamente perfec-to para Pacioli, elcociente entre la alturadel hombre, el lado delcuadrado, y la distanciadel ombligo a la puntade la mano, el radio de lacircunferencia, es elnmero ureo. Porsupuesto este canon noes el nico que han utili-

zado los artistas, pero suno de los ms usados.Y a ti, te parece armo-nioso?

1.618033...

EN EL R ETR AT O DE LA JOVEN HELENWILLS SE HAN DIBUJADO LAS LNEAS QUESE ESTUDIAN PARA UN ANLISIS

ARMNICO DEL ROSTRO. ALA DERECHA,LOS SEGME NT OS C ON EL MISMO COLOR

IDENTIFICAN LAS MEDIDAS QUE S E HALLAN

EN PROPORCIN UREA. POR EJEMPLO, LALONGITUD DE SUS ROSTRO (AB) ES FIVECES SU ANCHURA (CB), TAMBIN SUFRENTE (FD) ES FI VECES EL TAMAO DESU NARIZ (DE).

parte mayor

parte menor

segmento total

parte mayor

Q U M I D E E L N M E R O D E O R O

= ==

E

N EL PENTAGRAMA, la estrella

de cinco puntas formadacon las diagonales de unpentgono, aparece en laproporcin urea enmultitud de rela-ciones entre sussegmentos. Porejemplo, si AG mide1 unidad, la diagonalMG mide FI unida-des (1.618...), MG esFI veces MF, MF es Fi

veces MN. Los pitagricos tenan al penta-grama como smbolo. No es difcil imagi-nar por qu.Podemos encontrar manifestaciones de laproporcin urea en el arte en cualquierpoca. Por ejemplo, LEDAATMICA, unaobra de Salvador Dal de 1949, utiliza unesquema compositivo basado en la DivinaProporcin. Toda la composicin seenmarca en un crculo en el que unpentagrama organiza el espacio.

Dado un segmento AB, se dice que est divididoen media y extrema razn, cuando: "[...] si hay dela parte pequea a la parte grande la mismarelacin que de la grande al todo" (Vitrubio).

L A D I V I N AP R O P O R C I N por Lolita Brain

7/25/2019 Aula Matemticas ''El Mundo'' Lminas09

2/3

www.lolitabrain.com

La caligrafa es otra de las reas donde el arte y las mate-mticas se dan la mano. Con la difusin de la recin inven-tada imprenta y de los grabados, el diseo de tipos para

las prensas, lejos de ser un mero oficio artesanal, es unterreno donde la proporcin y la geometra se utilizan paradar armona y justificar las formas de las letras. Luca Pacioli,Leonardo da Vinci o Alberto Durero son tres artistas-mate-mticos que en sus obras incluyen partes dedicadas a ladescripcin de las formas de las letras. El crculo, el cuadra-do y la proporcin son los elementos formales utilizados.Junto a cada letra del alfabeto, el autor escriba la descrip-cin de la misma.

Un amplio debate de la poca vers sobre laconsideracin de la pintura; los pintores deentonces luchan porque sea considerada

como un arte y no como una actividad artesa-nal ejercida por personas virtuosas de lasherramientas, artesanos a fin de cuentas.El famossimo Leonardo da Vinci, hombre

polifactico del Renacimiento, consider quela pintura deberaentenderse comoun conocimientocientfico basadoen la experimenta-cin y fundamen-tado en slidosc o n o c i m i e n t o stericos, rescata-

dos muchos deellos de las mate-mticas.En su Tratado dela Pintura (1498),da Vinci comparasta con la msi-ca, la escultura o lapoesa. Para l lapintura descansasobre el dibujo yste sobre la geo-metra. Pintar est

reservado a unos pocos privilegiados ya queobliga a representar en un plano la realidad tri-dimensional, lo que conlleva un proceso mentalsimilar al de la abstraccin geomtrica. En cam-bio, la escultura es para l un arte sencillo que sealcanza slo con la observacin y la copia delmodelo, sin intervencin de la mente.

L

udovico Sforza, el Moro,fue duque de Miln y rele-

vante mecenas de la poca.Acogi a Leonardo da Vinci,quien en agradecimiento dise- la escultura ecuestre delDuque y que iba a ser la msgrande jamsc r e a d a .Nunca llega fundirse.

Ludovico congregaba en sucorte -como hacan los prn-cipes, duques y dems noblesitalianos- a los ms afamadoscientficos y artistas de lapoca en una sana compe-ticin por tener bajo su pro-teccin a la lite cultural.Como recompensa loslibros eran a menudo dedi-cados a ellos.

Leonardo presenta El Pensador a Ludovico,

el Moro, Duque de Miln (Francesco Podesti - 1846)

Estudio de las pro-

porciones del hombre.

Tomado del libro de Alber-

to Durero Los cuatro libros

de la simetra de las partes del

cuerpo humano (1532-1534)

El conoci-miento cientfi-

co de las propor-ciones humanas se

convierte en una necesi-dad del artista. Al inters

despertado por la teora de lasproporciones matemticas y la

aplicacin que de ellas hace Vitru-bio, los artistas del momento estn

contagiados por la idea de la perfec-

cin universal y absoluta que necesa-riamente est relacionada con la mtri-ca de las distintas partes del cuerpohumano. Del mismo modo que las pro-porciones entre las dimensiones decada parte de una columna arquitec-tnica es objeto de estudio de losmatemticos -Luca Pacioli- y de losartistas -Leonardo da Vinci-, el hom-bre y la mujer para ser hermososdeben ser armnicos. Y dichaarmona se alcanza por su confor-midad con determinadas propor-ciones. Alberto Durero junto aLeonardo da Vinci son dos delos grandes estudiosos de laproporcin de los cuerpos.Tcnica y belleza se unena travs de la geome-tra.

Leonardo da Vinci. Tratado de la Pintura . Proemio

MATEMTICASCON ARTE

Autorretrato. Leonardo da

Vinci. Codexde Urbino.

Los poliedros fueron del mximo inters parapintores por cuanto su dibujo en perspectivaera bsico para aprender a utilizar esta tcni-ca. Por supuesto sus connotaciones msti-cas, sus formas equilibradas y su relacincon la proporcin urea los hicieron merece-dores de la atencin del mundo artstico ygeomtrico. Luca Pacioli describe en suDivina Proporcin (1498) su construccincon regla y comps as como las relacionesmtricas que hay entre ellos. En el fondo erala Geometra de Euclides elevada a conoci-miento casi divino.

Mirbamos la semana pasada el oficio de matemtico en el Cinquecentorena-centista italiano. En ese periodo, las conexiones entre el arte y las matemticasse hicieron especialmente fecundas, fomentadas por el redescubrimiento de lasideas platnicas, la incorporacin del neoplatonismo al pensamiento y, sobre todo,a los contactos entre artistas y matemticos, que gracias a la ayuda de los me-cenas pudieron dedicarse a investigar, difundir y aplicar las viejas teorasgeo-mtricas de la Grecia Clsica a la arquitectura, la perspectiva o el diseo tipo-grfico. La matemtica era garante de la bondad de las ideas.

Esta letra A se obtiene del crculo y de su cuadrado. El brazo dela derecha debe ser grueso como una novena parte de la altura.El brazo izquierdo debe ser la mitad del brazo grueso. El brazodel medio debe ser la tercera parte del brazo grueso. [...] El bra-zo del medio debe estar algo ms bajo que el cruce central.

Luca Pacioli, Divina Proporcin (ed. 1509)

po r Lolit a Bra in

Cuerpo de 72

bases. Modelo

dibujado por

Leonardo da Vinci

para la Divina

Proporcionede su amigo

Luca Pacioli

AULAD E E L M U N DO

8

7/25/2019 Aula Matemticas ''El Mundo'' Lminas09

3/3

por Lo lita Brain

A menudo imaginamos a la Ciencia como el invento de los cientficos, desconecta-dos del mundo real de los vivos, d e las inquietudes d e las persona s normales, sinconexin co n la vida cotidiana, c on la poltica , con las relac iones humana s... Pe ro estoes falso. Los c ientficos han formado y forman parte de la s ociedad desd e s iempre.La C iencia ha toma do y toma part ido po r los hec hos d e la vida cotidiana , por elmundo que les rodea . La C iencia s iempre se ha visto influida por los movimientossociales, culturales y polticos. Un caso ejemplar es la invencin del metro.

UNA MEDIDAREVOLUCIONARIA

L a Revolucin de sca nsab a e n tres principios bs icos: Igualdad , Libertad y Frater-nidad. Estos principios marcaron todaslas reformas emprendidas po r la Asa m-blea. Y tambin configuraron la creacinde un nuevo sistema de medida. Losrevoluciona rios b usca ba n un sistema depesos y medidas que expresara la igual-dad y la fraternidad de todos los hombres yque no e stuviera ata do a l rgimen abso lutista a nte-

rior. Pa ra ello busc aron un mec anismode d efinicin de la nueva unidad d e med i-

da que fuera universal, de todos los hom-bres. Y lo enco ntraron en la Tierra, e l pla ne-

ta habitado por todos los humanos y queno pertenec a a ningn individuo.

El 19 de marzo d e 1791 una comisin cientfica integrada por Borda , Lavoi-

sier, Monge , Laplace y C ondorcet presenta a la Acad emia de Ciencias dePa rs un informe en el que sugieren que s ea el cuarto de meridiano terrestrela unidad de medida y que su medicin se lleve a cabo con arreglo a lassiguientes cond iciones: s e esc oge ra, pa ra ser medido, un arco de m eridianoterrestre que se ha llara distribuido lo ms simetricamente pos ible a los dos

lados del paralelo 45, ya que ste d ivide un hemisferio terrestre e n dos partes

iguales. Los extremos del meridiano q ue se midiera es taran a nivel del mar ydeb eran tener una am plitud entre 1/9 y 1/10 del cuarto d el meridiano . Co nestas condiciones se ga rantizab an las mnimas e xigenc ias pa ra que la medi-cin estuviera sujeta a las meno res posibilidades de e rror.

C ambiar de medidas requeratambin proporcionar nuevosnombres a las unidades que secrearan. El ciudadano Auguste-Savinien Leblond propuso por pri-mera vez, en ma yo de 1790, el neo-logismo metro para la unidad demed ida de long itud. La idea d e utili-za r prefijos g rieg os (kilo, de ci, cen-ti, etc.) para los mltiplos y diviso-res de las medidas provino de laComisin de Pesos y Medidas, en

mayo de 1793.

L a comisin formada ad hocparala definicin del nuevo sistema demedidas d ispuso las co ndicionesque deban regir la nueva medida: laley de 22 de ag osto d e 1790 sientalas bases de la medicin y por ellase decide definir el metro como ladiezmillon sima pa rte de la long ituddel cuad rante del meridiano terres-tre. Es decir, se medira un meridia-no de la Tierra, seg n unas c ondi-ciones, y su longitud dividida endiez millones de partes proporcio-

nara la longitud patrn del nuevosistema mtrico.

A l caos existente en los sistemas de medida rei-nantes e n Franc ia antes d e la Revolucin Fran-cesa (1789) se le una una circunstancia q ue alos revoluciona rios no les gusta ba na da . Toda s las

medidas, de una u otra forma,tenan un origen en la realeza , yaque eran med idas a ntropom tri-cas tomadas de los reyes delpasa do, cuyo origen se remon-taba a Carlomagno. Eran portanto medidas que pertenecanal Antiguo Rgimen, aquel quela Revolucin q uera sus tituir.

EL PROBLEMA DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA

CMO DEFINIR UNA MEDIDA UNIVERSAL?

CONDICIONES PARALA DEFINICIN DE METRO

LA REVOLUCIN Y LA MEDIDA

LA LIBERTAD GUIANDO ALP UEBLO. D ELACROIX (1830)

LUIS XVI,D E P UE S TO P O R LA

REVOLUCIN

P IERRE S IMON DE LAPLACE(1749-1827)

J EAN C. BORDA(1733-1807)

MARIE-JEAN-ANTOINE DE C ARITATMARQUS DE C ONDORCET

(1743-1794)

ANTOINE-LAURENTDE LAVOISIER(1743-1794)

G ASPARD MONGE(1746-1818)

lolitabrain@lolitabrain.com

NOMBRES PARALAS NUEVAS MEDIDAS

P ara todo s noso tros, hoy en d a es muy fcil el acto detomar una me dida. Existen metrosen todos los luga -res, pesamos en kilogramos y medimos ca pacidadesde lquidos e n litros. Todos nos e ntendemos y nos pa re-ce una activida d s in grandes requisitos intelectuales nidificultades tcnicas. Pero no siempre fueron as lascos as . En el siglo XVIII, en Francia (el ejemplo es extensi-ble a todas las naciones de la poca ), en los sistemas de

medida cotidia-nos, cientficos,agrarios yc o m e r c i a l e sexista el caos .Los problemascon las medidassurgan de sudiversidad: exis-tan distintospatrones segnlas diversasregiones, entre diferentes oficios opara medir distintos objetos. Aspor ejemplo, exista el alna (unos90 cm), que se usaba para medir

paos , pero slo en Pa rs ha ba tres a lnas distintas pa ra tres tipos de telas,y haba pob laciones en las que llega ron a coe xistir hasta trece alnas dife-rentes. Toma r una pinta (casi medio litro) de c erveza en P ars era be ber untercio me nos que en S aint-Denis. La libra (casi medio kilo) del panade roera m s liviana que la del ferretero. Existan m edidas para c omprar al pormayo r y otras para vender al por menor. Dentro de una ciudad, los mismosnombres des ignaba n medidas distintas se gn los gremios, y entre pobla-ciones, las longitudes y pesos d e los patrones variab an. S e han llega do acata logar 250.000 unida des d e medida diferentes en Francia, q ue se reco-gan b ajo 800 nombres d istintos.

Patrones de medida en la ciudad deLuen. La Tpara los toneles, las c ajaspara tejas y ladrillos, y la vara es unalna pa ra tejidos.