AULADE EL MUNDO

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lolitabrain@hotmail.com

Pocas veces en la Historia encontramos familias con una voca-cin tan decidida hacia cualquier rama del saber que las haga va-ledoras de los mayores mritos. Y mucho menos en Matemti-cas. Hubo, sin embargo, una familia de origen holands que, araz de las persecuciones dirigidas contra los protestantes por elDuque de Alba en 1576, huy a Basilea (Suiza) en 1583. Eran losBernoulli, una familia de comerciantes de especias y banqueros.El padre, Niklaus (Nicols), hizo todo lo posible para que sushijos no se dedicaran a las Matemticas. Sin embargo, en sufamilia hubo 11 miembros dedicados a las Matemticas y a laFsica. Tres de ellos ocupan puestos de honor: Jakob, su hermanoJohann y el hijo de ste, Daniel.

por Lolita Brain

L O S B E R N O U L L I

JOOHHAANNNN BBEERRNNOOUULLLLII ocup la Ctedra de Ma-temticas en Groningen (Holanda) hastala muerte de su hermano Jakob en 1705,fecha en la que tom posesin de su cargo enBasilea. Entusiasta de las Matemticas y aman-te de las controversias, mantuvo una rivalidadtenaz con Jakob, quien le adiestr en esta ma-teria, y con su hijo Daniel, a pesar que fue lmismo quien le haba inculcado el amor por estaciencia. Con Jakob mantuvo continuas dispu-

tas pblicas en diversas publicaciones, siempre motivadaspor el recelo profesional y la atribucin de los descubrimientos.

Se sinti muy herido porque Jakob, molesto por la habilidadde su hermano menor con el clculo diferencial, comentabasiempre con despecho de l es mi alumno. Tambin se cuen-ta que, en una disputa cientfica, falsific la firma de una de-mostracin realizada por Jakob para atribuirse la victoria.

Pero, sin duda, fue el problema de la BBRRAAQQUUIISS--TTOOCCRROONNAA el que ms fama le dio. Publicado en1696 en la revista de Leibnitz, Acta Eroditorun,Johann propuso encontrar la curva que debe-ra seguir un objeto que cayera desde un puntoa otro, bajo efecto de la gravedad, para emplear

el menor tiempo posible. l co-noca la solucin, y dio de plazoseis meses a los matemticospara resolverlo, pero el plazohubo de ampliarse, ya que no serecibieron soluciones. Al cabode un ao slo cuatro respues-tas se presentaron. Una era deJakob. Otra, annima. Johann,al leerla, exclam: "Reconoz-co al len por las garras". El au-

tor era nada menos que Newton. Segn el ama de llaves de ste,Newton recibi el problema a las cuatro de la tarde, y lo re-solvi a las cuatro de la maana. El CLCULO DE VARIACIONEShaba nacido. Pero sa es otra historia.

ENN SSUU VVIIAAJJEE a Pars de 1692,Johann conoci al in-fluyente CCOONNDDEE DDEELLHHPPIITTAALL. Trasadiestrarle en el cl-culo diferencial deLeibniz, Johannacord con l que leenviara sus descu-brimentos a cambiode un estipendio. Aslo hicieron, pero cul fue

el asombro de Johann cuandocomprob que LHpital

haba publicado sus re-sultados en su Analy-se des infiniment en1696. En dicho textoaparece la REGLA DELHPITAL, que to-dos los estudiantes

de Bachillerato cono-cen. Pues es de Ber-

noulli!

J A K O B ( I )

N I K L A U S ( I )

J O H A N N ( I )

J AAKKOOBB, el quinto de una familia de10 hermanos, fue catedrtico enBasilea desde 1687 hasta su muer-te, en 1705. Fue de los primeros enusar el clculo diferencial, reciente-mente descubierto por Newton y Leib-niz, respecto del cual adopt la nota-cin de este ltimo. Foment su usopara la resolucin de problemas geo-mtricos. Fue el primero en recomen-dar a Leibniz el trmino INTEGRAL

J O H A N N ( I I )

N I K L A U S ( I I )

N I K L A U S ( I I I )

1654 1705

1662 1716

1667 1748

1687 1759

1782

11779900

1807

1700

1744ASTRNOMO REAL Y DIRECTOR DE ESTUDIOS MATEMTI-COS EN LA ACADEMIA DE BERLIN CON 19 AOS

PROFESOR EN BASILEA, VERONA YSAN PETERSBURGO

CTEDRA DE MATEMTICAS EN BASILEA

1695 1726

Hizo inscribir en su tumba una spira mi-rabilis (espiral logartmica) con el textoEaden mutata resurgo (aun siendo mo-dificada, surjo de nuevo la misma)

J A K O B ( I I )

CTEDRA DE MATEMTICAS EN BASILEA

J O H A N N ( I I I )

11771100

UNNOO DDEE LLOOSS GGRRAANNDDEESS descubrimientos deDaniel es la conocida como LEY DE BER-NOULLI, que es el principio por el que losaviones pueden volar. El principio vienea decir que cuanto mayor sea la velocidadde un fludo (un gas o un lquido), menores la presin que ejerce sobre un objeto in-merso en l. Las alas, en su movimiento ypor su forma, hacen que el aire superior semueva ms rpido y que, por tanto, ejer-za menor presin que el aire inferior. Elaire empuja entonces al ala y favorece elvuelo. Tambin estudi la forma que de-bera tener el perfil de las alas

DAANNIIEELL fue uno de los treshijos de Jo-hann de-dicados alas Mate-mt icas .Con mu-cho, elms bri-llante. Igualque hizo supadre con l, Jo-hann trat de convertir a Da-niel en un comerciante e im-pedir que se hiciera matem-tico. A los 13 aos, Danielhaba pasado mucho tiempocon su padre y haba apren-dido de l Matemticas, peroste le impuso estudiar Medi-cina. As hizo, aunque noabandon nunca las Mate-mticas. Fue amigo ntimodel gran Euler, alumno de supadre. Ambos tienen el r-cord de haber recibido cincopremios especiales de la Aca-dmie des Sciences de Pars

MAANNTTUUVVOO CCOONN SSUU PPAA--DDRREE una fuerte riva-lidad. En 1734, am-bos recibieronun premio de laAcadmie desSciences de Pa-rs por un tra-bajo sobre lasaplicaciones delas probabilida-des a las rbi-tas planetarias.Johann, heridoporque su hijo fuera unigual, le ech de casa.

Cuando en 1738 publi-c la Hydroynamica, lofirm como Daniel Ber-

noulli, hijo deJohann en unintento de re-conci l iacincon su padre.Sin embargo,Johann publicun ao des-pus, su Hy-draulica, muyparecido al tex-

to de su hijo. Plagio ocolaboracin?

Junto a Euler, Danielestudi la presin san-guinea. Descubri unsangriento mecanismopara medirla que seus durante el XVIII.

17081623N I K L A U S

D A N I E L ( I )

En el Arte dela Conjetura,recopila sus co-nocimientossobre las pro-babilidades. Enl aparecen losfamosos N-MEROS DE BER-NOULLI, su-mas de infinitostrminos (se-ries) y planteael inters conti-nuo...y la Leyde los GrandesNmeros

Jakob fue un apasio-nado de las curvas.Plante y resolvi elproblema de la curvaISCRONA e invent lacurva LLEEMMNNIISSCCAATTAA DDEEBBEERRNNOOUULLLLII.. Pero su

gran pasin fue la EESS--PPIIRRAALL LLOOGGAARRTTMMIICCAA:descubri que las cur-vas asociadas a ella(su evoluta, su pedal,etc.) vuelven a ser es-pirales logartmicas

Lemniscata de Bernoulli Espiral logartmica

1759 1789

AIREALA

presin ejercidapor el aire con movimiento lento

presin e

jercida por el movimiento rpido

AULADE EL MUNDO

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por Lolita Brain

LLaa AAXXIIOOMMAATTIIZZAACCIINN ddee uunnaatteeoorraa ffuuee eessttuuddiiaaddaa ppoorrAARRIISSTTTTEELLEESS yy ppeerrffeeccttaammeenn--ttee ppllaassmmaaddaa eenn llaa ccoonncceepp--cciinn ddee llaa GGeeoommeettrraa ddee EEUU--CCLLIIDDEESS qquuee nnooss lleegg eenn ssuu llii--bbrroo LLooss EElleemmeennttooss.. SSeeggnneessttaa ffoorrmmaa ccllssiiccaa,, uunnaa tteeoo--rraa aaxxiioommttiiccaa ssoobbrree uunnaa rree--aalliiddaadd eess aaqquueellllaa qquuee ssee oorr--ggaanniizzaa aallrreeddeeddoorr ddee uunn ccoonn--jjuunnttoo ddee CCOONNCCEEPPTTOOSSPPRRIIMMIITTIIVVOOSS ddee vveerrddaaddeess ddee

llaass qquuee ssee oobbttiieenneenn llooss rreess--ttaanntteess ccoonncceeppttooss.. AAddeemmsseexxiisstteenn llooss AAXXIIOOMMAASS,, uunnaassppooccaass vveerrddaaddeess ggeenneerraalleessqquuee ssee aacceeppttaann ccoommoo vveerr--ddaaddeerraass yy qquuee nnoo rreeqquuiieerreennsseerr ddeemmoossttrraaddaass.. TTooddaassllaass aaffiirrmmaacciioonneess ddee llaa tteeoo--rraa ddeebbeenn eessttaarr bbaassaaddaass eennllooss ccoonncceeppttooss yy llooss aaxxiioommaassyy ddeebbeenn ddeedduucciirrssee ddee eellllooss..ssttee eerraa eell mmooddeelloo ddee tteeoo--rraa aaxxiioommttiiccaa ddee FFrreeggee..

Despus de ms de 2.500 aos de crecimiento continuo en su saber, los matemticos de fi-nales del siglo XIX y comienzos del XX entraron en una fase muy particular de reflexinsobre lo que las matemticas eran realmente. Comenzaron una introspeccin crtica de susaber para determinar qu estructura tena la matemtica, cules eran sus fundamentoso cul era el alcance de este campo del saber. Conozcamos primero la estructura axio-mtica de la matemtica, para conocer posteriormente la crisis de sus fundamentos.

GGOOTTTTLLOOBB FFRREEGGEE((11884488--11992255))

DDAAVVIIDD HHIILLBBEERRTT((11886622--11994433))

QQ UU EE SS UU NN AA TT EE OO RR AA AA XX II OO MM TT II CC AA ??

U N P U Z Z L EA X I O M T I C O

GOTTLOB FREGE fue elprimer matemticoque se tom en seriola necesidad de conocerel alcance lgico de lasmatemticas, es decir,quiso conocer la res-puesta a la preguntapueden las matemticasreducirse a pura lgica?Su empeo lo desarrollen la formalizacin de laaritmtica, creando unaTTEEOORRAA IINNTTUUIITTIIVVAA de con-juntos que, ironas de la

historia, result no ser co-rrecta una vez que Fre-ge la hubo acabado. DA-VID HILBERT, de ideas muycontrarias a las de Fre-ge, con el que mantuvouna correpondencia cien-tfica muy disputada, fuedefensor tambin de laaxiomatizacin de lasmatemticas, aunque suespritu era ms abierto yambicioso, si bien algo al-tivo, que el del solitarioy hurao Frege.

LLaass ppiieezzaass ddeellppuuzzzzllee ssoonnllooss aaxxiioommaass yyllooss ccoonncceeppttoosspprriinncciippaalleessllaass DDEEFFIINNIICCIIOO--NNEESS,, ccoommoo llaassllllaammaabbaa EEuu--cclliiddeess.. OObbsseerr--vvaa qquu ssiimm--pplleess ssoonn..

Apesar de la aparente rigidez de un sistemaaxiomtico, la libertad de cambiar, eliminaro agregar axiomas es total para el matem-tico. Otra cosa es que esos cambios permitangenerar la teora sin errores y que tenga un al-cance similar al de la teora original. Una piezapuede cambiar por completo el puzzle final. Esapieza puede ser el Axioma V de Euclides. De

los axiomas de Euclides,el quinto fue siemprecontrovertido. A pesarde la aparente evidenciaque refleja durante si-glos, se pens que podaser un teorema y no unaxioma, es decir, que sepoda deducirde los res-tantes yque portanto erainnecesa-rio.

Afinales del siglo XIX y de modo in-dependiente, Lobachevsky, Bolyai, yRiemann se cues-tionaron qu sucede-ra si de los axiomasde Euclides cambia-mos el quinto postu-lado y mantenemoslos restantes. Seraposible que este nue-vo sistema de axio-mas tambin explica-ra la geometra? sera una teora absur-da o, por lo contrario, slo otra formade entender la geometra? Sus respues-tas fueron asombrosas.

Para Bolyai y Lo-bachesky, elquinto postuladodeba formularse di-ciendo que se pue-den trazar infinitasrectas paralelas porese punto exterior.Para Riemann, elaxioma deca que

por un punto exterior a una recta no es po-sible trazar ninguna recta paralela a ladada. Y a patir de estos cambios contrariosa la intuicin, desarrollaron teoremas an-logos a los deducidos por Euclides... y nose encontr ninguna contradiccin. EranMODELOS correctos de geometra. Es ms,encontraron modelos de mundos en losque sus axiomas se cumplan. Para la Geometra Hiperblica de Lobachesky,el mundo es de forma seudoesfrica. Parala Geometra Riemanniana, es una esfera.

LLooss aaxxiioommaass yy ddee--ffiinniicciioonneess ssee mmeezz--ccllaann ppaarraa pprroodduucciirroottrraass vveerrddaaddeess ddeellaa tteeoorraa:: lloossTTEEOORREEmmaass..

LLooss tteeoorreemmaassoobbtteenniiddooss sseecc oo mm bb ii nn aa nneennttrree ss ppaarraapprroodduucciirr nnuuee--vvooss tteeoorreemmaassssoobbrree llaa ggeeoo--mmeettrraa..

AAllgguunnooss tteeoorreemmaass ssoonnmmuuyy iimmppoorrttaanntteess yy ppaassaannaa eennggrroossaarr llooss ffuunnddaammeenn--ttooss ddee llaa tteeoorraa..

PP AA RR AA QQ UU EE NN OO TT EE LL EE SS

EEUUCCLLIIDDEESS ((FFRRAAGGMMEENNTTOO DDEE LLAA EESSCCUUEELLAA DDEE AATTEENNAASS,, DDEE RRAAFFAAEELL DDEE SSAANNZZIIOO))

NNIINNGGUUNNAA PPAARRAALLEELLAA ==RRIIEEMMAANNNNEESSFFEERRAA

Los EElleemmeennttooss de Euclides desarrollan todo el conocimiento geomtrico de su poca bajo una estructuraaxiomtica, la primera de la historia. Su teora permaneci casi sin variacin hasta finales del siglo XIX.Las reglas de la Geometra fueron durante todo ese tiempo las que se recogieron en su libro. Si imaginamos la geometra -como cualquier otra parte de las matemticas- como un gran puzzle podemoscomprender el papel que juega cada elemento -axiomas, teoremas- en su desarrollo.

DEFINICIN 1.Un punto es loque no tienepartes.

DEFINICIN 12.Un ngulo agu-do es el ngulomenor de unrecto.

AXIOMA 1. Dadosdos puntos cua-lesquiera se pue-de trazar una rec-ta que los una.

TEOREMA. Los ngulos de lados pa-ralelos son iguales.

TEOREMA. En un tringulo a ladosiguales se oponen ngulos iguales.

AXIOMA 1. Todoslos ngulos rec-tos son igualesentre s.

AXIOMA 5. Por unpunto exterior auna recta puedetrazarse una y slouna recta paralelaa la dada.

La Geometra pasa a ser elconjunto de verdades -teo-remas- que son ciertas apartir de estas reglas deconstruccin. Toda verdadque se deduzca de estasreglas del juego debe acep-tarse como verdadera.

AAXXIIOOMMAA:: llaass vveerrddaaddeess ddee uunnaa tteeoorraaaacceeppttaaddaass ssiinn ddeemmoossttrraacciinn..TTEEOORREEMMAA:: llaass vveerrddaaddeess ddeedduucciiddaass aappaarrttiirr ddee llooss aaxxiioommaass yy ddee oottrroosstteeoorreemmaass pprreevviiooss..PPOOSSTTUULLAADDOO :: ssiinnnniimmoo ddee aaxxiioommaa..UUssaaddoo ppoorr EEuucclliiddeess..

CCOONNCCEEPPTTOO PPRRIIMMAARRIIOO:: llooss ccoonncceeppttoossmmnniimmooss ppaarraa ccoonnssttrruuiirr llaa tteeoorraa..CCOORROOLLAARRIIOO:: uunnaa vveerrddaadd qquuee sseeddeedduuccee ttrriivviiaallmmeennttee ddee uunn tteeoorreemmaa..PPRROOPPOOSSIICCIINN :: vveerrddaadd ddee rraannggoommeennoorr qquuee tteeoorreemmaa.. LLEEMMAA:: tteeoorreemmaa uuttiilliizzaaddoo ppaarraaddeemmoossttrraarr llaa vveerrddaadd ddee oottrroo tteeoorreemmaa..

lolitabrain@hotmail.com

11 PPAARRAALLEELLAA == EEUUCCLLIIDDEESSPPLLAANNOO

IINNFFIINNIITTAASS PPAARRAALLEELLAASS ==LLOOBBAACCHHEESSKKYYSSEEUUDDOOEESSFFEERRAA

La celebracin del sorteo de la Lotera de Navidad se ha convertido a lo largo de sudilatada historia en un rito con el que da comienzo la Navidad. Incluso las personasno jugadoras suelen participar en este sorteo. Pero, es realmente esta lotera un jue-go rentable? Para comprender su rentabilidad podemos realizar distintos clculosprobabilsticos que nos informen de la posibilidad de que un nmero resulte premiado.El sorteo se realiza por el sistema tradicional, un bombo para nmeros y otro parapremios en el que se cuida especialmente la equiprobabilidad de cada nmero.

por Lolita Brain

L A S U E R T E E N N M E R O S

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

EL REINTEGRO

LA PROBABILIDAD DEL GORDO

TODAS LAS TERMINACIONES SONEQUIPROBABLES, LO MISMO QUE SUCEDECON TODOS LOS NMEROS DEL SORTEO

P uesto que en el bombo se encuentran las bolas de los 85.000 nmerosque participan, y todas tienen la misma probabilidad de obtener el pri-mer premio, participando con un slo nmero se dispone de una pro-babilidad de 1/85.000de obtener el mximo premio. Esta probabilidad esdel orden de 12 a 1.000.000, es decir, muy baja. Expresado de otro modo,si quisiramos asegurarnos de que nos tocara el gordo, deberamos com-prar un dcimo de cada nmero que participa, es decir, invertir 85.000 x 20=1.700.000 E, obteniendo en este caso una recompensa de tan solo530.000 E con los premios importantes. Un mal negocio a todas luces.

E l premio del reintegro consiste en ladevolucin de la cantidad jugadaen el sorteo si hay coincidenciaentre el nmero final con el que sejuega y el que obtenga el primer pre-mio. Como el nmero con el primerpremio terminar en alguna de lascifras 0, 1, 2,...9 y entre los 85.000nmeros distintos que participan hay8.500 nmeros acabados en cadauno de estos dgitos, la probabilidadde obtener el reintegro es de 1 a 10.Como hay 180 billetes que tendrn lamisma terminacin que el gordo, ycada uno cuesta 200 E, en cada sor-teo se devuelven 36.000 E.

NO TE DEJES ENGAAR

A lgunas administraciones delotera parece que estn toca-das por el hada de la suerte y,en sucesivos aos, en ellas sereparte alguno de los grandespremios. Esto hace pensar aljugador que comprando unnmero de los que venden estasafortunadas administracioneshay ms posibilidad de obtenerun premio. No es as. Los nme-ros que vende cada administra-cin de lotera son igualmenteprobables, es decir, el nmeropremiado con el gordo no tiene

ninguna dependencia con el lugarque lo vende. Lo que ocurre esque estas administraciones, por lademanda originada por su fama,pueden comprar muchas seriesde muchos nmeros distintos,aumentando la probabilidad deque alguno de ellos salga premia-do. Por ejemplo, la Navidad pasa-da (haba 66.000 nmeros), unafamosa administracin comprnada menos que 5.000 nmerosdistintos, lo que le proporcionabauna altsima probabilidad de casiel 8% de obtener el gordo.

C ada dcimo se pone a la venta al precio de 20 E, o lo que es igual, cada billetecuesta 200 E. Por tanto, el valor de emisin de todo el sorteo de Navidad es de:de los que se destina para premios el 70%, es decir, 2.142 millones de eurosque se reparten entre 24.001.200 dcimos que obtienen algn tipo de premio.

Cada serie secompone de 10fracciones, lla-madas tambindcimos. As quelos premios sereparten entre153.000.000 dedcimos.

Los premios mayores del sorteo deeste ao son:1 primer premio de 3.000.000 E.1 segundo premio de 1.000.000 E. 1 tercer premio de 500.000 E. 2 cuartos premios de 200.000 E. 8 quintos premios de 50.000 E.Cada uno de estos premios seotorga a todas las series delnmero premiado.

Cada nmero se emite en180 series diferentes ynumeradas, que componelo que se llama un billete.Por tanto se emi-ten nada menosque 15.300.000billetes.

85.000 nmerosInversin

1.700.000 EGanancia530.000 E

NMEROS, BILLETES Y DCIMOS

E n todo juego es importanteconocer la cantidad de ele-mentos que participan delazar y la cantidad de premiosque se ofrecen.Veamos cmo sedesglosa el sorteode Navidad en laedicin de esteao 2006.

85.000 nmeros xx 180 series xx 200 E = 3.060.000.000 E